Rifrazione - Mario Sandri

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI TRENTO
SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE ALL’INSEGNAMENTO SECONDARIO
INDIRIZZO SCIENTIFICO MATEMATICO FISICO INFORMATICO
classe A049 matematica e fisica
Relazione di laboratorio
RIFRAZIONE
Dott. Mario Sandri
Matricola 117039
Anno Accademico 2004/2005
Rifrazione
Mario Sandri
INDICE
Pagina 3
Scopo
Pagina 3
Materiali principali
Pagina 4
Richiami teorici
Pagina 4
I principi dell’ottica geometrica
Pagina 5
Le leggi di Snell-Cartesio
Pagina 6
Principio di Fermat
Pagina 7
Raggi reali e raggi monocromatici
Pagina 8
Procedura
Pagina 11
Risultati
Pagina 15
Conclusioni
Pagina 2
Rifrazione
Mario Sandri
SCOPO
Lo scopo di questa esperienza è quello di verificare la seguente relazione di Snell-Cartesio:
sin i
= n12
sin r
dove n12 si chiama indice di rifrazione del mezzo 2 rispetto al mezzo 1.
MATERIALI PRINCIPALI
•
Righello
•
Goniometro
•
Carta millimetrata
•
Spilli
•
Un recipiente a forma di semicerchio contenente acqua
•
Un oggetto a forma di semicerchio interamente di plexiglas
•
Riquadro di polistirolo
Pagina 3
Rifrazione
Mario Sandri
RICHIAMI TEORICI
I PRINCIPI DELL’OTTICA GEOMETRICA
Molti dei fenomeni ottici che si possono incontrare e osservare si possono spiegare partendo dalle
seguenti ipotesi:
•
in un mezzo omogeneo la luce si propaga lungo raggi rettilinei;
•
quando due raggi si incrociano i loro cammini non si influenzano, ovvero le proprietà di
ciascuno sono identiche sia prima che dopo il punto d’incontro;
•
quando un raggio luminoso incontra la superficie di separazione fra due mezzi trasparenti 1
e 2 si originano due raggi distinti in cui uno, chiamato raggio riflesso, si propaga nel primo
mezzo, mentre l’altro, il raggio rifratto, penetra nel secondo mezzo. A questo schema fa
eccezione il fenomeno della riflessione totale;
•
il raggio riflesso giace nel paino individuato dal raggio incidente e dalla normale e forma
con questa un angolo di riflessione i’ = i, angolo di incidenza;
•
il raggio rifratto giace ancora nel piano individuato dalla normale e dal raggio incidente, e
forma con la normale un angolo di rifrazione r che è diverso da quello di incidenza, tranne
nel caso di incidenza normale, in cui sono entrambi nulli;
•
in ogni fenomeno di riflessione e rifrazione il cammino di un raggio luminoso è
indipendente dal senso in cui viene percorso dalla luce. Questo è il principio
dell’invertibilità del cammino luminoso.
I fenomeni che si possono spiegare a partire dalle precedenti ipotesi sono l’oggetto di quella che
viene comunemente chiamata Ottica Geometrica.
Pagina 4
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LE LEGGI DI SNELL-CARTESIO
Le leggi ottiche fondamentali della riflessione e rifrazione dei raggi luminosi furono enunciate in
maniera indipendente da Snell e Cartesio e possono essere formulate nel modo seguente:
1. il raggio incidente, il raggio riflesso, il raggio rifratto e la normale al punto di incidenza
giacciono in un medesimo piano;
2. il raggio riflesso è simmetrico al raggio incidente relativamente alla normale al punto di
incidenza;
3. gli angoli di incidenza i e di rifrazione r sono legati tra loro dalla relazione:
sin i
= n12
sin r
dove n12 si chiama indice di rifrazione del mezzo 2 rispetto al mezzo 1 o indice di rifrazione
relativo.
Tale indice si può esprimere come il rapporto tra le velocità della luce, v1 e v2, rispettivamente nel
mezzo 1 e nel mezzo 2. Se in particolare il mezzo 1 è il vuoto, l'indice di rifrazione si dice assoluto.
Poiché la luce ha velocità massima nel vuoto segue che l'indice di rifrazione assoluto di ogni mezzo
è sempre maggiore di 1; inoltre l'indice di rifrazione relativo a due mezzi qualsiasi è uguale al
rapporto dei loro indici di rifrazione assoluti.
n12 =
dove n1 =
n2 v1
=
n1 v2
c
c
, n2 =
e c è la velocità della luce nel vuoto.
v1
v2
Se il primo mezzo è meno rifrangente del secondo, cioè se n1 < n2, l'angolo di rifrazione è sempre
minore dell'angolo di incidenza e cresce al crescere di i. Il valore che assume i quando r raggiunge
il suo valore massimo, cioè 90º, è detto angolo limite l.
sin l =
1
n
Un raggio di luce proveniente dal mezzo 2 che incide sulla superficie di separazione con un angolo
di incidenza superiore all'angolo limite viene riflesso totalmente dalla superficie.
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Rifrazione
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PRINCIPIO DI FERMAT
I principi di Snell-Cartesio possono essere dimostrati rigorosamente utilizzando le equazioni di
Maxwell, tuttavia, per facilitarne la dimostrazione, utilizzeremo il principio di Fermat, che afferma:
“un raggio di luce propagandosi da un punto all’altro segue un percorso tale che il tempo
impiegato a percorrerlo confrontato con quello dei percorsi vicini è minimo o massimo o
stazionario”
In questa analisi non verrà dimostrata la prima legge, ma unicamente la seconda e la terza.
Seconda legge
l = a 2 + x2 + b2 + ( d − x )
2
1
−
dl 1 2
= ( a + x2 ) 2 2 x +
dx 2
1
1
2 −
+ ⎡b 2 + ( d − x ) ⎤ 2 2 ( d − x )( −1) = 0
⎦
2⎣
x
d−x
⇒
=
2
a2 + x2
b2 + ( d − x )
⇒ sin i = sin i '
⇒ i = i'
Terza legge
t=
l1 l2 n1l1 + n2l2 l
+ =
=
v1 v2
c
c
l = n1l1 + n2l2 = n1 a 2 + x 2 + n2 b 2 + ( d − x )
2
1
1
−
dl
1
1
2 −
= n1 ( a 2 + x 2 ) 2 2 x + n2 ⎡b 2 + ( d − x ) ⎤ 2 2 ( d − x )( −1) = 0
⎦
dx
2
2⎣
x
d−x
⇒ n1
= n2
2
2
2
a +x
b2 + ( d − x )
⇒ n1 sin i = n2 sin r
⇒
sin i n2
= = n12
sin r n1
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RAGGI REALI E RAGGI MONOCROMATICI
Se si fa incidere un raggio di luce bianca su di un prisma, quello che si rivela è la formazione di
infiniti raggi rifratti secondo angoli diversi, caratterizzati da colori diversi. Ciascuno di questi raggi
è detto monocromatico, cioè è caratterizzato da una propria lunghezza d’onda caratteristica. Per
ogni raggio monocromatico valgono le leggi di Snell-Cartesio.
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Rifrazione
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PROCEDURA
•
Inizialmente è stato assemblato l’apparato. È stato posizionato sul tavolo il riquadro di
polistirolo. Su di esso è stata appoggiata la carta millimetrata. Successivamente è stato
posizionato sul foglio l’oggetto a forma di semicerchio di plexiglas. Tale oggetto è stato
posto al centro del foglio in posizione simmetrica e ne è stato disegnato il bordo per poter
riportare il tutto alla situazione di partenza in caso di inconvenienti. Su di esso, a metà del
diametro, vi era una linea lungo lo spessore che lo divideva in due parti simmetriche.
L’apparato così era pronto per l’uso.
•
Posizionando a caso uno spillino sul piano delimitato dal foglio di carta millimetrata dalla
parte piana del semicerchio, lo scopo era quello di individuare il raggio rifratto che passasse
per l’asse di simmetria sopra evidenziato. Tale posizione era indicata con un secondo
spillino.
•
Dopo alcuni tentativi alquanto laboriosi, il professore ci ha consigliato di cambiare strategia.
Infatti, sfruttando il principio dell’invertibilità dei cammini luminosi, siamo partiti a
posizionare lo spillino che rappresentava il raggio rifratto, per poi ricavare da questo la
posizione originaria della sorgente. Tale procedura si è rilevata estremamente efficace.
•
Tale procedura è stata ripetuta per sette volte, variando di volta in volta la posizione degli
spilli. La posizione di ogni spillo, sia quello che rappresentava la sorgente che l’immagine
rifratta, è stata evidenziata con un numero e un punto sulla carta millimetrata.
•
Una volta completate le operazioni sopra menzionate, si è provveduto a eliminare dal foglio
sia gli spilli che il blocco di plexiglas, così da utilizzare per l’analisi unicamente il foglio
millimetrato.
•
Partendo dal centro dell’oggetto, trovato come scritto precedentemente, sono state tracciate
le congiungenti con tutti i punti evidenziati sul foglio. È stato inoltre tracciato l’asse si
simmetria passante per il centro.
•
Utilizzando il goniometro sono stati ricavati gli angoli formati dai vari raggi con l’asse si
simmetria, sia per i raggi incidenti, che per quelli rifratti e il tutto è stato messo in tabella.
•
I dati, originariamente espressi in gradi, sono stati convertiti in radianti utilizzando la
seguente formula e messi anch’essi in tabella:
θ ( rad ) =
π
180
Pagina 8
θ (°)
Rifrazione
•
Mario Sandri
Dai dati così ottenuti si è ricavato il seno e la sua indeterminazione utilizzando la seguente
espressione:
f (θ ) = sin θ
σ f (θ ) = cos θ ⋅ σ θ
dove σθ rappresenta l’errore sull’angolo espresso in radianti. I dati sono anch’essi stati messi
in tabella.
•
È stato successivamente fatto il rapporto tra il seno dell’angolo incidente con quello
dell’angolo rifratto per ogni coppia di numeri ricavando per ognuno il valore dell’indice
relativo del mezzo, in quanto si è considerato che l’aria avesse come indice di rifrazione
assoluto un valore pari ad uno. La formula utilizzata è stata la seguente:
n=
•
sin i
sin r
L’errore sulla precedente espressione è stato calcolato utilizzando la seguente formula che
utilizza la propagazione degli errori:
2
2
⎛ cos i ⎞
⎛ sin i ⋅ cos r ⎞
σn = ⎜
⎟ (σ i ) + ⎜
⎟ (σ r )
2
⎝ sin r ⎠
⎝ sin r ⎠
2
2
dove σi e σr rappresentano gli errori sulla misura degli angoli.
•
Sono stati ottenuti sette valori per l’indice di rifrazione. Con essi è stato calcolato il valore
medio e l’errore sulla media attraverso le seguenti espressioni:
n=
∑n
N
∑ ( n − n)
σn =
N −1
dove N rappresenta il numero di misure.
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2
Rifrazione
•
Mario Sandri
Per ricavare il valore dell’indice di rifrazione del mezzo si è utilizzato un altro sistema. Per
ogni punto che rappresentava uno spillino è stato misurata la distanza dall’asse di simmetria
precedentemente utilizzato per misurare gli angoli. Così facendo si è ricavato
immediatamente il valore del seno da una misura diretta. I dati sono stati messi in tabella.
•
Per ogni coppia di valori è stato ricavato il l’indice di rifrazione e il suo errore utilizzando le
formule:
n=
⎛ 1 ⎞
sin i
sin r
2
⎛ sin i ⎞
2
σn = ⎜
⎟ (σ sin i ) + ⎜ 2 ⎟ (σ sin r )
⎝ sin r ⎠
⎝ sin r ⎠
2
2
dove σsini e σsinr rappresentano gli errori sulla misura dei seni.
•
Successivamente anche per tali valori è stato ricavato il valore medio e il suo errore con le
formule già viste in precedenza:
n=
σn =
•
∑n
N
∑ ( n − n)
2
N −1
Infine i valori trovati coi due metodi sono stati confrontati tra loro e con il valore tabulato
utilizzando la compatibilità percentuale C%:
C% =
nx − n y
nmedio =
nmedio
100
nx + n y
2
dove x e y rappresentano di volta in volta due dei casi menzionati precedentemente.
•
Tutta la seguente procedura è stata poi ripercorsa sostituendo all’oggetto in plexiglas, il
recipiente contenete acqua.
Pagina 10
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RISULTATI
•
Plexiglas
La tabella mostra i valori misurati degli angoli espressi in gradi
i (°)
σi (°)
σi % (%)
r (°)
σr (°)
σr % (%)
26
20
19
8
26
27
31
1
1
1
1
1
1
1
3,8
5,0
5,3
12,5
3,8
3,7
3,2
17
12
13
4
18
17
21
1
1
1
1
1
1
1
5,9
8,3
7,7
25,0
5,5
5,9
4,8
La tabella seguente mostra invece i valori degli angoli misurati in radianti.
i (rad)
σi (rad)
r (rad)
σr (rad)
0,45
0,35
0,33
0,14
0,45
0,47
0,54
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,29
0,21
0,23
0,07
0,31
0,29
0,37
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
La tabella sottostante invece elenca i valori ricavati per il seno dei vari angoli
sin i
σsin i
sin r
σsin r
0,44
0,34
0,32
0,14
0,44
0,45
0,51
0,01
0,02
0,02
0,02
0,01
0,01
0,01
0,29
0,21
0,22
0,07
0,31
0,29
0,36
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
Infine l’ultima tabella mostra i valori ricavati per l’indice di rifrazione da ogni coppia di misure.
n
σn
σn % (%)
1,5
1,6
1,4
1,9
1,42
1,5
1,44
0,1
0,1
0,1
0,5
0,09
0,1
0,08
6,7
9,5
9,1
27,9
6,4
6,6
5,4
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Rifrazione
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Da tali valori si ricava un valore medio pari a
n1 = 1,6 ± 0,2
con un errore percentuale pari al 12,9 %.
Utilizzando il secondo metodo si è ottenuto la seguente tabella.
sin i (cm)
σsin i (cm)
σsin i % (%)
sin r (cm)
σsin r (cm)
σsin r (%)
4,0
3,2
3,0
1,3
4,1
4,1
4,7
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
2,5
3,1
3,3
7,7
2,4
2,4
2,1
2,6
1,9
2,0
0,7
2,7
2,7
3,2
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
3,8
5,3
5,0
14,9
3,7
3,7
3,1
È opportuno sottolineare che essendo stato misurato direttamente il seno di un angolo tramite una
riga millimetrata, questo ovviamente avrà le misure di una lunghezza.
La tabella seguente illustra i valori ricavati per l’indice di rifrazione.
n
σn
σn % (%)
1,54
1,7
1,50
1,8
1,52
1,52
1,47
0,07
0,1
0,09
0,3
0,07
0,07
0,05
4,6
6,1
6,0
16,2
4,4
4,4
3,8
Da tali valori si ricava un valore medio pari a
n2 = 1,6 ± 0,1
con un errore percentuale pari al 8,8 %.
Il valore teorico è pari a nteo = 1,6
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Rifrazione
•
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Acqua
La tabella mostra i valori misurati degli angoli espressi in gradi
i (°)
σi (°)
σi % (%)
r (°)
σr (°)
σr % (%)
53
31
65
37
52
32
23
1
1
1
1
1
1
1
1,9
3,2
1,5
2,7
1,9
3,1
4,3
37
23
43
29
35
21
17
1
1
1
1
1
1
1
2,7
4,3
2,3
3,4
2,8
4,8
5,9
La tabella seguente mostra invece i valori degli angoli misurati in radianti.
i (rad)
σi (rad)
r (rad)
σr (rad)
0,92
0,54
1,13
0,64
0,91
0,56
0,40
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,64
0,40
0,75
0,51
0,61
0,37
0,29
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
La tabella sottostante invece elenca i valori ricavati per il seno dei vari angoli
sin i
σsin i
sin r
σsin r
0,79
0,51
0,906
0,60
0,79
0,53
0,39
0,01
0,01
0,007
0,01
0,01
0,01
0,02
0,60
0,39
0,68
0,48
0,57
0,36
0,29
0,01
0,02
0,01
0,01
0,01
0,02
0,02
Infine l’ultima tabella mostra i valori ricavati per l’indice di rifrazione da ogni coppia di misure.
n
σn
σn % (%)
1,33
1,32
1,33
1,24
1,37
1,48
1,3
0,03
0,07
0,03
0,05
0,04
0,08
0,09
2,7
5,0
2,0
3,9
2,8
5,3
7,0
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Da tali valori si ricava un valore medio pari a
n1 = 1,34 ± 0,07
con un errore percentuale pari al 5,3 %.
Utilizzando il secondo metodo si è ottenuto la seguente tabella.
sin i (cm)
σsin i (cm)
σsin i % (%)
sin r (cm)
σsin r (cm)
σsin r (%)
7,2
4,7
8,2
5,4
7,1
4,8
3,6
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
1,4
2,1
1,2
1,8
1,4
2,1
2,8
5,5
3,5
6,1
4,4
5,2
3,2
2,6
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
1,8
2,8
1,6
2,3
1,9
3,1
3,8
È opportuno sottolineare che essendo stato misurato direttamente il seno di un angolo tramite una
riga millimetrata, questo ovviamente avrà le misure di una lunghezza.
La tabella seguente illustra i valori ricavati per l’indice di rifrazione.
n
σn
σn % (%)
1,31
1,34
1,34
1,23
1,36
1,50
1,38
0,03
0,05
0,03
0,03
0,03
0,06
0,06
2,3
3,6
2,0
2,9
2,4
3,7
4,7
Da tali valori si ricava un valore medio pari a
n2 = 1,35 ± 0,08
con un errore percentuale pari al 6,1 %.
Il valore teorico è pari a nteo = 1,3
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CONCLUSIONI
Innanzitutto è opportuno analizzare i risultati ottenuti e da questi ricavare delle utili conclusioni.
Dobbiamo ovviamente distinguere il caso del plexiglas da quello dell’acqua. Nel primo caso i tre
valori sono altamente compatibili. Infatti i tre risultati sono all’interno delle barre d’errore l’uno
dell’altro. Sfruttando, anche se in maniera impropria, gli altri decimali che non compaiono, la
compatibilità è all’interno dello 0,01 %, un valore estremamente basso. Tuttavia queste conclusioni
non possono certamente essere soddisfacenti, infatti i risultati ottenuti sono affetti da pesanti errori,
che si aggirano in percentuale intorno al 10 %. Conclusioni migliori si possono trovare andando ad
indagare i risultati ottenuti con l’indice di rifrazione dell’acqua. Anche in questa situazione i valori
trovati sono compatibili tra di loro, con una percentuale dello 0,007 %, e compatibili con il valore
tabulato, 0,04 % massimo. È altresì possibile affermare che anche questa seconda indagine ha
confermato le previsioni, nonostante, come nel caso del plexiglas, i vari risultati ottenuti con i due
metodi abbiano un errore percentuale che si aggira intorno al 6 %.
Certamente è possibile affermare che lo scopo dell’esperienza è stato verificato. Infatti il trovare un
valore simile per l’indice di rifrazione con quello tabulato è inequivocabilmente una prova del fatto
che la legge di Snell-Cartesio analizzata è conforme all’evidenza sperimentale. Tuttavia una
affermazione più “forte” necessita di un’indagine estremamente più approfondita e accurata in tutti i
suoi aspetti.
Tuttavia la precedente affermazione non è soddisfacente. Infatti gli errori in gioco sono
estremamente elevati e potrebbero aver contaminato l’esperimento. La causa principale d’errore è
sicuramente lo strumento utilizzato. Sia il goniometro, errore 1°, che la scala millimetrata, errore 1
mm, si sono rilevati strumenti troppo grossolani per questo tipo di ricerca. Inoltre vanno aggiunti
sicuramente i vari errori commessi dall’operatore, primo tra tutti quello di parallasse. Comunque è
possibile valutare qualitativamente il ruolo dello sperimentatore. Infatti, da un esperimento all’altro,
gli errori percentuali si sono dimezzati. Questo presuppone di aver utilizzato in maniera più
appropriata e scrupolosa le tecniche di esecuzione e di analisi. A ulteriore prova di ciò, si è visto
come, per ridurre gli errori sia necessario utilizzare angoli non troppo piccoli, che comportano errori
estremamente elevati, come in un caso in cui l’errore relativo sulla misura era addirittura del 25 %.
Come si vede dai valori numerici, questo accorgimento è stato utilizzato in maniera appropriata solo
nel secondo esperimento.
L’esperienza ha inoltre evidenziato come tra le due tipologie di analisi una fosse nettamente più
conveniente rispetto all’altra. Infatti la procedura di misurare direttamente il seno dell’angolo è
sembrata essere migliore per il semplice fatto che il valore finale è scaturito da minori operazioni
matematiche, riducendo in maniera significativa l’incertezza, che si accumula inevitabilmente
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quando si applicano le procedure di propagazione dell’errore. Tuttavia questa affermazione
scaturisce solo da considerazioni teoriche, in quanto la metodologia utilizzata da sola non basta, è
indispensabile utilizzare una strumentazione il più possibile accurata.
Da un punto di vista didattico è emerso come sia possibile fare semplici esperimenti sull’ottica
geometrica, e in particolare sulle leggi della rifrazione, utilizzando semplicissimi apparati e
sfruttando in maniera non troppo invasiva la teoria matematica. Infatti, il metodo di misurare
direttamente il seno dell’angolo, se non accompagnato dall’utilizzo massiccio, come fatto in questa
relazione, delle tecniche di analisi, permette di far compiere questa esperienza sia ai ragazzi del
biennio delle superiori, ma anche ai ragazzi delle scuole medie inferiori. Il tipo di indagine, anche
se all’apparenza può sembrare estremamente semplice, permette di far emergere delle
problematiche connesse con l’attività di laboratorio.
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