Esercizi sulle distribuzioni raccolti dai temi d`esame
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Esercizi sulle distribuzioni raccolti dai temi d`esame
Esercizi sulle distribuzioni raccolti dai temi d’esame Esercizio 1 Studiare la convergenza (puntuale, in L1 (R), in L2 (R) e in D 0 (R)) della successione di funzioni un definita da ( n2 sin(nt) se t ∈ − πn . πn un (t) := 0 altrimenti. Esercizio 2 Sia f la funzione T −periodica definita nell’esercizio precedente. Calcolare le derivate prima e seconda di f nel senso delle distribuzioni. Calcolare la trasformata di Fourier di f 00 e dedurre la trasformata di Fourier di f , confrontando il risultato con quello precedentemente ottenuto. Esercizio 3 Discutere la convergenza in L1 (R), L2 (R), L∞ (R) e D 0 (R) della successione di funzioni 1√ fn (t) := 2 n2 − t2 11(−n,n) (t). n Esercizio 4 Si considerino le successioni di funzioni un (t) := H(t)n2 te−nt , vn (t) := iun (t) + un (−t) e se ne calcolino i limiti in D 0 (R). C’e’ convergenza anche in L1 (R)? Calcolare infine il limite di vn2 . Esercizio 8 [5 punti]. Siano a, b due numeri reali strettamente positivi ; calcolare la derivata distribuzionale della funzione fa,b (x) = H(x) ln |ax| + H(−x) ln |bx|. Esercizio 5 Per ε > 0 sia fε la funzione reale ( 0 se x ≤ 0, fε (x) = ε−1 εx se x > 0. Spiegare perchè ad fε è associata una distribuzione di D 0 (R); giustificando accuratamente i vari passaggi, calcolare poi il limite, per ε → 0+, di fε in D 0 (R), applicando la relativa definizione. Esercizio 6 Si considerino le successioni di distribuzioni Tn := δ1/n , Sn := n(Tn − T2n ). Calcolare i limiti in D 0 (R) T := lim Tn , n→∞ S := lim Sn . 0-1 n→∞ Esercizio 7 Calcolare la distribuzione T := δ000 · et . Esercizio 8 Per n ∈ N sia un la funzione reale definita in R da ( t2 se |t| ≤ n, un (t) := n2 se |t| > n. 1. Calcolare u0n , u00n , u000 n nel senso delle distribuzioni. 2. Calcolare il limite in D 0 (R) di u000 n , al tendere di n a +∞. Esercizio 9 Per n ∈ N sia 11n la funzione caratteristica dell’intervallo ]2nπ, 2(n + 1)π[ e sia ( sin t se 2nπ < t < 2(n + 1)π, fn (t) := 11n (t) sin t = 0 altrimenti. Si calcoli gn := fn00 + fn . Esercizio 10 Sia u il segnale reale 4π-periodico, la cui restrizione all’intervallo ] − 2π, 2π[ è data da u(t) := sin |t|. Calcolare u0 e u00 nel senso delle distribuzioni. Esercizio 11 Si dicuta, al variare del parametro α ∈ R, l’esistenza del limite della successione di funzioni fk (t) := k α 11(0,2π/k) (t) sin kt. in S 0 (R). Esercizio 12 Sia u il segnale reale che in ciascun intervallo [n, n + 1[, n ∈ Z, della retta vale ( 2t − n se n ≤ t ≤ n + 1/2; uε (t) := n + 1 se n + 1/2 ≤ t ≤ n + 1. Dopo aver disegnato il grafico di u, calcolare le derivate distribuzionali riconoscere che si tratta di distribuzioni periodiche. 2 3 d u, dtd 2 u, dtd 3 u dt Esercizio 13 Calcolare i seguenti limiti nel senso delle distribuzioni lim h↓0 δ(t + h) − δ(t − h) − 2δ 0 (t) , h2 lim ε↓0 0-2 1 − cos(εt) , εt2 lim | cos(nt)|. n↑+∞ e Esercizio 14 Discutere la convergenza in S 0 (R) della serie di funzioni +∞ X −n2 t2 e +∞ X , n=0 Facoltativo: +∞ X t−1 11(n2 ,n2 +1) (t). n=1 2 t2 e−n +∞ X sign t, nt11(−1/n,1/n) (t) n=0 n=0 Esercizio 15 Calcolare cos t · δ 00 (t − α), cos t ∗ δ 00 (t − α) α ∈ R. Risolvere il problema di divisione nell’incognita u ∈ D 0 (R) (t2 − 1)u(t) = δ(t) + δ(t − 1). Esercizio 16 Calcolare i seguenti limiti nel senso delle distribuzioni 1 − cos nt , lim n δ(t − 1/n) − δ(t + 5/n) , lim n↑+∞ n↑+∞ nt2 lim n cos2 nt. n↑+∞ Esercizio 17 Calcolare il limite nel senso delle distribuzioni lim n2 t δ(2nt − 1). n↑+∞ (Attenzione al cambiamento di variabile all’interno della δ !) Esercizio 18 Calcolare il limite nel senso delle distribuzioni: 1 . n↑+∞ 2 − eint lim Esercizio 19 Calcolare le seguenti distribuzioni i 2 d2 h H(t) − H(t − 2) (t − t − 2) , dt2 1 − cos 2πt X 0 δ (t − k). t k∈Z Esercizio 20 Calcolare, per n ↑ +∞ i limiti nel senso delle distribuzioni delle seguenti successioni di distribuzioni n 2 n −1 , n , n log |t + 1/n| − log |t| . nt + i nt + i 0-3 Esercizio 21 Calcolare il limite nel senso delle distribuzioni delle successioni di funzioni ( 1 11(1/2n,1/n) (t) se t < − n1 o t > n1 , un (t) := t vn (t) := , 1 1 t 0 se − n ≤ t ≤ n ; al tendere di n a +∞. (Si consiglia un disegno accurato delle funzioni). Facoltativo Dedurre il limite della successione ( 1 1 se t < − n1 o t > 2n ; t wn (t) := 1 0 se − n1 ≤ t ≤ 2n . Esercizio 22 Calcolare le seguenti distribuzioni: d2 Im et−i|t−1| , 2 dt t log(t2 ) ∗ δ 000 (t − 1) ∗ H(t + 1) Esercizio 23 Calcolare la derivata distribuzionale della funzione v(t) := log(eiπt ) dove log indica il ramo principale della funzione logaritmo in campo complesso. Esercizio 24 Risolvere in ambito distribuzionale i problemi di divisione (t − 1)2 u(t) = δ(t + 1), (t − 1)2 v(t) = δ(t − 1). 0-4