Cinematica ed equilibrio del corpo rigido

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Comportamento meccanico dei materiali
Cinematica piana
Cinematica piana
Equilibrio esterno
Caratteristiche di sollecitazione
2
© 2006 Politecnico di Torino
1
Cinematica piana
Cinematica piana
Rotazione rigida “finita”
Rotazione rigida infinitesima
Vincoli
Cinematica delle strutture piane
4
2
Cinematica piana
Cinematica piana
Rotazione finita nel piano (1/8)
π’
π
B
A’
B’
A
La figura piana π si muove in π’. Il moto è rigido:
cioè nessun segmento cambia la sua lunghezza.
6
3
Cinematica piana
π’
π
B
A’
B’
A
Il segmento AB si sposta in A’B’.
Il segmento AA’ è lo spostamento di A, BB’ lo
spostamento di B.
7
b a
C
π’
π
A’
B’
HA
B
HB
A
Per HA e HB, punti medi dei segmenti AA’ e BB’ ,
conduco le perpendicolari, cioè traccio i due “assi” a
e b. Gli assi s’intersecano in C.
8
4
Cinematica piana
b a
C
π’
π
A’
B’
HA
HB
A
Per definizione
di “asse” si ha
l’uguaglianza
delle
B
lunghezze:
CA=CA’
CB=CB’ e
infine era:
AB=A’B’.
Quindi, avendo tre lati uguali, sono uguali
i triangoli: CAB = CA 'B ' .
9
Siccome C è in comune, il moto del segmento AB
(spostamento rigido finito) può essere pensato
come una rotazione attorno a un punto fisso C,
che assume il significato di centro “medio” della
rotazione.
Questo non significa che C sia centro “medio” di
rotazione di altri segmenti, o di tutti …
occorre quindi indagare ulteriormente.
10
5
Cinematica piana
a
C
π’
A’
π
B
D
ϕ
ϕ
HA
D’
B’
A
Se ora prendiamo un segmento AD per A’ e
formante con AB un angolo ϕ …
11
a
C
π’
A’
π
ϕ
ϕ
D’
B’
HA
B
Angoli:
CÂB=CÂ’B’
BÂD=B’Â’D’
CÂD=CÂ’D’
D
A
… ma siccome era anche: CA=CA’ ; AD= A’D’
sono uguali i triangoli: CAD=CA’D’ perché hanno
uguali due lati e l’angolo compreso...
12
6
Cinematica piana
d a
C
…ma allora: CD=CD’
π’
π
D
A’
HA
HD
A
D’
Quindi il punto C è sull’asse di DD’. Ma C era anche
sull’asse di AA’ , perciò è centro di rotazione del
segmento AD’.
Procedendo così si può prendere qualsiasi segmento.
13
Rotazione finita nel piano: conclusione 1
Si conclude: tutti i segmenti del corpo rigido
ruotano attorno al medesimo centro di rotazione
(rigida, finita) C.
In altri termini: lo spostamento roto-traslatorio
“finito” di un corpo rigido (nel piano) è sempre
definibile come una rotazione rigida attorno a un
punto C.
14
7
Cinematica piana
Rotazione finita nel piano: conclusione 2
d a
C
π’
A’
π
HA
D’
HD
A
La conseguenza
di ACD=A’CD’,
cioè il fatto che
siano uguali gli
D angoli sotto cui
da C si vedono i
segmenti
AD e A’D’ …
è: A’ĈD=AĈD+A’ĈA=A’ĈD’+D’ĈD ⇒ A’ĈA=D’ĈD
cioè sono uguali gli angoli sotto cui da C si vedono
gli spostamenti AA’ e BB’.
15
Cinematica piana
8
Cinematica piana
Atto di moto (1/5)
Se si fa tendere A’B’ ad AB , ovvero se si
prendono spostamenti infinitesimi:
C
AA’=dA ; BB’=dB
dB
si definisce l’atto di moto
nell’intorno della posizione
iniziale A-B.
B’
B
dA
A’
HA A
17
Atto di moto (2/5)
Come dimostrato in
precedenza per le
rotazioni finite,
l’angolo δϑ è lo
stesso per gli
spostamenti di tutti i
punti, quindi per A e
B, o, in generale,
per qualsiasi punto
P, che subisce uno
spostamento PP’.
dϑ
dϑ
dB
B’
B
dA
A’
C
HA A
18
9
Cinematica piana
Atto di moto (3/5)
Inoltre il valore degli
spostamenti si calcola:
dϑ
C
⎛ dϑ ⎞
dA = 2 CA ⋅ sin ⎜
⎟=
⎝ 2 ⎠
dϑ
≅ 2 ⋅ CA ⋅
= CA ⋅ dϑ
2
dB
e quindi per un
qualsiasi punto P:
dP = CP ⋅ dϑ
B’
B
dA
A’
HA A
19
Atto di moto (4/5)
E inoltre per: dA, dB → 0
ovvero per: dϑ → 0
dϑ
C
ˆ ' , CBB
ˆ ' → 90°
CAA
e C raggiunge la sua
posizione per l’atto di moto
nell’istante considerato.
dB
B
dA
A
20
10
Cinematica piana
Atto di moto (5/5)
P=A, B, … altro
Al limite: non è possibile
rappresentare lo spostamento, ma
si può rappresentare la velocità
C
dP CP ⋅ dϑ
=
dt
dt
in una scala diversa da quella
utilizzata per i segmenti.
La velocità visualizza
lo spostamento
infinitesimo dP = CP dϑ
B
A
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Calcolo della cinematica (1/11)
La rotazione infinitesima dell’angolo d ϑ attorno
a C sposta un punto P di un segmento dP :
dP = i ⋅ d
ϑ ⋅ CP
123
i = operatore che ruota CP , inteso
come segmento orientato da C a P,
di 90° nello stesso senso in cui è
positiva la rotazione dϑ .
C
dϑ
P
dP
22
11
Cinematica piana
Perciò:
ogni atto di moto infinitesimo di un corpo può
essere pensato come una rotazione infinitesima
di valore angolare dϑ attorno a un centro di
rotazione istantanea C.
Questo centro di rotazione istantanea, in generale,
cambia nel tempo, tranne nei casi in cui esso sia
un punto fisso (ad esempio, quando il corpo è
vincolato tramite una cerniera o un perno).
23
Se il punto C è all’infinito, come capita quando gli
spostamenti agli estremi di un segmento qualsiasi
del corpo sono uguali in valore, direzione e verso,
il moto è una traslazione rigida:
A
B
HA
HB
A’
(∞ )
B’
C
(∞ )
24
12
Cinematica piana
E’ importante sapere che il centro di istantanea
rotazione C esiste sempre, e quindi che ogni atto
di moto è una rotazione rigida infinitesima attorno
a un centro di rotazione.
Può essere però conveniente esprimere il moto
senza fare esplicito il riferimento al punto C, che
potrebbe non essere stato determinato; si può,
ad esempio, esprimere il moto di B a partire dal
moto del punto A; vediamo come.
25
Dall’esistenza di C:
dB = i · dϑ· CB
dB = i · dϑ· (CA + AB) = i · dϑ· CA + i · dϑ· AB
Quindi:
dA
dB = dA + i · dϑ· AB
Cioè, il moto di B può essere pensato come la
somma dello spostamento di A più il moto
rotatorio di B relativamente ad A…
26
13
Cinematica piana
… ossia come una traslazione rigida di valore dA
più una rotazione attorno ad A.
A
dA
dB = dA + i · d ϑ· AB
A’
B
dϑ
dA
i · dϑ · AB
con la
medesima
rotazione,
unica per
tutto il corpo
B’
27
I moti dA e dB non possono essere dati in modo
indipendente. Moltiplicando scalarmente secondo
la direzione Z dell’asse AB :
Z=
AB
AB
Poiché i · dϑ · AB è ortogonale ad AB :
dB · Z = dA · Z + (i · dϑ· AB) · Z ⇒ dA · Z
=0
28
14
Cinematica piana
Quindi dB e dA devono avere la medesima
proiezione secondo AB .
Questa è una
A
conseguenza del
fatto che A’B’
dB
dA
deve avere la
A’
stessa lunghezza
di AB .
B
dϑ
dA
B’
Z
29
Dato un dA , sono compatibili solo i dB che
soddisfano a questa condizione, che espressa
graficamente:
A
=
dA
=
B
dB compatibili
30
15
Cinematica piana
Tutto quanto dimostrato esattamente per
rotazioni rigide infinitesime verrà considerato
valido, nell’ambito di una approssimazione, per
rotazioni rigide finite ma molto piccole, cioè tali
da produrre spostamenti molto piccoli rispetto ai
segmenti che vengono ruotati.
31
Indicativamente, possiamo assumere che siano
numericamente “piccole” le rotazioni da 0° a 8°.
C
A
ϑ
B
AB = CB cos ϑ
ϑ2
Sviluppando in serie, cos ϑ ≅ 1 −
2
e se: ϑ < 8°
cos ϑ = 0,99 K
la lunghezza CB differisce da AB di meno dell’1%
32
16
Cinematica piana
Cinematica piana
Tipi di vincoli (1/4)
Noi studiamo i soli vincoli puntuali: sono
impedimenti a spostamenti o rotazioni in un dato
punto.
Si possono realizzare in modi diversi, ma vengono
classificati per “tipi” a seconda di quali sono i gradi
di libertà cinematici (ossia le componenti di
spostamento o rotazione) che essi vincolano
34
17
Cinematica piana
Descrizione
Simbolo
Appoggio in A:
B
A
Impedisce solo la traslazione
nella direzione v → v(A) = 0
v
Cerniera in A:
Impedisce gli spostamenti
secondo le due direzioni v , h ;
B
A
v
h
→ v(A) = 0 ; h(A) = 0
Impedisce cioè ogni traslazione
nel piano.
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Simbolo
Descrizione
v
A
α
h
B
A
oppure
A
B
Incastro in A:
B
}
Impedisce spostamenti e
rotazione:
v(A) = 0 ; h(A) = 0 ; α (A) = 0
Pattino in A:
Impedisce lo spostamento
secondo h e la rotazione α ;
h(A) = 0 ; α (A) = 0
(rappresentazione equivalente
come “bipendolo”)
36
18
Cinematica piana
Questi erano i vincoli esterni, cioè capaci di annullare
gradi di libertà rispetto ad un riferimento fisso,
esterno alla struttura.
Ci possono essere anche vincoli interni, tra diversi
elementi della struttura.
A
C
B
D
cerniera (interna)
appoggio (esterno)
cerniera (esterna)
37
Vincoli e strutture (1/2)
A seconda di quanti e quali sono i vincoli, si
ottengono strutture rigide di caratteristiche diverse.
corpo 2
corpo 1
corpo 3
38
19
Cinematica piana
Vincoli e strutture (2/2)
Premettiamo che i segmenti che rappresentiamo
non sono necessariamente simboli per barre o travi,
ma vanno intesi più in generale come segmenti che
uniscono punti di vincolo (interni o esterni) di corpi
aventi forma qualsiasi.
corpo 2
corpo 1
corpo 3
39
Cinematica piana
20
Cinematica piana
Determinazione cinematica
Se i vincoli sono tali che tutti i movimenti sono
determinati una volta che sia stato assegnato il
valore di uno di essi, allora si ha una struttura
cinematicamente determinata o meccanismo.
corpo 2
corpo 3
corpo 1
41
Esempio A (1/7)
Un esempio semplice:
(NOTA: si assegnano spostamenti infinitesimi e
rotazioni infinitesime)
A
C
B
D
dv
dv A
dh
dϑ
Assegniamo ora lo spostamento, verticale in A: dv A
42
21
Cinematica piana
Esempio A (2/7)
dB = dA + i ⋅ dϑAC ⋅ AB = dv A + i ⋅ dϑAC ⋅ AB
⇒ dv A + dϑAC ⋅ AB
A
in proiezione
verticale
C
B
D
dv
dv A
dh
dϑ
dC = dv A + i ⋅ dϑAC ⋅ AC ⇒ dv A + dϑAC ⋅ AC
in proiezione
verticale
43
Esempio A (3/7)
dD = dC + i ⋅ dϑCD ⋅ CD ⇒ dv C + dϑCD ⋅ CD
A
B
dϑAC
in proiezione
verticale
C
D
dv
dv A
dh
dϑ
Condizioni di vincolo: dB = 0 ⇒ dϑAC = − dv A
AB
44
22
Cinematica piana
Esempio A (4/7)
Segue, in proiezione verticale:
⇒ dv C = dv A −
⎛
⎛ BC ⎞
dv A
AC ⎞
⎟⎟
⎟⎟ = dv A ⎜⎜ −
⋅ AC = dv A ⎜⎜1 −
AB
AB ⎠
⎝
⎝ AB ⎠
v
P
B
A
C
D
dv A
dϑAC
⇒ dv P = dv A −
dv C
⎛
⎛ BP ⎞
dv A
AP ⎞
⎟⎟ = dv A ⎜⎜ −
⎟⎟
⋅ AP = dv A ⎜⎜1 −
AB
AB ⎠
⎝
⎝ AB ⎠
45
Esempio A (5/7)
C
B
A
D
dv A
dϑAC
dv C
Tratto AC: lo
spostamento
di A è dato,
quello di B è
nullo, perciò:
ZAP
dv A
P
A
B
⎛ Z − Z AB ⎞
⎟⎟
dvP = dv A ⎜⎜ − AP
Z AB
⎝
⎠
C
dv C
46
23
Cinematica piana
Esempio A (6/7)
C
B
A
D
dv A
dv C
Tratto CD: lo
spostamento
di C è noto,
perciò:
dv
dh
dϑ
dv D = dv C + dϑCD ⋅ CD = 0
→ dϑCD
dϑCD
dv
=− C
CD
C
P
dv C
D
dD = 0
47
Esempio A (7/7)
C
B
A
D
dv A
dϑAC
dv C
Il diagramma degli spostamenti, solo verticali:
dv A
B
A
C
dv C
D
dD = 0
48
24
Cinematica piana
Esempio B (1/3)
A
dv A
B
C
D
A
B
C
dv A
Soluzioni possibili
per dD
compatibili con
la rigidezza di CD
C
dv C
F
E
dv C
=
D
=
49
Esempio B (2/3)
A
dv A
B
C
D
C
dv C
D
In questo caso, solo la
soluzione verticale è
compatibile con la
cinematica di (D,E,F).
dv D
D
F
E
dv F
=
E
50
F
25
Cinematica piana
Esempio B (3/3)
A
dv A
B
C
D
E
D
E
F
Il diagramma degli spostamenti:
B
C
A
F
51
Esempio C (1/3)
Se i vincoli non sono sufficienti, parti della
struttura si possono muovere in più modi, non
univocamente determinati da un solo grado di
libertà. La struttura è allora cinematicamente
indeterminata.
B
C
=
A
D
=
F
E
52
26
Cinematica piana
Esempio C (2/3)
Il moto in D può avere una direzione qualsiasi,
perché il punto E può avere uno spostamento
orizzontale, e perché inoltre ci può essere una
rotazione di (D,E,F) attorno a E.
B
C
=
A
D
=
F
E
53
Esempio C (3/3)
La cinematica di (D,E,F) è indeterminata.
B
C
A
D
B
E
F
E
F
C
A
D
54
27
Cinematica piana
Esempio D (1/2)
Quando invece i vincoli sono tali da rendere
impossibile il moto, la struttura è
cinematicamente sovradeterminata.
I vincoli sono in grado impedire il moto sotto
l’azione di qualsiasi carico esterno (fin quando,
ovviamente, qualche componente cede).
55
Esempio D (2/2)
Esempio
B
C
A
D
c’è solo una
componente
verticale
c’è anche
una componente
orizzontale
Incompatibilità dei moti in C→ sistema bloccato
56
28

Cinematica ed equilibrio del corpo rigido

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