Fibonacci project - Il liceo Banfi di Vimercate

Fibonacci’s project
La matematica che non si vede
Marco Moscatelli
Test dei rettangoli
Quale di questi rettangoli è il più bello?
Test dei rettangoli
Nel rettangolo che avete scelto, ci guardereste un film?
Sono stati mostrati questi rettangoli a 1000 persone, chiedendo loro di
scegliere, quali fra i rettangoli in figura, fosse il loro preferito. Il test è
stato poi ripetuto diverse e diverse volte e alla fine vince sempre questo
rettangolo.
Ma, perchè proprio questo rettangolo? Per ora accontentiamoci di
sapere che alla maggior parte delle persone piace quel tipo di
rettangolo.
Carta di credito, tv e iPhone
Tutti sapete cos'è un bancomat e o una carta di credito, un iphone e
una tv.
Partiamo dalla carta di credito. La carta di credito è un rettangolo, ma
che rettangolo è?
Se la guardiamo bene assomiglia tantissimo al rettangolo che piace
maggiormente alle persone.
Un caso? Può essere.
Carta di credito, tv e iPhone
Passiamo alla tv. Molti anni fa le tv erano rettangoli che assomigliavano più
a quadrati, poi si sono sempre di più schiacciate assomigliando sempre di
più a un rettangolo, fino ad arrivare alla famosa risoluzione 16:9,
Conoscete tutti la risoluzione 16:9? 16:9 vuol dire che il rapporto tra il
lato maggiore del rettangolo e quello minore si può ridurre a 16:9.
Anche questo accontentiamoci di tenerlo lì per ora.
Carta di credito, tv e iPhone
Anche lo schermo dell’iphone sembra avere delle caratteristiche
particolari:
- Assomiglia tantissimo al rettangolo di prima
- Ha una risoluzione che si avvicina a 16:9
Uomo di Leonardo e Partenone
L'avete mai visto l'uomo di Leonardo? E il partenone?
Leonardo ha costruito il suo ideale di uomo perfetto dicendo:
quest'uomo è perfetto, è bello! Il partenone è stato costruito in modo che
fosse "bello“; con "bello" intendo una cosa che magari può non piacere,
ma sicuramente se costruita in altro modo sarebbe piaciuta ancora
meno. Ad esempio l’uomo di leonardo con le braccia o le gambe più
lunghe o il partenone con 3 pilastri in meno o 5 in più ecc…
Relazione con la matematica
Andiamo a vedere ora cosa c'entra la matematica in tutto questo.
Semplicemente facendo delle divisioni ci accorgiamo che il rettangolo
scelto dalla maggior parte delle persone ha un rapporto di circa 1,618,
la carta di credito allo stesso modo, dividendo il lato maggiore con
quello minore dà come risultato 1,585 (85,60 / 53,98). Il partenone?
Dividendo i lati dei rettangoli del partenone si ottiene un numero che si
avvicina a 1,618.
Fermiamoci un secondo qui e diamo un senso a questi valori.
Cosa c’entra Fibonacci in tutto ciò? Nulla, più o meno.
Fibonacci ha avuto il merito di scoprire la famosissima successione che
parte così:
1,1 Il termine successivo è dato dalla somma dei due precedenti, cioè il
terzo numero è 1+1=2, il quarto termine è 1+2=3 e così via...
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 ecc
Che cos'ha di tanto particolare questa semplice successione?
In realtà questa successione ha un sacco di particolarità, quella che mi
interessa di più per ora è che se divido un qualsiasi termine della
successione per il suo precedente ottengo un valore che si avvicina
sempre di più al valore 1,618...
Relazione con la matematica
Progressione:
1/1=1
8/5=1,6
34/21=1,619047
144/89=1,617977
466/288= 1,618056
665/411= 1,618005
843/521=1.618042
2/1=1.5
13/8=1,625
55/34=1,617647
233/144= 1,618056
521/322= 1,618012
699/432=1.618056
898/555=1.618018
5/3=1,666666
21/13=1,615384
89/55=1,618181
377/233= 1,618026
610/377=1,618037
754/466=1.618026
932/576=1.618056
Il rettangolo aureo
Che cos’è un rettangolo aureo? E come si costruisce?
Un rettangolo aureo è un rettangolo tale che il rapporto tra i lati sia
esattamente 1,618…
Di seguito la semplice costruzione:
La sezione aurea
Perché ci siamo fissati sul valore 1,618?
La sezione aurea (o rapporto aureo o numero aureo o costante di Fidia
o proporzione divina), nell'ambito delle arti figurative e della
matematica, indica il rapporto fra due lunghezze disuguali, delle quali la
maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due.
Alcune proprietà
Di seguito, giocando un po’ con le operazioni matematiche, sono
riportate alcune caratteristiche del numero aureo.
Inoltre c’è una relazione con il triangolo di Tartaglia: la somma delle
diagonali è proprio la successione di Fibonacci.
Relazione con il triangolo di Tartaglia
Alcune proprietà
Se dividiamo qualsiasi numero per il secondo che lo precede nella
sequenza, otterremo sempre due come risultato, e come resto il
numero immediatamente precedente il divisore.
Cioè, data la successione di Fibonacci
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597
Scelgo il 144 e lo divido per 2 numeri prima cioè 55
144/55=2 con il resto di 34 (il numero prima di 55)
Scelgo il 610 e lo divido per 2 numeri prima cioè 233
610/233=2 con il resto di 144 (il numero prima di 233)
Alcune proprietà
A partire da qualsiasi termine della successione, contandone 10, la
somma di questi 10 termini è un multiplo di 11. Non solo, il risultato è 11
volte il settimo termine del pezzo di successione scelta
Cioè, data la successione di Fibonacci
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597
Parto da 21 e quindi prendo i termini che vanno da 21 a 1597 e li
sommo
21+34+55+89+144+233+377+610+987+1597=4147=377*11
Oppure parto da 2 e quindi prendo i termini che vanno da 2 a 144 e li
sommo
2+3+5+8+13+21+34+55+89+144=374=34*11
Alcune proprietà
Prendendo qualsiasi quaterna consecutiva della successione di
Fibonacci siamo in grado di ottenere una terna pitagorica (a,b,c).
Prendiamo ad esempio la quaterna 5, 8, 13, 21
a si ottiene moltiplicando il primo termine per l’ultimo:
a=5*21=105
b si ottiene moltiplicando il secondo per il terzo per 2:
a=2*8*13=208
c è il quadrato del secondo + il quadrato del terzo:
a=82*132=233
(105,208,233) è una terna pitagorica, infatti 1052 + 2082 = 2332
Alcune proprietà
Esiste un’altra relazione con Pitagora. Prendendo 3 termini consecutivi
della successione il prodotto del primo e dell’ultimo differisce di uno dal
quadrato del secondo. Cioè prendendo la terna (5,8,13) si ha che
5*13 = 65 e 82 = 64 (65 differisce di 1 da 64)
Di seguito è riportato un giochino che sfrutta questa proprietà della
successione di Fibonacci.
La spirale aurea
Esistono infiniti tipi di spirali in natura ma molte assomigliano a quella
aurea.
Come viene costruita? Partendo da due quadrati di lato 1 costruisco un
quadrato che ha lato la somma dei 2 quadrati precedenti, proprio come
la successione di Fibonacci. A sinistra possiamo vedere la costruzione
e a destra l’esempio in natura.
Il Partenone
Ecco un altro esempio di costruzione che si riconduce ai rettangoli
aurei:
La suddivisione in figura mostra come si può costruire la successione di
Fibonacci per tutto il Partenone.
L’uomo di Leonardo
Ogni rapporto de L’uomo di Leonardo è in rapporto aureo:
altezza con altezza ombelico, braccio con avambraccio, avambraccio
con mano, mano con dita ecc.
Fibonacci in musica
Nel pianoforte viene dato particolare rilievo alla struttura della tastiera,
in special modo con parallelismi fra i numeri di questa e quelli di
Fibonacci. I tredici tasti delle ottave, distinti in otto bianchi e cinque neri,
a loro volta divisi in gruppi da due e tre tasti ciascuno; 2, 3, 5, 8, 13
appartengono infatti tutti alla successione di Fibonacci, ma anche in
questo caso, ancor più che nel precedente, si tratta di una coincidenza
che non può neppure essere attribuita a una specifica volontà del
costruttore, trattandosi di una soluzione motivata unicamente
dall'evoluzione strutturale dello strumento. Inoltre numerando le note da
1 a 7 modulando i numeri maggiori di 7 si è scoperto che i primi 16
termini della successione danno una melodia ricorsiva.
Fibonacci in chimica
Alcuni elementi chimici sono più stabili di altri, e tale maggiore stabilità
chimica è connessa, tramite i numeri magici, alla successione di
Fibonacci.
La stabilità nucleare è il numero di nucleoni (cioè protoni o neutroni) per
cui all'interno del nucleo atomico si formano livelli energetici completi.
Tali numeri sono: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126.
Ecco in seguito come la successione di Fibonacci ha a che fare anche
con la chimica:
L’angolo aureo
b
a
Come per i segmenti esiste anche la proporzione aurea, o divina
proporzione, per gli archi di una circonferenza; e perché no? A pensarci
bene gli archi di una circonferenza non sono altro che linee curve e
quindi possono essere rapportate tra loro. Chiamiamo l’arco più corto
“a” e l’arco più lungo “b” e scriviamo la proporzione:
a:b=b:2πr
che diventa (per semplicità si pone r=1)
Ponendo a=x si ha b=2π-x la proporzione diventa:
x:(2π-x)=(2π-x):2π
a:b=b:2π
L’angolo aureo
Con la proprietà delle proporzioni tali per cui il prodotto dei medi è
uguale a quello degli estremi si ottiene
(2π-x)2=2πx
Svolgendo i conti si ottiene:
X2 - 6πx + 4π2 = 0
Risolvendo si ottiene x=3π-π 5 (che per intenderci è il nostro “a” di
partenza)
E di conseguenza 2π-x= π 5 -π (che per intenderci è il nostro “b” di
partenza)
Se eseguo il rapporto b/a, dopo svariati conti, ottengo che b/a=
che altro non è che il nostro numero aureo.
1+ 5
2
L’angolo aureo
Non ci resta che calcolare quanto misura l’angolo al centro dell’arco “a”
e per farlo basta impostare una semplicissima proporzione:
2π : 360°= 3π - π 5 : α
Facendo un paio di conti si ottiene α = 137,51° Questo è l’angolo aureo.
Ovviamente anch’esso impatta sui fenomeni naturali. Ad esempio
osserviamo questa margherita:
L’angolo aureo
Apparentemente non dice nulla, ma se osservo attentamente scopro
che sono disposti esattamente seguendo l’angolo aureo:
Il primo petalo con il secondo forma un angolo aureo, proseguendo in
questo senso ottengo tutti i petali del fiore (che sono 21 non un numero
a caso) e se osservo attentamente l’angolo tra il 21-esimo petalo e il
primo è ancora un angolo aureo.
La fillotassi
La fillotassi studia il modo in cui le foglie e i rami si distribuiscono
intorno al fusto. Le foglie si dispongono attorno al ramo in modo da
ottenere più luce possibile. Osserviamo la figura sottostante:
Prendiamo la pianticella a sinistra e notiamo che la prima e l’ultima
foglia sono nella stessa posizione, numeriamo quindi le foglie (partendo
da 0) dalla prima fino a quella che si trova nella medesima posizione.
Cosa notiamo? Il numero tra la prima e l’ultima foglia differisce di 8
(anche stavolta non è un numero a caso).
La fillotassi
Ma non fermiamoci a questo. Contiamo quanti giri hanno dovuto fare le
foglie prima di tornare nella posizione iniziale:
5 giri (e anche stavolta il numero non è per niente a caso). Cosa c’entra
tutto ciò con l’angolo aureo? Bhe 5 giri sono 5 volte 360°,
5*360°=1800°. Abbiamo a disposizione 8 foglie, 1800°/8=225° e 360°225°=135° molto molto vicino all’angolo aureo di 137,51°.
Alcune curiosità – Numeri e natura
In un fiore il numero dei «sepali», dei «petali», degli «stami» e dei
«carpelli» molto spesso riproduce una cifra appartenente alla
successione numerica di Fibonacci, infatti osserviamo fiori con:
- 3 petali come ad esempio gigli e iris;
- 5 ranuncoli, rosa selvatica, larkspur, colombina, ciliegio;
- 8 il delphinium;
- 13 margherita, calendula, cineraria;
- 21 margherita, astro, occhio nero, loto (susan, susanna), cicoria;
- 34 margherita, piantaggine, pytethrum;
- 55, 89 margherite, e specie della famiglia delle asteraceae.
Alcune curiosità – Le spirali
Osserviamo attentamente queste immagini:
Il numero delle spirali in senso orario (rosse) è 8, mentre quello in
senso antiorario è 13, 8 e 13 sono 2 numeri consecutivi della
successione di Fibonacci.
Alcune curiosità – Le spirali
Nei girasoli vale lo stesso principio: il numero delle spirali in senso
orario è 34, mentre quello in senso antiorario è 55, 34 e 55 è una
coppia di numeri della successione di Fibonacci.
Alcune curiosità – Le spirali
Osservando le immagini possiamo notare come la galassia, la tromba
d’aria e la tromba d’acqua riproducano in maniera abbastanza precisa
la spirale aurea.
Conclusioni
Cosa voglio dimostrare con questo: il bello, la bellezza delle cose non è
governata da un numero, da un rapporto, da un qualcosa già scritto,
ma è esattamente il contrario: io costruisco, disegno, immagino una
cosa, la rendo bella e con una discreta percentuale queste cose belle si
possono ricondurre alla successione di Fibonacci. è proprio questo il
bello di tutta questa storia: non costruisco, immagino, disegno in base
ad una legge prestabilita, ma immagino, disegno e creo e tutto o quasi
si può ricondurre a quello.
Molti di voi penseranno: si bhe quindi? Bhe quindi è un modo
alternativo di farvi vedere come la matematica sta nelle cose
quotidiane, nelle cose che viviamo, che la matematica non è solo fare
2+2 o risolvere un’equazione o risolvere un problema senza sapere il
perchè; la matematica ha un perché, dietro un’equazione, un numero, o
un problema, la matematica si riflette nelle più classiche azioni e cose
di ogni giorno.
Conclusioni
Si potrebbe stare a parlare giornate intere perché ci sono un sacco di
esempi e un sacco di altre cose interessanti che coinvolgono Fibonacci
e la sua successione ma per ora è meglio fermarsi qui.
Spero di avervi passato un pochino di fascino in queste piccole
curiosità e questo piccolo rapporto tra la matematica e il mondo che ci
circonda.
Su internet ci sono molti link e molte informazioni, basta cercare
“Fibonacci” o “sezione aurea” o “successione di Fibonacci”.
Chiudo con una citazione di Einstein:
“quella del mistero è la più straordinaria esperienza che ci è dato di vivere. È
l’emozione fondamentale situata al centro della vera arte e della vera scienza.
Da questo punto di vista chi sa e non prova meraviglia, chi non si stupisce più
di niente è come simile ad un morto, ad una candela che non fa più luce”
Contatti
Marco Moscatelli
Mail: [email protected]
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