Area del segmento parabolico

a cura di Cecilia Ciprandi e Pietro Dipilato
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Definizione:
se una retta è secante una parabola nei
punti A e B, il segmento AB e l’arco di
parabola AB delimitano una parte di
piano detta segmento parabolico.
•Costruiamo la retta parallela ad AB
tangente alla parabola;
•Tracciamo i segmenti che
congiungono i punti A e B con il punto
di tangenza;
•Si forma un triangolo con i vertici
ABC.
a cura di Cecilia Ciprandi e Pietro Dipilato
-2
Archimede usa due strade per dimostrare la formula
dell’area del segmento parabolico, una mediante
un’interpretazione fisica degli elementi geometrici e la
seconda, più rigorosa, usando un metodo puramente
matematico. Noi vedremo solo la prima.
“Infatti, anche a me alcune cose si manifestarono prima
per via meccanica, e poi le dimostrai geometricamente;
perché la ricerca fatta con questo metodo non import una vera dimostrazione.
Però è certamente più facile, dopo avere con tal metodo acquistato una certa
cognizione delle questioni, trovarne la dimostrazione, anziché cercarla senza
averne alcune cognizione preliminare.”
Archimede, Lettera ad Eratostene
a cura di Cecilia Ciprandi e Pietro Dipilato
-3
Proprietà della leva:
Per essere all’equilibrio la leva deve essere soggetta a due forze uguali
opposte, calcolabili come prodotto dei rispettivi bracci di applicazione per
l’intensità delle forze (peso).
Proprietà fisiche del baricentro:
Luogo dove è concentrato tutto il peso del corpo.
a cura di Cecilia Ciprandi e Pietro Dipilato
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Assimila entità geometriche a solidi di materiale omogeneo, cioè tratta le
aree delle figure piane come volumi di corpi.
Appende su un braccio della leva il
triangolo nel baricentro.
Dato che il segmento parabolico non è
un poligono e perciò non si può
determinare il suo baricentro, lo divide in
tanti segmenti sottilissimi e li appende
uno dopo l’altro sull’altro braccio della
leva.
AC
BC
=
¾
(lunghezza dei bracci all’equilibrio)
a cura di Cecilia Ciprandi e Pietro Dipilato
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Secondo la proprietà della leva:
AC x t = BC x p
AC
BC
=
t
¾
=
¾
p
Quindi:
p = 4/3 t
a cura di Cecilia Ciprandi e Pietro Dipilato
-6
Trova l’area del triangolo
mistilineo OAB sapendo che
la parabola γ ha equazione
y = -1/8 x^2 +2 e la retta r
y = 3/4 x.
Procedimento: trovo prima l’area del
triangolo OAB e poi sommo quella
del segmento parabolico individuato
dalla retta passante per A e B.
•Trovo le coordinate dei punti A (γ ∩ r) e B (γ ∩ y=0);
•Trovo l’area del triangolo OBA, 3;
•Traccio la retta r1 passante per i punti A e B e ne definisco l’equazione;
•Traccio la retta r2 parallela a r1 e tangente alla parabola e ne definisco l’equazione;
•Trovo il punto di tangenza N;
•Considero il triangolo ABN; trovo AB e la distanza Nr1;
•Trovo l’area del triangolo ABN, 1/8;
•Moltiplico il risultato trovato per 4/3, 1/6;
•Sommo l’area di OBA e quella del segmento parabolico ABN, 19/6.
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