il teorema di pitagora

ALDO BONET
IL TEOREMA DI PITAGORA
AI TEMPI DI ÖTZI
La Regola Sumero-Babilonese (Prima Parte)
TRENTO – Dicembre 2014
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ALDO BONET 1
…La matematica è come il gioco della dama: adatta ai giovani, non
troppo difficile, divertente e senza alcun pericolo per lo stato. (Platone)
Per contatti: [email protected]
1. http://www.atuttascuola.it/collaborazione/bonet/index.htm
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Introduzione.
Tramite i mattoni, gli artigiani Sumeri, del periodo tardo Uruk. (3.200 a.C circa), ormai dotati di una
potenziale lingua sumerica, di una scrittura pittografica che si stilizzò nei secoli nella scrittura cuneiforme,
di primigenie nozioni di contabilità commerciale, di aritmetica, di tavole metrologiche e tecniche, di misure
lineari e di superficie nonché di equivalenza delle forme geometriche, al culmine di quel periodo cronologico
del Vicino Oriente noto come: "La rivoluzione urbana", avrebbero potuto scoprire facilmente la relazione
del Teorema di Pitagora e proprio ai tempi di Ötzi, l’uomo del tardo neolitico alpino, contemporaneo
all’uomo del tardo calcolitico mesopotamico. Probabilmente già in quell’epoca (3.200 a.C. circa), i Sumeri
conoscevano molto bene la relazione del Teorema ma più sottoforma di Regola empirica, che si dimostrò poi
fondamentale per la nascita e il futuro dell’algebra e della geometria. Questa Regola, fu visualizzata dagli
artigiani Sumeri attraverso la loro formidabile macchina di svago, da me ipotizzata, che fu scaturita dopo una
millenaria arte edile con i mattoni; una macchina algebrica unica e versatile: Il Diagramma di argilla.
Utilizzato come una sorta di gioco logico-enigmistico, questo Diagramma fatto di mattoni movimentabili e
sovrapponibili, migliaia di anni dopo, anche i primi pionieri ellenici lo videro in funzione dentro le rinomate
scuole degli scribi delle millenarie civiltà potamiche (dei grandi fiumi). Fortunatamente, tra i primi pionieri
ellenici, nel VI sec.a.C., vi fu anche Pitagora di Samo che andò a visitare la Mesopotamia, l’India e l’Egitto,
probabilmente consigliato dal suo Maestro, Talete di Mileto, con la missione di acquisire quel maggior
sapere che le primordiali scuole dell’Ellade, bisognose di conoscenze, ancora non disponevano. Pitagora,
verosimilmente affascinato dalla semplicità e versatilità didattica di questa ricreativa macchina algebrica in
mattoni di argilla, la introdusse in Patria, a Crotone, nella Magna Grecia.
Una macchina ludica, a fini didattici - educativi, che evocava i primi e i più antichi giochi da tavolo allora
conosciuti presso le civiltà potamiche: il Senet Egizio, il Gioco reale di Ur rinvenuto anche nel sud dell’Iran
a Shahr - i- Sokhta, il Go (gioco) Cinese e il Tangram la cui tecnica, era paragonabile alla costruzione
degli altari di fuoco della matematica Vedica Indiana, i SulbaSūtra. Pitagora apprese così non solo,
un’importante Regola millenaria che impropriamente la tradizione poi, attribuì allo stesso Pitagora come
“suo” famoso Teorema, ma molto altro ancora tramite quest’unica macchina algebrica mesopotamica, oggi,
da me coniata e nota come il: Diagramma di argilla a modulo quadrato.
Problemi, che applicavano con proprietà e disinvoltura il Teorema “di Pitagora”, furono rinvenuti su
tavolette babilonesi risalenti al periodo di Hammurabi (1800 a.C. circa) e databili quindi, più di 1000 anni
prima di Pitagora. Probabilmente, questa macchina algebrica in mattoni fu tramandata dai Sumeri alle altre
Civiltà potamiche contemporanee (Egizi, Indiani e Cinesi) e forse, carpita dagli Accadi, Amorrei e dai
Babilonesi che la svilupparono ulteriormente (la Regola Sumero-Babilonese), questi ultimi, la mostrarono
ai primi visitatori ellenici e, grazie a Pitagora, questo diagramma in mattoni fu introdotto nelle prime scuole
della Magna Grecia per investigarlo dall’alto in maniera più astratta e intellettuale. Lo scopo dei pitagorici fu
di smontare i principi algebrici visualizzabili dalla macchina di argilla per poi trasferirli, tramite l’uso di riga
e compasso, nel più “moderno” papiro introdotto dall’Egitto nell’Ellade intorno al VI secolo a.C. attraverso
il porto fenicio di Gubal, in greco Byblos, diffusosi poi rapidamente in tutto il mondo classico.
Pitagora, tramite lo stesso Diagramma, apprese dai babilonesi altre importanti relazioni algebriche –
geometriche: la generalizzazione della Regola Sumero-Babilonese, la soluzione dei problemi algebrici di
diverso grado, le identità notevoli, la scoperta algebrica dello gnomone sullo sviluppo della Regola SumeroBabilonese, la proprietà del rapporto aureo stimolata dall’operazione inversa della predetta Regola, i
concetti di equivalenza, di limite e infinto, lo sviluppo dei poligoni e dei poliedri regolari. Queste relazioni
algebriche saranno raccolte e modernizzate, tre secoli dopo, dal matematico greco Euclide di Alessandria
dentro i suoi famosi Elementi e, questi suoi volumi, si diffusero rapidamente anche nel mondo orientale e
medio – orientale del mediterraneo. In seguito, il grande sapere matematico greco - orientale circolò in
minima parte nell’impero romano e maggiormente nel mondo islamico, grazie a quest’ultimo poi, varcò il
mondo medioevale europeo contribuendo alla sua rinascita, che prese il nome di: Rinascimento.
Nel presente articolo (prima parte), mi limito a ricostruire, tramite i mattoni, tutte le fasi artigianali che
hanno portato gli artigiani Sumeri, mediante l’imbastitura dei mattoni a modulo quadrato, alla visibile e
palpabile scoperta di questa importante Regola, senza dover essere dei matematici per scoprirla e capirla.
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1. LA REGOLA SUMERA… ALL’INIZIO FU IL MATTONE.
E con l’argilla, gli uomini mesopotamici plasmarono i mattoni. Dai mattoni, spontaneamente, scaturì una
base a modulo quadrato che formò un Diagramma ricreativo: nacque così l’algebra geometrica, l’alba del
pensiero scientifico.
Ripercorriamo assieme, secondo la mia teoria, le verosimili fasi cruciali degli anonimi artigiani Sumeri che
scoprirono questa importante Regola e che crearono inconsapevolmente con i mattoni un piacevole gioco di
argilla, un’originale macchina algebrica destinata ad accompagnare l’uomo mesopotamico fuori dalla
preistoria e nella sua evoluzione sociale e rivoluzione culturale.
FASE: 1. Prendiamo quattro mattoni rettangolari, poi, tracciamo in ognuno una diagonale orientata
obliquamente nello stesso verso su tutti e quattro i mattoni.
Nel nostro caso, iniziamo dallo spigolo del mattone in alto a sinistra e tracciamo una linea obliqua che
congiungeremo con lo spigolo del mattone in basso a destra.
FASE: 2. Fatta questa semplice operazione, impostiamo ora i quattro mattoni pieni in una pratica forma che
scaturì, in Mesopotamia, quasi obbligatoriamente come sezione stabile o statica nell’arte del costruire e del
progettare mediante posatura a secco dei mattoni; oggi nota, nel lessico dell’architettura, come forma o
sezione detta a: “modulo quadrato”.
Per ottenere la sezione a modulo quadrato finale, bisognerà unire i quattro mattoni fra loro, che inizialmente
abbiamo disposto “a girandola” o “a girotondo”. Userò qui una terminologia degli scribi rinvenuta nelle
tavolette matematiche cuneiformi: “ Šiddu-pȗtum. Šiddam ù pȗtam uš-ta-ki-(e)l-ma”; tradotto:
“Bisognerà fare in modo che, il fianco e il fronte si tengano reciprocamente ”. In altre parole: “Bisognerà
che il fronte (o testa) di ogni mattone si unisca, a testata d’angolo, col fianco del mattone consecutivo”.
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FASE: 3. Ecco qui! Quasi per magia, si è formato sotto i nostri occhi: il Diagramma di argilla a modulo
quadrato! E, dentro la sezione di base si nota che: La diagonale di ogni mattone, si unisce all’altra
consecutiva formando un quadrato inscritto nel modulo quadrato! D’ora in avanti, per “sezione a modulo
quadrato” e per “ Diagramma di argilla “ s’intenderà la stessa cosa.
FASE: 3.
Mentre, al centro del modulo quadrato, vediamo che nello stesso tempo si è formata un’apertura quadrata, un
terzo quadrato, che il Diagramma di argilla c’invita a chiudere modellando un mattone quadrato. Un
mattone di lati pari, riutilizzo qui una terminologia degli scribi mesopotamici rinvenuta nelle tavolette
matematiche: “Šiddum e-li-pȗtim i-te-ru-ú” ; tradotto: un mattone di lati pari “ con quanto il fianco
supera il fronte”. Tradotto in parole attuali: “Un mattone quadrato con ogni lato che sia pari alla differenza
tra la lunghezza e la larghezza del mattone rettangolare”.
FASE: 4. Andremo così a inserire dentro l’apertura, il mattone quadrato, colorato in verde solo per avere una
distinzione cromatica con gli altri mattoni.
FASE: 4.
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FASE: 5. La base del Diagramma di argilla a modulo quadrato è così completata!
Come in un gioco, si possono visualizzare le prime relazioni alla base del Diagramma di argilla:
1) La base quadrata ha come lati l’unione della lunghezza (fianco) più la larghezza (fronte) dei
mattoni costituenti: Lato (imta ar) = Fianco(šiddum ) + Fronte (pûtum ) .
2) La base è composta (o suddivisa) nella superficie, di otto triangoli rettangoli aventi per cateti le
due dimensioni dei mattoni rettangolari, più, al centro, un quadrato (verde), avente per lati la
differenza tra le due dimensioni dei mattoni rettangolari: Superficie = otto mezzi mattoni + un
mattone quadrato.
3) La base ha un quadrato inscritto, formato dalle diagonali dei primi quattro mattoni costituenti,
la cui superficie è composta di quattro triangoli rettangoli aventi per cateti le due dimensioni
dei mattoni rettangolari costituenti, più, al suo interno, un quadrato (verde), avente per lati la
differenza delle due dimensioni dei predetti mattoni rettangolari: Superficie = quattro mezzi
mattoni + un mattone quadrato.
Il Diagramma di argilla ci suggerisce ora, proprio come per le caselle vuote di un gioco da tavolo, di
modellare cinque nuovi mattoni per ricoprire in sovrapposizione il quadrato inscritto: quattro mattoni a
forma triangolare rettangolare (o 4 mezzi mattoni) più un mattone quadrato identico al precedente (di colore
verde). Presento qui sotto, per ragioni di spazio, cinque ”mattoni” in scala ridotta rispetto alla base del
Diagramma di argilla; due dei quattro ” mezzi mattoni” sono in bicolore grigio/nero per ragioni pratiche che
vedremo nelle fasi seguenti e soprattutto nelle FASI: 7-A-B-C-D.
FASE: 6- A . Prendiamo ora cinque mattoni in scala reale al Diagramma di argilla e li sovrapponiamo al
quadrato inscritto, così come si può vedere alla pagina seguente:
6
FASE: 6- A .
Si sovrappongono prima i quattro mezzi mattoni avendo cura di farli coincidere con i triangoli rettangoli
sottostanti e raffigurati nel quadrato inscritto, in modo tale che, i due mezzi mattoni in bicolore grigio/nero,
si trovino adiacenti o aderenti con la relativa parte colorata in nero, come nella seguente fase…
FASE: 6- B . Questa fase sarà completata, inserendo infine il mattone quadrato dentro l’apertura.
FASE: 6- B .
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FASE: 6- C. Ecco qui! Abbiamo così costruito un nuovo quadrato di mattoni sopra di quello preesistente e
inscritto nel Diagramma di argilla, in altre parole, sopraelevato alla diagonale dei mattoni, tracciata in
ognuno e poi imbastita come linea obliqua quadrangolare consecutiva posta sotto la nuova tassellatura di
mattoni soprastanti. Ho messo in neretto-corsivo le seguenti parole: “Quadrato costruito, linea posta sotto”
per una curiosità linguistica ben precisa che esamineremo in seguito, nella sintesi del risultato finale, al
successivo § 2 di pag. 10-11.
FASE: 6- C.
Ora, dalla FASE: 6- C, in due semplici mosse, si visualizzerà magicamente la superficie equivalente del
quadrato costruito sopra la diagonale dei mattoni. Vedere FASI: 7- A- B – C- D.
Prima mossa: Partiamo con il mezzo mattone in bicolore grigio/nero A, che trasferiamo vicino all’altro in
zona A1 in modo tale che, i due mezzi mattoni (in bicolore grigio/nero) si ritrovino adiacenti o aderenti con
la relativa parte colorata in nero.
Seconda mossa: Infine, trasferiamo il mezzo mattone B, in zona B1.
Allo scopo, possiamo applicare due metodi equivalenti:
1) Metodo per rotazione. Si ruota di 270° il mezzo mattone in bicolore grigio/nero indicato con A, in
zona A1, assumendo come asse di rotazione lo spigolo C, FASE 7- A. Infine, si ruota di 270° il mezzo
mattone di colore grigio B, in zona B1, assumendo come asse di rotazione lo spigolo D, FASE: 7- C.
FASE 7-A/C.
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2) Metodo per traslazione. Prima, si trasferisce il mezzo mattone in bicolore grigio/nero indicato con A,
in zona A1, come nelle seguenti fasi…
FASE: 7-B
Infine, FASE: 7- C, si trasferisce il mezzo mattone di colore grigio B, in zona B1, come nelle seguenti
fasi…
FASE: 7- C
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Entrambi i metodi terminano in quest’ultima FASE: 7- D, vedere qui...
FASE: 7- D
Ecco il risultato finale dell’arcaica Regola Sumera, che doveva grossomodo recitare: In ogni mattone, il
quadrato costruito sulla sua diagonale (FASE 6-C), è sempre equivalente alla somma dei quadrati
costruiti sul fianco e sul fronte del mattone stesso (FASE 7-D). I Sumeri, per distinguere i due quadrati,
hanno prima colorato di nero (nella FASE 7-D) il quadrato sul fronte del mattone.
2. SINTESI SCHEMATICA DELLA REGOLA SUMERO-BABILONESE.
=
Attraverso il Diagramma di argilla è facile visualizzare che, in ogni mattone, il quadrato costruito sulla sua
diagonale “ d ” (linea obliqua posta sotto la tassellatura) è sempre equivalente alla somma dei quadrati
costruiti sul fianco “ X ” e sul fronte “ Y ” del mattone stesso. Questa regola fu ulteriormente sviluppata
dalla discendenza dei Sumeri. Ho pensato di complementare, coniandola come: Regola Sumero-Babilonese.
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Confrontiamo la Regola millenaria col Teorema di Pitagora che, com’è noto, recita: In ogni triangolo
rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è sempre equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui
cateti.
Questo confronto ci consente di osservare la metamorfosi della Regola millenaria avvenuta con Pitagora.
L’arduo compito che Pitagora si addossò al suo ritorno a Crotone, fu quello di svincolare i numerosi principi
algebrici visualizzabili con questa dinamica macchina mesopotamica tridimensionale di argilla e, trasferirli,
conservandone però gli stessi risultati algebrici - geometrici, nella più rigida grafica bidimensionale fatta con
riga e compasso per visualizzarli sul papiro, giacché quest’ultimo, non dobbiamo dimenticare, si stava
diffondendo rapidamente in tutta la Magna Grecia come strumento deputato alla nuova comunicazione.
Difatti, i pitagorici passarono dal mattone mesopotamico a una figura geometrica semplificata e idealizzata
attraverso il solo mezzo mattone; trasferito dentro la grafica bidimensionale, questa figura geometrica prese
il nome di: triangolo rettangolo.
Il termine “quadrato costruito” invece, rimase invariato e riecheggia anche nelle proposizioni degli
Elementi di Euclide, note come: “Costruzioni geometriche”, in quanto, l’origine millenaria dell’algebra
geometrica deriva verosimilmente da vere e proprie costruzioni fatte in mattoni di varie forme.
Anche il termine ” Ipotenusa ” deriva dal greco ȗποτείνουσα, hypoteínousa, " linea tesa sotto " che
richiama nella Regola Sumero-Babilonese la “diagonale iniziale” del mattone che alla fine si ritrova come
una “linea posta sotto” a un quadrato soprastante di cinque mattoni accorpati con due distinte foggiature.
Infine, anche il termine ”Cateto” dal greco káthetos, κάθετος, “linea perpendicolare, ciascuno dei
due lati adiacenti all'angolo retto”, si ricollega analogamente alle due facce del mattone poste tra loro a
testata d’angolo: ” il Fianco e il Fronte”.
3. UNA VERIFICA ARTIGIANALE IMMEDIATA DELLA REGOLA SUMERO-BABILONESE.
Queste due semplici verifiche artigianali apparentemente banali, avranno invece un grande sviluppo sia in
Mesopotamia sia nella cultura indiana, come vedremo negli articoli successivi che seguiranno.
Si prendono due mattoni e si affiancano alla costruzione finale (FASE 7- D), per fare la verifica di quanto
segue:
Il quadrato costruito regolarmente sulla diagonale del mattone (FASE: 6- C) è sempre equivalente
all’unione…(FASE 7- D)..
FASE- A
...del quadrato costruito sul fianco del mattone…( FASE- A, prima verifica )..
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..più il quadrato costruito sul fronte del mattone stesso…( FASE- B, seconda e ultima verifica ).
FASE-B
Abbiamo fatto combaciare prima (FASE- A) il fianco dei due mattoni sui lati del primo quadrato (colore
grigio) e poi (FASE- B) il fronte dei due mattoni sui lati del secondo quadrato (colore nero). Quanto sopra,
era più una verifica del “mostrare” che del “dimostrare”; rudimentale ma efficace. Abbiamo così verificato,
con una rapida tecnica artigianale, che la costruzione ottenuta per traslazione (o rotazione), nella fase finale
(FASE 7- D) risulta, per prima cosa, costituita dall’unione di due quadrati regolari ma anche, rispettivamente
costruiti sulle due facce del mattone.
4. LE ULTIME IMPRONTE RIMASTE DEL DIAGRAMMA DI ARGILLA.
Questo arcaico diagramma a modulo quadrato, si trova raffigurato e posato anche interamente in alcuni
pavimenti a mosaico di epoca imperiale romana tuttora esistenti: a Ostia (Roma), nel Santuario della Bona
Dea e nell’isolato IX, Regio IV, testacea spicata tiburtina; a Roma, mosaico dell’area del Doloceum,
sull’Aventino, Domus di Via di San Domenico e nell’Aedes Concordiae, pavimento in opus sectile di età
Augustea; a Pompei (Napoli) VII Regia insula 16 Domus; a Corfino (Aquila) Loc. Piano San Giacomo:
Edificio porticato, pavimentazione musiva in ambiente a); Arezzo, nell’area della Fortezza Medicea 1, a
Luni (La Spezia) nella Casa degli affreschi; a Brescia nel piano interrato dell’Istituto scolastico Veronica
Gambara 2; a Desenzano sul Garda (BS) – Villa-romana ; a Montegrotto Terme (PD) nella Villa di via
San Mauro 3; a Trento, in via Rosmini, nella Casa del mosaico di Orfeo 4. Questo motivo geometrico a
modulo quadrato (o a stuoia) è stato chiaramente catalogato assieme ai numerosi disegni geometrici a
mosaico rinvenuti dagli studiosi dell’antica civiltà romana.5
È ipotizzabile, così come per gli altri disegni geometrici rinvenuti, che questo motivo a modulo quadrato,
affondi le sue radici nelle più antiche culture millenarie e fu carpito dagli antichi romani alle conquistate
civiltà talassiche e potamiche contemporanee e precedenti all’epoca imperiale romana; per questa ragione, il
diagramma di argilla, ricompare in forma decorativa nei pavimenti di diverse Domus romane sparse un po’
ovunque sul territorio dell’antico impero.
Il diagramma di argilla, quasi a voler testimoniare la sua arcaica importanza storico-scientifica per l’uomo,
giace impresso e nella sua forma matematica più vera (Gruppo di simmetrie 442), nei pavimenti e negli
infissi principeschi dell’Alhambra di Granada in Andalusia6, un gioiello di arte islamica conosciuta anche col
nome di: Medina della simmetria.
1 http://www.arezzoora.it/blog/2014/02/26/la-fortezza-svela-un-altro-tesoro-una-domus-romana/
2
http://www.arifs.it/caserom.htm
http://www.aquaepatavinae.it/portale/?page_id=1690
4
Atti del III /XVI Colloquio, Associazione Italiana per lo Studio e la Conservazione del Mosaico-1995/2010 - pagg.
533- 534- 676 / Tavola tipologica dei pavimenti Fig.1,3 di pag. 271; Fig. 6 pag. 493, Fig. 8 e 9 pag. 494.
5
Le Décor Géometrique de la Mosaïque Romaine – Picard – Paris - 1985- répertoire graphique et descriptif des
compositions linéaires et isotropes – A.A. V.V. pag. 95 e pag. 141.
6
Gli Europei medievali ricercarono in Spagna quel sapere orientale che fu poi importante per il Rinascimento.
3
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5. IL DIAGRAMMA DI ARGILLA FU IMPORTANTE PER L’EVOLUZIONE DELL’UOMO?
Probabilmente sì, e questo spiegherebbe per esempio, perché l'uomo venuto dal ghiaccio o del Similaun o
del tardo neolitico alpino detto Ötzi, viveva ancora in uno stato primitivo rispetto ai suoi contemporanei
delle grandi civiltà potamiche: Sumeri, Egizi, Cinesi, Indiani.
Ötzi visse nel periodo di transizione: tra il tardo neolitico e l'inizio del calcolitico (o eneolitico) alpino.
La tipologia abitativa di Ötzi era ancora quella tipica del tardo neolitico, mentre per esempio, il suo
contemporaneo mesopotamico della seconda metà del IV millennio a.C. si trovava già nel periodo tra il tardo
calcolitico e l'inizio dell'antica età del bronzo, con un’esperienza nell'arte del costruire mediante mattoni
standardizzati consolidata già da millenni, dentro un’innovativa rivoluzione organizzativa stanziale ben
impostata, con la scrittura e il calcolo già sbocciati al culmine di quel periodo cronologico del Vicino
Oriente, noto come:" La rivoluzione urbana ". 7
Ötzi quindi, si trovava a transitare tra la fine della preistoria e l'inizio della protostoria, mentre, per quanto
citato, il suo contemporaneo mesopotamico entrava già, di fatto (e di diritto) grazie all’invenzione del
mattone e alla successiva scoperta del diagramma di argilla, nella storia. 8
Pertanto, lo stato primitivo di Ötzi era dovuto alla limitazione di non aver acquisito, esattamente come i suoi
antenati, un salto mentale evolutivo di qualità nell’arte del costruire, privandosi così, contrariamente al suo
contemporaneo mesopotamico, dell’idea geniale del mattone standardizzato.
Purtroppo, a causa del tipico habitat delle Alpi, delle condizionanti materie prime predominanti e del rigido
clima alpino, per Ötzi e i suoi antenati, sarebbe stato difficile pensare a una diversa tipologia abitativa
stanziale tecnicamente più pratica ed evoluta, poiché sarebbe avvenuta solo mediante un impiego abbondante
di argilla per una produzione in serie, con essiccazione all’aria aperta, di laterizi modulari geometrici e
standardizzati a stampo: prismi- parallelepipedi.
Una tecnica rivoluzionaria nell’arte del costruire fatta con una sfilza di mattoni unitari prefabbricati,
facilmente manipolabili e che si mostrarono soprattutto pratici da imbastire o impilare tra loro con calcine o
bitume. Una tecnica che, se fosse stata ampiamente impiegata già dagli antenati di Ötzi, avrebbe nel
quotidiano, condotto anche l’uomo del neolitico alpino all’inevitabile scoperta del versatile Diagramma di
argilla a modulo quadrato. Un diagramma artigianale col quale poi, per svago,9 il primitivo uomo del
ghiaccio avrebbe mentalmente instaurato (così come avvenne per il primitivo uomo mesopotamico) un
rapporto simbiotico - contemplativo di tipo algebrico - geometrico che l’avrebbe indotto alla conquista
dell’incognito e, fatalmente stimolato di conseguenza, verso uno sviluppo evolutivo sociale e culturale. 10
7
Mario Liverani ,Antico Oriente, Storia società economia, Editori Laterza, in particolar modo la parte seconda: l'antica
età del bronzo, capitoli IV, V, VI, VII, VIII, IX. Dalla rivoluzione urbana (cap.IV) alla età neo-sumerica (cap. IX)
8
La tavoletta algebrica più antica, finora rinvenuta, risale a 4500 anni fa, ma io ritengo che il diagramma di argilla fosse
utilizzato nella bassa Mesopotamia già alcuni secoli prima, nel periodo cronologico della “rivoluzione urbana” noto
come “tardo-Uruk”, circa 5200 anni fa, quindi all'epoca di Ötzi, e corrisponde alla prima urbanizzazione, avvenuta al
culmine della rivoluzione urbana attraverso il sito-guida della città di Uruk e con la scrittura e il calcolo, già sbocciati.
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Nella matematica cinese anche i quadrati magici e le bacchette numeriche evocavano uno spirito familiare con i giochi
da tavolo e così anche la matematica Vedica indiana dei mattoni con quella mesopotamica dove, il loro artigianale
“teorema di Pitagora” era presentato con una forma algoritmica riconducibile al comune diagramma di argilla, a
dimostrazione del fatto che, questa ricreativa macchina algebrica era presente presso tutte le civiltà potamiche.
10
Il diagramma di argilla, a mio parere, avrebbe cooperato allo sviluppo evolutivo degli strumenti linguistici con quelli
concomitanti del calcolo e della scrittura. Secondo alcuni autori, la nascita del carattere algebrico della matematica
antica (indiana ad esempio) sarebbe stata agevolata dai progressi linguistici: Gheverghese Joseph G. (2012). C’era una
volta un numero. Milano: il Saggiatore. Cap. 8, pag. 218.
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6. L’IMPORTANZA DEL MATTONE E DEL DIAGRAMMA DI ARGILLA NELLA STORIA.
I‹‹mattoni››, sin dall’alba dei tempi (A.T. Libro della Genesi 11), dopo che furono inventati dall’uomo
mesopotamico e in seguito standardizzati in gran quantità, diedero impulso e forma al primordiale
pensiero algebrico - geometrico prescientifico e a tutto lo sviluppo che ne seguì.
Fig.1- Babilonesi intenti con progetti e problemi algebrici - geometrici, mediante mattoni.
In Fig.1, le prime tre imbastiture del Diagramma di argilla, visibili a sinistra (A – B – C) e con quella in (B)
utilizzata come base per tutte le altre (A-C-D), servivano rispettivamente a risolvere i problemi di 1° e di 2°
grado e, indifferentemente sia quelli diretti ( x ± a = b. x2 ± a x = c) che quelli con sistema:
Le tassellature a destra (D = E) invece, servivano per la dimostrazione iniziale del loro “teorema di Pitagora”
dell’alta antichità: Il quadrato costruito sulla diagonale del mattone (D) è uguale all’unione del quadrato
costruito sul fianco più quello costruito sul fronte del mattone stesso (E).
Senza la comparsa del mattone, senza la scoperta del diagramma di argilla, senza l’avvento di quell’arcaico
pensiero algebrico nato in simbiosi contemplativa con i mattoni grazie agli artigiani-costruttori11
mesopotamici che lo scoprirono come un gioco logico-enigmistico e, senza aver assimilato prima, una certa
maturità con una vera consapevolezza dell’uomo di poter sfidare e conquistare facilmente l’incognito
mediante una costante preparazione mentale algebrico - geometrica, sarebbe stata impossibile, se non
addirittura impensabile, la realizzazione delle più grandi sfide e conquiste future dell’umanità.
Poiché gli archeologici finora si sono interessati principalmente ai siti con palazzi mesopotamici di primaria
importanza, sede soprattutto dei Re, mentre le fornaci per la cottura degli innumerevoli mattoni, poste in siti
fuori dalle mura delle Città mesopotamiche non sono mai state interessate agli scavi archeologici, credo che,
per quanto ho fatto vedere, la matematica dei mattoni o il Diagramma di argilla potrebbero trovare nelle
fornaci un probabile riscontro, qualora un giorno, l’archeologia decidesse di cominciare a occuparsi anche di
questi siti ritenuti di secondaria importanza.
11
Anche la matematica indiana dei mattoni, nella cultura Harappa (3000 a.C.), come quella degli altari Vedici, era
affidata ad artigiani.
14
TAVOLE
L’ALHAMBRA DI GRANADA (secolo XIII - XIV)
Fig. 2- Patio de los Arrayanes con vista verso l’accesso al Salone del Trono.
http://it.wikipedia.org/wiki/Alhambra
Fig. 3- Patio de los Arrayanes: otto finestre con grate lignee a modulo quadrato.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/48/Patio_de_los_Arrayanes_detail_Alhambra_Grana
da_Spain.jpg
15
Fig. 4- Pavimento presente nel Salone del Trono dell’Alhambra noto come: Gruppo Simmetrie 442.
Il diagramma a modulo quadrato è chiaramente visibile nell’intreccio del pavimento.
-Du Sautoy M. (2007). Il Disordine Perfetto, pag.107. Milano: Rizzoli .
Fig. 5 – Intagli lignei a modulo quadrato nei due grandi portoni.
http://en.infoglobe.cz/res/data/637/072471_56_773719.jpg?seek=137423251
16
Fig. 6 - Porta del Vino dell’Alhambra: particolare delle grate a modulo quadrato.
http://www.europaenfotos.com/granada/pho_gra_83.html
Fig. 7 - Grandi bifore nel Salone del Trono: grate lignee a modulo quadrato.
http://www.thule-italia.net/Marco71/AlHambra/134_3497.JPG
Tavoletta Babilonese BM 15285
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Fig. 8 - Tavoletta Babilonese BM 15285: impronte residue di disegni geometrici. Contorni marcati con linee
bianche per evidenziare un probabile diagramma a modulo quadrato che si scorge a fatica sul retro della
tavoletta; risalente al 1800 a. C. circa. Il testo cuneiforme sottostante al disegno è andato purtroppo distrutto.
Il disegno geometrico ipoteticamente ricostruito sarebbe pressoché identico al Diagramma di argilla. Questo
tipo di Diagramma, secondo la mia teoria, serviva a risolvere i problemi con sistema di 2° grado nella forma
standard: x . y = c; x ± y = b.
Tavoletta Babilonese BM 15285
Fig. 9 - Tavoletta Babilonese BM 15285: impronte residue di disegni geometrici. Contorni marcati con linee
bianche per evidenziare un probabile diagramma a modulo quadrato che si scorge a fatica sul retro della
tavoletta; risalente al 1800 a. C. circa. Il testo cuneiforme sottostante, fortunatamente sopravvissuto, ha
permesso la fedele ricostruzione geometrica del disegno, il quale, descrive un quadrato unitario suddiviso in
sedici quadratini. È facile osservare come il disegno sia pressoché identico al Diagramma di argilla. Questo
Diagramma in mattoni così imbastito, secondo la mia teoria, serviva a risolvere problemi di 2°grado diretti
del tipo: x2 ± ax = c, presenti sulla tavoletta BM 13901.
Lastra votiva
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Fig. 10 - Lastra votiva, in calcare (cm 39 x 47), proveniente da irsu (nel distretto di Lagash), risalente al
XXV secolo a.C. e conservato nel Museo del Louvre (Parigi). Nella parte superiore della lastra, a sinistra, si
vede il re Ur-Nanshe che porta una grande cesta sul capo, contenente dei mattoni pieni, ed è indicato nella
rappresentazione tradizionale come "costruttore di templi". Nella parte inferiore la figura principale seduta è
sempre Ur-Nanshe, rappresentato a destra mentre banchetta per festeggiare l'avvenuta costruzione del
tempio. Questa lastra votiva è rappresentativa di come i mattoni erano venerati anche dagli stessi re sumeri.
Notare inoltre, come la disposizione dei quattro bassorilievi che compongono la Lastra votiva sia stata
impostata a “girandola” o a “girotondo” attorno al quadratino centrale forato, un accorpamento già visto
all’inizio dell’articolo per il Diagramma di argilla.
Arte sumera: http://it.wikipedia.org/wiki/Arte_sumera
Gioco Reale di Ur
Fig.11 - Il Gioco reale di Ur,si riferisce ad alcune tavole da gioco trovate nel cimitero reale dell’antica cittàstato di Ur (capitale dei Sumeri, la biblica Urim) da Charles Leonard Woolley durante una campagna
archeologica tra il 1922 e il 1934 e datate in un periodo compreso tra il 2600 e 2400 a.C. Due di questi
tavolieri sono integri e completi di pedine e dadi da gioco, e conservati al British Museum ( Londra). È
considerato tra i più antichi reperti completi di un gioco da tavolo che sia mai stato scoperto. La tavola più
semplice è in ardesia decorata con motivi geometrici in madreperla mentre altre sono decorate anche con
inserti in lapislazzuli e corniola. Una tavola da gioco simile, realizzata in legno, è stata scoperta nell'Iran
meridionale negli scavi di Shahr-i Sokhta , un insediamento dell’età del bronzo (circa 3200 a.C.).
Insieme all’antico gioco egizio Senet risalente tra il periodo predinastico e la prima dinastia dell’Antico
Egitto (3500-3100 a.C.) è considerato da alcuni uno dei predecessori del moderno backgammon.
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Fig. 12 a
Fig. 12 b
Fig. 12 - Sulla tavola è presente questa coppia di caselle a disegno geometrico con dei valori tre (Fig.12 a) e
cinque (Fig.12b). Le ho estratte fuori poiché danno l’idea di una suddivisione in quattro parti uguali, molto
simile a quella da me ipotizzata per il Diagramma di argilla 12
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Fonti tratte da Wikipedia: http://it.wikipedia.org/wiki/Gioco_reale_di_Ur
E da: http://www.pergioco.net/Giochi/GiochiDiTavoliere/Ur/Ur.htm
Ringraziamenti.
Ringrazio Luigi Gaudio, titolare del Portale di ATUTTASCUOLA, per il suo impegno e la pazienza
rivolti nel correggere tutti i miei refusi presenti nell’articolo e inoltre, per la sua fedele correttezza
dimostrata nella pubblica divulgazione delle mie fatiche scientifiche.
L’autore, Aldo Bonet, ha deciso di distribuire i contenuti con licenza Creative Commons “Creative Commons,
Attribuzione – Non commerciale 2.5 Italia License” ossia, mettere gratuitamente l’articolo a disposizione a
patto che gli sia attribuita la paternità e si accetti di non alterarlo sia nei contenuti sia nelle immagini né di
trasformarlo o estrapolarlo anche solo parzialmente per crearne altri, come pure di non utilizzarlo per fini
commerciali perché l’autore crede fermamente nella nobile condivisione dei contenuti. Ogni riproduzione
(totale o parziale) o citazione futura del presente articolo e di tutte le ricerche personali dell’autore, predilige
il cautelativo benestare dall’autore stesso. Il presente articolo è pubblicato da Luigi Gaudio sul Portale
ATUTTASCUOLA – Dicembre – 2014 su richiesta dell’autore.
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BIBLIOGRAFIA:
-AA. VV. (1985). Le Décor Géometrique de la Mosaïque Romaine, répertoire graphique et descriptif des compositions
linéaires et isotropes. Parigi: Picard.
-Atti del III / XVI Colloquio, 1995/2010 - Associazione Italiana per lo Studio e la Conservazione del Mosaico.
-Bartocci C.e Odifreddi P. (2007). La Matematica i Luoghi e i tempi. Torino: Einaudi.
-Boyer C. B. (2008). Storia della Matematica. Milano: Mondadori.
-Bonet A. (1989). Le possibili origini geometriche del principio della semisomma e semidifferenza delle incognite in
uso presso i Babilonesi e sue applicazioni. L’educazione matematica, Anno X –Serie II – Vol.4 – n°3 – Dic., pag. 197218.
-Bonet A. (2008). Il diagramma di argilla, geometrico risolvente a modulo quadrato, che governava l’intera arte
algebrica degli antichi scribi. Un paradigma che ha aperto le porte alla Cultura Matematica delle civiltà arcaiche.
Periodico di Matematiche, n. 3, Set-Dic, Vol. 1, Serie X, Anno CXVIII, pag. 33-78
-Bonet A. (2009). La Scienza di Talete. Canada: Lulù.com di Robert Young. Scaricabile gratuitamente da:
www.storiadellamatematica.it
-Bonet A. (2009/10/11/12/13). Genesi del Teorema di Pitagora – Piccolo approfondimento su Bhaskara I – Lettera dello
Scriba, ecc. su : http://www.atuttascuola.it/collaborazione/bonet/index.htm
-Bortolotti E. (1935). La scienza algebrica degli Egizi e dei Babilonesi. Bologna: Azzaguidi.
-Bortolotti E. (1936) Interpretazione storica dei testi matematici babilonesi. Periodico di Matematiche, n°2. pag.65-81
-Bortolotti E. (1936). I problemi di secondo grado nella matematica babilonese. Periodico di Matematiche,
n°3.pag.129-143; 225-241.
-Bortolotti E. (1937). Concetti, immagini, cognizioni, metodi nella matematica babilonese. Milano . Tip. Turati
Lombardi e C.
-Bortolotti E. (1938). Prodomi di metodo matematico nei problemi babilonesi. Milano: Tip. Turati Lombardi e C
-Bronowski J. (1973). The Ascent of Man. Boston: Little Brown. Jacob Bronowski – Teorema di Pitagora:
http://sciencestage.com/v/201/jacob-bronowski-pythagor-theorem.htm
-Bruins E. M. e Rutten M. ( 1961). Textes Mathématiques de Suse, Parigi : Librairie Orientaliste Paul
Geuthner.
-Bürk A. (1902). Das Āpastamba-Śulba-Sūtra. Zeitschrift der Deutschen morgeländischen Gesellschaft. Vol.LVI
-Campbel J. e Pryce W. (2003). Il mattone e la sua storia, 8000 anni di architettura. Bergamo: Bolis Edizioni.
-Du Sautoy M. (2007). Il Disordine Perfetto. Milano: Rizzoli .
-Ferguson K. (2009). La musica di Pitagora. Milano: Longanesi.
-Frajese A e Maccioni L. (1970). Gli Elementi di Euclide. Torino: U.T.E.T.
-Friberg J. (2002). Storia della Scienza. Enciclopedia Treccani, Vol I. pag. 338-408.
-Friberg J. (2005). Unexpected links between Egyptian and Babylonian Mathematics. Londra: World Scientific.
-Friberg J. (2007). Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics. Londra: World Scientific
21
-Friberg J. (2007). A Remarkable Collection of Babylonian Mathematical Texts. Berlino: Springer.
-Gheverghese Joseph G. (2012). C’era una volta un numero. Milano: il Saggiatore.
-Giacardi L. e Roero S.C. (1978). La matematica delle civiltà arcaiche. Torino: Stampatori didattica.
-Høyrup J. (1995). Linee larghe. Un’ambiguità geometrica dimenticata. B.S.M. UMI, XV, Fasc 1.
-Høyrup J. (1997). Mathesis, Filosofia e Historia Facultad de Cencias, Vol XIII N.3, Universidad Nacional Autonoma
de México., Agosto.
-Høyrup J. (2002). Lengths, Widths, Surfaces. Berlino: Spinger.
-Houdin J.P. (2007). Cheope, i segreti della costruzione della grande piramide. Torino: Ananke.
-Ifrah G. (1984). Storia universale dei numeri. Milano: Mondadori
-Klemm F. (1966). Storia della tecnica. Milano:Feltrinelli.
-Liverani M. (2009). Antico Oriente, Storia società economia. Bari: Laterza.
-Lurje S.J. (1948). Archimedes. Wien: Neues Osterreich.
-Maracchia S. (2005/2008). Storia dell’Algebra. Napoli: Liguori.
-Marcacci F. (2008). Alle origini dell’assiomatica: Gli Eleati, Aristotele, Euclide, Roma: Aracne.
-Neugebauer O. ( 1935). Mathematische Keilschrift Texte. Berlino: Springer
-Neugebauer O. e Sachs A. (1945). Mathematical Cuneiform Texts, New Haven: American Oriental
Society.
-Neugebauer O. (1974). Le Scienze Esatte nell’Antichità. Milano: Feltrinelli.
-Parrot A. (1935). Archéologie mésopotamienne. I, II. Parigi: Albin Michel
-Parrot A. (1961). I Sumeri. Milano: Feltrinelli
-Pascual Carlos. (1988). Granada e l’Alhambra. Firenze: Bonechi.
-Piedad Y. (2005). Estudio Geometrico de AO 17264 (Studio Geometrico Tav. AO 17264) . Theoria, 20.
-Priuli G. (2004). Ötzi. L'uomo venuto dal ghiaccio.Torino: Ananke.
-Russo L. (1996). La rivoluzione dimenticata. Milano: Feltrinelli.
-Schopenhauer A. (1920). Il mondo come volontà e rappresentazione. (trad. italiana di Paolo Savj-Lopez.), Vol I. Bari:
Laterza
-Singer C. (1961). Breve storia del pensiero scientifico. Torino: Einaudi
-Smit D.E. (1958). “ History of Mathematics” Vol 1 New York: Dover Publications
-Thureau- Dangin F. (1932-’36-‘37). Revue d’Assyriologie et d’Archéologie Orientale, pubblicato da V. Scheil e F.
Thureau-Dangin.Volume n° 29-33-34, Parigi: Librairie Ernest Leroux
-Thureau-Dangin F. (1938). Textes Mathématiques Babyloniens. Laiden (Olanda): E.J. Brill
-Van Der Waerden L.B. (1954) Science Awakening. Groningen ( Olanda): P. Noordhoff.
-Van Der Waerden L.B. (1983). Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. Berlino: Springer.
-Zellini P. (1999). Gnomon, una indagine sul numero. Milano: Adelphi.
22