Progetto di infrastrutture viarie - Corsi a Distanza

POLITECNICO DI TORINO
1a Facoltà di Ingegneria
A.A. 2011/2012
Corso di Laurea Magistrale
in Ingegneria Civile
Progetto di Infrastrutture Viarie
prof. Marco Bassani
ing. Roberto Melotti
1
Esercizio 1:
Progetto di una clotoide di transizione
Calcolare e rappresentare graficamente una clotoide di transizione per una curva di raggio R pari a
300 m, di una strada extraurbana di categoria F, che presenta le seguenti caratteristiche:
Vp min = 40 km/h
Vp max = 100 km/h
2
Soluzione:
Le incognite del problema sono:
- xM e yM = coordinate del centro dell’arco di cerchio;
- x e y = coordinate del punto finale della clotoide;
- L = lunghezza dell’arco di clotoide;
- = angolo di deviazione della clotoide;
- R = raggio dell’arco di cerchio;
- R = scostamento rettifilo-cerchio;
- Tl = tangente lunga;
- Tk = tangente corta.
Tramite l’abaco di progetto si osserva che la velocità di progetto di percorrenza della curva, dovrà
essere compresa tra 80 e 90 km/h, e che la pendenza trasversale dovrà assumere il valore
massimo pari a 0,07.
300
Per trovare l’esatto valore della velocità si utilizza la seguente formula di equilibrio per il moto in
curva:
v2
 g  tan   f t 
R
da cui:
3
v  R  g  ql  f t 
dove l’unico termine incognito è ft (quota parte del coefficiente di aderenza impiegato
trasversalmente), che viene ricavato dalle seguenti tabelle e viene assunto come primo tentativo
pari a 0,12.
Sostituendo i valori si ottiene:
v  R  g  ql  f t   300  9,81  (0,07  0,12)  23,6
V  23,6  3,6  85,1
m
s
km
h
È ora possibile ricavare il fattore di scala A della clotoide, attraverso le tre verifiche indicate dalla
normativa italiana (D.M. 6792/01):
- criterio 1: Limitazione del contraccolpo;
- criterio 2: Sovrapendenza longitudinale delle linee di estremità della carreggiata;
- criterio 3: Ottico.
Criterio 1: Limitazione del contraccolpo
Affinché lungo un arco di clotoide si abbia una graduale variazione dell’accelerazione trasversale
non compensata nel tempo (contraccolpo c), fra il parametro A e la massima velocità di progetto
V, desunta dal diagramma di velocità, per l’elemento di clotoide deve essere verificata la
relazione:
A  Amin 
v 3 g  v  R  q f  qi 


c
c
23,6 3 9,81  23,6  300  0,07  0,025

 137,3 m
0,59
0,59
dove:
- c è il contraccolpo massimo pari a cmax 
50,4
;
V
- V è la velocità in km/h;
- v è la velocità in m/s;
- qf è la pendenza trasversale nel punto finale della clotoide;
- qi è la pendenza trasversale nel punto iniziale della clotoide e vale 2,5% (rettifilo).
4
La normativa permette di utilizzare un’equazione semplificata:
A  0,021V 2  0,021 85,132  151,7m
Criterio 2: Sovrapendenza longitudinale delle linee di estremità della carreggiata
Nelle sezioni di estremità di un arco di clotoide la carreggiata stradale presenta differenti assetti
trasversali, che vanno raccordati longitudinalmente, introducendo una sovrapendenza nelle linee
di estremità della carreggiata rispetto alla pendenza dell’asse di rotazione.
Nel caso in cui il raggio iniziale sia di valore infinito (rettilineo o punto di flesso), il parametro deve
verificare la seguente disuguaglianza:
A  Amin 
R
100  B  q f  qi 
imax
dove:
- B = distanza (in m) fra l’asse di rotazione e l’estremità della carreggiata all’inizio della curva a
raggio variabile, in questi caso pari alla larghezza della corsia (3,5 m);
- imax è la sovrapendenza longitudinale massima della linea costituita dai punti che distano B
dall’asse di rotazione; in assenza di allargamento tale linea coincide con l’estremità della
carreggiata:
imax 
dq Bi
18  B 18  3,5
 100 

 0,7411%
dt v
V
85,13
dove:
dq
= variazione della pendenza trasversale nel tempo pari a 0,05 rad/s
dt
5
Sostituendo i valori nella formula si ottiene:
A  Amin 
R
300
100  B  ql  qi  
100  3,5  (0,07  0,025)  116 m
imax
0,7411
Criterio 3: Ottico
Per garantire la percezione ottica del raccordo deve essere verificata la relazione:
A
R
3
e quindi si ottiene:
A
R 300

 100m
3
3
Inoltre, per garantire la percezione dell’arco di cerchio alla fine della clotoide, deve essere
verificata la seguente condizione:
A  R  300 m
6
A'''MIN
A''MIN
A'MIN
A MAX = R
A (m)
A*
100
116
152
A*=200
300
A (m)
A questo punto si può scegliere un qualsiasi valore del fattore di scala compreso tra 152 m e 300
m. In questo caso si è scelto A* = 200.
Costruzione della clotoide di transizione
È ora possibile procede con il vero e proprio dimensionamento della clotoide di transizione, di cui
si riporta di seguito una figura:
Bisogna innanzitutto calcolare l’angolo di deviazione  con la seguente formula:

s2
A2
200 2


 0,222 rad  14,147C
2  A2 2  R 2 2  300 2
7
A questo punto si utilizzano le tabelle della clotoide unitaria per ricavare gli altri parametri di
dimensionamento della clotoide.
Dato che nella tabella non è presente un valore dell’angolo di deviazione uguale a quello ricavato,
se ne prende uno leggermente superiore (oppure si procede interpolando linearmente i valori):
 = 14,289C
Questo comporta che il raggio dell’arco di cerchio sarà leggermente inferiore a 300 m, ma le
verifiche imposte dal D.M. 6792/01 sono comunque soddisfatte.
I valori ricavati per la clotoide unitaria sono i seguenti:
r  1,492537 m
x  0,6666326 m
y  0,0499471 m
xM  0,3344382 m
R  0,0125093 m
Moltiplicandoli per il fattore di scala A, si ottiene:
R  1,492537  200  298,507 m
L  0,6666326  200  133,326 m
y  0,0499471 200  9,989 m
xM  0,3344382  200  66,888 m
R  0,0125093  200  2,50186 m
yM  R  R  2,50186  298,507  301,00886 m
8
Per il tracciamento della clotoide si ricavano dalla tabella i valori delle coordinate x e y e li si
moltiplica per il fattore di scala A:
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
x
0,01
0,05
0,1
0,149998
0,199992
0,249976
0,3997
0,4992
0,5388
0,5783
0,598
0,6177
0,6275
0,6373
0,6471
0,6568
0,666633
y
0,0000002
0,0000208
0,0001667
0,0005625
0,0013333
0,002604
0,01066
0,0208
0,0262
0,03245
0,0359
0,0396
0,04155
0,0435
0,0456
0,0477
0,0499471
x*
2
10
19,99996
29,99962
39,9984
49,99512
79,94
99,84
107,76
115,66
119,6
123,54
125,5
127,46
129,42
131,36
133,326520
y*
0,00004
0,00416
0,03334
0,1125
0,26666
0,5208
2,132
4,16
5,24
6,49
7,18
7,92
8,31
8,7
9,12
9,54
9,989420
9
Esercizio 2:
Tracciamento di una clotoide di flesso
È fornita la poligonale d’asse di una strada extraurbana secondaria (tipo C) di cui si richiede il
dimensionamento ed il tracciamento dei raccordi di transizione e flesso.
Vp min = 60 km/h
Vp max = 100 km/h
Sono dati la sezione trasversale e gli angoli di deviazione tra i rettifili. Si richiede il tracciamento
planimetrico completo di assi e cigli (indicazione delle pendenze trasversali e delle differenze di
quota tra ciglio e asse). Si richiede inoltre il tracciamento per punti delle clotoidi progettate
rispetto a un sistema di riferimento stabilito.
10
Soluzione:
Per la risoluzione del problema sarà seguito questo percorso:
- Definizione del rapporto raggio – velocità di progetto – pendenza;
- Determinazione del fattore di scala A*;
- Dimensionamento della clotoide di flesso;
- Progetto delle clotoidi di transizione;
- Caratteristiche del raccordo circolare.
Definizione del rapporto raggio – velocità di progetto – pendenza
Tramite l’abaco di progetto, in base ai raggi delle 2 curve, è possibile ottenere:
- velocità;
- pendenza trasversale (qf).
R2
R1
Dall’abaco di progetto si ottengono le seguenti pendenze trasversali:
R1 = 450 m
qf,1 = 0,067
R2 = 380 m
qf,2 = 0,07
11
Sempre dallo stesso abaco si ricava la velocità di progetto della curva 1, pari a:
V1  100
km
h
Per trovare l’esatto valore della velocità di progetto della curva 2 si utilizza la seguente formula di
equilibrio per il moto in curva:
v2
 g  tan   f t 
R
da cui:
v  R  g  ql  f t 
dove l’unico termine incognito è ft (quota parte del coefficiente di aderenza impiegato
trasversalmente), che viene ricavato dalle seguenti tabelle e viene assunto come primo tentativo
pari a 0,115.
v2  R2  g  ql , 2  f t   380  9,81 (0,07  0,115)  26,2
V2  26,2  3,6  94,5
m
s
km
h
È ora possibile ricavare il fattore di scala A della clotoide, attraverso le tre verifiche indicate dalla
normativa italiana (D.M. 6792/01):
- criterio 1 di limitazione del contraccolpo;
- criterio 2 di sovrapendenza longitudinale delle linee di estremità della carreggiata;
- criterio 3 ottico.
Dato che le verifiche sono le stesse dell’esercizio n°1, di seguito saranno riportati solamente i
risultati delle tre verifiche.
12
Criterio 1: Limitazione del contraccolpo
g  v1  R1  q f ,1  qi ,1 
v1

 161,9 m
c1
c1
3
A1  Amin,1 
A2  Amin,2 
3
g  v2  R2  q f , 2  qi , 2 
v2

 145,1 m
c2
c2
Amin,1  0,021 V12  0,021100 2  210 m
Amin,2  0,021 V22  0,021 94,54 2  187,6 m
Criterio 2: Sovrapendenza longitudinale delle linee di estremità della carreggiata
imax,1 
18  B 18  3,75

 0,675%
V1
100
imax,2 
18  B 18  3,75

 0,714%
V2
94,5
Amin,1 
R1
450
100  B  ql ,1  qi  
100  3,75  (0,067  0)  129,4 m
imax,1
0,675
Amin,2 
R2
380
100  B  ql , 2  qi  
100  3,75  (0,07  0)  118,2 m
imax,2
0,714
Criterio 3: Ottico
Amin,1 
R1 450

 150m
3
3
Amin,2 
R2 380

 126,6 m
3
3
13
Amax,1  450 m
A MAX = R
A'''MIN
A''MIN
A'MIN
Amax,2  380 m
A (m)
A*
Caso per R 1:
129,42
450
210
150
A (m)
Caso per R 2:
118,2
380
187,69
126,67
A (m)
Riepilogo :
150
A*=210
380
A (m)
Si deve a questo punto scegliere se progettare una clotoide di flesso simmetrica oppure
asimmetrica: si opta per la prima opzione per cui:
A1 = A2 = 210 m
Dimensionamento della clotoide di flesso
È ora possibile procede con il vero e proprio dimensionamento della clotoide di flesso, di cui si
riporta di seguito una figura:
14
Noti i valori di R1, R2 ed A, il primo passo consiste nel ricavare dall’abaco di Osterlock la distanza D
tra i due cerchi:
R2 380

 0,844
R1 450
A * 210

 0,467
R1 450
15
Tramite l’abaco si ricava:
D
 0,0205
R1
e quindi:
D  0,0205  450  9,2 m
16
È quindi possibile calcolare la distanza tra i centri dei due cerchi e gli angoli di deviazione 1,2:
M 1 M 2  R1  R2  D  450  380  9,2  839,2 m
1 
A2
2102

 0,109 rad  6,932C
2
2
2  450
2  R1
2 
A2
2102

 0,153 rad  9,721C
2
2
2

380
2  R2
Si utilizzano ora le tabelle della clotoide unitaria per ricavare i parametri di dimensionamento della
clotoide; poiché non sono presenti valori degli angoli di deviazione uguale a quelli ricavati, si
procede interpolando linearmente i due valori:
Clotoide 1:
tab,1 (cent)
6,7354372
6,932
7,0314654
L1 (m)
0,46
0,4666428
0,47
R1 (m)
2,173913
2,143188
2,12766
x1 (m)
0,459485
0,466089
0,469427
y1 (m)
0,0162097
0,01692652
0,0172888
xM,1 (m)
0,229914
0,233229
0,234905
r1 (m)
0,004054
0,004233
0,004324
tab,1 (cent)
6,735437
6,932
7,031465
L*1 (m)
96,6
97,99498
98,7
R*1 (m)
456,5217
450,0695
446,8086
x*1 (m)
96,49193
97,87877
98,57967
y*1 (m)
3,404037
3,55457
3,630648
x*M,1 (m)
48,28198
48,97812
49,32995
*r1 (m)
0,85134
0,889018
0,908061
Clotoide 2:
tab,2 (cent) L2 (m)
R2 (m)
x2 (m)
y2 (m)
9,6288741
0,55
1,818182 0,548743 0,02768839
9,721 0,5526141 1,809695 0,551326 0,02808825
9,9821981
0,56
1,785714 0,558625 0,029218
tab,2 (cent) L*2 (m)
9,628874
115,5
9,721
116,049
9,982198
117,6
xM,2 (m)
0,27479
0,276092
0,279771
r2 (m)
0,006927
0,007027
0,007311
R*2 (m) x*2 (m)
y*2 (m) x*M,2 (m)
381,8182 115,2361 5,814562 57,70598
380,0358 115,7785 5,898532 57,97938
374,9999 117,3112 6,13578 58,75185
*r2 (m)
1,454586
1,475683
1,535289
17
È possibile ora ricavare le coordinate dei due centri dei cerchi e l’angolo  che è l’angolo formato
tra la congiungente i centri dei cerchi e l’asse y. Le formule da utilizzare sono le seguenti (i valori
vanno inseriti in segno):
xM 1, 2  x F1, 2  R1, 2  Sen 1, 2
y M 1, 2  y F1, 2  R1, 2  Cos 1, 2
  arctan
xM 1  xM 2
yM1  yM 2
Andando a sostituire i valori si ottiene:
xM 1   xF1  R1  Sen 1  97,8  450  Sen0,109  48,9m
y M 1   y F1  R1  Cos 1  3,5  450  Cos0,109  450,8m
xM 2  xF 2  R2  Sen 2  115,7  380  Sen0,153  57,9m
y M 2  y F 2  R2  Cos 2  5,8  380  Cos0,153  381,4m
  arctan
xM 1  xM 2
yM1  yM 2
 arctan
48,9  57,9
 0,1278rad  8,1355C
450,8  381,4
A valle di ciò si determina la posizione dell’asse x, che di fatto coincide con il secondo lato della
poligonale.
Per il tracciamento della clotoide si ricavano dalla tabella della clotoide unitaria i valori delle
coordinate x e y e li si moltiplica per il fattore di scala A.
Clotoide 1:
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
x
0,05
0,0999998
0,1499981
0,199992
0,2399801
0,279957
0,3199161
0,3498687
0,379802
0,3997441
0,4196734
0,4296326
0,4395879
0,4495389
0,4594854
0,466089
y
x*
y*
0,0000208
10,5 0,004368
0,0001667 20,99996 0,035007
0,0005625
31,4996 0,118125
0,0013333 41,99832 0,279993
0,0023039 50,39582 0,483819
0,0036583 58,79097 0,768243
0,0054603 67,18238 1,146663
0,0071439 73,47243 1,500219
0,0091419 79,75842 1,919799
0,0106618 83,94626 2,238978
0,0123411 88,13141 2,591631
0,0132431 90,22285 2,781051
0,0141878 92,31346 2,979438
0,0151764 94,40317 3,187044
0,0162097 96,49193 3,404037
0,0169265 97,87869 3,554569
18
Clotoide 2:
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
x
0,05
0,0999998
0,1499981
0,199992
0,2399801
0,279957
0,3199161
0,3498687
0,379802
0,3997441
0,4196734
0,4395879
0,4594854
0,4793634
0,4992193
0,5091381
0,5190503
0,5289555
0,5388532
0,5487431
0,551326
y
2,08E-05
0,000167
0,000563
0,001333
0,002304
0,003658
0,00546
0,007144
0,009142
0,010662
0,012341
0,014188
0,01621
0,018415
0,02081
0,022082
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19