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1 Leggi di similitudine Leggi di similitudine (2)
Leggi di similitudine Prove su modelli in scala Due fenomeni fisici si dicono simili se, adimensionalizzando ciascuna delle grandezze fisiche che li caratterizzano rispetto ad opportune grandezze fisiche di riferimento omogenee e costanti, le relazioni matematiche che li descrivono risultano identiche. Assegnati due sistemi, v ed m, essi risultano geometricamente simili se, considerata una qualunque coppia di punti in v e la corrispondente coppia di punti in m, il vettore congiungente i due punti in m e’ parallelo e concorde con il vettore congiungente i due punti in v, ed ha modulo moltiplicato per una costante λg che prende il nome di scala geometrica. Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 1 Leggi di similitudine (2) Prove su modelli in scala Due sistemi v ed m si dicono cinematicamente simili se i vettori velocita’ di particelle elementari corrispondenti, appartenenti ai due diversi sistemi, sono paralleli e concordi ed il rapporto tra i loro moduli e’ costante in ogni istante. Tale rapporto λc prende il nome di scala cinematica. Due fenomeni fisici si dicono dinamicamente simili quando tutte le grandezze dinamiche (forze e masse, momenti e momenti di inerzia) caratteristiche dell’uno, sono in rapporto costante con quelle dell’altro. In condizioni di moto, la similitudine dinamica implica quella geometrica (similitudine delle condizioni al contorno) e quella cinematica. Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 2 1 Leggi di similitudine (3) Forze d’inerzia del fluido Fif = m f a f ≈ ρ f l 3V / t ≈ ρ f l 2V 2 Prove su modelli in scala Forze d’inerzia dei corpi Fic ≈ ρ c l 2V 2 Forza peso Fg ≈ ρ f gl 3 Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 3 Leggi di similitudine (4) Spinta idrostatica Fh ≈ ρ f l 3 g Prove su modelli in scala Fh ≈ ( ρ f − ρ c )l 3 g Forze risultanti dalle pressioni Fp ≈ δpl 2 Forze viscose Fv ≈ μVl Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 4 2 Leggi di similitudine (5) Similitudine geometrica: lm = λ ; λ = scala delle lunghezze o scala geometrica lv Prove su modelli in scala Scala delle aree: 2 2 ⎛l ⎞ S m lm = = ⎜⎜ m ⎟⎟ = λ2 S v l 2 ⎝ lv ⎠ v Scala dei volumi: 3 3 ⎛l ⎞ Vm lm = = ⎜⎜ m ⎟⎟ = λ3 Vv l 3 ⎝ lv ⎠ v Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 5 Leggi di similitudine (6) Similitudine cinematica: Prove su modelli in scala Scala delle velocità: Δl m vm Δtm Δlm Δtv λ = = = l Δ vv Δlv Δtm τ v Δt v Es. scala delle lunghezze = 1:10 scala dei tempi = 1:2 → scala delle velocità = 1:5 Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 6 3 Leggi di similitudine (7) se i tempi corrispondenti non sono alterati: vm =λ vv Prove su modelli in scala Più frequente è il caso di assegnazione di una similitudine cinematica assegnando la scala delle velocità: in questo caso la scala dei tempi diventa: τ= λ vm / vv Es.1 scala geometrica scala delle velocità → scala dei tempi = 1:10 = 1:2 = 1:5 Es.2 scala geometrica scala delle velocità → scala dei tempi = 1:2 = 1:4 = 2:1 7 Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale Leggi di similitudine (8) Scala delle accelerazioni: 2 Prove su modelli in scala am λ λ2 ⎛ vm ⎞ −1 ⎟ λ = = =⎜ av τ 2 τ 2 λ ⎜⎝ vv ⎟⎠ per scala dei tempi unitaria la scala delle accelerazioni sarebbe uguale alla scala delle velocità, ambedue uguali alla scala geometrica. Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 8 4 Leggi di similitudine (9) Similitudine dinamica: Scala delle forze Prove su modelli in scala Assegnati due sistemi cinematicamente simili, se su due elementi fluidi corrispondenti agiscono forze tali per cui: F 1m F 2 m = = ... = costante F 1v F 2v i due sistemi sono dinamicamente simili. Anche le risultanti hanno lo stesso rapporto. Se il rapporto costante è verificato per tutti i tipi di forze, la similitudine è detta totale: se ciò avviene per solo alcuni tipi di forze viene detta parziale. 9 Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale Leggi di similitudine (10) Siano considerati due volumi fluidi appartenenti a due sistemi dinamicamente simili, dotati di accelerazione a aventi massa m e dimensioni lineari l. Il rapporto tra le rispettive forze d'inerzia ad essi applicate risulta: Prove su modelli in scala 3 Fim mm am ρ mVm am ρ m ⎛ lm ⎞ am ⎜ ⎟ = = = Fiv mv av ρ vVv av ρ v ⎜⎝ lv ⎟⎠ av Semplificando si ottiene: 2 Fim ρ m ⎛ vm ⎞ 2 ⎟ λ = ⎜ ρ v ⎝⎜ vv ⎟⎠ Fiv Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 10 5 Leggi di similitudine (11) Per due sistemi operanti nello stesso fluido: Prove su modelli in scala Fim = λ4τ − 2 Fiv Es. Scala delle densità unitaria Scala geometrica Scala dei tempi → Scala delle forze = 1:10 = 1:2 = 1:2500 Scala delle pressioni: pm ρ m ⎛ v m ⎞ ⎜ ⎟ = pv ρ v ⎝⎜ vv ⎟⎠ 2 Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 11 Definizioni Numero di Reynolds Esprime il rapporto tra le forze d’inerzia del fluido e le forze viscose tipiche: Prove su modelli in scala Re = ρVl / μ = Vl / υ Numero di Mach Esprime il rapporto tra le forze di inerzia del fluido e le forze di pressione (o elastiche) tipiche: Ma = Fif / Fp = ρ f l 2V 2 / δpl 2 = ... = V / c con c = γRT Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 12 6 Definizioni (2) Numero di Froude Esprime il rapporto tra le forze d’inerzia del fluido e le forze peso tipiche: Prove su modelli in scala Fr = Fif / Fg = ρ f l 2V 2 / ρ f gl 3 = V 2 / gl Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 13 Similitudini parziali Prove su modelli in scala In condizioni pratiche la similitudine totale risulta impossibile: a seconda che le forze predominanti siano quelle viscose, peso o elastiche si parlerà similitudini in fluidi viscosi, pesanti e comprimibili. I rapporti tra le forze inerziali dipendono da: 1. masse specifiche (densità) 2. velocità 3. lunghezze le arbitrarietà su cui operare per garantire la similitudine sono dunque solo 3. Di solito il fluido nel quale opera il modello è identico a quello in cui opera il velivolo al vero, per cui, scelta la scala geometrica, cioè le dimensioni del modello, rimane come unica variabile la velocità. Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 14 7 Similitudini parziali (2) Similitudine in fluidi viscosi Prove su modelli in scala Se nei sistemi predominano le forze viscose, il rapporto tra le forze d'inerzia modello-vero e quello delle rispettive forze viscose deve essere uguale. Questa condizione porta all'eguaglianza del numero di Reynolds: Re v = Re m Se i fluidi sono identici: Vm lm = Vv lv cioe' Vm = 1 λg Vv Ancora una volta il numero di Reynolds rappresenta il rapporto tra le forze d'inerzia e le forze viscose. Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 15 Similitudini parziali (3) Similitudine in fluidi pesanti: Prove su modelli in scala Se nei sistemi predominano le forze peso, il rapporto tra le forze d'inerzia modello-vero e quello delle rispettive forze peso deve essere uguale. Questa condizione è soddisfatta con l'uguaglianza dei numeri di Froude. Frm = Frv Se i fluidi sono identici: Vm2 Vv2 = da cui Vm = Vv λ lm lv Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 16 8 Similitudini parziali (4) Similitudine in fluidi pesanti(cont): Prove su modelli in scala Se ad esempio si è scelta una scala geometrica 1:10 per realizzare un modello su cui eseguire prove di tipo aeroelastico, i fattori di scalatura saranno i seguenti: Velocità: Momenti statici Momenti di inerzia Rigidezze Vm = 0.3162 Vv Sm = 0.0001 Sv Im = 0.00001 Iv Km = 0.00001 Kv Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 17 Similitudini parziali (5) Similitudine in fluidi comprimibili Prove su modelli in scala Se nei sistemi predominano le forze elastiche, il rapporto tra le forze d'inerzia modello-vero e quello delle rispettive forze elastiche deve essere uguale. Questa condizione è soddisfatta con l'uguaglianza dei numeri di Mach. Ma m = Ma v Se i fluidi sono identici: Vm = Vv Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 18 9 Soluzioni tipiche per modelli Prove su modelli in scala Solitamente, sia per l’ala che per la fusoliera, si affida tutta la rigidezza, sia flessionale che torsionale, ad un unico elemento centrale (longherone) di sezione opportuna. Le forme tipiche delle sezioni sono: La forma esterna del modello è ottenuta con settori aerodinamici distinti, in modo da non aggiungere rigidezza ma solo massa, applicati sia alla fusoliera che alle superfici aerodinamiche. Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 19 Prove su modelli in scala Soluzioni tipiche per modelli (2) Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 20 10 Prove su modelli in scala Soluzioni tipiche per modelli (3) Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 21 Prove su modelli in scala Soluzioni tipiche per modelli (4) Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 22 11 Prove su modelli in scala Soluzioni tipiche per modelli (5) Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 23 Prove su modelli in scala Soluzioni tipiche per modelli (6) Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 24 12 Prove su modelli in scala Soluzioni tipiche per modelli (7) 25 Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale Soluzioni tipiche per modelli (8) Prove su modelli in scala EURAM Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale Length 55.9 m Fus. Diameter 6.25 m Wing span 53.2 m HT span 21.15 m VT span 10 m I/B Engine position 10.2 m O/B Engine position 15.8 m Wing swept angle 34° HT swept angle 32° Wing dihedral angle 4.35° HT dihedral angle 4° Winglet angle 72.5° 26 13 Soluzioni tipiche per modelli (9) Prove su modelli in scala Superficie di controllo aeroelastico Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 27 Soluzioni tipiche per modelli (10) Prove su modelli in scala Superficie di controllo aeroelastico Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 28 14 Prove su modelli in scala Soluzioni tipiche per modelli (11) Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 29 Prove su modelli in scala Soluzioni tipiche per modelli (12) Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 30 15 Prove su modelli in scala Soluzioni tipiche per modelli (13) Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 31 Prove su modelli in scala Soluzioni tipiche per modelli (14) Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 32 16 Soluzioni tipiche per modelli (11) Prove su modelli in scala HARW model (KTH) Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 33 Prove su modelli in scala Prove su modelli Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 34 17 Prove su modelli in scala Prove su modelli (2) Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 35 Prove su modelli in scala Prove su modelli (3) Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 36 18 Prove su modelli in scala Prove su modelli completi Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 37 Prove su modelli in scala Prove su modelli completi (2) Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 38 19 Prove su modelli in scala Prove su modelli completi (3) Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 39 Prove su modelli in scala Prove su modelli completi (4) Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 40 20 Prove su modelli in scala Prove su modelli completi (5) Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 41 Prove su modelli in scala Prove su modelli completi (6) Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 42 21 Prove su modelli in scala Prove su modelli completi (7) Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 43 Prove su modelli in scala Prove su modelli completi (8) Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 44 22 Prove su modelli in scala Prove su modelli completi (9) Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 45 Prove su modelli in scala Prove su modelli completi (10) Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale 46 23
