modellazione e calcolo di grandi strutture in muratura cup ole e pont

- 972 MODELLAZIONE E CALCOLO DI GRANDI STRUTTURE IN MURATURA
CUP OLE E PONT I AD ARCO
SIMULATION AND CALCULUS OF LARGE MASONRY STRUCTURES
DOMES AND ARCH BRIDGES
G. Menditto
Prof. Ord. Scienza de11e Costruzioni
Facoltà di Ingegneria
Università di Ancona, Italia
R. Capozucca
Ricercatore
Facoltà di I ngegneria
Università di Ancona, Italia
M. Traversari
Ingegnere
Ancona, I ta 1i a
SOMMARIO
Le grandi opere in muratura sono ti piche dei passato ed i nteressano pr i nci pa 1m en te
edifici per il culto e ponti. I mode 11 i di calcolo adottati non consentivano di valutare appieno
lo stato tensionale e deformativo sia per la complessità strutturale dei manufatti, che pe r le
difficoltà insite in un calcolo manuale. La nota prende in esame due casi di grandi strutture in
muratura: una chiesa ed un ponte ad arco. Si studia il regime tensionale e deformativo
attraverso una mode11azione secondo il metodo degli E. F. , in grado di esaminare la struttura
nella sua globalità, evidenziando gli effetti conseguenti a11a comp artecipazione dei vari
elementi. Nel caso de11'edificio di culto si pone l'accento su11'interazione fra cupola, tamburo
di imposta e strutture inferiori . Per il ponte ad arco si analizza l' i nterazione fra gl i
elementi voltati e le strutture verticali per cedi menti fondali.
ABSTRACT
Large masonry structures are typi cal of the past. Often, i n h istorica 1 sites, buildi ngs for
wor ship and bridges are encountered. The models of calculus adopted in the past did not a110w
to fully estimate the stress and strain fields , either because of inherent structural
com p lex it ies or of difficu lties rega r di ng the manual computations. In this paper two
examples of large masonry structures are considered : a church and an arch bridge. The
stress and strain fields are analyzed through a complete F.E. modeling, which permits to
examine the structure in its overa11 configuration and thus to focus attention on the effects
produced by interaction among its various members. In the case of the building for wor ship
interaction between the dome, the drum and the lower structures is examined. For the ar ch
bridge the modeling permits to analyze the interaction of the vaulted part of the bridge with
the piers and abutements in the case of foundation settlements.
INTRODUZIONE
Le grandi opere in muratura dei passato venivano realizzate aggregando elementi
strutturali difformi per geometria e comportamento statico . La definizione formale ed il
corretto assetto strutturale dell'insieme si perseguiva attraverso i l solo controllo
dell'equilibrio, garantito, nel caso delle strutture ad arco , dai contenimento de11a curva de11e
pressioni a11'interno delle sezioni . 11 calcolo prescindeva da11 'assetto deformativo delle
sezioni ed il concetto di congruenza appare solo nel XIX secolo con la teoria dell'elasticità.
Quest'ultima, pur migliorando notevolmente la conoscenza dei problema strutturale, non
consente, almeno nel caso de11e opere murarie, di cogl iere il comportamento globale de11e
strutture tipiche degli edifici monumentali . Solam ente con i metodi di discretizzazione dei
continuo, specificatamente con l'impiego dei metodo degli E.F. e quelli tridimensionali in
particolare, ê possibile analizzare compiutamente una grande struttura muraria.
La memoria intende puntualizzare il meccanismo di interazione fra elementi murari di
geometria diversa quando si presentino aggregati a formare una grande struttura. L'esempio
della chiesa di S.Pe11egrino (Ancona, Italia), oggetto della prima mode11azione, si presenta in
tal senso come il piu significativo. L'organismo risulta concepito dall'aggregazione di
- 973 element i distinti: lanterna, cupola, tamburo, trabeazione, sostenuti da archi e piedritti di
base. La modellazione ê stata svi luppata per fasi: dalla cupola con lanterna si ê pervenuti ai
modello completo aggiungendo successivamente gli elementi sottostanti. E' stato cosl possibile
cogliere le variazioni dello stato tensionale e deformativo nelle varie fasi aggregative fino
alla finale. Nel caso deI ponte in muratura sul fiume Tronto (Ascoli Piceno, Halia), la
modellazione completa dei manufatto ha permesso di confrontare i1 Quadro fessurativo di
rilievo con la distribuzione degli stati tensionali di trazione ottenuti dai calcolo, anche in
presenza di cedimenti fondali.
ANALISI STATICA DELLA CHIESA DEI SS.PELLEGRINO E TERESA (ANCONA,ITALlA)
La chiesa, costru ita agi i inizi dei XII X, ha pianta centrale. La sua sezione orizzontale ê un
cerchio con appendici che formano una croce apparentemente greca, in realtà latina data la
maggior profondità della cappella dei presbiterio per la presenza dei coro (Fig. 1).
L
il
Fig. l - Pianta e sezione principale della chiesa di S.Pellegrino in Ancona.
Plan and principal cross section of the S.Pellegrino church in Ancona.
La cupola, di spessore variabile, sale a sesto leggermente rialzato ed ê priva di costolonature .
E' interessante il raccordo tra gli archi e la trabeazione, formata da trapezi con tre lati
curvi ed uno retto, Quello dell'imposta, non contenuti su uno stesso piano verticale .
Le principali dimensioni degli elementi sopra descritti sono le seguenti :
a) altezza complessiva lanterna: 6,2m; diametro interno: 2,5m;
b) diametro cupola alla base: 14,8m; altezza interna: 8,7m; spessore all'imposta : O,9m;
c) altezza tamburo: 6,3m; spessore: 1,2m;
d) altezza trabeazione fino alla sommità archi di scarico: 1 ,8m;
e) altezza piedritti da terra: 11 ,2m .
Lo studio statico dei complesso viene eseguito con l'ausilio dei codice di calcol0 FIESTA ( 1)
che permette l'analisi delle strutture solide basata sulla versione p dei metodo degli E.F..
Nella versione p la mesh ê fissa e la convergenza della soluzione ê raggiunta aumentando il
grado polinomiale di ogni elemento in modo uniforme o selettivamente.
- 974 Per la chiesa di S.Pellegrino sono state reallzzate 4 modellazioni:
1) Modell0 CHll : ê limitato alla sola cupola con lanterna. Rappresenta 10 schema piú
semplificato, utilizzato per una prima analisi della cupola. I risultati ottenuti sono statl poi
confrontatl con Quelli dei successivi modell1. Alla base d' appoggio si ê assunto un vincolo che
consente solo traslazioni nel piano orizzontale.
2) Modell0 CHI2: comprende, oltre alla cupola, anche i1 tamburo fino ad una zona prossima
alIa trabeazione che scarica sui Quattro archi di bordo. Lo schema fornisce un migliore
vincolo alla cupola per la presenza della cerchiatura costituita daI tamburo. Anche in Questo
caso alla base deI tamburo si ê inserito un vincolo che consente la sola traslazione
or izzonta le.
3) Modell0 CHI3: si considera anche la porzione di transizione tra il complesso cupolatamburo ed i piedritti, costituita dagli archi lateral i di scarico e dalle volte laterali a loro
connessi. Si ê adottato 10 stesso vincolo degl i schemi precedent i, mentre si ê incrementato
notevolmente i1 numero di elementi , per la complessità deI nodo di passaggio aI di sopra degli
archi.
4) Modell0 CHI4: ê i1 modell0 completo della chiesa e risulta il piu significativo. 11 vincolo
alla base ê un incastro, che simula i1 collegamento con la fondazione. 11 modell0 si presenta
con il piu alto numero di elementi (613), realizzati con 1062 nodi di vertice, e con un
volume di 10355 m3 (Fig.2).
Fig.2 - Modellazione completa della chiesa.
Complete model of the church .
Nelle analisi sono state assunte le seguenti caratterlstiche meccanlche relatlve a
materiale supposto elastico, omogeneo ed isotropo: modulo di elasticità normale E=O ,5.10 7
kPa, coefficiente di Poisson v=O ,2, densità della muratura dm = 1 ,8 tlm 3 L 'un ica condizione
di carico esaminata ê stata Quella di peso proprio.
I risultati seguenti sono fra 1 piu significativi e descrlvono lo stato deformatlvo e tensionale
dei nodi nella sezione meridiana della cupola sul plano di simmetria longitudinal e (Flg .3)
Nelle Figg.4a e 4ti si presentano 1 diagramml degll spostamenti radiali per I nodi
rispettivamente all'intradosso e all'estradosso della sezione. Vengono messl a confronto i
risultati ottenuti per i vari modell1.
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Fig,3 - Sezione di riferimento della cupola,
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Fig.4 - Spostamenti radial; (a) intradosso (b) estradosso
Radial displacements: (a) intrados (b) extrados
L'ispezione dei diagrammi evidenzia nei primi tre modelli parziali diversità dei valori di
spostamento solo alla base della cupola ed annullamento della variazione per i nodt superiori.
La curva relativa aI modello CHI4 evidenzia invece un comportamento globale diverso
rispetto ai modelli parziali che trascurano gli elementi di sostegno inferiori (archi, volte e
piedritti) con conseguente approssimazione deI vincolo.
Dall'esame delle Figg.5a e 5b si evince che il regime tensionale tangente ai paralleli é di
compressione per i punti della sezione meridiana di riferimento della cupola per angoli cp
maggiori di 40·;.-45·.
Per angoli cp<40· si nota una differenza di comportamento fra diversi modelli ed, in
particolare, il modello CHll presenta, per cp=O·, il valore massimo di trazione. Ciã é
giustificato daI fatto che il CHll é il modell0 piú semplice, senza la presenza deI tamburo alla
base della cupola che ne contenga le dilatazioni radiali.
I diagrammi delle Figg.6a e 6b mettono in relazione le tensioni verticall Oz sempre sui
nodi della sezione di riferimento della cupola,
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Fig.5 - Tensioni nella direzione tangente ai paralleli: (a) intradosso (b) estradosso
Stress tangent to the dome paralle ls: (a) intrados (b) extrados
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Fig.6 - Tensioni verticali: (a) intradosso (b) estradosso
Vertical stress: (a) intrados (b) extrados
Lo stato tensionale ê di sola com pressione e per angoli q><45· si registra un comportamento
analogo per i tre modelli piú complessi ed un comportamento nettamente diverso nel caso del
modello piú semplificato CHll.
Dall'esame comparato dei risultati riportati nelle Figg.4, 5 e 6 si evince che un modello
completo dell'organismo strutturale ê essenziale per la valutazione dello stato deformativo.
Modellazioni ed anal isi parziali possono descrivere abbastanza fedelmente 1nvece lo stato
tensionale. Nel caso in cui gli elementi inferiori di sostegno non presentino 1rregolarità, per
individuare un corretto com portamento della cupola, ê suff1c1ente cons1derare un modello
parziale comprensivo del tamburo. Si rileva inoltre come alcune zone all'estradosso della
cupola stessa, per sezioni inclinate rispetto all'orizzontale di angoli q>=40·, s1ano sottoposte
a tensione di trazione nella direzione delle tangenti ai paralleli. Qualora, come nel caso in
esame, la deformabilità degli elementi inferiori, arch1 volte e piedritti, non sia
trascurabile, ê necessario analizzare la struttura nella sua globalità.
- 977 COMPORTAMENTO STATICO DI UN PONTE AD ARCO SUL FIUME TRONTO (ASCOLl, ITALlA)
11 ponte ad arco esaminato ê a tre campate uguali, con due pile central i e due spalle
lateral i di cui una con presenza di vano di passaggio (Fig .7).
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Fig .7 - Vista longitudinal e dei ponte sul Tronto in Ascoli .
Longitudinal view of the Tronto rlver bridge of Ascol!.
La struttura portante ê costituita da volte a tutto sesto a spessore variabi le, con riemplmento
sui rinfianchi. Sulle volte poggia una sovrastruttura di sostegno dei piano stradale, costituita
da una serie di voltine impostate su diaframmi verticali. La modellazione completa ê
visualizzata nelle Figg. 8a e 8b .
(a)
Fig.8 - Modellazione completa: (a) sezione di bordo, (b) sezione in mezzeria.
Com plete model: (a) lateral side, (b) m iddle section .
L'analisi statica ê stata condotta assumendo le seguenti caratteristiche meccaniche: modulo
di elasticità normale E=O,5 · 10 7 kPa, coefficlente di Poisson v=O,2, densità della muratura
dm=2,2 tlm 3
- 978 E' stato analizzato il comportamento deI ponte per carichi permanenti che si presentano di
gran lunga piu rilevanti rispetto ai carlchi varlabili attese le grandi dimensioni delle
strutture portanti. Si ê analizzato altresl lo stato tensionale e deformativo per un cedimento
fondale verticale della plla di sinistra in Fig.7. 1I modello realizzato descrive in modo
completo la geometria deI manufatto. 1I numero totale degli elementi é pari a 700,
individuati da 1298 nodi di vertice. 1I volume racchiuso ê di 7430 m3 .
L'analisi ê stata finalizzata alla definizione deI regime tensionale sugli elementi ad arco
principali. Le componenti di tensione considerate sono anche in Questo caso le tensioni
normali Oz rappresentative dello stato di tensione verticale e le Ox che descrivono invece 10
stato di tensione longitudinale. Gli stati tensionali sono stati considerati in corrispondenza di
due sezioni longitudinali caratteristiche: Quella di bordo sul piano deI tamponamento esterno
e Quella di mezzerla a distanza di 6,25m. Va sottolineato come le due sezioni siano
geometricamente di verse poichê Quella di bordo presenta materiale di tamponamento esterno
per la parte superiore agli archi princlpali, mentre Quella di mezzeria risulta parzialmente
cava per la presenza dei vuoti aI disotto degli archi minori che sostenÇ1lno la pavimentazione.
In Fig.9a sono diagrammati i valori delle tensioni 0x per i nodi all'intradosso degli archi
principali nella sez ione di bordo, in assenza di cedi menti fondali. Si individuano due zone di
transizione comprese fra gli angoli cp=30·790· e cp=90· ';'150·. In tali ambiti il regime
tensionale ê diverso per ciascun arco principale: in particolare, l'arco centra le presenta
valori simmetr ici rispetto alia sezione verticale di chiave, mentre gli archi lateral i
risentono della diversa geometria e rigidezza delle spalle.
Diversità di comportamento si indivlduano per gli archi lateral i 1 e 3, rispetto a Quello
centra le 2, anche dall'esame delle tensioni oZ in Fig.9b.
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Fig.9 - (a) Tensioni longitudinal i 0 x , (b) tensioni vertical i Oz
(a) Longitudinal stress 0x, (b) vertical stress Oz
11 comportamento dei ponte per' cedimenti verticali della pila é visualizzato per le tensioni
nella Fig. 10. In Fig.l Oa, relativamente ai solo arco 1, si registrano valori di tensioni di
trazione crescenti proporzionalmente all'entità deI cedimento stesso per i nodi su sezioni
inclinate di angoli superiori a 90°. La sezione in cui si hanno i piu alti valori di trazione é
sul piano inclinato di un angolo cp"" 110·. La parte in trazione dell'arco é Quella adiacente alia
pila sottoposta a cedimento verticale. Fra i tre archi principal i il n° 1 e il n02, adiacenti alla
pila sottoposta a cedimento, risentono direttamente degli effetti conseguenti all'abbassamento
della base di imposta della pila stessa, con tensioni piu elevate sull'arco 1, nella sezione
longitudinale di bordo maggiormente rigida (Fig. 10a).
0x
- 979 Dall'esame degli stati tensionali indicati nelle Figg.l0a e 10b si apprezza la validità
dell'analisi condotta in relazione aI Quadro fessurativo di rilievo, poichê le lesioni si
collocano ne11e zone che risultano sottoposte a trazione (Fig.7).
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Fig. l0 - Tensioni o x: (a) sezione di bordo , (b) sezione di mezzeria.
Stress ox: (a) lateral side, (b) middle section.
CONCLUSIONI
Con il metodo agli E.F. sono stati analizzati due esempi di grandi strutture murarie. Lo
studio di Questi due casi ha consentito di trarre alcune conclusioni che si ritiene di poter
generalizzare, almeno come metodologia di approccio, nelle analisi delle opere murarie
monumental i. Un controllo dello stato tensionale deI complesso struttur'ale non puà
prescindere da11a continuità fra i vari componenti che vanno tutti considerati ne11'eQuilibrio
e ne11a congruenza d'assieme. Parimenti I'analisi deI Quadro fessurativo deve tener conto dei
contributi offerti dai singoli componenti.
Nell'analisi deI comportamento statico di una grande cUrolil muraria, si ê valutilto 11
benefico effetto cerchiante per la cupola costituito daI tamburo già evidente In una
mode11azione parziale. Per tener conto dell'influenza de11a deformabtlità degll elementl di
sostegno inferiori (archi, volte e piedritti) nel Quadro deformativo e tenslonale de11a cupola,
ê stata necessaria una mode11azione completa .
Nel calcolo deI ponte ad arco si ê constata una notevole corrispondenza fra le zone
fessurate e Quelle in trazione per i1 caso di cedimenti fondali. Le campate ad arco adiacenti la
pi la sottoposta a cedimento subiscono apprezzabili var iazioni de 11e tensioni. Una comp leta
mode11azione di ponti ad arco ê Quindi significativa Quando si studino casi di cedimenti fondali.
BIBLIOGRAFIA
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