Il grafico in alto rappresenta la funzione f(ξ), i cui valori sono

Prof. I. Guerra – a.a. 2009/10
Onde coniche
L’interfaccia piana orizzontale tra due mezzi sovrapposti con velocità rispettivamente v1 e v 2
costanti (v1 < v2), è rappresentata in figura dalla retta orizzontale assunta come asse delle distanze x.
Al tempo t = 0, dal punto S nel primo mezzo, di coordinate (0, h), viene emessa un’onda
sismica che incide sull’interfaccia con angolo critico ic = arcsen (v1/v2) nel punto P di ascissa xP = h
tg ic. Il tempo di arrivo in P è tP = SP/ v1 = hS / (v1 cos ic). In tale istante, per il principio di Huygens
P diventa esso stesso una sorgente di onde che si propagano lungo l’interfaccia con velocità v2 in
quanto questa appartiene al mezzo inferiore.
Un punto generico X di ascissa xX > xP viene raggiunto dall’onda generata in P al tempo
tX = tP + (xX – xP) / v2
Al tempo tQ = tP + (xQ – xP) / v2 in cui l’onda arriva nel punto Q di ascissa xQ > xP, il fronte
dell’onda emessa da X nel mezzo a velocità v1 è la semisfera di raggio rX dato da
rX = (tQ - tX) v1 = (xX – xP) v1 / v2 = (xQ – xX) sen ic
L’equazione di questa semisfera è:
2
2
(x – xX) + (y – yX) =
(1)
rx2
cioè, essendo yX = 0,
x² + y²- 2 xX x + xX² - rX² = 0
(2)
Una generica retta ha equazione y = a x + b. Imponendo che essa passi per Q, deve essere
a xQ + b = yQ = 0
cioè b = - a xQ. Le infinite rette passanti per Q sono perciò rappresentate tutte dall’equazione:
y = a x - a xQ
(3)
corrispondendo ciascuna ad uno degli infiniti possibili valori del coefficiente angolare a.
Le intersezioni della retta (3) con la circonferenza (2) si ottengono risolvendo il sistema
costituito da (2) e (3), il che può essere fatto sostituendo la (3) nella (2). Si ottiene in questo modo:
x² - 2 xX x + xX²+ a² x² - 2 a² x xQ + a² xQ² - rX²= 0
che può essere scritta:
(1 + a²) x² - 2 (xX + a² xQ) x + xX² + a² xQ² - rX² = 0
Per trovare il valore di a per cui la retta per Q è tangente alla circonferenza, basta imporre la
condizione che questa equazione abbia una sola soluzione, cioè che si annulli il suo discriminante:
Δ = (a² xQ + xX)² - (1 + a²) (a² xQ² + xX² - rX²) = 0
a4 xQ² +2 a² xX xO + xX² - a² xQ² - xX² + rX² - a4 xQ² - a² xX² + a² rX² = 0
(2 xX xO- xQ² - xX²) a² + rX² + a² rX² = 0
-(xQ – xX)² a² + (xQ – xX)² sen² ic + (xQ – xX)² a² sen² ic = 0
- a² + sen² ic + a² sen² ic = 0
——→
(sen² ic –1) a² = - sen² ic
a² = sen² ic / (1 - sen² ic) = tg² ic
a = ± tg ic
[per la (1)]
Prof. I. Guerra – a.a. 2009/10
Il risultato ottenuto si può interpretare dicendo che esistono due rette per Q tangenti alla
circonferenza che nel piano x,y rappresenta il primo fronte d’onda emesso da X, inclinate di un
angolo ± ic rispetto all’asse delle x. Nel caso particolare, si è interessati solo a quella con pendenza
–ic, in quanto l’altra rappresenta la tangente nel mezzo inferiore.
È evidente che la pendenza non dipende dallo specifico punto X preso in considerazione, per
cui la retta identificata dalla pendenza -ic è tangente ai fronti d’onda emessi da tutti i punti compresi
tra P e Q, rappresentandone l’inviluppo: essa quindi, per il principio di Huyghens, costituisce il
fronte d’onda nel mezzo superiore al tempo tQ.
Le stesse considerazioni possono essere svolte per qualsiasi punto Q con xQ > xP. Si può
quindi affermare che tutti i fronti d’onda sono rappresentati tutti da rette con pendenza pari a –ic. Le
onde che si propagano nel mezzo superiore quindi sono piane ed i relativi raggi, ad esse
perpendicolari, sono delle rette. Dalla figura si vede che il raggio XT della circonferenza con centro
in X e passante per il punto T di tangenza è perpendicolare al segmento TQ, per cui il triangolo
XQT è rettangolo in T: i cateti TQ e XT forniscono rispettivamente le direzioni dei fronti d’onda e
dei raggi. I raggi XT formano con l’asse y un angolo pari proprio ad ic: nella situazione
rappresentata in figura i raggi rifratti criticamente riemergono nel mezzo di provenienza con un
angolo pari a quello critico.
Alle circonferenze ed alla loro retta-inviluppo che in due dimensioni rappresentano i fronti
d’onda generati dai singoli punti ed il fronte d’onda complessivo, corrispondono in tre dimensioni
altrettante superficie sferiche ed una superficie conica che le inviluppa. Per questo motivo le onde
generate nel mezzo di provenienza da un’onda che subisce la rifrazione critica al passaggio in un
mezzo più veloce, si dicono onde coniche.
Questa è una locuzione piuttosto obsoleta, usata prevalentemente nei testi francesi ed italiani.
Nei testi in lingua inglese si utilizza il termine head waves; in quelli italiani solitamente si parla
semplicemente di onde rifratte omettendo l’avverbio criticamente, che viene esplicitato solo quando
non emerga chiaramente dal contesto di cosa si intende parlare.