Matematica per competenze

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compito di realtà
Idee che aiutano
Secondaria di primo grado
competenza
lavoro di gruppo
numeri
didattica laboratoriale
Matematica
per competenze
Laboratori per la scuola secondaria di primo grado
■
Giuseppina Gentili
Insegnante, Istituto Comprensivo «Rotella», Montalto delle Marche (AP); formatrice, Centro Studi
Erickson, Trento
■
Daniele Egidi
Insegnante, ITIS «G. e M. Montani», Fermo
Da una rapida analisi dei recenti testi normativi
in ambito educativo e scolastico, ci si rende immediatamente conto di come il termine «competenza»
sia oggetto sempre più di frequenti e continui
riferimenti e precisazioni. Si parla di competenza
ovunque, cercando di favorire una più completa
comprensione del concetto sotteso al termine, anche
se poi, in realtà, in ambito scolastico ci sono ancora
poca chiarezza e consapevolezza tra gli insegnanti
su come poterla favorire e sviluppare. Per la scuola,
e per chi lavora in essa, cosa significa lavorare per
competenze? Quali sono i presupposti e gli elementi
caratterizzanti di una proposta didattica che abbia
come prioritaria la promozione delle competenze? È
possibile rintracciare informazioni e validi suggerimenti, sia a livello europeo, con le otto competenze
chiave indicate dalla Commissione europea (UE,
2006; Commissione europea, DG Istruzione e Cultura, 2007), sia nelle Indicazioni nazionali (MIUR,
2012), ma la trasposizione didattica operativa di
quanto suggerito spetta ovviamente alle scuole e ai
professionisti che vi operano.
È proprio qui che compaiono le più grandi
difficoltà. «Essere competenti» significa mettere
in gioco e utilizzare tutto ciò di cui si dispone in
termini di conoscenze dichiarative e procedurali,
disposizioni mentali e caratteristiche personali, per
risolvere efficacemente problemi in contesti reali. Se
la scuola si pone l’obiettivo di rendere competenti i
suoi allievi, deve fornire loro gli strumenti necessari
per farlo, deve creare le condizioni e le opportunità
perché ognuno di loro possa osservare, ricercare,
fare ipotesi, progettare, sperimentare, discutere,
argomentare le proprie scelte, negoziare con gli altri
e costruire nuovi significati, per risolvere autonomamente e con responsabilità problemi reali. Tutto
ciò è possibile solo nel momento in cui la scuola e
i docenti scelgono di utilizzare e fare propria una
metodologia laboratoriale, nella quale il laboratorio
non è un momento o uno spazio separato ma una
modalità abituale nella prassi scolastica quotidiana,
principio trasversale dell’intera proposta didattica.
Un habitus mentale, una forma mentis propria
dell’insegnante che, nel momento dell’ideazione e
della progettazione dei percorsi di studio, inserisce
e crea opportunità tali da sollecitare gli studenti a
sperimentare e potenziare tutte le attività cognitive
sopra descritte.
DdA – Difficoltà di Apprendimento e Didattica Inclusiva
Edizioni Centro Studi Erickson (TN) – ISSN 2283-3188
© Edizioni Centro Studi Erickson S.p.A. – Tutti i diritti riservati
Vol. 4, n. 2, dicembre 2016
(pp. 231-254)
Benché si riconosca notevole validità alla pratica
laboratoriale come insieme di strategie didattiche in
grado di rispondere appieno ai bisogni apprenditivi
diversificati degli studenti, in realtà nella scuola, e
in particolar modo nella secondaria di primo grado,
serpeggiano ancora perplessità sull’importanza da
assegnare a tali pratiche a fronte di una didattica
più tradizionale improntata sulla consueta frontalità
della lezione. Il laboratorio spesso diventa «l’occasione» per potenziare l’offerta formativa della scuola,
un’appendice di valore, ma rimane comunque
«qualcosa di accessorio», non facente parte della
quotidianità scolastica. Inoltre, la settorializzazione
e specializzazione degli insegnamenti affidati ai docenti, in questo ordine di scuola, possono sembrare a
volte una criticità e un ostacolo alla piena diffusione
di una metodologia che invece prevede e favorisce
un approccio olistico e multidisciplinare alle proposte apprenditive. Tuttavia, proprio in questo ordine
di scuola il laboratorio può rappresentare una scelta
particolarmente proficua. L’accesso a un ordine di
scuola superiore è notoriamente un periodo critico
nella crescita emotiva e apprenditiva di ogni individuo; in particolare l’ingresso alla scuola secondaria
di primo grado segna anche l’inizio del passaggio
da una fase infantile a una fase adolescenziale. Il
ragazzo si trova a mettere in discussione le certezze
avute fino a quel momento, a sperimentarsi come
una persona nuova protesa al riconoscimento della
propria identità, alla conquista dell’autonomia e
dell’accesso al mondo adulto. Questo passaggio il
più delle volte crea disagio e disorientamento anche
nelle relazioni che il ragazzo vive negli ambienti di
interazione più vicini, come la scuola. La proposta di
percorsi didattici laboratoriali rappresenta, in questo
quadro, un’esperienza di scoperta, coinvolgimento
attivo, condivisione e confronto; offre spazi in cui
sperimentarsi e l’opportunità di transitare da un’area
mentale confusa e poco definita a luoghi nei quali
riconoscersi come detentore di risorse e potenzialità
da mettere in gioco per l’apprendimento comune,
diventando competente: effettivo protagonista del
proprio processo apprenditivo.
Il laboratorio di Matematica per
competenze
Alla luce delle considerazioni esposte sopra,
con Matematica per competenze (Gentili e Egidi,
2016) abbiamo voluto offrire un percorso progettuale e operativo di didattica per competenze
per l’insegnamento disciplinare della matematica
nella scuola secondaria di primo grado, attraverso
un ampio ventaglio di proposte laboratoriali, nelle
quali ogni ragazzo è sollecitato, insieme agli altri, a
risolvere problemi reali utilizzando la metodologia
della ricerca.
«Laboratorio» diventa, in maniera fortemente
intenzionale nella nostra proposta, qualsiasi esperienza o attività nella quale lo studente, con la sua
originale combinazione di risorse e difficoltà, riflette
e lavora insieme agli altri, utilizzando molteplici
modalità apprenditive, per risolvere una situazione
problematica reale, svolgere un incarico o realizzare
un progetto. La competenza da acquisire diventa,
quindi, il risultato di una pratica, di una riflessione
e di una interiorizzazione del processo di apprendimento sperimentato. Il laboratorio si pone come
spazio multidimensionale:
– è il luogo della motivazione, perché ci si impegna
di più se lo scopo degli apprendimenti risulta
visibile, utile e concreto;
– è il luogo della curiosità e della creatività, perché
si problematizzano gli apprendimenti, ponendo
continuamente dei quesiti ai quali si risponde
mettendo in gioco conoscenze e intelligenze
diverse;
– è il luogo della partecipazione e della socializzazione, perché si impara a lavorare e costruire conoscenza insieme, confrontandosi, argomentando
e negoziando le proprie personali prospettive
(Vygotskij, 1987; Wenger, 1998);
– è il luogo della personalizzazione, perché si offrono
più percorsi e strumenti didattici, rispondenti
ai diversi bisogni apprenditivi ed esigenze di
ciascuno;
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Idee che aiutano
– è il luogo delle molteplici intelligenze (Gardner,
1987), perché in esso trovano spazio e valore le
originalità di ciascuno delle quali ognuno diventa
consapevole;
– è il luogo della trasversalità tra diversi linguaggi,
tra «mente» e «mani», tra emozioni e riflessioni,
perché si impara meglio facendo e attraverso un
coinvolgimento olistico della persona;
– è il luogo della metacognizione e della responsabilità, perché si sollecita la pratica riflessiva sul
proprio operato, riconoscendo un ruolo fondamentale all’errore, che diventa opportunità di
miglioramento e crescita per tutti. Riflettere insieme, condividendo gli errori commessi, permette
di svelare e comprendere i percorsi mentali che li
hanno prodotti, assumendosi la responsabilità del
proprio lavoro e l’impegno a migliorare.
Una metodologia strutturata secondo l’organizzazione laboratoriale ha il vantaggio di essere
facilmente esportabile in tutti gli ordini scolastici e
in tutti gli ambiti disciplinari. I saperi e i linguaggi
di ogni disciplina diventano mezzi, strumenti non
solo per acquisire, ma anche per verificare le competenze conseguite.
È una metodologia che attiva sostanziali modifiche e miglioramenti ai fini dei risultati di apprendimento degli studenti e costituisce un’occasione
significativa per ridisegnare stili di insegnamento/
apprendimento e ruoli, primo fra tutti quello dell’insegnante. Il docente non è più colui che somministra
conoscenze e comunica alla classe informazioni e
soluzioni in posizione asimmetrica, ma è colui che
progetta e realizza percorsi molteplici e diversificati,
predispone il materiale e organizza il lavoro: diventa il
regista dell’azione educativo-didattica. È una risorsa, è
l’esperto che monitora e controlla il processo in atto,
che sostiene e modifica quando si rende necessario il
suo intervento, che facilita l’interazione fra i diversi
soggetti, che attiva i processi di negoziazione rendendosi garante di tutta l’azione educativa.
Il momento fondamentale di una didattica per
competenze è quello dell’ideazione e progettazione
Il docente non è più colui che somministra conoscenze e comunica alla classe
informazioni e soluzioni in posizione asimmetrica, ma è colui che progetta e realizza
percorsi molteplici e diversificati, predispone il materiale e organizza il lavoro: diventa
il regista dell’azione educativo-didattica.
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del laboratorio, all’interno del quale devono trovare
la giusta attenzione e collocazione tutti gli elementi
e le caratteristiche del laboratorio che abbiamo
descritto. Come esempio e spunto di riflessione
suggeriamo la scheda di progettazione sperimentata
e applicata in Matematica per competenze (tabella 1),
da realizzare per ogni laboratorio. Questa scheda
definisce e struttura le varie fasi dell’intera attività
laboratoriale e costituisce, nella sua realizzazione,
una guida e un invito, per gli insegnanti, a una
continua riflessione e riformulazione. La scheda si
articola in 10 sezioni, permette di realizzare interventi precisi e rispondenti alle necessità apprenditive
degli alunni e consente di rimodellare le proposte
alla luce delle problematiche e nuove situazioni
emerse in itinere. In questo modo l’insegnante,
oltre a porsi come professionista «riflessivo», ha la
possibilità di gestire e controllare consapevolmente
e intenzionalmente tutto il processo apprenditivo
del laboratorio. La scheda completata può costituire
un utile strumento per chiunque voglia progettare
attività di laboratorio o replicare le esperienze descritte in Matematica per competenze adattandole e
contestualizzandole ai propri contesti scolastici e
necessità educative.
Per favorire una facile ed efficace compilazione, analizziamo e descriviamo singolarmente ogni
sezione.
1. Titolo. È molto importante catturare, fin da
subito, l’interesse e la curiosità degli studenti;
scegliere un titolo sintetico ma accattivante
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giocherà un ruolo fondamentale, sia nel dare
un primo indizio dell’argomento trattato e delle
attività, sia nel coinvolgere attivamente chi vi
parteciperà.
Nucleo tematico disciplinare. È l’organizzatore
concettuale della disciplina, rinvenibile nel
documento ministeriale del 2012 «Indicazioni
nazionali per il curricolo della scuola dell’infanzia e del primo ciclo d’istruzione», all’interno
del quale vengono individuate ed estrapolate
le competenze da sviluppare negli alunni.
Competenza di riferimento. Concorre allo sviluppo e al completamento del nucleo tematico
indicato, si concretizza come risultato di una
pratica, di una riflessione e di un’interiorizzazione del processo di apprendimento laboratoriale. Le competenze di riferimento possono
essere in numero variabile e sono espresse con
verbi di azione che indicano lo sviluppo di un
comportamento preciso nell’alunno. Le competenze si sostanziano e vengono declinate in
obiettivi specifici di apprendimento: cosa si
richiede di saper fare e quali argomenti trattare.
Compito di realtà. Ogni laboratorio porta
all’elaborazione/costruzione finale di un
prodotto cognitivo o materiale. Il compito di
realtà fa riferimento a situazioni concrete che
presuppongono la rielaborazione personale e
l’apertura a percorsi aperti e a più soluzioni,
in stretta connessione con i compiti reali riconosciuti significativi per chi apprende (serve a
qualcosa di concreto) e spendibili nella realtà.
Questi compiti coinvolgono diverse dimensioni
dell’apprendimento: conoscenze, processi, abilità e disposizioni ad agire; sono il risultato finale di tutte le attività realizzate nel laboratorio
e possono venire proposti agli studenti anche
in seguito con le prove di competenza, come
momento di verifica e mezzo per dimostrare il
livello di padronanza di quanto appreso.
Obiettivi specifici di apprendimento. Descrivono
le abilità che gli alunni esercitano e sviluppano
nel laboratorio elaborando i contenuti e gli
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9.
argomenti inseriti nelle attività proposte. Gli
obiettivi vengono scelti all’interno di quelli proposti nelle «Indicazioni nazionali» in base alle
esigenze formative della classe o gruppo classe
e alla significatività apprenditiva che possono
rivestire per quegli stessi alunni. Operare una
scelta flessibile, sia delle competenze sia degli
obiettivi su cui lavorare, significa contestualizzare le proposte apprenditive alla propria realtà
educativa e scolastica, renderle sempre più vicine alle modalità e ai ritmi di apprendimento
di ogni allievo e superare la predominanza della
logica della quantità su quella della qualità dei
contenuti.
Organizzazione della classe. Per gestire in modo
efficace attività laboratoriali e fare in modo che
esse si svolgano positivamente, occorre progettare nei minimi particolari anche come deve
essere organizzata la classe o il gruppo classe. È
importante indicare se e in quali momenti del
laboratorio si effettueranno lavori individuali,
nel grande gruppo o in piccoli gruppi.
Organizzazione degli spazi. In questa sezione
sono indicati gli spazi (interni ed esterni alla
scuola) nei quali si intende far svolgere le varie
attività del laboratorio agli alunni. È di estrema importanza scegliere, da un punto di vista
logistico, spazi strutturati e non, che possano
garantire il massimo della sicurezza e della
fruibilità delle opportunità apprenditive. In
questa sezione vanno anche indicate le eventuali
uscite o visite didattiche, nel caso le attività
laboratoriali lo richiedano, esterne alla scuola.
Materiali. In questa sezione viene data l’indicazione di tutto quanto occorre per svolgere
efficacemente le attività, «per evitare di perdere
tempo e trovarsi poi in difficoltà nella realizzazione di quanto proposto o, in casi estremi, di
dover interrompere l’attività stessa» (Gentili,
2011, p. 74).
Osservazioni. Tutta l’attività laboratoriale deve
essere attentamente monitorata dagli insegnanti con osservazioni costanti, per rilevare
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Idee che aiutano
l’insorgenza di problematiche o difficoltà e
intervenire prontamente riequilibrando tutto
il percorso.
10. Osservazioni a conclusione del percorso. L’ultima
sezione prevede uno spazio da dedicare alle
osservazioni e riflessioni degli insegnanti che
hanno realizzato il laboratorio. Si possono
anche inserire le descrizioni delle singole esperienze appena concluse, mettendo in rilievo i
punti di forza e le criticità riscontrati, in modo
da costituire un sorta di «diario di bordo» utile
per una revisione e valutazione finali dell’intero lavoro da parte del singolo o dell’équipe
insegnante.
TABELLA 1
Scheda di progettazione per l’area laboratoriale
TITOLO DEL LABORATORIO ____________________________________________________________________________
Nucleo tematico disciplinare ________________________________________________________________________
Competenza di riferimento
______________________________________________________________________
Compito di realtà
______________________________________________________________________
Obiettivi specifici
di apprendimento
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Organizzazione della classe
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Organizzazione degli spazi
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Materiali
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Osservazioni
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Osservazioni a conclusione
del percorso
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
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Dai nuclei tematici disciplinari alle aree laboratoriali: descrizione dell’iter progettuale
Il percorso è stato realizzato sulla base di una
progettazione disciplinare scrupolosa e sistematica:
partendo dall’individuazione e rilevazione dei nuclei
tematici della disciplina, all’interno delle Indicazioni nazionali del 2012, sono state estrapolate le
competenze da promuovere per ognuno e sono
stati scelti e sintetizzati gli obiettivi specifici da
perseguire. Sulla base di questi ultimi e per acquisire le competenze inizialmente indicate, sono state
ideate e progettate otto aree laboratoriali: ogni area
è costituita da molteplici unità di apprendimento,
presenta una chiara indicazione del perché è stata
progettata e del come può essere sviluppata e adeguata flessibilmente ai diversi contesti scolastici ed
esigenze apprenditive degli allievi.
I nuclei tematici considerati sono quattro
(«Numeri», «Spazio e figure», «Dati e previsioni» e
«Funzioni e relazioni»). La distinzione e scansione
numerica dei nuclei tematici riguarda essenzialmente la necessità di avere un piano più dettagliato degli
obiettivi da approfondire. Nella realtà, così come
in tutti gli apprendimenti, le competenze di tutti i
nuclei operano sinergicamente e si compenetrano,
garantendo una formazione in ambito matematico
completa per ogni allievo. Ciò significa che le otto
aree laboratoriali progettate non devono intendersi
come monadi a sé stanti e da sperimentare obbligatoriamente in netta successione, ma piuttosto
come entità connesse, interagenti e complementari.
Si possono presentare mantenendo la successione
presente nel volume, contemporaneamente, o ritornando più volte a sperimentare gli stessi giochi
e attività: sarà il docente che deciderà il percorso
più adatto ai bisogni apprenditivi dei ragazzi. Similmente, sebbene il testo sia espressamente rivolto
alla scuola secondaria di primo grado, si è scelto di
non riferire esplicitamente le esperienze a una classe
piuttosto che all’altra: tutte le proposte sono presentate secondo una logica di gradualità, complessità
e difficoltà crescenti. La decisione di non dare una
strutturazione troppo rigida per classi è motivata dal
fatto che ogni insegnante può liberamente utilizzare
le proposte personalizzandole ai bisogni apprenditivi
degli allievi, consolidando le acquisizioni laddove
occorre, ma, nello stesso tempo, dando la possibilità,
a chi ha già stabilizzato alcune abilità, di andare
avanti con nuove esperienze, potenziando le proprie
competenze. Questa strutturazione risulta particolarmente utile laddove siano presenti progetti per
classi aperte con gruppi di studenti di età diverse e
bisogni apprenditivi differenziati.
Non potendo trattare in modo esaustivo tutti
gli argomenti della disciplina per le tre classi, è stata
fatta la scelta di offrire all’insegnante una prassi,
un modello da utilizzare e trasferire a ogni nuovo
concetto-argomento, contestualizzandolo alle esigenze di apprendimento specifiche. Nella presentazione degli argomenti da trattare e sperimentare
nei laboratori è stata operata una scelta qualitativa,
optando per quelli ritenuti fondamentali.
A conclusione del percorso laboratoriale sperimentato, per ogni nucleo tematico è stata inserita
una prova di competenza, nella quale si richiede agli
alunni, individualmente e in gruppo, di mettere in
gioco le competenze acquisite e dimostrare quanto
hanno appreso, realizzando un compito di realtà.
Vengono suggerite varie modalità di verifica e non
soltanto elaborati «carta e penna», con lo scopo di
risolvere un problema reale o assolvere a un incarico
utile e concreto.
Verifiche e valutazioni: le prove di competenza
L’iter progettuale di un’azione didattica efficace
non può prescindere dal momento della valutazione, che assume nel nostro progetto una rilevanza
fondamentale.
Coerentemente con l’intero impianto educativo
didattico di tipo laboratoriale, anche il momento
conclusivo delle verifiche e successive valutazioni
si basa su una molteplicità di proposte tali da garantire a ogni alunno l’identificazione e l’utilizzo
della modalità più congeniale alle sue peculiari
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Idee che aiutano
caratteristiche. Occorre precisare che la valutazione, nella nostra prospettiva, non è solo finalizzata
all’atto conclusivo della prova di competenza, ma si
attualizza all’interno di ogni processo apprenditivo,
attraverso i continui feedback che la stessa offre
agli studenti per migliorare i loro apprendimenti
e agli insegnanti per rendere sempre più efficaci
e contestualizzate le proposte didattiche (Gentili,
2011). È una valutazione autentica che richiede
agli alunni di impegnarsi e coinvolgersi in compiti
e prestazioni riconoscibili e coerenti con la vita
reale, offrendo loro la possibilità di dimostrare le
competenze acquisite in modi anche molto diversi
l’uno dall’altro.
Come accennato, le prove di abilità inserite per
ogni nucleo tematico prevedono la realizzazione di
un compito di realtà, accanto a modalità più standardizzate «carta e penna». Il realizzare un compito
di realtà, come richiesto in ogni prova inserita,
consente all’allievo di generalizzare, di trasferire e
utilizzare in nuovi contesti ciò che sa e ciò che sa
fare per risolvere un problema concreto in situazioni
nuove e diversificate; in altre parole di dimostrare
di essere diventato competente.
I materiali
Per tutti i nuclei tematici, vengono presentati
i laboratori progettati, con le relative indicazioni
metodologiche, e le competenze, declinate in
obiettivi specifici di apprendimento, previste dalle
«Indicazioni ministeriali».
Ogni laboratorio comprende una breve descrizione, la scheda di progettazione completa
(sulla base della tabella 1) e la descrizione analitica
delle attività da realizzare (Guida per l’insegnante). Nello sperimentare le attività proposte nei
laboratori, i ragazzi saranno guidati e sostenuti
«matematicamente» da illustri studiosi del passato
e del presente, che, proprio in funzione della loro
grande competenza multidisciplinare, garantiscono
l’indispensabile rigore scientifico e la realizzazione
efficace del compito/incarico assegnato. I ragazzi
Nello sperimentare le attività proposte
nei laboratori, i ragazzi saranno guidati e
sostenuti «matematicamente» da illustri
studiosi del passato e del presente.
■
incontreranno, in successione: Martin Gardner,
Bobby Fischer, Al-Khawarizmi, Scott Flansburg,
Qin Jiushao, Eratostene di Cirene, John Nash.
Tutti i laboratori sono progettati e realizzati
attraverso molteplici esperienze di apprendimento
con numerose schede operative e ricchi materiali.
Ogni unità di apprendimento è stata intenzionalmente progettata con la volontà di proporre esperienze che coinvolgessero non solo diversi domini
di conoscenza (inter e multidisciplinari), ma che
attivassero contemporaneamente diverse abilità,
corporee e cognitive, coinvolgendo integralmente
tutta la persona in una dimensione olistica. Le unità
di apprendimento sono organizzate in varie attività,
in numero variabile da laboratorio a laboratorio in
base alla complessità e al numero delle competenze
in esso perseguite. Per la loro realizzazione si fornisce
un ampio repertorio di materiali che richiedono
all’alunno abilità diverse: di lettura, di ascolto, di
costruzione, di problem solving, di rappresentazione
grafica, di scrittura, di riflessione metacognitiva sui
propri elaborati, di discussione, di argomentazione e
di negoziazione dei propri punti di vista nel grande
gruppo. L’operatività richiesta agli alunni non si
sostanzia soltanto nella realizzazione del compito
finale o del gioco, ma è fondamentale nella preparazione e realizzazione di ogni esperienza. Ogni
studente, in gruppo o autonomamente, predispone
l’attività.
Alcuni elementi essenziali, rinvenibili nelle
unità di apprendimento di ogni laboratorio, su cui
si basa l’impianto concettuale che permea tutta
l’opera sono:
– il ruolo educativo riconosciuto al gioco e a tutte
le attività ludiche, inserite in gran numero all’interno di ogni unità apprenditiva;
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– il gruppo inteso come imprescindibile risorsa per
il conseguimento dell’autonomia e della responsabilità personale;
– i molteplici codici e mediatori utilizzati per veicolare argomenti e concetti che rispondono alle
diverse intelligenze dei ragazzi;
– il continuo ricorso e utilizzo di risorse online del
web frutto di costanti percorsi di ricerca individuale e di piccolo gruppo;
– l’uso di video e lezioni interattive, fruite in modalità asincrona, ognuno con i propri tempi, non
necessariamente solo a scuola;1
– il lavoro cooperativo come modalità sempre presente in tutte le proposte.
A completamento di ogni esperienza sono previsti momenti di commento del gioco o dell’attività,
realizzati nel circle time. Lo spazio conclusivo assume per i ragazzi una valenza notevole; non è tanto
un’esposizione commentata, quanto un’opportunità
offerta a tutti di visionare il lavoro altrui, fare domande, discutere e chiedere spiegazioni. Ciò aiuta
tutti a ripercorrere idealmente le fasi delle attività
svolte, ad articolare i propri pensieri, valutare ipotesi, mettere le proprie idee a confronto e a disposizione dei compagni (Gentili, 2011). La revisione
finale è, quindi, un momento fondamentale, poiché
permette il miglioramento continuo dei processi di
apprendimento e attiva le pratiche metacognitive
dell’imparare a imparare (Novak e Gowin, 1989).
Primo nucleo tematico: Numeri
Ho sempre pensato che il modo migliore per rendere
la matematica interessante fosse quello di presentarla
come se fosse un gioco.
1
Il riferimento è alla flipped classroom, un modello di apprendimento nel quale si riduce il tempo della frontalità delle
lezioni potenziando e valorizzando il tempo del confronto,
della condivisione e negoziazione di significati e contenuti,
in seguito alla visione di materiali video fatta dai ragazzi a
casa. Per approfondimenti si veda Maglioni e Biscaro (2014).
A livelli superiori, specialmente quando la matematica è applicata a problemi concreti, può e deve essere
terribilmente seria. Ma nessuno studente può essere motivato a studiare, ad esempio, la teoria astratta dei gruppi
dicendogli che la troverà bella, interessante, o addirittura
utile se diventerà un fisico delle particelle elementari.
Martin Gardner
In linea con le parole di Gardner, obiettivo
primario del percorso laboratoriale progettato per
questo nucleo (si veda la tabella 2) è quello di far
vivere e sperimentare ai ragazzi una nuova visione
della matematica, non più ridotta a un insieme
arido e decontestualizzato di regole da memorizzare
e applicare, ma come strumento vivo e sfidante per
scoprire, affrontare e risolvere problemi, esplorando
relazioni e strutture osservabili in natura o prodotte
dall’uomo. Alcuni esempi di attività sono presentati
nelle schede 1-4 in fondo a questo articolo.
A conclusione del percorso laboratoriale, per
verificare il livello di padronanza raggiunto da
ogni alunno nelle competenze indicate, si propone
la prova «Una nuova rete», nella quale si chiede ai
ragazzi di scegliere, tra diverse soluzioni, il progetto
migliore per realizzare una nuova infrastruttura di
rete a banda larga per la scuola.
TABELLA 2
Competenze, obiettivi specifici di apprendimento
e aree laboratoriali per il nucleo Numeri
Competenze
• Muoversi con sicurezza nel calcolo con i numeri interi, razionali e relativi, padroneggiandone le diverse rappresentazioni
• Stimare grandezze numeriche di vario genere e il risultato
di operazioni
Obiettivi specifici di apprendimento
• Utilizzare il concetto di rapporto fra numeri o misure ed
esprimerlo sia nella forma decimale, sia mediante frazione
• Comprendere il significato di percentuale e saperla calcolare utilizzando strategie diverse
• Individuare multipli e divisori di un numero naturale e
comuni a più numeri
• Comprendere il significato e l’utilità del multiplo comune
più piccolo e del divisore comune più grande, in matematica e in situazioni concrete
• Scomporre numeri naturali in fattori primi e conoscere
l’utilità di tale scomposizione per diversi fini
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Idee che aiutano
• Comprendere il concetto di potenza e utilizzarne operazioni e proprietà
• Conoscere la radice quadrata come operatore inverso
dell’elevamento al quadrato
• Descrivere con un’espressione numerica la sequenza di
operazioni che fornisce la soluzione di un problema
• Eseguire espressioni di calcolo con numeri conosciuti,
rispettando l’algoritmo delle parentesi e le convenzioni
sulla precedenza delle operazioni
• Eseguire operazioni, ordinamenti e confronti tra i numeri
conosciuti (naturali, interi, frazionari e decimali) a mente
e utilizzando gli usuali algoritmi scritti, le calcolatrici e i
fogli di calcolo, valutando lo strumento più opportuno
nelle diverse situazioni
• Utilizzare le proprietà delle operazioni per agevolare il
calcolo mentale
• Dare stime approssimate per il risultato di un’operazione
e controllare la plausibilità di un calcolo
• Usare il calcolo algebrico velocizzando anche il calcolo
mentale
• Attivare processi di problem posing e problem solving
• Sviluppare il pensiero critico e strategico
Aree laboratoriali
•
•
•
•
Il giocoliere della matematica
Manipolazioni numeriche
A tutta stima
Scacchi: gioco per la mente
Secondo nucleo tematico: Spazio e figure
In linea con quanto proposto già nel primo
nucleo tematico, anche per lo studio della geometria (tabella 3) si propongono percorsi laboratoriali
incentrati su un’idea di matematica viva e dinamica,
strumento di interpretazione critica e di intervento responsabile sulla realtà. Senza rinunciare allo
specifico rigore metodologico della disciplina, le
esperienze proposte si sviluppano attraverso percorsi ludici, creativi, di problem posing e problem
solving. Una didattica basata sull’operatività, infatti,
motiva l’apprendimento, sviluppa le competenze
e aderisce perfettamente alla psicologia del preadolescente che arriva all’astrazione così in modo
consapevole, partendo dalla concretezza della realtà. Alcuni esempi di attività sono presentati nella
scheda 5 in fondo a questo articolo.
A conclusione del percorso laboratoriale, per
verificare il livello di padronanza raggiunto da ogni
studente nelle competenze indicate, si propone la
prova di competenza «Il quartiere ideale», articolata
in due fasi che prevedono lavori individuali, nel
piccolo e nel grande gruppo. Si tratta, in un primo
momento, di costruire il plastico del quartiere
dove è ubicata la scuola e, in seguito, di realizzarne
un altro, che rappresenti invece come gli studenti
vorrebbero lo stesso quartiere con l’inserimento
argomentato di nuove possibili strutture (edifici e
servizi) in modo da rendere il quartiere stesso più
funzionale e a «misura di ragazzo».
TABELLA 3
e aree laboratoriali per il nucleo Spazio e figure
Competenze
• Riconoscere e classificare le forme del piano e dello spazio
in base alle loro proprietà, cogliendone le relazioni tra gli
elementi
• Elaborare gli elementi geometrici per produrre trasformazioni di vario genere
• Rappresentare punti, segmenti e figure sul piano cartesiano
• Riprodurre figure e disegni geometrici, utilizzando in modo
appropriato e con accuratezza opportuni strumenti
• Utilizzare opportunamente le proprietà delle principali
figure piane e solide
• Descrivere figure complesse e costruzioni geometriche al
fine di comunicarle ad altri
• Riprodurre figure e disegni geometrici in base a una
descrizione e codificazione fatta da altri
• Calcolare l’area e il volume delle figure solide più comuni
e dare stime di oggetti della vita quotidiana
• Riconoscere figure piane simili in vari contesti e riprodurre
in scala una figura assegnata
• Conoscere il Teorema di Pitagora e le sue applicazioni
anche in situazioni concrete
• Determinare l’area di figure scomponendole in figure
elementari e utilizzando le più comuni formule
• Stimare per difetto e per eccesso l’area di una figura
delimitata anche da linee curve
• Scoprire e utilizzare le principali trasformazioni geometriche e i loro invarianti
• Sviluppare il pensiero critico e strategico
Aree laboratoriali
• Alla scoperta del piano!
• Terza dimensione
Terzo nucleo tematico: Dati e previsioni
Il terzo nucleo tematico include un’unica
area laboratoriale, composta di due unità di ap-
239
prendimento, che ha come obiettivo stimolare,
esercitare e sviluppare nei ragazzi competenze di
analisi e riflessione critica sulla realtà (tabella 4).
Attualmente si è sempre più esposti a una moltitudine di dati e informazioni che si «trasformano
e scompaiono», a una velocità vertiginosa, e spesso
risulta complesso orientarsi e operare delle scelte
consapevoli ed efficaci al loro interno. Diventa
fondamentale, allora, aiutare i ragazzi a muoversi
in questa molteplicità e variabilità informativa,
in modo da renderli competenti nel valutare la
qualità, l’attendibilità e la fondatezza delle informazioni, interpretarle criticamente e utilizzarle
con scelte ponderate in situazioni di incertezza.
Anche questo nucleo tematico è in sinergia con
i precedenti e con il successivo, ponendosi come
logica prosecuzione di tutto l’impianto progettuale
del volume.
A conclusione di tutto il percorso laboratoriale,
si inserisce la prova di competenza «Capra o auto?
Una scelta difficile!», che, prendendo spunto dal
famoso dilemma di Monty Hall, coinvolge i ragazzi
in un compito di realtà per il quale non solo devono
risolvere l’enigma (si veda la scheda 6 in fondo a
questo articolo), ma anche illustrarlo e spiegarlo,
da un punto di vista matematico, a chi non lo
conosce (ad esempio, un familiare o un amico di
un’altra classe).
TABELLA 4
e aree laboratoriali per il nucleo Dati e previsioni
Competenze
• Analizzare e interpretare rappresentazioni di dati per
ricavare informazioni, misurazioni di variabilità e prendere
decisioni
• Orientarsi consapevolmente con valutazioni di probabilità nelle situazioni di incertezza (vita quotidiana, giochi,
ecc.)
• In semplici situazioni aleatorie, individuare gli eventi
elementari, assegnare a essi una probabilità, calcolare la
probabilità di qualche evento, scomponendolo in eventi
elementari disgiunti, complementari, incompatibili, indipendenti
Aree laboratoriali
• La scelta giusta
Quarto nucleo tematico: Relazioni e funzioni
L’ultimo nucleo tematico (tabella 5) è costituito da un’unica area laboratoriale («Funzioni, che
passione!») e si pone a conclusione di tutto il percorso disciplinare, portando a compimento molti
temi e strategie già sperimentati nelle proposte dei
nuclei precedenti. Gli argomenti di studio trattati
e sperimentati nel laboratorio non potrebbero essere affrontati, infatti, senza tutta una serie di altre
conoscenze e competenze acquisite e sviluppate
progressivamente nel corso sia della scuola primaria,
sia dei primi anni di quella secondaria.
A conclusione del percorso laboratoriale, si
inserisce la prova di competenza «Che tempo fa?»,
nella quale si chiede ai ragazzi di progettare, costruire e utilizzare, fin dall’inizio dell’anno scolastico,
una stazione meteo per la rilevazione sistematica e
continuativa di elementi e fenomeni atmosferici
(forza e direzione del vento, pressione atmosferica,
temperatura e umidità dell’aria, ecc.) rielaborati
mensilmente attraverso grafici e funzioni matematiche nell’ultimo periodo di scuola.
TABELLA 5
Competenze, obiettivi specifici di apprendimento e
aree laboratoriali per il nucleo Relazioni e funzioni
Competenze
• Utilizzare e interpretare il linguaggio matematico (formule,
equazioni, piano cartesiano, ecc.), cogliendone il rapporto
con il linguaggio naturale
• Rappresentare insiemi di dati, confrontarli al fine di prendere decisioni, utilizzando le distribuzioni delle frequenze,
di quelle relative e percentuali, determinandone i valori
medi
• Interpretare, costruire e trasformare formule che contengono lettere per esprimere in forma generale relazioni e
proprietà
240
Idee che aiutano
• Usare il piano cartesiano per rappresentare relazioni e
funzioni empiriche o ricavate da tabelle
• Conoscere le funzioni del tipo y = ax (retta), y = a/x (iperbole) y = ax² (parabola) y = 2n (parabola) e i loro grafici e
collegare le prime due al concetto di proporzionalità
• Esplorare e risolvere problemi utilizzando equazioni di
primo grado
Aree laboratoriali
• Funzioni, che passione!
Bibliografia
Commissione europea, DG Istruzione e Cultura (2007),
Competenze chiave per l’apprendimento permanente: Un
quadro di riferimento europeo, Lussemburgo, Ufficio
delle pubblicazioni ufficiali delle Comunità europee.
Gardner H. (1987), Formae mentis: Saggio sulla pluralità
dell’intelligenza, Milano, Feltrinelli.
Gentili G. (2011), Intelligenze multiple in classe, Trento,
Erickson.
Gentili G. e Egidi D. (2016), Matematica per competenze nella scuola secondaria di primo grado: Didattica
laboratoriale, proposte operative e compiti di realtà,
Trento, Erickson.
Maglioni M. e Biscaro F. (2014), La classe capovolta,
Trento, Erickson.
MIUR – Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della
Ricerca (2012), Indicazioni nazionali per il curricolo
della scuola dell’infanzia e del primo ciclo di istruzione,
www.indicazioninazionali.it/documenti_Indicazioni_nazionali/indicazioni_nazionali_infanzia_primo_ciclo.pdf (ultimo accesso: 29/11/2016).
Novak J.D. e Gowin D.B. (1989), Imparando ad imparare, Torino, SEI.
UE – Unione Europea (2006), Raccomandazione
2006/962/CE del Parlamento europeo e del Consiglio,
del 18 dicembre 2006, relativa a competenze chiave per
l’apprendimento permanente, eur-lex.europa.eu/legalcontent/IT/TXT/?uri=URISERV:c11090 (ultimo
accesso: 04/12/2016).
Vygotskij L.S. (1987), Il processo cognitivo, Torino,
Boringhieri.
Wenger E. (1998), Communities of practice: Learning,
meaning, and identity, New York, Cambridge University Press.
Gentili G. e Egidi D. (2016), Matematica per competenze: Laboratori per la scuola secondaria di
primo grado, «Difficoltà di Apprendimento e Didattica Inclusiva», vol. 4, n. 2, pp. 231-254, doi:
10.14605/DADI421608
241
© 2016, Gentili e Egidi, Difficoltà di Apprendimento e Didattica Inclusiva, vol. 4, n. 2, Erickson
SCHEDA 1
Il giocoliere della matematica
«E adesso facciamo sparire un coniglio qui… e poi
proponiamo quell’indovinello là…»
Salve a tutti cari ragazzi, sono Martin Gardner!
Nella vita ho fatto un po’ di tutto, ma in particolare ho
praticato la magia, l’illusionismo e la prestidigitazione.
Soprattutto ho scritto, insegnato e coltivato la
matematica ricreativa.
Cosa significa? È una matematica divertente, curiosa,
«ingannevole» e allo stesso tempo rigorosa.
Cosa dite? Che non può esistere una matematica di
questo tipo? La immaginate tutta al contrario?
Vi sbagliate cari ragazzi… vi sbagliate alla grande!
Vi accompagnerò in questa nuova avventura e cercherò di farvi ricredere su ciò
che pensate del mondo dei numeri e delle figure.
Giusto per iniziare, ecco qui un assaggio tratto
dagli innumerevoli «trucchetti» che ho proposto
ai miei lettori. Si tratta del «mistero del coniglio
scomparso»…
Nella figura si vedono 11 conigli. Giusto?
Bene, ora prendi l’allegato, ritaglia i rettangoli
contrassegnati con A e B e scambiali di posto.
Adesso conta i coniglietti… Abracadabra, uno è
scomparso!
Dov’è andato?
Prova a fare delle ipotesi, confrontale con quelle
dei tuoi compagni e provate a dare la soluzione.
Dai, non è poi così difficile!
Ah, dimenticavo! Se vuoi conoscermi un po’ meglio guarda questo video: «Martin Gardner: The
best friend Mathematics ever had» (www.youtube.com/watch?v=PyDnzAWTe0Y, ultimo accesso:
29/11/2016). È in inglese, ma so che voi siete appassionati delle lingue straniere…
242
SCHEDA 2
Puzzle matematico 3
243
SCHEDA 2
Base del puzzle 3
− 3 x − 8 = 7 x + 16
5
5
(− 1 ) − 3
5
Nei Paesi anglosassoni
la distanza si misura
in miglia. 1 miglio
corrsisponde a 1609,3 m.
A quante miglia
corrispondono 5 km?
Risolvi, effettuando anche
le semplificazioni, la
seguente moltiplicazione:
√169 = ?
Quanto vale il polinomio
3a2b + 5ab2 + ac? con
a=20 ; b=3; c=25?
Qual è il
grado di
questo
monomio:
(− 3 a2b) ∙ (2ab2 + 3ab2 − ab2)
2 giri e mezzo
di circonferenza
a quanti gradi
corrispondono?
Quanto fa (−3) ∙
(−1) ∙ (−1) ∙ (−1) ∙
(−1) ∙ (−1)?
(− 5 ) ∙ (− 8 ) ∙ ( 1 )
16
Scrivi il numero
che rende valida
l’uguaglianza
15: ____ = 10
10x + 20x – 10
– 30 = 20x + 10
+ 5x
10
2
Un pallone da calcio
regolamentare ha la
circonferenza di 70 cm.
Che raggio possiede?
Effettua il seguente
calcolo letterale:
( 1 a − 3 ab + 1 b2 − 7 c)0
5
2
54
12
5
− 1 a6b4c?
5
Un silos per sementi di forma
cilindrica ha l’h di
12 m e la circonferenza di base
di 5,5 m. Qual è,
approssimativamente, la sua superficie totale?
Effettua il
seguente calcolo
con i numeri
relativi:
[(2 − 10) − 9]2 + 19
244
SCHEDA 2
Base del puzzle 3
3,1
–125
–12
900°
5000
±13
1
8
3
−12 a3b3
5
11
11 cm
1,5
70,7 m2
1
308
x = 10
245
SCHEDA 3
Il calcolatore umano
Salve, mi chiamo Scott Flansburg, vengo da New York
(USA) e direi che sono abbastanza famoso! Per tutti
sono il «calcolatore umano» perché riesco a compiere
calcoli anche molto complessi più velocemente di una
calcolatrice.
Ho scoperto questa mia capacità già a scuola, quando
avevo nove anni, e sono qui per aiutarti ad «allenare»
questa competenza e, anche se non riuscirai a diventare
veloce come me, non importa! Ti sarai comunque divertito un mondo!
Come primo allenamento ti propongo di stimare a occhio quantità diverse di pasta di formato differente (ad esempio, pennette, farfalle, bucatini e rigatoni) e poi di verificare la
correttezza delle tue stime. Segui le indicazioni, vedrai non è poi così difficile!
Forma un gruppo con tre tuoi compagni, ognuno di voi riceverà di un pacco da mezzo kg
di pasta di diverso tipo.
Se, ad esempio, devi occuparti delle pennette, procedi così:
• calcola «occhio-metricamente» e stima il peso di una singola pennetta, poi di cinque e
infine il numero di pennette contenute nel pacco;
• completa la tabella e con un bilancino digitale procedi alla verifica, individuando il dato
reale e calcolando la differenza tra quest’ultimo e la stima. Poi calcola la variazione
percentuale (se giri il foglio troverai un piccolo aiuto!).
Per individuare il numero esatto delle pennette contenute nel pacco, senza contarle, come
potresti fare?
Dato stimato
Dato reale
Differenza
Variazione
percentuale
Peso
di una pennetta
Peso di 5 pennette
Numero di
pennette nel pacco
Al termine condividi il tuo lavoro nel gruppo, realizzate una tabella riassuntiva e discutetene
insieme agli altri nel grande gruppo!
Suggerimento: puoi calcolare la variazione percentuale applicando la seguente equazione differenza : dato
reale = x : 100.
246
SCHEDA 4
L’ultima sfida!
Ci siamo, è il momento dell’ultima sfida.
Questa volta siamo davvero ai limiti dell’impossibile…
Ti propongo di stimare il volume di una goccia d’acqua!
Niente paura, leggi i miei consigli e trova la strategia giusta.
Dividetevi in gruppi da tre e ricorda che i volumi (nel caso dei liquidi
coincidono con la loro capacità), si esprimono con i multipli e i sottomultipli del litro: hl, dal, l, dl, cl, ml e μl (un millesimo di ml).
Ricorda:
1 ml = 1 cm3
A questo punto non rimane che inserire le vostre stime nella tabella.
VOLUME DI UNA GOCCIA D’ACQUA
Dato stimato
Dato reale
Differenza
Variazione percentuale
Studente 1
________________
Studente 2
________________
Studente 3
________________
Ma il dato reale? Come possiamo calcolarlo?
Non ne avete idea? Pensate a tutto quello che abbiamo fatto finora: troverete sicuramente
qualcosa che vi risulterà molto utile!
247
SCHEDA 4
Una goccia di…
Pipette da laboratorio e contagocce! Ecco la soluzione!
Le pipette sono graduate contengono in genere 5 o, al massimo, 10 ml.
Quindi, basta contare! Hai capito come procedere?
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
Confronta ora la soluzione che hai trovato con quella dei tuoi compagni e discutetene assieme. Era molto più facile di quanto potesse sembrare vero, no?
Ora che avete calcolato il volume potete anche stimare (e poi verificare misurando) la densità
di una goccia d’acqua di altri liquidi (ad esempio, alcool denaturato, acqua e sale, bevande
gassate, ecc.). Il procedimento è sempre lo stesso, ricorda che:
densità (o peso specifico) =
massa (o peso)
volume
Prendete la bilancia digitale e il gioco è fatto!
Ovviamente non potrete pesare la singola goccia ma…
Descrivi la tua strategia e poi confrontala con quella dei tuoi compagni.
La mia strategia è _________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
DENSITÀ DI UNA GOCCIA DI…
Dato stimato
Dato reale
Differenza
Variazione percentuale
Acqua
Alcool
Acqua e sale
Bevanda gassata
______________
______________
248
SCHEDA 5
Thank you, pitagora!
Come sempre con gli scacchi ci si appassiona poco a
poco…
Capita la stessa cosa con le qualità geometriche della scacchiera. Prova a disegnarla su carta quadrettata e scrivici le
coordinate.
• Per scaldare un po’ le meningi ti propongo un quesito
facilissimo: individua le case b2, b5, e5, e2 e uniscile.
Che figura ottieni? Ora calcola il perimetro e l’area.
• Troppo facile, vero? Adesso fai lo stesso con la figura
formata unendo d1, d6, f6, f1.
• Iniziamo a fare sul serio: adesso i punti sono c1, c8 e h1. Ovviamente, dato che i punti
sono tre, avrai un triangolo. Calcola l’area. Non hai avuto problemi, vero? E se ti chiedessi di calcolare il perimetro? Come puoi calcolare la diagonale che unisce c8 con h1?
In questo ci viene in aiuto un amico dal passato: il signor Pitagora, di cui avrai già certamente sentito parlare. Tra tutte le sue scoperte matematiche ce n’è una che fa proprio al caso
nostro e che porta proprio il suo nome:
IL TEOREMA DI PITAGORA
Il teorema dice che:
In un triangolo rettangolo, la somma delle aree dei due quadrati costruiti
sui cateti è equivalente all’area del quadrato costruito sull’ipotenusa.
In formule:
I cateti sono i 2 lati più piccoli, che formano fra di loro un angolo retto, mentre l’ipotenusa
è il lato «diagonale» più lungo. Quello che a noi in effetti serve è trovare l’ipotenusa… Ora
non ti resta che inserire i dati e risolvere il problema del perimetro sulla scacchiera.
E, se invece dell’ipotenusa, dovessimo trovare uno dei due cateti? Come possiamo fare?
In questo caso dobbiamo applicare la formula inversa.
Hai capito come fare? Se sei in difficoltà, niente paura: basta girare la scheda!
Soluzione: Se cerchiamo il cateto più corto allora b = √a2 − c2 ; per quello più lungo c = √a2 − b2
249
SCHEDA 5
Pitagora ovunque
L’importanza del teorema di Pitagora in geometria è abbastanza chiaro… ma in pratica, nella vita reale, a cosa ci può servire?
Guarda sotto, applica il teorema di Pitagora e calcola.
Geniale davvero, il grande Pitagora…
Per allenarti un po’ a scoprire le applicazioni di questo teorema anche alle figure geometriche più «scolastiche», ti propongo un quesito. Sapresti individuare e applicare il
teorema di Pitagora alle figure sottostanti? Indica per ogni figura come pensi possa
essere utile. Utilizza il metodo che vuoi per dimostrarne l’utilità, poi confrontati con
gli altri nel grande gruppo.
250
SCHEDA 5
Dimostrazione perfetta
Finora abbiamo preso per buono ciò che ci ha suggerito il buon Pitagora! Ma siamo
sicuri che il suo teorema si possa dimostrare?
Prova a pensarci e insieme ai tuoi compagni
realizza una dimostrazione convincente.
Potete usare gli strumenti per il disegno geometrico, carta quadrettata, cannucce, stecchini, plastilina, ecc., se lo ritenete necessario.
Poi argomentate il vostro lavoro nel grande
gruppo e solo alla fine guardate il video «Il
teorema di Pitagora» all’indirizzo www.schooltoon.com/il-teorema-di-pitagora-2. È un video
molto divertente e soprattutto convincente.
Avete anche voi pensato alle stesse dimostrazioni?
Strettamente legato al teorema di Pitagora è anche il concetto di terne pitagoriche.
Di cosa si tratterà? Forma una coppia con un tuo compagno e guardate il video «Ricerca sul teorema di Pitagora» (www.schooltoon.com/ricerca-sul-teorema-di-pitagora).
Prendi appunti sulle informazioni che ti sembrano più interessanti, il tuo compagno
farà lo stesso. Al termine confrontate i vostri lavori e realizzate una sintesi comune da
presentare al resto della classe.
Poi rispondi alle domande, confronta le tue risposte con quelle del tuo compagno e
insieme correggete se ci sono errori.
• Che cos’è una terna pitagorica? ________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________
• I geometri egizi come facevano a costruire un angolo retto? ______________________________
_________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________
• 20 – 21 – 29 è una terna Pitagorica? Sì o no? Spiega perché.
_________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________
• Un triangolo ha i lati lunghi 27 cm, 36 cm e 50 cm. È rettangolo oppure no? Come
lo puoi dimostrare?
_________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________
251
SCHEDA 6
Capra o auto? Una scelta difficile!
Nuovo incarico, nuova sfida! Si tratta di risolvere un famoso dilemma e diventarne esperti,
tanto da mostrarlo e spiegarlo agli amici delle altre classi. Vedrai, resteranno sbalorditi…
Supponi di partecipare a un gioco a premi, in cui puoi scegliere tra tre porte: dietro una di
esse c’è un’automobile sportiva e dietro le altre, invece, due capre.
Che probabilità hai di vincere una auto?
E una capra?
Bene, ora però la situazione cambia. Immagina di scegliere una porta, diciamo
la numero 3, e il conduttore del gioco a premi, che sa cosa si nasconde dietro
ciascuna porta, ne apre un’altra, ad esempio la numero 1, rivelando una capra.
Quindi ti domanda: «Rimani sempre della tua idea o vuoi cambiare la tua scelta
originale?».
Questo enigma è noto come il dilemma di
Monty Hall. Prende il nome dallo pseudonimo del conduttore di una famosa trasmissione statunitense, basata proprio su un gioco a premi come quello che
abbiamo descritto.
Rifletti con attenzione, completa la tabella, spiegando
anche la motivazione per ogni possibile opzione. Soprattutto, indica cosa faresti se fossi al posto del concorrente!
Certo, l’auto sportiva è molto bella… e della capra cosa ne faresti?
Decisione
SÌ/NO
1. Meglio rimanere con
l’idea iniziale
2. M e g l i o c a m b i a r e
scelta
Motivazione
Calcolo
probabilità
Perché _________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
Perché _________________________________________
_______________________________________________
________________________________________________
3. È indifferente
Perché _________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
Io sceglierei di __________________________________________________________________________________________________
Perché ___________________________________________________________________________________________________________
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
252
SCHEDA 6
Una difficile decisione
Bene, ora però è il momento di confrontarsi con i compagni del tuo gruppo.
Prendete in esame le vostre idee e riflessioni, decidete
una linea di azione comune e motivatela completando
lo schema.
Secondo noi è meglio ________________________________________________________________________________________
Perché __________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________________
Infatti, la probabilità di vincere l’auto è ____________________________________________________________________
Sulla base del vostro lavoro, completate lo schema sottostante per spiegare bene al resto
della classe le motivazioni della vostra scelta.
Si tratta di una tecnica visiva molto efficace: il diagramma ad albero.
Scegliere
una porta
Scegli una porta
con una capra
Scegli una porta
con una capra
Scegli una porta
con l’automobile
253
SCHEDA 6
Video rivelatori
Siete riusciti a capire e a dimostrare qual è la situazione più vantaggiosa per vincere l’auto?
Guardate questi video e capirete:
• Numb3rs: probabilità condizionata e problema di Monty Hall (www.youtube.com/
watch?v=PJWmi7Ovaag);
• The Monty Hall Problem (www.youtube.com/watch?v=mhlc7peGlGg).
Poi, sempre nel gruppo da tre, scrivete le vostre considerazioni e conclusioni, che riporterete al resto della classe.
Abbiamo capito che _________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________________
Quindi, la scelta più vantaggiosa da fare è ________________________________________________________________
254

Matematica per competenze

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