ING. EDILE E ARCHITETTURA

ING. EDILE E ARCHITETTURA
Facoltà di Ingegneria
Prova scritta di Fisica………..
Cognome:……………………………..
Nome:……………………………….. Data:………………….
CdL/Matricola:………../………………… Aula:………………….. Compito:…………………..
Per annullare la propria presenza a questa prova scrivere “RITIRATO” al rigo seguente:
………………………………..
Modalità di svolgimento:
1. risolvere i problemi, il cui SVOLGIMENTO COMPLETO DEVE ESSERE RIPORTATO SUI
FOGLI DI BELLA
2. successivamente, rispondere alle domande; alcune di esse si riferiscono ai problemi e prevedono 4
possibili risposte (tra le quali potrebbe anche non esserci quella giusta); altre domande sono in realtà
affermazioni che possono essere vere o false.
3. alla fine, compilare il foglio a lettura ottica con i risultati di tutte le domande a cui si è riusciti a
rispondere
Regole per lo svolgimento:
1. indicare subito su ogni foglio Cognome, Nome , CdL, Matricola, Aula e Data e Compito.
N.B.: Ad esempio, la matricola 06103/000527 corrisponde a C.d.L 6103 e Matr. 527 (annerire le
caselle in successione, partendo dall’alto)
2. risolvere ciascun problema COMMENTANDO OPPORTUNAMENTE I PASSAGGI.
Soltanto dopo aver risolto gli esercizi, rispondere alle altre domande.
Se tra le risposte indicate non c’è quella che lo studente ritiene corretta, le caselle sul foglio
ottico non vanno annerite.
3. sforzarsi di risolvere almeno un problema prima di rispondere alle “domande teoriche”, di cui
occorre dare una breve spiegazione sul foglio di bella
Elementi di valutazione:
1. i compiti non corredati da calcoli numerici (ove richiesti) o costituiti da sole formule senza
commenti o spiegazioni saranno penalizzati anche a fronte di risultati esatti.
2. la mancata corrispondenza tra quanto scritto sulla bella e quanto riportato sul foglio ottico può dar
luogo all’ annullamento delle risposte, ancorché giuste.
Consegna:
Mettere
1. la traccia con tutte le altre fotocopie avute
2. il foglio a lettura ottica
3. la brutta copia della svolgimento
nel foglio di bella copia e consegnare in un unico plico
1
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Facoltà di Ingegneria
Prova Scritta di Fisica I
5 Giugno 2008
COMPITO B
Quesito n. 1
(12 punti)
Un motociclista si muove lungo un piano orizzontale. Lungo il proprio percorso incontra una guida circolare di raggio
R. La velocità con cui si muove lungo questo piano è tale per cui egli per inerzia arriva nel punto A senza staccarsi dalla
guida. Successivamente dopo aver percorso la guida circolare, il motociclista continua il suo moto fino a raggiungere la
quota H fermandosi. Da qui inizia un piano inclinato liscio che lo conduce su un piano orizzontale scabro di coefficiente
di attrito dinamico µ d. Siano R = 5m, µ d = 0.05, g = 9.8 m/s2 .
Dopo aver risolto il problema proposto, si risponda alle seguenti domande:
B
A
H
R
C
D
1) Quanto vale la reazione vincolare in A: (4 punti)
c.
RV = 7 N
RV = 0 (*)
RV = 3 N
d.
RV = 5 N
a.
b.
2) La velocità minima che il motociclista deve avere in A affinché rimanga attaccato alla guida: (3 punti)
a.
b.
c.
d.
vA = g 2 R
g
vA =
R
vA = g 2 R 2
v A = (gR)1 / 2 (*)
3) La quota H alla quale il motociclista arriva dopo aver compiuto il giro della morte: (2 punti)
15.08 m
b. 5.05 m
c. 12.50 m (*)
d. 9.03 m
a.
4) La distanza D percorsa lungo il piano scabro prima di arrestarsi: (3 punti)
c.
D = µH
D = 2H µ
D = H µ (*)
d.
D= H
a.
b.
µ
2
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Quesito n. 2
(13 punti)
Si consideri il sistema mostrato in figura. Il corpo di massa M1 scivola senza attrito lungo un piano inclinato formante
θ
un angolo =30° rispetto all’orizzontale . La carrucola A dotata di massa M A è connessa alla massa M2 mediante la
M B . (Si consideri che la carrucola A si muove soltanto parallelamente al piano inclinato e, al
solito, le funi sono inestensibili e in condizione di non slittamento con le pulegge). Siano M 1 = 0.5 Kg ,
M 2 = 1Kg , M A = 0.2 Kg , M B = 0.4 Kg , R A = 10cm il raggio della carrucola A e RB = 12cm il raggio
carrucola B di massa
della carrucola B. Dopo aver risolto il problema proposto, si risponda alle seguenti domande:
MB ,RB
MA ,RA
k
M1
M2
1
θ
INIZIALMENTE NON SI CONSIDERI LA MOLLA
(Suggerimento: Applicando il metodo di d’Alembert la risoluzione è immediata, altrimenti si proceda in modo
tradizionale).
5) L’accelerazione della massa M1 :
a.
a1 = 0 ,73 m / s 2
b.
a1 = 8,97 m / s 2
(4 punti)
c. a1 = 2 ,24 m / s 2 (*)
d. a1 = 21,56 m / s 2
6) La tensione della fune T che insiste tra la massa M2 e la carrucola B: (2 punti)

 
  m2 − m A senϑ + m1senϑ  
2
 

a. T2 = m2 a 1 −

I AO
I BCM

m1 +
m
+
+
2 
2
2

16 RA
4 RB


  m2

 
− m A cos ϑ − m1 cos ϑ  
  2

b. T2 = m2 1 −

IA
IB
m

m1 + O 2 + CM2 + 2 
RB
4 
4 RA

3
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

 m2 m A

−
senϑ − m1 senϑ 

 1 2
2

c. T2 = m 2 g 1 −
I
I
 2 m1 + AO + BCM + m2
2
2

4
4RA
4 RB

  m2 m A

 
senϑ − m1senϑ  
−
2
  2

d. T2 = m2 g 1 −


IA
IB

m1 + O 2 + CM2 + m2 
4 RA
4 RB





 (*)



7) Il modulo della velocità di M2 dopo che essa sia scesa di un’altezza h=5 cm, ipotizzando che il sistema parta da
fermo: (3 punti)
a.
 m2

− m A cos ϑ − m1 cos ϑ  g

h 2

v2 =
I
I
m
2
A
B
m1 + O 2 + CM2 + 2
RB
4
4 RA
b.
m


 m2 − A senϑ + m1senϑ  g
2

v2 = 2 h 
I AO
I BCM
+
+ m2
m1 +
2
2
16 RA
4 RB
c.

 m2 m A
senϑ − m1 senϑ  g
−

2
2
 (*)
v2 = h 
I AO
I BCM
m
m1 +
+
+ 2
2
2
4
4R A
4 RB
d.
 m2 m A

−
senϑ − m1senϑ  g

2
2

v2 = h 
I AO
I BCM
m1 +
+
+ m2
2
2
4 RA
4 RB
8) Il momento di Inerzia della carrucola A rispetto all’asse istantaneo di rotazione: (1 punti)
a.
I AO = 11,54 Kg m 2
b.
I AO = 0 ,003 Kg m 2 (*)
c.
I AO = 0 ,973 Kg m 2
d.
I AO = 12 ,00 Kg m 2
4
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SI CONSIDERI ORA IL SISTEMA IN PRESENZA DELLA MOLLA DI COSTANTE ELASTICA K=5 N/m ,
SI CALCOLINO:
9) L’accelerazione a della massa M1 in presenza della molla: (2 punti)
a.
 M2

− M A cos ϑ − M 1 cos ϑ  g − k x

2

a=
I AO
I BCM M 2
+ 2 +
M1 +
4
RB
4R A 2
b.
M


 M 2 − A senϑ + M 1senϑ  g − k
2

a=
I AO
I BCM
M1 +
+
+ M2
16 R A 2 4 R B 2
c.
 M2 M A

−
senϑ − M 1senϑ  g − k x

2
2

(*)
a=
I AO
I BCM
M2
M1 +
+
+
4
4 R A 2 4 RB 2
d.
 M2 M A

−
senϑ − M 1 senϑ  g − k x 2

2
2

a=
I AO
I BCM
M1 +
+
+ M2
4R A 2 4RB 2
10) Il periodo di oscillazione del sistema: (1 punti)
T
T
c. T
d. T
a.
b.
= 2 ,63 s (*)
= 5 ,39 s
= 8 ,62 s
= 0 ,43 s
5
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Quesito n. 3 (6 punti)
Una sbarra rigida AB, di massa m e lunghezza L, può ruotare senza attriti
intorno ad una cerniera A fissata contro una parete. All’estremo B della
sbarra è fissata, con un filo ideale, una massa M. A vincolare il moto della
sbarra è un braccio rigido privo di massa che si inserisce nel punto D alla
distanza 2/3L della sbarra rispetto al punto A ed è legato ad una molla di
costante k disposta orizzontalmente all’interno
θ della parete. La sbarra AB
forma, pertanto, con la verticale, un angolo . (M = 0.4 kg, m = 0.3kg, k =
80 N/m, β = 25°, g = 9.8 m/s2)
Dopo aver risolto il problema proposto, si risponda alle seguenti domande:
B
D
L
11) Qual è la forza elastica Fel con la quale la molla deve opporsi alla
rotazione della sbarra per mantenere il sistema in equilibrio statico:
(3 punti)
a.
b.
c.
d.
β
M
Fel = 16,25 N
Fel = 2,60 N
Fel = 3.77 N (*)
Fel = 6,54 N
A
12) Determinare quanto vale l’elongazione della molla, necessaria ad erogare la forza
Fel calcolata in precedenza:
(1 punti)
a.
b.
c.
d.
∆x = kFel
2 Fel
k
Fel
∆x =
(*)
k
Fel
∆x =
k
∆x =
13) Sapendo che la forza massima erogabile dalla molla prima della rottura, vale
valore della massa M per cui si può avere equilibrio: (2 punti)
a.
M max =
2 Felmax
m
tgβ −
3 g
2
b.
M max =
3 Felmax 1
m
+
2 g tgβ 2
c.
M max =
2 Felmax 1
m
− (*)
3 g tgβ 2
d.
M max =
Felmax
tgβ − m
g
Felmax , calcolare il massimo
6
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k
Quesito n. 4
v
(14 punti)
Un cannone, posizionato ad una altezza h lancia,
orizzontalmente, mediante la compressione di una
molla, una palla di massa M . Si consideri che il moto
avviene nel campo gravitazionale e si trascuri l’attrito
dell’aria. Dopo aver risolto il problema proposto, si
risponda alle seguenti domande:
(M = 200g, h = 4.9m, d = 30m, g = 9.8m/ s2)
h
d
14) Quanto deve valere la velocità iniziale della palla se si vuole raggiungere la distanza d sulla orizzontale:
(3 punti)
a.
viniz = 300 m / s
b.
viniz = 120 m / s
c.
viniz = 30 m / s (*)
d.
viniz = 18 m / s
15) Si determini la costante elastica della molla k se la distanza l di cui la molla viene compressa nell’esplosione
vale 40 cm: (2 punti)
a.
b.
c.
d.
v
l2
v2
k = m 2 (*)
l
v
k =m
l
2
v
k= 2
l
k =m
16) Calcolare il modulo della velocità iniziale, che la palla deve avere se questa volta il cannone è inclinato di un
angolo pari a α = 30° rispetto all’orizzontale : (3 punti)
a.
viniz = 65,32 m / s
b.
viniz = 16.27 m / s (*)
c.
viniz = 12,14 m / s
d.
viniz = 21,67 m / s
17) Noto il modulo della velocità iniziale che la palla deve avere se il cannone ha un alzo pari a 30°, calcolare il
valore assoluto della compressione della molla necessaria ad erogare una tale velocità iniziale (2 punti)
a.
∆x =
b.
∆x =
m
v (*)
k
k
v
m
7
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c.
∆x =
d.
∆x =
m
k ⋅v
7m
v
2k
18) Se allo stesso istante in cui la palla viene esplosa orizzontalmente dal cannone una biglia viene lasciata cadere
lungo la verticale dalla stessa altezza h, quale delle seguenti affermazioni risulta corretta: (4 punti)
a.
b.
c.
d.
Quesito n. 5
Tocca terra per prima la palla di cannone;
Toccano terra insieme; (*)
Tocca terra prima la biglia;
L’esito della caduta dipende dalle peso della biglia;
(3 punti)
Si consideri un ambiente chiuso le cui dimensioni aono W = 5
m, L= 4 m, H = 3 m. La struttura è realizzata con pareti
intonacate, pavimento in marmo, e soffitto completamente
ricoperto di pannelli acustici. In una delle pareti vi è una
porta in legno di dimensioni 1,20 m x 2,20m. Dati i
coefficienti di assorbimento riportati in tabella :
Materiale
Intonaco su muro pieno
Marmo
Pannelli acustici
Porta in legno
Coefficiente d’assorbimento α
(500 Hz)
0,06
0,05
0,50
0,15
19) Determinare il tempo di riverbero T60 a 500Hz: (3 punti)
T60
b. T60
c. T60
d. T60
a.
= 0,66 s (*)
=1,04 s
= 0,23 s
= 2,51 s
Altre domande
20) L’asse z intorno a cui ruota un corpo rigido è un asse principale di inerzia del corpo. Con ovvio significato dei
r
r
r
simboli vale la relazione ( P =quantità di moto, L =momento angolare, M =momento della forza, E c =energia
r
r
cinetica, ω =velocità angolare, α =accelerazione angolare) (1 punti)
r
r dL
a. P =
dt
b. M = I z ω
c.
d.
EC = I z α2
r
r
L = I z ω (*)
8
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21) Due ruote uguali A e B hanno la stessa energia cinetica; A sta ruotando intorno ad un asse fisso passante per il
suo CM, B sta invece rotolando (puro rotolamento) su un piano (1 punti)
a. la ruota A ha velocità angolare maggiore di B (*)
b. la ruota B ha velocità angolare maggiore di A
c. le due ruote hanno velocità angolari uguali
d. le due ruote hanno velocità angolari nulle
22) Se la risultante di due vettori è nulla, i due vettori
a. sono uguali, ma hanno punto di applicazione diverso
b. hanno modulo e verso uguali, ma direzione diversa
c. hanno modulo e direzione uguali, ma verso opposto (*)
d. hanno verso e direzione uguali, ma modulo diverso
23) Un blocco scivola su un piano scabro. La forza di attrito compie (1 punti)
a. un lavoro nullo, se il piano è orizzontale
b. un lavoro positivo se il piano è inclinato e il blocco si muove verso il basso
c. un lavoro positivo se il piano è inclinato e il blocco si muove verso l’alto
d. un lavoro negativo, in tutti i casi (*)
24) In presenza di forze di attrito, l’energia meccanica di un sistema di particelle che evolve da una configurazione
iniziale A ad una configurazione finale B (1 punti)
a. rimane costante (E A = E B )
b. diminuisce (E A > E B ) (*)
c.
d.
aumenta (E A < E B )
raddoppia (E B = 2E A )
25) Una ruota omogenea ha massa M, raggio R e momento d’inerzia I rispetto all’asse passante per il suo CM. Se la
ruota compie un moto di puro rotolamento, con il CM che si sposta con velocità di modulo v CM , l’energia
cinetica della ruota risulta (2 punti)
1
2
a.
Mv CM
2
1 I 2
1
2
b.
v CM (*)
Mv CM
+
2 R2
2
1 I 2
c.
v CM
2 R2
1
1 2
2
d.
Mv CM
+ Iv CM
2
2
26) Dato un sistema di particelle, la variazione della sua energia cinetica è uguale (1 punti)
a. al lavoro delle forze interne
b. al lavoro delle forze esterne
c. al lavoro delle forze interne ed esterne (*)
d. alla variazione dell’energia cinetica del centro di massa
27) Il periodo di oscillazione di un pendolo semplice non dipende (1 punti)
a. dall’ampiezza dell’oscillazione (*)
b. dalla lunghezza del filo
c. dall’accelerazione di gravità
d. da nessuna delle precedenti
28) La figura rappresenta due carrucole di raggi r1 ed r2 collegate da una cinghia che non scivola su di esse. Se la
carrucola di raggio r1 ha accelerazione angolare α 1 , l’accelerazione angolare dell’altra carrucola vale (2 punti)
a.
α2 =
r2
α1
r1
r1
r2
9
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b.
α2 =
r1
α 1 (*)
r2
c.
α2 =
r1
α1
r1 + r2
d.
α2 =
r1 + r2
α1
r2
29) Su due corpi diversi agiscono forze uguali. Si può affermare che le accelerazioni prodotte sono (1 punti)
a. uguali
b. direttamente proporzionali alle masse
c. direttamente proporzionali al quadrato delle masse
d. inversamente proporzionali alle masse (*)
r
30) Un disco orizzontale gira intorno al proprio asse con velocità angolare costante ω . Ad un certo istante un
piccolo frammento di massa m cade verticalmente sul disco e si attacca alla superficie di esso. Il modulo della
velocità angolare del disco: (1 punti)
a. raddoppia
b. rimane invariato
c. diminuisce (*)
d. aumenta
m
31) Un punto materiale si muove di moto rettilineo lungo l’asse x con velocità v = kt con k = 2 2 e t in secondi.
s
Al tempo t = 0 s, il punto materiale si trova nella posizione x o = x (t = 0 ) = 10m ; al tempo t =2s il punto
materiale si trova nella posizione (1 punti)
a. x = 8m
b. x = 10m
c. x = 12m
d. x = 14m (*)
r r
32) Siano a e b due vettori e sia θ l’angolo tra di essi. Il modulo della somma vale (1 punti)
a.
a 2 + b 2 − 2ab cos θ
b.
a 2 + b 2 + 2ab cos θ (*)
c.
d.
a 2 + b2
a+b
Domande di Acustica
33) Quale e’ sbagliato ? (3 punti)
a. L w = 10 Log( W/ Wo )
b. L I = 10 Log( I / Io )
c. L p = 10 Log( P / Po ) (*)
d. Nessuno
34) Al fattore di direttivita’ Q=8 corrisponde una emissione in: (3 punti)
a. un semispazio
b. un quadrante
c. un sestante
d. un ottante (*)
35) La formula L p = LW + 10 Log (Q) − 20 Log ( r ) − 11 dB e’ valida: (3 punti)
a.
b.
c.
d.
in ambiente esterno (*)
in ambiente anecoico
in ambiente interno
e’ sbagliata
10
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36) Nell’acustica architettonica si usa prevelentemente la curva di ponderazione: (3 punti)
a. A (*)
b. B
c. C
d. D
37) Il tempo di riverbero, secondo Sabine, e’ pari a: (3 punti)
a. T=0.16 Vol / Assorb (*)
b. T=0.16 Assorb / Vol
c. T=0.16 Vol^2 / Riflessione
d. nessuna delle precedenti
38) La formula L p = LW + 10 Log (
a.
b.
c.
d.
4
Q
) e’ valida: (3 punti)
+
2
RL
4π r
in ambiente esterno
in ambiente anecoico
in ambiente interno (*)
e’ sbagliata
39) L’intensita’ sonora e’ proporzionale a: (3 punti)
a. pressione
b. quadrato della pressione (*)
c. campo elettrostatico
d. cubo della potenza
40) Per la presenza di componenti tonali in una emissione sonora la normativa prevede una penalizzazione del
livello di pressione di: (3 punti)
a. - 3 dBC
b. +3 dBA (*)
c. +5 dB
d. 0 dBA
41) Le curve isofoniche evidenziano una maggiore sensibilita’ dell’orecchio umano nell’intervallo: (3 punti)
a. 2-20 Hz
b. 100-500 Hz
c. 2- 5 KHz (*)
d. 15- 20 KHz
42) Ricordando che i valori di riferimento sono: p0 = 20 µPa = 2 × 10-5 Pa, I0 = 10-12 W/m2 , quanto vale il livello
di intensita’ sonora corrispondente ad una intensita’ di 1 W/m2 ?. (3 punti)
a. 10 dB
b. 100 dB
c. 120 dB (*)
d. 12 dB
11
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SOLUZIONI
Quesito n. 1
Il problema in oggetto è facilmente risolvibile per mezzo della seconda legge di Newton e della legge di conservazione
dell’energia. Si noti che in relazione alla simmetria del problema, ai fini della risoluzione, si può sempre adottare un
sistema di coordinate unidimensionale. Nel suo moto lungo la guida il motociclista è soggetto alla forza peso mg sempre
diretta verso il basso ed alla reazione vincolare della guida, diretta radialmente. Nel punto A le due forze hanno stessa
direzione e stesso verso.
Questo esercizio è caratterizzato dal dover tenere in debito conto la proprietà per la quale il motociclista rimane in
contatto con la guida mentre percorre il giro della morte. La velocità minima che permette una tale configurazione è
quella per la quale nel punto A l’accelerazione centripeta sia almeno uguale all’accelerazione di gravità. E’ evidente
che in tale ipotesi la reazione vincolare della guida nel punto A risulti nulla e questo soddisfa la richiesta del primo
quesito. Pertanto:
v A2
=g,
R
da cui segue la risposta alla seconda domanda:
v A = ( gR)1 / 2 = 7 m/s.
Ora, dopo aver compiuto il giro della guida il motociclista sale lungo la guida fino ad una certa quota H che dipende
dalla velocità con la quale ha percorso il cammino precedente. Siccome ci troviamo in assenza di forze esterne il moto è
compiuto in regime di conservazione dell’energia meccanica. Allo scopo di calcolare l’altezza massima H cui il corpo
può giungere utilizziamo quindi il principio di conservazione dell’energia tra A e B. Si ha:
1 2
mv A + mgh A = mgH .
2
Esplicitando la quota del punto A in termini del raggio ed introducendo il valore di
ha:
H=
v A calcolato precedentemente, si
v A2 / 2 + 2 gR R
5
= + 2 R = R =12.5 m
2
2
g
Una volta raggiunto il punto B, il motociclista incontra un piano inclinato senza attrito; lungo questo piano il moto si
svolge, di nuovo, in regime di conservazione dell’energia meccanica. Infine, raggiunto il punto C prosegue il suo moto
su un piano orizzontale scabro dove a causa della forza di attrito si ferma dopo una certa distanza D. E’ evidente che
una volta giunto nel punto C con energia cinetica pari all’energia potenziale in B (mgH,) il sistema inizi un moto contro
la forza d’attrito che cessa quando ha completamente dissipato l’energia a causa della forza esterna non conservativa.
La distanza D percorsa durante tale moto sarà quindi calcolabile considerando il lavoro compiuto dalla forza di attrito
( N = mg) e lo si eguaglierà all’energia disponibile in C (Teorema delle forze vive). Pertanto:
mgH (energia posseduta in B che si conserva in C) = Fattrito D =
mgD
e quindi
D=
H
µ
=250 m,
che risolve il quarto quesito.
12
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Quesito n. 2
MB ,RB
MA ,RA
M1
k
M2
1
β
Risoluzione con il Principio di d’Alembert
Dopo aver scelto la direzione di evoluzione del sistema (come indicato in figura) e aver fatto le opportune
considerazioni sull’eguale e opposto contributo al lavoro apportato delle forze interne si può scrivere rapidamente la
relazione che lega i lavori compiuti dalle forze esterne al lavoro delle forze inerziali:
− P1x dx1 − PAx dx A + P2 dx 2 = m1 a1 dx1 + I AO α AO dβ AO + I BCM α BCM dβ BCM + m2 a 2 dx 2
Si individuano a tal punto i legami tra i differenti spostamenti, e si portano tutti in funzione di dx1 :
dx1 = dx
a1 = a
dx 2 =
dx
2
dβ AO =
dx
2R A
a2 =
a
2
α AO =
a
2R A

 m2 m A
senϑ − m1senϑ  g =
−

2

 2
dβ BCM =
dx
2RB
α BCM =
dx A =
dx
2
a
2RB

I AO
I BCM
m2 
 m1 +
+
+
a

(2 RA )2 (2 RB )2 4 

Da cui si giunge a:

 m2 m A
 1 0,2 1 0,5 
−
senϑ − m1 senϑ  g
−

 −
9,8
2
2
2 2 2 2 



=
= 2,24 m / s 2
a=
I AO
I BCM
0,003
0.03
1
m2
+
+
0,5 +
+
+
m1 +
(0,2)2 (0,24)2 4
(2 R A )2 (2 RB )2 4
Scrivendo l’equazione di Newton per la massa 2 ricaviamo subito la tensione del filo tra la massa 2 e la carrucola B:
13
ING. EDILE E ARCHITETTURA
P2 − T2 = m 2 a 2


 1
T2 = m2 g 1 −
2



⇒ T2 = m 2 (g − a 2 )

 m2 m A
senϑ − m1 senϑ 
−

2

 2
I AO
I BCM

m
 m1 +
+
+ 2
2
2

(2 R A ) (2 RB ) 4




= 8,68 N




Il momento d’inerzia del cilindro A rispetto all’asse passante per il punto O si ottiene applicando il teorema di
Huygens-Steiner :
I AO =
1
3
m A R A2 + m A R A2 = m A R A2 = 0,003 Kg m2
2
2
La velocità che la massa 2 raggiunge dopo aver percorso un tratto di altezza h è ricavata applicando la formula della
cinematica relativa al moto uniformemente accelerato che lega il quadrato della velocità allo spazio:
a
v 22 = v 220 + 2 a 2 (x h − x0 ) ⇒ v 2 = 2 h =0,33 m/s
2
ed infine

 m2 m A
senϑ − m1 senϑ  g
−

2
2
 =0,33 m/s
v2 = h 
I AO
I BCM
m
m1 +
+
+ 2
2
2
(2 R A ) (2 RB ) 4
In presenza della molla bisogna aggiungere semplicemente il lavoro compiuto dalla forza elastica:
− P1x dx − PAx
a dx
a dx
dx
dx
a dx
+ P2
− k dx = m1 a dx + I AO
+ I BCM
+ m2
2
2
2 RA 2 RA
2 R B 2 RB
2 2
Da cui otteniamo:

 m2 m A
senϑ − m1 senϑ  g − k x
−

2
2

a=
I AO
I BCM
m
m1 +
+
+ 2
2
2
(2 R A ) (2 RB ) 4
Il periodo di oscillazione del sistema è
14
ING. EDILE E ARCHITETTURA
T=
1 2π
µ
=
= 2π
f
K
ω
m1 +
⇒
T = 2π
I AO
(2 R A )
2
I BCM
+
2
(2 RB )
k
+
m2
4
= 2,63 s
Il problema poteva anche essere risolto con Newton accrescendo leggermente la difficoltà:
 P2 − T2 = m2 a 2
T R − T R = I
A A
BCM α B
 2 B

T A R A − T1 2 R A − P2 x R A = I AO α A
T − P = m a
1 1
 1 1x
Ricordando le relazioni tra le accelerazioni e calcolando tutto rispetto all’accelerazione del corpo 1
a1 = a
a2 =
a
2
α AO =
a
2RA
α BCM =
a
2 RB
a

 P2 − T2 = m2 2

a
T R − T R = I
A A
BCM
 2 B
2 RB


a
TA RA − T1 2 RA − PAx RA = I AO
2 RA

T1 − P1x = m1 a

Risolvendo il sistema precedente si giunge al medesimo risultato.
Quesito n. 3
Il problema in oggetto può essere risolto con le equazioni della dinamica dei
sistemi rigidi. In particolare per il calcolo della configurazione di equilibrio
ci si può riferire alla seconda equazione cardinale con polo nel punto A. Nel
caso specifico detta Fel la forza elastica che la molla esercita sul braccio
rigido ancorato al punto D, e considerando come positivi i momenti che
tendono a far ruotare la sbarra in senso antiorario, la seconda equazione
cardinale nel caso di statica del sistema si scrive come:
B
Fel
− LTB sin(π − β ) −
L
mg sin(π − β ) + d ⋅ Fel sin α = 0 .
2
Ora ricordando che TB = Mg , d = 2 / 3L , e notando che
α=
D
TB
L
π
2
β
+ β si
mg
M
ottiene
− LMg sin β −
L
2
mg sin β + L ⋅ Fel cos β = 0
2
3
A
15
ING. EDILE E ARCHITETTURA
e in definitiva
Fel =
m
3
( M + ) g ⋅ tgβ = 3.77 N.
2
2
Il calcolo della elongazione della molla può essere fatta considerando la relazione Fel = − k∆x , per cui si avrà
∆x =
Fel
= 0.04 m.
k
Il massimo valore M max della massa M sopportabile dal sistema è quello per cui la forza elastica raggiunge il suo
max
massimo carico in relazione al carico di rottura Fel
soluzione sarà data da
M max =
. Quindi riferendosi di nuovo alla seconda equazione cardinale la
2 Felmax 1
m
− .
3 g tgβ 2
Quesito n. 4
Il problema considerato rappresenta un tipico caso di moto del proiettile.
k
vy
=30°
v
y
k
vx
v
h
x
d
Considerato un sistema di assi coordinati, come in figura il moto del proiettile essere scisso lungo le due direzioni
coordinate, risultando descritto dalle due equazioni:
x = vt ,
1
y = − gt 2 + h .
2
Si noti che per come si sono considerati gli assi coordinati la palla di cannone muove dallo zero della coordinate lungo
l’asse x mentre ha una altezza iniziale non nulla e pari ad h lungo y. Allo scopo di ricavare la velocità iniziale,
necessaria per percorrere il tratto d fino a colpire l’esercito nemico, basta combinare le due precedenti come se si
volesse ricavare la legge oraria
1 x2
y =− g 2 +h
2 v
16
ING. EDILE E ARCHITETTURA
e risolvere in termini della variabile v quando la distanza percorsa vale esattamente x = d e la quota invece y = 0:
v=
gd 2
= 30m/s.
2h
Il calcolo della costante della molla può essere fatto a partire dalla legge di conservazione dell’energia. Infatti, non
essendovi in gioco forze esterne e rappresentando il sistema palla di cannone – molla un sistema regolato da sole forze
interne, la dinamica esplosiva avrà luogo conservando l’energia meccanica. In ragione di ciò si possono eguagliare
l’energia potenziale della molla, che è determinata in maniera quadratica dalla sua elongazione, e l’energia cinetica
posseduta dalla palla di cannone subito dopo l’esplosione:
1 2 1 2
kl = mv ,
2
2
da cui, in maniera diretta, si ha:
k =m
v2
=1125 N/m.
l2
Il terzo quesito propone di calcolare la velocità iniziale necessaria alla palla per raggiungere lo schieramento nemico
qualora il cannone venga inclinato di 30°. Come per la prima domanda bisognerà rifarsi allo studio del moto del
proiettile in due dimensioni. Tuttavia, in questo caso, la velocità iniziale avrà componenti sia lungo l’asse x che lungo
l’asse z. Le equazioni del moto lungo le due componenti saranno:
x = vxt ,
1
y = − gt 2 + v y t + h
2
dove v x = v cos α e v y = v sin α dove v è il modulo della velocità diretta come in figura. Ricavando di nuovo il
tempo dalla prima relazione e sostituendo le espressioni per la velocità calcolate in termini del modulo e dell’alzo del
cannone si ha
2
1  x 
 x 
y = − g
 + v sin α 
+h,
2  v cos α 
 v cos α 
che valutata nuovamente quando x= d e y = 0, ricavando v, permette di trovare la soluzione alla terza domanda:
v=
1
gd 2
=16,27 m/s
2 (h + d ⋅ tgα ) cos 2 α
Nel caso della quarta richiesta del problema, si può procedere di nuovo con la conservazione dell’energia. Noto il
modulo della velocità che la palla deve avere quando il cannone è inclinato di 30°, possiamo calcolare la compressione
della molla necessaria a raggiungere questa velocità utilizzando il valore della costante elastica ottenuta nel calcolo
precedente. Quindi, sarà di nuovo:
1 2 1 2
kl = mv
2
2
ma questa volta sarà necessario invertire questa relazione per calcolare l, pertanto
17
ING. EDILE E ARCHITETTURA
| l |=
m
v = 0.2 m.
k
Da notare che l’equazione precedente ha in realtà due soluzioni, una con segno positivo ed una con segno negativo. Ciò
r
r
è perfettamente in accordo con la legge di Hooke F = − k ⋅ ∆x secondo cui la forza elastica prodotta da una molla ha
r
direzione opposta della sua compressione ∆x , cosicché, se si vuole una forza respingente bisogna comprimerla, mentre
se si desidera una forza attrattiva bisogna elongarla. Nel caso specifico, poiché vogliamo una forza esplosiva
bisognerebbe considerare la soluzione con il segno negativo.
La quinta domanda è una domanda concettuale di facile soluzione. Come è noto sin dagli esperimenti di Galileo il moto
dei gravi soggetti alla pura accelerazione gravitazionale, quindi in caduta libera, nel vuoto non dipende dalla loro massa,
né dalla loro forma pertanto la palla di cannone e la biglia arriveranno allo stesso tempo alla quota zero.
Quesito n. 5
La risoluzione del problema consiste nella applicazione della formula di Sabine :
Tr60 = 0,16
V
n
∑α S
i
i
i =1
Per cui vanno calcolati prima il volume della stanza e i Sabine metrici,
dopodiché si ricava il tempo di riverbero.
V = W ⋅ L ⋅ H = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 m 3
Le superfici della porta e delle pareti laterali sono:
S po = 1,20 ⋅ 2,20 = 2,64 m 2
S pa = 2(W + L )H − S po = 2(5 + 4 ) ⋅ 3 − 2,64 = 51,36 m 2
La superficie del pavimento e del soffitto sono
S pv = S so = W ⋅ L = 5 ⋅ 4 = 20 m 2
Per cui possiamo calcolare i Sabine metrici:
A po = α po S po = 0,15 ⋅ 2,64 = 0,40 m 2
A pa = α pa S pa = 0,06 ⋅ 51,36 = 3,08 m 2
A pv = α pv S pv = 0,05 ⋅ 20 = 1 m 2
Aso = α so S so = 0,50 ⋅ 20 = 10 m 2
Infine si calcola il tempo di riverbero con la formula succitata
18