Regolazione I e II

Transcript

Regolazione I e II

Scuola Universitaria Professionale
della Svizzera Italiana
Dipartimento
di informatica
ed elettronica
Automazione I e II
Ing. Roberto Bucher
7 aprile 2003
Automazione I e II
2
Copyright 2003 Roberto Bucher
7 aprile 2003
Indice
1 Introduzione ai sistemi di controllo
1.1 Applicazioni dei sistemi di controllo . . . . . . . . . .
1.2 Un po’ di storia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Descrizione dei sistemi di controllo . . . . . . . . . . .
1.4 Analisi dei sistemi ed obiettivi di design . . . . . . . .
1.4.1 Risposta al transiente . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Errore allo stato finito . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Controllo di posizione di un’antenna . . . . . . . . . .
1.6 Analisi e realizzazione di compensatori . . . . . . . . .
1.6.1 Determinare il sistema fisico . . . . . . . . . . .
1.6.2 Trasformare il sistema in una serie di schemi
circuiti elettrici ecc.) . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3 Determinare il modello matematico del sistema
1.6.4 Riduzione del diagramma a blocchi . . . . . . .
1.6.5 Analisi e design . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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blocchi,
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2 Modellazione di processi
2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Relazioni tra grandezze fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Rappresentazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 La trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Spazio degli stati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Descrizione di un motore dc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Funzione di trasferimento del motore dc . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Rappresentazione nello spazio degli stati del motore dc . . . .
2.7 Conversione da funzione di trasferimento a spazio degli stati . . . . .
2.7.1 Conversione da spazio degli stati a funzione di trasferimento .
2.8 Soluzione dell’equazione nello spazio degli stati con Laplace . . . . .
2.9 Soluzione nel dominio del tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Modellazione mediante grafi di flusso . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Analisi del processo motore-antenna . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Risposte nel tempo di sistemi modellati
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3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Il concetto dei poli e degli zeri e della risposta di sistema . . . . . . . . . . . 45
3.3 Poli e zeri di una funzione di trasferimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7 aprile 2003
3
Automazione I e II
INDICE
3.4
3.5
Risposta di un sistema di 1. ordine . . . . . . . . . . . . . .
Risposta di sistemi di 2. ordine . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Sistema sovrasmorzato . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Sistema sottosmorzato . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Sistema oscillatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4 Sistema smorzato criticamente . . . . . . . . . . . .
3.6 Analisi generale di sistemi di 2. ordine . . . . . . . . . . . .
3.7 Analisi dettagliata di un sistema di 2. ordine sottosmorzato
3.7.1 Calcolo del tempo di salita . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 Calcolo del tempo di setting . . . . . . . . . . . . . .
3.7.3 Calcolo di Tp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.4 Calcolo del valore di %OS . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Risposta di sistemi con poli supplementari . . . . . . . . . .
3.9 Risposta di sistemi di 2. ordine con zeri . . . . . . . . . . .
3.10 Sistemi a fase non minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Stabilità
4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Stabilità dalla funzione di trasferimento
4.3 Stabilità nello spazio degli stati . . . . .
4.4 Criterio di stabilità di Routh-Hurwitz .
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5 Errore allo stato finito
5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Analisi dell’errore allo stato finito . . . . . . .
5.2.1 Gradino . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Rampa . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Costanti di errore statico . . . . . . . . . . .
5.4 Definizione del tipo di sistema . . . . . . . . .
5.5 Errore allo stato finito di sistemi con feedback
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6 Analisi con il luogo delle radici
6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Rappresentazione vettoriale di funzioni complesse
6.3 Luogo delle radici . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Proprietà del luogo delle radici . . . . . . . . . .
6.5 Regole per disegnare il luogo delle radici . . . . .
6.5.1 Numero di rami . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2 Simmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.3 Segmenti sull’asse reale . . . . . . . . . .
6.5.4 Punti di partenza e punti di arrivo . . . .
6.5.5 Rami che tendono all’infinito . . . . . . .
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7 aprile 2003
INDICE
Automazione I e II
7 Analisi nel dominio delle frequenze
7.1 Analisi di Bode . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Grafici delle singole funzioni . . . . . . . . . .
7.3 Utilizzo dei diagrammi di Bode in regolazione
7.4 Analisi di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Riassunto delle formule trovate . . . . . . . .
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8 Design classico di regolatori
8.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Compensatori classici . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Controllore Proporzionale-Integrale-Derivativo (PID)
8.3.1 Metodi empirici (Metodi di Ziegler-Nichols) .
8.3.2 Metodo grafico . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.3 Metodo analitico . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Compensatori Lead e Lag . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Regolatore lead dal luogo delle radici . . . . .
8.4.2 Regolatore lead dal diagramma di Bode . . .
8.4.3 Compensatori lag dal luogo delle radici . . .
8.4.4 Compensatore lag dal diagramma di Bode . .
8.5 Deadbeat Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7 Realizzazione pratica di compensatori . . . . . . . .
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A La trasformata di Laplace
143
A.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
B Diagrammi di flusso di segnali
B.1 Rappresentazione . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Operazioni su diagrammi di flusso . . . . . .
B.2.1 Riduzione secondo le regole di Mason
B.3 Scalare un nodo . . . . . . . . . . . . . . . . .
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C Matrici, determinanti e sistemi di equazioni
151
C.1 Definizione di matrici e notazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7 aprile 2003
5
Automazione I e II
6
INDICE
7 aprile 2003
Elenco delle figure
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
Processo generico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esempio di un ascensore . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sistema open loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sistema closed loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Antenna parabolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schema a blocchi dell’antenna parabolica . . . . . . . . .
Risposta al transiente con diversi valori di amplificazione .
Schema dell’antenna parabolica . . . . . . . . . . . . . . .
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2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Semplice schema elettrico . . . . . . . . . . .
Semplice schema meccanico . . . . . . . . . .
Schema di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . .
Schema di un motore dc . . . . . . . . . . . .
Schema a blocchi del sistema motore-antenna
Grafo del processo motore-antenna . . . . . .
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3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
Risposta di un sistema di 1. ordine . . . . . . . . .
Risposta di un sistema sovrasmorzato . . . . . . .
Risposta di un sistema sottosmorzato . . . . . . . .
Risposta di un istema oscillatorio . . . . . . . . . .
Risposta di un sistema smorzato criticamente . . .
Risposta di un sistema di 2. ordine sottosmorzato .
Poli del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relazione tra poli e grandezze dinamiche . . . . . .
Risposta con poli supplementari . . . . . . . . . . .
Sistema con zeri supplementari . . . . . . . . . . .
Sistema a fase non minima . . . . . . . . . . . . .
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4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Schema a blocchi dell’esempio 1 . . .
Risposta del processo dell’esempio 1
Schema a blocchi dell’esempio 2 . . .
Risposta del processo dell’esempio 2
Sistema dipendente dal parametro K
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5.1
5.2
5.3
5.4
Errore allo stato finito con entrata gradino unitario
Errore con entrata rampa unitaria . . . . . . . . .
Sistema con feedback unitario . . . . . . . . . . . .
Sistema di tipo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
Automazione I e II
8
ELENCO DELLE FIGURE
5.5
Sistema con feedback non unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
Processo per l’analisi dei poli . . . . . . . . . . . . .
Calcolo grafico del valore di una funzione complessa
1
. . . .
Luogo delle radici del sistema G(s) = s(s+10)
s+3
Luogo delle radici del sistema G(s) = s(s+1)(s+2)(s+4)
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77
78
81
82
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
7.11
7.12
7.13
7.14
7.15
7.16
Grafico della funzione jωT . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grafico della funzione jωT
Grafico della funzione 1 + jωT . . . . . . . . . . . . . . . .
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grafico della funzione 1+jωT
1
Grafico della funzione 1+2jωT −ω2 T 2 , ξ = 0.5 . . . . . . . . .
Margine di guadagno e margine di fase . . . . . . . . . . . .
400
. . . . . . .
Diagramma di Bode della funzione s(s2 +30s+200)
Contorno chiuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Punti a destra di un contorno . . . . . . . . . . . . . . . . .
Senso orario di un percorso . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Numero di rotazioni di un percorso chiuso . . . . . . . . . .
Cammino di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagamma di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Diagramma di Nyquist della funzione G(s) = (s+1)(s+3)(s+8)
Relazione tra PM, K e ξCL . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relazione tra ξ e P M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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87
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90
90
90
90
91
92
93
94
97
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
8.10
8.11
8.12
8.13
8.14
8.15
8.16
8.17
8.18
8.19
8.20
8.21
Sistema retroazionato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Risposta al gradino con PID empirico . . . . . . . . . . . . . . . .
Approssimazione di un sistema di tipo 0 . . . . . . . . . . . . . . .
Approssimazione di un sistema di tipo 1 . . . . . . . . . . . . . . .
Diagramma di Bode del sistema dell’esempio 8.1 . . . . . . . . . .
Diagramma di Bode di un regolatore PI con TI = 1 e KP = 1 . . .
Diagramma di Bode del sistema con e senza compensazione . . . .
Risposta nel tempo del sistema compensato . . . . . . . . . . . . .
Diagramma di Bode di un regolatore PD con TD = 1 e KP = 1 . .
Diagramma di Bode del sistema con compensatore proporzionale .
Diagramma di Bode del sistema con e senza compensazione PD . .
Risposta nel tempo del sistema compensato . . . . . . . . . . . . .
Diagramma di Bode di un regolatore PID con T1 = 1, T2 = 0.1 e K
Diagramma di Bode con compensazione PI . . . . . . . . . . . . .
Diagramma di Bode con e senza compensazione PID . . . . . . . .
Risposta al gradino del sistema compensato . . . . . . . . . . . . .
Sistema regolato con un PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Risposta del sistema regolato con un PD . . . . . . . . . . . . . . .
Sistema con feedback tacometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Risposta del sistema con feedback tacometrico . . . . . . . . . . .
Rappresentazione del contributo di fase di un lead . . . . . . . . .
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=1
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99
104
104
105
107
107
109
109
110
111
112
112
113
116
116
117
120
121
121
122
124
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ELENCO DELLE FIGURE
Automazione I e II
8.22
8.23
8.24
8.25
8.26
8.27
8.28
8.29
8.30
8.31
8.32
8.33
schema grafico per trovare il regolatore lead . . . . . . . . . . . .
Risposta del sistema con il regolatore lead . . . . . . . . . . . . .
Diagramma di Bode di un regolatore lead . . . . . . . . . . . . .
Diagramma di Bode del sistema con compensatore proporzionale
Risposta del sistema con il regolatore lead . . . . . . . . . . . . .
Luogo delle radici del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Risposta del sistema con compensatore lag . . . . . . . . . . . . .
Diagramma di Bode di un regolatore lag . . . . . . . . . . . . . .
Diagramma di Bode con compensatore proporzionale . . . . . . .
Risposta del sistema con regolatore lag . . . . . . . . . . . . . . .
Sistema per compensatore deadbeat . . . . . . . . . . . . . . . .
Realizzazione di compensatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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131
133
134
134
136
136
139
140
B.1
B.2
B.3
B.4
Rappresentazione di un’equazione . . . . . . . . .
Rappresentazione di un’equazione recursiva . . .
Rappresentazione di un sistema d’equazioni . . .
Procedura per scalare un nodo in un diagramma
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9
Automazione I e II
10
ELENCO DELLE FIGURE
7 aprile 2003
Elenco delle tabelle
1.1
Segnali di test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Sistemi
Sistemi
Sistemi
Sistemi
Sistemi
3.1
Riassunto dei sistemi di 2. ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1
4.2
Tabella di Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Tabella di Routh dell’equazione (4.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.1
5.2
5.3
5.4
Segnali di test . . . . . . . . . . . . . . . . .
Errore allo stato finito con le entrate di test
Costanti di errore statico . . . . . . . . . .
Tabella riassuntiva degli errori . . . . . . .
6.1
Poli del sistema ad anello chiuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
Regolatori classici . . . . . . . . . . . . .
Parametri di Ziegler-Nichols . . . . . . .
Tabella di Routh dell’esempio . . . . . .
Coefficienti per il polinomio di deadbeat
Realizzazione di regolatori . . . . . . . .
con
con
con
con
con
grandezze elettriche ideali . .
grandezze meccaniche ideali in
grandezze meccaniche ideali in
fluidi ideali . . . . . . . . . .
elementi termici ideali . . . .
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traslazione
rotazione .
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25
25
26
26
26
67
71
71
73
100
101
103
138
141
A.1 Trasformate di Laplace di funzioni comuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
A.2 Proprietà della trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7 aprile 2003
11
Automazione I e II
12
ELENCO DELLE TABELLE
7 aprile 2003
Capitolo 1
Introduzione ai sistemi di controllo
1.1
Applicazioni dei sistemi di controllo
I sistemi di controllo sono una parte importante della nostra società. Ne possiamo vedere
tantissimi attorno a noi: razzi, veicoli spaziali, sistemi di controllo di temperatura, sistemi
di assemblaggio di autoveicoli, addirittura il nostro corpo è pieno di sistemi di controllo.
Molte volte i sistemi di controllo permettono di eseguire operazioni che sarebbero impossibili a mano. Se ad esempio la regolazione della temperatura in una casa potrebbe
essere fatto ancora a mano regolando di tanto in tanto il sistema di riscaldamento, sarebbe impossibile orientare a mano un’antenna di un radiotelescopio nello spazio e tenerla
puntata in una determinata direzione, o farle seguire a mano il movimento di un astro.
Per l’assemblaggio di autovetture vengono ormai utilizzati sistemi automatici che saldano, spostano ecc. Anche nell’elettronica di consumo abbiamo tantissimi casi di sistemi
di controllo. Il raggio laser di un lettore di compact disc viene posizionato esattamente
nella posizione di lettura grazie ad un sistema di controllo. Un disco rigido di un computer viene letto posizionando le testine con una precisione altissima grazie ad un sistema di
controllo.
1.2
Un po’ di storia
I sistemi di controllo esistono da quando esiste la terra. La regolazione della temperatura,
la crescita di una pianta, il movimento del vento, tutti questi sono sistemi controllati.
I primi sistemi di controllo costruiti dall’uomo risalgono al 300 a.C., quando i greci
costruirono i primi metodi per regolare i livelli dei liquidi nelle lampade a petrolio e negli
orologi ad acqua.
Nel 17. secolo, Cornelius Drebbel costruı̀ il primo sistema di controllo della cottura
delle uova. James Watt inventò nel 18. secolo il sistema di controllo per le macchine a
vapore.
La teoria dei sistemi di controllo che studiamo noi oggi ha iniziato a formarsi nella seconda metà del secolo scorso grazie al contributo di J. C. Maxwell, E. J. Routh e
A. M. Lyapunov. Ognuno di essi ha contribuito alla formulazione della teoria moderna
della stabilità dei sistemi di controllo.
Tra il 1920 e il 1930 nei laboratori della Bell è stata fatta l’analisi della retroazione
degli amplificatori, sviluppata da Bode e Nyquist. Nel 1948 Evans sviluppò la teoria basata
7 aprile 2003
13
Automazione I e II
Capitolo 1. Introduzione ai sistemi di controllo
sulla posizione dei poli e degli zeri di un sistema (luogo delle radici), come base per lo
studio dei sistemi di controllo.
Lo studio dei sistemi di controllo è uno studio interdisciplinare, poiché presuppone la
conoscenza di sistemi di qualsiasi tipo, siano essi meccanici, elettrici, chimici, biologici ecc.
Lo studio dei sistemi di controllo presuppone delle ottime conoscenze di matematica,
una buona dose di intuizione e la capacità di effettuare analisi qualitative.
1.3
Descrizione dei sistemi di controllo
Alla base di un sistema di controllo troviamo il processo che ci interessa. Per esempio una
fornace in cui vengono bruciate delle particolari sostanze rappresenta un processo. Una
casa in cui si vuole regolare la temperatura ambientale rappresenta anch’essa un processo
di una certa complessità.
Come si può vedere nella figura 1.1 ogni processo ha in genere delle grandezze all’ingresso (input), con cui è possibile influenzare le grandezze in uscita (output). Per esempio,
modificando la tensione all’entrata di un motore dc (input), possiamo variarne la velocità
(output).
input
processo
output
Figura 1.1: Processo generico
La grandezza in entrata rappresenta normalmente il valore che si vorrebbe avere in
uscita. Per esempio, in un ascensore, schiacciando il bottone del piano numero 4 si vorrebbe
raggiungere questo piano con una certa precisione ed un buon comfort dei passeggeri
(Figura 1.2). L’input è rappresentato dalla scelta del piano (p.es. bottone 4 premuto),
mentre l’output è rappresentato dal movimento dell’ascensore in direzione verticale. Il
movimento dell’ascensore non può, per diversi motivi, portare istantaneamente la cabina
dell’ascensore al 4. piano, anche se la grandezza di input è cambiata in modo istantaneo.
Le grandezze fisiche (velocità, posizione) non possono cambiare in modo istantaneo, ma
compiono un movimento che viene definito come risposta al transiente del sistema. Ad un
certo momento la risposta al transiente raggiunge un valore che non cambia praticamente
più nel tempo, posizione che viene definita come stato finito (steady-state). L’accuratezza
con cui lo stato finito approssima lo stato desiderato è un altro fattore non trascurabile,
poiché può anche esserci un errore tra il valore desiderato e il valore ottenuto. Questo
errore è definito errore allo stato finito (steady-state error ). Talvolta questo errore non
ha nessun influsso negativo sul sistema. Per esempio un errore di posizione di qualche
frazione di grado dell’antenna di un radar che segue un satellite è tollerabile fintanto che
il satellite non esce dal fascio del radar. Un robot che inserisce un chip in un circuito non
può invece avere nessun tipo di errore allo stato finito.
Tra i vantaggi dei sistemi di controllo c’è, ad esempio, quello di un guadagno di potenza (p.es. in un servomeccanismo). Girando un piccolo bottone si riesce a posizionare
un’antenna parabolica di diverse tonnellate. Oppure si può usare un sistema automatico
per fare lavori pericolosi, come cambiare il combustibile in un reattore nucleare.
14
7 aprile 2003
1.3. Descrizione dei sistemi di controllo
Automazione I e II
errore allo
stato finito
Step Response
4
3.5
3
risposta al
transiente
Amplitude
2.5
risposta allo
stato finito
2
1.5
1
0.5
0
0
10
20
30
40
50
60
70
Time (sec.)
Figura 1.2: Esempio di un ascensore
Inoltre è importante considerare la capacità dei sistemi controllati di compensare dei
disturbi imprevisti. Se prendiamo nuovamente il nostro sistema di antenna parabolica, se
essa viene spostata di un piccolissimo angolo dal vento (ciò che però può causare un errore
grandissimo sulle lunghe distanze in cui l’antenna opera), deve essere in grado di valutare
questo spostamento e di correggerlo. Il sistema deve quindi essere capace di detettare
errori nella sua posizione (errore rispetto alla posizione desiderata) ed avere meccanismi
di correzione implementati.
Esistono due tipi di circuiti di regolazione, quelli ad anello aperto (open loop) e quelli
ad anello chiuso (closed loop).
disturbi
input
processo
controllore
controller
Sum
output
processo
Figura 1.3: Sistema open loop
Il vantaggio di un sistema open loop (figura 1.3) risiede nella sua estrema semplicità.
Se pensiamo ad un tostapane, dobbiamo semplicemente impostare il tempo di cottura
desiderato e otteniamo il nostro toast perfettamente cotto. Oppure possiamo pensare ad
un forno a microonde dove impostiamo la potenza ed il tempo di cottura per ottenere la
nostra cena. Lo svantaggio di questi sistemi è quello di non essere in grado di compensare
7 aprile 2003
15
Automazione I e II
dei disturbi o dei cambiamenti non preventivabili. Se ad esempio per un qualsiasi motivo
la temperatura di cottura è superiore a quella normale, otterremo toast bruciacchiati e
una cena stracotta.
disturbi
input
trasd
processo
controllore
trasduttore
in entrata
Sum1
controller
Sum
output
processo
Figura 1.4: Sistema closed loop
Se avessimo un tostapane di tipo closed loop (figura 1.4), potremmo ad esempio misurare in un qualche modo il colore o la temperatura del nostro toast e terminare la cottura
quando avremo ottenuto il risultato desiderato. Questo funzionerebbe sempre in tutti i
casi, anche in presenza di disturbi.
Questo è il principale vantaggio dei sistemi ad anello chiuso. Conseguentemente però
anche la loro realizzazione risulta più complessa rispetto a quella di un sistema ad anello
aperto (sensorica!), con conseguenti costi maggiori. Nel sistema ad anello chiuso il valore
in uscita viene costantemente confrontato con il valore desiderato in entrata, e in base alla
differenza che si ottiene, tramite il controllore, viene impostato un segnale da immettere
quale input al processo al fine di ottenere l’uscita desiderata.
1.4
Analisi dei sistemi ed obiettivi di design
I sistemi di controllo sono generalmente sistemi dinamici. Essi reagiscono ad una variazione dell’ingresso con una funzione in uscita che in genere tende a somigliare a quella in
entrata. Ci sarà un certo tempo di risposta (transiente) prima di raggiungere il valore
finale (stato finito) all’uscita del sistema. È quindi importante discutere i vari casi di
risposta al transiente e di risposta allo stato finito. Inoltre entra anche in gioco un nuovo
concetto che è quello della stabilità.
1.4.1
Risposta al transiente
È una componente molto importante del sistema. Se prendiamo il nostro ascensore, una
risposta al transiente troppo lenta (velocità di salita troppo lenta) rende impazienti i passeggeri. Nel contempo una risposta troppo rapida rende la salita poco confortevole. Inoltre
bisognerebbe evitare che una volta raggiunto il piano desiderato la cabina dell’ascensore
si metta ad oscillare prima di fermarsi.
La risposta al transiente è pure molto importante per ragioni strutturali. Un transiente
troppo rapido può anche causare danni fisici importanti a strutture e persone.
Normalmente si vuole che la risposta al transiente di un sistema mostri delle caratteristiche desiderate quali la velocità di risposta, la sovraelongazione (superamento
temporaneo del valore finale), il tempo di salita ecc.
16
7 aprile 2003
1.5. Controllo di posizione di un’antenna
1.4.2
Automazione I e II
Errore allo stato finito
Un altro parametro di controllo molto importante è l’errore allo stato finito che rappresenta
la differenza tra il valore desiderato (valore di riferimento) e il valore ottenuto in uscita.
Spesso è sufficiente che questo errore sia sufficientemente piccolo, altre volte invece occorre
una precisione maggiore ed è necessario che questo errore venga portato a 0. Quando
verranno impostate le specifiche per un regolatore di sistema si dovrà anche conoscere
l’entità di questo errore.
1.4.3
Stabilità
Questo è sicuramente il criterio più importante da soddisfare in un processo controllato. Un
sistema stabile è un sistema che mantiene il suo stato all’uscita entro dei limiti misurabili
non infiniti. Un oscillazione che si smorza o una che continua perenne sono segni di
stabilità, mentre un’oscillazione che tende a portare la sua ampiezza all’infinito non lo è.
Parlando di sistemi dinamici, la loro soluzione è basata sulla soluzione di equazioni
differenziali. Ogni equazione differenziale viene scomposta per la sua risoluzione in una
parte omogenea che non dipende dal segnale in entrata, e in una parte inomogenea che
dipende unicamente dal segnale in entrata. Le due soluzioni vengono chiamate risposta
naturale (quella del sistema omogeneo) e risposta forzata (quella del sistema inomogeneo).
In un sistema di controllo è importante che la risposta naturale tenda a 0 con il passare
del tempo, in modo che la funzione in uscita prenda un andamento simile al segnale in
entrata.
1.5
Controllo di posizione di un’antenna
Vediamo ora un esempio di processo relativo al posizionamento di un’antenna parabolica.
Analizzeremo questo esempio in dettaglio, poiché ci accompagnerà per tutto il resto del
corso (vedi figura 1.5).
Tramite il potenziometro all’entrata viene impostato l’angolo che si vuole far prendere
all’antenna. Il potenziometro converte questo angolo in una tensione elettrica. Analogamente, all’uscita, l’angolo effettivo dell’antenna viene convertito, tramite un altro potenziometro, in una tensione elettrica. La differenza tra le due tensioni è quindi proporzionale
alla differenza tra l’angolo desiderato (entrata) e l’angolo raggiunto (uscita). Con questa
tensione è possibile pilotare un motore dc che muove l’antenna. Uno schema a blocchi è
rappresentato nella figura 1.6.
Tramite il potenziometro, l’angolo desiderato (angolo di input) viene trasformato in
una tensione che viene confrontata con la tensione in uscita. La differenza tra le due
tensioni è proporzionale alla differenza tra i due angoli. Questa tensione viene amplificata
e usata per muovere il motore. Questo sistema continua a muovere il motore fintanto che
la differenza tra gli angoli non è nulla.
L’amplificazione applicata alla tensione proporzionale all’errore determina come il motore muoverà l’antenna (eventuale oscillazione). La risposta dinamica del sistema per
diversi valori di amplificazione è riportata nella figura 1.7.
La reazione ideale la si ha quando al posto dell’amplificatore viene inserito un filtro,
che in regolazione prende il nome di compensatore. In questo modo è possibile raggiungere
risultati migliori sia in velocità che in transiente.
7 aprile 2003
17
Automazione I e II
θin
θout
PSfrag replacements
Figura 1.5: Antenna parabolica
angolo di
input
tensione prop.
all’input
angolo−>
tensione
Potenzimetro
errore
Sum
Driver
Antenna
Amplificatore
di potenza
Processo
angolo di
output
angolo−>
tensione
tensione proporzionale
all’output
Potenziometro
Figura 1.6: Schema a blocchi dell’antenna parabolica
Step Response
1.4
1.2
Output con alto guadagno
Amplitude
1
0.8
Output con basso guadagno
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Time (sec.)
Figura 1.7: Risposta al transiente con diversi valori di amplificazione
18
7 aprile 2003
1.6. Analisi e realizzazione di compensatori
1.6
Automazione I e II
Analisi e realizzazione di compensatori
La realizzazione dei compensatori è però possibile solo dopo un’accurata analisi del sistema
che si utilizza. Quest’analisi prevede in genere 5 parti distinte
1.6.1
Determinare il sistema fisico
Per esempio, nel caso della nostra antenna, si tratta di mantenere una posizione mediante
un angolo che viene impostato come grandezza di input, con un errore allo stato finito nullo,
un certo comportamento al transiente, certe grandezze elettriche ecc. Determineremo
quindi cosa avremo a disposizione come hardware e costruiremo in seguito dei sottoblocchi.
1.6.2
Trasformare il sistema in una serie di schemi (schema a blocchi, circuiti
elettrici ecc.)
Occorre in questo momento tenere conto solo di quelle parti del sistema che sono veramente
importanti per l’analisi completa del processo. Nel caso della nostra antenna potremmo
trovare uno schema simile a quello della figura 1.8.
Potenziometro
Resistenza
armatura
+
Amplificatore
differenziale
e di
potenza
-
Campo fisso
Inerzia
Smorzamento
Potenziometro
Figura 1.8: Schema dell’antenna parabolica
1.6.3
Determinare il modello matematico del sistema
Si tratta normalmente di utilizzare quelle leggi della fisica conosciute per la descrizione del
processo (Legge di Kirchhoff alle maglie, legge di Kirchhoff ai nodi, leggi di Newton per
sistemi meccanici). In molti casi si arriva ad ottenere delle equazioni differenziali, talvolta
di tipo lineare, invarianti nel tempo, che descrivono il sistema.
Queste equazioni possono essere sostituite con una rappresentazione mediante le trasformate di Laplace (funzione di trasferimento), o nello spazio degli stati (sistema di
equazioni differenziali di 1. ordine).
7 aprile 2003
19
Automazione I e II
1.6.4
Riduzione del diagramma a blocchi
Per poter valutare il comportamento di un sistema, occorre trasformarlo in un unico blocco
con una o più entrate e una o più uscite. Solo in questo momento è possibile analizzarlo
in modo completo.
1.6.5
Analisi e design
Una volta che il sistema è stato ridotto ad un blocco, si possono analizzarne le caratteristiche quali la risposta a determinati segnali in entrata, il suo errore a transitorio esaurito,
la sua stabilità ecc.
I segnali di test che vengono immessi all’entrata sono segnali molto semplici, e sono
riportati nella tabella 1.1.
20
7 aprile 2003
1.6. Analisi e realizzazione di compensatori
Nome
funzione
Impulso
δ(t)
Automazione I e II
grafico
utilizzo
transiente, identificazione
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
sinusoide
sin t
−1
0
1
2
3
4
5
transiente, identificazione
6
Step Response
2
1.8
1.6
1.4
Amplitude
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
gradino
0
u(t)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Time (sec.)
transiente, errore
Step Response
1.4
1.2
Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
rampa
0
tu(t)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Time (sec.)
errore
Step Response
350
300
Amplitude
250
200
150
100
50
parabola
1 2
2 t u(t)
0
0
5
10
Time (sec.)
15
20
25
errore
Tabella 1.1: Segnali di test
7 aprile 2003
21
Automazione I e II
22
7 aprile 2003
Capitolo 2
Modellazione di processi
2.1
Introduzione
Per poter analizzare a fondo un processo e poterlo in seguito correggere e influenzare,
occorre trovare una descrizione quantitativa del suo comportamento. L’operazione di
modellazione è molto complessa, e occupa normalmente una grossa parte del lavoro di
regolazione.
Il primo lavoro da fare quando si vuole trovare un modello matematico di un sistema è
quello di applicare quelle leggi della fisica che ne descrivono il comportamento. Se abbiamo
ad esempio un circuito elettrico dovremo applicare le leggi di Kirchhoff, che sono la base
dell’elettrotecnica. Se studiamo invece sistemi meccanici dovremo applicare le leggi di
Newton sul moto di traslazione e rotazione.
Questo lavoro porta normalmente a determinare una descrizione del processo basata su
equazioni differenziali. Una volta trovato il modello occorre fare ancora un’identificazione
dei parametri in gioco mediante un confronto tra il comportamento reale e quello simulato,
in modo da ottenere un modello il più preciso possibile.
Esempio 2.1 Determiniamo le relazioni che descrivono il circuito della figura 2.1
iL
u
+
−
L
uL
R
iR
iC
C
uC
Figura 2.1: Semplice schema elettrico
Sappiamo che in un circuito elettrico, su componenti reattivi valgono le relazioni seguenti
duC
dt
diL
L
dt
C
7 aprile 2003
= iC
(2.1)
= uL
(2.2)
23
Automazione I e II
Capitolo 2. Modellazione di processi
Applicando le leggi di Kirchhoff otteniamo le equazioni seguenti
1
iC = −iR + iL = − uC + iL
R
(2.3)
uL = −uC + u(t)
(2.4)
e
Sostituendo le derivate nelle equazioni (2.3) e (2.4) si ottiene
duC
dt
diL
L
dt
C
1
= − uC + i L
R
(2.5)
= −uC + u(t)
(2.6)
Si tratta come possiamo vedere di un sistema di due equazioni differenziali lineari.
Esempio 2.2 Determiniano le relazioni che legano le varie grandezze nel sistema meccanico della figura 2.2
fv
M
K
F(t)
PSfrag replacements
x(t)
Figura 2.2: Semplice schema meccanico
Per analizzare le forze che agiscono sulla massa M utilizziamo la legge di Newton
M
d2 x X
=
F
dt2
Le forze esterne che agiscono sulla massa sono quelle dovute alla molla e allo smorzamento
(considerato vischioso), oltre alla forza applicata F(t). L’equazione che descrive il moto
di traslazione della massa M diventa quindi
M
dx(t)
d2 x(t)
= −fv
− Kx(t) + F (t)
2
dt
dt
Anche in questo caso si ottiene un’equazione differenziale lineare.
In questi due esempi abbiamo ottenuto delle equazioni differenziali lineari che descrivono l’andamento nel tempo dei processi analizzati. Non sempre si ottengono rappresentazioni lineari, si è però praticamente sempre confrontati con equazioni differenziali
o sistemi di equazioni differenziali. Queste equazioni saranno il punto di partenza per
ulteriori analisi sui processi.
24
7 aprile 2003
2.2. Relazioni tra grandezze fisiche
2.2
Automazione I e II
Relazioni tra grandezze fisiche
Cerchiamo ora di riassumere in alcune tabelle le relazioni che intercorrono tra le grandezze
fisiche che troviamo usualmente nei processi di regolazione. La tabella 2.1 mostra le
relazioni tra grandezze elettriche in un circuito. La tabella 2.2 e la tabella 2.3 mostrano le
relazioni tra grandezze meccaniche rispettivamente per il moto di traslazione e di rotazione.
La tabella 2.4 mostra le relazioni che descrivono il comportamento di serbatoi, mentre la
tabella 2.5 mette in relazione i comportamenti in presenza di temperatura.
i : corrente
u : tensione
[A]
[V ]
Resistenza
R
U = Ri
Condensatore
C
iC = C
duC
dt
Induttanza
L
uL = L
diL
dt
Tabella 2.1: Sistemi con grandezze elettriche ideali
f : forza
x : spostamento
[N ]
[m]
Molla
f (t) = Kx(t)
Smorzatore vischioso
f (t) = fv
dx(t)
dt
Inerzia
f (t) = M
d2 x(t)
dt2
Tabella 2.2: Sistemi con grandezze meccaniche ideali in traslazione
2.3
Rappresentazioni
Per semplificare la rappresentazione di processi descritti da equazioni differenziali vengono
utilizzati principalmente due metodi:
• La funzione di trasferimento, calcolata tramite le trasformate di Laplace
• Un sistema di equazioni differenziali di 1. ordine, nello spazio degli stati
Entrambe le rappresentazioni hanno vantaggi e svantaggi. La semplicità della trasformata di Laplace è limitata dalla possibilità di rappresentare unicamente sistemi lineari.
Per la rappresentazione nello spazio degli stati la difficoltà (relativa) è quella di scegliere
in modo appropriato le variabili di stato per costruire il sistema di equazioni.
7 aprile 2003
25
Automazione I e II
f : momento
ϕ : angolo
[N m]
[rad]
Molla
f (t) = Kϕ(t)
Smorzatore vischioso
f (t) = D
Inerzia
f (t) = J
dϕ(t)
dt
d2 ϕ(t)
dt2
Tabella 2.3: Sistemi con grandezze meccaniche ideali in rotazione
h : altezza
q : portata
[m]
[m3 s−1 ]
h(t)
R
Resistenza del fluido
q(t) =
Capacità del fluido
q(t) = A
dh(t)
dt
Tabella 2.4: Sistemi con fluidi ideali
2.4
La trasformata di Laplace
Una descrizione più dettagliata delle trasformate di Laplace è riportata nell’allegato A.
Con l’aiuto delle trasformate di Laplace possiamo ora trasferire l’analisi di un sistema
dal dominio del tempo in cui occorre lavorare con equazioni differenziali, al dominio della
variabile di Laplace dove invece possiamo lavorare con equazioni algebriche. Possiamo
vedere schematicamente questo metodo di soluzione nella figura 2.3.
In pratica troviamo la trasformata di Laplace della funzione in ingresso, la funzione di
trasferimento, e con una semplice moltiplicazione otteniamo la funzione Y(s) nel dominio
di Laplace. Tramite l’antitrasformata di Laplace possiamo in seguito risalire alla funzione
y(t).
θ(t) : differenza di T
q : flusso di calore
[K]
[W ]
θ(t)
R
Resistenza termica
q(t) =
Capacità termica
q(t) = C
dθ(t)
dt
Tabella 2.5: Sistemi con elementi termici ideali
26
7 aprile 2003
2.4. La trasformata di Laplace
Automazione I e II
Sistema
u(t)
y(t)
u(t)=F(y,y’,y’’,...)
£
£ -1
G(s)
U(s)
Y(s)=U(s)*G(s)
Figura 2.3: Schema di calcolo
Per l’utilizzazione nell’ambito della regolazione di processi, il passaggio da Y (s) a y(t)
non è praticamente necessario, avendo a disposizione dei pacchetti matematici in grado
di simulare il comportamento del sistema direttamente dalla funzione di trasferimento.
Conoscendo quindi U (s) e G(s) è possibile simulare direttamente il comportamento nel
tempo di y(t).
Applichiamo ora questo metodo ai due esempi visti all’inizio di questo capitolo.
Il processo dell’esempio 1 era descritto dal sistema di equazioni differenziali seguenti
C
1
duC
= − uC + i L
dt
R
(2.7)
e
diL
= −uC + u(t)
dt
Considerando condizioni iniziali nulle, l’equazione (2.7) diventa
L
1
CsUC (s) = − UC (s) + IL (s)
R
e quindi
IL (s) = sCUC (s) +
1
UC (s)
R
(2.8)
(2.9)
(2.10)
L’equazione (2.8) diventa
LsIL (s) = −UC (s) + U (S)
(2.11)
Sostituendo ora (2.10) in (2.11) otteniamo
s2 LCUC (s) +
L
sUC (s) = −UC (s) + U (s)
R
(2.12)
Risolvendo per UC si ottiene
UC (s)(1 +
L
s + s2 LC) = U (s)
R
(2.13)
e quindi la funzione di trasferimento tra U(s) e UC (s) diventa
G(s) =
7 aprile 2003
UC (s)
=
U (s)
1+
L
Rs
1
+ LCs2
(2.14)
27
Automazione I e II
Per l’esempio 2 avevamo trovato l’equazione differenziale seguente
M
d2 x(t)
dx(t)
= −fv
− Kx(t) + F (t)
dt2
dt
(2.15)
Anche in questo caso consideriamo per semplicità condizioni iniziali nulle. L’equazione (2.15) diventa quindi in Laplace
M s2 X(s) = −fv sX(s) − KX(s) + F (s)
(2.16)
Risolvendo per X(s) si ottiene
X(s)(M s2 + fv s + K) = F (s)
(2.17)
Anche in questo caso possiamo trovare la funzione di trasferimento tra F(s) e X(s)
G(s) =
X(s)
1
=
2
F (s)
M s + fv s + K
(2.18)
In entrambi i casi si può notare che il polinomio caratteristico dell’equazione differenziale coincide con il denominatore della funzione di trasferimento.
2.5
Spazio degli stati
Con l’inizio dell’esplorazione spaziale, le richieste di sistemi di controllo sono aumentate considerevolmente. Si tratta in genere di regolazioni di sistemi non lineari, che
presuppongono approcci differenti da quello con la trasformata di Laplace.
La rappresentazione nello spazio degli stati permette di sostituire ad un’equazione
differenziale un sistema di equazioni differenziali di 1. ordine. Il lavoro nello spazio
degli stati permette anche la rappresentazione di sistemi non lineari, e quindi può essere
utilizzata in un ambito più vasto rispetto alle trasformate di Laplace.
Si tratta di un metodo che analizza i sistemi nel dominio del tempo, e quindi legato
alla rappresentazione mediante equazioni differenziali di un sistema. Il grosso vantaggio di
questo metodo è rappresentato dall’ampia gamma di possibili utilizzi, soprattutto in quei
sistemi dove alcuni termini dell’equazione differenziale non sono costanti, ma variano nel
tempo. Pensiamo ad esempio alla massa di un missile che diminuisce con il consumo di
carburante, oppure un aeroplano che vola ad altitudini differenti. La complessità di dover
rappresentare un sistema mediante delle equazioni differenziali al posto delle tradizionali
equazioni algebriche, viene in parte compensata dalla grande quantità di software presente
sul mercato che permette la simulazione di questi sistemi. Nel caso di sistemi lineari
esiste inoltre la possibilità di passare con operazioni algebriche dalla rappresentazione nel
dominio del tempo alla rappresentazione di Laplace e viceversa.
Esempio 2.3 Prendiamo in considerazione un’equazione differenziale di 3. ordine del
tipo
d3 y(t)
d2 y(t)
dy(t)
+
a
+ a1
+ a0 y(t) = u(t)
(2.19)
2
dt3
dt2
dt
Possiamo trasformare questa equazione differenziale di 3. ordine in 3 equazioni differenziali di 1. ordine con la semplice sostituzione di variabile
28
7 aprile 2003
2.5. Spazio degli stati
Automazione I e II
y(t) = x1 (t)
(2.20)
ẋ1 (t) = x2 (t)
(2.21)
ẋ2 (t) = x3 (t)
(2.22)
ẋ3 (t) = −a0 x1 (t) − a1 x2 (t) − a2 x3 (t) + u(t)
(2.23)
Questa rappresentazione può anche essere sostituita con una rappresentazione di tipo
matriciale nella forma







ẋ1
0
1
0
x1
0

 

 

ẋ
0
0
1
x
=
+
 2  
  2   0  u(t)
ẋ3
−a0 −a1 −a2
x3
1
(2.24)
che può essere riassunto in
ẋ = Ax + bu(t)
Le variabili x1 , x2 e x3 sono dette variabili di stato, il vettore x è detto vettore delle
variabili di stato, mentre la matrice A prende il nome di matrice di stato.
La formulazione generale dell’equazione nello spazio degli stati, per sistemi con n variabili di stato, m entrate e k uscite, detto sistema MIMO (Multiple Input Multiple Output)
può essere descritta da
ẋ = Ax + Bu
(2.25)
y = Cx + Du
(2.26)
in cui A è una matrice n x n, B una matrice n x m, C una matrice n x k e D una matrice
m x k.
Nel caso semplice di una entrata e una uscita si parla di sistema SISO (Single Input
Single Output), con B e C che diventano vettori e D che diventa uno scalare. Spesso
quest’ultima componente vale 0, non essendoci un collegamento diretto tra entrata e uscita
(feedforwarding).
Cerchiamo ora la rappresentazione nello spazio degli stati dei due esempi visti all’inizio
del capitolo. Le equazioni di partenza dell’esempio 1 sono
duC
dt
diL
L
dt
C
1
= − uC + i L
R
(2.27)
= −uC + u(t)
(2.28)
Dividendo la prima equazione a destra e a sinistra per C e la seconda per L, possiamo
fare la sostituzione con le variabili di stato seguenti
uC
7 aprile 2003
= x1
(2.29)
iL = x 2
(2.30)
29
Automazione I e II
mentre la grandezza y risulta uguale a x1 . Con queste sostituzioni, possiamo trovare la
rappresentazione del sistema tra entrata u(t) e uscita uC (t)
"
ẋ1
ẋ2


1
1 "
# "
#
0
 − RC C  x1
+ 1 u(t)
= 

1
x2
L
0
−
L "
#
h
i x
1
1 0
=
x2
#
uC
(2.31)
(2.32)
Per il secondo esempio, partendo dall’equazione
d2 x(t)
dx(t)
= −fv
− Kx(t) + F (t)
2
dt
dt
dividiamo dapprima a destra e a sinistra per M e poi facciamo la sostituzione
M
(2.33)
x1 = x(t)
x2 = ẋ(t)
Il sistema a questo punto diventa
"
ẋ1
ẋ2
#

0
= K
−
M
"
1
fv 
−
M
x(t) =
2.6
h
1 0
i
x1
x2
#
"
x1
x2


0
+  1  F (t)
M
#
(2.34)
(2.35)
Descrizione di un motore dc
Applichiamo ora le conoscenze acquisite per il calcolo di un sistema elettromeccanico quale
la nostra antenna vista precedentemente. Dapprima analizziamo il motore che fa ruotare
l’antenna e cerchiamo di determinarne le equazioni che ne descrivono il comportamento.
Nella figura 2.4 è rappresentato lo schema di un motore in dc.
Il campo magnetico viene prodotto da un magnete permanente o da un elettromagnete
stazionario e viene chiamato campo fisso. Il circuito rotante è detto armatura e nelle sue
spire passa una corrente che provoca una forza secondo la legge fisica
F (t) = Bli(t)
dove B è la componente perpendicolare alle spire del campo magnetico, l la lunghezza del
conduttore e i(t) la corrente. Il momento risultante muove la parte mobile del motore,
chiamata rotore.
C’è però anche un altro fenomeno che si produce nel motore: il conduttore che si muove
nel campo magnetico genera ai suoi capi una tensione indotta pari a
Va = Blv(t)
dove Va è la tensione indotta e v(t) rappresenta la velocità del conduttore rispetto alla
componente normale del campo magnetico B. Siccome l’armatura in cui scorre la corrente
30
7 aprile 2003
2.6. Descrizione di un motore dc
ia
Automazione I e II
Campo fisso
La
Ra
PSfrag replacements
Tm
ea
ϕm
Va
Figura 2.4: Schema di un motore dc
è in rotazione rispetto al campo magnetico, otteniamo una tensione indotta proporzionale
alla velocità di rotazione. Quindi
Va (t) = Kb
dϕm (t)
= Kb ωm (t)
dt
(2.36)
La tensione Va viene chiamata forza elettromotrice inversa (back emf ), Kb è la costante
di proporzionalità chiamata costante di forza elettromotrice inversa (back emf constant).
Il momento esercitato dal motore è proporzionale alla corrente che passa nell’armatura,
secondo la relazione
Tm (t) = Kt ia (t)
(2.37)
La costante di momento Kt del motore può essere determinata o letta dai Data Sheet.
Applichiamo ora la legge di Kirchhoff alle maglie del circuito di armatura del motore
e otteniamo
dia (t)
− Va (t) = 0
(2.38)
dt
Applichiamo la legge di Newton per i solidi in rotazione e possiamo mettere in relazione
posizione angolare e caratteristiche dinamiche del motore (momento di inerzia e attrito di
rotazione)
ea (t) − Ra ia (t) − La
Jm
d2 ϕm (t)
dϕm (t)
= −Dm
+ Tm
dt2
dt
(2.39)
Sapendo che
dϕm (t)
= ωm (t)
dt
(2.40)
e utilizzando l’equazione (2.37) nell’equazione (2.39) otteniamo
Jm
7 aprile 2003
dωm (t)
= −Dm ωm (t) + Kt ia (t)
dt
(2.41)
31
Automazione I e II
Sostituendo Va trovato in (2.36) nell’equazione (2.38) e portando a sinistra la derivata
otteniamo
La
dia (t)
= −Ra ia (t) − Kb ωm (t) + ea (t)
dt
(2.42)
Le equazioni (2.40), (2.41) e (2.42) descrivono completamente il sistema. Le costanti
Kb , Kt , Jm e Dm sono caratteristiche del motore e possono essere lette dai Data Sheet o
ricavate da misurazioni sperimentali.
2.6.1
Funzione di trasferimento del motore dc
Con le trasformate di Laplace, considerando per semplicità condizioni iniziali nulle, l’equazione (2.40) diventa
sΦm (s) = Ω(s)
(2.43)
Sostituendo (2.43) nella trasformata di Laplace dell’equazione (2.41) si ottiene
Jm s2 Φm (s) = −Dm sΦm (s) + Kt Ia (s)
(2.44)
da cui si ricava il valore di Ia (s) pari a
Ia (s) =
Jm s2 Φm (s) + Dm sΦm (s)
Kt
(2.45)
Inserendo (2.43) e (2.45) nella trasformata dell’equazione (2.42) e risolvendo per Φ m (s)
otteniamo
Φm (s)(s3
L a Dm
Ra Jm
Ra Dm
L a Jm
+ s2
+ s2
+s
+ sKb ) = Ea (s)
Kt
Kt
Kt
Kt
(2.46)
La funzione di trasferimento tra Ea (s) e Φm (s) risulta quindi essere
Φm (s)
Kt
=
2
Ea (s)
s(s La Jm + sLa Dm + sRa Jm + Ra Dm + Kb Kt )
(2.47)
Se consideriamo che normalmente il valore di La è trascurabile, si può semplificare notevolmente il risultato, ottenendo
Φm (s)
Kt
=
Ea (s)
s(sRa Jm + Ra Dm + Kb Kt )
(2.48)
o anche
Φm (s)
=
Ea (s)
32
Kt
Ra Jm
µ
¶
Ra Dm + Kb Kt
s s+
Ra Jm
(2.49)
7 aprile 2003
2.7. Conversione da funzione di trasferimento a spazio degli stati
2.6.2
Automazione I e II
Rappresentazione nello spazio degli stati del motore dc
Partiamo dalle equazioni differenziali trovate (2.40), (2.41) e (2.42), dividiamo le equazioni
per i fattori che moltiplicano le derivate a sinistra (Jm e La ), e in seguito effettuiamo la
sostituzione con le variabili di stato
x1 = ϕ m
(2.50)
x2 = ω m
(2.51)
x3 = i a
(2.52)
Si ottiene il sistema

1

ẋ1
D
m

  0 −
 ẋ2  = 
J

m

Kb
ẋ3
0 −
La

e

0
ϕm (t) =
2.7
h
0
Kt
Jm
Ra
−
La


 

 x1
0



  x2 
 +  0  ea (t)

 x
1
1 0 0
(2.53)
3
i


x1


 x2 
x3
(2.54)
Conversione da funzione di trasferimento a spazio degli stati
Le rappresentazioni nel piano degli stati di un determinato processo sono molteplici, e
dipendono dalla scelta delle variabili di stato. Vedremo di seguito come ottenere una
particolare rappresentazione, partendo dalla funzione di trasferimento.
Consideriamo una trasformata di Laplace che rappresenta la funzione di trasferimento
tra una grandezza in entrata U(s) e una grandezza in uscita Y(s):
bn−1 sn−1 + bn−2 sn−2 + · · · + b1 s + b0
Y (s)
= n
U (s)
s + an−1 sn−1 + an−2 sn−2 + · · · + a1 s + a0
(2.55)
Possiamo suddividere il sistema in due funzioni di trasferimento in serie. La prima funzione
di trasferimento viene definita come
X(s)
1
= n
U (s)
s + an−1 sn−1 + an−2 sn−2 + · · · + a1 s + a0
(2.56)
mentre la seconda è definita come
Y (s)
= bn−1 sn−1 + bn−2 sn−2 + · · · + b1 s + b0
X(s)
(2.57)
Consideriamo inizialmente l’equazione (2.56)
X(s) =
7 aprile 2003
U (s)
sn + an−1 sn−1 + an−2 sn−2 + · · · + a1 s + a0
(2.58)
33
Automazione I e II
X(s)(sn + an−1 sn−1 + an−2 sn−2 + · · · + a1 s + a0 ) = U (s)
(2.59)
Questa equazione nel tempo diventa
dn−1 x(t)
dx(t)
dn x(t)
+
a
+ · · · + a1
+ a0 x(t) = u(t)
n−1
dtn
dtn−1
dt
Scegliendo le variabili di stato
x1 = x
dx
x2 =
dt
..
.
xn =
(2.60)
(2.61)
(2.62)
(2.63)
dn−1 x
(2.64)
dtn−1
si ottiene il sistema seguente per x(t)

ẋ1
ẋ2
..
.






 ẋn−1
ẋn


 
 
 
=
 
 

0
1
0
0
0
1
··· ··· ···
0
0
0
−a0 −a1 −a2
x(t) =
h
···
0
···
0
···
···
···
1
· · · −an−1

x1

x2


..

.


 xn−1
xn

1 0 0
x1
 x
2
i
 .

.
··· 0  .

 xn−1
xn


0
0
..
.
 
 
 
+
 
 
  0
1





 u(t)










(2.65)
(2.66)
Se ora cerchiamo di ottenere Y(s) partendo da X(s) otteniamo
Y (s) = X(s)(bn−1 sn−1 + bn−2 sn−2 + · · · + b1 s + b0 )
(2.67)
dn−1 x
dn−2 x
dx
+
b
+ · · · + b1
+ b0 x
n−2
n−1
n−2
dt
dt
dt
(2.68)
che trasformato nel tempo diventa
y(t) = bn−1
Questo significa però anche
y(t) = bn−1 xn + bn−2 xn−1 + · · · + b1 x2 + b0 x1
(2.69)
Mettendo ora assieme le equazioni (2.65) e (2.69) otteniamo il risulato finale cercato

ẋ1
ẋ2
..
.






 ẋn−1
ẋn
34


 
 
 
=
 
 

0
1
0
0
0
1
··· ··· ···
0
0
0
−a0 −a1 −a2
···
0
···
0
···
···
···
1
· · · −an−1

x1

x2


..

.


 xn−1
xn


0
0
..
.
 
 
 
+
 
 
  0
1




 u(t)



(2.70)
7 aprile 2003
2.7. Conversione da funzione di trasferimento a spazio degli stati
Automazione I e II
e
y(t) =
h

b0 b1 · · · bn−2 bn−1
x1
x2
..
.

i




 xn−1
xn








(2.71)
Come si può facilmente vedere, i coefficienti del denominatore si ritrovano tutti nell’ultima
riga della matrice di stato, con il segno cambiato, in ordine da destra a sinistra, mentre i
coefficienti del numeratore si ritrovano nel vettore trasposto c, riscritti da destra a sinistra.
Quella trovata ora è una forma un po’ particolare di rappresentazione nello spazio degli
stati che viene denominata forma normale di regolazione.
2.7.1
Conversione da spazio degli stati a funzione di trasferimento
La conversione da piano degli stati a funzione di trasferimento può avvenire in forma
semplice se il sistema è nella forma normale di regolazione, sfruttando le caratteristiche
delle equazioni (2.70) e (2.71). Non sempre però si ha a disposizione la rappresentazione
del processo in questa forma. Nel caso generale dobbiamo sfruttare il calcolo matriciale
per ottenere il risultato desiderato.
Partiamo da una formulazione generale di un processo nello spazio degli stati
ẋ = Ax + Bu
(2.72)
y = Cx + Du
(2.73)
Assumendo condizioni iniziali nulle possiamo scrivere
sX(s) = AX(s) + BU(s)
(2.74)
Y(s) = CX(s) + DU(s)
(2.75)
Risolvendo la prima equazione rispetto a X(s) si ottiene
(sI − A)X(s) = BU(s)
(2.76)
X(s) = (sI − A)−1 BU(s)
(2.77)
Sostituendo il valore di X(s) in (2.73) si ricava
Y(s) = C(sI − A)−1 BU(s) + DU(s)
h
i
Y(s) = C(sI − A)−1 B + D U(s)
Nel caso di un sistema SISO otteniamo
G(s) =
7 aprile 2003
Y (s)
= c0 (sI − A)−1 b + d
U (s)
(2.78)
(2.79)
(2.80)
35
Automazione I e II
Dall’equazione (2.80) si può vedere come il denominatore della funzione di trasferimento coincide con il termine (sI − A)−1 . Sapendo che il denominatore della funzione di
trasferimento è anche il polinomio caratteristico dell’equazione differenziale che descrive il
processo, si può concludere che anche il termine (sI − A)−1 coincide con esso. La soluzione
dell’equazione
det(sI − A) = 0
che permette di determinare le radici del denominatore del sistema coincide con la ricerca
degli autovalori della matrice A (vedi Allegato C). Possiamo quindi vedere come le radici
del polinomio caratteristico del sistema coincidono con gli autovalori della matrice di stato.
Esempio 2.4 Viene dato un processo nella forma seguente




0
1
0
10




0
1  x +  0  u(t)
ẋ =  0
−1 −2 −3
0
e
y=
h
1 0 0
i
(2.81)
x
(2.82)
Applicando il calcolo matriciale per determinare (sI − A)−1 otteniamo

(sI − A)−1

(s2 + 3s + 2)
s+3
1


−1
s(s + 3)
s 

−s
−(2s + 1) s2
agg(sI − A)
=
=
det(sI − A)
s3 + 3s2 + 2s + 1
(2.83)
Sostituendo questo risultato in (2.80) si trova la funzione di trasferimento
G(s) =
2.8
Y (s)
10(s2 + 3s + 2)
= 3
U (s)
s + 3s2 + 2s + 1
(2.84)
Soluzione dell’equazione nello spazio degli stati con Laplace
Analizziamo ora lo stesso problema partendo da condizioni iniziali non nulle. Partendo
dall’equazione
ẋ = Ax + Bu
(2.85)
y = Cx + Du
(2.86)
e applicando le regole della trasformata di Laplace otteniamo
sX(s) − x(0) = AX(s) + BU(s)
(2.87)
Trasformando l’equazione (2.87) otteniamo
(sI − A)X(s) = x(0) + BU(s)
(2.88)
Risolvendo per X(s) si ottiene
36
7 aprile 2003
2.9. Soluzione nel dominio del tempo
Automazione I e II
X(s) = (sI − A)−1 x(0) + (sI − A)−1 BU(s)
(2.89)
Possiamo ora calcolare il valore di Y(s), moltiplicando il risultato ottenuto in (2.89) per
la matrice C.
Y (s) = CX(s) + DU(s)
Y (s) = C(sI − A)
Y (s) =
h
|
−1
C(sI − A)
BU(s) + DU(s) + C(sI − A)
−1
{z
(2.90)
i
B + D U(s) + C(sI − A)
−1
−1
x(0)
(2.91)
x(0)
(2.92)
}
G(s)
Vediamo come la prima parte del risultato dell’equazione (2.92) coincide con la funzione di
trasferimento già trovata in (2.79). Qui abbiamo una componente supplementare dovuta
alle condizioni iniziali non nulle.
2.9
Soluzione nel dominio del tempo
Analizziamo ora le equazioni (2.89) e (2.92) nel dominio del tempo. Definiamo per prima
cosa una funzione di trasferimento
Gx (s) = (sI − A)−1 B
L’equazione(2.89) nel tempo diventa
³
´
³
x(t) = L−1 (sI − A)−1 BU(s) + L−1 (sI − A)−1 x(0)
³
x(t) = gx ∗ u(t) + L−1 (sI − A)−1 x(0)
´
´
(2.93)
(2.94)
La prima parte del risultato dell’equazione (2.94) rappresenta la risposta forzata del sistema, mentre la seconda parte rappresenta la risposta naturale o risposta della parte
omogenea dell’equazione differenziale.
Per analizzare più in dettaglio questa risposta naturale, partiamo da un sistema con
entrata nulla del tipo
ẋ(t) = Ax(t)
(2.95)
Assumiamo che la soluzione x(t) possa essere rappresentata da una serie del tipo
x(t) = b0 + b1 t + b2 t2 + . . . + bk tk + . . .
(2.96)
Derivando questo risultato e sostituendolo nell’equazione omogenea (2.95) si ottiene
³
b1 + 2b2 t + . . . + kbk tk−1 + . . . = A b0 + b1 t + b2 t2 + . . . + bk tk + . . .
7 aprile 2003
´
(2.97)
37
Automazione I e II
Con un paragone di coefficienti otteniamo
b1 = Ab0
1
1
b2 =
Ab1 = A2 b0
2
2
..
.
1 k
A b0
bk =
k!
1
bk+1 =
Ak+1 b0
(k + 1)!
..
.
La soluzione cercata risulta quindi essere
1
1
x(t) = b0 + Ab0 t + A2 b0 t2 + . . . + Ak b0 tk + . . .
2
k!
¶
µ
1 k k
1 2 2
=
I + At + A t + . . . + A t + . . . b0
2
k!
Dall’equazione (2.96) possiamo vedere che al tempo t=0 vale
x(0) = b0
Conseguentemente la soluzione nel tempo dell’equazione omogenea diventa
µ
¶
1
1
x(t) = I + At + A2 t2 + . . . + Ak tk + . . . x(0)
2
k!
(2.98)
Se ora quardiamo più in dettaglio la soluzione dell’equazione (2.98), possiamo vedere una
grossa somiglianza tra quanto ottenuto e un’ espressione del tipo
1
1
1 + at + a2 t2 + . . . + ak tk + . . .
2
k!
L’espressione in (2.99) rappresenta lo sviluppo in serie di
(2.99)
eat
Possiamo quindi riscrivere l’equazione (2.98) come
x(t) = eAt x(0)
(2.100)
L’espressione eAt prende il nome di “matrice di transizione degli stati” (“state-transition
matrix”) e viene usualmente indicata con Φ(t).
La matrice Φ(t) ha due proprietà interessanti che possono essere facilmente dimostrate.
Sapendo che
x(0) = Φ(0)x(0)
si ricava
Φ(0) = I
38
7 aprile 2003
2.9. Soluzione nel dominio del tempo
Automazione I e II
e da
ẋ(t) = Φ̇(t)x(0) = Ax(t)
si ottiene per t=0
Φ̇(0)x(0) = Ax(0) → Φ̇(0) = A
Queste due regole ci permettono di determinare facilmente il valore della matrice Φ(t).
Esempio 2.5 Cerchiamo la matrice Φ(t) del sistema descritto da
ẋ(t) =
con
"
0
1
−8 −6
#
x(0) =
x(t) +
"
1
0
"
0
1
#
u(t)
(2.101)
#
(2.102)
Le radici del polinomio caratteristico dell’equazione differenziale sono anche soluzioni
delle equazioni differenziali parziali delle variabili di stato, e quindi possiamo determinare
la forma di Φ(t) direttamente dagli autovalori della matrice di stato.
det(sI − A) = s2 + 6s + 8 = 0
Otteniamo
s1 = −2
e
La matrice di transizione diventa quindi
 ¡

Φ(t) =  ¡
s2 = −4
K1 e−2t + K2 e−4t
K5
e−2t
+ K6 e
¢
¢
−4t
¡
¡
K3 e−2t + K4 e−4t
K7
e−2t
+ K8 e
¢ 


¢
−4t
(2.103)
Per determinare i valori della grandezze Ki applichiamo le regole viste precedentemente,
ottenendo due sistemi
Φ(0) = I
Φ̇(0) = A
Sviluppando i sistemi otteniamo
K1 + K 2 = 1
K3 + K 4 = 0
K5 + K 6 = 0
K7 + K 8 = 1
7 aprile 2003
39
Automazione I e II
−2K1 − 4K2 = 0
−2K3 − 4K4 = 1
−2K5 − 4K6 = −8
−2K7 − 4K8 = −6
Si tratta alla fine di trova il risultato di 4 sistemi di equazioni a 2 incognite indipendenti
tra di loro. La soluzione ci fornisce
K1 = 2
K2 = −1
1
K3 =
2
1
K4 = −
2
K5 = −4
K6 = 4
K7 = −1
K8 = 2
La matrice cercata Φ(t) risulta quindi essere


Φ(t) = 

¡
¡
2e−2t − e−4t
−4e−2t + 4e
¢
¢
−4t
µ
¡
1 −2t 1 −4t
e
− e
2
2
−e−2t + 2e
¶ 
¢
−4t



(2.104)
Si può ottenere lo stesso risultato anche tramite la trasformata di Laplace cercando inizialmente la trasformata inversa di (sI − A)−1
(sI − A) =
(sI − A)−1 =
"
s
−1
8 (s + 6)
#
"
s
−1
8 (s + 6)

s+6
 s2 + 6s + 8

#
(2.105)

1
s2 + 6s + 8 

(2.106)
−8
s
s2 + 6s + 8 s2 + 6s + 8
Applicando ora la riduzione in termini di frazioni parziali e l’antitrasformata di Laplace
si ottiene
(sI − A)
40
s2 + 6s + 8
−1
 µ
=


1
2
−
s+2 s+4
¶
µ
1/2
1/2
−
s+2 s+4
4
+
s+2 s+4
¶
µ
−1
2
+
s+2 s+4


=
 µ

−4



¶ 



¶ 

(2.107)
7 aprile 2003
2.10. Modellazione mediante grafi di flusso


Φ(t) = 

¡
¡
2e−2t
Automazione I e II
−
e−4t
−4e−2t + 4e
¢
µ
¢
−4t
¡
1 −2t 1 −4t
e
− e
2
2
−e−2t + 2e
Riprendendo ora l’equazione (2.94) possiamo scrivere
¶ 
¢
−4t
x(t) = gx ∗ u(t) + Φ(t)x(0)



(2.108)
(2.109)
Nel caso di radici del polinomio caratteristico, rispettivamente autovalori della matrice
di stato,negativi, la parte
Φ(t)x(0) = eAt x(0)
decade nel tempo, e resta quindi unicamente la parte di soluzione non omogenea o forzata
ad influenzare il sistema.
Analogamente possiamo vedere il risultato per la grandezza in uscita y(t) che risulta
essere
y(t) = g ∗ u(t) + CΦ(t)x(0)
2.10
(2.110)
Modellazione mediante grafi di flusso
Una rappresentazione alternativa al diagramma a blocchi, semplice da utilizzare e da
calcolare, è la rappresentazione mediante grafi di flusso di segnali (signal-flow graph). La
descrizione di questa metodologia è riportata nell’allegato B.
2.11
Analisi del processo motore-antenna
Vediamo ora di determinare le funzioni di trasferimento di ogni sottosistema del processo
motore-antenna parabolica descritto nel Capitolo 1. Un diagrmma completo del sistema
ad anello chiuso è rappresentato nella figura 2.5.
Il potenziometro in entrata e quello in uscita sono identici, e occorre fare 10 giri per
passare da -10V a +10V. La funzione di trasferimento tra angolo e tensione in uscita è
data da
10
1
Vi (s)
=
=
ϕi (s)
10π
π
(2.111)
Vo (s)
1
=
ϕo (s)
π
(2.112)
Analogamente si trova
La funzione di trasferimento del preamplificatore è data da
Vp (s)
=K
∆Vi (s)
(2.113)
∆Vi (s) = Vi (s) − Vo (s)
(2.114)
dove
7 aprile 2003
41
7 aprile 2003
+10V
Potenziometro
PSfrag replacements
+
vi (t)
Preamp
vp (t)
Amplificatore
differenziale
e di
potenza
ea (t)
Resistenza
armatura
8Ω
N1 = 25
K
100
s+100
vo (t)
N2 = 250
-
+10V
Da = 0.01N ms/rad
Kb = 0.5V s/rad
Automazione I e II
1N ms/rad
1Kgm2
Ja = 0.02Kgm2
Kt = 0.5N ms/A
ϕo (t)
Inerzia
Potenziometro
N3 = 250
Smorzamento
-10V
-10V
Figura 2.5: Schema a blocchi del sistema motore-antenna
42
ϕi (t)
2.11. Analisi del processo motore-antenna
Automazione I e II
Per l’amplificatore di potenza si trova
Ea (s)
100
=
Vp (s)
s + 100
(2.115)
Per il calcolo della funzione di trasferimento del motore occorre tenere conto del rapporto
degli ingranaggi per portare il carico e l’attrito di rotazione sul motore. Occorre quindi
applicare delle formule della meccanica che sfruttano il rapporto degli ingranaggi per
sommare inerzia del motore e del carico e attrito del motore e del carico. Per le due
grandezze si ottengono cosı̀ i valori seguenti
Jm = J a + J L
e
µ
Dm = D a + D L
25
250
µ
¶2
25
250
= 0.02 + 1
¶2
1
= 0.03
100
= 0.01 + 1
1
= 0.02
100
(2.116)
(2.117)
Utilizzando l’equazione (2.49) troviamo numericamente
Φm (s)
=
Ea (s)
Kt /(Ra Jm )
2.083
µ
¶¸ =
1
Kt Kb
s(s + 1.71)
s s+
Dm +
Jm
Ra
·
(2.118)
Tenendo conto del rapporto degli ingranaggi possiamo trovare finalmente
Φm (s)
0.2083
Φo (s)
= 0.1
=
Ea (s)
Ea (s)
s(s + 1.71)
(2.119)
Il sistema completo può essere rappresentato nel grafo della figura 2.6.
La funzione di trasferimento tra vi (s) e vo (s) del sistema ad anello aperto (togliendo
quindi il ramo tra vo e ∆vi ) risulta essere
G(s) =
vo (s)
0.2083 1
100
6.63K
=K
=
vi (s)
s + 100 s(s + 1.71) π
s(s + 1.71)(s + 100)
(2.120)
mentre per il sistema ad anello chiuso utilizzando le regole di Mason si ottiene
0.2083 1 1
100
vo (s)
s + 100 s(s + 1.71) 10 π
Gtot (s) =
=
0.2083 1
100
vi (s)
1+K
s + 100 s(s + 1.71) π
K
(2.121)
che può essere semplificato come
Gtot (s) =
7 aprile 2003
6.63K
s(s + 1.71)(s + 100) + 6.63K
(2.122)
43
PSfrag replacements
ϕi (t)
1
π
vi (t)
∆vi (t)
K
−1
vp (t)
100
s+100
ea (t)
ϕm (t)
2.083
s(s+1.71)
vo (t)
Figura 2.6: Grafo del processo motore-antenna
0.1
1
π
ϕo (t)
7 aprile 2003
44
Automazione I e II
Capitolo 3
Risposte nel tempo di sistemi
modellati
3.1
Introduzione
Nella prima parte del corso abbiamo analizzato quei metodi che ci permettevano di rappresentare in una forma matematica un qualsiasi sistema. Mediante la trasformata di Laplace
abbiamo trovato un mezzo semplice limitato però a sistemi lineari. Con la rappresentazione nello spazio degli stati abbiamo invece un metodo che ci permette di rappresentare
sistemi anche non lineari, facilmente simulabili con programmi a disposizione. Questa
parte di analisi di un sistema è detta modellazione. Ci sono altri metodi di modellazione
per sistemi complessi, metodi che fanno a capo ad esempio a reti neurali. Una volta ottenuta una forma matematica del nostro sistema, occorre fare alcune analisi qualitative e
quantitative sul sistema. Un metodo abbastanza semplice è quello di analizzare gli zeri e
i poli della funzione di trasferimento del sistema (se lineare).
3.2
Il concetto dei poli e degli zeri e della risposta di sistema
L’uscita di un sistema può essere rappresentata come la somma di due segnali differenti:
la risposta forzata e la risposta naturale. La risposta forzata è anche detta risposta allo
stato finito o soluzione particolare dell’equazione differenziale che descrive il sistema. La
risposta naturale rappresenta invece la soluzione omogenea dell’equazione differenziale.
Essa influenza il comportamento al transiente del sistema. Gli zeri di una funzione sono quei particolari valori della variabile di Laplace s per cui la funzione di trasferimento
diventa 0, e sono quindi le radici del polinomio al numeratore della funzione di trasferimento. I poli della funzione di trasferimento sono quei valori della variabile di Laplace
s che fanno diventare infinita la funzione di trasferimento. Nel caso di radici comuni del
polinomio al numeratore e al denominatore, questi valori fanno parte sia dei poli che degli
zeri. (Teoricamente possono essere semplificati!).
3.3
Poli e zeri di una funzione di trasferimento.
Analizziamo la funzione di trasferimento
7 aprile 2003
45
Automazione I e II
Capitolo 3. Risposte nel tempo di sistemi modellati
s+2
s+5
La funzione in uscita Y(s) con entrata gradino unitario vale
(3.1)
G(s) =
Y (s) =
s+2
A
B
2/5
3/5
= +
=
+
s(s + 5)
s
s+5
s
s+5
(3.2)
I valori di A e B possono essere calcolati facilmente con il calcolo dei residui. La funzione
equivalente nel tempo y(t) vale
2 3 −5t
+ e
5 5
Dall’ultima formula possiamo trarre le conclusioni seguenti
y(t) =
(3.3)
• Il polo della funzione in entrata genera la forma della risposta forzata
• Il polo della funzione di trasferimento genera la forma della risposta naturale
• Un polo sull’asse reale genera una risposta di tipo esponenziale del tipo e −αt , dove
α rappresenta la posizione del polo sull’asse reale. Più questo polo è negativo, più
la risposta al transiente scende velocemente a 0.
• Lo zero della funzione di trasferimento influisce sull’ampiezza delle due risposte,
forzata e naturale, del sistema.
Lo zero della funzione di trasferimento influisce sull’ampiezza delle due risposte, forzata
e naturale, del sistema.
3.4
Risposta di un sistema di 1. ordine
Analizziamo un sistema di primo ordine con una funzione di trasferimento del tipo
a
(3.4)
s+a
Questa funzione di trasferimento porta ad un valore finale a transiente finito di valore 1.
Con un’entrata di tipo gradino unitario abbiamo una risposta y(t) pari a
G(s) =
y(t) = 1 − e−at
(3.5)
La figura 3.1 mostra la risposta nel tempo di questo sistema, con a = 10
Ci sono alcune grandezze che caratterizzano questa curva e sono
• La costante di tempo τ che è definita come la pendenza (derivata) della curva a
t = 0. È in pratica il tempo occorrente alla risposta per raggiungere il 63% del
valore finale.
• Il tempo di salita Tr (Rise Time) che è il tempo necessario al sistema per passare
dal 10% al 90% del valore finale.
• Il tempo di setting Ts che è definito come il tempo necessario affinché la risposta
resti entro un limite di ±2% del valore finale.
46
7 aprile 2003
3.4. Risposta di un sistema di 1. ordine
Automazione I e II
Step Response
1
-2%
0.9
0.8
0.7
Amplitude
0.6
0.5
0.4
0.3
Ts
0.2
0.1
Tr
PSfrag replacements
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Time (sec.)
Figura 3.1: Risposta di un sistema di 1. ordine
Calcoliamo la costante di tempo
¯
d
dy(t) ¯¯
= (1 − e−at ) = a
¯
dt ¯t=0 dt
(3.6)
e conseguentemente possiamo trovare dal grafico 3.1 il valore di τ che diventa
1
(3.7)
a
Per il calcolo di Tr occorre trovare il tempo per cui la risposta raggiunge il 10% e il 90%
del valore finale e fare la differenza.
1 = aτ → τ =
y(t2 ) = 1 − eat2 = 0.9 → t2 =
ln 0.1
ln 10
2.31
=
=
−a
a
a
(3.8)
ln 0.9
0.11
=
−a
a
(3.9)
y(t1 ) = 1 − eat1 = 0.1 → t1 =
e conseguentemente
2.31 0.11
2.2
−
=
(3.10)
a
a
a
Per il calcolo di Ts è sufficiente trovare il valore di t per cui si raggiunge il 98% del valore
finale
Tr = t 2 − t 1 =
y(Ts ) = 1 − e−aTs = 0.98 → Ts =
7 aprile 2003
ln 0.02
ln 50
4
=
=
−a
a
a
(3.11)
47
Automazione I e II
3.5
Risposta di sistemi di 2. ordine
L’analisi di sistemi di 2. ordine è più complicata di quella dei sistemi di 1. ordine. Occorre
innanzitutto fare una distinzione tra 4 casi, a seconda della posizione dei poli della funzione
di trasferimento. Anche in questo caso abbiamo un segnale in uscita formato dalla risposta
forzata e dalla risposta naturale. Possiamo analizzare un sistema normato del tipo
b
(3.12)
s2 + as + b
che ha il vantaggio di tendere al valore finale 1 per t → ∞ con entrata di tipo gradino
unitario. Partendo da questa funzione di trasferimento modifichiamo i valori di a per avere
i 4 casi differenti da analizzare.
G(s) =
3.5.1
Sistema sovrasmorzato
Un sistema con una funzione di trasferimento pari a
9
(3.13)
s2 + 9s + 9
possiede due poli reali a −1.146 e −7.854. La risposta ad un’entrata di tipo gradino
unitario è rappresentata dalla figura 3.2.
G(s) =
Step Response
1
0.9
0.8
0.7
Amplitude
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Time (sec.)
Figura 3.2: Risposta di un sistema sovrasmorzato
Il calcolo della trasformata di Laplace inversa ci fornisce il valore della funzione d’uscita
nel tempo pari a
y(t) = L
−1
·
¸
·
9
1
0.171
1.171
= L−1
+
−
s(s2 + 9s + 9)
s s + 7.854 s + 1.146
¸
(3.14)
da cui risulta
48
7 aprile 2003
3.5. Risposta di sistemi di 2. ordine
Automazione I e II
y(t) = 1 + 0.171e−7.854t − 1.171e−1.146t
3.5.2
(3.15)
Sistema sottosmorzato
Un sistema con una funzione di trasferimento pari a
G(s) =
9
s2 + 3s + 9
(3.16)
possiede due poli complessi a −1.5 ± j2.598. La risposta nel tempo ad un gradino unitario
in entrata è rappresentato nella figura 3.3.
Step Response
1.4
1.2
Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Time (sec.)
Figura 3.3: Risposta di un sistema sottosmorzato
Il calcolo della trasformata di Laplace inversa ci fornisce la funzione in uscita
y(t) = 1 − e−1.5t (cos 2.598t + 0.577 sin 2.598t)
(3.17)
che può anche essere scritto come
y(t) = 1 − 1.155e−1.5t cos(2.598t −
π
)
6
(3.18)
La moltiplicazione dell’ampiezza della nostra funzione in uscita con il termine ±1.155e −1.5t
rappresenta in pratica un inviluppo della curva di tipo sinusoidale in uscita. Le oscillazioni
non possono uscire dalle due curve
1 + 1.155e−1.5t
e
1 − 1.155e−1.5t
7 aprile 2003
49
Automazione I e II
3.5.3
Sistema oscillatorio
Nel caso di una funzione di trasferimento pari a
G(s) =
s2
9
+9
(3.19)
il sistema possiede due radici puramente complesse a ±j3. La funzione in uscita con
entrata gradino unitario vale
y(t) = 1 − cos 3t
(3.20)
e rappresenta un moto sinusoidale puro come si può vedere nella figura 3.4
Step Response
2
1.8
1.6
1.4
Amplitude
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Time (sec.)
Figura 3.4: Risposta di un istema oscillatorio
3.5.4
Sistema smorzato criticamente
Nel caso di una funzione di trasferimento del tipo
G(s) =
s2
9
+ 6s + 9
(3.21)
la funzione di trasferimento possiede due poli reali uguali a −3. La funzione in uscita con
entrata gradino unitario vale
y(t) = 1 − 3te−3t − e−3t
(3.22)
Ricordo che nel caso di radici multiple il calcolo dei coefficienti per la trasformata inversa è
più complicato che nel caso in cui ci siano radici semplici. La figura 3.5 mostra la risposta
dinamica di questo sistema.
50
7 aprile 2003
3.6. Analisi generale di sistemi di 2. ordine
Automazione I e II
Step Response
1
0.9
0.8
0.7
Amplitude
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Time (sec.)
Figura 3.5: Risposta di un sistema smorzato criticamente
3.6
Analisi generale di sistemi di 2. ordine
Un sistema di 2. ordine può essere caratterizzato semplicemente mediante 2 grandezze
significative: la frequenza naturale ωn e il fattore di smorzamento ξ. La frequenza naturale
è quella frequenza a cui oscillerebbe il sistema non smorzato (p. es. in un sistema LCR
sarebbe la frequenza di oscillazione se non ci fosse la R). Il fattore di smorzamento è invece
definito come
ξ=
f requenza
o anche
ξ=
di decadimento esponenziale
f requenza naturale
(3.23)
periodo naturale
1
2π costante di tempo esponenziale
Partendo da una funzione di trasferimento nella forma
G(s) =
s2
b
+ as + b
(3.24)
abbiamo precedentemente visto come in assenza di smorzamento la funzione di trasferimento varrebbe
G(s) =
s2
b
+b
(3.25)
Di conseguenza la frequenza naturale del sistema vale
ωn =
7 aprile 2003
√
b
(3.26)
51
Automazione I e II
Sapendo che i poli del sistema hanno parte reale uguale a −a/2 e che questo valore coincide
con il decadimento esponenziale dell’ampiezza, si può ottenere dall’equazione (3.23)
a/2
ωn
(3.27)
a = 2ξωn
(3.28)
ξ=
da cui infine risulta
La formulazione generale di una funzione di trasferimento di 2. ordine può quindi essere
scritta come
ωn2
(3.29)
+ 2ξωn s + ωn2
La tabella 3.1 rappresenta schematicamente i 4 casi analizzati precedentemente, in
funzione dei parametri ξ e ωn .
G(s) =
3.7
s2
Analisi dettagliata di un sistema di 2. ordine sottosmorzato
Analizziamo ora un po’ più in dettaglio una funzione di 2. ordine sottosmorzata, per determinarne le caratteristiche di risposta al transiente. Se mettiamo all’ingresso un gradino
unitario, otteniamo la risposta Y(s) pari a
Y (s) =
1
ωn2
s s2 + 2ξωn s + ωn2
(3.30)
K1
K2 s + K 3
+ 2
s
s + 2ξωn s + ωn2
Con un paragone di coefficienti l’equazione (3.31) diventa
Y (s) =
(s + ξωn ) + √ ξ
(3.31)
p
ω 1 − ξ2
2 n
1
1−ξ
−
2
s
(s + ξωn ) + ωn2 (1 − ξ 2 )
L’antitrasformata di Laplace dell’equazione (3.32) fornisce il risultato seguente
Y (s) =
Ã
y(t) = 1 − e−ξωn t cos ωn
o anche
q
q
ξ
1 − ξ2t + p
1 − ξ2t
sin
ω
n
1 − ξ2
Ã
Ã
!
(3.32)
(3.33)
!!
q
1
ξ
−ξωn t
y(t) = 1 − p
1 − ξ 2 t − tan−1 p
e
cos
ω
(3.34)
n
2
1−ξ
1 − ξ2
Conoscendo la funzione nel tempo possiamo ora determinare alcune caratteristiche della
risposta con entrata gradino, in funzione dei parametri ξ e ωn . Queste caratteristiche sono
rappresentate graficamente nella figura 3.6.
Analogamente alla risposta di sistemi di 1. ordine possiamo trovare il tempo di salita
(Tr ) e il tempo di setting (Ts ). Inoltre la risposta di un sistema di secondo ordine sottosmorzato è caratterizzato dal valore di picco massimo raggiunto (y max ) che viene calcolato
come %OS, cioè il % con cui viene superato il valore finale della risposta, e dal tempo T p
in cui avviene questo picco.
52
7 aprile 2003
3.7. Analisi dettagliata di un sistema di 2. ordine sottosmorzato
Automazione I e II
Step Response
1.4
ymax
1.2
%OS
1.02
1
0.98
Amplitude
0.8
0.6
0.4
PSfrag replacements
0.2
Ts
Tr
0
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec.)
Figura 3.6: Risposta di un sistema di 2. ordine sottosmorzato
3.7.1
Calcolo del tempo di salita
Per determinare il valore di Tr si devono trovare i due valori del tempo per i quali la
funzione y(t) vale rispettivamente il 10% e il 90% del valore finale. Una formula di calcolo
approssimata è quella dell’equazione (3.35), valida per valori 0 < ξ < 1.
Tr =
3.7.2
1 − 0.4167ξ + 2.917ξ 2
ωn
(3.35)
Calcolo del tempo di setting
Per trovare il valore di Ts non è necessario analizzare tutta la funzione y(t), ma è sufficiente
analizzarne l’inviluppo, e trovare quindi quel valore per cui l’inviluppo raggiunge il 98%
del valore finale. Partendo dall’equazione (3.34), si può prendere la parte che rappresenta
l’inviluppo e si ottiene
Si ottiene pertanto
p
1
e−ξωn Ts = 0.02
2
1−ξ
Ts =
³
p
− ln 0.02 1 − ξ 2
ξωn
(3.36)
´
(3.37)
Spesso si utilizzano della approssimazioni di questa equazione
Ts =
7 aprile 2003
3.2
ξωn , 0
< ξ < 0.69
Ts =
4.5
ξωn , ξ
> 0.69
53
Automazione I e II
o anche più semplicemente
4
ξωn
Ts =
3.7.3
(3.38)
Calcolo di Tp
Per trovare il valore del tempo in cui la risposta possiede il suo valore massimo (massimo overshooting) occorre risolvere un problema di massimo-minimo. Dobbiamo trovare
la derivata della curva di risposta y(t), uguagliarla a 0 e trovare il risultato desiderato.
Guardando la funzione y(t) ottenuta saremmo decisamente tentati di trovare un metodo
più semplice per risolvere questo problema. Per le regole di Laplace, sappiamo che una derivazione nel tempo, a condizioni iniziali nulle, significa semplicemente una moltiplicazione
per la variabile di Laplace s nel campo di Laplace. Possiamo quindi trovare la derivata in
Laplace e poi cercarne l’antitrasformata.
L[ẏ(t)] = sY (s) = s
ωn2
s(s2 + 2ξωn s + ωn2 )
(3.39)
Applicando l’antitrasformata di Laplace si ottiene
ωn2
]
(s + ξωn )2 + ωn (1 − ξ 2 )
(3.40)
q
ωn
−ξωn t
e
sin
ω
1 − ξ2t
n
1 − ξ2
(3.41)
ẏ(t) = L−1 [
da cui si ottiene
ẏ(t) = p
Ora possiamo determinare i valori del tempo per i quali ci sono dei massimi e minimi locali
della funzione, uguagliando a 0 l’equazione (3.41) Otteniamo cosı̀
q
ωn 1 − ξ 2 t = nπ
(3.42)
Con n = 1 abbiamo la prima occorrenza, che rappresenta il primo massimo della funzione
y(t). Otteniamo cosı̀ il valore di Tp dall’equazione
Tp =
3.7.4
ωn
Calcolo del valore di %OS
π
1 − ξ2
(3.43)
p
Il valore di %OS (percento overshooting) è definito come
%OS = 100
ymax − yf inale
yf inale
(3.44)
Introducendo il valore di Tp trovato in (3.43), possiamo trovare subito il valore di ymax
che vale
ymax = 1 − e
− √ ξπ
1−ξ 2
Ã
ξ
cos π + p
sin π
1 − ξ2
!
=1+e
− √ ξπ
1−ξ 2
(3.45)
Introducendo questo valore in (3.44), con yf inale = 1 si ottiene
54
7 aprile 2003
3.7. Analisi dettagliata di un sistema di 2. ordine sottosmorzato
%OS = 100e
Automazione I e II
− √ ξπ
1−ξ 2
(3.46)
e quindi
ξ=r
− ln
π2
³
%OS
100
+ ln
2
³
´
%OS
100
(3.47)
´
La figura 3.7 mostra le relazioni che ci sono tra la posizione dei 2 poli del sistema e le
grandezze ξ e ωn
p
+jωn 1 − ξ 2 = jωd
ωn
θ
PSfrag replacements
−ξωn = −σd
p
−jωn 1 − ξ 2 = jωd
Figura 3.7: Poli del sistema
Dalla figura 3.7 si vede che il modulo dei due poli vale ωn , mentre la fase θ segue la
relazione
cos θ = ξ
(3.48)
Dall’equazione (3.43) vediamo che
Tp =
ωn
π
π
=
2
ωd
1−ξ
p
(3.49)
e quindi Tp dipende unicamente dal valore di ωd . Dall’approssimazione
Ts =
4
4
=
ξωn
σd
(3.50)
vediamo che Ts dipende approssimativamente da σd , mentre dall’equazione (3.47) vediamo
che il %OS dipende unicamente da ξ. Possiamo quindi costruire lo schema della figura 3.8
dove le rette congiungono poli con medesime caratteristiche dinamiche.
7 aprile 2003
55
Automazione I e II
%OS1
Tp2
iω
%OS2
PSfrag replacements
Tp1
Ts1
Ts2
σ
Figura 3.8: Relazione tra poli e grandezze dinamiche
3.8
Risposta di sistemi con poli supplementari
Le analisi fatte nel capitolo precedente sono valide unicamente per sistemi di 2. ordine,
senza zeri al numeratore. Vogliamo ora analizzare questi sistemi di 2. ordine in presenza
di poli supplementari, per vedere se le formule trovate sono ancora utilizzabili con buona
approssimazione.
La figura 3.9 mostra la risposta del sistema descritto da
G(s) =
s2
5
+ 2s + 5
(3.51)
aggiungendo poi un polo supplementare a −3 e uno a −10, normando la risposta a 1.
Possiamo vedere come con il crescere del valore assoluto del polo supplementare, la
risposta tenda ad avvicinarsi a quella della funzione di 2. ordine. In questo caso si dice
che i due poli della funzione di 2. ordine sono dominanti. Si può parlare di poli dominanti
se tutti gli altri poli supplementari hanno parte reale almeno 4 volte più grande di quella
dei poli dominanti.
3.9
Risposta di sistemi di 2. ordine con zeri
Abbiamo già visto precedentemente come uno zero in una funzione di trasferimento non
modifica minimamente la natura della risposta (influenzata unicamente dai poli) ma ha
influsso sulle ampiezze di ogni singolo elemento della funzione (calcolo dei residui). Cerchiamo ora di analizzare un po’ più in dettaglio cosa succede se aggiungiamo uno zero
ad una funzione di trasferimento di 2. ordine. Prendiamo come esempio la funzione di
trasferimento
G(s) =
9
s+a
2
a s + 2s + 9
(3.52)
La figura 3.10 mostra la risposta del sistema originale e quella con valori di a pari a 3, 5
e 10 (zeri a −3, −5 e −10).
56
7 aprile 2003
3.9. Risposta di sistemi di 2. ordine con zeri
Automazione I e II
Step Response
1.4
Funzione di 2. ordine
1.2
Amplitude
1
Polo suppl. a -10
0.8
Polo suppl. a -3
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec.)
Figura 3.9: Risposta con poli supplementari
Step Response
1.6
Zero a -3
1.4
1.2
Amplitude
1
0.8
Zero a -5
0.6
Zero a -10
0.4
Nessuno zero
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec.)
Figura 3.10: Sistema con zeri supplementari
7 aprile 2003
57
Automazione I e II
Anche in questo caso con l’aumentare del valore assoluto dello zero la risposta si
avvicina a quella del sistema di 2. ordine.
Spesso si pone la domanda se uno zero e un polo di valore molto simile possono essere
semplificati all’interno della funzione di trasferimento. Solo la ricerca della funzione nel
tempo, e quindi i coefficienti dei residui del polinomio, ci permettono spesso di vedere se
questa semplificazione è possibile (termini con coefficienti molto piccoli); in ogni caso non
si devono mai semplificare in questo modo dei poli con parte reale positiva!
Esempio 3.1 Viene data la funzione in uscita
Y (s) =
26.25(s + 4)
s(s + 3.5)(s + 5)(s + 6)
(3.53)
La scomposizione in termini di frazioni parziali ci fornisce
1
3.5
3.5
1
−
+
−
(3.54)
s s + 5 s + 6 s + 3.5
Nessun termine è abbastanza piccolo da poter essere trascurato. Di conseguenza la semplificazione del polo −3.5 con lo zero −4 non è fattibile.
Y (s) =
Esempio 3.2 Prendiamo una funzione molto simile alla precedente
Y (s) =
26.25(s + 4)
s(s + 4.01)(s + 5)(s + 6)
(3.55)
In questo caso il calcolo dei residui ci fornisce
5.3
4.4
0.033
0.87
5.3
4.4
0.87
−
+
−
'
−
+
(3.56)
s
s + 5 s + 6 s + 4.01
s
s+5 s+6
In quest’ultimo esempio la semplificazione è legittima. Effettuando il calcolo dei residui
sulla funzione semplificata
Y (s) =
26.25
s(s + 5)(s + 6)
(3.57)
0.87
5.25
4.37
−
+
s
s+5 s+6
(3.58)
Y (s) =
si ottiene
Y (s) =
che è molto simile al risultato trovato in (3.56).
3.10
Sistemi a fase non minima
Un caso particolare di sistemi è rappresentato da quei processi che hanno zeri nel semipiano
destro. Questi sistemi hanno una risposta al transiente molto particolare, visibile nella
figura 3.11.
Questo processo potrebbe rappresentare un veicolo che allarga prima di affrontare una
curva.
58
7 aprile 2003
3.10. Sistemi a fase non minima
Automazione I e II
Step Response
2
1.5
Amplitude
1
0.5
0
−0.5
−1
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec.)
Figura 3.11: Sistema a fase non minima
7 aprile 2003
59
Automazione I e II
ξ
Poli
Risposta
jω
σ
PSfrag replacements
Oscillatorio, poli a
±jωn
0
jω
σ
PSfrag replacements
Sottosmorzato,
p poli a
−ξωn ± jωn 1 − ξ 2
0<ξ<1
jω
σ
PSfrag replacements
Criticamente smorzato, 2 poli a
−ωn
ξ=1
jω
σ
PSfrag replacements
ξ>1
Sovrasmorzato,
p poli a
−ξωn ± ωn ξ 2 − 1
Tabella 3.1: Riassunto dei sistemi di 2. ordine
60
7 aprile 2003
Capitolo 4
Stabilità
4.1
Introduzione
Dopo aver analizzato la risposta al transiente di sistemi di 1. e 2. ordine, vediamo ora la
caratteristica più importante che qualsiasi sistema deve soddisfare: la stabilità.
Esistono diverse definizioni di stabilità. Limitandoci momentaneamente a sistemi di
tipo lineare e invarianti nel tempo, si può dire che un sistema è stabile se la sua risposta
naturale diventa nulla con t → ∞, o perlmeno resta limitata nella sua ampiezza.
Questo può significare due cose:
• La soluzione dell’equazione differenziale omogenea tende a 0 con il passare del tempo
(t → ∞). In questo caso si parla di stabilità asintotica
• La soluzione dell’equazione differenziale omogenea resta costante o limitata tra valori
finiti con il passare del tempo, senza mai tendere a 0. in questo caso abbiamo stabilità
Dalla teoria delle equazioni differenziali, sappiamo che la soluzione omogenea di un’equazione differenziale lineare, a coefficienti costanti, è data dalla somma di elementi del
tipo
K i t n i e αi t
(4.1)
Ki tni eαi t (cos ωi t + ϕ0i )
(4.2)
e elementi del tipo
Dove αi e αi + jωi sono radici del polinomio caratteristico dell’equazione differenziale, e il
coefficiente ni rappresenta la molteplicità di una certa radice (la radice esiste ni + 1 volte).
Il sistema è stabile se nessuno di questi elementi tende a valori infiniti con il passare
del tempo. Questo è possibile solo nei casi seguenti
• Tutte le radici hanno parte reale negativa
• Esistono radici con parte reale nulla, ma in questo caso devono essere radici semplici
(ni = 0)
7 aprile 2003
61
Automazione I e II
Capitolo 4. Stabilità
Queste regole ci permettono di formulare dei criteri per la stabilità di un processo.
Un sistema è asintoticamente stabile se tutte le radici del polinomio caratteristico
dell’equazione differenziale hanno parte reale negativa
Un sistema è stabile se ha radici non multiple sull’asse reale (parte reale nulla)
Un sistema è instabile se esiste almeno una radice del polinomio caratteristico con
parte reale positiva (semipiano destro) o ci sono radici multiple con parte reale nulla
4.2
Stabilità dalla funzione di trasferimento
Sapendo che il polinomio caratteristico di un’equazione differenziale coincide con il denominatore della funzione di trasferimento, per l’analisi di stabilità è sufficiente determinare
i poli della funzione e controllare le regole viste in precedenza. Nel caso di sistemi closed
loop è necessario analizzare la funzione di trasferimento ad anello chiuso!
Esempio 4.1 Il processo rappresentato dalla figura 4.1 ha la funzione di trasferimento ad
anello chiuso pari a
Gtot (s) =
s3
+
3
+ 2s + 3
(4.3)
3s2
e possiede quindi 3 poli a −2.672 e a −0.164 ± j1.047.
R(s)
3
Y(s)
s(s+1)(s+2)
confronto
Processo
Figura 4.1: Schema a blocchi dell’esempio 1
Tutti i poli del sistema ad anello chiuso si trovano nel semipiano sinistro. Conseguentemente il sistema è stabile. La risposta ad un gradino unitario di questo processo è
rappresentata nella figura 4.2.
Esempio 4.2 Il processo rappresentato dalla figura 4.3 è descritto dalla funzione di trasferimento ad anello chiuso
Gtot (s) =
s3
+
7
+ 2s + 7
3s2
(4.4)
e ha 3 poli a −3.087 e a 0.0434 ± j1.505.
Malgrado che il sistema ad anello aperto sia stabile, il sistema ad anello chiuso possiede
dei poli nel semipiano destro. Conseguentemente il sistema della figura 4.3 è instabile. La
risposta ad un gradino unitario di questo processo è rappresentata nella figura 4.4.
62
7 aprile 2003
4.2. Stabilità dalla funzione di trasferimento
Automazione I e II
Step Response
1.6
1.4
1.2
Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
30
35
Time (sec.)
Figura 4.2: Risposta del processo dell’esempio 1
R(s)
7
Sum
s(s+1)(s+2)
Y(s)
Zero−Pole
Figura 4.3: Schema a blocchi dell’esempio 2
7 aprile 2003
63
Automazione I e II
Step Response
3.5
3
2.5
Amplitude
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Time (sec.)
Figura 4.4: Risposta del processo dell’esempio 2
4.3
Stabilità nello spazio degli stati
Il problema si riduce a determinare le radici del polinomio caratteristico della matrice di
stato, calcolato mediante la formula
det(sI − A) = 0
(4.5)
In algebra lineare, questa equazione viene utilizzata per la ricerca degli autovalori di una
matrice. Di conseguenza, le radici del polinomio caratteristico dell’equazione differenziale
di un sitema, coincidono con gli autovalori della matrice di stato. Per la stabilità è pertanto
sufficiente analizzare la posizione nel piano complesso degli autovalori della matrice di stato
A.
4.4
Criterio di stabilità di Routh-Hurwitz
Con i moderni mezzi informatici a disposizione risulta relativamente semplice determinare
numericamente le radici di un polinomio e di conseguenza anche la stabilità di un processo.
Spesso però è necessario determinare la stabilità di un sistema a dipendenza di un
certo parametro. Prendiamo ad esempio il processo descritto nella figura 4.5.
Il processo contiene un parametro K di amplificazione che potrebbe determinare la
stabilità ad anello chiuso. Si vuole sapere l’intervallo di valori del parametro K per i quali
il sistema resta stabile.
Si tratta di determinare le radici della funzione di trasferimento ad anello chiuso
descritta da
Gtot (s) =
64
s3
+
K
+ 2s + K
3s2
(4.6)
7 aprile 2003
4.4. Criterio di stabilità di Routh-Hurwitz
Automazione I e II
R(s)
K
Y(s)
s(s+1)(s+2)
Sum
Zero−Pole
Figura 4.5: Sistema dipendente dal parametro K
La ricerca simbolica delle radici risulta semplice unicamente utilizzando prodotti informatici per il calcolo simbolico. Il criterio di stabilità di Routh-Hurwitz ci permette di
sapere se le radici di un polinomio si trovano tutte nel semipiano sinistro, senza tuttavia
darci informazioni sul loro esatto valore. Per un’analisi di stabilità questa informazione è
più che sufficiente.
Per risolvere il problema occorre costruire la tabella di Routh. Nella prima riga si
mettono i coefficienti an , an−2 , an−4 ecc., mentre nella seconda riga compaiono gli altri
coefficienti an−1 , an−3 , an−5 ecc. come nella tabella 4.1.
sn
sn−1
sn−2
sn−3
an
an−1
b1
c1
···
an−2
an−3
b2
c2
···
an−4
an−5
b3
c3
···
···
···
···
···
···
Tabella 4.1: Tabella di Routh
La tabella prosegue fino alla riga definita da s0 . I coefficienti bi e ci vengono calcolati
nel modo seguente
b1 =
an−1 an−2 − an an−3
an−1
(4.7)
b2 =
an−1 an−4 − an an−5
an−1
(4.8)
c1 =
b1 an−3 − an−1 b2
b1
(4.9)
c2 =
b1 an−5 − an−1 b3
b1
(4.10)
Ogni riga viene calcolata fino a raggiungere i valori 0.
Una volta terminata la tabella, si deve applicare il criterio di stabilità di Routh-Hurwitz
che dice
Tutte le radici del polinomio si trovano nel semipiano sinistro, se nella prima colonna
della tabella non ci sono cambiamenti di segno. Il numero di cambiamenti di segno nella
prima colonna equivale al numero di radici del polinomio che si trovano nel semipiano
destro.
Applichiamo ora questo metodo alla funzione descritta dall’equazione (4.6)
7 aprile 2003
65
Automazione I e II
s3
1
2
0
s2
3
K
0
s1
6−K
3
0
s0
K
0
Tabella 4.2: Tabella di Routh dell’equazione (4.6)
La tabella 4.2 rappresenta lo sviluppo del denominatore. La stabilità asintotica è
garantita se la prima colonna non presenta cambiamenti di segno. Di conseguenza devono
valere le relazioni
6−K >0
e
K>0
La stabilità asintotica è quindi garantita per
0<K<6
66
(4.11)
7 aprile 2003
Capitolo 5
Errore allo stato finito
5.1
Introduzione
Dopo aver visto la risposta al transiente e la stabilità di un sistema vediamo ora la terza
caratteristica di un sistema: la risposta allo stato finito. La risposta allo stato finito
rappresenta l’andamento del sistema una volta che, grazie alla sua stabilità, la risposta
naturale del sistema è diventata nulla. In pratica questo andamento rappresenta la risposta
forzata del sistema. Con errore allo stato finito si intende la differenza tra entrata ed uscita
per un certo ingresso di test quando t → ∞. Gli ingressi di test sono normalmente 3 :
gradino, rampa e parabola.
Funzione
f(t)
F(s)
gradino unitario
1
1
s
rampa unitaria
T
1
s2
Parabola
1 2
2t
1
s3
Tabella 5.1: Segnali di test
L’ingresso gradino rappresenta una posizione costante e con esso si vuole vedere la
capacità del sistema a posizionarsi rispetto a qualcosa di fisso. Un esempio è rappresentato
dalla nostra antenna parabolica che si vuole posizionare ad un certo angolo costante.
L’ingresso rampa rappresenta un moto uniforme (velocità costante) e serve ad analizzare
la capacità del sistema a seguire qualcosa che si muove a velocità costante. Da ultimo,
l’ingresso parabola può servire ad analizzare il comportamento del sistema mentre insegue
oggetti che si muovono con accelerazione costante.
Chiaramente il discorso sull’errore allo stato finito è possibile unicamente se il sistema
è stabile. La figura 5.1 mostra la risposta di due sistemi ad un’entrata di tipo gradino
unitario, di cui uno presenta un errore allo stato finito. Analogamente possiamo vedere
nella figura 5.2 un errore allo stato finito nel caso di un’entrata rampa unitaria:
Pr semplicità analizziamo inizialmente il caso di una retroazione unitaria. In questo
7 aprile 2003
67
Automazione I e II
Capitolo 5. Errore allo stato finito
e∞
Step Response
1
0.9
0.8
0.7
Amplitude
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
PSfrag replacements
0
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec.)
Figura 5.1: Errore allo stato finito con entrata gradino unitario
Step Response
10
e∞
9
8
7
Amplitude
6
entrata
5
uscita
4
3
2
1
PSfrag replacements
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Time (sec.)
Figura 5.2: Errore con entrata rampa unitaria
68
7 aprile 2003
5.2. Analisi dell’errore allo stato finito
Automazione I e II
caso l’errore tra entrata ed uscita è presente direttamente nello schema e coincide con E(s)
(figura 5.3).
R(s)
E(s)
Y(s)
G(s)
Figura 5.3: Sistema con feedback unitario
Vediamo ora di determinare analiticamente il valore di E(s).
E(s) = R(s) − Y (s)
(5.1)
Y (s) = E(s)G(s)
(5.2)
R(s)
1 + G(s)
(5.3)
ma
e quindi
E(s) =
ora applichiamo il teorema del valore finale per ottenere e∞
sR(s)
s→0 1 + G(s)
e∞ = lim
5.2
5.2.1
(5.4)
Analisi dell’errore allo stato finito
Gradino
In questo caso vale
R(s) =
1
s
(5.5)
e quindi
s 1s
1
=
s→0 1 + G(s)
1 + lim G(s)
e∞ = lim
(5.6)
s→0
In pratica avremo un errore nullo unicamente se
lim G(s) = ∞
s→0
(5.7)
Partendo da una formulazione generale
G(s) =
7 aprile 2003
(s + z1 )(s + z2 ) · · ·
sn (s + p1 )(s + p2 ) · · ·
(5.8)
69
Automazione I e II
ne consegue che il valore di G(s) = ∞ lo si ottiene unicamente se esiste almeno un polo a
0. Negli altri casi vale invece
lim G(s) =
s→0
e quindi l’errore allo stato finito non è nullo.
5.2.2
z1 z2 · · ·
p1 p2 · · ·
(5.9)
Rampa
In questo caso vale
R(s) =
1
s2
(5.10)
e quindi
s s12
1
1
= lim
=
s→0 s + sG(s)
s→0 1 + G(s)
lim sG(s)
e∞ = lim
(5.11)
s→0
lim sG(s) = ∞
(5.12)
s→0
Siccome
G(s) =
(s + z1 )(s + z2 ) · · ·
+ p1 )(s + p2 ) · · ·
(5.13)
sn (s
ne consegue che il valore di G(s) = ∞ lo si ottiene unicamente se esistono almeno due poli
a 0. Se esiste un unico polo a 0 avremo un errore pari a
lim sG(s) =
s→0
z1 z2 · · ·
6= ∞
p1 p2 · · ·
(5.14)
e quindi l’errore allo stato finito non è nullo. Nel caso invece che non ci siano poli a 0
avremo
lim sG(s) = 0
(5.15)
s→0
e quindi l’errore allo stato finito diventa infinito.
5.2.3
Parabola
In questo caso vale
R(s) =
1
s3
(5.16)
e quindi
s s13
1
1
= lim 2
=
2
s→0 1 + G(s)
s→0 s + s G(s)
lim s2 G(s)
e∞ = lim
(5.17)
s→0
70
7 aprile 2003
5.3. Costanti di errore statico
Automazione I e II
lim s2 G(s) = ∞
(5.18)
s→0
Siccome
G(s) =
(s + z1 )(s + z2 ) · · ·
+ p1 )(s + p2 ) · · ·
sn (s
(5.19)
ne consegue che il valore di G(s) = ∞ lo si ottiene unicamente se esistono almeno tre poli
a 0. Se esistono due poli a 0 avremo un errore pari a
lim s2 G(s) =
s→0
e quindi l’errore allo stato finito non è nullo.
Negli altri casi avremo invece
z1 z2 · · ·
p1 p2 · · ·
(5.20)
lim s2 G(s0
(5.21)
s→0
e quindi l’errore allo stato finito diventa infinito.
5.3
Costanti di errore statico
Abbiamo appena visto le relazioni che intercorrono tra errore allo stato finito e segnale di
ingresso, trovando le formule riportate nella tabella 5.2.
gradino
rampa
parabola
1
e∞ =
1 + lim G(s)
e∞ =
lim sG(s)
e∞ =
s→0
1
s→0
1
lim s2 G(s)
s→0
Tabella 5.2: Errore allo stato finito con le entrate di test
I tre elementi al denominatore vengono definiti costanti di errore statico. Il calcolo di
queste costanti è riassunto nella tabella 5.3
Costante di posizione KP
KP = lim G(s)
Costante di velocità KV
KV = lim sG(s)
Costante di accelerazione KA
KA = lim s2 G(s)
s→0
s→0
s→0
Tabella 5.3: Costanti di errore statico
7 aprile 2003
71
Automazione I e II
5.4
Definizione del tipo di sistema
Un sistema rappresentato dalla funzione di trasferimento della figura 5.4 è detto sistema
di tipo n, dove n rappresenta la moltiplicità del polo a 0 al denominatore.
R(s)
PSfrag replacements
+
K(s+z1 )(s+z2 )···
sn (s+p1 )(s+p2 )···
Y(s)
-
Figura 5.4: Sistema di tipo n
La tabelle 5.4 mostra un riassunto delle formule trovate per l’errore allo stato finito.
5.5
Errore allo stato finito di sistemi con feedback non unitario
Nel caso di sistemi con feedback non unitario occorre ridurre il sistema ad un sistema con
feedback unitario, e quindi applicare le formule viste precedentemente.
La riduzione del sistema è rappresentata nella sequenza a,b,c,d, della figura 5.5, e si
effettua in 3 passaggi.
Dapprima viene introdotto un feedback unitario e una sua compensazione per mantenere il sistema uguale al precedente (figura 5.5b).
In seguito la compensazione del feedback viene integrata nella funzione di trasferimento
del feedback non unitario (figura 5.5c ).
Infine si trasferisce la funzione del feedback non unitario assieme alla funzione ad anello
aperto (figura 5.5d ).
Ora è sufficiente calcolare e analizzare la funzione di trasferimento
G∗ (s) =
G(s)
1 + G(s)H(s) − G(s)
(5.22)
applicando le formule trovate precedentemente per i sistemi con feedback unitario.
72
7 aprile 2003
Tipo 2
Errore
Costante
di errore
KP = costante
1
1 + KP
KP = ∞
0
KP = ∞
0
1
KV
KV = 0
∞
KV = costante
1
KV
KV = ∞
0
1
KA
KA = 0
∞
KA = 0
∞
KA = costante
1
KA
Entrata
e∞
gradino
1
1 + KP
rampa
parabola
Costante
di errore
Tipo 1
Errore
Costante
di errore
Errore
5.5. Errore allo stato finito di sistemi con feedback non unitario
7 aprile 2003
Tipo 0
Tabella 5.4: Tabella riassuntiva degli errori
Automazione I e II
73
G(s)
Y(s)
E(s)
+
R(s)
-
-
-
G(s)
Y(s)
-
H(s)
7 aprile 2003
E(s)
+
R(s)
H(s)
a)
b)
E(s)
-
G(s)
-
R(s)
H(s)-1
Automazione I e II
Y(s)
E(s)
+
G(s)
1+G(s)H(s)−G(s)
Y(s)
-
d)
PSfrag replacements
c)
Figura 5.5: Sistema con feedback non unitario
74
+
R(s)
-1
Capitolo 6
Analisi con il luogo delle radici
6.1
Introduzione
Abbiamo visto in uno dei capitoli precedenti come sia possibile fare delle analisi di tipo
qualitativo e quantitativo basandosi sulla posizione dei poli di una funzione di trasferimento. Nel caso di un sistema ad anello aperto questo tipo di analisi è abbastanza semplice.
Più complicato diventa il discorso con un sistema ad anello chiuso, in cui ad esempio la
posizione dei poli di una funzione varia con il variare di un parametro, come potrebbe
essere per esempio l’amplificazione del sistema della figura 6.1
R(s)
KG(s)
Y(s)
Sum
H(s)
Figura 6.1: Processo per l’analisi dei poli
In questo caso potrebbe essere interessante conoscere la posizione delle radici della funzione di trasferimento ad anello chiuso in funzione del parametro K, per poter determinare
la stabilità ed il comportamento dinamico del sistema.
Partendo dalle due funzioni di trasferimento
G(s) =
NG (s)
DG (s)
(6.1)
H(s) =
NH (s)
DH (s)
(6.2)
e
possiamo trovare la funzione di trasferimento ad anello chiuso che vale
GT OT (s) =
7 aprile 2003
KNG (s)DH (s)
DG (s)DH (s) + KNG (s)NH (s)
(6.3)
75
Automazione I e II
Capitolo 6. Analisi con il luogo delle radici
dove N e D sono i polinomi rispettivamente del numeratore e denominatore delle due
funzioni di trasferimento G(s) e H(s). La rappresentazione sul piano della variabile s dei
poli della funzione di trasferimento ad anello chiuso in funzione del parametro K e detta
luogo delle radici.
6.2
Rappresentazione vettoriale di funzioni complesse
Sappiamo che i numeri complessi possono essere rappresentati mediante dei vettori e conseguentemente, grazie a questa rappresentazione, possiamo trovare il valore di una funzione
con variabili complesse in modo grafico. Determiniamo per esempio il valore della funzione
F (s) =
s+1
s(s + 2)
(6.4)
nel punto s = −3 + j4.
Nella figura 6.2 è descitta la soluzione grafica di questo problema.
Il vettore s + 1 inizia allo zero della funzione −1 e termina al punto −3 + j4. Questo
vettore vale
√
206 116.57◦
(6.5)
Il vettore s inizia al polo 0 della funzione e termina al punto −3 + j4. Utilizzando la
rappresentazione di Eulero, questo vettore vale
56 126.87◦
(6.6)
IL vettore s + 2 inizia al polo della funzione −2 e termina nel punto −3 + j4. Questo
vettore vale
√
176 104.04◦
(6.7)
Il valore della funzione è dato quindi dai moduli dei vettori verso lo zero della funzione,
diviso per i moduli dei vettori verso i poli della funzione (modulo) e dalla somma degli
angoli verso gli zeri meno la somma degli angoli verso i poli.
Nell’esempio vale
√
20
6
M θ = √ 6 116.57◦ − 126.87◦ − 104.04◦ = 0.2176 114.34◦
(6.8)
5 17
6.3
Luogo delle radici
Prendiamo il sistema della figura 6.3
La funzione di trasferimento ad anello chiuso vale
K
(6.9)
s2 + 10s + K
Per questo esempio cercheremo di calcolare noi i valori dei poli del circuito ad anello
chiuso con il variare del parametro K. Normalmente è però sufficiente uno schizzo della
posizione di questi poli. Vedremo in seguito come sia possibile schizzare velocemente il
diagramma del luogo delle radici. Inoltre programmi come Matlab forniscono già funzioni
GT OT (s) =
76
7 aprile 2003
6.3. Luogo delle radici
Automazione I e II
Pole−zero map
5
4
3
Imag Axis
s
2
s+1
1
s+2
0
−1
−4
−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
Real Axis
−1
−0.5
0
0.5
1
Figura 6.2: Calcolo grafico del valore di una funzione complessa
R(s)
K
Sum
s(s+10)
Y(s)
7 aprile 2003
77
Automazione I e II
che permettono di disegnare questo grafico. In ogni modo, per questo esempio calcoleremo
noi i valori dei poli al variare di K. Questi valori sono riportati nella tabella 6.1:
K
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Polo 1
−10
−9.47
−8.87
−8.16
−7.24
−5
−5 + j2.24
−5 + j3.16
−5 + j3.87
−5 + j4.47
−5 + j5
Polo 2
0
−0.53
−1.13
−1.84
−2.76
−5
−5 − j2.24
−5 − j3.16
−5 − j3.87
−5 − j4.47
−5 − j5
Tabella 6.1: Poli del sistema ad anello chiuso
La figura 6.4 mostra l’andamento del luogo delle radici del sistema
3
2
Imag Axis
1
0
−1
−2
−3
−10
−8
−6
−4
Real Axis
−2
0
Figura 6.4: Luogo delle radici del sistema G(s) =
2
4
1
s(s+10)
Normalmente è sufficiente analizzare il caso in cui K ≥ 0.
Possiamo vedere che il sistema ad anello chiuso è sovrasmorzato per valori di K compresi tra 0 e 25; in quest’ultimo caso abbiamo un sistema smorzato in modo critico. Con
l’aumentare di K compaiono dei poli di tipo complesso, in cui avremo quindi in risposta
delle oscillazioni. Il sistema risulta in ogni modo stabile per tutti i valori di K, poiché non
compaiono mai poli nel semipiano destro.
78
7 aprile 2003
6.4. Proprietà del luogo delle radici
6.4
Automazione I e II
Proprietà del luogo delle radici
Nell’esempio precedente abbiamo potuto trovare facilmente i poli del sistema poiché si
trattava di un sistema di 2. ordine. Purtroppo nel caso di sistemi di ordine superiore
questo tipo di lavoro è più complesso. Vediamo di analizzare più in dettaglio la funzione
di trasferimento ad anello chiuso. Partiamo dalla funzione di trasferimento ad anello chiuso
KG(s)
1 + KG(s)H(s)
Un polo s esiste se il denominatore diventa 0 e quindi quando
GT OT (s) =
KG(s)H(s) = −1 = 16 (2k + 1)180◦ , k = 0, ±1, ±2, . . .
(6.10)
(6.11)
Controllando quindi se per un dato valore di s otteniamo il risultato della formula, s è un
polo della funzione di trasferimento ad anello chiuso.
6.5
Regole per disegnare il luogo delle radici
Nella maggior parte dei casi è sufficiente uno schizzo del luogo delle radici e non un calcolo
dettagliato. Mezzi moderni come Matlab permettono di ottenere in pochissimo tempo
un grafico preciso del luogo delle radici, ma spesso è sufficiente uno schizzo che può essere
fatto velocemente senza bisogno di grossi calcoli. È sufficiente seguire alcune regole e
ottenere un grafico per il luogo delle radici.
6.5.1
Numero di rami
Ogni polo della funzione di trasferimento ad anello chiuso viene modificato cambiando il
valore di K. Possiamo quindi concludere che il numero di rami del grafico è uguale al
numero di poli della funzione di trasferimento ad anello chiuso. Nel caso dell’esempio
precedente un ramo iniziava nel punto −10 e un altro nel punto 0.
6.5.2
Simmetria
Siccome i coefficienti del denominatore della funzione di trasferimento ad anello chiuso
sono tutti reali, ne consegue che ogni polo complesso è doppiato dal suo valore coniugato.
Questo ci permette di concludere che il grafico del luogo delle radici è simmetrico rispetto
all’asse reale.
6.5.3
Segmenti sull’asse reale
Abbiamo visto che un valore s è polo della funzione di trasferimento ad anello chiuso solo
se vale la proprietà
KG(s)H(s) = −1 = 16 (2k + 1)180◦ , k = 0, ±1, ±2, . . .
(6.12)
Per questo motivo tutti quei tratti che hanno alla loro destra un numero dispari di zeri
o poli di G(s)H(s) soddisfano l’equazione precedente (per un certo valore di K > 0).
Possiamo quindi concludere che tutti i tratti dell’asse reale che si trovano a sinistra di un
numero dispari di poli o zeri della funzione di trasferimento ad anello aperto appartengono
al luogo delle radici della funzione di trasferimento ad anello chiuso.
7 aprile 2003
79
Automazione I e II
6.5.4
Punti di partenza e punti di arrivo
Abbiamo visto inizialmente che la funzione di trasferimento ad anello chiuso vale
GT OT (s) =
KNG (s)DH (s)
DG (s)DH (s) + KNG (s)NH (s)
(6.13)
Possiamo quindi dire che per K → 0 la funzione di trasferimento diventa
GT OT (s) '
KNG (s)DH (s)
DG (s)DH (s) + ²
(6.14)
Se ² → 0 il valore del denominatore approssima il denominatore della funzione di trasferimento ad anello aperto. I punti di partenza dei rami sono quindi i poli della funzione di
trasferimento ad anello aperto.
Se K → ∞ la funzione di trasferimento ad anello chiuso diventa
GT OT (s) '
KNG (s)DH (s)
² + KNG (s)NH (s)
(6.15)
Se ² → ∞ il valore del denominatore approssima il polinomio formato dalla moltiplicazione
dei numeratori di G(s) e H(s). I punti di arrivo dei rami sono quindi gli zeri della funzione
di trasferimento ad anello aperto.
6.5.5
Rami che tendono all’infinito
Se il numero degli zeri della funzione di trasferimento ad anello aperto è minore del numero
dei poli, possiamo introdurre dei valori degli zeri di tipo infinito. I rami tenderanno in
questo caso verso dei valori all’infinito. Possiamo trovare ora in che modo i rami tenderanno
verso questi valori (asindoti).
Senza dimostrazione, le formule che ci danno la posizione degli asindoti sono le seguenti
6.5.5.1
Intersezione dell’asse reale al punto
P
P
poli − zeri
σ0 =
#poli − #zeri
(6.16)
# indica il numero di poli, rispettivamente zeri
Attenzione: il punto σ0 rappresenta il punto di incrocio degli asindoti con l’asse reale
e non necessariamente il punto di diramazione del grafico (polo multiplo della funzione di
trasferimento ad anello chiuso).
6.5.5.2
La pendenza degli asindoti è data da
M = tan
(2k + 1)π
, k = 0, ±1, ±2
#poli − #zeri
(6.17)
Esempio 6.1 Applichiamo le regole viste precedentemente per schizzare il luogo delle
radici del sistema di figura 6.5
80
7 aprile 2003
6.5. Regole per disegnare il luogo delle radici
Automazione I e II
R(s)
K(s+3)
Sum
s(s+1)(s+2)(s+4)
Y(s)
Numero di rami:
4
Punti di partenza: 0,-1,-2,-4
Punti di arrivo:
-3, tre rami tendono all’ ∞
Punti sull’asse reale: I punti tra -1 (polo) e 0 (polo),
tra -2 (polo) e -3 (zero),
da -4 (polo) a −∞ (zero)
Poiché −1 e 0 sono due poli e occorre terminare a uno zero della funzione di trasferimento ad anello aperto, tra questi due valori ci sarà un punto di diramazione con tendenza
asintotica verso valori infiniti. Il polo a −4 tende a −∞ sull’asse reale. Abbiamo quindi
3 asindoti con angoli di
M = tan
otteniamo
(2k + 1)π
4−1
π
3
k = 1 → tan π
5π
k = 2 → tan
3
k = 0 → tan
(6.18)
(6.19)
(6.20)
(6.21)
Il punto di incontro delle tangenti con l’asse reale vale
(−1 − 2 − 4) − (−3)
4
=−
(6.22)
4−1
3
La rappresentazione del luogo delle radici che otteniamo è mostrata nella figura 6.6.
Come si può ben vedere il sistema è stabile solo in un certo intervallo dei valori di K.
Eventualmente il metodo del luogo delle radici può essere utilizzato assieme al metodo di
Routh-Hurwitz per ottenere risultati quantitativi.
σ0 =
7 aprile 2003
81
Automazione I e II
5
4
3
2
Imag Axis
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−5
−4
−3
−2
Real Axis
−1
0
Figura 6.6: Luogo delle radici del sistema G(s) =
82
1
2
s+3
s(s+1)(s+2)(s+4)
7 aprile 2003
Capitolo 7
Analisi nel dominio delle frequenze
Dopo aver visto come si può analizzare un sistema mediante lo studio dei suoi poli (normalmente quelli dominanti), vediamo ora altri due metodi che si basano su un’analisi della
funzione di trasferimento nel dominio delle frequenze ω. Esistono diversi metodi per fare
delle analisi in frequenza, tra cui i più importanti sono:
• Metodo con i diagrammi di Bode
• Metodo con il diagramma di Nyquist
7.1
Analisi di Bode
Questo tipo di analisi permette di rappresentare graficamente delle funzioni di trasferimento scomponendole in termini semplici che possono essere disegnati e sommati fra di
loro. Partendo da una funzione di trasferimento qualsiasi e portandola nella forma
G(s) =
K(1 + sτ1 )(1 + sτ2 ) · · ·
sn (1 + sT1 )(1 + sT2 )(1 + 2ξsT3 + s2 T32 ) · · ·
(7.1)
possiamo disegnarla in due grafici distinti. Nel primo rappresenteremo l’ampiezza della
funzione di trasferimento in una forma particolare, nel secondo rappresenteremo invece la
fase del sistema. L’ampiezza verrà rappresentata in dB, calcolandola nel modo seguente
M (jω) = 20 log |G(jω)|
(7.2)
Grazie alla rappresentazione logaritmica le varie componenti della funzione di trasferimento possono essere calcolate singolarmente e infine sommate fra di loro.
Esempio 7.1
G(jω) =
jω(1 + jωT1 )
(1 + jωT2 )
(7.3)
Per il calcolo complesso e logaritmico possiamo scrivere
A(ω) = 20 log |jω| + 20 log |1 + jωT1 | − 20 log |1 + jωT2 |
ϕ(ω) =
7 aprile 2003
6
(jω) + (1 + jωT1 ) − (1 + jωT2 )
6
6
(7.4)
(7.5)
83
Automazione I e II
7.2
Capitolo 7. Analisi nel dominio delle frequenze
Grafici delle singole funzioni
Le figure 7.1, 7.2, 7.3, 7.4 e 7.5 mostrano i grafici delle diverse funzioni di trasferimento,
normati con T = 1.
Bode Diagrams
40
30
20
Phase (deg); Magnitude (dB)
10
0
−10
−20
91
90.5
90
89.5
89
−1
10
0
1
10
10
2
10
Frequency (rad/sec)
Figura 7.1: Grafico della funzione jωT
Le figure 7.1 e 7.2 mostrano un andamento analogo, con un’ampiezza costante pari a
20dB/dec, rispettivamente −20dB/dec, mentre la fase è costante a +90 ◦ , rispettivamente
−90◦ .
Le figure 7.3 e 7.4 hanno un guadagno costante a 0 dB fino a circa la frequenza T1 ,
dove vale 3dB (−3dB). Da questo punto l’ampiezza sale (scende) con una pendenza di
20dB/dec. La fase resta a 0◦ fino a circa 1/5 della frequenza, poi va gradatamente a raggiungere il valore +90◦ , rispettivamente −90◦ a circa 5 volte il valore di T1 . L’andamento
della figura 7.5 dipende fortemente dal valore del parametro ξ, che rappresenta lo smorzamento della funzione di trasferimento. Più questo parametro è piccolo, più il grafico
dell’ampiezza presenta un accentuarsi del picco a 1/T, e più si restringe l’intervallo tra cui
la fase varia da 0 a -180.
Dopo aver ricapitolato la rappresentazione delle varie funzioni parziali, occorre rammentare che per il disegno è spesso sufficiente uno schizzo di tipo asintotico. I grafici delle
figure 7.1, 7.2, 7.3, 7.4 e 7.5 sono stati normati per un valore di T pari a 1. Per altri valori
di T i grafici vanno traslati nel punto ω = 1/T .
7.3
Utilizzo dei diagrammi di Bode in regolazione
L’uso dei diagrammi di Bode in regolazione è molto utile, poiché ci permette di analizzare
un sistema ad anello chiuso partendo dalla sua funzione ad anello aperto KG(s)H(s). Nel
diagramma di Bode viene infatti rappresentata questa funzione (e non quella totale ad
anello chiuso). Una volta disegnato il diagramma di Bode è possibile fare delle analisi
84
7 aprile 2003
7.3. Utilizzo dei diagrammi di Bode in regolazione
Automazione I e II
Bode Diagrams
20
10
0
−10
−20
−30
−40
−89
−89.5
−90
−90.5
−91
−1
10
0
1
10
2
10
10
Frequency (rad/sec)
Figura 7.2: Grafico della funzione
1
jωT
Bode Diagrams
30
25
20
15
10
5
0
100
80
60
40
20
0
−1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
Figura 7.3: Grafico della funzione 1 + jωT
7 aprile 2003
85
Automazione I e II
Bode Diagrams
0
−5
−10
−15
−20
0
−20
−40
−60
−80
−100
−1
10
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
1
1+jωT
Bode Diagrams
20
10
0
−10
−20
−30
−40
0
−50
−100
−150
−200
−1
10
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
86
1
,
1+2jωT −ω 2 T 2
ξ = 0.5
7 aprile 2003
7.3. Utilizzo dei diagrammi di Bode in regolazione
Automazione I e II
qualitative e quantitative che ci permettono affermazioni su stabilità, errore allo stato
finito, comportamento transiente ecc., riferiti al sistema ad anello chiuso.
Partendo dalla funzione di trasferimento ad anello chiuso definita come
GT OT (s) =
G(s)
1 + G(s)H(s)
(7.6)
possiamo rappresentare la funzione di trasferimento G(s)H(s) con un diagramma di Bode
e vedere due punti particolari (vedi figura 7.6). Il primo punto interessante è quello in cui
il diagramma dell’ampiezza taglia la linea 0dB (amplificazione pari a 1). La frequenza di
taglio viene chiamata ωgc (gain crossover frequency). La corrispondente fase ϕ permette
di determinare il parametro detto margine di fase, definito come
P M = 180◦ + ϕ
(7.7)
Se PM è maggiore di 0 il sistema ad anello chiuso è stabile, altrimenti sarà instabile.
Bode Diagrams
Gm=58.8 dB (Wcg=13.1); Pm=86.0 deg. (Wcp=0.1)
100
50
0
−50
−100
−150
−200
0
−50
−100
−150
−200
−250
−300
−2
10
−1
0
10
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
Figura 7.6: Margine di guadagno e margine di fase
Il secondo punto interessante del grafico è quello in cui la fase passa al di sotto di
−180◦ . La corrispondente ampiezza, cambiata di segno mi indica in pratica l’amplificazione massima (in dB) che io si può ancora dare al sistema senza che diventi instabile.
Questa ampiezza viene detta margine di ampiezza (Gain margin GM).
Analizziamo ora una funzione ad anello aperto
KG(s) =
Kωn2
s2 + 2ξωn s + ωn2
(7.8)
Possiamo facilmente dimostrare che
√
ωgc = ωn K
7 aprile 2003
(7.9)
87
Automazione I e II
Sappiamo in effetti che, nel caso che K valga 1, la pendenza della curva dopo ω n è di 40
dB per ogni decade. Se noi moltiplichiamo la funzione di trasferimento per K facciamo
una traslazione verso l’alto del nostro grafico di 20 log(K)[dB].
Vale quindi la relazione
20 log(K)
40
=
log(10ωn ) − log(ωn )
log(αωn ) − log(ωn )
(7.10)
per le proprietà dei logaritmi l’uguaglianza descritta nell’equazione (7.10) diventa
40
log
³
10ωn
ωn
´ =
20 log(K)
log
³
αωn
ωn
´ →
40
20 log(K)
=
log 10
log(α)
(7.11)
Poiché log(10) = 1 , possiamo girare l’uguaglianza e trovare
√
1
20
log(K) = log(K 2 ) → α = K
(7.12)
40
√
Quindi la nuova frequenza gain crossover è K volte più grande della precedente.
Vediamo ora graficamente il significato di margine di fase e margine di guadagno. Sul
grafico della figura 7.7 sono riportati i diagrammi di Bode dell’ampiezza e della fase per
la funzione di trasferimento ad anello aperto
log(α) =
G(s) =
s(s2
400
+ 30s + 200)
(7.13)
In corrispondenza del taglio del guadagno con la riga 0dB possiamo leggere il valore del
margine di fase che è di ca. 73◦ , mentre il margine di guadagno, letto in corrispondenza
del passaggio della fase al di sotto di −180◦ vale ca. 23dB.
Bode Diagrams
50
0
−50
−100
0
−50
−100
−150
−200
−250
−300
−1
10
0
1
10
10
2
10
Frequency (rad/sec)
Figura 7.7: Diagramma di Bode della funzione
88
400
s(s2 +30s+200)
7 aprile 2003
7.4. Analisi di Nyquist
Automazione I e II
Vediamo ora in che relazione stanno i valori di smorzamento e di frequenza naturale
tra il sistema ad anello aperto e il sistema ad anello chiuso nel caso di una funzione di 2.
ordine.
Partendo nuovamente da
KG(s) =
Kωn2
(7.14)
possiamo dire che
GT OT (s) =
Kωn2
Kωn2
=)
=
s2 + 2ξωn s + (K + 1)ωn2
s2 + 2ξCL ωnCL s + ωn2 CL
(7.15)
vediamo quindi che
ωnCL
ξCL
7.4
√
= ωn K + 1
ξ
= √
K +1
(7.16)
(7.17)
Analisi di Nyquist
Il metodo di Nyquist permette di rappresentare graficamente l’andamento della funzione
G(jω) al variare di ω da −∞ a +∞. Abbiamo quindi la trasformazione di una curva da
un piano complesso ad un altro piano complesso mediante la trasformazione G(s). Prima
però di continuare dobbiamo vedere alcune definizioni che ci serviranno per lavorare con
i diagrammi di Nyquist.
• Un contorno chiuso in un piano complesso è una linea che inizia e finisce nello stesso
punto (vedi figura 7.8).
• Tutti i punti alla destra di un contorno, definito secondo una direzione prescritta,
sono detti interni ad esso (vedi figura 7.9).
• Un percorso orario sul contorno è definito come direzione positiva (vedi figura 7.10).
• Un contorno chiuso sul piano P (s) è detto formare n rotazioni positive intorno all’origine, se il vettore tracciato dall’origine ad un punto sulla curva che percorre
completamente il cammino chiuso ruota in senso orario coprendo N x360 ◦ . Se il
cammino è in senso antiorario si ottiene una rotazione negativa. Il numero totale
di rotazioni N0 è uguale alle rotazioni in senso orario meno le rotazioni in senso
antiorario (vedi figura 7.11).
La trasformazione ha inoltre le seguenti proprietà:
1. P (s) è una funzione univoca. Ogni punto del piano s si trasforma in un unico punto
sul piano P (s).
2. I contorni sul piano s devono evitare i punti singolari di P (s).
3. Ogni contorno chiuso sul piano s si trasforma in un contorno chiuso sul piano P (s).
7 aprile 2003
89
Automazione I e II
Figura 7.8: Contorno chiuso
Figura 7.9: Punti a destra di un contorno
Figura 7.10: Senso orario di un percorso
Figura 7.11: Numero di rotazioni di un percorso chiuso
90
7 aprile 2003
Automazione I e II
4. P (s) è una trasformazione conforme. Ciò significa che ogni angolo fra due generiche
curve che si intersecano e le lori direzioni si conservano quando queste curve si
trasformano nel piano P (s).
5. Il numero totale di rotazioni N0 intorno all’origine compiute da un contorno chiuso
nel piano P (s), trasformazione di un contorno chiuso nel piano s, è uguale al numero
degli zeri Z0 - il numero dei poli P0 della trasformazione P (s) interni al contorno sul
piano s. Cioè
N0 = Z 0 − P 0
Se l’origine è interna al contorno P(s),allora N > 0, altrimenti N ≤ 0.
Il contorno chiuso nel piano s viene scelto come un contorno che contiene tutto il
semipiano destro complesso. Il cammino effettuato sul contorno chiuso viene chiamato
cammino di Nyquist, ed è visibile nella figura 7.12
R→∞
ρ→0
PSfrag replacements
Figura 7.12: Cammino di Nyquist
Il cammino di Nyquist viene trasformato mediante la funzione di trasferimento G(jω)
nel diagramma di Nyquist della funzione di trasferimento. Nella figura 7.13 è rappresentato
il diagramma di Nyquist di una funzione di trasferimento e le due grandezze interessanti
in regolazione (GM =margine di guadagno e P M =margine di fase).
Anche con il diagramma di Nyquist è possibile vedere se il sistema è stabile. Il criterio
di Nyquist permette di determinare la stabilità del sistema ad anello chiuso analizzando
il diagramma della funzione ad anello aperto.
Partendo da una funzione di trasferimento G(s), applicando le caratteristiche della
trasformazione, possiamo dire che, utilizzando il cammino di Nyquist che racchiude tutto
il semipiano destro, tranne le singolarità di G(s), vale
ZG = P G + N 0
7 aprile 2003
(7.18)
91
Automazione I e II
Nyquist Diagrams
5
4
3
Imaginary Axis
2
1
GM
1
0
PM
−1
−2
−3
PSfrag replacements
−4
−5
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
Real Axis
Figura 7.13: Diagamma di Nyquist
ZG
PG
N0
è il numero di zeri di G(s) nel semipiano destro
è il numero di poli di G(s) nel semipiano destro
è il numero di rotazioni del diagramma di
Nyquist attorno all’origine, in senso orario
dove
Attenzione: Poli e zeri nel semipiano sinistro non vengono considerati!
Se ora consideriamo la funzione di trasferimento ad anello chiuso con K = 1
GT OT (s) =
G(s)
1 + G(s)H(s)
(7.19)
possiamo definire il denominatore di GT OT (s) come
GT OT (s) =
G(s)
→ D(s) = 1 + G(s)H(s)
D(s)
(7.20)
I poli di GT OT (s) coincidono con gli zeri di D(s). Inoltre possiamo vedere subito che i poli
di D(s) sono anche i poli di G(s)H(s). Riscrivendo ora l’eqazione (7.18) con i dati della
funzione di trasferimento D(s) e applicando le uguaglianze precedenti otteniamo
PGT OT = PGH + N0
(7.21)
Quindi, conoscendo il numero di poli nel semipiano destro della funzione G(s)H(s), e il
numero di rotazioni attorno all’origine della trasformazione mediante D(s) del cammino
di Nyquist, siamo in grado di determinare il numero di poli della funzione di trasferimento
ad anello chiuso GT OT (s).
Al posto di esaminare D(s) possiamo esaminare
92
7 aprile 2003
Automazione I e II
G(s)H(s) = D(s) − 1
(7.22)
In questo modo spostiamo il punto interessante che prima era all’origine, nel punto (−1 +
j0). Ora possiamo disegnare il diagramma di Nyquist della funzione G(s)H(s) e contare
il numero di giri che vengono effettuati dalla funzione attorno al punto (−1 + j0).
Secondo l’equazione (7.18), il numero di poli nel semipiano destro di GT OT (s) è uguale al numero di giri effettuati attorno al punto (−1 + j0) sommato al numero di poli
della funzione G(s)H(s) che si trovano nel semipiano destro (all’interno del cammino di
Nyquist).
Per la stabilità questo valore deve essere nullo.
Abbiamo definito cosı̀ il criterio di stabilità di Nyquist.
Esempio 7.2 Prendiamo una funzione di trasferimento ad anello aperto G(s) in feedback
unitario pari a
G(s) =
10
(s + 1)(s + 3)(s + 8)
(7.23)
Nella figura 7.14 è rappresentato il diagramma di Nyquist di questa funzione.
Poiché la funzione ad anello aperto non ha poli nel semipiano destro, occorre per la
stabilità che il punto (−1 + j0) non venga circondato dal diagramma di Nyquist, ciò che
in effetti avviene.
Nyquist Diagrams
0.25
0.2
0.15
Imaginary Axis
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.15
−0.2
−0.25
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Real Axis
Figura 7.14: Diagramma di Nyquist della funzione G(s) =
10
(s+1)(s+3)(s+8)
Nel caso in cui la funzione di trasferimento ad anello aperto non abbia poli nel semipiano destro, è possibile definire un criterio di stabilità di Nyquist semplificato, in cui il
sistema ad anello chiuso è stabile se il diagramma di Nyquist del sistema ad anello aperto
è sempre a sinistra del punto critico (−1 + j0).
7 aprile 2003
93
Automazione I e II
Vediamo ora sul diagramma di Nyquist una relazione molto importante che lega il
margine di fase P M alla funzione di trasferimento ad anello chiuso GT OT (s)).
Sappiamo che il margine di fase è in corrispondenza di quel punto della curva in cui si
taglia un cerchio di raggio unitario (vedi figura 7.15a). In quel punto possiamo dire che
|G(s)| = 1
PM
PM
(7.24)
K
α
1
PSfrag replacements
α
PSfrag replacements
a)
b)
Figura 7.15: Relazione tra PM, K e ξCL
Questo punto è in corrispondenza della frequenza ωgc . Ora possiamo calcolare il modulo
della funzione di trasferimento ad anello chiuso in questo punto, che vale
¯
¯
¯ G(jω ) ¯
1
gc
¯
¯
|GT OT (jωgc )| = ¯
¯=
¯ 1 + G(jωgc ) ¯
|1 + G(jωgc )|
(7.25)
Possiamo rappresentare questo modulo sul grafico precedente mediante un segmento K
pari a
K=
1
= |1 + G(jωgc )|
|GT OT (jωgc )|
(7.26)
Poiché il segmento che unisce l’origine al punto di taglio della circonferenza è G(jω gc ),
possiamo aggiungere 1 al valore sulla circonferenza e trovare il valore di K (figura 7.15b).
Applicando un po’ di geometria, vediamo subito che il triangolo di base K è un triangolo isoscele, e inoltre l’angolo α è uguale a P M . Possiamo ora calcolare P M in funzione
di K e otteniamo
sin
K
K
1
α
= 2 =
=
2
1
2
2|GT OT (jωgc )|
(7.27)
1
2|GT OT (jωgc )|
(7.28)
e quindi
α = P M = 2 sin−1
94
7 aprile 2003
7.5. Riassunto delle formule trovate
7.5
Automazione I e II
Riassunto delle formule trovate
Possiamo ora riassumere le formula analitiche che legano le varie grandezze in gioco tra
circuito ad anello aperto e circuito ad anello chiuso. Partendo da una funzione ad anello
aperto con amplificazione K del tipo
KG(s) =
Kωn2
(7.29)
otteniamo una funzione di trasferimento ad anello chiuso
GT OT (s) =
Kωn2
Kωn2
=
s2 + 2ξωn s + (K + 1)ωn2
s2 + 2ξCL ωnCL s + ωn2 CL
(7.30)
Valgono quindi le relazioni seguenti
ωnCL
ξCL
√
= ωn K + 1
ξ
= √
K +1
(7.31)
(7.32)
Vale inoltre
P M = 2 sin−1
1
2|GT OT (jωgc )|
(7.33)
Ma poiché
√
ωgc = ωn K
(7.34)
otteniamo
¯
¯
√
2 + 2jξ
2¯
1
1 ¯¯ −ωgc
CL ωn K + 1ωgc + (K + 1)ωn ¯
= ¯
¯
¯
2|GT OT (jωgc )|
2¯
Kωn2
(7.35)
Con K abbastanza grande abbiamo
√
√
K +1' K
(7.36)
e possiamo scrivere
1
2|GT OT (jωgc )|
'
¯
¯
√
2 + 2jξ
2¯
1 ¯¯ −ωgc
CL ωn K + 1ωgc + (K + 1)ωn ¯
¯
¯
¯
2¯
Kωn2
¯
¯
1 ¯¯ 2jξCL Kωn2 ¯¯
'
¯
¯
2 ¯ Kωn2 ¯
1
'
|2jξCL |
2
' ξCL
(7.37)
(7.38)
(7.39)
(7.40)
Di conseguenza abbiamo
7 aprile 2003
95
Automazione I e II
P M ' 2 sin−1 (ξCL )
(7.41)
o, girato
ξCL
µ
PM
' sin
2
¶
(7.42)
Alcuni autori riportano anche l’approssimazione
ξCL = 0.01 · P M (gradi)
(7.43)
Una formula più esatta che mette in relazione il fattore di smorzamento ξ CL con il P M
può essere calcolata più precisamente, dando come risultato


P M = tan−1 
r

2ξCL
2
−2ξCL
+
q
1+
4
4ξCL



(7.44)
Questa formula è stata implementata sotto Matlab tramite la funzione
[PM]=xi2pm(xi)
Il grafico di quest’ultima funzione è mostrato nella figura 7.16.
96
7 aprile 2003
2
80
7.5. Riassunto delle formule trovate
7 aprile 2003
Relazione tra ξ e PM calcolato con G(s)=1/(s +2*ξ*s)
70
60
PM
50
40
30
20
10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
ξ
0.6
97
Figura 7.16: Relazione tra ξ e P M
0.7
0.8
0.9
1
Automazione I e II
0
Automazione I e II
98
7 aprile 2003
Capitolo 8
Design classico di regolatori
8.1
Introduzione
La ricerca di una regolazione ottimale fatta secondo le regole classiche si applica normalmente a sistemi descritti mediante la funzione di trasferimento. Si può lavorare con
metodi che operano sui poli, come pure con metodi basati sull’analisi in frequenza. La
rappresentazione classica di un sistema retroazionato con regolatore è rappresentato nella
figura 8.1.
R(s)
GR (s)
Y(s)
G(s)
Figura 8.1: Sistema retroazionato
PSfrag replacements
H(s)
GR (s) rappresenta la funzione di trasferimento del regolatore che viene inserito nel
circuito per migliorarne le caratteristiche.
Una regolazione è necessaria quando:
• Il sistema è instabile
• Il sistema è stabile ma il suo comportamento statico (errore allo stato finito) è
insoddisfacente.
• Il sistema è stabile, l’errore allo stato finito è buono, il comportamento dinamico non
è soddisfacente.
• Il sistema è stabile ma né il comportamento statico, né il comportaento dinamico
sono soddisfacenti.
In tutti questi casi è necessario intervenire sul sistema per migliorarne le caratteristiche
in uscita.
7 aprile 2003
99
Automazione I e II
Capitolo 8. Design classico di regolatori
Vedremo in seguito come utilizzare le conoscenze acquisite nei capitoli precedenti per
determinare le funzioni di trasferimento di GR (s) che migliorano il comportamento del
sistema.
8.2
Compensatori classici
Esistono diverse configurazioni che possono essere utilizzate per la compensazione. Esistono compensatori in serie, in feedback e combinazioni di entrambi. Il compensatore in
serie è quello maggiormante utilizzato.
Una delle tecniche di compensazione è quella di cancellare i poli dominanti del sistema
mediante gli “zeri del regolatore e sostituirli con i suoi poli. Questo metodo può essere
utilizzato unicamente per modificare la posizione di poli che si trovano già nel semipiano
sinistro, mai per eliminare quelli del semipiano destro. Il problema legato a questo sistema
è che normalmente noi non sappiamo dove si trovano esattamente i poli del sistema, poiché
noi conosciamo unicamente un modello di esso. Un altro problema è dato dal fatto che
i poli del sistema, malgrado vengano eliminati nella funzione di trasferimento ad anello
chiuso, restano attivi per quel che riguarda ad esempio i disturbi. Un uso di questa tecnica
è possibile unicamente dopo un’accurata analisi di sensibilità che dia informazioni esatte
sulla dipendenza dei risulatati rispetto alla variazione degli zeri e dei poli.
Le tecniche di compensazione più usate restano ancora il controllore proporzionaleintegrale-derivativo (PID) e il compensatore lead-lag.
Le funzioni di trasferimento di queste funzioni sono riportate nella tabella 8.1
PID
K P + KD s +
KI
s
Lead
K
s+a
s+b
0<a<b
Lag
K
s+a
s+b
a>b>0
Tabella 8.1: Regolatori classici
8.3
Controllore Proporzionale-Integrale-Derivativo (PID)
Questo controllore esiste in diverse forme, a seconda del valore dei 3 parametri K P , KD e
KI .
Esiste il controllore proporzionale P (KI = 0, KD = 0), proporzionale- derivativo P D
(KI = 0), proporzionale-integrale P I (KD = 0) e proporzionale-integrale-derivativo P ID.
Il regolatore proporzionale è il più semplice; esso permette però unicamente di soddisfare al massimo una specifica di progetto ad anello chiuso (p.es. GM , P M , e∞ ecc.).
L’aggiunta di una parte derivativa aumenta lo smorzamento del sistema ad anello chiuso,
mentre la parte integrale aumenta il tipo del sistema e di conseguenza migliora l’errore
100
7 aprile 2003
8.3. Controllore Proporzionale-Integrale-Derivativo (PID)
Automazione I e II
allo stato finito. Con un controllore di tipo PID è possibile rispettare più specifiche di design. È il sistema più usato industrialmente ed esiste in diverse forme (analogico, digitale
e adattivo). Per il calcolo dei vari parametri esistono diversi metodi, empirici, analitici e
basati su analisi dei poli o di frequenza.
8.3.1
8.3.1.1
Metodi empirici (Metodi di Ziegler-Nichols)
Regolatore P, PI, PID dall’amplificazione limite di stabilità
Ziegler e Nichols hanno sviluppato un metodo che permette di determinare i parametri
del P ID partendo da una semplice analisi di stabilità. Inizialmente si pone
KI = K D = 0
(8.1)
e si aumenta il guadagno proporzionale fino a far oscillare costantemente il sistema (poli del
sistema ad anello chiuso sull’asse immaginario). In questo momento si possono conoscere il
valore di Km cioè il valore di questa amplificazione che porta i poli sull’asse immaginario,
ed il valore dei due poli complessi coniugati ωm . Con questi due valori vengono poi calcolati
i parametri per i vari controllori P , P I, P ID secondo la tabella 8.2.
KP
KI
P
0.5Km
PI
0.45Km
K P ωm
1.66π
PID
0.6Km
K P ωm
π
KD
KP π
4ωm
Tabella 8.2: Parametri di Ziegler-Nichols
Km e ωm possono essere determinati sperimentalmente, oppure determinati dal luogo
delle radici, il diagramma di Bode, o tramite la tabella di Routh- Hurwitz. Nel luogo delle
radici il valore di K per il quale il grafico taglia l’asse immaginario è uguale a K m , mentre
il valore sull’asse immaginario equivale a ωm . Se invece utilizziamo il diagramma di Bode
otteniamo direttamente Km dal margine di guadagno e ωm dalla frequenza in cui la fase
taglia il grafico della fase a −180◦ .
Si tratta di un metodo puramente empirico, largamente usato industrialmente.
Un programma Matlab che esegue automaticamente il calcolo del regolatore secondo
Ziegler-Nichols è il seguente
function [kp,ki,kd]=ziegnich(km,wm,reg)
%
% [Kp,Ki,Kd]=ziegnich(km,wm,reg)
7 aprile 2003
101
Automazione I e II
% [Kp,Ki,Kd]=ziegnich(k,t1,t2,reg)
%
% Find Kp, KI, KD from Ziegler-Nichols
%
km : Critical gain
%
wm : Critical w
%
reg: Typ ’pid’,’pi’,’p’
%
%
k : Model gain
%
t1 : delay time
%
t2 : time constant
%
if nargin==2
display(’New function! Read help ziegnich’)
%
else if nargin==3
n=length(reg);
if n==3
Kp=0.6*km;
Kd=kp*pi/(4*wm);
Ki=kp*wm/pi;
elseif n==2
Kp=0.45*km;
Kd=0;
Ki=kp*wm/(pi*1.66);
else
Kp=0.5*km;
Kd=0;
Ki=0;
end
else
n=length(reg);
if n==3
Kc=1.2*t2/(k*t1);
Ti=2*t1;
Td=0.5*t1;
Kp=Kc;
Ki=Kc/Ti;
Kd=Kc*Td;
elseif n==2
Kc=0.9*t2/(k*t1);
Ti=2*t1;
Kp=Kc;
Ki=Kc/Ti;
Kd=0;
else
Kc=t2/(k*t1);
Kp=Kc;
102
7 aprile 2003
Automazione I e II
Ki=0;
Kd=0;
end
end
Vediamo di calcolare i parametri del regolatore basandoci sul nostro esempio dell’antenna. La funzione di trasferimento ad anello aperto che abbiamo trovato è
G(s) =
6.63K
Vout
=
Vin
s(s + 1.71)(s + 100)
(8.2)
Possiamo trovare il valore di K per il limite di stabilità utilizzando per esempio la
tabella di Routh (tabella 8.3
s3
1
171
0
s2
101.71
6.63K
0
s1
17392.41 − 6.63K
0
s0
6.63K
0
Tabella 8.3: Tabella di Routh dell’esempio
Per la stabilità occorre che il segno della prima colonna resti invariato. Il limite di
stabilità è quindi raggiunto quando
17392.41 − 6.63K = 0 → K = 2623.29
(8.3)
In questo caso i poli sono piazzati sull’asse immaginario a ±13.08.
Il calcolo dei parametri fornisce il risultato seguente
KP
= 1573.97 ' 1574
(8.4)
= 6553.23 ' 6553
(8.6)
KD = 94.51 ' 95
KI
(8.5)
La simulazione del sistema con questo regolatore P ID è riportata nella figura 8.2.
Possiamo vedere che il tempo di setting TS è notevolmente migliorato, ma abbiamo
un %OS decisamente elevato. Inoltre il sistema oscilla diverse volte prima di stabilizzarsi
all’equilibrio.
8.3.1.2
Regolatore P, PI, PID dopo approssimazione del processo
Una grande quantità di processi industriali non sono rappresentabili con un modello matematico. Può essere sufficiente avere a disposizione un’approssimazione del processo che
ci permette in seguito di costruire un regolatore semplice. Ziegler e Nichols hanno messo
a punto un sistema che, partendo dalla risposta ad anello aperto del processo ad un’entrata gradino, produce un modello semplice del processo. Inoltre esistono formule che
permettono di determinare velocemente i parametri per il regolatore P ID.
7 aprile 2003
103
Automazione I e II
Step Response
1.8
1.6
1.4
Sistema compensato
Amplitude
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Sistema non compensato
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Time (sec.)
Figura 8.2: Risposta al gradino con PID empirico
Step Response
0.35
T2
0.3
T1
Amplitude
0.25
0.2
0.15
K
0.1
0.05
PSfrag replacements
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Time (sec.)
Figura 8.3: Approssimazione di un sistema di tipo 0
104
7 aprile 2003
Automazione I e II
Step Response
0.4
0.35
0.3
Amplitude
0.25
0.2
K=pendenza retta
0.15
0.1
T1
0.05
PSfrag replacements
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Time (sec.)
Figura 8.4: Approssimazione di un sistema di tipo 1
Partendo dalla risposta del sistema ad anello aperto ad un’entrata gradino unitario, si
ottengono in genere due tipi di curve (figura 8.3 e figura 8.4).
G(s) =
Ke−sT1
1 + sT2
(8.7)
mentre la seconda ha una funzione di trasferimento approssimata pari a
G(s) =
Ke−sT1
s
(8.8)
Se applichiamo le regole di Ziegler Nichols al primo sistema otteniamo un regolatore P ID
con la funzione di trasferimento definita da
GP ID = Kc
con
µ
1
1+
+ TD s
TI s
¶
(8.9)
Kc =
(8.10)
TI
1.2T2
KT1
= 2T1
(8.11)
TD = 0.5T1
(8.12)
Nel caso di un regolatore P I abbiamo
GP I = K c
7 aprile 2003
µ
1
1+
TI s
¶
(8.13)
105
Automazione I e II
con
0.9T2
KT1
= 2T1
Kc =
(8.14)
TI
(8.15)
Infine con un regolatore P otteniamo
Kc =
8.3.2
T2
KT1
(8.16)
Metodo grafico
Con i metodi grafici possiamo analizzare e capire l’influsso che i vari regolatori hanno sulla
rappresentazione del diagramma di Bode ad anello aperto, e capire subito in che modo
influenzeranno la risposta del sistema ad anello chiuso.
8.3.2.1
Controllore P
Con un controllore di tipo proporzionale si possono corregere solo singole specifiche di
progetto. L’errore allo stato finito impone spesso valori di amplificazione che determinano
delle sovraelongazioni elevate o, spesso, anche instabilità nel sistema. Con il valore di K P
si può influenzare il punto di ωgc , con conseguente Tsetting e e∞ spesso imposti.
Esempio 8.1 Viene dato un processo con funzione di trasferimento pari a
G(s) =
1
(s + 1)(s + 5)
Si vuole avere un errore allo stato finito pari al 5% e un PM di ca. 60o
L’analisi dell’errore allo stato finito porta all’equazione
e∞ = lim
s→0
1
1
= 0.05 =
1 + G(s)
1 + K5
da cui si ricava che K vale 95, che equivalgono a ca. 40dB. Per questo valore di K il
margine di fase risulta essere di ca. 35o , insufficiente per rispettare le specifiche.
8.3.2.2
Controllore PI
La funzione di trasferimento di un controllore PI può essere descritta come
GP I (s) = KP (1 +
1 + sTI
1
) = KP
sTI
sTI
Il diagramma di Bode di questa funzione di trasferimento è mostrato nella figura 8.6.
Si può subito vedere come con questo regolatore non sia possibile migliorare l’andamento della fase del sistema compensato. È unicamente possibile correggere l’errore allo
stato finito, grazie all’aumento del tipo del sistema ad anello aperto, e scegliere in seguito
l’amplificazione KP per impostare il valore di ωgc dove si ha il margine di fase desiderato.
Per costruire il regolatore occorre procedere nel modo seguente
106
7 aprile 2003
Automazione I e II
Bode Diagrams
From: U(1)
0
−20
−40
−60
−80
−100
0
To: Y(1)
−50
−100
−150
−200
−1
10
0
1
10
10
2
10
Frequency (rad/sec)
Figura 8.5: Diagramma di Bode del sistema dell’esempio 8.1
Bode Diagrams
From: U(1)
50
40
30
20
10
0
0
To: Y(1)
−20
−40
−60
−80
−100
−2
10
−1
0
10
10
1
10
Frequency (rad/sec)
Figura 8.6: Diagramma di Bode di un regolatore PI con TI = 1 e KP = 1
7 aprile 2003
107
Automazione I e II
• Disegnare il diagramma di Bode del processo da compensare
• Determinare la frequenza dove si ha il margine di fase desiderato.
• Per non influenzare l’andamento della fase del sistema compensato, la frequenza del
regolatore PI pari a 1/TI va scelta almeno 10 volte più piccola della frequenza trovata
precedentemente.
• Disegnare il diagramma di Bode del sistema compensato con KP = 1.
• Determinare la frequenza in cui si avrebbe il PM desiderato, determinare l’ampiezza
in dB di questo punto e calcolare l’amplificazione necessaria per portare questo punto
a 0dB. Questo valore equivale a KP .
• Controllare il sistema compensato (diagramma di Bode, risposta nel tempo).
Esempio 8.2 Per l’esempio visto precedentemente con
G(s) =
1
(s + 1)(s + 5)
vediamo che con un regolatore di tipo PI l’errore allo stato finito viene annullato.
Le specifiche statiche sono quindi rispettate. Dal diagramma di Bode del sistema non
compensato (figura 8.5) si può vedere come il margina di fase di 60o sia presente alla
frequenza di 4.44rad/s. Applicando le regola viste precedentemente si può impostare il
valore di TI = 10/4.44 = 2.25. Ora si può diseganre il diagramma di Bode del sistema
compensato con KP = 1. Dal nuovo diagramma di Bode si ricava la frequenza in cui si ha
il margine di fase desiderato di 60o , che corrisponde a ca. 3.84 rad/sec, con amplificazione
pari a -28dB. Applcando ora le regole viste precedentemente otteniamo
28
KP = 10 20 ' 25
e
1 + 2.25s
2.25s
La figura 8.7 mostra il diagramma di Bode del sistema non compensato e compensato,
mentre la figura 8.8 mostra la risposta nel tempo del processo compensato.
25
8.3.2.3
Controllore PD
La funzione di trasferimento di un controllore PD può essere descritta come
GP D (s) = KP (1 + sTD )
Questo regolatore non aumenta il tipo del sistema ad anello aperto, ma permette di
aggiungere fase al sistema compensato. Si può quindi impostare l’amplificazione K P in
modo da correggere l’errore statico del sistema e poi aggiungere fase nei pressi del nuovo
punto di ωgc .
Per costruire il regolatore occorre procedere nel modo seguente
108
7 aprile 2003
Automazione I e II
Bode Diagrams
From: U(1)
60
40
sistema compensato
20
solo proporzionale
0
−20
−40
−60
0
solo proporzionale
To: Y(1)
−50
−100
sistema compensato
−150
−200
−2
10
−1
0
10
1
10
2
10
10
Frequency (rad/sec)
Figura 8.7: Diagramma di Bode del sistema con e senza compensazione
Step Response
From: U(1)
1.4
1.2
0.8
To: Y(1)
Amplitude
1
0.6
0.4
0.2
0
0
1.5
3
4.5
6
7.5
9
Time (sec.)
Figura 8.8: Risposta nel tempo del sistema compensato
7 aprile 2003
109
Automazione I e II
Bode Diagrams
From: U(1)
25
20
15
10
5
0
100
To: Y(1)
80
60
40
20
0
−1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
Figura 8.9: Diagramma di Bode di un regolatore PD con TD = 1 e KP = 1
• Impostare il valore di KP in modo da correggere l’errore allo stato finito.
• Disegnare il diagramma di Bode del sistema con il compensatore proporzionale K P .
• Determinare il margine di fase del sistema compensato con il regolatore proporzionale.
• Determinare quanta fase supplementare deve essere data al sistema per raggiungere
il margine di fase desiderato.
• Dal grafico del regolatore PD normato (KP = 1, TD = 1) determinare la frequenza
ω∆P M in cui si ottiene questa fase supplementare. Il valore di questa frequenza rappresenta anche il rapporto tra ωgc e la frequenza del regolatore 1/TD . Determinare
quindi il valore di TD dalla relazione
ω∆P M
1
ωgc
→ T2 =
=
T2
ω∆P M
ωgc
• Controllare il PM e la nuova ωgc sul diagramma di Bode del sistema compensato.
• Simulare il sistema compensato.
Esempio 8.3 Per l’esempio visto precedentemente con
G(s) =
1
(s + 1)(s + 5)
Possiamo subito vedere come il valore di KP che permette di rispettare le specifiche
statiche vale 95. La figura 8.10 mostra il sistema con il solo compensatore proporzionale.
110
7 aprile 2003
Automazione I e II
La nuova frequenza di ωgc vale 9.1 rad/sec con un PM di 35o . Occorrono quindi almeno
supplementari da fornire con il regolatore PD.
Dal grafico del regolatore normato possiamo vedere che questi 25o sono ottenibili alla
frequenza di 0.5 rad/sec. possiamo quindi calcolare
25o
TD =
Il regolatore risulta quindi essere
1
= 0.055
2 ∗ 9.1
GP D = 95(1 + 0.055s)
La figura 8.11 mostra il diagramma di Bode del sistema compensato proporzionalmente
e con il PD, mentre la figura 8.12 mostra la risposta nel tempo del processo compensato.
Bode Diagrams
From: U(1)
40
20
0
−20
−40
−60
0
To: Y(1)
−50
−100
−150
−200
−1
10
0
1
10
10
2
10
Frequency (rad/sec)
Figura 8.10: Diagramma di Bode del sistema con compensatore proporzionale
È però importante tenere presente che la realizzazione di un regolatore PD puro presenta lo svantaggio di portare a valori molto alti l’uscita derivativa del regolatore quando
il valore in entrata è molto disturbato. Per questo motivo la realizzazione di un regolatore
PD puro è da evitare, e si preferisce realizzare un regolatore di tipo lead che presenta
caratteristiche analoghe senza tuttavia presentare questi problemi.
8.3.2.4
Controllore PID
La funzione di trasferimento di un controllore PID può essere descritta come
GP ID (s) = KP (1 + sTD +
7 aprile 2003
1
)
sTI
111
Automazione I e II
Bode Diagrams
From: U(1)
40
20
0
sistema compensato
−20
solo proporzionale
−40
−60
0
To: Y(1)
−50
sistema compensato
−100
−150
solo proporzionale
−200
−1
10
0
1
10
2
10
10
Frequency (rad/sec)
Figura 8.11: Diagramma di Bode del sistema con e senza compensazione PD
Step Response
From: U(1)
1.4
1.2
0.8
To: Y(1)
Amplitude
1
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Time (sec.)
Figura 8.12: Risposta nel tempo del sistema compensato
112
7 aprile 2003
Automazione I e II
Per semplificare il lavoro descriviamo questa funzione di trasferimento come la moltiplicazione tra un fattore proporzionale, un regolatore PI e un regolatore PD, in modo da
avere la funzione di trasferimento seguente
1 + sT1
(1 + sT2 )
sT1
Infatti, sviluppando questa funzione si ottiene
GP ID = K
1 + sT1
1 + s(T1 + T2 ) + s2 T1 T2
(1 + sT2 ) = K
sT1
sT1
che può essere scritta come
GP ID = K
T1 + T 2
1
+
+ sT2 )
sT1
T1
Mettendo questa funzione in una forma simile a quella iniziale otteniamo
GP ID = K(
T1 + T 2
T1 T2
1
(1 + s
+
)
T1
T1 + T2 s(T1 + T2 )
GP ID = K
Bode Diagrams
From: U(1)
50
40
30
20
10
0
100
To: Y(1)
50
0
−50
−100
−2
10
−1
0
10
1
10
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
Figura 8.13: Diagramma di Bode di un regolatore PID con T1 = 1, T2 = 0.1 e K = 1
Un paragone di coefficienti permette di mettere in relazione queste grandezze con quelle
tradizionali del regolatore PID.
KP
TD =
7 aprile 2003
T1 + T 2
T1
T1 T2
T1 + T 2
= K
113
Automazione I e II
TI
= T1 + T2
La parte integrale del regolatore permette di annullare l’errore allo stato finito del
sistema, aumentandone il tipo. Occorre piazzare la frequenza 1/T1 in modo da non influenzare più di quel tanto la fase del sistema compensato. La scelta della ωgc può essere
fatta ad esempio basandosi sulla velocità della risposta che si vorrebbe ottenere. In questo
modo è possibile determinare il valore di K. A questo punto si imposta la frequenza del
regolatore proporzionale in modo da avere quell’aumento del margine di fase che permette
di soddisfare le specifiche. Per costruire il regolatore occorre effettuare i passi seguenti
• Disegnare il diagramma di Bode del processo da compensare
• Determinare la frequenza dove si vuole impostare la ωgc (ad esempio dalle specifiche
dinamiche di Tsetting .
• Per non influenzare l’andamento della fase del sistema compensato, la frequenza del
regolatore PID pari a 1/T1 va scelta almeno 10 volte più piccola della frequenza
trovata precedentemente.
• Disegnare il diagramma di Bode del sistema con il compensatore PI trovato fino a
questo momento.
• Determinare il margine di fase del sistema e il guadagno del sistema alla frequenza
ωgc scelta.
• Determinare quanta fase supplementare deve essere data al sistema per raggiungere
il margine di fase desiderato.
• Dal grafico del regolatore PD normato (KP = 1, TD = 1) determinare la frequenza
ω∆P M in cui si ottiene questa fase supplementare. Il valore di questa frequenza
rappresenta anche il rapporto tra ωgc e la frequenza del regolatore 1/T2 . Determinare
quindi il valore di T2 dalla relazione
1
ω∆P M
ωgc
→ T2 =
=
T2
ω∆P M
ωgc
Determinare inoltre il guadagno in dB a questa frequenza.
• Determinare il valore dell’amplificazione K, dal guadagno necessario a portare il
sistema alla frequenza di ωgc , detratto il guadagno che viene fornito dalla parte PD
del regolatore.
• Controllare il PM e la nuova ωgc del sistema compensato con il PID.
• Controllare la risposta nel tempo del sistema compensato.
Esempio 8.4 Per l’esempio già analizzato precedentemente con
G(s) =
1
(s + 1)(s + 5)
vogliamo implementare un regolatore che rispetti le specifiche precedenti e in più abbia
un tempo di setting pari a 0.2 sec.
114
7 aprile 2003
Automazione I e II
Con l’aggiunta di un integratore l’errore allo stato finito viene annullato. Occorre ora
determinare il valore di T1 . Il sistema presenta una fase di ca. −90o attorno ad una
frequenza di ω = 2 rad/sec. Scegliamo la frequenza 1/T1 a circa un decimo di questo
valore per influenzare poco la fase del sistema compensato. Si ottiene pertanto per la parte
proporzionale-integrale
1
2
=
= 0.2 → T1 = 5
T1
10
e
1 + 5s
5s
Ora è possibile disegnare il grafico con la parte PI del regolatore e K = 1 (figura 8.13).
Il tempo di setting desiderato presuppone una frequenza ωgc di ca. 40 rad/sec. A questa
frequenza il sistema presenta momentaneamente un margine di fase di 7 o e un guadagno di
−65dB. Dal grafico del regolatore PD possiamo vedere che si ottengono 55 o supplementari
di fase ad una frequenza pari a 1.5 rad/sec. Ciò significa che la frequenza 1/T 2 deve essere
1.5 volte più bassa della ωgc scelta. Quindi
GP I =
40
1
=
→ T2 = 0.0375
T2
1.5
Il guadagno supplementare fornito dal PD è di ca. 4dB. Possiamo quindi calcolare il
valore di K da
K = 10
65−4
20
' 1125
Il compensatore completo risulta quindi essere
1 + 5s
(1 + 0.0375s)
5s
La figura 8.15 mostra il diagramma di Bode del sistema compensato proporzionalmente
e con il PID, mentre la figura 8.16 mostra la risposta nel tempo del processo compensato.
GP ID = 1125
8.3.3
8.3.3.1
Metodo analitico
Controllore PID
Con il sistema precedente non siamo in grado di costruire un compensatore P ID in grado
di soddisfare delle esigenze di progetto. Per soddisfare determinate esigenze possiamo utilizzare un metodo analitico che ci permette di determinare i parametri del regolatore P ID
partendo dall’errore allo stato finito desiderato e dalle specificazioni dinamiche. Sappiamo
che la funzione di trasferimento ad anello aperto del sistema compensato (unity feedback)
è data da
µ
KI
KP + K D s +
s
¶
G(s)
(8.17)
Se G(s) è di tipo n, il sistema compensato, grazie all’elemento integratore, sarà di tipo
n + 1. La costante di errore è uguale all’inverso dell’errore allo stato finito e vale
7 aprile 2003
115
Automazione I e II
Bode Diagrams
From: U(1)
40
20
0
−20
−40
−60
−80
−100
−40
−60
To: Y(1)
−80
−100
−120
−140
−160
−180
−3
10
−2
−1
10
0
10
1
10
2
10
10
Frequency (rad/sec)
Figura 8.14: Diagramma di Bode con compensazione PI
Bode Diagrams
From: U(1)
100
sistema compensato
50
0
solo proporzionale
−50
−100
0
solo proporzionale
To: Y(1)
−50
sistema compensato
−100
−150
−200
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
Figura 8.15: Diagramma di Bode con e senza compensazione PID
116
7 aprile 2003
Automazione I e II
Step Response
From: U(1)
1.4
1.2
0.8
To: Y(1)
Amplitude
1
0.6
0.4
0.2
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Time (sec.)
Figura 8.16: Risposta al gradino del sistema compensato
Kn+1 = sn KI G(s)|s=0 =
1
e∞
(8.18)
Possiamo quindi trovare il valore di KI partendo dall’errore allo stato finito desiderato.
Dalle specificazioni relative al %OS e a TS possiamo poi determinare il valore del fattore
di smorzamento del circuito ad anello chiuso e la frequenza naturale. Abbiamo visto nel
capitolo precedente come la frequenza naturale del sistema ad anello chiuso corrisponde
alla frequenza ωgc del sistema ad anello aperto e che esiste una relazione diretta tra margine
di fase P M e fattore di smorzamento ad anello chiuso ξCL .
Pertanto per
ω = ωgc
(8.19)
|G(jω)| = 1
(8.20)
θ(ω) = −180◦ + P M
(8.21)
deve valere
e
Con questa informazione e conoscendo già il valore di KI possiamo scrivere
Ã
KI
KP + jωgc KD +
G(jωgc )
!
= 1ejθ(ωgc )
(8.22)
ciò che porta a
7 aprile 2003
117
Automazione I e II
KP + jωgc KD =
1ejθ(ωgc ) jKI
+
= R + jX
G(jωgc )
ωgc
(8.23)
Confrontando i coefficienti reali e immaginari otteniamo
KP
= R
X
=
ωgc
KD
(8.24)
(8.25)
Riprendiamo ora il nostro esempio dell’antenna e vediamo di calcolare i parametri del
P ID con le specifiche seguenti:
• errore allo stato finito con entrata a parabola = 0.1
• %OS = 10%
• TS = 2s
Il sistema è di tipo 1 e quindi possiamo calcolare il valore di KI da
da cui otteniamo
1
1
KI
6.63KI
1
=
= s2
G(s)|s=0 =
=
KI
0.1
e∞
s
171
25.79
(8.26)
KI = 25.79 · 10 = 257.9 ' 258
(8.27)
Per poter determinare gli altri 2 parametri del P ID dobbiamo conoscere il valore di ξ e
di ωn che rispettano le specifiche dinamiche. Dalle formule
TS =
³
p
− ln 0.02 1 − ξ 2
ξωn
´
(8.28)
e
ξ=r
− ln
π2
³
%OS
100
+ ln
trovate precedentemente, otteniamo i valori
2
³
´
%OS
100
(8.29)
´
ξ = 0.6 → P M = 2 sin−1 (ξ) ' 74◦
(8.30)
ωn = 3.5rad/s
(8.31)
I valori di ξ e ωn possono essere calcolati tramite la funzione di Matlab seguente
function [xi,wn,s]=init_par(os,ts)
% [xi,wn,s]=init_par(os,ts)
%
% Input
os : Desired %OS
118
7 aprile 2003
Automazione I e II
%
ts : Desired Setting Time
%
% Ouput
xi : Damping factor
%
wn : Natural frequency
%
s : one dominant pole
%
xi=os2xi(os);
wn=ts2wn(ts,xi);
th=acos(xi);
s=-xi*wn+j*wn*sqrt(1-xi*xi);
Una volta trovati i valori di ξ e ωn si possono trovare, con le equazioni (8.25) e (8.25),
i valori
KP
' 132
KD ' 66
(8.32)
(8.33)
Anche in questo caso posso utilizzare un programma di Matlab per determinare i
valori del regolatore
function [kp,ki,kd]=pid(sys,ki,dpm,wgc)
% [kp,ki,kd]=pid(sys,ki,dpm,wgc)
%
% Find KP,KD for PID (analytical method)
%
% Input
sys : process
%
ki : coefficient of Integrator in PID
%
dpm : desired PM (phase margin)
%
wgc : desired open loop gain crossover
%
frequency
%
% Output
kp,ki,kd : controller gains
%
sys2=tf(sys);
[ng,dg]=tfdata(sys2,’v’);
ngv=polyval(ng,j*wgc);
dgv=polyval(dg,j*wgc);
g=ngv/dgv;
thetar=(dpm-180)*pi/180;
ejtheta=cos(thetar)+j*sin(thetar);
eqn=(ejtheta/g)+j*(ki/wgc);
x=imag(eqn);
r=real(eqn);
kp=r;
kd=x/wgc;
La figura 8.17 riporta la risposta del sistema regolato ad un gradino unitario.
7 aprile 2003
119
Automazione I e II
Step Response
1.4
1.2
Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Time (sec.)
Figura 8.17: Sistema regolato con un PID
Il comportamento dinamico è migliore di quello del caso precedente, anche se non si
è riusciti a rispettare perfettamente le specifiche. TS è più grande di quello desiderato
e anche il %OS del 25% non rispecchia le specifiche. Questo è principalmente dovuto
all’introduzione di un nuovo polo all’origine dovuto al P ID.
8.3.3.2
Controllori PD
È un tipo di controllore molto usato, poiché la parte integrale del P ID viene utilizzata
unicamente se è necessario aumentare il tipo del sistema e ridurre l’errore allo stato finito.
Abbiamo visto però come questa parte integrale incida sul comportamento dinamico a
causa del polo supplementare che viene messo all’origine del sistema ad anello aperto.
Questo polo in effetti tende a destabilizzare il sistema. L’aggiunta invece di uno “zero
al sistema ne aumenta la stabilità. Spesso la parte derivativa del controllore viene anche
inserita sulla linea di feedback. Vediamo di utilizzare il metodo analitico dell’esempio
precedente per determinare i parametri del regolatore P D (KI = 0). Applicando il calcolo
precedente, con le stesse specifiche, tranne quella relativa all’errore, otteniamo
KP
' 135
KD ' 56
(8.34)
(8.35)
Ciò che ci dà la risposta al gradino della figura 8.18.
Vediamo come in questo caso le specifiche siano rispettate, con un netto miglioramento
rispetto al caso precedente. Molto probabilmente con questo compensatore non rispettiamo le specifiche statiche del sistema (e∞ ). Essendo però il sistema già di tipo 1, l’errore
allo stato finito per una entrata a rampa è costante. Da notare come nel caso di un P D
si possa agire al massimo su due parametri.
120
7 aprile 2003
Automazione I e II
Step Response
1.4
1.2
Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Time (sec.)
Figura 8.18: Risposta del sistema regolato con un PD
Da notare inoltre come non sia possibile realizzare un controllore puramente derivativo,
poiché esso sarebbe troppo sensibile ai disturbi e al rumore di fondo!
La parte derivativa può anche essere messa nel ramo di feedback (feedback tacometrico,
vedi figura 8.19).
R(s)
KP
Y(s)
G(s)
Figura 8.19: Sistema con feedback tacometrico
PSfrag replacements
KD s
In questo caso, con gli stessi parametri, otteniamo la risposta della figura 8.20.
La funzione di trasferimento ad anello chiuso nel caso di feedback tacometrico può
essere calcolata dallo schema e risulta essere:
Y (s) = G(s) [KP (U (s) − Y (s)] − KD sY (s)
7 aprile 2003
(8.36)
Y (s)
KP G(s)
=
U (s)
1 + KP G(s) + sKD G(s)
(8.37)
6.63KP
Y (s)
= 3
U (s)
s + 101.71s2 + (171 + 6.63KD )s + 6.63KP
(8.38)
121
Automazione I e II
Step Response
1
0.9
0.8
0.7
Amplitude
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Time (sec.)
Figura 8.20: Risposta del sistema con feedback tacometrico
Come si può vedere la funzione di trasferimento ad anello chiuso non ha uno zero supplementare: questo è anche il motivo per cui c’è un ulteriore miglioramento dello smorzamento.
8.4
Compensatori Lead e Lag
Sono la forma più comune di compensatore, e sono semplicemente dei filtri con un polo e
uno zero. La funzione di trasferimento generale è
GR (s) = Kc
s+a
s+b
(8.39)
Questo compensatore è facilmente realizzabile con un amplificatore operazionale. Se 0 <
a < b si parla di compensazione lead o di rete anticipatrice, altrimenti, nel caso a > b > 0
abbiamo un compensatore lag o rete ritardatrice. Nei due casi
√ il contributo massimo per
la fase viene dato, come dimostreremo, alla frequenza ω = ab.
L’uso di una rete anticipatrice o di una rete ritardatrice dipende dalle specifiche di
progetto. Se si deve unicamente stabilizzare il sistema ad anello chiuso le due alternative
sono possibili (nel caso però che il sistema ad anello aperto sia instabile occorre utilizzare
un compensatore lead). La scelta tra uno e l’altro dipende quindi dalle ulteriori specifiche
di design. Se ad esempio si vuole avere una certa ωgc , un esame del diagramma di Bode ci
può subito dire il tipo di compensatore necessario. Se ωgc è superiore alla ωgc del processo,
occorre utilizzare una rete anticpatrice (lead), se più piccola è invece necessaria una rete
ritardatrice (lag).
Per il design di un regolatore lead/lag possono essere utilizzati il luogo delle radici, il
diagramma di Bode, o tecniche analitiche. È però necessario che il processo da regolare
possa essere descritto adeguatamente con un paio di poli dominanti. Normalmente dopo
122
7 aprile 2003
8.4. Compensatori Lead e Lag
Automazione I e II
l’analisi è necessario simulare o misurare il sistema completo ed effettuare delle modifiche
in caso di necessità.
Tutti i compensatori modificano la stabilità, l’errore allo stato finito e la larghezza di
banda del sistema ad anello chiuso. In generale, un compensatore lead aumenta la stabilità
relativa del sistema aumentando il margine di fase. Però, per un determinato K c , aumenta
l’errore allo stato finito, poiché a < b, ciò che significa che
a
< Kc
(8.40)
b
Per migliorare l’errore allo stato finito è quindi necessario utilizzare un guadagno molto
alto, con la conseguenza di aumentare ωgc e quindi di diminuire il tempo di setting TS .
Spesso però questo porta anche ad un aumento dell’effetto dei disturbi e del rumore sul
sistema.
Kc
8.4.1
Regolatore lead dal luogo delle radici
Comunemente si utilizza un metodo geometrico per determinare il parametri del compensatore tramite il luogo delle radici.. In pratica si vuole ridisegnare il diagramma del luogo
delle radici facendolo passare attraverso dei punti desiderati del piano complesso. Questo
è possibile facendo i passi seguenti
1. Determinare la posizione dei poli desiderati, secondo le specifiche di progetto.
2. Posizionare lo “zero” del compensatore.
3. Determinare il polo del compensatore usando la proprietà che l’angolo totale deve
essere 180◦ .
4. Controllare se il guadagno K della soluzione trovata soddisfi le specifiche di errore
allo stato finito, altrimenti modificare e ripetere tutti i passi.
5. Controllare se il sistema ad anello chiuso completo soddisfa i requisiti di progetto.
Esistono diversi metodi che sono stati sviluppati per determinare ad esempio lo “zero” del compensatore. Alcuni autori consigliano di sceglierlo direttamente “sotto” i poli
desiderati. Altri autori utilizzano dei metodi geometrici più complessi. Non esiste però
un metodo matematico che permetta di determinare in modo univoco e perfetto il valore
cercato, ma solo metodi sperimentali. Un solo fatto non deve essere dimenticato e resta
un punto fermo nel design con il luogo delle radici. Una volta fissati i due poli dominanti
(complessi coniugati) s1 e s2 , è possibile determinare l’angolo ϕc = 180◦ − 6 G(s1 ), che
rappresenta il contributo che deve essere dato dal compensatore (vedi figura 8.21).
Se ϕc risulta essere negativo, è necessario passare ad un compensatore lag al posto di
uno di tipo lead. Un metodo di design potrebbe essere quello descritto da Ogata, D’Azzo
e Houpis.
1. Selezionare s1 e trovare ϕc come illustrato nella figura 8.21.
2. Tracciare una retta tra s1 e l’origine, e l’orizzontale passante per s1 .
3. Trovare l’angolo ϕ tra queste due rette.
7 aprile 2003
123
Automazione I e II
s1
ϕc
PSfrag replacements
-b
-a
Figura 8.21: Rappresentazione del contributo di fase di un lead
4. Trovare la bisettrice dell’angolo e determinare il punto di incrocio con l’asse reale.
Trovare quindi le rette che passano per −a e −b sull’asse reale, tenendo conto che la
bisettrice di ϕ è anche bisettrice di ϕc .
5. Leggere i valori di −a e −b.
Questo metodo è illustrato nella figura 8.22.
s1
ϕ
PSfrag replacements
ϕc
2
-b
-a
Figura 8.22: schema grafico per trovare il regolatore lead
Da questo metodo geometrico si può ottenere un metodo analitico che ci permette di calcolare i valori di a e b matematicamente. Questo metodo è anche facilmente
programmabile.
1. Scegliere s1 .
2. Determinare ϕ = 6 (s1 ) e ϕc = 180◦ − 6 G(s1 ).
e θZ =
ϕ+ϕc
2 .
4. Trovare pc = −b = Re(s1 ) −
Im(s1 )
tan θp
5. Trovare zc = −a = Re(s1 ) −
Im(s1 )
tan θz
3. Calcolare θP =
124
ϕ−ϕc
2
7 aprile 2003
Automazione I e II
6. Trovare Kc in modo che |GR (s1 )G(s1 )| = 1
7. Se Kc è troppo piccolo per l’errore allo stato finito desiderato, scegliere un nuovo s 1
e ripetere tutto il procedimento.
Il metodo grafico per il calcolo dei parametri del regolatore lead dal luogo delle radici
è stato implementato in Matlab con la funzione “rlgeo ld” ; questa funzione permette
sia la ricerca automatica dello zero mediante il metodo illustrato precedentemente, sia la
ricerca del polo e dell’amplificazione partendo da uno zero predefinito.
function reg=rlgeo_ld(sys,s_1,z)
%
%
reg=rlgeo_ld(sys,s_1,z)
%
% reg=rlgeo_ld(sys,s_1)
%
% Find lead regulator (geometric method) from
% root locus
%
%
sys : process
%
s_1 : dominant pol (one of them...)
%
z
: zero of lead compensator
%
sys2=tf(sys);
ng_s1=polyval(ng,s_1);
dg_s1=polyval(dg,s_1);
g=ng_s1/dg_s1;
th=angle(g);
if th>0
ph_c=pi-th;
else
ph_c=-th;
end
if nargin==2
phi=angle(s_1);
th_z=(phi+ph_c)/2;
th_p=(phi-ph_c)/2;
z_c=real(s_1)-imag(s_1)/tan(th_z);
p_c=real(s_1)-imag(s_1)/tan(th_p);
else
z_c=z;
th_z=angle(s_1-z);
th_p=th_z-ph_c;
p_c=real(s_1)-imag(s_1)/tan(th_p);
end
nreg=[1 -z_c];
7 aprile 2003
125
Automazione I e II
dreg=[1 -p_c];
nk=polyval(nreg,s_1);
dk=polyval(dreg,s_1);
k=nk/dk;
kc=abs(1/(g*k));
if th<0
kc=-kc;
end
reg=tf(kc*nreg,dreg);
Esempio 8.5 Nel caso della nostra antenna con funzione di trasferimento
G(s) =
6.63K
s(s + 1.71)(s + 100)
(8.41)
Stabiliamo le specifiche seguenti
• %OS = 10%
• TS = 2s
che necessitano quindi i valori seguenti (già calcolati precedente)
ξ = 0.6
(8.42)
ωn = 3.5rad/s
(8.43)
−σ = −ξωn = −0.6 ∗ 3.5 = −2.1
(8.44)
Da questi valori otteniamo per s1
q
jωd = jωn 1 − ξ 2 = j2.82
(8.45)
Utilizzando le formule viste precedentemente si ottiene il compensatore seguente
s + 2.28
(8.46)
s + 5.35
La simulazione del circuito compensato ci porta alla risposta al gradino unitario della
figura 8.23. Le specifiche sono solo parzialmente rispettate (%OS è leggermente più alto
di quanto desiderato). Il calcolo dell’errore (qui omesso) rispetta le specifiche iniziali.
GR (s) = 224
8.4.2
Regolatore lead dal diagramma di Bode
L’idea di base nel design attraverso Bode è quella di portare la funzione di trasferimento
ad anello aperto ad avere il guadagno in bassa frequenza desiderato (per es. in funzione di
un certo errore statico) una certa frequenza di crossover ωgc (per la velocità della risposta)
e un’adeguata stabilità attraverso il margine di fase P M . Parametrizziamo il regolatore
con la funzione di trasferimento seguente
126
7 aprile 2003
Automazione I e II
Step Response
1.4
1.2
Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Time (sec.)
Figura 8.23: Risposta del sistema con il regolatore lead
GR (s) = Kc
1 + αT s
1 + Ts
(8.47)
Dapprima viene scelto il valore di Kc che soddisfa le specifiche statiche. Poi si cerca di
soddisfare il P M alla frequenza di taglio desiderata. Per fare questo dobbiamo iniziare a
conoscere meglio la funzione di trasferimento del regolatore senza il guadagno K c .
GR1 (s) =
1 + αT s
1 + Ts
(8.48)
Il diagramma di Bode del regolatore unitario è rappresentato nella figura 8.24.
La fase supplementare fornita dal compensatore è data da
6
GR1 (jω) = tan−1 αT ω − tan−1 T ω
(8.49)
Usando questo metodo si vuole avere il massimo contributo di fase alla frequenza di gaincrossover ωgc . Per trovare il valore di questa frequenza facciamo un semplice calcolo di
massimo-minimo, derivando 6 GR1 (jω).
´
d ³ −1
αT
T
tan αT ω − tan−1 T ω =
−
=0
2
2
2
dω
1+α T ω
1 + T 2 ω2
(8.50)
Per determinare il valore di ω cercato, risolviamo l’equazione (8.50) per ω
¡
¢
¡
¢
αT 1 + T 2 ω 2 − T 1 + α2 T 2 ω 2
=0
(1 + α2 T 2 ω 2 ) (1 + T 2 ω 2 )
αT + αT 3 ω 2 − T − α2 T 3 ω 2 = 0
7 aprile 2003
(8.51)
(8.52)
127
Automazione I e II
Bode Diagrams
20
15
10
5
0
60
50
40
30
20
10
0
−2
10
−1
0
10
1
10
10
Frequency (rad/sec)
Figura 8.24: Diagramma di Bode di un regolatore lead
α + αT 2 ω 2 − 1 − α2 T 2 ω 2 = 0
³
ω 2 αT 2 − α2 T 2
´
(8.53)
= 1−α
(8.54)
1−α
1
1
=
→ω= √
2
2
αT (1 − α)
αT
αT
(8.55)
e otteniamo infine
ω2 =
A questa frequenza si ottiene il contributo massimo di fase che vale
6
GR1 (jωmax ) = 6 GR1 (jωgc ) = Φ = tan−1
√
1
α − tan−1 √
α
(8.56)
Possiamo anche fare il calcolo seguente, partendo da
GR1 (jωmax ) =
1
1 + jαT √αT
1 + jT
√1
αT
=
´
√ ³
(1 + j α) 1 − j √1α
√
1+j α
´ ³
´
=³
1 + j √1α
1 + j √1α ) 1 − j √1α
(8.57)
ciò che dà come risultato
GR1 (jωmax ) =
GR1 (jωmax ) =
´
√ ³
(1 + j α) 1 − j √1α
1+
√
1 + j α − j √1α + 1
1+
1
α
(8.58)
1
α
=
2+j
³√
α−
1+
1
α
√1
α
´
(8.59)
Semplificando ulteriormente otteniamo
128
7 aprile 2003
Automazione I e II
√
2 α + j(α − 1)
´
GR1 (jωmax ) = √ ³
α 1 + α1
(8.60)
Il contributo di fase Φ fornito dal compensatore risulta quindi essere
Φ = tan−1
µ
α−1
√
2 α
¶

α−1

= sin−1  q √
2
2
(2 α) + (α − 1)
µ
α−1
Φ = sin−1 √
4α + α2 − 2α + 1
e conseguentemente

¶
α−1
α−1
sin Φ = √
=
2
α+1
α + 2α + 1
(8.61)
(8.62)
(8.63)
Possiamo ora trovare α in funzione di Φ che risulta essere
1 + sin Φ
(8.64)
1 − sin Φ
Applicando le formule trovate possiamo determinare i parametri del compensatore con
i passi seguenti
α=
1. Scegliere Kc per soddisfare l’errore statico.
2. Disegnare il diagramma di Bode di Kc G(jω) e determinare il P M .
3. Determinare la fase supplementare necessaria.
4. Aggiungere ca 5◦ alla fase per trovare il valore di Φ
5. Calcolare α =
1+sin Φ
1−sin Φ .
6. Trovare la frequenza alla quale il guadagno di Kc G(jω) = −10 log α. Questa frequenza sarà la nuova ωgc del sistema compensato.
7. Determinare T =
√ 1 .
αωgc
8. Disegnare il diagramma di Bode completo per controllare il design.
9. Determinare la risposta ad anello chiuso del sistema compensato.
Da notare che con questo metodo non possiamo scegliere anticipatamente il valore di
ωgc . Se otteniamo un valore inaccettabile per la frequenza di gaincrossover, dobbiamo
modificare il P M o l’errore statico.
Il seguente programma di Matlab esegue i passi descritti precedentemente
function reg=bdgeo_ld(sys,kc,pm)
% reg=bdgeo_ld(sys,kc,pm)
%
% Find lead regulator (geometric method)
7 aprile 2003
129
Automazione I e II
% from Bode diagramm
%
% sys : process
%
kc : desired gain for desired
%
steady state error
%
pm : desired PM
%
sys2=tf(sys);
dpmg=pm;
dpm=dpmg/180*pi;
[mag_g,phas_g,w]=bode(kc*ng,dg);
mag_g_db=20*log10(mag_g);
wgc=spline(mag_g_db,w,0);
pm=angle(polyval(ng,j*wgc)/polyval(dg,j*wgc))+pi;
pmg=pm/pi*180;
phi=dpm-pm+5/180*pi;
phig=phi/pi*180;
alfa=(1+sin(phi))/(1-sin(phi));
mag_g_db=20*log10(mag_g);
mag_m=-10*log10(alfa);
wgc=spline(mag_g_db,w,mag_m);
T=1/(wgc*sqrt(alfa));
z=alfa*T;
p=T;
nreg=kc*[z,1];
dreg=[p,1];
reg=tf(nreg,dreg);
Proviamo a calcolare i parametri per il regolatore della nostra antenna, sapendo che
dobbiamo avere
• %OS = 10%
• TS = 2s
Abbiamo già visto precedentemente che per ottenere questi risultati occorre un valore
di Kc pari a 258. Inoltre le specifiche dinamiche (%OS) ci impongono un P M di 74◦ . Dal
diagramma di Bode della funzione Kc G(s) (figura 8.25) vediamo che abbiamo un P M di
ca. 28◦ . Dobbiamo aggiungere ancora ulteriori 74◦ − 28◦ + 5◦ = 51◦ .
Il calcolo ci fornisce il regolatore seguente:
GR (s) = 258
1 + 0.413s
1 + 0.0518s
(8.65)
La risposta al gradino del sistema compensato è mostrata nella figura 8.26.
Il sistema compensato ha un %OS di ca. 10% e un buon tempo di setting TS ' 1s,
ciò che rispetta le specifiche.
130
7 aprile 2003
Automazione I e II
Bode Diagrams
100
50
0
−50
−100
−150
−200
0
−50
−100
−150
−200
−250
−300
−2
10
−1
0
10
10
1
2
10
10
3
10
Frequency (rad/sec)
Figura 8.25: Diagramma di Bode del sistema con compensatore proporzionale
Step Response
1.4
1.2
Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
Time (sec.)
Figura 8.26: Risposta del sistema con il regolatore lead
7 aprile 2003
131
Automazione I e II
8.4.3
Compensatori lag dal luogo delle radici
Il compensatore lag tende a destabilizzare il sistema e, per questo, è da usare unicamente
per compensare sistemi stabili. Possiamo utilizzarlo per migliorare il comportamento
statico del sistema senza peggiorare in modo significativo il comportamento dinamico
(soprattutto il tempo di setting TS risente di questo regolatore).
Alla base di un design tramite il luogo delle radici c’è il fatto che una volta trovato
il regolatore proporzionale che rispetta le caratteristiche dinamiche, si può migliorare le
caratteristiche statiche del sistema (errore allo stato finito) con il contributo di amplificazione fornito dal rapporto a/b, scegliendo queste due grandezze molto vicino a 0, in modo
che l’apporto dinamico che danno si annulla.
Partendo dalla rappresentazione della funzione di trasferimento del compensatore pari
a
GR (s) = Kc
s+a
,
s+b
a>b
(8.66)
si può utilizzare il procedimento seguente
1. Determinare il polo s1 che soddisfa le specifiche dinamiche.
2. Disegnare il luogo delle radici.
3. Determinare il valore di Kc che si avvicina maggiormente al polo s1 .
4. Se Kc è troppo piccolo per l’errore statico procedere con i prossimi passi.
5. Scegliere il rapporto a/b in modo da raggiungere l’errore statico desiderato.
6. Piazzare la combinazione polo-zero che soddisfa il luogo delle radici, scegliendo valori
molto piccoli per a e b.
7. Controllare il risultato
I valori piccoli di a e b influenzano la rvelocità di risposta del sistema.
Esempio 8.6 Viene dato il processo seguente
G(s) =
10
s(s + 5)
(8.67)
Le specifiche sono
• ξ = 0.707
• errore alla rampa unitaria < 5%
La figura 8.27 mostra il luogo delle radici del sistema e la posizione del polo dominante
s1 .
Per portare il sistema ad anello chiuso ad avere un polo dominante in s 1 = −2.5 + 2.5j
occorre un’amplificazione Kc = 1.25. Con questo valore di Kc l’errore allo stato finito è del
40%, ciò che non soddisfa le specifiche statiche di progetto. Occorre avere un’amplificazione
132
7 aprile 2003
Automazione I e II
10
8
6
4
Imag Axis
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
−6
−5
−4
−3
Real Axis
−2
−1
0
1
Figura 8.27: Luogo delle radici del sistema
ulteriore di 8 volte, che può essere fornita dal rapporto a/b del compensatore lag. Scegliamo
ora arbitrariamente a = 0.1 e calcoliamo b = a/8 = 0.0125. Il compensatore diventa
s + 0.1
(8.68)
s + 0.0125
Nella figura 8.28 sono rappresentate le due risposte, quella del sistema con solo l’amplificazione di 1.25, e quello del sistema compensato con il lag.
Possiamo vedere il leggero miglioramento nel comportamento allo stato finito del sistema compensato rispetto al precedente.
GR = 1.25
8.4.4
Compensatore lag dal diagramma di Bode
L’idea che c’è alla base di questo compensatore è quella di determinare sul diagramma
di Bode compensato in modo proporzionale la frequenza in cui si ha il margine di fase
soddisfacente, e di utilizzare il rapporto α per far diventare questa frequenza la nuova ω gc .
Partiamo dalla funzione di trasferimento del regolatore di tipo
1 + αT s
, α<1
(8.69)
1 + Ts
Dapprima si sceglie Kc in modo da soddisfare le specifiche statiche. Poi si trovano α e T
per soddisfare il P M desiderato.
La figura 8.29 mostra l’andamento in guadagno e fase di un compensatore di tipo lag.
Per ω → ∞ la riduzione di guadagno vale 20 log α, mentre la contribuzione minima di
fase l’abbiamo a
GR = K c
10
αT
I passi per il design di un regolatore di tipo lag sono i seguenti
ω=
7 aprile 2003
(8.70)
133
Automazione I e II
10
9
8
Reg. lag
7
6
Reg. P=1.25
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Figura 8.28: Risposta del sistema con compensatore lag
Bode Diagrams
0
−5
−10
−15
−20
0
−10
−20
−30
−40
−50
−60
−1
10
0
1
10
10
2
10
Frequency (rad/sec)
Figura 8.29: Diagramma di Bode di un regolatore lag
134
7 aprile 2003
Automazione I e II
1. Determinare Kc per soddisfare le specifiche statiche di progetto.
2. Disegnare il diagramma di Bode di Kc G(jω).
3. Se il P M è insufficiente, trovare la frequenza alla quale il P M è soddisfacente
(aggiungere 5◦ per sicurezza). Questa frequenza sarà la nuova ωgc .
4. Trovare il guadagno in dB a questa frequenza. Questo è il guadagno (che chiamo
GdB) che dobbiamo ridurre con il compensatore, in modo che questa frequenza
diventi la nuova frequenza di gain-crossover.
5. Determinare α = 10−GdB/20 .
6. Scegliere T =
10
αωgc
per minimizzare il contributo di fase del compensatore.
7. Disegnare il diagramma di Bode del sistema compensato per controllare il risultato.
8. Controllare il sistema ad anello chiuso.
Il programma Matlab seguente esegue automaticamente queste operazioni
function reg=bdgeo_lg(sys,Kc,pm)
angl=-180+pm;
[g,p,w]=bode(Kc*sys);
wgc=spline(p,w,angl);
g=spline(w,g,wgc);
gdb=20*log10(g);
wsup=wgc/10;
T=1/wsup;
alfa=10^(-gdb/20);
reg=tf(Kc*[T,1],[alfa*T 1]);
Applichiamo questo metodo all’esempio precedente. Scegliamo dapprima K c = 10. Un
valore di ξ pari a 0.707 ad anello chiuso equivale ad un P M ad anello aperto di ca. 70 ◦ .
Prendiamo 75◦ per sicurezza. La figura 8.30 mostra il diagramma di Bode del sistema con
il compensatore proporzionale.
Dalla figura 8.30 si può vedere che ilmargine di fase desiderato di 75◦ lo si ha ad una
frequenza compresa tra 1 e 2 rad/s (esattamente a 1.34rad/s). A questa frequenza il
guadagno (sempre dal grafico) vale 23dB. Dalle formule troviamo α = 0.069 e T = 106.7.
Il regolatore risulta quindi essere
GR (s) = 10
1 + 7.46s
1 + 106.7s
(8.71)
La figura 8.31 mostra la risposta con entrata gradino del sistema compensato.
Possiamo vedere un miglioramento del %OS, ma un peggioramento del TS , peggioramento che era prevedibile.
7 aprile 2003
135
Automazione I e II
Bode Diagrams
50
0
−50
−50
−100
−150
−200
−1
10
0
1
10
2
10
10
Frequency (rad/sec)
Figura 8.30: Diagramma di Bode con compensatore proporzionale
Step Response
1.5
Reg P=10
Reg lag
Amplitude
1
0.5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Time (sec.)
Figura 8.31: Risposta del sistema con regolatore lag
136
7 aprile 2003
8.5. Deadbeat Response
8.5
Automazione I e II
Deadbeat Response
Molto spesso lo scopo della regolazione è quello di ottenere un tempo di setting basso con
un %OS minimo. Questa tipo di risposta è detta deadbeat response.
Le caratteristiche di questa risposta sono:
• e∞ (step) = 0
• Tr e TS minimi
• 0.1% ≤ %OS ≤ 2%
Prendiamo ad esempio una funzione di 3. Ordine, ad anello chiuso, normalizzata, del
tipo
ωn2
1
(8.72)
GT OT (s) 3
= s3
2
2
2
3
s
s
s + αωn s + βωn s + ωn
3 + α 2 + βω + 1
ωn
e sostituendo
s
ωn
ωn
n
con ŝ si ottiene
GT OT (s) =
ŝ3
+
1
+ βŝ + 1
αŝ2
(8.73)
Per ottenere l’andamento della risposta desiderato occorre ora scegliere i coefficienti dalla
tabella 8.4, per poi ottenere la funzione di trasferimento finale. La funzione di Matlab
“dbc.m” permette di ottenere direttamente i poli del polinomio per la risposta deadbeat.
function [p]=dbc(Ts,ord)
%
%
function [p]=dbc(Ts,ord)
%
%
Ts
: Setting Time
%
ord : polynomial grad
%
p
: Roots of Deadbeat polynom
%
coeff=[1 1.82 1
0
0
0
0
1 1.90 2.20 1
0
0
0
1 2.20 3.50 2.80 1
0
0
1 2.70 4.90 5.40 3.40 1
0
1 3.15 6.50 8.70 7.55 4.05 1];
wn=4.04/Ts;
p1=zeros(1,ord+1);
for n=1:(ord+1)
p1(n)=coeff(ord-1,n)*wn^(n-1);
end
p=roots(p1);
La chiamata è
[p]=dbc(Ts,ord)
7 aprile 2003
137
7 aprile 2003
β
γ
δ
²
2.20
3.50
4.90
6.50
2.80
5.40
8.70
3.40
7.55
4.05
%OS
0.10%
1.65%
0.89%
1.29%
1.63%
%U S
0.00%
1.36%
0.95%
0.37%
0.94%
Tr90%
3.47
3.48
4.16
4.84
5.49
Tr100%
6.58
4.32
5.29
5.73
6.31
Automazione I e II
Tabella 8.4: Coefficienti per il polinomio di deadbeat
ωn T S
4.82
4.04
4.81
5.43
6.04
α
1.82
1.90
2.20
2.70
3.15
138
ordine
2
3
4
5
6
8.5. Deadbeat Response
GP (s)
GC (s)
Y(s)
G(s)
PSfrag replacements
R(s)
Automazione I e II
Figura 8.32: Sistema per compensatore deadbeat
dove TS è il tempo di setting desiderato, “ord” è l’ordine del polinomio e p è il vettore
che cintiene i poli del polinomio con risposta deadbeat.
Esempio 8.7 Viene dato il sistema della figura 8.32.
La funzione di trasferimento open loop del processo vale
G(s) =
1
s(s + 1)
(8.74)
s+z
s+p
(8.75)
mentre il compensatore vale
GC (s) = K
La funzione di trasferimento ad anello chiuso vale
GT OT (s) =
K(s + z)
s3 + (1 + p)s2 + (p + K)s + Kz
(8.76)
Per avere un uscita a 1 con entrata gradino, occorre introdurre il prefiltro G P (s) all’entrata
del circuito. Questo prefiltro deve eliminare lo zero al numeratore, e portare il termine
al numeratore ad essere uguale all’ultimo termine del denominatore (Kz). Il prefiltro
occorrente per questo sistema vale quindi
GP (s) =
z
s+z
(8.77)
La funzione di trasferimento totale ad anello chiuso diventa cosı̀
GT OT (s) =
Kz
s3 + (1 + p)s2 + (p + K)s + Kz
(8.78)
Dalla tabella 8.3 si possono leggere i valori dei coefficienti per una funzione di 3. ordine,
che sono α = 1.90 e β = 2.20.
Scegliendo un TS pari a 2s si ottiene un valore di ωn pari a
ωn =
4.04
= 2.02
TS
(8.79)
L’equazione caratteristica legata alla funzione di trasferimento ideale risulta essere
q(s) = s3 + αωn s2 + βωn2 s + ωn3 = s3 + 3.84s2 + 8.98s + 8.24
(8.80)
Un paragone di coefficienti fornisce i valori p = 2.84, z = 1.34 e K = 6.14.
7 aprile 2003
139
Automazione I e II
8.6
Conclusioni
Vediamo come le diverse tecniche di design portano a risultati molto differenti tra di
loro. Molto spesso è necessario applicare più di una tecnica al sistema da compensare
e scegliere in seguito la soluzione migliore. Anche una combinazione di più regolatori in
serie è possibile, magari per fare una compensazione dinamica con un regolatore di tipo
lead e una correzione statica con un lag.
8.7
Realizzazione pratica di compensatori
Per la realizzazione di compensatori è sufficiente implementare un amplificatore operazionale in circuito invertente (figura 8.33), utilizzando delle impedenze Z1 e Z2 per ottenere
la funzione di trasferimento desiderata.
Z2
Z1
-
PSfrag replacements
+
Figura 8.33: Realizzazione di compensatori
La tabella 8.5 mostra i valori di Z1 e Z2 per i vari casi di compensatori.
140
7 aprile 2003
8.7. Realizzazione pratica di compensatori
Funzione
Z1 (s)
Automazione I e II
Z2 (s)
PSfrag replacements
PSfrag replacements
R1
Guadagno
R2
PSfrag replacements
PSfrag replacements
R
Integrazione
C
C
PSfrag replacements
PSfrag replacements
Derivazione
PSfrag replacements
PSfrag replacements
R1
Controllore PI
PSfrag replacements
C1
PSfrag replacements
R1
Controllore PD
PSfrag replacements
PSfrag replacements
C1
R1
Controllore PID
GREG (s)
−
1
− RC
s
R
R2
−sRC
C2
−
R2
R2
C2
R2
PSfrag replacements
PSfrag replacements
C1
R1
Controllore lead
C2
R2
R2
R1
s+
1
R2 C2
s
−R2 C1 (s +
C2
PSfrag replacements
PSfrag replacements
C1
R1
Controllore lag
R2
R1
1
)
R1 C1


1
 R2

C2
R1 C2 


−
  R + C + R 2 C1 s +


s
1
1
−
C1 s +
C2 s +
1
R1 C1
1
R2 C2
, R2 C 2 > R 1 C 1
−
C1 s +
C2 s +
1
R1 C1
1
R2 C2
, R1 C 1 > R 2 C 2
Tabella 8.5: Realizzazione di regolatori
7 aprile 2003
141
Automazione I e II
142
7 aprile 2003
Appendice A
La trasformata di Laplace
A.1
Definizione
Difficilmente la rappresentazione matematica di un sistema mediante una equazione differenziale ci permette di “vedere” subito come questo sistema si comporterà. Mediante la
trasformata di Laplace è possibile sostituire ad una equazione differenziale una equazione
algebrica che permette di collegare due grandezze (input e output) mediante una funzione
di trasferimento. La trasformata di Laplace è definita come
L[f (t] = F (s) =
+∞
Z
f (t)e−st dt
0+
dove s = α + jω è una variabile complessa.
Conoscendo f (t) e la soluzione dell’integrale precedente, possiamo trovare F (s) che è
la trasformata di Laplace di f (t).
Si assume che la funzione f (t) vale 0 per t < 0. Se il sistema accumula energia prima
di t = 0, questa energia può essere indicata mediante la funzione di impulso, che applica
tutta l’energia accumulata precedentemente nel momento di t = 0.
Immaginiamoci che un condensatore sia carico al momento t = 0 e abbia una tensione
iniziale pari a 5/C. Ciò significa che possiamo inizializzarlo mediante una funzione pari a
5δ(t), poiché
1
uc (t) =
C
Z0+
5δ(t)dt =
0−
5
C
Per trovare nuovamente la funzione f(t) partendo dalla sua trasformata F(s), si utilizza la
trasformata di Laplace inversa che è definita come
L
−1
1
[F (s)] =
2πj
σ+j∞
Z
F (s)est ds
σ−j∞
Normalmente occorre portare la funzione trovata nel dominio di Laplace in una forma
che contenga unicamente funzioni già tabellate, in modo da semplificare notevolmente il
lavoro. Per questa operazione viene molto utile lo sviluppo in termini di frazioni parziali
e il calcolo dei residui.
7 aprile 2003
143
Automazione I e II
Appendice A. La trasformata di Laplace
Nella tabella A.1 sono riportate alcune delle trasformate di Laplace più frequentemente
utilizzate. Da notare che le funzioni f (t) vengono sempre moltiplicate per la funzione
gradino unitario u(t), visto che per t < 0 il valore della funzione è nullo.
f (t)
F (s)
δ(t)
1
u(t)
1
s
tu(t)
1
s2
tn u(t)
n!
sn+1
e−at u(t)
1
s+a
sin ωtu(t)
cos ωtu(t)
s2
ω
+ ω2
s
s2 + ω 2
Tabella A.1: Trasformate di Laplace di funzioni comuni
Alcune regole permettono di semplificare notevolmente il lavoro con le trasformate di
Laplace. Queste regole sono riportate nella tabella A.2
144
7 aprile 2003
A.1. Definizione
Automazione I e II
Teorema di linearità
L[kf (t)]
= kF (s)
Teorema di linearità
L[f1 (t) + f2 (t)]
= F1 (s) + F2 (s)
Teorema di spostamento
in frequenza
L[e−at f (t)]
= F (s + a)
Teorema di spostamento
nel tempo
L[f (t − T )]
= e−sT F (s)
Teorema di scala
L[f (at)]
= a1 F ( as )
Teorema della derivata
L[ dfdt(t) ]
= sF (s) − f (0)
f (t)
L[ d dt2
]
n f (t)
]
L[ d dtn
2
Rt
= s2 F (s) − sf (0) − f˙(0)
=
sn F (s)
−
n
X
k=1
F (s)
s
L[ f (τ )dτ ]
=
lim f (t)
= lim sF (s)
lim f (t)
= lim sF (s)
Teorema della convoluzione nel tempo
f1 (t) ∗ f2 (t)
= F1 (s)F2 (s)
Teroema della convoluzione in frequenza
f1 (t)f2 (t)
=
Teorema dell’integrale
0
Teorema del valore finale
t→∞
Teorema del valore iniziale
t→0
sn−k f k−1 (0)
s→0
s→∞
1
F1 (s) ∗ F2 (s)
2πj
Tabella A.2: Proprietà della trasformata di Laplace
7 aprile 2003
145
Automazione I e II
146
Appendice A. La trasformata di Laplace
7 aprile 2003
Appendice B
Diagrammi di flusso di segnali
B.1
Rappresentazione
Una rappresentazione molto pratica per equazioni lineari è la rappresentazione mediante
diagrammi di flusso di segnali (signal-flow graph). In questa rappresentazione le variabili
sono rappresentate da nodi, le dipendenze lineari tra le variabili da linee direzionate dotate
di un valore (peso).
Questa tecnica permette di rappresentare equazioni semplici o recursive.
Esempio B.1 L’equazione
x=a·y−b·w+z
può essere rappresentata con il seguente diagramma della figura B.1.
y ePP a
P
PP
w e
−b
³³
z e³
PP
³³
PP
q
P
1 ex
³³
³
³³
Figura B.1: Rappresentazione di un’equazione
Quando il valore per il peso di una linea è omesso, lo si assume uguale a 1.
Esempio B.2 L’equazione recursiva
x=a·y−b·x+c·z
può essere rappresentata come nella figura B.2.
Nota che una recursività dell’equazione implica la presenza di loops.
La tecnica si può utilizzare anche per sistemi di equazioni come nel seguente esempio.
Esempio B.3 Il sistema
7 aprile 2003
(
a · x1 + b · x2 = e · u1
c · x1 + d · x 2 = f · u 2
147
Automazione I e II
Appendice B. Diagrammi di flusso di segnali
y ePP a
¢ A −b
PP
PPAA ¢®¢
q ex
P
1
³³
³
z e³
³³
³
c
Figura B.2: Rappresentazione di un’equazione recursiva
con entrate u1 e u2 può essere riscritto come segue:
(
x1 = (1 − a) · x1 − b · x2 + e · u1
x2 = −c · x1 + (1 − d) · x2 + f · u2
e quindi rappresentato dal diagramma nella figura B.3
u1 e
u2 e
1−a
¢ A
A ¢
-A e¢® x1
¡ @
I
¡
@
e
f
−c
−b
@
¡
R
@
- e¡
x2
¢ KA
¢ A
A ¢ 1−d
Figura B.3: Rappresentazione di un sistema d’equazioni
Questa rappresentazione è valida anche per sistemi nei quali le variabili sono dei vettori
e non dei scalari ed i pesi delle linee delle matrici. Inoltre la rappresentazione è valida
anche quando i pesi delle linee sono delle funzioni di trasferimento.
B.2
Operazioni su diagrammi di flusso
A partire dalla rappresentazione con diagrammi esistono delle tecniche per ridurre le
espressioni utilizzate in partenza per creare i diagrammi. Una di queste tecniche è data
dalle regole di Mason.
B.2.1
Riduzione secondo le regole di Mason
Queste regole utilizzano il concetto di percorso, di loop, di nodo indipendente e di determinante di un diagramma.
Definizione B.1 (percorso) Un percorso è dato da una sequenza di linee direzionate
che conducono da un nodo ad un altro nodo senza passare piú volte attraverso uno stesso
nodo. Il valore di un percorso è il prodotto del valore di tutte le linee che compongono il
percorso.
Esempio B.4 Dall’ultimo esempio, un percorso che porta da u2 ad x1 è dato dalle due
linee u2 → x2 e x2 → x1 (la successione delle tre linee u2 → x2 , x2 → x2 e x2 → x1 non è
un percorso siccome il nodo x2 viene vistato due volte). Il valore P del percorso è −b · f .
148
7 aprile 2003
B.2. Operazioni su diagrammi di flusso
Automazione I e II
Definizione B.2 (loop) Un loop è dato da un percorso nel quale il nodo di partenza ed
il nodo di arrivo sono identici. Il valore di un loop è il prodotto del valore di tutte le linee
che compongono il loop.
Esempio B.5 Dall’ultimo esempio, i loop presenti sono dati dalla linea x 2 → x2 , dalla
linea x1 → x1 e dalla successione di linee x1 → x2 e x2 → x1 I valori L dei loop sono
1 − d, 1 − a e b · c rispettivamente.
Definizione B.3 (nodo indipendente) Un nodo indipendente è un nodo verso il quale
non sono puntate linee direzionate.
Esempio B.6 Dall’ultimo esempio i nodi indipendenti sono u1 e u2 .
Definizione B.4 (determinante) Un determinante di un diagramma è dato dall’espressione
∆=1−
X
Li +
i
X
ij
Li · L j −
X
ijk
Li · L j · L k +
X
ijkl
Li · L j · L k · L l − . . .
(B.1)
dove la prima somma è eseguita su tutti i loop del diagramma, la seconda somma su tutti
le coppie di loop che non hanno nodi in comune, la terza somma su tutti gli insiemi di tre
loop che non hanno nodi in comune, ecc.
Esempio B.7 Dall’ultimo esempio, il determinante del diagramma è
∆ = 1 − (1 − d) − (1 − a) − b · c + (1 − d) · (1 − a)
= d + a − 1 − b · c + (1 − d) · (1 − a)
= d·a−b·c
Ora, mediante le regole di Mason, è possibile calcolare il valore di un nodo in funzione
dei nodi indipendenti nel modo seguente:
xj =
X
i
e dove la somma
P
i
Gij · xi dove xi è un nodo indipendente
(B.2)
è eseguita su tutti i nodi indipendenti. Il coefficiente Gij è
Gij =
dove
P
k
Pijk · ∆ijk
∆
(B.3)
• Pijk è il valore di un percorso tra il nodo xi ed il nodo xj
• ∆ijk il determinante del diagramma rimanente dopo che il diagramma originale sia
stato ridotto rimuovendo i nodi che si trovano sul percorso.
La somma
P
k
è eseguita su tutti i percorsi esistenti tra il nodo xi ed il nodo xj .
Esempio B.8 Sempre con il solito esempio otteniamo:
G13 =
e quindi
e · (1 − (1 − d))
e·d
=
d·a−b·c
d·a−b·c
−f · b
G14 =
d·a−b·c
e · d · u1 − f · b · u2
d·a−b·c
(calcolare il valore di x2 in funzione delle entrate u1 e u2 come esercizio).
x1 =
7 aprile 2003
149
Automazione I e II
B.3
Appendice B. Diagrammi di flusso di segnali
Scalare un nodo
Nella pratica (variabili in un programma limitate ad un valore massimo, valori analogici
in un circuito elettronico) è spesso necessario scalare il valore di un nodo senza però
modificare i valori degli altri nodi.
La procedura seguente viene utilizzata in questo caso. Se il valore di un nodo deve
essere diviso per k si crei un cerchio attorno al nodo considerato. I valori di tutte le linee
che entrano nel cerchio devono essere divisi per k, tutti i valori delle linee che escono dal
cerchio devono essere moltiplicati per k.
Esempio B.9 Sempre con il solito esempio desideriamo scalare il nodo x 2 con il fattore
−1. Il valore del nuovo nodo x02 è quindi −x2 . Il nuovo diagramma è rappresentato nella
figura B.4. Nota che se noi ricalcoliamo il valore di x1 in funzione dei nodi indipendenti
u1 e
e
c
u2 e
−f
1−a
¢ A
A ¢
A e¢®
x1
¡ @
I
¡
@
b
@
¡
R
@
- e¡
x0
¢ KA 2
¢ A
A ¢ 1−d
Figura B.4: Procedura per scalare un nodo in un diagramma
utilizzando le regole di Mason ritroviamo esattamente lo stesso risultato ottenuto sopra
(esercizio volontario!).
Questa procedura può essere ripetuta quante volte necessarie. Essa può inoltre essere
applicata anche a più nodi contemporaneamente. In questo caso viene usato un cerchio
che include tutti i nodi considerati; tutti i valori dei nodi considerati saranno scalati con
lo stesso fattore.
150
7 aprile 2003
Appendice C
Matrici, determinanti e sistemi di
equazioni
C.1
Definizione di matrici e notazione
Definizione C.1 Una matrice m x n è una tabella di elementi con m righe e n colonne.



A=


a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
···
···
..
.

a1n
a2n
..
.
am1 am2 · · · amn





Definizione C.2 In ogni elemento aij , i rappresenta la riga e j rappresenta la colonna.
Se m = n la matrice è quadrata.
Definizione C.3 Una matrice con una sola riga è detta vettore riga.
B=
h
b11 b12 · · · b1n
i
Definizione C.4 Una matrice con una sola colonna è detta vettore colonna.



C=


c11
c21
..
.
cm1






Definizione C.5 Una matrice può essere partizionata in altre matrici.



A=

a11
a21
a31
a41
a12
a22
a32
a42
a13
a23
a33
a43
a14
a24
a34
a44


 
 
=
 
a11
a21
a31
a41
a12
a22
a32
a42
a13
a23
a33
a43
a14
a24
a34
a44



=

"
A11 A12
A21 A22
#
Definizione C.6 Una matrice in cui tutti gli elementi sono nulli è detta matrice nulla.
7 aprile 2003
151
Automazione I e II
Appendice C. Matrici, determinanti e sistemi di equazioni
Definizione C.7 Una matrice che contiene elementi solo lungo la sua diagonale è detta
matrice diagonale.
Definizione C.8 Una matrice diagonale con tutti gli elementi uguali all’unità è detta
matrice unità o matrice identità.
Definizione C.9 Una matrice simmetrica è una matrice in cui vale
aij = aji


3 8 7


A= 8 9 2 
7 2 4
Definizione C.10 La trasposta di una matrice A, designata come AT , è una matrice in
cui ogni elemento aij viene sostituito conl’elemento aji . Una matrice m x n diventa una
matrice n x m.




A=

1
2
4
−1
7
9
6 −3 


8
5 
3 −2


1
2 4 −1


T
6 8
3 
A = 7
9 −3 5 −2
Definizione C.11 Il determinante di una matrice A è indicato come detA o
¯
¯ a
¯ 11
¯
¯ a21
¯ .
¯ .
¯ .
¯
¯ am1
a12
a22
..
.
···
···
..
.
a1n
a2n
..
.
am2 · · · amn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Definizione C.12 Il minore Mij dell’elemento aij del determinante della matrice A è il
determinante formato eliminando la riga i e la colonna j dal determinante di A.
¯
¯
¯ 3
¯
¯
detA = ¯ 6
¯
¯ 5
8 7 ¯¯
¯
9 2 ¯
¯
1 4 ¯
¯
¯ 3
¯
=¯
¯ 6
¯
¯
¯
¯ = −36
¯
Il minore M32 è il determinante formato eliminando la terza riga e la seconda colonna dal
detA.
M32
152
7
2
7 aprile 2003
C.1. Definizione di matrici e notazione
Automazione I e II
Definizione C.13 Il cofattore Cij di un elemento aij del determinante della matrice A
è definito come
Cij = (−1)(i+j) Mij
¯
¯ 3
¯
¯
detA = ¯ 6
¯
¯ 5
C21 = (−1)
2+1
M21
¯
8 7 ¯¯
¯
9 2 ¯
¯
1 4 ¯
¯
¯ 8
= (−1) ¯
¯ 1
7
4
3¯
¯
¯
¯
¯ = −25
¯
Definizione C.14 Il calcolo del determinante della matrice A può essere fatto sviluppando i minori lungo una riga o una colonna. Il risultato può essere trovato tramite
detA =
n
X
aik Cik
m
X
akj Ckj
k=1
oppure
detA =
k=1


1 3
2


A =  −5 6 −7 
8 5
4
¯
¯
¯
¯ 1
¯ −5 6 ¯
¯
¯
¯
detA = 2 ¯
¯ − (−7) ¯
¯ 8
¯ 8 5 ¯
3
5
¯
¯
¯ 1 3
¯
¯
¯
¯ + 4¯
¯ −5 6
¯
¯
¯
¯
¯ = −195
¯
Definizione C.15 Una matrice è detta singolare quando il suo determinante è nullo.
Definizione C.16 Una matrice è non singolare se il suo determinante è diverso da 0.
Definizione C.17 La matrice aggiunta di una matrice quadrata A è la matrice che si
ottiene trasponendo la matrice dei cofattori di ogni elemento di A.



aggA = 


C11
C21
..
.
C12
C22
..
.
···
···
..
.
C1n
C2n
..
.
Cm1 Cm2 · · · Cmn

T






1 2 3


A =  −1 4 5 
6 8 7
7 aprile 2003
153
Automazione I e II
Appendice C. Matrici, determinanti e sistemi di equazioni

¯
¯ 4
¯
¯
¯ 8




¯

¯ 2

¯

aggA =  − ¯
¯ 8




¯

¯ 2

¯
¯
¯ 4
5
7
¯
¯
¯
¯ −1 5 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ −¯
¯ 6 7 ¯
¯
¯
3 ¯¯
¯
7 ¯
3
5
¯
¯ 1
¯
¯
¯ 6
¯
3 ¯¯
¯
7 ¯
¯
¯
¯
¯ 1 3
¯
¯
¯ −¯
¯
¯ −1 5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ −1 4 ¯ 
¯
¯
¯
¯
¯ 6 8 ¯ 


 
¯ 
¯
−12
¯ 1 2 ¯ 
¯  
¯
−¯
=
¯   37
¯ 6 8 ¯ 

−32

¯
¯ 
¯ 1 2 ¯ 
¯
¯ 
¯
¯
¯ −1 4 ¯

10 −2

−11 −8 
4
6
Definizione C.18 Il rango di una matrice rappresenta il numero di righe o colonne linearmente indipendenti. Può essere determinato trovando la sottomatrice più grande non
singolare.
Definizione C.19 L’inversa di una matrice quadrata A, definita con A−1 è quella matrice per la quale vale
AA−1 = I
dove I rappresenta la matrice identità.
Per il calcolo della matrice inversa si utilizza la formula
A−1 =
aggA
|A|
L’inversa esiste unicamente in caso di matrici non singolari.
Definizione C.20 Gli autovalori λ e gli autovettori x di una matrice quadrata A sono
quei valori che risolvono l’equazione
Ax = λx
e possono essere determinati risolvendo
λx − Ax = 0
(λI − A)x = 0
Per non avere soluzioni triviali x = 0 occorre che
det(λI − A) = 0
Risolvendo quetsa equazione si ricavano i valori di λ, che permettono poi di ricavare i
valori di x.
Definizione C.21 Una matrice diagonale possiede tutti gli autovalori sulla diagonale.
Definizione C.22 Le seguenti espressioni sono equivalenti
• Una matrice n x n è invertibile solo se il suo rango vale n.
• Una matrice è invertibile solo se tutti i suoi autovalori sono diversi da 0
154
7 aprile 2003

Regolazione I e II

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