Verifica d`ipotesi

16/04/2013
STATISTICA A – D
(72 ore)
Verifica d’ipotesi
Marco Riani
[email protected]
http://www.riani.it
Formalizzazione di un test
 = parametro ignoto dell’universo (ad es.: , )
(=probabilità di rispondere correttamente ai quiz)
T = indice campionario (ad es: P)  statistica test
(è variabile aleatoria)
(X=numero risposte corrette nel test)
 ipotesi da sottoporre a
verifica
H0:  = 0
( =0.25)
0 = valore fissato a priori in base al problema
(non dipende dai dati)
H0 = ipotesi nulla
• Distribuzione campionaria di T 
suddivisa in 2 zone:
• zona di rifiuto di H0 (“regione critica”) =
insieme di valori di T a cui è associata
una piccola probabilità di verificarsi se
H0 è vera;
• zona di accettazione di H0 = comprende
i restanti valori di T.
Marco Riani, Univ. di Parma
H0
e
H1
• H1 = ipotesi alternativa  ipotesi che
contraddice H0
H1:  ≠ 0  alternativa bilaterale
H1:  > 0  alternativa unilaterale
destra
H1:  < 0  alternativa unilaterale
sinistra
La scelta di H1 è di tipo logico e non
dipende dai dati
• In pratica si osserva lo specifico valore
T=t
Se:
• t cade nella zona di rifiuto  si ritiene
H0 falsa (e H1 vera)
• t cade nella zona di accettazione  non
si può ritenere H0 falsa (“accetto” H0)
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16/04/2013
Approccio “diretto”
Conclusioni (p. 89)
Realtà
H0 è vera
Accetto H0
Decisione
corretta
H0 è falsa
Errore di
seconda
specie
Rifiuto H0
Errore di
prima
specie
Decisione
corretta
• si fissa  sufficientemente piccolo
(ad es:  = 0,05;  = 0,01)
• si definiscono le corrispondenti zone di
rifiuto e di accettazione tramite la
distribuzione campionaria della v.a. T
Livello di significatività () = probabilità di
commettere un errore di prima specie
Interpretazione:
principio del campionamento ripetuto
• si prende una decisione in base al
valore osservato nel campione T = t
Approccio “inverso”
• Livello di significatività osservato
(P-value) = probabilità che la v.a. T
assuma valori più estremi di quello
osservato nel campione (tobs) quando
H0 è vera.
P - value
• H1 unilaterale destra H1:  > 0
P-value = P{T  tobs, dato che  = 0}.
f(t)
P-value Pr(T>tobs)
tobs
P - value
• H1 unilaterale sinistra H1:  < 0
P-value = P{T  tobs, dato che  = 0}.
P - value
• H1 bilaterale: H1:  ≠ 0
• P-value = P{T  |tobs|, dato che  = 0}
+ P{T  |tobs|, dato che  = 0}
f(t)
Pr(T<tobs)
Pr(T<-|tobs|)
Pr(T>|tobs|)
tobs
-|tobs|
Marco Riani, Univ. di Parma
+|tobs|
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16/04/2013
TEST SULLA MEDIA
(grandi campioni)
Significato P-value:
evidenza campionaria contro H0  se il P-value
è piccolo rifiuto H0
H0:  = 0
(0 = valore prefissato, in es.
confezioni 0 =200 g)
Consideriamo come statistica-test la media campionaria
che, sotto H0, gode delle seguenti proprietà:
E( X )   0
V. Pag. 92
VAR ( X ) 
2
Z(X ) 
n
X  0

n
~ N (0,1)
Quindi la media campionaria standardizata secondo H0 è
distribuita secondo N(0,1).
Rifiutiamo H0 quando osserviamo medie campionarie
lontane da 0 → medie campionarie standardizzate
lontane da 0→ sulle code della distribuzione → legate
a probabilità basse.
Ad esempio: H1:  ≠ 0
• Calcolo sui dati di:
Scostamento
standardizzato:
x
2
s cor
s( X ) 
s cor
n
x  0
z( x ) 
s cor
n
Se
α/2
1-α
α/2
1-α
α/2
-z(α/2)
Rifuto
0
Accetto H0
α/2
Se
+z(α/2)
accettazione
Rifiuto
-z(α/2)
0
Rifuto
2 approcci
H1:  ≠ 0
+z(α/2)
accettazione
Rifiuto
Rifiuto H0
Esempio 1: macchina riempitrice
tarata su 200 g
H0:  = 200
H1:  ≠ 200
• APPROCCIO DIRETTO: si fissa α (livello
di significatività)
Campione=100 confezioni
scor  8g
x  199 g
• APPROCCIO INVERSO: si fornisce il p
value
Marco Riani, Univ. di Parma
z( x ) 
x  0
s cor
n
z( x ) 
s( X )  0,8g
199  200
 1,25
0,8
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16/04/2013
Approccio inverso: P-value
Approccio diretto
si fissa  = 0,05
1,96
0,025

z(0,025) =
0,025
-1,96 -1,25 0
z( x ) 
199  200
 1,25
0,8
+1,96
-1,25 non è un valore estremo  cade
infatti nella zona di accettazione  il
campione non dà evidenza per rifiutare
H0 e non possiamo dire che il processo
è fuori controllo
-1,25
H0:  = 6,3 giorni
H1:  < 6,3  si riduce l’assenteismo
x  0
s cor
s( X ) = 0,25
5,5  6,3
z( x ) 
 3,2
0,25
n
+1,25
H1:  < 6,3
si fissa  = 0,05
z( x ) 
Campione =100 dipendenti:
x = 5,5 giorni, scor = 2,5
0
Approccio diretto
Esempio 2: valutazione orario flessibile
z( x ) 
Pvalue alto (molto
maggiore di 5% o 1%)
differenza tra media
campionaria =199g e 0
= 200g non è
significativa
il processo di
produzione è sotto
controllo
5,5  6,3
 3,2
0,25

-z(0,05) = -1,64
0,05
-3,2 -1,64
-1,64
00
-3,2 è un valore estremo  cade infatti
nella zona di rifiuto  rifiutiamo H0 e
concludiamo che con l’orario flessibile
l’assenteismo si riduce
Approccio inverso
Calcolo del P-value
H1:  < 6,3
• P-value = P{Z( X ) ≤ -3,2} = F(-3,2) = 0,00069
valore molto basso (molto minore dell’
1%)  differenza tra X =5,5 giorni e 0 = 6,3
giorni è significativa l’orario flessibile
porta a una riduzione dell’assenteismo
-3,2 -1,64
TEST SULLA MEDIA
piccoli campioni
0
Marco Riani, Univ. di Parma
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16/04/2013
TEST SULLA MEDIA (piccoli campioni)
Assunzione: distribuzione Normale dell’universo
TEST SULLA MEDIA (piccoli campioni)
• Valutare assunzione che il fenomeno considerato
presenti nell’ universo distribuzione Normale.
H0:  = 0
(0 = valore prefissato, in es confezioni
0 = 200g)
Consideriamo come statistica-test la media campionaria
che, sotto H0, gode delle seguenti proprieta’:
Z( X ) 
E( X )   0
, VAR ( X ) 
2
n
,
X  0
scor / n
~ t(n  1)
oppure
Z(X ) 
X  0
/ n
~ N(0,1)
Esempio 1: macchina riempitrice
tarata su 200 g
H0:  = 200 (valore standard)
H1:  ≠ 200 (valore fuori controllo)
Campione=12 confezioni
x =207,75g, scor = 11,14g,
X  0
Z( X ) 
scor / n
z( x ) 
• Se invece σ non è noto e lo si stima con scor , la media
campionaria standardizzata si distribuisce secondo t(n1). Le zone di rifiuto e di “accettazione” devono quindi
essere definite con riferimento alla v.a. t(n  1) (NON z)
calcolo t():
F[-t(/2)] = /2
Rifiutiamo H0 quando osserviamo medie campionarie
lontane da 0 → medie campionarie standardizzate
lontane da 0→ sulle code della distribuzione → legate a
probabilità basse.
Approccio diretto
 = 0,05

t0,025 (11)= 2,201
oppure
 = 0,01 
t0,005(11) = 3,106
Nel campione:
s(X ) =3,22
z( x ) 
207.75  200
 2,41
3.22
Distribuzione normale dei pesi 
assunzione ragionevole
• Se si vuole test con  = 0,05
z( x ) = 2,41 è un valore estremo  cade
infatti nella zona di rifiuto rifiutiamo
H0 e concludiamo che il processo è
fuori controllo;
• Se si vuole test con  = 0,01
z( x ) = 2,41 NON è un valore estremo 
cade infatti nella zona di accettazione
non possiamo rifiutare H0 e NON
possiamo concludere che il processo è
fuori controllo.
Marco Riani, Univ. di Parma
• Se σ2 è noto la media campionaria standardizzata
secondo H0 è Normale.
-3,106 -2,201
0
207,75  200
 2,41
3,22
2,201 +3,106
Approccio inverso: P-value
P-value = P{ Z (X )  +2,41} + P{ Z (X )  2,41}
= 2P{ Z (X )  +2,41}
Dalle tavole della t con 11 gradi di liberta’:
0,02 < P-value < 0,05

Discreta (ma non fortissima) evidenza contro
H0  decisione incerta
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16/04/2013
Esercizio
Soluzione
• Il contenuto di nicotina di una certa marca di
sigarette è 0,25 milligrammi con una
deviazione standard di 0,015. Un’associazione
di consumatori sostiene che il contenuto di
nicotina dichiarato è al di sotto di quello
effettivo. Si effettui il test opportuno sapendo
che in un campione casuale di 20 sigarette si
è osservata una media campionaria pari a
0,264 milligrammi.
• Si ponga α=0,01
• Si calcoli il relativo p-value
H1:  > 0,25 α=0,01 F(2,33)=0,99
Densità della
v.c. normale
standardizzata
H0:  = 0,25 milligrammi
H1:  > 0,25  contenuto superiore a
quello dichiarato
x  0,264
σ=0,015 noto a priori
n=20
Ip. di distribuzione normale
Z(X ) 
Z(x) 
X  0
~ N (0,1)
/ n
0,264  0,25
 4,17
0,015 / 20
Calcolo del p-value
P-value = P{
>4,17}
= 1-F(4,17) = 0,00002 valore
molto basso (molto minore dell’
1%)
0,01
Zona di accettazione
0,264  0,25
Z(x) 
 4,17
0,015 / 20
2,33
Zona di rifiuto
tobs=
= 4,17 cade nella
zona di rifiuto
Esercizio
• Da una sperimentazione geologica vengono
estratte 10 piccole porzioni di roccia che
vengono successivamente sottoposte ad
analisi per verificare il contenuto percentuale
di cadmio. Si osserva una percentuale media
di 17,4 di cadmio con scor=4,2. L’estrazione
del minerale è economicamente conveniente
se il contenuto medio percentuale di cadmio è
maggiore di 15.
Marco Riani, Univ. di Parma
P-value = P{
>4,17}
Esercizio (continua)
• Si definiscano l’ipotesi nulla e l’ipotesi
alternativa
• Si stabilisca se le osservazioni
campionarie supportano la convenienza
economica dello sfruttamento del
giacimento (si utilizzi α=0,01)
• Si calcoli e si commenti il p-value del test
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16/04/2013
Soluzione
H1:  > 15 α=0,01
Ft(9)(2,821)=0,99
H0: 0 = 15 (percentuale di cadmio)
H1: 0 > 15  casi in cui è
conveniente estrarre il minerale
scor=4,2 n=10
x  17,4
Densità
della v.c. T
di Student
con 9 gradi
di libertà
0,01
Ip. di distribuzione normale
Z(X ) 
Z(x) 
X  0
~ t(9)
scor / n
17,4  15 17,4  15

 1,807
1,3282
4,2 / 10
Approccio inverso: P-value
P-value = P{ Z (X )  +1,807}
Dalle tavole della t con 9 gradi di libertà:
Ft(9)(1,833)=0,95
Zona di accettazione
Z(x) 
17,4  15
 1,807
4,2 / 10
2,821
Zona di rifiuto
tobs=
= 1,807 cade
nella zona di accettazione
Esercizio
• Con riferimento all’esercizio precedente si
determini la probabilità dell’errore di
seconda specie assumendo α=0,01 e
µ=16

P-value leggermente superiore a 0,05
Il valore esatto del p-value è 0,052 ottenuto
tramite Excel e la funzione distrib.t
=distrib.t(1,807;9;1)
Soluzione
Errore di prima specie (α)
errore seconda specie (β) e
potenza del test (1-β)
• Con riferimento all’esercizio precedente si
determini la probabilità dell’errore di
seconda specie assumendo α=0,01 e
µ=16
• Errore di seconda specie = accettare
un’ipotesi nulla falsa
• Obiettivo: calcolare la probabilità di
accettare l’ipotesi nulla quando µ=16
xα = valore soglia che separa la zona di
accettazione dalla zona di rifiuto
Marco Riani, Univ. di Parma
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16/04/2013
Qual è il valore soglia xα che separa la zona di accettazione da
quella di rifiuto in termini di valori originari?
0,01
Accetto
2,821
x  15
 2,821
4,2 / 10
Densità
della v.c. T
di Student
con 9 gradi
di libertà
Prob. di accettare l’ipotesi nulla quando µ=16 =
prob. di commettere un errore di seconda specie
=β prob. di trovare un valore più piccolo di
18,7467 quando µ=16
Che probabilità è associata all’area in verde?
Devo calcolare
Ft(9) ((18,75-16)/1,3282)
=Ft(9) (2,07)=0,966
Rifiuto
Il valore soglia xα è 18,7467
In Excel
Prob. di accettare l’ipotesi nulla quando µ=16 
prob. di trovare un valore più piccolo di 18,7467
quando µ=16
=1-DISTRIB.T(2,07;9;1)
Esercizio
• Un fornitore di pneumatici sostiene che la
durata media di un certo tipo di pneumatici per
camion è di 45000 Km. Un’impresa sottopone a
test l’affermazione del produttore osservando
un campione di 56 pneumatici utilizzati dai
propri veicoli.
• Qual è la conclusione a cui giunge l’impresa se
trova una durata media di 43740 con un
scor=2749 km (si ponga α=0,01)
• Si calcoli il p-value
H1:  < 45000 α=0,01 F(-2,33)=0,01
0,01
-2,33
Accetto
Rifiuto
Il valore osservato del test (-3,43) cade
nella zona di rifiuto
Soluzione
H0:  = 45000 Km
H1:  < 45000  la durata effettiva dei
pneumatici è inferiore a quella dichiarata
scor=2749
n=56
x  43740
Teorema centrale del limite
Z(X ) 
Z(x) 
X  0
~ N(0,1)
scor / n
43740  45000
 3,43
2749 / 56
Esercizio
• Per una generica voce di inventario di una
determinata impresa, sia X la differenza tra il
valore inventariato ed il valore certificato. Da un
campione di 120 voci un certificatore contabile
ha ottenuto x=25,3 s2cor=13240
• Si sottoponga a test l’ipotesi che l’inventario
non sia gonfiato specificando opportunamente
l’ipotesi alternativa (si ponga α=0,01)
• Si calcoli il p-value
• Si calcoli la prob. di rifiutare l’ipotesi nulla nel
caso in cui la vera media di X fosse pari a 30
p-value = F(-3,43) = 0,0003
Marco Riani, Univ. di Parma
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16/04/2013
H1:  > 0 α=0,01 F(2,33)=0,99
Soluzione
H0:  = 0
H1:  > 0  l’inventario è gonfiato
x  25,3
scor=115,065
p-value =
n=120
1-F(2,41)=0,008
0,01
Teorema centrale del limite
Z(X ) 
Z(x) 
X  0
~ N(0,1)
scor / n
Zona di accettazione
25,3  0
 2,4086
115,065 / 120
Z(x) 
Soluzione (continua)
• Si calcoli la prob. di rifiutare l’ipotesi nulla
nel caso in cui la vera media di X fosse
pari a 30
• Pr che il valore del test cada nella zona di
rifiuto quando µ=30
Qual è il valore soglia che xα separa la zona di accettazione da
quella di rifiuto in termini di valori originari?
2,33
Zona di rifiuto
25,3  0
= 2,41 cade nella
 2,4086 tobs=
115,065 / 120
zona di rifiuto
Qual è il valore soglia che xα separa la zona di accettazione da
quella di rifiuto in termini di valori originari?
0,01
Accetto
x  0
 2,33
115,065 / 120
2,33
Rifiuto
Il valore soglia xα è 24,474
Prob. di rifiutare l’ipotesi nulla quando µ=30 
prob. di trovare un valore più grande di 24,474
quando µ=30
Distribuzione media
campionaria quando è
vera µ=0
Distribuzione media campionaria
quando è vera µ=30
Z(X ) 
X 0
Z(X ) 
~ N(0,1)
scor / n
X  30
~ N(0,1)
scor / n
Esercizi da svolgere per
LUN 22 aprile
0,01
24,474
24,474
Area rossa = prob. di rifiutare l’ipotesi nulla
quando µ=30 (potenza del test = 1-β))
 24,474  30 
1  F 
  0,70
 115,065 / 120 
Marco Riani, Univ. di Parma
9
16/04/2013
Esercizio
• Una moneta viene lanciata 80 volte,
ottenendo 45 volte l’esito «testa».
• Al livello di significatività del 5% vi è
sufficiente evidenza per ritenere che la
moneta sia truccata?
Esercizio
L’Istituto Superiore di Sanità ha stimato che le spese a carico del
Sistema Sanitario Nazionale per la riabilitazione di un paziente
che ha avuto un ictus è di 42372 euro. L’amministrazione di una
ASL, per verificare se i costi nella ASL sono in linea con la media
nazionale, ha raccolto le informazioni sul costo della riabilitazione
di 64 pazienti. Il costo medio è risultato pari a 44143 euro con
uno scarto quadratico medio (campionario) corretto di 9156 euro.
• (a) Calcolare l'intervallo di confidenza al livello del 99% per la
vera media dei costi nell’ASL considerata.
• (b) Dopo aver impostato l'ipotesi nulla e l'ipotesi alternativa, si
testi se la differenza tra il costo medio nazionale e il costo
medio stimato nell’ASL è significativa al livello di significatività
dell'1%. Commentare i risultati ottenuti.
• Come sarebbero cambiate le conclusioni se il livello di
significatività fosse stato del 10%?
Esercizio
• Si consideri la verifica di ipotesi sulla
media di una popolazione normale. Si
definisce la potenza di un test la
probabilità di rifiutare un’ipotesi nulla falsa
(ossia la probabilità di non commettere un
errore di seconda specie)
• Si considerino le seguenti ipotesi nulla e
alternativa
• H0: =0
• H1: = 1 (con  1 >  0)
Marco Riani, Univ. di Parma
Esercizio
• Di seguito sono riportati i dati di durata (in
migliaia di Km) di un convertitore catalitico
in un campione di 15 osservazioni.
• 115,4 85,2 89,1 118,3 88,4 109,3 104,3
69,3 105,5 106,8 103,1 101,6 102,9 89,6
109,3
• Si verifichi l’ipotesi che la durata media sia
pari a 100 contro l’alternativa che essa sia
minore. Si assuma un livello di significatività
α=0,05. Si calcoli il p-value del test.
Esercizio
Si assuma che la pressione sistolica media di un adulto sano
sia 120 (mm Hg) e lo scarto quadratico medio 5,6.
Assumendo che la pressione abbia una distribuzione normale
calcolare la probabilità che:
• selezionando un individuo sano scelto a caso questi abbia
una pressione sistolica superiore a 125;
• scegliendo a caso 4 individui, la media della loro pressione
sistolica sia superiore a 125;
• scegliendo a caso 25 individui, la media della loro
pressione sistolica sia superiore a 125;
• selezionando 6 individui sani quattro di essi abbiano una
pressione inferiore a 125.
Errore di prima specie (α)
errore seconda specie (β) e
potenza del test (1-β)
xα = valore soglia che separa la zona di
accettazione dalla zona di rifiuto
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16/04/2013
Quesiti
• Si dimostri che la potenza del test (1-β) è
– Funzione crescente della dimensione
campionaria (n)
– Funzione crescente della differenza
tra  1 e 0
– Funzione decrescente di σ (standard
deviation dell’universo)
– Funzione crescente di α (probabilità di
commettere errore di prima specie)
Esercizio
• Nel processo di controllo del peso delle confezioni di un
determinato prodotto l’azienda esamina un campione di
800 confezioni e trova che 15 di esse hanno un peso fuori
norma.
• Si determini l’intervallo di confidenza al 97% della
proporzione di pezzi fuori norma.
• Si testi, al livello di significatività dell'1%, l'ipotesi che la
proporzione di pezzi fuori norma sia pari a 1,25%.
• Se la proporzione di pezzi fuori norma nell'universo fosse
uguale a 1,5%, effettuando cinque estrazioni
– si calcoli la probabilità di trovare esattamente due pezzi fuori
norma;
– si scriva l'espressione che consente di calcolare la probabilità di
ottenere un numero di pezzi fuori norma compreso tra due e
quattro (estremi compresi).
Esercizio
Esercizio
• Un ricercatore desidera stimare la media
di una popolazione che presenta una
deviazione standard σ con un campione di
numerosità h in modo tale che sia uguale
a 0,90 la probabilità che la media del
campione non differisca dalla media della
popolazione per più dell'8% della
deviazione standard. Si determini h.
• Sia X1 X2 X3 un campione casuale estratto
dalla distribuzione normale N(2,9). Si
calcoli
• P(X1+4X2-4X3>8)
• P(2X1+4X2-4X3>8)
Esercizio
Quesiti
Un tipo di componente viene fornito in
confezioni da 400 pezzi. Ne testiamo un
campione di 16 per stimare la frazione di
difettosi: vogliamo fare un test al livello di
significatività α del 5% che ci permetta di
rifiutare l’intera partita se vi è evidenza
statistica che i pezzi difettosi (nella
confezione) sono più del 15%
Marco Riani, Univ. di Parma
• Qual `e il parametro incognito su cui basare
il test? Come vanno scelte ipotesi nulla e
alternativa? Se nel campione si trovano 3
difettosi, cosa si decide? Quanti difettosi si
possono accettare al massimo nel campione
senza rifiutare la fornitura?
• Se una confezione ha il 25% di difettosi, con
che probabilità questo test la rifiuta?
11
16/04/2013
Esercizio
Esercizio
• Si consideri un dado a 20 facce tutte
uguali
• Qual è il valore atteso?
• Quante volte è necessario lanciarlo
affinché la probabilità di ottenere almeno
un 20 sia maggiore o uguale a 0.5?
• Lanciandolo 20 volte, qual è il numero
medio di 20 ottenuti?
• Pr di ottenere almeno una volta la faccia
20 in 20 lanci?
• Nel gioco del lotto un numero ha una
probabilità p di uscire ad ogni estrazione.
• Si scriva la densità della v.c. che descrive il
tempo di attesa dell’uscita del numero
all’estrazione k-esima (v. casuale geometrica),
k=1, 2, 3, ….
• Si dimostri che la somma delle probabilità è 1
• Si calcoli il valore atteso
• Si calcoli l’espressione che definisce P(X>k)
Esercizio
• Dimostrare che nel gioco del lotto la
probabilità che siano necessari i+j tentativi
prima di ottenere il primo successo, dato che
ci sono già stati i insuccessi consecutivi, è
uguale alla probabilità non condizionata che
almeno j tentativi siano necessari prima del
primo successo.
• Morale: il fatto di avere già osservato i
insuccessi consecutivi non cambia la
distribuzione del numero di tentativi necessari
per ottenere il primo successo
Esercizio
• Sia X una v.c. definita nell’intervallo [0 +∞)
• Calcolare il valore di c affinché fX(x) sia effettivamente
una densità
• Rappresentarla graficamente la funzione di densità
• Calcolare la funzione di ripartizione e rappresentarla
graficamente
• Calcolare P(X>x)
Marco Riani, Univ. di Parma
Soluzione
• X = numero di tentativi prima di ottenere il
primo successo.
• p = prob di successo
• Dobbiamo dimostrare che
• P(X>i+j | X>j) = P(X>i)
• P(X>i+j | X>j) = P(X>i+j ∩ X>j) / P(X>j)
•
= P(X>i+j) / P(X>j)
•
= qi+j/qj=qi=P(X>i)
Esercizio
• Un gioco a premi ha un montepremi di 512
Euro. Vengono poste ad un concorrente 10
domande. Ad ogni risposta errata il
montepremi viene dimezzato. Alla prima
risposta esatta il concorrente vince il
montepremi rimasto. Se non si fornisce alcuna
risposta esatta non si vince nulla. Un certo
concorrente risponde esattamente ad una
domanda con probabilità p, indipendentemente
dalle risposte alle altre domande.
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16/04/2013
Richieste
Esercizio
• Sia X la vincita di questo concorrente.
Scrivere la legge di X in forma compatta e
determinare la sua densità p(x)
• Verificare che la somma delle probabilità
sia 1
• Calcolare il valore atteso della vincita
Un modello per le variazioni del prezzo delle
azioni assume che ogni giorno il prezzo di
un’azione salga di una unita con prob. p o
scenda di un’unita con prob. 1-p. Si assume
che le variazioni del prezzo in giorni diversi
siano indipendenti.
Richieste
Si formalizzi la v.c. che descrive la variazione
del prezzo dell’azione nel giorno i-esimo e si
calcoli il valore atteso.
Calcolare la probabilità:
1.che il prezzo dell’azione torni a quello di
partenza dopo 2 giorni;
2.che il prezzo dell’azione sia salito di una unita
dopo 3 giorni;
3.che il prezzo dell’azione fosse salito il primo
giorno, sapendo solo che dopo 3 giorni è salito
di una unita.
Marco Riani, Univ. di Parma
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