Sia f = f(x, y) : A → R, dove A `e un aperto di R 2, una funzione

Sia f = f (x, y) : A → R, dove A è un aperto di R2 , una funzione differenziabile in
(x0 , y0 ) ∈ A.
Il piano tangente al grafico della funzione nel punto (x0 , y0 , z0 ), dove z0 = f (x0 , y0 ) (si
calcola a partire da x0 , y0 ), è il piano in R3 di equazione
z − z0 = fx (x0 , y0 ) (x − x0 ) + fy (x0 , y0 ) (y − y0 )
1. Calcolare insieme di definizione A e di derivabilità B e calcolare il gradiente in B
delle seguenti funzioni (importanti per il seguito)
a) f (x, y) = arctan( xy ) ( A ⊆ R2 ; dire a parole cosa è questa funzione)
p
b) f (x) = f (x1 , . . . , xN ) = (x1 )2 + · · · + (xN )2 ( A ⊆ RN ; dire a parole il nome
di questa funzione e scrivere il gradiente in termini di questo nome . . . )
hp
i
2. Calcolare le derivate parziali della funzione f (x, y) = arctan
1 + x2 y 4 , x, y ∈ R,
dire se la funzione è differenziabile in R2 , e scrivere l’ equazione del piano tangente
al grafico della funzione nel punto (x0 , y0 , z0 ), dove x0 = 0, y0 = 0, z0 = f (x0 , y0 )
2
3. Data la funzione di due variabili f (x, y) = ex arctan(y 2 ) calcolare il gradiente in
un punto generico (x, y) ∈ R2 , verificare che è differenziabile in R2 , e scrivere l’
equazione del piano tangente al grafico della funzione nel punto (x0 , y0 , z0 ), dove
x0 = 0, y0 = 1, z0 = f (x0 , y0 )
p
2
4. Data la funzione di due variabili f (x, y) = ex−y + 1 + x2 + y 4 calcolare il gradiente
in un punto generico (x, y) ∈ R2 , dire se è differenziabile in R2 , e calcolare la derivata
−1
di f nella direzione v = ( √12 , √
) nel punto (1, 1). Scrivere poi l’ equazione del
2
piano tangente al grafico della funzione nel punto (x0 , y0 , z0 ), dove x0 = 1, y0 = 1,
z0 = f (x0 , y0 )
√
5. Data la funzione di due variabili : f (x, y) = arctan[ y log(x) ] trovare l’ insieme di
definizione A, discutere la derivabilità nei punti di A e calcolare le derivate parziali
di f
6. Data la funzione di due variabili f (x, y) = (x y)log(x y) , x > 0, y > 0, calcolare
il gradiente in un punto generico (x, y) con x > 0, y > 0 e dire se la funzione è
differenziabile in ogni punto (x, y) con x > 0, y > 0
2 2
x y
7. Data la funzione di due variabili: f (x, y) = arcsin( 1+x
2 y 2 ) trovare il dominio D e l’
immagine I della funzione, verificare che esistono le derivate parziali in ogni punto
di D e calcolarle, dire se f è differenziabile in D motivando la risposta.
(
xy
se (x, y) 6= (0, 0)
2
2
8. Data la funzione di due variabili f (x, y) = x +y
, motivando le
0
se (x, y) = (0, 0)
risposte dire
1
a) se f è continua in (0, 0)
b) se esistono le derivate parziali in (0, 0)
c) se esistono le derivate direzionali in (0, 0) secondo una direzione generica v =
(v1 , v2 ) e in caso affermativo calcolarle
d) se la funzione è differenziabile in (0, 0)
(
9. Come l’ esercizio precedente per la funzione f (x, y) =
10. Come l’ esercizio precedente per la funzione f (x, y) =
1
x2 y
x2 +y 2
0
( 2
x y2
x2 +y 2
0
se (x, y) 6= (0, 0)
se (x, y) = (0, 0)
se (x, y) 6= (0, 0)
.
se (x, y) = (0, 0)
2
Dire inoltre se la funzione è di classe C (R ).
11. Generalizzare gli esercizi precedenti e trovare condizioni necessarie e sufficienti per
continuità,(esistenza delle derivate direzionali e differenziabilità di funzioni del tipo
|x|α |y|β
se (x, y) 6= (0, 0)
γ
f (x, y) = (x2 +y2 ) 2
, con α , β , γ > 0.
0
se (x, y) = (0, 0)
[ Usando le coordinate polari (prima in negativo, e poi in positivo con una maggiorazione indipendente dall’ angolo ϑ) si vede che è continua se e solo se α + β > γ.
Esistono tutte le derivate direzionali se e solo se α + β > γ + 1;∗ esse sono tutte nulle
e per la formula del gradiente, essendo ora il gradiente nullo, la condizione necessaria
di differenziabilità è verificata.
In questo esercizio è anche sufficiente, usando per il limite che definisce il differenziale
una maggiorazione in coordinate polari . . .
∗
Osservazione. Se gli esponenti sono naturali e facciamo scomparire i moduli, cioè
α β
se la funzione è definita fuori dall’ origine come f (x, y) = (x2x+yy2 )γ 0 (che corrisponde
nell’ esempio precedente a γ = 2γ 0 ) con α, β, γ 0 ∈ N, allora esistono tutte le derivate
direzionali (ma non sono tutte nulle e quindi la funzione non è differenziabile essendo
invece le derivate parziali nulle) anche se α + β = γ + 1 = 2γ 0 + 1, ed esse sono date
∂f
(0, 0) = v1α v2β se v = (v1 , v2 ) è una direzione. ]
da ∂v
( 2
x y
se (x, y) 6= (0, 0)
x4 +y 2
12. Data la funzione di due variabili f (x, y) =
, motivando le
0
se (x, y) = (0, 0)
risposte dire
a) se f è continua in (0, 0)
b) se esistono le derivate parziali in (0, 0)
c) se esistono le derivate direzionali in (0, 0) secondo una direzione generica v =
(v1 , v2 ) e in caso affermativo calcolarle
d) se la funzione è differenziabile in (0, 0)
2
[ a) No, il limite in coordinate polari è nullo lungo ogni retta passante per l’
origine, ma lungo la parabola y = x2 vale 21 . b) Sı̀ e sono(nulle, essendo la funzione
v12
v2
se v2 6= 0
. d) No,
0
se v2 = 0
per verifica diretta o per quanto visto in precedenza, perché non vale l’ eguaglianza
∂f
(x, y) = ∇f (x, y) · v . ]
∂v
nulla sugli assi.
c) Sı̀,
∂f
(x, y)
∂v
=
t2 v12 tv2
limt→0 1t t4 v4 +t
2 v2
1
2
=
13. Data la funzione di due variabili f (x, y) = |xy| , motivando le risposte,
a) dire in quali punti esiste la derivata parziale fx e calcolarla in tali punti
b) dire in quali punti esiste la derivata parziale fy e calcolarla in tali punti
c) dire in quali punti la funzione è differenziabile
[ Nei punti (x, y) con x 6= 0 , y 6= 0 le derivate parziali esistono continue, quindi la
y
x
, fy (x, y) = |x| |y|
.
funzione è ivi differenziabile, e i loro valori sono fx (x, y) = |y| |x|
Nei punti con x = 0, y 6= 0 non esiste la derivata parziale fx mentre fy = 0; nei
punti con y = 0, x 6= 0 non esiste la derivata parziale fy mentre fx = 0; in ogni
caso in questi punti la funzione non è differenziabile. Nel punto (0, 0) le derivate
parziali esistono e sono nulle (la funzione è nulla sugli assi) e inoltre la funzione è
differenziabile . . . ]
Verifica guidata di alcune disuguaglianze notevoli
1. Dimostrare che se x, y ≥ 0 valgono le seguenti disuguaglianze per p > 0, p 6= 1:
xp + y p ≤ (x + y)p ≤ 2p−1 (xp + y p )
(x + y)p ≤ xp + y p ≤ 21−p (x + y)p
se p > 1
se 0 < p < 1
[ Ovvie se x = 0 oppure y = 0, in caso contrario dividendo per (x + y)p e ponendo
y
x
, e quindi 1 − t = x+y
, ci si riconduce allo studio in [0, 1] della funzione
t = x+y
p
p
g(t) = t + (1 − t) , che in [0, 1] ha max = . . . min = . . . ]
2. Disuguaglianza di Young 1 Dimostrare che
xλ y 1−λ ≤ λx + (1 − λ)y
se x, y ≥ 0 , 0 < λ < 1
[ se y = 0 non c’ è nulla da dimostrare, altrimenti dividendo per y > 0 e ponendo
t = xy si deve dimostrare che g(t) = tλ − λt ≤ 1 − λ per t ≥ 0 e studiando la funzione
g(t) si osserva che ha massimo assoluto per t = 1 . . . ]
p
3. Disuguaglianza di Young 2 Se p > 1 e p0 = p−1
, essi verificano l’ uguaglianza
1
1
0
+ p0 = 1 e si dice che p e p sono esponenti coniugati.
p
p
1
Si noti che (p0 )0 = p, h(p) = p0 = p−1
= 1 + p−1
è una funzione decrescente, p0 → +∞
se p → 1+ , p0 → 1 se p → +∞, 20 = 2 (quindi 1 < p < 2 se e solo se p0 > 2).
3
Dimostrare che la disuguaglianza elementare a b ≤ 12 (a2 + b2 ) ( che equivale a
(a − b)2 ≥ 0 ) si generalizza nella seguente disuguaglianza di Young
0
ap b p
+ 0
ab ≤
p
p
se a, b ≥ 0 , p > 1 , p0 =
p
p−1
e più in generale se ε > 0 si ha che
0
ab ≤ ε
ap
1 1 bp
+ ( ) p−1 0
p
ε
p
0
[ ponendo x = ap , y = bp , λ = p1 , e quindi 1 − λ =
1
p
1
p
1
p0
nella precedente disuguaglianza
. . . scrivendo poi a b = [a ε ] [b ( 1ε ) ] in questa disuguaglianza . . . ]
4