SUPERFICI DI RIEMANN

SUPERFICI DI RIEMANN
(terza parte)
anno acc. 2008/2009
Cristina Turrini
SUPERFICI DI RIEMANN
Sia C = V(F) ⊂ P2 una curva algebrica piana non singolare, con
F(z0 , z1 , z2 ) polinomio omogeneo di grado d. Supponiamo che il
sistema di riferimento sia stato scelto in modo che (0 : 0 : 1) non
appartenga a C e che la retta z0 = 0 non sia tangente a C. Passando in
coordinate affini z = z1 /z0 e w = z2 /z0 , le ipotesi fatte dicono che C
non passa per W∞ e che la retta impropria non è tangente a C.
Consideriamo la proiezione di C da W∞ sull’asse z, π : C → P1 ,
definita da π(z0 : z1 : z2 ) = (z0 : z1 ), ovvero per i punti al finito
π(z, w) = z, mentre tutti i punti impropri vengono mandati in ∞. π è
un’applicazione olomorfa non costante di grado d, infatti la fibra
generica contiene d punti nessuno dei quali è improprio, perchè W∞
non appartiene a C.
Abbiamo visto che al finito la ramificazione di π si ha in
corrispondenza dei punti con tangente parallela all’asse w. Tali rette
possono essere tangenti solo al finito perchè W∞ non appartiene a C.
Inoltre ∞ non è di diramazione perchè la retta impropria non è
tangente a C.
Cristina Turrini
SUPERFICI DI RIEMANN
Ne segue che Rπ è tutto al finito.
Abbiamo visto che p ∈ Rπ se e solo se, indicata con f la
(z,w)
deomogenizzazione di F, ∂f ∂w
(p) = 0.
Quindi rπ = d(d − 1).
La formula di Riemann Hurwitz in questo caso diviene
2 − 2g(C) = 2d − d(d − 1), da cui si ricava la formula di Clebsch
g=
(d − 1)(d − 2)
.
2
Cristina Turrini
SUPERFICI DI RIEMANN
Applicazioni olomorfe tra tori complessi
Abbiamo visto che un toro complesso è un quoziente C/Λ con Λ ⊂ C
reticolo e che la struttura complessa su C/Λ è data dalle carte
ϕ = π|−1 inverse locali della proiezione naturale π : C → C/Λ.
Siano ora X = C/Λ, e Y = C/Λ0 , due tori complessi.
OSSERVAZIONE - Se f : X → Y è olomorfa e non costante, allora f
è un rivestimento non ramificato, infatti
g(X) = g(Y) = 1
⇒
rf = 0.
Sia dunque f olomorfa e non
costante. La composizione f ◦ π
è un rivestimento topologico (f e
π lo sono). Lo stesso vale per π 0 .
Cristina Turrini
SUPERFICI DI RIEMANN
Sia f ◦ π : C → Y che π 0 : C → Y sono
rivestimenti universali di Y. Per la
proprietà dei rivestimeni universali
f ◦ π : C → Y e π 0 : C → Y sono
isomorfi come rivestimenti, cioè esiste
F : C → C che fa commutare il
diagramma.
Inoltre F è olomorfa (anzi biolomorfa)
perchè lo è f infatti il fatto che f sia
olomorfa vuol dire che lo è ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ,
ove ψ e ϕ sono inverse locali di π 0 e π
rispettivamente. E, a meno di traslazioni,
si ha F = ψ ◦ f ◦ ϕ−1 (segue da
π 0 ◦ F = f ◦ π).
Cristina Turrini
SUPERFICI DI RIEMANN
Il fatto che F passi ai quozienti dice che, se Λ =< w1 , w2 > e
Λ0 =< w01 , w02 >, si ha
(?)F(z+w1 ) = F(z)+α1,1 w01 +α1,2 w02 ,
F(z+w2 ) = F(z)+α2,1 w01 +α2,2 w02
con αi,j ∈ Z.
Derivando si ottiene
F 0 (z + w1 ) = F 0 (z) F 0 (z + w2 ) = F 0 (z).
Pertanto F 0 : C → C passa al quoziente
modulo Λ e definisce un’applicazione
olomorfa Fe0 : C/Λ → C. Ma
O(C/Λ) = C (C/Λ è compatto). Quindi
Fe0 è costante e pertanto anche F 0 lo è.
Sia F 0 = a. Si ha F(z) = az + b.
Cristina Turrini
SUPERFICI DI RIEMANN
Sostituendo z = 0 nelle (?) si ottiene
F(w1 ) = F(0) + α1,1 w01 + α1,2 w02 ,
F(w2 ) = F(0) + α2,1 w01 + α2,2 w02 .
Ricordando che F(z) = az + b, si ricava
aw1 = α1,1 w01 + α1,2 w02 ,
aw2 = α2,1 w01 + α2,2 w02 .
Pertanto aw1 , aw2 ∈ Λ0 , e quindi aΛ ⊂ Λ0 .
Riassumendo, si ha
TEOREMA - Ogni applicazione olomorfa f : C/Λ → C/Λ0 tra tori
complessi è indotta da un’applicazione : C → C del tipo z 7→ az + b,
con a tale che aΛ ⊂ Λ0 , con a, b ∈ C.
OSSERVAZIONE - In particolare, se Λ e Λ0 sono reticoli tali che non
esiste a ∈ C∗ con aΛ ⊂ Λ0 , allora non esiste alcuna applicazione
olomorfa non costante f : C/Λ → C/Λ0 . Pertanto esistono infiniti tori
complessi non biolomorfi tra loro, cioè sul toro esistono infinite
strutture complesse non equivalenti.
Cristina Turrini
SUPERFICI DI RIEMANN
Divisori e gruppi di Picard
D’ora in poi X denoterà sempre una superficie di Riemann compatta.
Un divisore su X è un elemento D del gruppo abeliano libero Div(X)
generato
P dai punti di X, ovvero D è una somma formale
D = p∈X np p, ove np ∈ Z, np = 0 salvo che per un numero finito di
punti p. L’operazione
di somma
P
P
P in Div(X) è definita così
p∈X np p +
p∈X mp p =
p∈X (np + mp )p.
Sia f ∈ M(X)∗ = M(X) \ {0} una funzione meromorfa non
identicamente nulla. Avevamo associato ad f in p ∈ X un intero νp (f )
e precisamente
νp (f ) = h > 0, se f ha uno zero di ordine h in p,
νp (f ) = −k < 0, se f ha uno polo di ordine k in p,
νp (f ) = 0, altrimenti.
Associamo ora ad
Pf un divisore, il divisore della funzione meromorfa
f , ovvero (f ) = p∈X νp (f )p ∈ Div(X).
Si noti che la definizione di (f ) ha senso dal momento che f ha solo
un numero finito di zeri e poli.
Cristina Turrini
SUPERFICI DI RIEMANN
Si ottiene così un omomorfismo di gruppi
δ : (M(X)∗ , ·) → (Div(X), +),
f 7→ (f ).
∗ si ha
Infatti, per
P f , g ∈ M(X) P
δ(fg) = p∈X νp (fg)p = p∈X (νp (f ) + νp (g))p = δ(f ) + δ(g).
OSSERVAZIONE - Si ha ker(δ) = C∗ .
Infatti se f ∈ ker(δ) allora δ(f ) = 0, cioè f non ha zeri e nemmeno
poli, quindi f ∈ O(X)∗ = C∗ .
Viceversa, ovviamente δ(cost) = 0.
ESEMPI (di funzioni meromorfe su P1 e relativi divisori)
1) f (z) = z, z = z1 /z0 , δ(f ) = 1[0] − 1[∞] (con [−] si
denota il punto di P1 .)
Q
P
2) f (z) = i=1,...,k (z − ai )ni ∈ C[z], con ni = d.
Q
ni
P
δ(f ) = ni [ai ] − d[∞] (per un polinomio
f (z) = (z1z−ad ,i z0 )
0
di grado d ∞ è un polo di ordine d.)
Cristina Turrini
SUPERFICI DI RIEMANN
Q
(z−ai )
Qi=1,...,k
.
j=1,...,h (z−bj)
P
P
3) f (z) =
Posto n = ni , m = mj , si ha
P
P
δ(f ) = ni [ai ] − mj [bj ] + (m − n)[∞]
Il divisore di una funzione meromorfa viene detto divisore principale.
L’insieme dei divisori principali è P(X) = δ(M(X)∗ ) ' M(X)∗ /C∗ .
Due divisori D1 e D2 si dicono linearmente equivalenti se
D1 − D2 ∈ P(X), ovvero se differiscono per una funzione meromorfa.
Il gruppo quoziente Pic(X) = Div(X)/P(X) viene detto gruppo di
Picard di X.
P
Dato un divisore
D = np p, si dice grado di D l’intero
P
deg(D) = np .
L’applicazione deg : Div(X) → Z è un omomorfismo suriettivo.
Il nucleo di deg, ker(deg) = {D ∈ Div(X)|deg(D) = 0} viene
denotato con Div0 (X).
Cristina Turrini
SUPERFICI DI RIEMANN
Si ha P(X) ⊂ Div0 (X),
Pinfatti il divisore di una funzione meromorfa f
ha grado zero, poichè p∈X νp (f ) = 0.
Allora si può considerare Pic0 (X) = Div0 (X)/P(X), gruppo delle
classi di equivalenza lineare di divisori di grado 0.
TEOREMA - Pic0 (X) = {0} se e solo se X = P1 .
dimostrazione - Se Pic0 (X) = {0}, allora Div0 (X) = P(X). Pertanto,
presi p, q ∈ X, esiste una funzione meromorfa il cui divisore è
1p − 1q ∈ Div0 (X). In particolare su X esiste una funzione
meromorfa con un solo polo. Quindi X è biolomorfa a P1 .
0
Viceversa,
dobbiamo mostrare che D ∈ P(X). Sia
P dato D ∈ Div (X),P
D= Q
ni [ai ] + n∞ [∞], con ni + n∞ = 0. Definiamo
f (z) = (z − ai )ni e
F(z0 : z1 ) =
Y (z1 − ai z0 )ni
z0 d
Cristina Turrini
d=
X
ni = −n∞ .
SUPERFICI DI RIEMANN
Si ha δ(f ) =
P
ni [ai ] − d[∞] =
P
ni [ai ] + n∞ [∞] = D. Div(X) è un insieme
P parzialmente
P ordinato con la seguente relazione
d’ordine. Se D = np p, D0 = mp p, si pone D ≥ D0 se e solo se
∀p, np ≥ mp .
P
Un divisore D tale che D ≥ 0 = 0p si dice effettivo.
Un divisore D non effettivo viene detto virtuale.
Cristina Turrini
SUPERFICI DI RIEMANN
Gli spazi di Riemann Roch
P
Sia D = np p ∈ Div(X). Si definisce spazio di Riemann Roch
associato al divisore D, l’insieme
L(D) = {f ∈ M(X)|(f ) + D ≥ 0} ∪ {0}
Oltre alla funzione identicamente nulla, L(D) contiene le funzioni f
tali che ∀p ∈ X, νp (f ) ≥ −np .
OSSERVAZIONE - La richiesta νp (f ) ≥ −np per f in p equivale a
f è olomorfa in p, se np = 0;
f ha al più un polo di ordine np in p, se np > 0;
f ha almeno uno zero di ordine −np in p, se np < 0.
Ad esempio, per X = P1 , e D = 1[∞], si ha z ∈ L(D), infatti
δ(z) = 1[0] − 1[∞].
Cristina Turrini
SUPERFICI DI RIEMANN
OSSERVAZIONE - νp ≥ −np se e solo se, in una carta centrata in p,
si ha f = z1np h(z) con h olomorfa.
Infatti
νp (f ) = ν0 (
1
1
h(z)) = ν0 ( np ) + ν0 (h) = −np + v0 (h) ≥ −np .
n
p
z
z
OSSERVAZIONE - L(D) è uno spazio vettoriale complesso.
P
dimostrazione Sia D = np p. Se f , g ∈ L(D), λ, µ ∈ C,
f = z1np h(z), g = z1np k(z), con h e k olomorfe, si ha
λf + µg = z1np (λh(z) + µk(z)). In generale:
νp (λf + µg) ≥ min{νp (f ), νp (g)}.
OSSERVAZIONE - L(0) = C.
Infatti L(0) = O(X) = C.
Cristina Turrini
SUPERFICI DI RIEMANN
Si pone l(D) = dimL(D).
Problema di Riemann Roch: determinare l(D).
Se l(D) ≥ 2, allora esiste una funzione meromorfa non costante con
(f ) ≥ −D.
Ad esempio, quando D = np, n > 0, se l(D) ≥ 2, allora esiste una
funzione meromorfa non costante avente come unica singolarità, al
più, un polo di ordine n in p.
OSSERVAZIONE - Siano D1 , D2 ∈ Div(X). Se D1 ≡ D2 , allora
L(D1 ) ' L(D2 ), in particolare l(D1 ) = l(D2 ).
dimostrazione - Se D1 ≡ D2 , allora esiste g ∈ M(X)∗ tale che
(g) = D1 − D2 . Si può definire un’applicazione L(D1 ) → L(D2 ),
così: f 7→ fg.
Tale applicazione è ben definita: infatti f ∈ L(D1 ) se e solo se
fg ∈ L(D2 ), in quanto (fg) + D2 = (f ) + (g) + D2 = (f ) + D1 .
Inoltre è lineare, ed è anche un isomorfismo il cui inverso è dato dalla
moltiplicazione per g−1 . Cristina Turrini
SUPERFICI DI RIEMANN
LEMMA - Sia X una superficie di Riemann compatta e D un divisore
su X.
i) se deg(D) < 0, allora l(D) = 0 (cioè L(D) = {0});
ii) se deg(D) = 0, allora o D ∈ P(X), nel qual caso l(D) = 1 (cioè
L(D) = C), oppure D ∈ Div(X) \ P(X), nel qual caso l(D) = 0
(cioè L(D) = {0}).
dimostrazione - i) Sia deg(D) < 0 e supponiamo per assurdo che
esista una funzione f non identicamente nulla con f ∈ L(D), ossia con
(f ) + D ≥ 0. In tal caso ovviamente si avrebbe deg((f ) + D) ≥ 0
(tutti i coefficienti del divisore sono ≥ 0) e quindi (dal momento che
deg è un omomorfismo) sarebbe deg((f )) + deg(D) ≥ 0, ma questo è
assurdo perchè deg((f )) = 0 e deg(D) < 0.
ii) Sia deg(D) = 0.
Se D è principale allora D ≡ 0 e pertanto L(D) ' L(0) = C.
Sia allora D non principale. Se per assurdo esistesse una funzione f
non identicamente nulla con f ∈ L(D), ossia con (f ) + D ≥ 0, si
avrebbe necessariamente (f ) + D = 0. Infatti diversamente sarebbe
def ((f ) + D) > 0
Cristina Turrini
SUPERFICI DI RIEMANN
e questo è assurdo in quanto deg((f )) = deg(D) = 0.
Pertanto D = −(f ) = (f −1 ) ∈ P(X), assurdo. TEOREMA (di Riemann Roch nel caso di P1 . Se X = P1 , e D è un
divisore su X, allora si ha
a) l(D) = 0, se deg(D) < 0;
b) l(D) = deg(D) + 1, se deg(D) ≥ 0.
dimostrazione - I casi deg(D) ≤ 0 seguono dal Lemma precedente.
Possiamo allora supporre deg(D) = n > 0. Osserviamo che si ha
D ≡ n[∞], infatti D − n[∞] ha grado zero e Div0 (P1 ) = P(P∞ ).
Basta allora dimostrare che su P1 si ha l(n[∞]) = n + 1.
Ma L(n[∞]) = {f ∈ C[z]|deg(f ) ≤ n}. Infatti una funzione
f ∈ M(P∞ ) non identicamente nulla appartiene a L(n[∞]) se ha un
polo di ordine al più n in ∞. Cristina Turrini
SUPERFICI DI RIEMANN