Maturit`a 2010, prova di Matematica, problema 1, corso ordinario 1

Maturità 2010, prova di Matematica, problema 1, corso ordinario
1) Ponendo y il raggio di λ deve essere, vista la configurazione geometrica delle
circonferenze e applicando il Teorema di Pitagora,
(x + y)2 = (1 − x)2 + (1 − y)2
da cui facilmente si ha y =
1−x
1+x .
2) Studiamo la funzione f (x) =
cambiamento di riferimento
1−x
1+x
per ogni x ∈ R con x 6= −1. Effettuando il
X = 1 + x,
Y =1+y
l’equazione di f diventa
2
X
che ha come grafico l’iperbole equilatera di equazione XY = 2. Ne segue che il
grafico di f è dato da
Y =
5
2,5
-10
-7,5
-5
-2,5
0
2,5
5
7,5
10
-2,5
-5
La funzione f è invertibile, essendo iniettiva; da XY = 2 si trova X =
restituisce
1−y
x=
1+y
2
Y
che
che ha come grafico lo stesso grafico di f : infatti il grafico di f è simmetrico
rispetto alla retta y = x.
3) La retta tangente al grafico di g nel punto R = (0, 1) è data da
y − 1 = g 0 (0)x = −2x
da cui y = 1 − 2x. Nel punto S = (1, 0) la funzione g non è derivabile, come si
evince facilmente dal suo grafico dato da
1
5
2,5
-10
-7,5
-5
-2,5
0
2,5
5
7,5
10
-2,5
-5
Più precisamente si ha, dal momento che f 0 (1) = − 21 6= 0,
0
0
g−
(1) = f 0 (1) 6= −f 0 (1) = g+
(1)
Ne segue che la retta tangente al grafico di g nel punto S non esiste.
4) L’aera del triangolo mistilineo ROS è data da
Z
AROS =
1
Z
1
f (x) dx =
0
0
1−x
dx =
1+x
Z
1
2
= (2 log t − t)1 = 2 log 2 − 1.
2
2
2−t
dt =
t