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Alma Mater Studiorum · Università di Bologna
FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE FISICHE E NATURALI
Corso di Laurea in Astronomia
Dipartimento di Astronomia
Formazione delle prime strutture in
modelli cosmologici di quintessenza
Tesi di Laurea in Cosmologia
Candidato:
Relatore:
Chiar.mo Prof.
LAURO MOSCARDINI
UMBERTO MAIO
Correlatore:
Dottor
KLAUS DOLAG
SESSIONE I
Anno Accademico 2004-2005
De l’infinito universo et mondi
G. Bruno
perch’io sia giunto forse alquanto tardo,
non t’incresca restare a parlar meco;
vedi che non incresce a me, e ardo!
Dante
They laughed at me as “Prof. Moon”,
As a boy in Spoon River, born with the thirst
Of knowing about the stars.
They jeered when I spoke of the lunar mountains,
And the thrilling heat and cold,
And the ebon valleys by silver peaks,
And Spica quadrillions of miles away,
And the littleness of man.
But now that my grave is honored, friends,
Let it not be because I taught
The lore of the stars in Knox College,
But rather for this: that through the stars
I preached the greatness of man,
Who is none the less a part of the scheme of things
For the distance of Spica or the Spiral Nebulae;
Nor any the less a part of the question
Of what the drama means.
E. L. Masters
Indice
Introduzione
1
Convenzioni ed Abbreviazioni
5
1 Il problema cosmologico
7
1.1 Le basi della Relatività Generale
. . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1.1
Equazioni di campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1.2
Equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.1.3
Considerazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2 Il principio cosmologico e la metrica di Robertson-Walker . .
11
1.2.1
Il principio cosmologico . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.2.2
La metrica di Robertson-Walker . . . . . . . . . . . .
14
1.2.3
La legge di Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.3 Redshift e parametro di decelerazione . . . . . . . . . . . . .
17
1.4 Equazioni di Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.5 Equazione di stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.6 Parametro di densità e relazione tempo-redshift . . . . . . .
21
1.7 Modelli di Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.8 Orizzonti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.9 Formazione delle strutture cosmiche . . . . . . . . . . . . . .
28
1.9.1
Cenni preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.9.2
I problemi del modello standard . . . . . . . . . . . .
30
1.9.3
Le prime perturbazioni . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.9.4
Teoria di Jeans e crescita delle perturbazioni . . . . .
32
i
1.9.5
Simulazioni numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.9.6
Spettro di potenza, varianza e funzioni di massa . . .
46
2 Le prime stelle e la reionizzazione dell’universo
2.1 Formazione di oggetti di popolazione III . . . . . . . . . . .
53
55
2.1.1
Protogalassie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
2.1.2
Stelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
2.1.3
Osservabilità
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
2.2 Proprietà della popolazione III . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
2.2.1
Funzione di nascita . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
2.2.2
Caratteristiche fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.2.3
Evoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.3 Meccanismi di feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
2.3.1
Feedback radiativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
2.3.2
Feedback meccanici . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
2.3.3
Feedback chimici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
2.4 Reionizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
2.4.1
Reionizzazione dell’idrogeno . . . . . . . . . . . . . .
70
2.4.2
Reionizzazione dell’elio . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
2.4.3
Arricchimento metallico dell’IGM . . . . . . . . . . .
73
3 Quadro osservativo
3.1 Parametri geometrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
79
3.1.1
Costante di Hubble H0 . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
3.1.2
Parametro di densità Ω0 . . . . . . . . . . . . . . . .
81
3.2 Parametri spettrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
3.2.1
Ampiezza delle fluttuazioni σ8 . . . . . . . . . . . . .
86
3.2.2
Indice spettrale n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
3.3 Spessore ottico τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
3.4 Parametro di stato per l’energia oscura wDE . . . . . . . . .
89
3.5 Sommario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
4 Modelli di quintessenza
95
4.1 I problemi connessi con la costante cosmologica . . . . . . .
96
4.2 Quintessenza
99
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1
Azione per la quintessenza . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.2
Dinamica della quintessenza . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3 Proprietà della quintessenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3.1
Quintessenza con proprietà di tracker . . . . . . . . . 108
4.3.2
Potenziali Ratra & Peebles e SUGRA . . . . . . . . . 111
4.4 Alcune considerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5 Simulazioni
123
5.1 Il codice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.2 I modelli cosmologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.3 Caratteristiche delle simulazioni . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.4 Indice spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.5 Distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6 Risultati delle simulazioni
139
6.1 Tecniche di analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.2 Analisi degli aloni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2.1
Densità numeriche: andamenti generali . . . . . . . . 142
6.2.2
Confronto con le predizioni teoriche . . . . . . . . . . 145
6.2.3
Funzioni di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.2.4
Effetto della limitatezza del volume delle simulazioni
sulle funzioni di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.3 Analisi dei gruppi di gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.4 Considerazioni sulla reionizzazione
. . . . . . . . . . . . . . 172
6.5 Oggetti più grandi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7 Implicazioni per la reionizzazione
181
7.1 Spessore ottico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.2 Formazione stellare dopo la reionizzazione: modello di SFR . 188
7.3 Considerazioni finali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
8 Conclusioni
199
Appendici
205
A Random Walk
205
A.1 Approccio generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
A.2 Barriera riflettente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
A.3 Barriera assorbente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
A.3.1 Distribuzione di probabilità . . . . . . . . . . . . . . 210
A.3.2 Tasso di probabilità di deposito sulla barriera
(velocità di arrivo sulla barriera)
. . . . . . . . . . . 210
B Excursion Set e funzioni di massa
215
B.1 Cammini Browniani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
B.2 Modello degli Excursion Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
B.3 Funzione di massa differenziale
. . . . . . . . . . . . . . . . 221
B.4 Funzione di massa condizionale . . . . . . . . . . . . . . . . 223
C Formalismo generale nella Teoria dei Campi classica
225
C.1 Equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
C.2 Tensore energia-impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Bibliografia
231
Ringraziamenti
239
Elenco delle tabelle
3.1 Parametri di best-fit per il modello ΛCDM − P L . . . . . .
92
3.2 Parametri di best-fit per il modello ΛCDM − RSI
. . . . .
92
3.3 Parametri di best-fit per il modello ΛCDM − RSI
. . . . .
93
7.1 Vari modelli di quintessenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
v
Elenco delle figure
1.1 Diagramma a cono della SDSS . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
13
14
1.4 Andamenti della funzione di crescita . . . . . . . . . . . . .
35
1.5 Andamenti per δc in regime lineare e non lineare . . . . . . .
39
1.6 Spettro di potenza e ∆2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
1.7 Funzione di trasferimento di Bardeen . . . . . . . . . . . . .
49
1.8 Funzioni di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
1.9 Funzioni di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.1 Evoluzione delle nubi di gas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
2.2 Spettri sintetici di popolazioni stellari . . . . . . . . . . . . .
63
2.3 Collasso di una stella di popolazione III . . . . . . . . . . . .
64
3.1 Mappe bidimesionali delle fluttuazioni in temperatura nel
CMB ottenute da COBE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
3.2 Distribuzione angolare delle fluttuazioni in temperatura nel
CMB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
3.3 Mappa bidimesionale delle fluttuazioni in temperatura nel
CMB ottenuta da WMAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
3.4 Spettro di potenza angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
3.5 Limiti su h − Ω0M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
3.6 Accelerazione e decelerazione dalle SN . . . . . . . . . . . .
83
3.7 Accelerazione e decelerazione dalle SN . . . . . . . . . . . .
84
vii
3.8 Limiti su Ω0M − Ω0Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
3.9 Limiti su Ω0M − Ω0Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
3.10 Spettro di potenza dedotto da WMAP . . . . . . . . . . . .
87
3.11 Verosimiglianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
3.12 Reionizzazione dallo spettro di potenza angolare . . . . . . .
88
3.13 Degenerazione tra Ω0M − w dalle SN . . . . . . . . . . . . .
89
3.14 Degenerazione tra Ω0M − w e h − w . . . . . . . . . . . . . .
90
3.15 Degenerazione tra Ω0M − w e h − w con il vincolo w > −1 .
91
4.1 Andamento per la quintessenza . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.2 Andamenti per la quintessenza . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.3 Equazione di stato per la quintessenza . . . . . . . . . . . . 112
4.4 Esempi dell’evoluzione in redshift del parametro di stato in
vari modelli di quintessenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.1 Evoluzione in redshift del parametro di stato in un modello
di quintessenza con potenziale SUGRA e w = −0.85 al presente125
5.2 Differenze indotte su σ(M) da un indice spettrale costante
n = 1 ed uno variabile in k (RSI) . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.3 Differenze indotte su P (k) e ∆2 (k) da un indice spettrale
costante ed uno variabile in k (RSI) . . . . . . . . . . . . . . 129
5.4 Dipendenze di P (k) e ∆2 (k) dai parametri spettrali Γ e σ8 . 130
5.5 Mappe per tutti i modelli allo stesso redshift . . . . . . . . . 132
5.6 Mappe per il modello ΛCDM − RSI . . . . . . . . . . . . . 133
5.7 Mappe per il modello SUGRA-RSI . . . . . . . . . . . . . . 134
5.8 Mappe per il modello ΛCDM . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.9 Mappe per il modello SUGRA . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.10 Mappe per i redshift più bassi . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.11 Mappe per i redshift più bassi . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.1 Densità in numero degli aloni di materia oscura in funzione
del redshift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2 Densità in numero degli aloni di materia oscura in funzione
del redshift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.3 Varianze di massa nelle simulazioni . . . . . . . . . . . . . . 146
6.4 Funzioni di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.16 Densità in numero dei gruppi di gas in funzione del redshift . 165
6.17 Frazioni barioniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.18 Evoluzione in redshift del clumping factor . . . . . . . . . . 169
6.19 Evoluzione in redshift del tempo di ricombinazione . . . . . 170
6.20 Evoluzione in redshift del rapporto tra il numero di clouds
ed il tempo di ricombinazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.21 Evoluzione in redshift della massa per gli oggetti più grandi
175
6.22 Profili di densità della materia oscura intorno all’ alone più
grande per il modello ΛCDM − RSI . . . . . . . . . . . . . 177
6.23 Profili di densità del gas intorno all’alone più grande per il
modello ΛCDM − RSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.24 Profili dell’energia interna del gas intorno all’alone più grande
per il modello ΛCDM − RSI . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.1 Spessore ottico per il modello ΛCDM . . . . . . . . . . . . . 183
7.2 Spessore ottico per i modelli ΛCDM e SUGRA . . . . . . . 184
7.3 Spessore ottico integrato per vari modelli di quintessenza . . 186
7.4 Andamenti dello SFR per il modello ΛCDM . . . . . . . . . 194
7.5 Andamenti dello SFR per i modelli ΛCDM, ΛCDM − RSI,
SUGRA e SUGRA − RSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.6 Andamenti dello SFR per vari modelli di quintessenza . . . . 197
Introduzione
Intraturus es urbem
dis hominibus communem,
certis legibus aeternisque devinctam,
indefatigata caelestium officia volventem.
Seneca
La cosmologia è una delle discipline maggiormente presenti nella storia
del pensiero umano: a partire dalle filosofie orientali e dalle scuole della
Grecia Antica, l’uomo si è sempre posto il problema di capire l’essenza o
almeno giustificare l’esistenza di ciò che lo circonda.
Da un punto di vista scientifico e matematico, la cosmologia nasce
relativamente tardi. Ufficialmente, il punto di svolta è segnato da un breve
articolo di Einstein, pubblicato nel 1917, in cui lo scienziato tedesco propone
di utilizzare la teoria della Relatività Generale per studiare l’universo.
Da lı̀, per tutto il corso del secondo ed, in parte, del terzo decennio del
XX secolo, si svilupperà un filone di pubblicazioni che porterà all’analisi
dei vari modelli cosmologici ed alla loro sistemazione formale. I principali
autori dell’immane lavoro, oltre ad Einstein, saranno astronomi, fisici
e matematici del calibro di Friedmann, de Sitter, Lemaı̂tre, Robertson,
Walker, Eddington.
Parallelamente agli studi teorici, ci sono anche studi osservativi sugli spettri
delle nebulose extra-galattiche (ovvero le galassie esterne) che risultano
sistematicamente spostati verso il rosso. Nel 1929, nel tentativo di capire
quale fosse la causa di tale spostamento verso il rosso (redshift), Hubble
e Humason compiono una delle scoperte più sconvolgenti della storia della
2
scienza: usando le Cefeidi come candele standard, essi si accorgono che
la velocità di recessione delle nebulose extra-galattiche è proporzionale alla
loro distanza dall’osservatore (legge di Hubble). L’interpretazione data dai
teorici era basata semplicemente sull’espansione cosmica: lo spazio si dilata
nel tempo in ogni direzione, trascinando con sé tutti i punti dell’universo;
cosı̀ ogni osservatore, in qualsiasi posizione si trovi, osserva tutti gli altri
punti allontanarsi da lui secondo la legge di Hubble.
Notiamo che l’idea appena proposta evita, copernicanamente, qualsiasi sorta
di antropocentrismo, perché ogni osservatore, in ogni punto dell’universo,
osserva lo stesso fenomeno. Ovviamente l’asserzione non è verificabile e va
pertanto assunta come un postulato.
A partire dagli anni quaranta, vennero elaborati anche modelli in grado di
descrivere l’evoluzione del “contenuto” dell’universo; i più popolari erano il
Modello dello Stato Stazionario, di H. Bond e T. Gold e di F. Hoyle, ed il
Modello di G. Gamow, detto dagli oppositori, dispregiativamente, del Big
Bang.
Secondo il primo, l’universo si espanderebbe mantenendo le sue proprietà
invariate nel tempo attraverso una continua creazione di materia che
garantirebbe la costanza della densità cosmica.
Il secondo, invece, parte da una visione evolutiva secondo la quale
l’espansione dovrebbe provocare il raffreddamento e la rarefazione del fluido
cosmico facendolo passare, cosı̀, da temperature e densità spropositatamente
elevate nel passato, a quantità via via più basse, fino a raggiungere i valori
attualmente osservabili. In particolare, dovrebbe essere esistita un’epoca1 in
cui la radiazione elettromagnetica e la materia erano, in tutto l’universo, in
equilibrio termico con uno spettro energetico di corpo nero. Al decrescere
della temperatura, a causa dell’espansione, gli elettroni liberi avrebbero
cominciato a ricombinarsi con i protoni per formare idrogeno neutro e,
quando si sarebbe giunti al di sotto di circa 3500 K, avremmo assistito ad un
1
A circa 300000 anni di vita, quando la temperatura media è di circa 5000 K.
3
“disaccoppiamento” (si dice pure ultima interazione o last scattering) che
avrebbe separato l’evoluzione della radiazione dalla materia e “congelato”
lo spettro energetico dei fotoni nella sua momentanea forma di spettro
di corpo nero. Tutto ciò implicherebbe l’esistenza, ancora oggi, di quella
originaria radiazione come fondo cosmico; essa avrebbe uno spettro sempre
di corpo nero, ma piccato, per via dell’intercorsa espansione, a temperature
dell’ordine di alcuni gradi Kelvin.
La scoperta della radiazione cosmica di fondo (CMB) venne fatta,
casualmente, nel 1964, da A. Penzias e R. Wilson e giustificata teoricamente
l’anno seguente, da R. Dicke e P. J. E. Peebles. Essa sosteneva il modello del
Big Bang in manera palese e non poteva in alcun modo essere giustificata
dallo Stato Stazionario. Tuttavia, per avere il primo spettro completo, si
sarebbe dovuto aspettare il satellite COBE (Cosmic Background Explorer ),
lanciato nel 1989.
Un problema oggi ancora del tutto irrisolto è quello dell’energia oscura
che sembrerebbe dominare la densità di energia dell’universo costituendo
una sorta di “quinto elemento”, omogeneo ed isotropo, almeno su scale
dell’orizzonte, a fianco della materia oscura, della materia barionica, della
radiazione e dei neutrini. La natura ultima di questa quintessenza non è
chiara, ma si pensa essa sia associabile ad un campo scalare lentamente
variabile originatosi subito dopo l’inflazione.
Lo scopo del presente lavoro di Tesi è proprio cercare di capire come
l’energia oscura influenzi la formazione e l’evoluzione delle strutture ad
alti redshift e vedere quali connessioni esistano con una fase di completa
reionizzazione ad un redshift pari a circa 15.
Abbiamo strutturato il lavoro come segue: dopo una introduzione generale
al problema cosmologico (capitolo I) e alla formazione dei primi oggetti
e delle prime stelle (capitolo II), presentiamo un sunto dei recenti dati
4
osservativi (capitolo III) ed un quadro globale sul formalismo matematico
con cui si tratta l’energia oscura o quintessenza (capitolo IV). Visto, poi,
che lo studio della formazione delle strutture si effettua numericamente,
abbiamo deciso di seguire delle simulazioni (capitolo V) e analizzarne i
risultati (capitolo VI). Infine, abbiamo cercato di desumere le implicazioni
circa la reionizzazione e gli effetti sulla successiva formazione stellare,
mediante un semplice modello analitico di formazione stellare (capitolo VII).
Il lavoro termina con un breve resoconto dei risultati (Conclusioni) e tre
appendici matematiche in cui si discutono i moti browniani o random walk
(appendice A), importanti per il calcolo corretto delle funzioni di massa
(appendice B), e il formalismo generale nella Teoria dei Campi classica
(appendice C).
Convenzioni ed Abbreviazioni
Ond’io per lo tuo me’ penso e discerno
che tu mi segui, e io sarò tua guida
...
Dante
Per quanto riguarda le convenzioni usate nel testo, per la metrica è stata
scelta la segnatura (+, −, −, −); si è indicato il d’Alambertiano covariante
√
con ≡ g µν ∇µ ∇ν
= √1−g ∂µ ( −gg µν ∂ν ); il tensore di Riemann è
stato definito come segue: Rαβγδ = Γαβδ,γ − Γαβγ,δ + Γαsγ Γsβδ − Γαsδ Γsβγ ;
nelle equazioni di Einstein la costante cosmologia Λ è stata presa maggiore di
zero e con un segno tale da contribuire positivamente alla densità di energia
e negativamente alla pressione. La velocità della luce è stata indicata con c
e, per evitare confusione, quella del suono con vs ; il parametro di espansione,
o fattore di scala, nella metrica FLRW e nelle equazioni di Friedmann, è
stato indicato con a, il redshift con z, mentre le metallicità con Z.
Tutte le grandezze che si riferiscono al Sole sono indicate con il pedice ⊙ .
In alcuni casi (per esempio il quarto capitolo), sono state adottate le unità
naturali con ~ = c = 1.
Sono inoltre stati usati i seguenti simboli:
∂f
∂xµ
o ∂µ f o f,µ derivata parziale di f
rispetto alla variabile xµ
∇µ f o f;µ
derivata covariante di f
rispetto alla variabile xµ
f˙
derivata temporale di f
kB
costante di Boltzmann
M⊙
massa solare
≃
circa uguale
∼
stima dell′ ordine di grandezza,
andamento asintotico
≈
approssimazione
≡
uguale per def inizione
∝
proporzionale
→
reagiscono per dare
⇒
implicazione
∀
per ogni
∈
appartenenza
Le distanze tipiche, in cosmologia, sono dell’ordine del milione di parsec,
megaparsec, Mpc, dove 1 Mpc = 106 pc; il parsec, pc, è definito come la
distanza alla quale si trova un osservatore che vede una lunghezza pari alla
distanza media Terra - Sole (una unità astronomica, AU) sotto un angolo
di un secondo d’arco (1′′ ): poiché 1 AU ≃ 1.49 · 108 km e in un radiante ci
sono circa 206265′′, allora 1 pc ≃ 3.08 · 1018 cm.
Nel corso della trattazione faremo spesso uso del parametro h: esso
rappresenta la costante di Hubble per unità di centinaia di km/s/Mpc e
vale approssimativamente 0.7 .
La densità critica dell’universo all’epoca attuale,
ricordiamo,
vale
ρ0cr ≃ 1.9 · 10−29 h2 g/cm3 ≃ 2.775 · 1011 h2 M⊙ /Mpc3 , la massa del Sole
M⊙ ≃ 1.99 · 1033 g, la massa del protone mH ≃ 1.67 · 10−24 g e la costante
di Boltzmann kB ≃ 1.38 · 10−16 erg/K.
Capitolo 1
Il problema cosmologico
Sicelides Musae, paulo maiora canamus!
Non omnes arbusta iuvant humilesque myricae.
Virgilio
In questo primo capitolo, ci proponiamo di illustrare, da un punto di
vista fisico-matematico, il problema cosmologico nel suo complesso. In
particolare, faremo riferimento ai metodi e alle teorie base che hanno
permesso, e permettono ancora, di sviluppare una conoscenza adeguata
dell’universo - inteso come spaziotempo - e delle strutture in esso presenti:
galassie, ammassi di galassie, etc.
Come è ovvio, su grande scala, l’unica forza apprezzabile è la gravità, quindi
adotteremo la teoria che meglio descrive i processi gravitazionali, la teoria
della Relatività Generale, e vedremo come essa, con l’assunzione di un
principio cosmologico, porti alla costruzione di modelli in grado di predire
l’evoluzione dell’universo.
La teoria di Jeans, invece, ci permetterà di comprendere la crescita e lo
sviluppo delle strutture cosmiche, almeno in un regime che chiameremo
lineare; se desideriamo andare oltre, bisognerà ricorrere all’ausilio di
simulazioni numeriche.
8
1.1
Le basi della Relatività Generale
L’idea fondamentale della teoria einsteiniana della gravitazione è cessare di
pensare alla gravità come ad una forza a distanza e sposare un approccio
geometrico delle interazioni fra i corpi.
Il sunto di tutta la teoria è
spesso spiegato tramite il celebre motto di Misner, Thorne e Wheeler
(vedi le referenze [29], [4]): in Relatività Generale, la materia insegna
allo spaziotempo come curvarsi, lo spaziotempo insegna alla materia come
muoversi.
Il concetto che si vuole esprimere è il seguente: la teoria (vedi per esempio
[15]) suppone che ogni corpo massivo sia in grado, con la sua sola massa,
di modificare la struttura dello spaziotempo circostante e che un qualsiasi
corpo di prova (massivo e non massivo) si muova lungo le geodetiche della
geometria modificata. In tal modo, lo studio del moto di un corpo di prova
in un campo gravitazionale generato da una data distribuzione di massa
diventa un problema di determinazione di metriche, o meglio di tensori
metrici.
Ricordiamo che, per definizione, un tensore metrico di componenti gij ci
permette di scrivere l’elemento di linea infinitesimo come
ds2 = gij dxi dxj
(1.1)
e inoltre risulta essere simmetrico
gij = gji.
1.1.1
(1.2)
Equazioni di campo
Per determinare le componenti del tensore metrico gµν 1 , nota la
distribuzione di massa che funge da sorgente del campo gravitazionale,
Einstein propose, in origine (1916), le seguenti equazioni di campo
Gµν = κTµν ,
1
(1.3)
D’ora in avanti sottintenderemo gli indici variare tra 0 e 3 e li indicheremo con le lettere
dell’alfabeto greco; le lettere latine saranno usate per indicare solo le componenti spaziali e
varieranno tra 1 e 3; la componente temporale è quella indicata con 0.
1.1 Le basi della Relatività Generale
9
dove Tµν è il tensore energia-impulso che descrive la distribuzione delle
sorgenti e Gµν è il tensore di Einstein che vale
1
Gµν = Rµν − gµν R.
2
(1.4)
Il tensore Gµν è una combinazione del tensore di Ricci Rµν e dello scalare
di Ricci R = g µν Rµν . Il tensore di Ricci è definito come segue
Rµν = Rλµλν ,
(1.5)
cioè è il tensore di Riemann Rλµνρ contratto sull’unico indice contravariante
e sul secondo indice covariante2 . La definizione del tensore di Riemann che
adotteremo è la seguente3 ,4 :
Rλµνρ = Γλµρ,ν − Γλµν,ρ + Γλσν Γσµρ − Γλσρ Γσµν ,
(1.6)
essendo
1
Γλµν = g λσ (gσµ,ν + gνσ,µ − gµν,σ )
2
i coefficienti di connessione.
(1.7)
La (2.2) rappresenta sedici equazioni di cui solo dieci risultano indipendenti
data la simmetria dei tensori appena definiti. La costante di proporzionalità
κ viene calibrata in base al limite classico: si tratta di un limite non
relativistico, statico e di campo debole. In tal modo, le dieci equazioni
di campo si riducono all’equazione di Poisson
△φ = 4πGρ
(1.8)
scegliendo5
κ=
8πG
.
c4
2
(1.9)
È questa l’unica contrazione indipendente possibile.
Ci possono essere ambiguità sui segni a seconda degli autori.
4
Indichiamo con una virgola l’operazione di semplice derivazione e con un punto e virgola
l’operazione di derivazione covariante.
5
A volte si include un c2 nel tensore energia-impulso, ottenendo
3
8πG
;
c2
oppure, se si definisce il tensore di Riemann con il segno cambiato,
κ=
8πG
;
c4
in ogni modo, per le varie convenzioni si veda pure [29], [26], [46], [4].
κ=−
10
Le equazioni di campo in forma più esplicita si riscrivono quindi:
1
8πG
Rµν − gµν R = 4 Tµν .
2
c
(1.10)
Notiamo che esse sono dieci equazioni differenziali alle derivata parziali del
second’ordine nelle componenti del tensore metrico (che fungono, pertanto
da potenziali); inoltre, calcolando la quadridivergenza covariante delle
(1.10) e sfruttando le identità di Bianchi Gµν ;ν = 0, si trova T µν;ν = 0,
corrispondente alla conservazione delle sorgenti.
A questo punto, assegnato il tensore energia-impulso si può risalire al tensore
metrico.
1.1.2
Equazioni del moto
Noto il tensore metrico, è relativamente semplice stabilire il moto di un
corpo di prova: esso segue le equazioni della geodetica
ν
µ
d2 xλ
λ dx dx
+
Γ
= 0,
µν
dτ 2
dτ dτ
(1.11)
essendo xλ le quattro componenti spaziotemporali del punto in moto e τ
il tempo proprio. Anche le equazioni del moto portano al corretto limite
classico
ẍi = −
∂φ(x)
∂xi
(1.12)
se imponiamo che il potenziale sia legato alla metrica general relativistica
dalla seguente condizione
φ(x) =
con
h00 (x)
c2
h00 (x) + costante
2
perturbazione
della
metrica
(1.13)
minkowskiana
ηµν = diag(1, −1, −1, −1) nel limite di campo debole:
gµν = ηµν + hµν
(1.14)
|hµν | ≪ 1
(1.15)
e
1.2 Il principio cosmologico e la metrica di Robertson-Walker
11
Le equazioni (1.11) giustificano, tra l’altro, anche il principio di equivalenza
debole sull’uguaglianza delle masse inerziale e gravitazionale, in base al
quale il moto di un corpo di prova, nel vuoto, non dipende dalla sua massa.
1.1.3
Considerazioni generali
Vogliamo, in ultima analisi, osservare che, benché concettualmente il quadro
sia chiuso, in pratica, risulta molto complesso scegliere un tensore energiaimpulso adeguato per ogni corpo arbitrariamente scelto; inoltre, seppure
si possa superare questo primo ostacolo, rimane il problema di risolvere le
equazioni di campo (1.10): anche se esistono particolari soluzioni esatte
per il calcolo del tensore metrico6 , in generale, bisogna procedere con
approssimazioni e/o ipotesi aggiuntive. In cosmologia, fortunatamente è
possibile arrivare ad una metrica esatta, seppure a costo di introdurre un
pincipio cosmologico.
1.2
Il principio cosmologico
Robertson-Walker
e
la
metrica
di
L’osservazione cruciale per la nascita della cosmologia moderna è dovuta
ad Hubble e Humason: essi, nel 1929, si accorsero che le galassie hanno
una velocità di recessione proporzionale alla loro distanza7 e questo poteva
essere giustificato solo ammettendo una espansione cosmica dell’universo,
in ogni direzione ([17],[18]). Contemporaneamente, erano stati ultimati
già alcuni studi teorici basati sulla Relatività Generale e mostranti
una possibile evoluzione dell’universo in grado di rendere conto delle
osservazioni. I principali artefici di tali indagini erano stati, negli anni
venti del XX secolo, il matematico russo Friedmann, l’astronomo belga
Lemaı̂tre e, poco più tardi, i due americani Robertson e Walker, i quali
6
Basta pensare ai molteplici casi dei buchi neri.
La velocità di un oggetto astronomico si determina spettroscopicamente, invece, per le
distanze, bisogna avere dei ‘calibratori’ o ‘candele standard’, come le stelle variabili usate da
Hubble e Humason: le Cefeidi. Lo studio delle stelle variabili era cominciato a partire dai primi
anni del XX secolo; ci riferiamo, per esempio, all’articolo di Shapley del 1916, [36].
7
12
risistemarono in maniera formalmente migliore i risultati precedentemente
ottenuti da Friedmann e Lemaı̂tre. La conclusione fondamentale di quegli
anni di lavoro è rappresentata dalla metrica che porta il loro nome,
la metrica di Friedmann-Lemaı̂tre-Robertson-Walker (FLRW), più spesso
detta semplicemente metrica di Robertson-Walker.
1.2.1
Il principio cosmologico
La teoria della Relatività Generale è una teoria di campo che
lega una distribuzione continua di sorgenti gravitazionali alla metrica
spaziotemporale circostante.
Tuttavia, nell’universo, la materia si
distribuisce in modo ‘granulare’, perciò l’unica via per usare la teoria
einsteiniana è trattarla come un fluido; allora, si assume8 che essa sia
distribuita, in tutto l’universo, con densità media costante, ad ogni fissato
tempo cosmico: ciò risulta una buona approssimazione se si considerano
scale al di sopra di circa 300 Mpc, come dimostrano le figure 1.1, 1.2 e 1.3.
L’ipotesi fatta è, a tutti gli effetti, equivalente a richiedere che le proprietà
del fluido cosmico siano:
- le stesse in ogni direzione, rispetto ad un dato punto, ovverosia
isotrope;
- isotrope rispetto ad ogni punto, ovverosia omogenee.
Le due proprietà suddette costituiscono il principio cosmologico o principio
di omogeneità ed isotropia dell’universo. Questo più geometricamente si
può enunciare come segue:
lo spaziotempo è foliato in ipersuperfici spaziali omogenee.
Osserviamo che uno spazio è omogeneo se conserva, in ogni punto, le stesse
proprietà, in particolare la curvatura, la quale risulterà costante su tutta la
varietà.
8
Notiamo che tale assunzione non è direttamente sperimentabile.
Figura 1.1: diagramma a cono della SDSS (Sloan Digital Sky Survey).
13
14
1.2.2
La metrica di Robertson-Walker
Possiamo considerare un sistema di riferimento solidale con un osservatore
localmente inerziale, che segue l’espansione dell’universo: le coordinate xλ
di un certo evento rispetto al sistema considerato sono dette coordinate
comoventi.
L’intervallo spaziotemporale infinitesimo che soddisfa, nelle
equazioni di campo (1.10), il principio cosmologico, è del tipo
ds2 = (cdt)2 − a2 (t)dl2 ,
(1.16)
essendo a(t) un opportuno parametro di espansione (o fattore di scala) e dl
l’elemento di linea infinitesimo misurato attraverso le coordinate comoventi
(in genere si usano coordinate polari). A seconda della geometria il termine
dl2 in (1.16) avrà espressioni diverse: è possibile dimostrare che, sotto
il vincolo del principio cosmologico, esistono solo tre possibili forme per
l’elemento di linea comovente, corrispondenti ai soli tre spazi omogenei
possibili. In una scrittura molto compatta si ha
dr 2
2
2
2
2
2
2
2
ds = (cdt) − a (t)
+ r (dθ + sin θdϕ )
1 − Kr 2
(1.17)
15
dove
• K = 0 si riferisce al caso di spazi piatti (geometria euclidea)
• K > 0 si riferisce al caso di spazi chiusi (geometria ipersferica)
• K < 0 si riferisce al caso di spazi aperti (geometria iperbolica)
La forma quadratica (1.17) è la metrica FLRW. Inoltre, è sempre possibile
ridefinire simultaneamente K ed a(t) e ottenere 0, +1, −1, rispettivamante,
come valori del parametro geometrico K. Notiamo pure che la metrica
(1.17), per K = 0, è conformemente piatta, infatti basta introdurre un
tempo conforme τ in modo da avere
Z
τ=
t
dt′
,
a(t′ )
per ricavare subito, dalla (1.17),
dr 2
2
2
2
2
2
2
2
ds = a (τ ) (cdτ ) −
− r (dθ + sin θdϕ )
1 − Kr 2
(1.18)
(1.19)
e, nel caso di curvatura spaziale nulla,
ds2 = a2 (τ ) (cdτ )2 − dr 2 − r 2 (dθ2 + sin2 θdϕ2 ) ;
(1.20)
l’espressione precedente è proprio, come anticipato, la forma quadratica
associata ad una metrica conformemente piatta.
1.2.3
La legge di Hubble
A questo punto, studiare l’evoluzione dell’universo significa studiare,
essenzialmente, l’evoluzione nel tempo del parametro di espansione. Un
primo importante risultato lo si raggiunge facilmente analizzando come
variano le distanze cosmiche.
La distanza propria percorsa dalla luce,
viaggiando su una geodetica nulla è, per ovvia definizione:
Z r
a(t)
dp (t) ≡
dr ′ ;
1/2
0 (1 − Kr ′2 )
(1.21)
ignoriamo la parte angolare, perché è sempre possibile scegliere un sistema
di coordinate in cui dθ = 0 e dϕ = 0. La formula (1.21) fornisce la distanza
16
propria di un punto posto alla coordinata comovente r: essa è la distanza
rispetto all’origine del riferimento, come misurata da una catena di regoli
infinitesimi congiungenti il punto in questione con l’origine stessa ( come si
evince dalla definizione, la distanza propria è funzione del tempo cosmico
t). A seconda della geometria, si trova
dp (t) = a(t)f (r),
dove
f (r) =
Z
0
ossia, risolto l’integrale,
r
dr ′
(1 − Kr ′2 )1/2

 arcsinr
r
f (r) =

arcsinhr
K=1
K=0
K = −1
(1.22)
(1.23)
(1.24)
La dipendenza temporale è solo in a(t), quindi, qualunque sia l’espressione
di f (r), ovvero qualunque sia la varietà spaziale dell’universo, la velocità di
recessione di un punto dovuta all’espansione cosmica è
v(t) =
d
ȧ(t)
dp (t) = ȧ(t)f (r) =
dp (t);
dt
a(t)
(1.25)
definendo il parametro di Hubble
H(t) ≡
ȧ(t)
,
a(t)
(1.26)
possiamo scrivere
v(t) = H(t)dp (t)
(1.27)
che letta al tempo presente t = t0 fornisce
v = H0 d p
(1.28)
essendo
H0 =
ȧ(t0 )
ȧ0
≡
a(t0 )
a0
(1.29)
la costante di Hubble. Spesso, si pone H0 = 100h km/s/Mpc, essendo h
il parametro che specifica il suo valore esatto. La relazione (1.28) è la ben
1.3 Redshift e parametro di decelerazione
17
nota legge di Hubble e, siccome non dipende dalle coordinate, ma solo dal
parametro di espansione, essa, fissato il tempo cosmico, è la stessa in ogni
punto dell’universo.
1.3
Redshift e parametro di decelerazione
Oltre al parametro di Hubble (2.15), la quantità utilizzata più comunemente
in cosmologia è il redshift. Data una sorgente di radiazione che emette,
nell’istante te , ad una lunghezza d’onda λe , definiamo il redshift z di quella
sorgente come segue:
z≡
λo − λe
λe
(1.30)
dove λo è la lunghezza d’onda della stessa radiazione come misurata da
un osservatore che la riceve in un istante successivo to > te . Visto che la
radiazione segue le geodetiche nulle, deve valere la condizione
f (r) =
Z
0
r
dr ′
=
(1 − Kr ′2 )1/2
Z
to
te
cdt
=
a(t)
Z
to +δto
te +δte
cdt
a(t)
(1.31)
sia per un fotone emesso in te ed osservato in to che per uno emesso in
te + δte ed osservato in to + δto . Dalla (1.31), nell’ipotesi che gli incrementi
δte e δto siano, verosimilmente, piccoli rispetto a te e to , rispettivamente, si
trova:
δte
δto
=
ae
ao
(1.32)
ao νo = ae νe
(1.33)
ovvero, passando alle frequenze,
e passando alle lunghezze d’onda
ao
ae
=
λo
λe
(1.34)
da cui
1+z =
ao
.
ae
(1.35)
18
Il redshift z è cosı́ legato ad a(t) e si usa spesso per parametrizzare
l’evoluzione temporale dei modelli cosmologici.
Per concludere, possiamo definire anche il parametro di decelerazione q :
q(t) = −
ä(t)a(t)
;
ȧ(t)2
(1.36)
letto al tempo presente
q0 = −
ä0 a0
;
ȧ20
(1.37)
esso è adimensionale e positivo quando l’espansione dell’universo è
decelerata e negativo quando è accelerata.
1.4
Equazioni di Friedmann
Le equazioni di Friedmann sono alla base dell’evoluzione dinamica
dell’universo: esse si ricavano a partire dalle equazioni di campo (1.10),
assumendo la metrica di Robertson-Walker e un tensore energia-impulso
per le sorgenti gravitazionali di fluido perfetto in spazi curvi:
Tµν = (P + ρc2 )Uµ Uν − P gµν .
(1.38)
Qui, ρ è la densità di energia, P la pressione, Uµ le componenti
della quadrivelocità e gµν le componenti del tensore metrico.
Come
abbiamo accennato, la (1.10) rappresenta dieci equazioni differenziali,
mentre il nostro unico parametro è a(t), quindi il sistema di equazioni è
sovrabbondante; a conti fatti, troviamo che:
• l’equazione relativa ai soli indici temporali
G00 = κT00
porge
4
3P
ä = − πG ρ + 2 a;
3
c
(1.39)
1.4 Equazioni di Friedmann
19
• le tre equazioni relative agli indici spaziali omonimi
Gii = κTii
danno tutte la stessa espressione che con l’aiuto della (1.39) si può
mettere nella forma
8
ȧ2 + Kc2 = πρGa2
3
(1.40)
• le sei equazioni relative agli indici misti
Gµν = κTµν ,
(µ 6= ν)
sono identicamente nulle.
Le (1.39) e (1.40) sono dette equazioni di Friedmann e dettano l’evoluzione
dinamica di a(t). Esse sono collegabili l’una all’altra attraverso la condizione
di adiabaticità
d(ρc2 a3 ) = −P da3 ,
(1.41)
per cui, le (1.39) e (1.40) unite alla (1.41) formano un set di equazioni
dipendenti.
Considerando le equazioni di campo (1.10), è interessante notare che
aggiungendo un termine del tipo Λgµν si ottiene
1
8πG
Rµν − gµν R − Λgµν = 4 Tµν
2
c
(1.42)
ma le leggi di conservazione rimangono inalterate T µν;ν = 0, in virtù
del fatto che, essendo la metrica covariantemente costante, è ancora
(Gµν − Λg µν );ν = 0.
Einstein, nel 1919, volendo un universo statico ed ipersferico introdusse la
cosiddetta costante cosmologica Λ come una nuova possibile componente
geometrica dell’universo9 in grado di generare una sorta di repulsione
cosmica e di opporsi all’espansione. In seguito, con la scoperta della legge
9
ˆ
˜
Le dimensioni di Λ sono L−2 , come si evince facilmente dalla (1.42).
20
di Hubble, fu ‘ripudiata’ e considerata come un grave errore10 ; tuttavia,
in seguito, sarebbe stata comunque invocata più volte per giustificare i
dati osservativi e ancora oggi sembra che nell’universo essa contribuisca,
in maniera non trascurabile, alla densità di energia.
In presenza di costante cosmologica, le equazioni di Friedmann cambiano
lievemente perché invece di Tµν , ρ, e P bisogna considerare rispettivamente
c4
Λ
Λgµν ≡ Tµν + Tµν
,
8πG
Λc2
≡ ρ + ρΛ ,
ρ̃ = ρ +
8πG
Λc4
P̃ = P −
≡ P + PΛ
8πG
T̃µν = Tµν +
e sostituire tali espressioni in (1.39) e (1.40). Cosı̀ si ha:
4
3P
Λ
ä = − πG ρ + 2 a + c2 a
3
c
3
Λ
8
ȧ2 + Kc2 = πρGa2 + c2 a2 .
3
3
(1.43)
(1.44)
(1.45)
(1.46)
(1.47)
In seguito, con la scoperta della legge di Hubble, fu di nuovo eliminata, ma
non definitivamente, perché, storicamente, sarebbe stata invocata più volte
per giustificare i dati osservativi.
1.5
Equazione di stato
Per chiudere il sistema, serve ancora una equazione di stato. In genere, si
pone
P = wρc2
(1.48)
con w parametro che descrive il tipo di fluido cosmico, o parametro di stato:
una polvere - gas di particelle non interagenti - ha pressione nulla e w = 0;
un gas perfetto di protoni, con densità in massa ρ e densità in numero n,
ha come equazione di stato
P = nkB T = ρc
10
2
kB T
mp c2
≃0
Einstein avrebbe parlato dell’errore più grande della sua vita.
1.6 Parametro di densità e relazione tempo-redshift
21
essendo non relativistico; pertanto, anche in questo caso w = 0; la pressione
di radiazione è legata alla densità di energia ρ da
1
P = ρc2 ,
3
perciò
1
w= ;
3
un fluido di costante cosmologica è caratterizzato, per le (1.44) e (1.45), da
PΛ = −ρΛ c2
e w = −1.
L’equazione di stato di un fluido ci permette di definire la velocità del suono
vs 11 in quel fluido: è la radice quadrata della derivata parziale di P rispetto
a ρ calcolata ad entropia, S, costante:
∂P
2
vs =
∂ρ S
oppure grazie alla (1.48)
(1.49)
√
vs = c w.
(1.50)
L’equazione (1.50) ha senso solo se w ∈ [0, 1)12 , quindi per la costante
cosmologica non risulta definita una velocità del suono.
1.6
Parametro di densità e relazione tempo-redshift
Sostituendo la (1.48) nella condizione di adiabaticità (1.41), si giunge alla
ρ(a) = ρ0
a
a0
−3(1+w)
;
(1.51)
.
(1.52)
in funzione del redshift, per la (1.35), diventa
ρ(z) = ρ0 1 + z
Vediamo che
11
12
3(1+w)
Molto spesso la velocità del suono è indicata anche con cs .
Questo intervallo è chiamato intervallo di Zel’dovich.
22
• per sola materia
w=0
⇒
3
ρM (z) = ρ0M 1 + z ;
(1.53)
4
ρR (z) = ρ0R 1 + z ;
(1.54)
⇒
(1.55)
• per sola radiazione
w=
1
3
⇒
• per sola costante cosmologica
w = −1
ρΛ (z) = ρ0Λ .
In un fluido cosmico di materia e radiazione, ad alti z la densità di energia
è dominata dalla radiazione, a bassi z dalla materia.
È comodo definire alcuni parametri importanti:
la densità critica
ρcr (t) ≡
3H 2(t)
;
8πG
(1.56)
il parametro di densità per la generica componente di universo con equazione
di stato P = wρc2
Ωw (t) ≡
ρw (t)
;
ρcr (t)
(1.57)
In particolare, il parametro di densità attuale per la costante cosmologica,
dalla (1.44), risulta essere
Ω0Λ =
Λc2
.
3H02
(1.58)
Con le precedenti definizioni e la (1.35), l’equazione (1.40) per una singola
componente dell’universo si scrive
i
h
1+3w
=
H (z) =
+ z) 1 − Ω0w + Ω0w (1 + z)
h
i
= H02 (1 − Ω0w )(1 + z)2 + Ω0w (1 + z)3(1+w) ≡
2
H02 (1
2
≡ H02 Ew2 (z).
(1.59)
1.6 Parametro di densità e relazione tempo-redshift
23
La funzione Ew (z), definita implicitamente dalla (1.59), contiene tutte le
informazioni relative all’evoluzione temporale.
Qualora ci siano più componenti, bisogna tenere conto di tutti i singoli
contributi: per un fluido di materia, radiazione e costante cosmologica, si
ha
i
h
2
−2
=
1−Ω0T OT +Ω0M (1+z)+Ω0R (1+z) +Ω0Λ (1+z)
H (z) =
h
i
= H02 (1 − Ω0T OT )(1 + z)2 + Ω0M (1 + z)3 + Ω0R (1 + z)4 + Ω0Λ ≡
2
H02 (1+z)2
≡ H02 E 2 (z)
(1.60)
con Ω0T OT = Ω0M + Ω0R + Ω0Λ ≡ Ω0 ed E(z) avente significato analogo
al precedente. Inoltre, la (1.60) e la (1.39) ci dicono che, poiché l’universo
ora si sta espandendo, ȧ(t0 ) > 0 e, dalla (1.39), ä(t) < 0 per ogni t e per
ogni fluido con equazione di stato con − 13 < w < 1, il grafico di a(t) è
concavo ed intersecherà l’asse dei tempi in un punto che definisce l’origine e
che individua una singolarità, in corrispondenza della quale si ha a(0) = 0.
A causa di tale singolarità iniziale, si parla di Big Bang.
Le equazioni che regolano l’evoluzione dell’universo sono utili per capire
come evolve il parametro di densità di una certa componente del fluido
cosmico. Dalle definizioni (1.56) e (1.57) e poiché valgono la (1.52) e la
(1.60), si deduce
Ωw (z) =
Ω0w (1 + z)1+3w
1 − Ω0w + Ω0w (1 + z)1+3w
(1.61)
ossia
Ω−1
w (z) − 1 =
Ω−1
0w − 1
.
(1 + z)1+3w
(1.62)
Queste ultime formule ci mostrano che se Ω0w = 1, allora Ωw (z) = 1 per
ogni z, e se Ω0w > 1 (Ω0w < 1), anche Ωw (z) > 1 (Ωw (z) < 1) per ogni
z : la geometria rimane invariata nel corso dell’evoluzione cosmica.
24
Derivando rispetto a t la (1.35), risulta
ż
ȧ
=− ,
1+z
a
(1.63)
ma il secondo membro, a parte il segno, è proprio il parametro di Hubble,
pertanto, usando le relazioni (1.59) e (1.60), si trova facilmente l’espressione
del tempo cosmico in funzione del redshift (basta esplicitare la dipendenza
da z in ȧ(t) ):
t(z) =
Z
+∞
z
dz ′
1
=
′
′
(1 + z )H(z )
H0
Z
+∞
z
dz ′
;
(1 + z ′ )E(z ′ )
(1.64)
per universi dominati dalla materia si ottiene la seguente relazione
tempo-redshift:
1
t(z) =
H0
1.7
Z
z
+∞
dz ′
√
.
(1 + z ′ )2 1 + Ω0 z ′
(1.65)
Modelli di Friedmann
L’equazione (1.60) rappresenta la forma più generale per l’evoluzione di un
modello composto da un fluido cosmico di materia, radiazione e costante
cosmologica. Ci sono tuttavia dei casi che si risolvono analiticamente in
modo molto semplice, tra questi i primi modelli proposti da Friedmann
stesso tra il 1922 e il 1924.
Se ipotizziamo un universo piatto con K = 0, Ω = 1, dominato da una
polvere, il cui parametro di stato è w = 0, si trova una soluzione esatta per
a(t) crescente come
a(t) ∝ t2/3
(1.66)
ed il tempo cosmico scalerà con z secondo
t ∝ (1 + z)−3/2
(1.67)
con
t0 =
2
.
3H0
(1.68)
1.7 Modelli di Friedmann
25
Tale modello è detto anche di Einstein-de Sitter; ricordiamo però che, in
letteratura, è chiamato in questo modo ogni tipo di modello con K = 0,
Ω = 1 e w qualsiasi; l’andamento risultante è
a(t) ∝ t2/3(1+w) ,
(1.69)
l’età dell’universo è
t0 =
2
,
3(1 + w)H0
(1.70)
la densità evolve seguendo la legge
ρ=
1
6πG(1 + w)2 t2
(1.71)
e per H vale
H(z) = H0 (1 + z)3(1+w)/2 .
(1.72)
In particolare, nel caso di universo dominato dalla radiazione si ha
a(t) ∝ t1/2
(1.73)
t ∝ (1 + z)−2
(1.74)
e
con
t0 =
1
.
2H0
(1.75)
Tra l’altro, l’equazione (1.40) ci dice subito che in ogni modello piatto
(K = 0) la densità dell’universo eguaglia quella critica in ogni istante:
ρ(t) = ρcr (t) ∀t ∈ R+ ,
(1.76)
Ω(t) = 1 ∀t ∈ R+ .
(1.77)
ovvero
Nei modelli di Friedmann curvi, i conti analitici per il calcolo del fattore di
scala si complicano, ma qualitativamente ci si rende conto, in accordo con
l’andamento generale delle formule (1.61) e (1.62), che
26
• per spazi chiusi
K=1
ρ(t) > ρcr (t) ∀t ∈ R+
⇒
(Ω > 1)
(1.78)
e a(t) ha un andamento periodico;
• per spazi aperti
K = −1
⇒
ρ(t) < ρcr (t) ∀t ∈ R+
e a(t) ha un andamento asintotico del tipo a(t)
(Ω < 1)
(1.79)
t→+∞
∼ t.
Una proprietà del tutto generale degli spazi curvi ad alto redshift
(0 < a/a0 << 1) è che essi si comportano in modo analogo al modello di
Einstein-de Sitter, in quanto nelle (1.59), il termine tra parentesi quadre
proporzianale ad (1 − Ω0w ) diventa trascurabile13 ed il parametro di Hubble
soddisfa, asintoticamente,
z≫1
H(z) ∼ H0
p
Ω0w (1 + z)3(1+w)/2 ,
(1.80)
identica alla (1.72) in cui avevamo Ω0w = 1. In altre parole, ignorare
la curvatura quando si tende alla singolarità iniziale è una buona
approssimazione.
1.8
Orizzonti
Una domanda interessante e sensata da porsi è la seguente: come fare per
distinguere le relazioni causali fra le varie parti dell’universo e le regioni
che siamo in grado di osservare in un dato tempo cosmico? La risposta è
legata agli orizzonti.
In cosmologia, si definiscono comunemente due tipi di orizzonti: l’orizzonte
delle particelle e l’orizzonte cosmologico, altrimenti detto raggio della sfera
di Hubble.
13
Ovviamente deve essere ancora w > − 13 .
1.8 Orizzonti
27
• Dato un insieme di punti ed un osservatore, definiamo orizzonte delle
particelle, e indichiamo con RH , la massima distanza propria dei punti
in connessione causale con l’osservatore stesso. Poiché la massima
distanza propria viene raggiunta muovendosi alla velocità della luce c,
quindi percorrendo una geodetica nulla ds2 = 0, avremo
Z r
Z t
dr ′
cdt′
dp,M ax (t) = a(t)
=
a(t)
≡ RH (t)
1/2
′
0 (1 − Kr ′2 )
0 a(t )
(1.81)
Se RH (t) è finito, non tutte le particelle possono essere in connessione
causale con l’osservatore.
• Il secondo tipo di orizzonte è l’orizzonte cosmologico o raggio della
sfera di Hubble, Rc : esso rappresenta, in ogni istante t, la distanza
dall’osservatore alla quale è giunto un punto che si è mosso con
velocità c per un tempo pari al tempo tipico dell’espansione cosmica
τH (t) ≈ H −1 (t) :
Rc (t) = cτH (t) =
c
H(t)
(1.82)
La differenza sostanziale tra RH e Rc consiste nel fatto che Rc è una
misura puntuale di ciò che vediamo in un dato istante e non considera
interazioni e/o connessioni causali tra le particelle in gioco, mentre RH ne
tiene conto; pertanto, una volta entrati nell’orizzonte delle particelle di un
certo osservatore, non si può più uscirne: esso è legato all’intera storia
passata di quell’osservatore e uscire da RH significherebbe cancellare la
precedente connessione causale!
Le espressioni (esatte se Ωw = 1 e approssimate se Ωw 6= 1,, ma z ≫ 1)
sono:
RH (a) =
H0
c
√
2
Ω0w 1 + 3w
a
a0
3(1+w)/2
,
(1.83)
in funzione del tempo cosmico:
RH (t) = 3
1+w
ct,
1 + 3w
(1.84)
28
per l’orizzonte delle particelle;
3
Rc (t) = (1 + w)ct,
2
(1.85)
per l’orizzonte cosmologico.
In entrambi i casi, la crescita è lineare in t e si annulla nella singolarità
iniziale del Big Bang.
1.9
Formazione delle strutture cosmiche
Con le equzioni fin qui derivate è possibile ricostruire tutta l’evoluzione
dell’universo e dipingere il quadro completo del cosiddetto modello standard
dell’ Hot Big Bang: i costituenti fondamentali sono la materia (in forme
oscura e barionica) e la radiazione (o meglio fotoni e materia relativistica
come i neutrini).
1.9.1
Cenni preliminari
La storia dell’universo è una storia termica in cui si passa da una divergenza
iniziale di temperatura e densità, in corrispondenza della quale a(0) = 0
(il Big Bang appunto) a valori via via più bassi, indicanti, mediamente, un
progressivo raffreddamento e una continua rarefazione del fluido cosmico. La
condizione di adiabaticità ci dice, infatti, che oltre alle (1.52),(1.53),(1.54),
per l’evoluzione in densità, valgono (vedi per esempio [12])
TM = T0M (1 + z)2
(1.86)
TR = T0R (1 + z)
(1.87)
per l’evoluzione in temperatura di materia e radiazione, rispettivamente.
Quando queste sono accoppiate risulta dominante l’andamento della
radiazione.
Per fissare dei capisaldi cronologici, definiamo le epoche dell’equivalenza,
del disaccoppiamento e della ricombinazione.
L’epoca dell’equivalenza è quella durante la quale le densità di energia di
1.9 Formazione delle strutture cosmiche
29
materia e di radiazione si eguagliano ρM (z) = ρR (z): dalle (1.53) e (1.54)
segue che il redshift dell’equivalenza zeq è dato da
1 + zeq =
Ω0M
.
Ω0R
(1.88)
L’uguaglianza tra le temperature fissa, invece, il disaccoppiamento. Esso
avviene ad un redshift zdec e per le (1.86) e (1.87) soddisfa la
1 + zdec =
T0R
.
T0M
(1.89)
Dopo tale istante, le evoluzioni in temperatura sono del tutto indipendenti
e materia e radiazione sono disccoppiate, appunto.
Con il globale raffreddamento diventa sempre più possibile una
ricombinazione tra protoni ed elettroni per formare idrogeno neutro (succede
a temperature inferiori a circa ∼ 104 gradi Kelvin); quando si giunge ad
una frazione di idrogeno ricombinato pari al 50%, si parla di epoca della
ricombinazione14 ed il redshift corrispondente è zrec .
I dati osservativi per la temperatura del fluido cosmico permettono di fissare
il tempo di disaccoppiamento, mentre, i dati osservativi per la densità
l’equivalenza; allora, si vede che i tre momenti precedenti si collocano nel
seguente ordine
teq < trec < tdec ;
(1.90)
in redshift, i valori tipici sono approssimativamente dell’ordine di 103 con
estremi:
zeq ≈ 3 · 103
zdec ≈ 1 · 103 .
Poiché la ricombinazione non é un fenomeno istantaneo, essa avverrà tra i
due limiti sopra riportati.
14
Si dovrebbe dire combinazione, essendo questa la prima volta nel corso della vita
dell’universo in cui protoni ed elettroni si combinano, prima sono sempre stati separati.
30
1.9.2
I problemi del modello standard
Tra tutti i possibili modelli cosmologici, quello maggiormente accreditato e
in grado di giusitficare le osservazioni a nostra disposizione è il modello
dell’Hot Big Bang:
esso riesce a ricostruire le varie epoche di vita
dell’universo fino alle attuali condizioni evolutive.
Nonostante i molteplici successi, ci sono però dei problemi la cui risoluzione
necessita di un ampliamento del semplice modello standard. Vediamo di
cosa si tratta.
Oltre alla singolarità iniziale, il principio di indeterminazione di Heisenberg
limita la conoscenza prima di un tempo minimo detto tempo di Planck
tP lanck
tP lanck =
G~
c5
1/2
≈ 10−43 s;
(1.91)
tra l’altro, non è detto che in condizioni simili a quelle dell’universo
primordiale valga la fisica oggi nota: si pensa che in origine le forze
fondamentali della natura fossero tutte unificate e il successivo calo della
temperatura avrebbe potuto favorire processi di rottura di simmetrie e
transizioni di fase portando al graduale disaccoppiamento delle forze (epoca
delle transizioni di fase). Tra le principali questioni irrisolte del modello
standard vi sono:
• Problema dell’orizzonte: si osservano, oggi, con misure sulla radiazione
cosmica di fondo (CMB), regioni in equilibrio termico - e quindi
connesse causalmente - fuori dall’orizzonte delle particelle.
• Problema della piattezza o dell’età dell’universo: misuriamo un valore
complessivo di Ω0 15 molto vicino all’unità; cosı̀ dalle (1.61) e (1.62)
Ω0 = Ω(t) = 1, altrimenti dovrebbe essere o Ω0 ≫ 1, o Ω ≪ 1 e le
età relative sarebbero, nel primo, caso t0 ≈ tP lanck ≈ 10−43 s e, nel
secondo, t0 ≈ 10−11 s: risultati in entrambi i casi assurdi. La difficoltà
15
Per motivi di praticità, indichiamo, con Ω0 , Ω0T OT .
31
nell’accettare Ω = 1 è legata al fine tuning che necessariamente viene
originato.
• Problema dei monopoli magnetici: esistono teorie che prevedono
monopoli magnetici enormemente massivi, tanto da condurre ad un
Ω0,monopoli ≈ 1016 , ma essi non sono mai stati osservati e sappiamo poi
che Ω0 ≈ 1 ≪ Ω0,monopoli !
• Problema della costante cosmologica:
Il termine di costante
cosmologica nelle equazioni di campo (1.42) e di Friedmann, (1.46),
(1.47), porta ad un parametro di decelerazione
q0 =
Ω0M
− Ω0Λ
2
(1.92)
e manifestamente Λ pesa molto sulla dinamica dell’universo, però i
parametri che la individuano (massa, energia,etc.) sono estremamente
piccoli e legati a proprietà difficilmente giustificabili se non con un fine
tuning, come vedremo in dettaglio nel capitolo IV.
I primi tre punti sono risolvibili elegantemente introducendo una fase di
espansione accelerata dello spazio, detta di inflazione 16 , pochi attimi dopo il
Big Bang a t ≈ 10−37 s17 , durante l’era delle transizioni di fase e molto prima
dell’equivalenza. Durante la fase inflazionaria si assiste ad una forte crescita
del parametro d’espansione a(t) - almeno di e60 ordini di grandezza - che si
riflette, da un lato, in un notevole incremento dell’orizzonte delle particelle
RH con analogo decremento dell’orizzonte cosmologico Rc , e dall’altro, in
una vistosa diluizione del fluido cosmico accompagnata da conseguente
appiattimento della geometria e “scomparsa” di monopoli magnetici.
Il problema della costante cosmologica è ancora irrisolto. Mostreremo in
seguito una possibile soluzione legata alla cosiddetta energia oscura.
16
17
Dall’inglese gonfiare.
Notiamo che 10−37 s ≈ 106 tP lanck .
32
L’inflazione prevede Ω0 = 1 a meno di una parte su 1060 e la diluizione
dello spazio smussa tutte le possibili disomogeneità preesistenti18 , per cui è
ragionevole assumere la validità del principio cosmologico almeno dalla fine
di tale epoca.
1.9.3
Le prime perturbazioni
Per la formazione delle strutture è necessario che ci siano delle fluttuazioni di
densità di energia e/o di materia in grado poi di crescere. Vista la condizione
di omogeneità ed isotropia in cui l’universo cade durante l’inflazione, si
suppone che alla fine delle transizioni di fase il campo inflazionario ‘rotoli
lentamente’ fino al minimo del potenziale termodinamico e, in quell’intorno,
oscilli rilasciando energia sottoforma di calore latente19 : l’energia liberata
provocherebbe la creazione delle prime particelle. Cosı̀ si generano delle
disomogeneità da cui possono svilupparsi le successive strutture cosmiche.
Data la causalità del fenomeno, assumiamo una funzione di distribuzione
delle perturbazioni (PDF) gaussiana: per meglio specificare, definiamo il
contrasto di densità δ(x, t), funzione del tempo cosmico e del punto spaziale,
δ(x, t) =
ρ(x, t) − ρb (t)
,
ρb (t)
(1.93)
essendo ρ(x, t) la densità dell’universo nel punto x e nell’istante t e ρb (t) la
densità media (di background) allo stesso tempo cosmico.
Assumere una PDF, p(δ), gaussiana significa porre
1
δ2
p(δ)dδ = √
(1.94)
exp − 2 dδ.
2σ
2πσ 2
Il valore medio di δ, hδi, è nullo per definizione e la varianza σ 2 = hδ 2 i.
Il regime delle perturbazioni si dice lineare se δ ≪ 1, e non lineare se δ ≥ 1.
1.9.4
Teoria di Jeans e crescita delle perturbazioni
Una volta compresa l’origine delle prime fluttuazioni, bisogna vedere se esse
sono nelle condizioni di crescere e formare strutture cosmiche. L’approccio
18
No cosmic hair theorem.
Proprio come accade durante il passaggio da uno stato di aggregazione della materia ad un
altro, quando diminuisce la temperatura.
19
33
generale si basa sulla teoria classica dell’instabilità gravitazionale di Jeans e
la sua estensione relativistica: esse prevedono il collasso gravitazionale per
le strutture che hanno una massa superiore ad un certo limite MJ (detto
massa di Jeans) oltre il quale l’attrazione domina sugli effetti di pressione,
se la materia è collisionale, o di dispersione, se la materia è non collisionale.
Le dimensioni tipiche R della sovraddensità devono allora essere superiori
ad una scala RJ dell’ordine di
vs
RJ ∼ √
Gρ
(1.95)
4
M > MJ = πρRJ3 .
3
(1.96)
ovvero
Se non vengono soddisfatte tali richieste, le fluttuazioni di fluidi collisionali
si propagano come onde acustiche, quelle di fluidi non collisionali subiscono
processi di dissipazione. L’impostazione del problema è la seguente: essendo
un fluido cosmico descritto da densità, velocità, pressione (o dispersione di
velocità), entropia e potenziale gravitazionale da esso generato, servono
sette equazioni per avere un sistema chiuso; esse sono le equazioni di
continuità, le tre equazioni di Eulero, l’equazione di Poisson, una equazione
di stato e l’equazione per la conservazione dell’entropia20 .
Evoluzione lineare
La soluzione del sistema di equazioni appena descritto può essere trovata,
linearizzando e passando nello spazio di Fourier.
Si trova che, nel
caso di collasso (M > MJ ), la soluzione per δ è esprimibile come
combinazione lineare di un modo crescente esponenzialmente ed uno
decrescente esponenzialmente e inoltre la pulsazione ω ed il numero d’onda
k seguono la relazione di dispersione
ω 2 − vs2 k 2 + 4πGρb = 0
20
(1.97)
Di norma, si assume che l’entropia rimanga conservata o vari lentamente durante il collasso,
benché in questi casi gli effetti dissipativi possano essere importanti.
34
dove k è la norma di k.
L’estensione relativistica, comprendente anche l’espansione dell’universo,
corregge l’andamento esponenziale con andamenti di potenza.
In
particolare, la trasformata del contrasto di densità delle perturbazioni di
materia δk soddisfa l’equazione differenziale
ȧ
δk + 2 δ̇k + vs2 k 2 − 4πGρb δk = 0.
a
(1.98)
Se l’universo è dominato dalla radiazione, il regime relativistico prevede di
sostituire
ρ→ ρ+
3P
c2
ρ→ ρ+
P
c2
nell’equazione di Poisson e
nelle altre, come si verifica annullando la quadridivergenza covariante del
tensore energia-impulso di fluido perfetto T µν;ν = 0 (vedi ad esempio [25]).
In questo caso l’analoga della (1.98) è
ȧ
32
2 2
δk + 2 δ̇k + vs k − πGρb δk = 0.
a
3
(1.99)
con
c
vs = √ .
3
Le relazioni (1.97),(1.98) e (1.99) forniscono soluzioni dipendenti dal tipo
di fluido e dalla cosmologia, ma quest’ultima dipendenza è alquanto debole
per cui, come riferimento, diamo il modo crescente (altrimenti detto fattore
di crescita o growth factor ), D(t) , per un universo di Einstein-de Sitter:
• per a < eeq , domina la radiazione:
D(a) ∼ a2
e D(t) ∼ t
(1.100)
• per a > eeq , domina la materia:
D(a) ∼ a e D(t) ∼ t2/3
(1.101)
35
Figura 1.4: il grafico mostra l’andamento di g al variare del redshift z, calcolato per i
modelli individuati dai seguenti parametri:
Ω0M = 0.3, Ω0Λ = 0.7 (linea continua),
Ω0M = 0.3, Ω0Λ = 0.0 (linea a tratti),
Ω0M = 1.0, Ω0Λ = 0.0 o modello Einstein - de Sitter (linea a punti).
Per tutti si è assunto un parametro di Hubble pari a 70 km/s/M pc (h = 0.7) al presente.
Il modo decrescente non è significativo, perché non porta alla crescita delle
perturbazioni per instabilità gravitazionale, ma si annulla asintoticamente
per t → +∞.
Per una cosmologia con Ω0 6= 1, possiamo scrivere
δ(a) = δ0 a
g ′ (a)
≡ δ0 ag(a)
g ′ (1)
(1.102)
in cui δ0 è il valore del contrasto di densità estrapolato al tempo presente e
g ′ (a) è la funzione di crescita lineare data dalla formula di fit numerico ([9])
−1
ΩΛ (a)
Ω(a)
5
4/7
1+
g (a; Ω0 , Ω0Λ ) = Ω(a) Ω (a) − ΩΛ (a) + 1 +
2
2
70
(1.103)
′
con l’evoluzione dei parametri di densità dati sempre dalle (1.61) e (1.62);
alcuni grafici esplicativi sono mostrati in figura 1.4.
36
Una analisi dettagliata dell’evoluzione delle strutture ([12], [46])
coinvolge lo studio non solo della massa di Jeans, ma anche delle
masse al di sotto delle quali c’è completa dissipazione e cancellazione
delle perturbazioni: la massa di Silk, per materia collisionale, e di free
streaming per materia non collisionale.
Si trova che la massa di Silk
cresce fino a ∼ 1012 M⊙ , per poi tendere rapidamente a zero subito dopo
il disaccoppiamento, quando non c’è più alcuna interazione tra fotoni e
barioni. Data il notevole valore raggiunto dalla massa di Silk, rispetto alle
dimensioni tipiche delle attuali strutture cosmiche, in un universo costituito
da sola materia collisionale, oggetti come ammassi globulari e galassie, con
masse variabili tra 105 M⊙ e 1014 M⊙ , si possono formare solo per successiva
frammentazione di strutture primordiali molto più massive.
Lo studio
della radiazione cosmica rivela poi fluttuazioni in temperatura dell’ordine
di ∼ 10−5 corrispondenti, per l’effetto Sachs-Wolfe, a fluttuazioni in densità
dello stesso ordine, ma all’epoca della ricombinazione (sulla ‘superficie di
ultimo scattering’), quando arec ∼ 10−3 . Ciò vuol dire che, per la (1.101) le
attuali fluttuazioni dovrebbero essere dell’ordine di ∼ 10−2 , pur osservando
oggi sovraddensità con δ ≫ 1. Questo è l’argomento principale con cui
si arriva ad ipotizzare la materia oscura: materia non collisionale che
risente dei soli effetti graviatazionali. Per questa componente, la massa
di free streaming cresce fino a ∼ 105 M⊙ , nell’epoca dell’equivalenza per poi
rimanere costante. Nel quadro di un universo con una componente oscura
si formano prima le strutture più piccole, poi quelle più grandi e i barioni
possono cadere nel loro campo gravitazionale avviando la formazione di
oggetti visibili. Ovviamente, bisogna considerare anche l’andamento della
massa di Jeans che discrimina fortemente le strutture che possono crescere
da quelle che non possono farlo; MJ dipende molto dal tipo di materia in
questione, in generale essa cresce monotonamente fino all’equivalenza, per
poi decrescere. I valori tipici che vengono raggiunti sono:
37
- materia oscura calda (HDM, relativistica al disaccoppiamento):
MJ,eq & 1012 M⊙
- materia oscura fredda (CDM, non relativistica al disaccoppiamento):
MJ,eq ∼ 105 M⊙
- materia barionica21 :
MJ,eq ∼ 1016 M⊙ .
Il modello più verosimile sembra quello CDM e barioni; per il modello
HDM non c’è sostegno dei dati, in quanto prevederebbe una formazione
delle strutture per successiva frammentazione (top-down): in tal modo si
dovrebbe osservare che gli oggetti più massivi, di almeno ∼ 1012 M⊙ , sono
anche più vecchi, e quelli meno massivi più giovani. Di fatto, però, si sa che
gli ammassi di galassie (∼ 1014÷15 M⊙ ) sono gli oggetti virializzati più grandi
e più giovani a noi noti, mentre gli ammassi globulari (∼ 106 M⊙ ) hanno
un’età paragonabile alla vita dell’universo e, pertanto sono di formazione
precedente.
Siffatte considerazioni portano ad escludere una presenza
sostanziale di materia oscura calda e a favorire un modello cosmologico
dominato da materia oscura fredda, in cui il processo di formazione è, come
prima accennato, del tipo ‘bottom-up’.
Evoluzione non lineare
La linearizzazione della teoria di Jeans vale finché δ(x, t) ≪ 1, quindi
appena si formano oggetti molto collassati bisogna procedere con altri
metodi. Descrivere matematicamente un collasso è cosa ardua; il modello
analitico di norma usato è quello del collasso sferico in cui si suppone che la
sovraddensità sia sferica ed evolva secondo le equazioni di Friedmann con
K = 1, su un background piatto di densità ρb . Allora, si può vedere che la
contrazione gravitazionale è preceduta da una fase di espansione e seguita
21
È la stima che si ottiene senza considerare gli aloni di materia oscura che si formano
precedentemente.
38
da una fase di virializzazione del sistema. Il raggio massimo è raggiunto in
t = tM ax , quando la densità della perturbazione vale
2
3π
ρp (tM ax ) =
ρb (tM ax ).
4
(1.104)
Il collasso cessa a tc = 2tM ax e il processo di virializzazione a tvir = 3tM ax ;
dal teorema del viriale è facile calcolare il raggio di virializzazione
Rvir =
RM ax
2
e i parametri di sovraddensità, per una cosmologia di Einstein-de Sitter,
2
3π
ρp (tM ax )
≃ 5.6 ⇒ δM ax ≃ 4.6
(1.105)
=
∆M ax =
ρcr (tM ax )
4
2
3π
ρp (tc )
=
22 · 8 ≃ 178 ⇒ δc ≃ 177
(1.106)
∆c =
ρcr (tc )
4
2
3π
ρp (tvir )
=
32 · 8 ≃ 400 ⇒ δvir ≃ 399. (1.107)
∆vir =
ρcr (tvir )
4
C’è notevole differenza con i valori estrapolati dalla teoria lineare, dalla
quale risulta (1.101):
δM ax
3
=
5
δc
3
=
5
δvir
3
=
5
3π
4
3π
4
3π
4
2/3
2/3
2/3
≃ 1.07
(1.108)
22/3 ≃ 1.68
(1.109)
32/3 ≃ 2.20.
(1.110)
Per un confronto tra i due approcci - lineare e non lineare - si veda la figura
1.5, in cui sono mostrati, per vari modelli, i grafici del δc calcolati in regime
lineare (a sinistra), ed in approssimazione di collasso sferico (a destra).
Trattazioni
dettagliate
necessitano
inevitabilmente
di
simulazioni
numeriche.
1.9.5
Simulazioni numeriche
I metodi numerici consistono nella risoluzione dell’equazione di Newton per
ogni particella e delle equazioni di continuità e di Eulero per la sola materia
barionica. Esistono vari metodi per affrontare il problema.
39
Figura 1.5: il grafico a sinistra mostra l’andamento per il δc estrapolato dal regime
lineare mentre il grafico a destra il δc calcolato in regime non lineare, per collasso
sferico. Sono stati considerati: una cosmologia standard di universo piatto dominato dalla
costante cosmologica, ΛCDM (linea continua: Ω0M = 0.3, Ω0Λ = 0.7), una cosmologia
di universo aperto senza costante cosmologica, OCDM (linea a tratti: Ω0M = 0.3,
Ω0Λ = 0.0), un modello Einstein-de Sitter (linea a punti: Ω0M = 1.0, Ω0Λ = 0.0).
Per tutti si è assunto h = 0.7.
Simulazioni N-body
È la tecnica usata per studiare i sistemi non collisionali; essi sono soggetti
all’equazione non collisionale di Boltzmann o di Vlasov:
∂f
df
=
+ v · ∇f − ∇φ · ∇v f = 0 ,
dt
∂t
(1.111)
in cui, ∇ è l’operatore gradiente definito da
∂ ∂ ∂
,
, ,
∇≡
∂x ∂y ∂z
essendo r ≡ (x, y, z) il vettore delle coordinate di un dato punto di fluido;
∇v è il gradiente calcolato rispetto alle componenti della velocità del detto
punto di fluido:
∇v ≡
f
≡
∂
∂
∂
,
,
∂vx ∂vy ∂vz
;
f (r, v, t) è la densità nello spazio delle fasi esteso
{(r, v, t) ∈ R3 × R3 × R}, tale che la densità in massa ρ(r, t) risulti data
40
da
ρ(r, t) =
Z
f (r, v, t) d3v
ed il potenziale φ(r, t) dall’equazione di Poisson
Z
△φ(r, t) = 4πG f (r, v, t) d3v .
(1.112)
(1.113)
Data la difficoltà nel risolvere le precedenti equazioni, si può procedere,
equivalentemente, risolvendo il sistema
dv
∇φ
= −
dt
m
dx
= v
dt
(1.114)
(1.115)
che individua proprio le curve caratteristiche dell’equazione (1.111).
Numericamente, fissate le condizioni iniziali, per ogni particella di massa
mi , va risolto il sistema di equazioni
dvi
∇φ
Fi
=−
=
dt
mi
mi
dxi
= vi
dt
△φ = 4πGρ
(1.116)
(1.117)
(1.118)
essendo φ il potenziale newtoniano agente sulla i-esima particella, xi le sue
tre coordinate e vi le tre componenti della velocità. Fissato un intervallo
temporale ∆t, si procede per differenze finite e ad ogni passo tn si usano i
risultati ricavati precedentemente:
Fi
∆t
mi
xi (tn ) = xi (tn−1 ) + vi (tn )∆t.
vi (tn ) = vi (tn−1 ) +
(1.119)
(1.120)
Si possono avere approssimazioni sempre migliori usando passi temporali
sempre più piccoli o sviluppi in ∆t ad ordini superiori. I vari metodi si
distinguono a seconda di come viene calcolata la forza gravitazionale agente
sull’i-esima particella.
41
- Metodo particle-particle (PP): si somma semplicemente su tutte le
particelle smussando le distanze con un opportuno parametro per evitare
possibili divergenze e
Fi = −
X Gmi mj (ri − rj )
i6=j
(|ri − rj |2 + ε2s )3/2
ε2s si chiama softening length.
,
Per le particelle ‘vicine’, ovvero con
|ri − rj | < εs , Fi è calcolata alternativamente sostituendo la massa m = mj
con una massa avente un opportuno profilo di densità; spesso si usa un
profilo detto di Plummer
ρP lummer (r) =
3m
5/2 .
r2
2
4εs 1 + ε2
s
Il metodo PP è preciso, ma lento: infatti il tempo di calcolo scala come il
quadrato del numero delle particelle N 2 .
- Metodo particle-mesh (PM): si usa una griglia su cui si fissano
condizioni al contorno periodiche, in modo da poter usare la FFT. Per
prima cosa, si calcola la densità distribuita sulla griglia tramite opportuni
pesi per assegnare le masse al reticolo secondo la
N
mM 3 X
ρ(xijk ) =
W (xl − xijk )
L3 l=1
dove L è il lato della scatola (box) in cui si effettua la simulazione, M il
numero di nodi per dimensione (pertanto i punti griglia saranno M 3 ), xijk è
il vettore delle coordinate del generico punto griglia, xl è la posizione della
l-esima particella di massa m, W è la funzione che smussa la massa di ogni
particella sulla griglia. Calcolata la densità su tutti i punti griglia, si risolve
l’equazione di Poisson nello spazio di Fourier, dove il calcolo è molto più
agevole,
φ̂(k) = −
4πGρ̂(k)
,
k2
si calcola la trasformata della forza
F̂(k) = −ikφ̂(k)
42
e si ritorna nello spazio delle configurazioni. Il metodo PM è sicuramente più
rapido del PP, perché la complessità va come N ln N, ma è meno accurato,
non potendo risolvere distanze inferiori a L/M.
- Metodo particle-particle-particle-mesh (P3 M): combina le due tecniche
precedenti applicando il metodo PP per le particelle ‘vicine’, in modo da
non perdere in risoluzione, e il metodo PM per quelle ‘lontane’, in modo
da non perdere in velocità. La distinzione tra particelle vicine e lontane
è arbitrariamente stabilita tramite la scelta di un opportuno parametro e,
alla fine, la forza totale agente sulla i-esima particella è
Fi = Fi P P + Fi P M ,
con ovvio significato delle notazioni.
- Codici ad albero (Tree codes): furono proposti, per la prima volta,
da Barnes & Hut, nel 1986; essi eseguono una suddivisione gerarchica della
regione da simulare in modo da generare cubetti con un numero di particelle
pari ad uno o zero. Quando si calcola la forza agente sulla i-esima particella,
si trattano le particelle vicine22 similmente al metodo PP, invece i gruppi
lontani sono approssimati dai loro momenti di multipolo più bassi: ciò è
come trattare ogni gruppo lontano alla stregua di una singola particella con
massa pari alla massa di tutto il gruppo, centrata nel baricentro.
Vediamo come si procede. Sia L il lato della regione da simulare (box);
questa viene suddivisa in otto cubi con lato L/2, poi ciascun cubo, se
contiene particelle, viene suddiviso in altri otto cubi di lato L/4 e cosı̀
via fino ad avere dei cubetti finali in cui si trova al massimo una particella.
Tale procedura permette di costruire una struttura ad albero i cui nodi sono
rappresentati dalle varie partizioni della ‘box’ (cioè dai cubetti interni). Per
calcolare la forza agente sull’i-esima particella, ‘percorriamo’ l’albero nel
seguente modo:
22
Anche qui il concetto di vicinanza è legato alle necessità contigenti del programmatore.
43
si fissa un “angolo di apertura”, θ, con il quale si stabilisce
l’accuratezza del calcolo;
si calcola la distanza, r, dell’i-esima particella dal centro di massa del
nodo (cubo) in testa all gerarchia;
detta l la misura del lato del nodo, se viene soddisfatta la condizione
l
r> ,
θ
la forza viene calcolata attraverso lo sviluppo in multipolo, altrimenti si
continua ad “aprire” il cubo, scendendo nelle ramificazioni dell’albero,
e si itera la stessa procedura per tutti i cubetti più interni23 ;
la forza complessiva si trova sommando il contributo di tutti i nodi.
Osserviamo che, per i nodi più vicini è meno facile che sia soddisfatta la
condizione r > l/θ : bisogna, allora, procedere più in profondità lungo la
struttura dell’albero, fino ai cubi più piccoli, se necessario. Il contributo
delle particelle molto vicine viene, allora, calcolato direttamente, come
accade con le tecniche PP.
Codici simili sono rapidi e non limitati in risoluzione, però necessitano di
notevoli risorse di memoria.
Simulazioni idrodinamiche
Sono necessarie per fluidi collisionali i quali, oltre alla gravità risentono delle
interazioni idrodinamiche a corto raggio dei singoli costituenti. Le equazioni
da risolvere, per un fluido descritto da un campo di densità ρ, pressione P ,
velocità v ed energia interna per unità di massa u, soggetto ad un potenziale
per unità di massa φ, sono scrivibili come segue:
23
Alla prima iterazione, ovviamente l = L, visto che il primo nodo individua il box della
simulazione; al passo successivo, l = L/2 e ci saranno 23 nodi da esaminare; al k − esimo passo,
si avrà l = L/2k e 23k nodi, al massimo, considerando la possibilità che alcuni ‘nodi genitori’
non siano stati ulteriormente divisi in precedenza, perché già vuoti.
44
(equazione di continuità)
∂ρ
dρ
+ ∇ · (ρv) =
+ ρ∇ · v = 0 ,
∂t
dt
(equazioni di Eulero)
dv
∇P
=−
− ∇φ ,
dt
ρ
(conservazione dell’energia)
P
Λ
du
=− ∇·v− ,
dt
ρ
ρ
(equazione di stato)
P = (γ − 1)ρu ,
con derivata lagrangiana data da
d
∂
=
+v·∇ ,
dt
∂t
γ indice o esponente adiabatico ed essendo Λ ≡ Λ(u, ρ) la funzione di
raffreddamento. Osserviamo che le relazioni appena scritte costituiscono
sei vincoli per le sei incognite che descrivono il fluido (ρ, P , v e u).
Numericamente, per risolvere tali equazioni, esistono due approcci:
l’approccio euleriano e quello lagrangiano.
- Metodi euleriani: Le varie quantità che descrivono il fluido vengono
calcolate su opportune griglie e la loro evoluzione segue le note equazioni
conservative; poiché esse sono tutte del tipo
∂
∂
w(x, t) =
f (x, t)
∂t
∂x
con w ed f funzioni generiche, si fissa ancora un passo temporale ∆t e si
ha, per l’i-esimo punto griglia e all’n-esimo passo:
wi (tn+1 ) ≡ win+1 =
n
n
n
f n + fi−1
wi+1
+ wi−1
− i+1
∆t
2
2∆x
45
In questo schema, detto di Lax, ∆x è la risoluzione spaziale e ∆t = tn+1 −tn
il passo temporale.
- Metodi lagrangiani:
Si seguono tutte le singole particelle che
compongono il fluido e, per ciascuna di esse, si calcolano, in ogni posizione,
le quantità desiderate ad un dato istante, senza fare uso di griglie.
La tecnica più potente è probabilmente quella SPH (smoothed particle
Hydrodynamics). Essendo le forze idrodinamiche a corto raggio, l’idea di
base è smussare, punto per punto, le quantità di campo attraverso opportune
funzioni (kernel function)24 .
In tal modo, si tiene conto soltanto delle
interazioni che avvengono all’interno di un raggio tipico, h, (smoothing
length) ed ogni particella è come se sentisse solo gli effetti di quelle più
vicine, cioé con distanza inferiore alla smoothing length.
Con questo
metodo, il valore medio di una variabile di campo, f, in una certa posizione,
r, è dato da una convoluzione del suo valore in r con il kernel W , che è
tipicamente una funzione definita su un dominio compatto:
Z
hf (r)i = W (r − r′ ; h)f (r′ )d3 r ′ .
Il kernel è normalizzato in modo da avere:
Z
W (r − r′ ; h)d3 r ′ = 1
3
lim W (r − r′ ; h) = δD
(r − r′ )
h→0
3
δD
è la delta di Dirac tridimensionale. Dovendo considerare un numero
finito di particelle, cioè quelle che cadono all’interno della smoothing length,
gli integrali si approssimano con sommatorie e
X
mj
hf (r)i =
W (r − rj ; h)f (rj )
ρj
j
dove mj e ρj indicano la massa e la densità della j-esima particella. La
densità del fluido nel punto ri è
X
ρ(ri ) =
W (ri − rj ; h)mj
j
24
Spesso gaussiane o polinomiali.
46
che è poi la densità nel punto in cui si trova la particella i-esima.
Relazioni analoghe possono essere scritte anche per le altre quatità
idrodinamiche.
1.9.6
Spettro di potenza, varianza e funzioni di massa
L’analisi statistica delle perturbazioni si basa su due postulati: il principio
cosmologico e l’ipotesi ergodica.
Quest’ultima assunzione afferma che,
la media fatta su tutte le possibili realizzazioni statistiche di universo è
uguale alla media fatta su sottovolumi del campo delle realizzazioni25 . Se le
fluttuazioni sono gaussiane, l’ipotesi ergodica è dimostrabile e cioè diventa
un teorema. Questi due assiomi, insieme, formano la cosiddetta ipotesi di
buon campionamento o di fair sample. È utile studiare le fluttuazioni nello
spazio di Fourier, perciò definiamo lo spettro di potenza26
P (k) = h|δ̂(k)|2 i
(1.121)
essendo
δ̂(k) =
e
δ(k) =
Z
Z
d3 rδ(r)e−ik·r
(1.122)
d3 k
δ̂(r)eik·r .
(2π)3
(1.123)
Comunemente, per lo spettro di potenza primordiale, si assume
P (k) = Ak n
(1.124)
con A costante di normalizzazione ed n indice spettrale: sono due valori da
determinare osservativamente . Uno spettro avente n = 1 si dice spettro di
Harrison-Zel’dovich.
Se definiamo la varianza come
σ 2 = hδ 2 (r)i,
25
(1.125)
Che, statisticamente, è come dire: la media fatta su tutta la popolazione è uguale alla media
fatta sui campioni.
26
A seconda delle convenzioni ci può essere una costante V∞ .
47
allora, vale
1
σ = 2
2π
2
Z
dkk 2 P (k),
(1.126)
avendo sfruttato le proprietà delle trasformate di Fourier.
La varianza di massa è definita da
2
σM
h(M − hMi)2 i
1
=
= 2
2
hMi
2π
Z
P (k)Ŵ 2(kR)k 2 dk,
(1.127)
dove Ŵ è la funzione finestra nello spazio di Fourier; essa filtra la
distribuzione in massa su un raggio pari ad R e vale
Ŵ (kR) = 3
sin(kR) − (kR) cos(kR)
.
(kR)3
Osserviamo che σM < σ e se x ≡ kR
1
per
Ŵ (x) ∼
−2
x
per
x61
x≫1
(1.128)
(1.129)
Inoltre, la relazione per lo spettro di potenza (1.124) non tiene
conto della soppressione delle fluttuazioni che entrano nell’orizzonte prima
dell’equivalenza: esse subiscono una riduzione pari a
ai
keq
=
;
aeq
ki
(1.130)
essendo
ai =
2π
ki
il parametro di espansione calcolato all’ingresso della perturbazione, avente
numero d’onda ki , nell’orizzonte.
Combinando la (1.124) con la (1.130), assumendo un indice n = 1 ed un
universo in cui le perturbazioni di materia sono dominate dalla cold dark
matter, troviamo l’andamento qualitativo
k
per
P (k) ∼
−3
k
per
k ≪ keq
k ≫ keq
(1.131)
Tutta la crescita delle perturbazioni che altera lo spettro primordiale
48
Figura 1.6: il grafico a sinistra mostra lo spettro di potenza calcolato con il fit di Bardeen
et al.; il grafico a destra mostra il ∆2 (k), ovvero la densità dello spettro di potenza per
intervallo logaritmico di k.
è descritta usando una funzione di trasferimento T ottenibile mediante
simulazioni numeriche; lo spettro complessivo risulta, quindi,
P (k) = Ak n T 2 (k, aeq )
(1.132)
dove, per fluttuazioni adiabatiche di CDM, si usa la seguente formula di fit,
graficata in figura 1.7 (si veda [3]):
−1/4
ln(1 + 2.34q) 1 + 3.89q + (16.1q)2 + (5.46q)3 + (6.71q)4
T (k, aeq ) =
2.34q
(1.133)
con
kB θ1/2
e θ = 1,
ΩCDM h2 Mpc−1
considerando tre tipi di neutrini; il picco dello spettro si determina
q=
attraverso il parametro Γ,
Γ = Ω0M h ,
(1.134)
per sola CDM, ma se consideriamo anche i barioni una formula migliore è
quella di Sugiyama:
"
Γ = Ω0M h exp −Ω0b
1+
√
2h
Ω0M
!#
.
(1.135)
49
Figura 1.7: il grafico mostra la funzione di trasferimento secondo il fit di Bardeen et al.,
vedi [3].
In figura 5.3, mostriamo un grafico dello spettro di potenza, P (k) (a
sinistra), e del ∆2 (k) (a destra) definito come segue:
∆2 (k) =
1
P (k)k 3 :
2π 2
(1.136)
è la densità dello spettro di potenza per intervallo logaritmico di k.
Un’ultima funzione interessante è la funzione di massa: essa porge il
numero di oggetti collassati per unità di massa e di volume. In origine fu
proposta da Press & Schechter ([34]) e, in seguito, studiata da Bond et al.
([7]) con la tecnica dei moti browniani ([10]). Si mostra (vedi appendice)
che, per collasso sferico, la funzione di massa si può scrivere
dN
dn(M, z)
ρb df
=
=
=
dMdV
dM
M dM
Detta
r
2 2 ρb δc (z) d ln σ δ (z)
exp − c 2
.
2
π M σ d ln M
2σ
(1.137)
df
dM
50
Figura 1.8: il grafico mostra le funzioni di massa, calcolate a z = 10, per i seguenti
modelli: una cosmologia standard ΛCDM (linea continua: h = 0.7, Ω0M = 0.3,
Ω0Λ = 0.7), una cosmologia OCDM (linea a tratti: h = 0.7, Ω0M = 0.3, Ω0Λ = 0.0), un
modello Einstein-de Sitter (linea a punti: h = 0.7, Ω0M = 1.0, Ω0Λ = 0.0).
la frazione di massa collassata e
ν=
δc (z)
,
σM
la (1.137) si lascia mettere nella forma più elegante
r
2
df
2
ν
,
=
exp −
dν
π
2
(1.138)
essendo
ρb df dν dn
.
=
dM
M dν dM Degli esempi di funzione di massa sono mostrati in figura 1.8.
(1.139)
Una descrizione migliore è fornita dal modello di collasso ellissoidale
elaborato da Sheth & Tormen (si veda [37] e [38]): essi trovano che la
frazione di oggetti collassati è esprimibile con la relazione
r
1
Aν 2
df
2A
1+
,
=C
exp −
dν
π
(Aν 2 )q
2
(1.140)
51
Figura 1.9: il grafico mostra le funzioni di massa di Press&Schecter (linea continua),
Sheth&Tormen (linea a tratti), Jenkins et al. (linea a punti), calcolate a z = 10, per il
modello standard ΛCDM.
dove C = 0.3222, A = 0.707 e q = 0.3. La precedente si riduce alla Press &
Schechter per C = 1/2, A = 1 e q = 0.
Con l’uso di simulazioni numeriche, è stato possibile migliorare la descrizione
del collasso gravitazionale e si è giunti a fit migliori per le funzioni di massa:
ci riferiamo alla funzione di massa di Jenkins et al. che, statisticamente,
ha la stessa forma della Sheth & Tormen, ma il parametro A vale 0.75,
causando una più ripida caduta esponenziale.
Come confronto, in figura 1.9 vediamo i tre tipi di funzione di massa per lo
stesso modello, ΛCDM, ed allo stesso redshift, z = 10.
52
Capitolo 2
Le prime stelle e la
reionizzazione dell’universo
Io ritornai dalla santissima onda
rifatto sı̀ come piante novelle
rinovellate di novella fronda,
puro e disposto a salire alle stelle.
Dante
Il modello standard prevede la formazione di oggetti barionici dopo che
questi sono caduti nelle buche di potenziale di materia oscura; non abbiamo
ancora detto però come il gas possa formare le prime protogalassie e, in
seguito, le prime stelle; queste, dopo un tempo di vita relativamente breve,
potranno esplodere come supernovae e reionizzare di nuovo1 l’universo2 .
Vedremo allora che il modello gerarchico prevede una formazione dei
primi oggetti guidata dal raffreddamento del gas (avente composizione
chimica primordiale) e indotto dall’idrogeno molecolare H2 . Benché siano
attualmente sconosciuti i processi di formazione di stelle primordiali, a
causa dell’ignoranza gravante sui meccanismi di frammentazione delle nubi
protostellari e sulle loro correlazioni termodinamiche con il gas, è oramai
1
Ricordiamo che le prime fasi di vita dell’universo sono dominate dalla radiazione e, date le
alte temperature, la materia rimane completamente ionizzata fino all’epoca della ricombinazione.
2
Si faccia attenzione al fatto che le prime stelle possono provocare una reionizzazione globale,
non solo locale.
54
Le prime stelle e la reionizzazione dell’universo
accettata l’esistenza delle stelle di popolazione III3 . Esse sarebbero stelle
molto massive (M ∼ 102 M⊙ ) con composizione chimica primordiale. I
motivi per cui si reputa probabile la loro esistenza sono numerosi (vedi
[11]):
√
Esiste un ‘vuoto’ (gap) tra le metallicità predette dalla nucleosintesi
primordiale, Z ∼ 10−12 ÷ 10−10 e quelle osservate nelle stelle di
popolazione II, Z ∼ 10−4 ÷ 10−3 .
√
Esiste il problema delle stelle di classe spettrale G, detto
G − dwarf problem, (si veda per esempio [8]): si rileva una mancanza
osservativa di stelle F e G poco metalliche nelle regioni vicino al Sole,
in contrasto con i modelli teorici di evoluzione chimica: in genere
le osservazioni evidenziano stelle con metallicità maggiori di quelle
previste.
√
Esiste un eccesso di ossigeno ed elementi α nelle stelle galattiche povere
di metalli, oltre all’esistenza di stelle estremente povere di metalli che
mostrano, nei loro inviluppi esterni, elementi derivati da processi s.
√
Esistono forti evidenze di una precoce (∼ 108 anni dopo il Big Bang)
reionizzazione globale dell’universo che non si spiega con le comuni
popolazioni stellari.
√
Non si spiega, senza l’ausilio di stelle di popolazione III, la
contaminazione dell’IGM come dedotta, dalle righe di assorbimento
metalliche, nella cosiddetta Lyα forest, osservando la radiazione dei
quasar.
√
Non si spiega l’attuale abbondanza cosmologica di elio.
√
Non si spiega la formazione di buchi neri massivi.
3
Le stelle si suddividono in popolazioni con proprietà molto diverse; indicativamente, diciamo
che le stelle di popolazione I sono quelle più giovani e metalliche, le stelle di popolazione II sono
più vecchie e meno metalliche, ma con composizione chimica non primordiale.
2.1 Formazione di oggetti di popolazione III
2.1
55
Formazione di oggetti di popolazione III
Come abbiamo già anticipato, finché il gas è ionizzato e accoppiato alla
radiazione non c’è possibilità di evoluzione per le fluttuazioni di materia
(fenomeno detto radiation drag), ma, dopo la ricombinazione, si formano
le prime buche di potenziale di materia oscura, il gas comincia a cadervi e
anche le perturbazioni barioniche possono crescere. I processi che portano
alla virializzazione delle componenti gassose sono simili a quelli per la
materia oscura, per cui ci aspettiamo anche in questo caso una prima
crescita lineare ed una successiva evoluzione non lineare. Il gas può in
tal modo formare le prime protogalassie e, per successiva frammentazione,
le prime stelle.
2.1.1
Protogalassie
Perché ci sia la formazione di protogalassie, è necessario richiedere che il
tempo tipico di raffreddamento del gas, τcool , sia inferiore al tempo tipico di
espansione dell’universo, τH , altrimenti gli effetti disgreganti di quest’ultima
dominerebbero sulla condensazione dei barioni. Nel modello standard, i
primi oggetti hanno tipicamente temperature di virializzazione Tvir . 104 K,
ciò significa che, in un gas con composizione chimica primordiale e con
tale temperatura, il principale responsabile dei processi di raffreddamento
non può essere altro che l’idrogeno, atomico e molecolare. Pertanto, la
condizione di formazione delle protogalassie si scrive
τcool (H, H2 ) < τH .
(2.1)
Se essa viene soddisfatta si avvia la formazione di un oggetto di popolazione
III. Il processo di raffreddamento si può schematizzare come segue:
- il gas in caduta nell’alone subisce un iniziale aumento di temperatura
dovuto all’incremento di energia cinetica (l’incremento di energia cinetica è
legato all’incremento degli urti tra gli atomi/molecole del gas);
- gli urti provocano eccitazione del gas;
56
- le componenti di gas eccitate si diseccitano emettendo radiazione;
- la radiazione emessa sottrae energia cinetica al gas (è la forma di energia
in cui si trasforma parte dell’iniziale energia cinetica);
- il gas si raffredda e la temperatura diminuisce.
L’abbondanza primordiale di H2 è dell’ordine di ∼ 10−7 a z > 400, ad
un redshift minore di circa 110, quando l’intensità del CMB cala in modo
da permettere la formazione di ioni H − , diventano probabili molte reazioni
chimiche che producono H2 ; in particolare, le catene più efficienti sono (si
veda pure [1])
H + e− → H − + hν
H − + H → H2 + e−
(2.2)
H + + H → H2+ + hν
H2+ + H → H2 + H +
(2.3)
e
essendo h la costante di Planck e ν la frequenza della radiazione emessa
durante la reazione. L’efficienza massima viene di norma raggiunta intorno
a (2000 ÷ 3000) K, anche se la catena (2.3) è limitata dalla necessità di
protoni liberi dopo la reionizzazione. In aggiunta, durante il collasso si
può avere una ulteriore formazione di H2 e la presenza di HD capaci di
incentivare il raffreddamento.
2.1.2
Stelle
Per la formazione delle prime stelle, la condizione (2.1) deve essere raffinata
introducendo il tempo di caduta libera (free fall ) del gas nell’alone, τf f ,
dato da
τf f =
r
3π
,
32ρG
(2.4)
in cui ρ è la densità del gas. Il tempo di raffreddamento si calcola secondo
la
τcool =
3nkB T
,
2Λ(n, T )
(2.5)
57
dove n è la densità numerica del gas, T la temperatura, Λ una funzione
quantomeccanica di raffreddamento radiativo avente le unità di una densità
di potenza (in c.g.s. sono erg s−1 cm−3 )4 .
Ovviamente, il gas, cadendo, si raffredda e condensa solo se
τcool ≪ τf f
(2.6)
con τf f < τH . Durante tale fase, la nube si può frammentare su scale RF
confrontabili con la scala di Jeans RJ , condizione che garantisce in ogni
istante l’equilibrio gravitazionale dei frammenti con le forze di pressione5 :
vs
RF ≈ RJ ∝ vs τf f ∝ √
∝ nγ/2−1 ,
(2.7)
ρG
essendo γ l’indice politropico e vs la velocità del suono soddisfacente la
relazione
RT
µmH
con T temperatura, µ peso molecolare medio, mH massa del protone ed R
vs2 =
costante universale dei gas perfetti.
La massa di frammentazione MF ha un andamento
MF ≈ MJ ∝ nRFη ∝ n1−η+ηγ/2 ,
(2.8)
η è un parametro che specifica la dimensione della struttura (sfera,
filamento, etc.).
Il processo di frammentazione termina quando il raffreddamento diventa
inefficiente a causa di
⋄ raggiungimento di equilibrio termodinamico locale (LTE), a causa del
quale materia e radiazione raggiungono la stessa temperatura e il
cooling cessa;
4
Anche in questo caso ci possono essere ambiguità: a volte si trova invece di Λ in erg s−1 cm−3
il tasso rcool (n, T ) = n2 Λ(n, T ) in erg s−1 cm−3 e Λ in erg s−1 cm3
5
La massa di Jeans va come
T 3/2
MJ ∝ ρRJ3 ∝ 1/2
ρ
quindi, durante il raffreddamento e la condensazione del gas, diminuisce e diventa probabile la
frammentazione della nube.
58
⋄ aumento dello spessore ottico con conseguente incremento della
temperatura del gas e calo delle perdite energetiche radiative;
in entrambi i casi viene meno la condizione (2.6) e si verifica
τcool > τf f .
(2.9)
Alla fine del processo di raffreddamento e frammentazione, la massa MF sarà
costante o crescente, visto che la temperatura T ha un’inversione; perciò si
richiede (si veda [11])
1−η+ηγ/2
MF ∝ n
e in complesso
∼

 costante
 crescente
γ>2
⇒
1−η+
ηγ
2
=0
⇒
1−η+
ηγ
2
>0
(2.10)
η−1
.
η
(2.11)
Se i frammenti sono sferici
η=3
4
⇒γ> .
3
Se i frammenti sono filamentari, cioè strutture bidimensionali,
η=2
⇒ γ > 1.
Appena finisce il processo, quando τcool ∼ τf f , MF ∼costante e T ∼costante,
il gas è approssimativamente isotermo, per poi divenire asintoticamente
adiabatico o quasi adiabatico, quando il mezzo diventa otticamente spesso e
τcool ≫ τf f : in questo caso, l’aumento di temperatura e, conseguentemente,
di pressione impediscono un ulteriore collasso.
Una volta bloccata
la frammentazione, le simulazioni numeriche mostrano diverse possibili
evoluzioni a seconda dei meccanismi di cooling considerati (vedi immagine
2.1). Una nube (cloud) di massa Mcloud ∼ (105 ÷ 106 ) M⊙ può frammentarsi
in diversi gruppi (clump), con massa Mclump < 1 M⊙ , in presenza di
♦ raffreddamento guidato da H o da H2 e HD;
59
0
M clump~10 2 −10 3 M 1
0
1
8
−3
n clump< 10 cm
1111
0000
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
000
111
0000
000 1111
111
1
11111111
00000000
0
000
111
1
0
000
111
0000 111
1111
0
1
0000
1111
000
0000
1111
0
1
0000
1111
0000
1111
1
0
0000
1111
0000
1111
1
0
0000
1111
0000
1111
1
0
0000
1111
0
1
5
6 11
0
1
M core ~10 −3 M 0
00
0
1
1
0
1
00
11
0
1
cloud
1
0
0
1
0
1
000000000
111111111
22
−3
0
1
0
1
000000000
111111111
0
1
1
0
000000000
111111111
5
−3
core
0
1
1
0
000000000
111111111
0
1
1
0
000000000
111111111
0 cloud
1
0
1
000000000
111111111
0
1
collapse
H2 cooling
1
0
000000000
111111111
00
11
0
1
1
0
000000000 00000000000
111111111
00
11
0
1
11111111111
1111111
0000000
1
0
000000000
111111111
00
11
0
1
0
1
1
0
000000000
111111111
0
1
0
1
0
1
000000000
111111111
accretion
0
1
0
1
1
0
000000000
111111111
−3
0
1
5
0
1
1
0
000000000H
111111111
0
1
0
1
1
0
n cloud >10 cm
000000000
111111111
2+
00000000
11111111
0
1
0
1
1
0
000000000
111111111
00000000
11111111
0
1
0
1
0
1
HD
000000000
111111111
00000000
11111111
0
1
0
1
0
1
00000000
11111111
0
1
0
1
1
0
0
1
00000000
11111111
0 M
1
co
0
1
1
0
0
1
00000000
11111111
M
<
M
0
1
0
1
1
0
0
1
acc > Mcrit
acc
crit
o
00000000
0
1
0
1
0 11111111
1
000
111
00
11
l
00000000
11111111
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
i
000
111
00
11
00000000
11111111
1
0
0
1
0
1
0
1
n
000
111
00
11
00
11
00000000
11111111
1
0
0 11111111
1
g
0
1
0
1
00011
111
00 000000000
00
11
00000000
000
111
111111111
1
0
0
1
0
0
1
1
00
11
00
11
00000000
000
111
0 11111111
1
0
1
0
1
00
11
00
11
000
111
0
1
0
1
0
1
00
11
00
11
00 111
11
000
H
cooling
0
1
0
1
0
1
00
11
00
11
1111111111
0000000000
000 11
111
0
1
0
1
0
1
00
00
11
000 11
0
1
0
1
00
00 111
11
000 11
111
0
1
0
1
00
11
00
00
11
000
111
0
1
0
1
00
11
00
11
000
111
0
1
0
1
0000000
1111111
00
11
00
11
0000000
1111111
00
11
00
11
000
111
0000000
1111111
00
11
00
11
000
111
0000000
1111111
000
111
0000000
1111111
000
111
0000000
1111111
000
111
M clump< 1 M 0
0000000
1111111
1
000
111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
1111
0000
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
M
~10 −10 M
n
n
<10 cm
.
.
Mstar~Mclump
< 10
.
cm
.
M star<<M clump
Figura 2.1: immagine tratta da B.Ciardi, A.Ferrara, [11]: mostra le possibili evoluzioni
delle nubi di gas, a seconda del tipo di cooling considerato.
♦ raffreddamento guidato da H2 in un gas denso avente densità numerica
ncloud > 105 cm−3 ;
in alternativa,
si possono formare aggregati di massa maggiore
Mclump ∼ (102 ÷ 103 )M⊙ se il cooling è dettato da idrogeno molecolare
H2 ed il gas è abbastanza rarefatto: ncloud < 105 cm−3 . I clump cosı̀
formati collassano in strutture dal nucleo molto piccolo, Mcore ∼ 10−3 M⊙
e densità non superiore ad un valore di ∼ 1022 cm−3 , in grado di accrescere.
Osserviamo che Mcore è alquanto indipendente dalle condizioni iniziali. La
successiva evoluzione è legata al tasso di accrescimento: detto Ṁcrit ≈
4 · 10−3 M⊙ yr −1, e
Ṁacc =
vs3
G
con vs velocità del suono isoterma, si trova che
- se Ṁacc < Ṁcrit , cioè l’accrescimento è lento e dolce, i nuclei
60
protostellari possono accrescere tutta la materia dei ‘genitori’ fino alla
formazione di stelle di massa M⋆ ∼ Mclump ,
- altrimenti,
si formano stelle molto meno massive del clump
M⋆ ≪ Mclump , essendo la crescita inibita dagli effetti della pressione
di radiazione, molto più significativi in questo caso, che non in quello
precedente.
2.1.3
Osservabilità
Stelle di popolazione III non sono mai state osservate ed è difficile che lo
siano in futuro, avendo queste un tempo di vita τ⋆popIII ∼ 107 yr ≪ τH , però
si può risalire alla loro esistenza se si individuano loro tracce; per esempio,
stelle poco massive, con M⋆ ∼ 0.8 M⊙ , non ancora del tutto evolute6 , ma con
residui di elementi pesanti (Mg soprattutto) non sintetizzati direttamente
da queste. Ciò si interpreterebbe con un precedente trasferimento di massa
da una stella di popolazione III o con una formazione stellare in un mezzo
pre-arricchito da oggetti di popolazione III.
2.2
Proprietà della popolazione III
Nelle prossime pagine discuteremo alcune proprietà delle stelle di
popolazione III: funzione di nascita, caratteristiche fisiche ed evoluzione.
2.2.1
Funzione di nascita
Per comprendere l’evoluzione di popolazioni stellari e galassie bisogna
conoscere le condizioni iniziali del sistema da studiare.
Esse sono
rappresentate dalla funzione di nascita stellare o stellar birthrate function:
B(M, t) =
6
d2 n
;
dM dt
(2.12)
Tali stelle hanno un’ età confrontabile con la vita dell’universo e sono ancora in sequenza
principale.
2.2 Proprietà della popolazione III
61
B(M, t) è la densità numerica di oggetti formati per unità di massa e di
tempo. Comunemente, si fattorizza B(M, t) come segue
B(M, t)dMdt = ξ(M)dM ψ(t)dt,
(2.13)
dove
ξ(M) =
dn
dM
è la funzione di massa iniziale (o IMF) e
ψ(t) =
dn
dt
è il tasso di formazione stellare (o SFR). Sia dalle osservazioni che dalle
simulazioni numeriche, sembra che lo SFR abbia un andamento crescente
con il redshift fino ad un certo valore di picco zpeak e poi cominci a decrescere.
Ancora non è ben stabilito il redshift esatto zpeak , ma grossomodo dovrebbe
essere intorno a 2 ÷ 3.
La funzione di massa iniziale, invece, ci dice qual è la distribuzione in massa
delle stelle in una data popolazione ed è molto importante, perché stelle di
massa diversa influenzano parametri diversi (luminosità totale, metallicità,
supernovae). Nelle regioni galattiche si trova una distribuzione di Salpeter
(1955):
M⋆
dn
∼ M⋆−1.35 .
dM⋆
(2.14)
Per M > 1 M⊙ è praticamente universale, per M < 1 M⊙ ci sono deviazioni
dalla relazione (2.14). Per le prime stelle, si pensa ad una IMF leggermente
modificata: la cosiddetta IMF di Larson (1998)
dn
M⋆
∼
dM⋆
−1.35
M⋆
1+
.
Mc
la massa critica Mc è legata a quella di Jeans e può essere stimata
−1/2
3/2
P
T 3/2
T
3/2
Mc ≈ MJ ∝ ρ
∝ 1/2 ∝ T
∝ T 2 P −1/2
ρ
ρ
T
(2.15)
62
poiché Mc ∝ T 2 P −1/2 , ad alti z ci si aspetta Mc via via maggiore e IMF
spostata verso masse più grandi; per z → 0, invece, la IMF di Larson tende
a quella di Salpeter.
Se la massa dei clump genitori dipendesse dalla densità della nube
collassante, si potrebbe avere una IMF bimodale piccata a circa 100 M⊙
e 1 M⊙ ; similmente, se le stelle massive emettessero radiazione in grado di
esaurire o scindere tutto l’idrogeno molecolare, si potrebbe avere una IMF
bimodale piccata a 40 M⊙ e a 0.3 M⊙ . Il passaggio da una IMF primordiale
alla IMF attuale potrebbe essere causato dalla variazione della composizione
chimica dell’IGM.
2.2.2
Caratteristiche fisiche
Le stelle di popolazione III sono molto più massive delle stelle standard e
con composizione chimica primordiale; nel loro core, pertanto, è possibile la
produzione di energia solo via catene protone-protone, inoltre nella fase
di ZAMS7 possono raggiungere temperature di ∼ 105 K e conseguente
emissione nell’hard UV. Le principali righe identificatrici sono quelle
dell’elio, che sono più assorbite di ben centomila volte rispetto a quanto
accade nelle atmosfere delle normali stelle di popolazione II.
Come esempio, la figura 2.2 fa vedere due spettri sintetici di popolazioni
stellari di tipo II (Z = 0.001) e III (Z = 0), con massa di 106 M⊙ : si
nota chiaramente che lo spettro delle stelle di popolazione III è spostato
verso frequenze maggiori, rispetto allo spettro delle stelle di popolazione II
e, pertanto, anche i tassi di produzione di fotoni ionizzanti seguiranno lo
stesso andamento.
La naturale evoluzione spettroscopica verso il rosso e la breve durata di
vita (alcuni milioni di anni) fanno sı̀ che la ‘durezza’ della radiazione
e l’assorbimento in HeII scompaiano rapidamente.
La vita media di
ogni stella di popolazione III è pressoché indipendente dalla loro massa:
una spiegazione semplice è che, essendo molto massive ed emmettendo a
7
Zero Age Main Sequence.
2.2 Proprietà della popolazione III
63
Figura 2.2: immagine tratta da B.Ciardi, A.Ferrara, [11]: mostra due spettri sintetici
di cluster di popolazione II (linea a punti e metallicità Z = 10−3 ) e popolazione
III (linea continua e metallicità nulla Z = 0) con massa di 106 M⊙ . I numeri in
basso a sinistra sono i rispettivi ordini di grandezza dei tassi di produzione di fotoni
ionizzanti (fotoni al secondo) in corrispondenza delle bande di lunghezza d’onda indicate;
Tumlinson, J., Shull, J. M., ApJ, 528, 65; 2000.
luminosità confrontabili con il limite di Eddington, lineare in M⋆ , il tempo
tipico di vita
τ⋆ =
E⋆
,
Ė⋆
dove E⋆ è l’energia prodotta dalla stella ed Ė⋆ la sua luminosità, risulta
indipendente da M⋆ .
2.2.3
Evoluzione
L’evoluzione di tali stelle è ancora alquanto incerta, in ogni caso è
probabile che, essendo le catene p-p non sufficienti per contrastare a lungo
l’attrazione gravitazionale, esse si contraggano fino al raggiungimento di una
temperatura centrale dell’ordine di Tcore ∼ 108 K; a queste temperature si
innescano i processi 3α e le successive reazioni per la produzione di elementi
pesanti. Inoltre, ci potrebbero essere anche notevoli perdite di massa indotte
64
–
Figura 2.3: immagine tratta da Fryer, C.L., Woosley, S.E., Heger, A., ApJ, 550, 372
(2001), in [11]: Collasso di una stella di 300 M⊙. Mostra un proto-buco nero (protoBH) 0.5 s prima della formazione del buco nero propriamente detto. I colori denotano
la temperatura in unità di 109 K, i vettori sono relativi alla velocità delle particelle. In
questo istante, il proto-BH ha una massa di circa 78 M⊙ e una dimensione di 1100 km.
Il primo a formare il buco nero è il nucleo interno, ma non appena questo collassa, tutto
il proto-BH (che arriva a 90 M⊙ nel momento del collasso) accresce rapidamente sul BH
appena formato.
da pulsazioni delle regioni atmosferiche. Assunta una composizione chimica
primordiale, i modelli numerici mostrano che:
– 10 M⊙ . M⋆ . 40 M⊙ : vengono sintetizzati tutti gli elementi fino
al ferro. Quando il nucleo supera la massa limite di Chandrasekhar,
1.4 M⊙ , collassa provocando una esplosione di supernova SNII o, se
M⋆ & 30 M⋆ , riducendosi ad un buco nero;
– 40 M⊙ . M⋆ . 100 M⊙ : tutta la stella degenera in un buco nero e, se
c’è un momento angolare iniziale, si possono formare getti di γ−ray
burst (GRB);
100 M⊙ . M⋆ . 260 M⊙ : formano un core di elio che brucia in
2.3 Meccanismi di feedback
65
carbonio e, date le temperature, superiori a 5 · 108 K, si avviano
i processi di creazione di coppie (γ → e+ e− ) che incrementano il
potenziale gravitazionale; il nucleo, collassando, innesca il bruciamento
di O e Si in modo esplosivo: si genera una Pair Instability Supernova
(PISN)8 ;
– M⋆ & 260 M⊙ : la fotodisintegrazione del core precede il bruciamento
di O e Si e porta ad un collasso e alla formazione di un buco nero,
eventualmente con getti; nella figura 2.3 viene mostrato il collasso di
una ipotetica stella di popolazione III molto massiva (300 M⊙ ) che
dovrebbe morire secondo tale scenario;
– M⋆ & 105 M⊙ : la nube di gas è altamente instabile e collassa in
buco nero senza avviare il bruciamento di H, se Z < 0.005; altrimenti
esplode.
2.3
Meccanismi di feedback
I meccanismi di feedback sono dei processi i cui effetti agiscono direttamente
sulla causa che li produce; essi sono molto importanti perché influenzano
la formazione e l’evoluzione delle galassie, degli ammassi stellari e del
mezzo intergalattico (IGM); inoltre, sono fondamentali per modellare
correttamente tali sistemi, anche se va detto che attualmente i risultati
teorici sono ancora discrepanti. Un meccanismo di feedback può essere
positivo o negativo: si ha feedback positivo quando l’effetto incentiva la sua
causa e, con questa, tutto il processo; si ha feedback negativo quando li
inibisce. In ogni caso, c’è una sorta di autoregolazione del meccanismo. A
seconda del tipo di processo coinvolto, distinguiamo i feedback radiativi, i
feedback meccanici e i feedback chimici.
8
Vedi [47].
66
2.3.1
Feedback radiativi
Sono quelli associati ai processi di ionizzazione e dissociazione di atomi o
molecole, per via della radiazione prodotta da stelle massive o quasar. Gli
effetti possono essere locali (rimanere nella stessa galassia) o a lungo raggio
e formare un fondo radiativo in grado di alterare l’evoluzione di oggetti
vicini e lontani. Alcuni schemi di feedback radiativi sono i seguenti
- fotoionizzazione ed evaporazione:
un oggetto collassato produce
radiazioni UV capaci di ionizzare l’idrogeno H e/o far evaporare il
gas, inibendo un ulteriore collasso, perché le reazioni (2.2) e (2.3) non
sono più efficienti9 (feedback negativo);
- fotodissociazione di H2 : come nel caso precedente, radiazione prodotta
da oggetti collassati, soprattutto se soft UV, può dissociare l’idrogeno
molecolare H2 ed inibire il cooling nell’ambito della stessa nube o di
altre nubi esterne (feedback negativo);
- ricombinazione di H2 nelle regioni HII: nelle regioni di formazione
stellare ricche di protoni liberi è facile, in virtù della (2.3), formare H2
ed assistere a raffreddamento e collasso del gas (feedback positivo);
- ricombinazione di H2 nelle regioni con fondo X: i raggi X accelerano
gli elettroni facilitando la formazione di H2 via (2.2) ed il successivo
cooling (feedback positivo).
2.3.2
Feedback meccanici
I feedback meccanici sono legati, tipicamente, a processi meccanici, come
l’espulsione di massa ed energia da parte di sorgenti evolute: spesso stelle
nelle loro ultime fasi di vita che muoiono come supernovae o come PISN.
Tra i principali feedback meccanici citiamo:
9
Infatti, nel primo caso viene a mancare l’idrogeno neutro indispensabile per la produzione
di H2 , nel secondo, viene a mancare il gas stesso, in quanto allontanato dalla pressione di
radiazione.
2.3 Meccanismi di feedback
- blowout/blowaway:
67
sono fenomeni connessi alle esplosioni di SN
e soprattutto PISN che eiettano massa ed energia nell’ambiente
circostante; in tal modo, il gas galattico può essere spazzato via
parzialmente (blowout) o totalmente (blowaway), a seconda della
potenza dell’esplosione, e i processi di raffreddamento risultare bloccati
(feedback negativo). Del resto vanno considerati anche i concomitanti
fenomeni che favoriscono il collasso gravitazionale.
Difatti, nel
gas freddo dietro lo shock generato dall’esplosione, è favorita la
ricombinazine di H2 , e, quindi, il cooling, mentre, davanti allo shock,
il gas viene spinto ad addensarsi in gusci in grado di frammentare,
se l’espansione non è troppo violenta, e di alimentare la formazione
stellare (feedback positivo);
- shock: possono essere prodotti non solo da esplosioni, ma anche dal
collasso stesso delle strutture. Gli esiti fondamentali sugli oggetti
investiti sono il riscaldamento e l’evaporazione del gas precedentemente
virializzato nell’alone di materia oscura e lo ‘stripping’ di massa dalle
vicine nubi collassanti; in entrambi i casi vi è inibizione di formazione
stellare (feedback negativo);
- preheating: è un meccanismo che riguarda i flussi o venti di gas
e radiazione verso l’esterno delle galassie (outflow); questi fanno
incrementare la temperatura dell’IGM e con essa la massa di Jeans
ostacolando la formazione di nuove strutture (feedback negativo).
2.3.3
Feedback chimici
Come dice la parola stessa, sono effetti che coinvolgono la composizione
chimica del mezzo intergalattico. Le variazioni più significative da questo
punto di vista riguardano il cambiamento di metallicità nel tempo:
- metallicità dell’IGM (ZIGM ): secondo lo scenario già descritto, le
prime stelle dovrebbero essere molto massive e morire essenzialmente
68
come PISN, eiettando materiale processato nel loro interno verso le
regioni circostanti e contaminando fortemente il mezzo. Le successive
stelle si formerebbero allora in un IGM non più primordiale e avrebbero
composizione chimica simile alle attuali stelle di popolazione II; in
maniera analoga, la successiva generazione sarebbe costituita da stelle
di popolazione I. L’evoluzione in metallicità diventa importante anche
per descrivere la funzione di massa iniziale; si è visto che finché
ZIGM . Zcrit ∼ 10−5±1 Z⊙ 10 la IMF adeguata sembra quella di
Larson, nel regime in cui ZIGM > Zcrit la descrizione migliore viene
fornita dalla IMF di Salpeter. Ovviamente, le incertezze sono molte ed
inoltre la notevole disomogeneità dell’IGM fa pensare che i feedback
chimici siano essenzialmente locali e strettamente legati alla vicinanza
di regioni con formazione stellare, per cui zone particolarmente
isolate dell’universo potrebbero conservare una composizione chimica
originaria molto più a lungo di altre.
2.4
Reionizzazione
La storia della reionizzazione è tuttora discussa e dibattuta, a causa delle
incertezze dei modelli riguardo le proprietà delle prime stelle e dei quasar;
esistono poi diversi studi per cercare di comprendere alcuni parametri
determinanti per la formazione delle strutture e la loro evoluzione: ad
esempio, il tasso di produzione di fotoni ionizzanti e la loro frazione di
fuga (escape fraction)11 verso il mezzo intergalattico, nonché le modalità
dell’inquinamento metallico provocato dall’evoluzione delle prime stelle.
Inoltre, non tutti gli elementi chimici reionizzano simultaneamente, per
cui si dovrebbe parlare (e lo faremo) di reionizzazione dell’idrogeno,
reionizzazione dell’ elio, e cosı̀ via.
10
La metallicità solare Z⊙ è pari a circa 0.02.
Ci sono diverse indagini per la stima di questa quantità e, pur se molti modelli convergono
verso valori non superiori al 15% esiste un sostanziale numero di oggetti e intervalli di redshift
per cui non è stato raggiunto un comune consenso.
11
2.4 Reionizzazione
69
Come per ogni mezzo composto da gas, polveri e radiazione, il parametro
che meglio descrive la struttura dell’IGM è lo spessore ottico Thomson12 ;
esso è definito, nella sua forma differenziale, come segue:
dτ ≡ σT ncdt ,
(2.16)
dove n è la densità numerica di elettroni, c la velocità della luce, cdt il tratto
infinitesimo percorso dalla radiazione in un tempo dt e σT è la sezione d’urto
Thomson per l’interazione elettrone-fotone13 data da
2 2
8π
e
σT =
≈ 6.65 · 10−25 cm2 .
2
3 me c
Esplicitando l’evoluzione in z delle varie quantità presenti nella (2.16),
supponendo completa ionizzazione, si ha
dt σT n(z) c
dτ (z) = σT n(z)c dz =
dz =
dz
(1 + z) H(z)
σT n(0) (1 + z)2 c
dz .
=
H0 E(z)
(2.17)
Qui, abbiamo fatto uso delle (1.35), (1.53), (1.59) e (1.60). Lo spessore
ottico calcolato tra due redshift z1 e z2 si ottiene integrando l’equazione
(2.17); per un modello piatto, con costante cosmologica, costituito
prevalentemente da materia, l’espressione di E(z) si riduce semplicemente
a
1/2
E(z) = Ω0M (1 + z)3 + Ω0Λ
e l’integrale si risolve esattamente: sostituendo
ζ = (1 + z)3
si arriva a
Z
z2
z1
12
2σT n(0)c
√
dτ (z) =
3H0 Ω0M
Ω0Λ
(1 + z)3 +
Ω0M
12 z=z2
.
(2.18)
z=z1
Si pensi alle atmosfere stellari.
Il contributo di ioni, atomi, molecole è trascurabile perché la sezione d’urto è inversamente
proporzionale al quadrato della massa delle particelle ed è noto che la massa di un protone mH
vale quasi 2000 volte quella dell’elettrone me : mH ≃ 2000 me .
13
70
Considerando una ‘linea di vista’ da redshift 0 a z arbitrario
#
"r
r
Z z
2σ
n(0)c
Ω
Ω
T
0Λ
0Λ
√
τ (z) =
dτ (z ′ ) =
; (2.19)
− 1+
(1 + z)3 +
Ω
Ω
3H
Ω
0M
0M
0
0M
0
usando le stime osservative ottenute da WMAP per i vari parametri della
relazione precedente (vedi il capitolo successivo, il capitolo VII e [39]), la
(2.19) diventa
τ (z) ≈ 0.0023{[(1 + z)3 + 2.7]1/2 − 1.93}.
(2.20)
Dallo studio dello spessore ottico si riesce a capire quali sono le condizioni
del mezzo ad un dato redshift (se è otticamente sottile o spesso, per esempio)
e se è plausibile o meno una corrispondente reionizzazione cosmica.
2.4.1
Reionizzazione dell’idrogeno
Si pensa che la reionizzazione dell’idrogeno proceda tramite fasi
morfologiche diverse:
nella fase iniziale (pre-overlap stage) esso è
completamente neutro, salvo qualche sporadica regione HII, segue, poi, una
fase di espansione e sovrapposizione delle regioni HII durante la quale si
assiste alla reionizzazione del gas intergalattico diffuso e poco denso (overlap
stage); il processo si conclude con la successiva reionizzazione dell’idrogeno
neutro anche nelle rimanenti regioni più dense (post-overlap stage). L’epoca
di completa ionizzazione è legata a cosa si intende con il termine ‘completa’:
in genere, la reionizzazione è considerata completa quando il cammino libero
medio dei fotoni ionizzanti uguaglia il raggio di Hubble; nelle simulazioni
numeriche, invece, si assume che la frazione in volume di idrogeno neutro
debba essere inferiore all’un per mille (10−3 ).
Per capire quali sono i meccanismi e le cause delle tre fasi precedentemente
descritte si adottano approcci semi-analitici e numerici coinvolgenti modelli
verosimili di formazione galattica ed un trattamento accurato del trasporto
radiativo dei fotoni. Benché l’evoluzione di strutture di sola materia oscura
sembri ben capita, per la materia barionica ci sono forti complicazioni legate
ai comportamenti idrodinamici del gas e ai numerosi effetti di feedback;
2.4 Reionizzazione
71
in aggiunta, le simulazioni devono coprire volumi notevoli (almeno diversi
Mpc3 ), per verificare la globalità del fenomeno, e una risoluzione molto
buona, per ‘vedere’ oggetti come stelle massive, minialoni e ministrutture
in grado di provocare o influenzare la reionizzazione del gas. Per quanto
riguarda la natura delle sorgenti, spesso si assumono proprio le stelle di
popolazione III, nell’ambito del modello standard.
I vincoli osservativi sulla temperatura dell’IGM a z ≈ 2÷4, sull’abbondanza
di idrogeno a z > 6 e sulla misura dello spessore ottico Thomson
suggeriscono che una semplice reionizzazione a z > 10 indotta da sole
sorgenti stellari non è accettabile, perché si avrebbero valori teorici della
temperatura del mezzo, TIGM , troppo bassi rispetto alle osservazioni.
Pertanto è necessario un incremento di TIGM ; lo scenario più interessante per
raggiungere una prima reionizzazione ad alti redshift prevede una maggiore
emissione di radiazione attraverso:
- una maggiore produzione di fotoni ionizzanti da parte delle prime
sorgenti luminose;
- una maggiore quantità di stelle di popolazione III, ovvero una IMF
spostata verso masse maggiori (top-heavy IMF);
- una maggiore frazione di fuga per i fotoni, rispetto al presunto 15%.
Aggiungendo i feedback e considerando l’arricchimento metallico14 , sarebbe
possibile una successiva caduta della produzione di fotoni e una totale o
parziale ricombinazione seguita da una seconda reionizzazione ad opera di
sorgenti stellari standard, a z ≈ 6.
Altre alternative per incrementare il contributo energetico dei fotoni
ionizzanti e, di conseguenza, TIGM , sono
- considerare uno spettro di potenza adiabatico standard più uno spettro
isocurvo non scale free che determinerebbe una precoce formazione di
strutture e la nascita delle prime stelle a z > 10;
14
Vedi i paragrafi seguenti.
72
- considerare fluttuazioni di densità non gaussiane;
- considerare il contributo degli ammassi globulari che hanno una alta
frazione di fuga;
- considerare il contributo alla radiazione UV da parte dei quasar;
- considerare il contributo nell’X proveniente dai quasar stessi, dai
residui di supernova e dallo scattering per effetto Compton inverso
tra elettroni relativistici accelerati dalle esplosioni di SN e fotoni;
- considerare i processi di decadimento di eventuali particelle esotiche.
Lo spessore ottico sarebbe concordante con quello osservato, ma se si
considera anche l’ultimo punto, ci potrebbero essere problemi, perché
le particelle dovrebbero produrre nuove fluttuazioni nello spettro di
polarizzazione del CMB.
2.4.2
Reionizzazione dell’elio
La ionizzazione dell’idrogeno può essere accompagnata da quella dell’elio,
infatti le sorgenti stellari possono produrre fotoni con energia superiore a
24.6 eV , sufficiente per avere HeII; una successiva ionizzazione di HeII
porta alla formazione di HeIII, ma richiede fotoni con energia di almeno
54.4 eV . Le sorgenti capaci di emettere radiazioni simili sono ancora stelle
di popolazione III, quasar e gas riscaldato da onde d’urto. Quest’ultimo
contributo sarebbe confrontabile con quello dei quasar ad un redshift z ≈ 3
e dominante a z & 4.
La reionizzazione di HeII è trattata separatamente dalla reionizzazione di
HI e di HeI vista la differenza di energie in gioco. Fra l’altro, l’assorbimento
di HeII nella Lyα è tipicamente molto più forte rispetto ad HI di un fattore
η=
NHeII
,
NHI
2.4 Reionizzazione
73
dove N rappresenta il numero di atomi coinvolti; per righe otticamente
sottili, troviamo un’espressione per gli spessori ottici:
η≈
4τHeII
.
τHI
La ragione è comprensibile poiché l’elio ionizzato HeII è più difficile da
fotoionizzare rispetto all’idrogeno e, qualora ciò accada, l’elio ionizzato due
volte HeIII si ricombina circa 5.5 volte più velocemente; per questo, è
più probabile osservare righe di assorbimento di HeII nella Lyα. Calcoli
numeri e semi-analitici mostrano che la reionizzazione dell’elio neutro, HeI,
avviene successivamente alla seconda reionizzazione dell’idrogeno, a z ≈ 5,
e che ci può essere una doppia reionizzazione per HeII
15
: la prima a z ≈ 15
e la seconda a z ≈ 3 Naturalmente, nel primo caso, sarà dovuta a stelle di
popolazione III e ai primi miniquasar, nel secondo, a stelle di popolazione
II, alla popolazione di quasar oggi nota e al fondo radiativo.
Infine,
il corrispondente aumento della temperatura dell’IGM permetterebbe di
arrivare a
TIGM ≈ 10000 K durante la reionizzazione di idrogeno;
TIGM ≈ 20000 K durante le reionizzazioni di elio.
2.4.3
Arricchimento metallico dell’IGM
Le stesse strutture che ionizzano o reionizzano il mezzo intergalattico sono
responsabili del suo arricchimento metallico. Le perdite di massa sono
dipendenti però dalla metallicità della sorgente e tanto maggiori quanto
questa è maggiore, quindi stelle primordiali di popolazione III, con Z
pressoché nullo, possono inquinare le zone circostanti solo tramite la loro
morte come SN e, soprattutto, PISN, mentre l’espulsione di materia via
vento stellare, guidata dalla pressione di radiazione, dalla rotazione o dalla
pulsazione superficiale, è poco importante.
15
Ricotti, M. ,Ostriker, J. P., MNRAS, 350, 539 e 352, 547.
74
La rimozione dei metalli dalle regioni di formazione stellare e dalle galassie
che incrementa la metallicità dell’IGM avviene in diversi possibili modi:
· rimozione dinamica durante l’incontro tra galassie (non è chiaro se tale
meccanismo, da solo, possa giustificare i dati);
· eiezione di metalli per via dei venti galattici: è uno dei meccanismi
più popolari basato sull’esistenza di outflow dagli aloni galattici
primordiali che ionizzano l’IGM e lo contaminano facendo crescere la
sua metallicità fino a Z & 10−3 Z⊙ ; tale arricchimento dovrebbe essere
disomogeneo ed incompleto;
· esplosioni di PISN: è probabilmente il meccanismo principale
attraverso il quale le stelle arrivano ad espellere oltre il 90% dei loro
metalli entro un raggio di circa 1 kpc. Eventi di questo tipo possono
arricchire il mezzo fino a Z & 10−4 Z⊙ , già ad un redshift di circa 15;
· espulsione, da parte della pressione di radiazione, di grani di polvere
(dust grain) in cui sono intrappolati elementi pesanti.
Tale tipo
di arricchimento, in genere, non altera le proprietà strutturali e/o
termiche dell’IGM in modo significativo, né provoca shock ed onde
d’urto, anche se può dar conto delle abbondanze di carbonio e silicio
a z ≈ 3, ma non degli altri elementi, neanche a z più bassi.
Per concludere, metalli e polveri influenzano la formazione delle strutture,
come abbiamo già detto, e potrebbero essere largamente prodotti da PISN,
perché una frazione compresa tra il 15% e il 30% della massa di stelle
di popolazione III condensa in grani.
Inoltre, la prima generazione di
stelle è molto massiva: è, perciò, probabile che nelle successive fasi di
formazione delle strutture ce ne siano state notevoli quantità. Gli effetti
sull’inquinamento del mezzo intergalattico sono, tra l’altro, debolmente
dipendenti dalla termodinamica.
Capitolo 3
Quadro osservativo
State contenti, umana gente, al quia;
ché se possuto aveste veder tutto,
mestier non era parturir Maria.
Dante
Il modello standard ΛCDM è caratterizzato da un gruppo ben preciso
di parametri che si dividono in parametri geometrici e parametri spettrali.
I primi fissano la geometria e le modalità di espansione dello spaziotempo:
essi sono la costante di Hubble H0 , o, equivalentemente, h se espressa in
unità di 100 km s−1 Mpc−1 , ed il parametro di densità Ω0 , costituito da una
componente di materia oscura, Ω0DM , una di materia barionica, Ω0b , e,
presumibilmente, una di costante cosmologica, o dark energy, Ω0Λ .
Il secondo tipo di parametri fissa le modalità di crescita delle strutture
cosmiche ed è costituito dalla costante di nomalizzazione dello spettro di
potenza lineare, A, e dall’indice spettrale, n. Normalmente, essendo la
varianza di massa legata allo spettro tramite la relazione (1.127), si utilizza
σ8 - varianza di massa su una scala di 8 Mpc h−1 - e da questa si risale ad
A; quindi, le quantità dello spettro che, di fatto, si forniscono sono σ8 ed n.
L’ultimo parametro misurabile è lo spessore ottico τ, legato ai processi di
formazione stellare e di reionizzazione cosmica.
Uno degli strumenti più utili per determinare tutti i vari parametri
è lo spettro di potenza angolare del CMB: infatti, gli esperimenti sulla
radiazione di fondo sono in grado di darci i valori della temperatura in
76
Quadro osservativo
Figura 3.1: prime mappe bidimensionali delle fluttuazioni di temperatura nel CMB
ottenute da COBE. I principali esperimenti atti a determinare lo spettro del CMB sono
stati, cronologicamente, dopo COBE (lanciato nel 1989), BOOMERANG (vedi pure [32],
2001) e WMAP ([39], 2003).
La prima mappa dall’alto mostra la temperatura media del CMB in ogni punto pari a
∼ 2.7 K dovuta al termine di monopolo l = 0;
la seconda, invece, le fluttuazioni di temperatura di dipolo (l = 1) osservabili una volta
sottratto il contributo del monopolo: queste vengono interpretate come un effetto Doppler
dovuto al moto peculiare della Terra rispetto al riferimento comovente con la radiazione
di fondo; esse sono dell’ordine di 10−3 ;
la terza mostra le anisotropie di temperatura, dell’ordine di ∼ 10−5 , dovute alle
fluttuazioni primordiali di materia: sono i semi da cui si svilupperanno tutte le strutture
cosmiche. Il contributo lungo l’equatore è dovuto alla nostra Galassia.
77
Figura 3.2: distribuzione angolare delle fluttuazioni in temperatura nel CMB ottenuta
da WMAP: i contributi del monopolo, del dipolo e della Galassia sono stati già rimossi.
ogni posizione angolare (ϑ, ϕ) (vedi figura 3.2) e costruire con questi delle
mappe bidimensionali1 , come quelle in figura 3.1 e 3.3.
Sviluppando
le fluttuazioni della temperatura, punto per punto, secondo opportuni
coefficienti complessi, alm , si ha
+∞
l
T (ϑ, ϕ) − hT i X X
δT (ϑ, ϕ)
alm Ylm (ϑ, ϕ),
≡
=
hT i
hT i
l=0 m=−l
(3.1)
dove
Ylm (ϑ, ϕ) =
s
2l + 1 (l − m)! m
P (cosϑ)eimϕ
4π (l + m)! l
(3.2)
rappresentano le armoniche sferiche e Plm (cosϑ) i polinomi di Legendre.
Il termine con l = 0 viene detto di monopolo e individua il valore medio
della funzione in questione T (ϑ, ϕ), il termine l = 1 è detto di dipolo e
quello con l = 2 di quadrupolo. Le scale angolari corrispondenti sono,
rispettivamente, 3600 , 1800 e 900 ; in generale, per ordini di multipolo l più
alti, le corrispondenti scale angolari si approssimano con 600 /l. ‘Grandi’
scale angolari, quindi, corrispondono a ‘bassi’ valori di l.
1
Analoghe alle carte prospettiche ortografiche usate in geografia.
78
Quadro osservativo
Figura 3.3: mappa bidimensionale ottenuta da WMAP, equivalente alla distribuzione
in figura 3.2: i contributi del monopolo, del dipolo e della Galassia sono stati già rimossi.
Lo spettro di potenza angolare Cl si definisce come segue:
Cl ≡ h|alm |2 i =
1 X
|alm |2 ,
2l + 1 m
(3.3)
essendo 2l+1 le degenerazioni in m delle armoniche sferiche, per ogni fissato
l. La funzione Cl misura l’importanza delle fluttuazioni aventi una scala
angolare corrispondente al multipolo l ed ha un grafico come quello mostrato
in figura 3.4.
Il picco2 ad l ≈ 220 corrisponde alla scala di ingresso delle perturbazioni
nell’orizzonte, al momento del disaccoppiamento. Inoltre, su grandi scale la
quantità l(l + 1)Cl dipende debolmente da l e su piccole scale la forma dello
spettro è influenzata essenzialmente da P (k) (per ulteriori dettagli si veda
[12]).
2
I picchi sono detti acustici.
3.1 Parametri geometrici
79
Figura 3.4: confronto tra il best-fit per il modello ΛCDM e i dati di WMAP, [39].
3.1
3.1.1
Parametri geometrici
Costante di Hubble H0
Le misure della costante di Hubble si basano sulla ben nota legge di Hubble:
v = H0 d.
(3.4)
Visto che spettroscopicamante si riesce a determinare la velocità di
recessione di una galassia v, o di una qualsiasi sorgente luminosa, l’ostacolo
principale è misurare la sua distanza d da un osservatore terrestre. Bisogna
avere anche l’accortezza di scegliere sorgenti con moti propri trascurabili
rispetto alla recessione, per non alterare sigificativamente lo spettro, e
situate ad un redshift non troppo alto, essendo la (3.4) valida solo
localmente: difatti, deriva dalla (1.27), che, letta al tempo presente, ovvero
a z ≃ 0 , conduce alla (1.28).
Il metodo più usato è quello delle ‘candele standard’: oggetti con proprietà
osservabili indipedenti dalla loro distanza.
Le candele standard per
80
Quadro osservativo
eccellenza sono le Cefeidi: si tratta di stelle variabili con periodo di
pulsazione P proporzionale alla luminosità:
Log10
hLi
= 1.15 Log10 P (d) + 2.47 ,
L⊙
(3.5)
con hLi luminosità media della variabile e P (d) periodo espresso in giorni;
una volta calibrata la relazione periodo - luminosità, su stelle vicine e note
(stelle campione), la si può usare per calcolare le distanze di stelle più
lontane:
d=
L
4πF
1/2
;
(3.6)
nella precedente equazione, L è la luminosità della sorgente nota misurando
il periodo di pulsazione3 ed F è il flusso ricevuto sulla Terra. Mediamente,
le distanze tipiche entro le quali si riesce a risolvere una stella con un buon
telescopio sono di qualche Mpc, ma con il telescopio spaziale Hubble si
giunge fino a circa 30 Mpc, come dimostrato del Key Project (vedi [16]).
Per incrementare l’intervallo di misurabilità delle distanze, è possibile, a
partire dalle Cefeidi, costruire tutta una scala di indicatori secondari basata
su altre proprietà, non più di stelle, ma di galassie. Per esempio,
– la relazione Tully - Fisher, valida per galassie a spirale,
L ∝ vc4 ,
(3.7)
che lega la luminosità galattica L con la velocità circolare vc ;
– la relazione del piano fondamentale, per galassie ellittiche,
L ∝ σ 2.65 re0.65 ,
(3.8)
in cui σ è la dispersione di velocità centrale e re il raggio effettivo, cioè
il raggio entro il quale si misura metà della brillanza superficiale;
– il picco di brillanza delle SNIa ;
– le fluttuazioni di brillanza superficiale.
3
Anche in questo caso le tecniche spettroscopiche sono molto potenti.
81
Oppure si sfruttano particolari fenomeni fisici come le esplosioni di
supernovae SNII che generano un’espansione dell’inviluppo esterno dalla
cui velocità lineare e angolare si risale alla distanza.
Il valore cui perviene il Key Project ([16]) è H0 = 72 ± 3 ± 7 km s−1 Mpc−1 ,
in cui è indicato sia l’errore statistico di ±3 che quello sistematico di ±7.
Altre stime si ottengono combinando l’effetto Sunyaev - Zel’dovich4 ed
il flusso in banda X degli ammassi di galassie.
Si trova un valore di
−1
H0 = 66+14
Mpc−1 , [28].
−11 ± 15 km s
Infine, il primo picco acustico del CMB fornisce la distanza conforme della
‘superficie’ di disaccoppiamento (o di ultimo scattering) ed essa è sensibile
alla costate di Hubble, come pure l’andamento di Cl a bassi ordini di
multipolo: il best-fit dei dati di WMAP dà H0 = 72 ± 5 km s−1 Mpc−1 , vedi
[39].
3.1.2
Parametro di densità Ω0
I valori di Ω0 sono legati ai suoi diversi contributi. La materia visibile viene
stimata a partire dalla luminosità delle galassie o degli ammassi di galassie,
ma, se vogliamo misure più dettagliate, dobbiamo ricorrere a misure di
dinamica, cioè a
• curve di rotazione delle galassie a spirale: esse sono prive di caduta
kepleriana nelle regioni esterne e ciò si giustifica solo con una notevole
presenza di materia non luminosa, la materia oscura;
• studi di galassie ellittiche: sono sistemi tipicamente virializzati, come si
inferisce dalla loro forma, pressoché sferoidale; in questi, la dispersione
di velocità delle stelle equilibra la contrazione gravitazionale (si dice
che sono pressure - supported ) e dal teorema del viriale si risale a tutta
la massa presente. Anche in tal caso, bisogna introdurre la materia
oscura, altrimenti la virializzazione non è giustificata;
4
È un semplice Compton inverso tra i fotoni del CMB e gli elettroni liberi negli ammassi.
82
Quadro osservativo
Figura 3.5: dati relativi alla degenerazione della costante di Hubble e del parametro
di densità della materia; l’eta dell’universo può variare, consistentemente, tra 12 e 16
miliardi di anni, [39].
• studi di ammassi di galassie: sono gli oggetti virializzati più grandi
e giovani esistenti in natura, con forma approssimativamente sferica;
possiamo usare il teorema del viriale o l’emissione di bremsstrahlung
del gas in banda X.
Ad ogni modo, comprendendo tutte le strutture (ammassi glubulari,
galassie a spirale, galassie ellittiche e ammassi di galassie), non si arriva ad
un valore di Ω0M maggiore di 0.3.
Anche lo spettro di potenza angolare del CMB risulta influenzato da Ω0M ,
benché in maniera degenere con la costante di Hubble (vedi il grafico 3.5).
Se Ω0M dimiuisce, all’epoca del disaccoppiamento, le buche di potenziale
gravitazionale saranno più basse e i picchi spostati verso scale minori, ovvero
ordini di multipolo l maggiori.
L’abbondanza dei soli barioni è nota dalla nucleosintesi primordiale e dalla
posizione e altezza relativa dei picchi acustici nel CMB. I vari dati sono
consistenti con Ω0b ≃ 0.04 ÷ 0.05.
83
1.0
1.0
0.5
0.5
∆(m-M) (mag)
∆(m-M) (mag)
0.0
-0.5
0.0
-0.5
Ground Discovered
HST Discovered
-1.0
dq/dz=0 (j0=0
eration, q0=-,
el
Constant Acc
0.5
Constant Deceleration
-1.0
0.0
Coasting, q(z)=0
Acceleration+Deceleration, q0=-, dq/dz=++
Acceleration+Jerk, q0=-, j0=++
0.5
1.0
z
, q0=+, dq/dz=0 (j =0)
0
1.5
2.0
st (+
ay du
z gr
high-
0.5
0.0
-0.5
Ground Discovered
HST Discovered
)
q(z)=q0+z(dq/dz)
∆(m-M) (mag)
∆(m-M) (mag)
1.0
-1.0
.0)
.0)
(+ΩM=1
ΩM=1 volution ~ z,
E
0.0
-0.5
0.0
Empty (Ω=0)
ΩM=0.27, ΩΛ=0.73
"replenishing" gray Dust
0.5
ΩM=1.0
, ΩΛ=0
1.0
z
.0
1.5
2.0
Figura 3.6:
evidenza di una recente fase di accelerazione e di una precedente
decelerazione dell’universo; i diagrammi di Hubble sopra riportati sono tratti da Riess et
al., 2004, [35].
Infine, sia i valori desunti dall’analisi del CMB che quelli relativi agli studi
teorici ed osservativi sui flussi delle SNIa (citiamo [22], [35] e [44]) mettono
fortemente in rilievo l’esistenza di una costante cosmologica associata ad
una possibile e non ben determinata forma di energia oscura o dark energy,
causante l’accelerazione dell’universo a partire da un redshift circa unitario,
come si nota dalle figure 3.6 e 3.7.
La geometria dell’universo sarebbe
praticamente piatta, essendo Ω0 = 1.02 ± 0.02 ([39]).
Nei due casi sopra menzionati, c’è una degenerazione per i parametri Ω0M
e Ω0Λ che viene rimossa unendo stime ottenute con metodi diversi. In
particolare, se consideriamo i valori per il solo Ω0M provenienti dagli studi
dinamici, i possibili valori degeneri per Ω0M − Ω0Λ dedotti dagli studi
sulle supernovae (vedi la figura 3.8) e quelli derivanti dal CMB, possiamo
costruire un grafico come quello in figura 3.9 e restringere l’intervallo di
variabilità di Ω0Λ a valori numerici appartenenti ad un intorno di Ω0Λ ≃ 0.7.
84
Quadro osservativo
Figura 3.7:
evidenza di una recente fase di accelerazione e di una precedente
decelerazione dell’universo. A sinistra, vengono mostrati tutti i dati sperimentali, a
destra, i valori medi per otto intervalli di redshift diversi. I punti del diagramma di Hubble
sono interpolati dalle curve relative ai modelli con, dall’alto verso il basso, (ΩM , ΩΛ ) =
(0.3,0.7), (0.3,0.0), e (1.0,0.0), rispettivamente. I dati sono tratti da Tonry et al., 2003,
[44].
N
o
Bi
g
Ba
ng
3
2
-0.5
q 0=
0
g
ratin
ele
Acc
4% 68
.3%
ΩΛ
q 0=
1
g
atin
eler
0.5
q 0=
99
.7 9
% 5.
Dec
Expands to Infinity
0
Cl
Recollapses
os
Op
en
Ω
tot
-1
0.0
0.5
1.0
ΩM
^
ΩΛ=0
ed
1.5
=1
2.0
2.5
Figura 3.8: a sinistra, sono mostrati i vincoli, ad un livello di confidenza di 1σ, 2σ e 3σ,
sulla degenerazione Ω0M − Ω0Λ ottenuti da due diversi studi di SN effettuati nel 2004
(contorni continui) e nel 1998 (contorni a punti); i dati sono tratti da Riess et al., 2004,
[35]. A destra, gli stessi vincoli ottenuti dagli studi di SN (contorni scuri) e dalla survey
2dF (contorni a punti) da Tonry et al., 2003, [44].
85
Figura 3.9: stime indipendenti di Ω0M e Ω0Λ . La linea continua rappresenta la retta
per universi piatti, Ω0M + Ω0Λ = 1 : il semipiano superiore, perciò, è relativo ad un
universo chiuso, mentre quello inferiore ad uno aperto. La linea a tratti rappresenta la
retta q0 (Ω0M , Ω0Λ ) = 0, che separa un regime di universo in accelerazione (semipiano
superiore) e uno di universo in decelerazione (semipiano inferiore); al solito, q0 è il
parametro di decelerazione che vale q0 = Ω0M /2 − Ω0Λ .
86
Quadro osservativo
3.2
3.2.1
Parametri spettrali
Ampiezza delle fluttuazioni σ8
L’ampiezza delle fluttuazioni è legata alla normalizzazione dello spettro di
potenza, ovvero a σ8 ; si misura con svariati metodi, come il lensing debole,
le velocità peculiari, i conteggi di ammassi, l’analisi del CMB, però non c’è
comune convergenza dei risultati, variando questi tra 0.7 . σ8 . 1. Le
recenti determinazioni di WMAP suggeriscono σ8 ≃ 0.9.
3.2.2
Indice spettrale n
Lo spettro di potenza quantifica l’importanza, nella formazione delle
strutture cosmiche,
delle perturbazioni aventi numero d’onda k.
Tipicamente, si assume uno spettro primordiale proporzionale a k n , essendo
n l’indice spettrale da determinarsi sperimentalmente; uno spettro con un
indice n = 1 viene detto anche di Zel’dovich. I dati osservativi non escludono
tale valore, in quanto, WMAP trova n = 0.99±0.04. Va detto però che esiste
una degenerazione con lo spessore ottico τ nel fit dello spettro di potenza
angolare.
In aggiunta, il confronto con dati relativi a scale agolari più piccole derivanti
da altri esperimenti sul CMB (CBI e ACBAR)5 e da altre osservazioni come
la survey di galassie 2dF GRS e la Lyα forest suggerisce un indice spettrale
variabile con il numero d’onda k (vedi figura 3.10).
Precisamente, il best-fit è dato da
1 dn
n(k) = n(k0 ) +
ln
2 d ln k
k
k0
,
(3.9)
con k0 = 0.05 Mpc−1 , n(k0 ) = 0.93 ± 0.03,
dn
= −0.031+0.016
−0.018 .
d ln k
Con questo indice, ci aspettiamo una minore potenza su piccole scale (grandi
k) e, quindi, un ritardo nella crescita delle perturbazioni.
5
Ci riferiremo all’insieme di dati forniti da WMAP, CBI e ACBAR con il termine WMAPext.
3.3 Spessore ottico τ
87
Figura 3.10: spettro di potenza come dedotto dai dati di WMAP combinati con quelli
della survey 2dFGRS e dalle Lyα: il best-fit si ottiene con un indice spettrale dipendente
da k : il cosiddetto ‘running spectral index’ (RSI). La regione ombreggiata si riferisce ad
1σ di confidenza, la linea a punti delimita la regione a 2σ di confidenza, la linea a tratti
è il fit per un modello ΛCDM con indice spettrale costante (power-law spectrum); [39].
Figura 3.11: massima verosimiglianza relativa per lo spessore ottico; dati di WMAP,
[39].
3.3
Spessore ottico τ
Lo spessore ottico viene misurato direttamente dallo spettro di temperatura
- polarizzazione (TE power spectrum).
Come accennato, i soli dati di
WMAP mostrano una degenerazione per l’indice spettrale e lo spessore
ottico, inoltre, la funzione di massima verosimiglianza ha un picco quasi
piatto in corrispondenza dei valori di τ compresi tra 0.11 e 0.19. Tuttavia,
88
Quadro osservativo
Figura 3.12: andamento dello spettro di potenza TE ottenuto dai WMAP. I dati si
accordano con un modello ΛCDM in cui le fluttuazioni primordiali sono adiabatiche. Il
punto fuori dalla predizione, ad l = 0, viene interpretato come dovuto ad una possibile
reionizzazione globale dell’universo (a 3600 ); [39].
anche in questo caso, combinando i dati di WMAPext, 2dFGRS e Lyα
forest ci sono miglioramenti e la funzione di massima verosimiglianza si
stringe intorno a τ = 0.17, come mostrato in figura 3.11; in virtù della
formula (2.19), il redshift corrispondente è z ≃ 15. Notiamo pure che, nel
TE power spectrum, potrebbero esserci contributi dovuti ad una primordiale
reionizzazione, consistentemente con il valore dello spessore ottico (vedi la
figura 3.12).
3.4 Parametro di stato per l’energia oscura wDE
0.0
2dFGRS
W
M
AP
ex
t
ΩM=0.27+/-0.04
89
-0.5
SN
eI
a
w
%5%%
99 9 68
%
9995%
68%
-1.0
99%
-2.0
0.0
95%
99%
-1.5
0.2
0.4 0.6
ΩM
0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
ΩM
Figura 3.13: degenerazione tra Ω0M − w come appare dai dati delle SN.
A sinistra vi sono due pannelli: quello più esterno mostra i contorni ad 1σ, 2σ e 3σ di
confidenza per i soli valori delle SN; quello più interno mostra, per confronto, anche i
limiti derivanti dalla survey 2dF e da WMAPext. I dati sono tratti da Riess et al., 2004,
[35].
A destra, sono mostrati i contorni di probabilità (linea continua), dedotti dai dati delle
SN, ad un livello di confidenza di 1σ, 2σ e 3σ, assumendo Ω0 = 1; sono dati anche i
contorni ad 1σ, 2σ e 3σ, quando viene adottato ΩM h = 0.20 ± 0.03 (linea a punti): dati
della survey 2dF (Percival et al., 2001). Il diagramma è tratto da Tonry et al., 2003, [44].
3.4
Parametro di stato per l’energia oscura wDE
Riferendoci sempre ai dati di WMAP, si può constatare che un buon fit
è raggiunto anche se, invece di adottare un modello standard ΛCDM,
si sostituisce la costante cosmologica con un potenziale di energia oscura
(quintessenza), il quale contribuisce al parametro ΩΛ con una densità di
energia variabile nel tempo. Nei modelli di quintessenza (cui sarà dedicato
interamente il prossimo capitolo), le proprietà dell’energia oscura vengono
quantificate dal parametro dell’equazione di stato wDE , che, in unità
naturali, ovvero posto c = 1, vale
wDE =
PDE
,
ρDE
in cui PDE e ρDE sono rispettivamente pressione e densità di energia del
campo di quintessenza.
Per semplicità, rinominiamo w il parametro wDE e, come di consueto,
90
Quadro osservativo
Figura 3.14: degenerazioni del parametro di stato per l’energia oscura.
Pannelli in alto: degenerazione tra Ω0M − w. Il problema viene risolto combinando i dati
di WMAPext con quelli della 2dFGRS e con misure da SN.
Pannelli in basso: degenerazione tra h − w. Il problema viene risolto combinando i dati
di WMAPext con quelli della survey 2dFGRS e con i dati dell’ HST Key Project.
Il livello di confidenza è del 68% per le regioni chiare e del 95% per le regioni scure; [39].
indichiamo con h la costante di Hubble espressa in unità di centinaia di
km s−1 Mpc−1 , calcolata al tempo attuale, ovvero a z = 0.
Tuttavia, nell’analisi, il parametro di stato per l’energia oscura è soggetto
a due degenerazioni; esse sono:
la degenerazione tra il parametro di densità della materia e l’equazione
di stato (Ω0M − w);
la degenerazione tra la costante di Hubble e, di nuovo, l’equazione di
stato (h − w).
Le degenerazioni vengono rimosse attraverso l’aiuto di dati esterni alla
missione WMAP: la prima usando i dati di WMAPext, 2dFGRS e delle
supernovae (vedi la figura 3.13),
la seconda con quelli di WMAPext,
2dFGRS e dell’HST Key Project (vedi figure 3.14 e 3.15). I vincoli cui
3.5 Sommario
91
Figura 3.15: degenerazione tra Ω0M − w e h − w: come nella figura precedente, ma con
il vincolo che sia w > −1. La confidenza è del 68% per le regioni chiare e del 95% per le
regioni scure; [39].
si perviene sono tali da limitare w, assunto costante, a valori minori di
−(0.7 ÷ 0.8), a seconda del livello di confidenza.
3.5
Sommario
Per terminare il nostro excursus sulle determinazioni dei parametri
cosmologici, presentiamo un quadro complessivo dei valori più attendibili
tratti da Spergel et al., [39].
La tabella 3.1 riporta i parametri di fit ottenuti con i soli dati di WMAP
per un modello standard ΛCDM, assumendo che lo spettro segua una
semplice legge di potenza: ΛCDM − P L.
La tabella 3.2 mostra i valori che si ottengono interpolando i dati con
un modello standard ΛCDM avente un indice spettrale variabile con la
scala delle fluttuazioni, secondo il fit (3.9) - RSI, running spectral index:
92
Quadro osservativo
Tabella 3.1: Parametri di best-fit per il modello ΛCDM − P L
Parametri di fit
Ampiezza delle fluttuazioni A
Indice spettrale n
Costante di Hubble h
Densità dei barioni Ω0b h2
Densità della materia Ω0M h2
Spessore ottico τ
WMAP
0.9
0.99
0.72
0.024
0.14
0.166
±
±
±
±
±
+
−
0.1
0.04
0.05
0.001
0.02
0.076
0.071
Tabella 3.2: Parametri di best-fit per il modello ΛCDM − RSI
Parametri di fit
Indice spettrale n
Spessore ottico τ
WMAP
0.92
0.93
0.70
0.023
0.14
0.20
±
±
±
±
±
±
0.12
0.07
0.05
0.002
0.02
0.07
ΛCDM − RSI.
La tabella 3.3, invece, riporta i parametri ottenuti combinando i dati di
WMAP e altri esperimenti sul CMB (WMAPext) con i dati delle survey
2dFGRS e Lyα relativi sempre ad un modello standard ΛCDM con spettro
avente indice dipendente dalla scala delle perturbazioni: ΛCDM − RSI.
Il valore complessivo di Ω0 si ottiene dai dati combinati di
WMAPext+2dF GRS + SNIa e risulta Ω0 = 1.02 ± 0.02, in buon accordo
con l’ipotesi di universo piatto.
3.5 Sommario
93
Tabella 3.3: Parametri di best-fit per il modello ΛCDM − RSI
WMAPext+
2dFGRS+Lyα
Parametri fondamentali
Indice spettrale n, a k = 0.05 M pc−1
dn/d ln k
Spessore ottico τ
0.83
0.93
−0.031
0.71
0.0224
0.135
0.17
+
−
0.09
0.08
±
0.03
±
0.0009
±
0.06
±
±
±
±
±
±
0.04
0.004
0.04
0.2 Gyr
4
1
8 kyr
7
2
3 kyr
2
+
−
+
−
0.016
0.018
0.04
0.03
+
−
0.008
0.009
Parametri derivati
σ8
Ω0b
Ω0M
Età dell’universo t0
Redshift di reionizzazione
Redshift di disaccoppiamento zdec
Età dell’universo a zdec
Spessore ∆zdec
Spessore ∆tdec
Redshift di equivalenza zeq
Orizzonte sonoro a z = zdec , rs
Attuale densità numerica dei barioni
Rapporto barioni/fotoni η
0.84
0.044
0.27
13.7
17
1089
379
195
118
3233
147
2.5
6.1
+
−
±
+
−
+
−
±
±
+
−
194
210
2 M pc
0.1 · 10−7 cm−3
0.3
· 10−10
0.2
94
Quadro osservativo
Capitolo 4
Modelli di quintessenza
Qual è ’l geomètra che tutto s’affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond’elli indige,
tal era io a quella vista nova . . .
Dante
Nei capitoli precedenti abbiamo inquadrato il modello ΛCDM e fornito
i dati osservativi che lo sostengono. In particolare, abbiamo visto che i
parametri geometrici adeguati per descrivere l’universo sembrano essere
Ω0 ≃ 1 e Ω0M ≃ 0.3. Questo porta alla possibile presenza di una costante
cosmologica Λ che contribuisce alla densità con un parametro Ω0Λ ≃ 0.7.
Inoltre, lo spettro di potenza è ben “fittato” assumendo un indice, n,
variabile in k (running spectral index) che, però, abbassa, su piccola scala, i
valori di P (k) e ∆2 (k) rispetto al caso n = 1. Inoltre, i dati suggeriscono una
possibile reionizzazione in corrispondenza di uno spessore ottico τ ≃ 0.17,
quando z ≃ 15.
Con queste premesse è inevitabile tralasciare l’insorgere di alcune questioni.
Innanzitutto, l’introduzione di una costante cosmologica comporta, come
vedremo nei prossimi paragrafi, un problema di fine tuning e uno di cosmic
coincidence; inoltre, l’assunzione di un indice spettrale variabile contrasta
con la completa reionizzazione ad alti redshift, perché la formazione delle
strutture è notevolmente ritardata (vedi Yoshida et al., 2003 [45]). Ciò
è confermato dalle simulazioni numeriche, le quali mostrano mancanza di
96
oggetti in grado di reionizzare globalmente il mezzo intergalattico, a z ≃ 15.
Una possibile soluzione a tali problemi potrebbe essere rappresentata dai
modelli di “quintessenza”: ossia, modelli in cui l’energia mancante per
raggiungere la densità critica e, quindi, un universo piatto, potrebbe
consistere di “energia oscura” sotto forma di un campo scalare lentamente
variabile, spazialmente disomogeneo solo su grande scala1 e con pressione
negativa che fa le veci di una sorta di costante cosmologica evolvente nel
tempo.
Per meglio individuare il concetto, partiamo allora da alcune considerazioni
proprio su Λ.
4.1
I problemi connessi con la costante cosmologica
Già è stato detto che, in presenza di costante cosmologica, le equazioni di
Einstein diventano
1
8πG
Rµν − gµν R − Λgµν = 4 Tµν
2
c
(4.1)
e le equazioni di Friedmann si scrivono
4
3P
Λ
ä = − πG ρ + 2 a + c2 a ,
3
c
3
(4.2)
8
Λ
ȧ2 + Kc2 = πGρa2 + c2 a2 .
3
3
(4.3)
È pure evidente che valori adeguati di Λ possono, in determinate fasi
di vita dell’universo, provocare un’accelerazione dell’espansione spaziale
(ä > 0) con conseguente diminuzione e “restringimento” dell’orizzonte della
particella RH . Per rendersene conto, basta notare che se a(t) ∼ tp , con
p ∈ R e se l’universo si espande, allora p > 0; poiché
äa
p−1
q=− 2 =−
ȧ
p
1
ed
Ovvero su scale superiori a quelle dell’orizzonte.
RH (t) = a(t)
Z
0
t
c dt′
,
a(t′ )
4.1 I problemi connessi con la costante cosmologica
97
• se p < 1 (p = 1), q > 0 (q = 0), si ha espansione decelerata (a velocità
costante) e
lim RH (t) = +∞ ,
t→+∞
cioè un osservatore, dopo un tempo infinito, entrerà in connessione
causale con tutto l’universo2 ;
• se p > 1, q < 0, si ha espansione accelerata e
lim RH (t) < +∞ ,
t→+∞
l’orizzonte è finito e decrescente nel tempo con una legge di potenza
RH (t)
t→+∞ −(p−1)
∼ t
.
Nei modelli con costante cosmologica, esso si potrà contrarre sempre di più
e zone prima visibili scompariranno.
Poiché i dati danno Ω0M
≃
0.3 e Ω0Λ
≃
0.7,
sarà pure
q0 = Ω0M /2 − Ω0Λ < 0: l’espansione è, all’epoca presente, accelerata!
Una seconda peculiarità della costante cosmologica riguarda la sua
equazione di stato:
PΛ = −ρΛ c2 .
(4.4)
Formalmente, è la stessa equazione che Zel’dovich mostrò valere per
fluttuazioni quantistiche del vuoto. Un’idea intuitiva ed efficace è fornita da
Guth (1991): se consideriamo una scatola vuota, chiusa adiabaticamente , al
suo interno vale dUvac + Pvac dV = 0, dove dUvac è il differenziale dell’energia
interna del vuoto, Pvac la pressione del vuoto e dV l’elemento di volume.
Introdotta la densità di energia ρvac , definita come dUvac = ρvac c2 dV , si trova
subito Pvac = −ρvac c2 , che è l’equazione del vuoto, formalmente simile alla
(4.4). Quindi, se pensiamo al termine Λgµν come un termine di sorgente
nelle equazioni di Einstein (4.1), il tensore energia-impulso associato,
Λ
Tµν
=
2
Λc4
gµν ,
8πG
È come dire, in modo molto suggestivo, che prima o poi ‘vedrà’ tutto l’universo.
98
può essere assimilato al “tensore energia-impulso del vuoto” e
ρΛ =
Λc2
= ρvac !
8πG
Tuttavia, le difficoltà più significative sono quelle di fine tuning e di cosmic
coincidence [33].
La prima sorge nello spiegare le quantità fisiche collegate a Λ. Infatti, se
oggi misuriamo un
Ω0Λ =
ρ0Λ
≃ 0.7,
ρ0cr
allora, necessariamente, ρΛ ≃ 10−123 ρP lanck , essendo ρΛ = ρ0Λ ∼ 10−48 GeV 4
e
ρP lanck =
c5
G2 ~
l’ordine di grandezza delle scale energetiche tipiche dell’universo
primordiale3 , inoltre, |Λ| . 10−55 cm−2 e la massa associata
3 #1/4
~
mΛ . |ρΛ |
∼ 10−32 eV.
c
"
Queste scale sono estremamente piccole rispetto ai valori tipici nell’era di
Planck e a quelli della usuale fisica delle particelle: basti ricordare che i
valori inferiori per la massa di un fotone sono ∼ 10−27 eV e le dimensioni
di un elettrone - l’oggetto più piccolo oggi noto e considerato puntiforme
- sono ∼ 10−17 cm. Eppure, esse giocano un ruolo determinante sotto il
profilo cosmologico, visto che oggi Λ domina i parametri di densità Ω0 e di
decelerazione q0 . Perché avvenga tutto ciò è necessario un enorme grado di
fine tuning (buona sintonizzazione) nella scelta delle condizioni iniziali!
L’altra questione è più sottile: si tratta di capire come mai la densità di
energia di materia e della componente oscura siano, proprio oggi, cosı́ simili,
pur avendo avuto evoluzioni ed origini, a priori, completamente diverse. È
la nostra epoca privilegiata? E come mai le condizioni iniziali erano tali che
Ω0M ed Ω0Λ avrebbero raggiunto valori comparabili proprio oggi? Anche in
3
ρP lanck ≃ 5 · 1093 g/cm3 , ρ0cr ≃ 1.9 · 10−29 h2 g/cm3 ≃ 2.775 · 1011 h2 M⊙ /M pc3 .
4.2 Quintessenza
99
tal caso serve un notevole grado di fine tuning per giustificare questa vistosa
“coincidenza cosmica”. Tra l’altro i problemi di fine tuning peggiorano se
consideriamo tutte le componenti di Ω0 : Ω0DM , Ω0b , Ω0RAD ; esse, entro
qualche ordine di grandezza, sono tutte confrontabili con Ω0Λ !
Proprio questi sono i motivi principali per cui si è cominciato a studiare i
modelli cosmologici in cui una forma di energia oscura evolve nel tempo,
rimanendo trascurabile nelle fasi primordiali, e dominante nelle fasi più
recenti e vicine all’epoca presente: i modelli di quintessenza.
4.2
Quintessenza
Per studiare i modelli di quintesenza usufruiremo di un approccio
lagrangiano (si veda l’appendice, in proposito), perché esso, a partire
da un principio di minima azione (C.5), rende logicamente semplice
derivare le equazioni del moto, il tensore energia-impulso e l’equazione di
stato, una volta assegnata una densità di lagrangiana L (si veda C.3).
Come mostrato in appendice, le equazioni che regolano un sistema fisico
descritto da opportune coordinate lagrangiane q sono note come equazioni
di Eulero-Lagrange; esse sono (C.6):
∂µ
∂L
∂L
−
= 0,
∂q,µ
∂q
(4.5)
assunto che la metrica sia minkowskiana. Se l’ipotesi viene meno, l’elemento
di volume quadridimensionale dΩ = dx0 dx1 dx2 dx3 ≡ d4 x non si conserva e
√
√
la quantità invariante che allora va usata è −g dΩ, essendo −g la radice
del determinante della metrica dello spazio curvo in questione; si ottiene
(C.8)
∇µ
∂L
∂L
−
= 0.
∂(∇µ q)
∂q
(4.6)
Il tensore energia-impulso Tµν è definito come (vedi C.14)
√
√
√
−g
∂( −g L )
∂( −g L )
Tµν ≡
− ∂λ
;
2
∂g µν
∂g µν,λ
(4.7)
100
e soddisfa la relazione (C.15)
√
dΩ −g Tµν δg µν =
Z
√
1
= −
dΩ −g T µν δgµν = 0 ;
2c
1
δS =
2c
Z
(4.8)
(4.9)
tra l’altro, la definizione precedente è equivalente a (C.17)
2c δS
Tµν = √
,
−g δg µν
(4.10)
2c δS
.
T µν = − √
−g δgµν
(4.11)
oppure, in forma contravariante, ( C.18)
L’equazione di stato si scrive di conseguenza, leggendo la densità dalla
componente T00 e la pressione dalle componenti diagonali Tii .
Naturalmente, i discorsi fatti finora valgono per un qualsiasi sistema
fisico per cui siamo in grado di specificare le coordinate generalizzate, in
particolare i risultati restano validi anche se tra le coordinate generalizzate
ci sono dei campi scalari; in tal caso si ha una utile semplificazione, perché
tutte le derivate covarianti di un campo scalare si riducono a derivate
ordinarie: ∇µ Φ = ∂µ Φ, essendo Φ il campo in questione.
4.2.1
Azione per la quintessenza
Quando studiamo problemi connessi con la gravità, la lagrangiana usata è
la lagrangiana di Einstein
LG = R ,
(4.12)
dove R è lo scalare di Ricci; infatti, se calcoliamo le equazioni di
Eulero-Lagrange imponendo
δS = δ
otteniamo
δS =
=
Z
Z
Z
√
R −g d4 x = 0
(4.13)
√
δ(g µν Rµν −g) d4 x =
√
√
√
(δg µν Rµν −g + g µν δRµν −g + g µν Rµν δ −g)d4 x,
(4.14)
4.2 Quintessenza
101
poiché δRµν = 0 e δg = −gg µν δgµν , allora la precedente diventa
Z
√
1
µν
Rµν − gµν R
δg
−g d4 x = 0,
2
(4.15)
dandoci le equazioni di Einstein nel vuoto
1
Rµν − gµν R = 0.
2
(4.16)
Se consideriamo anche la materia, ci sarà, nell’azione complessiva, un
termine dovuto alla lagrangiana di quest’ultima LM ; quindi
Z
Z
√
√
4
S = (LG + κLM ) −g d x = (R + κLM ) −g d4 x ≡ SG + SM (4.17)
e dalla condizione δS = 0, insieme con le (4.8) e (4.10), segue
8πG
1
Rµν − gµν R = 4 Tµν ,
2
c
(4.18)
essendo, nel limite newtoniano,
κ=
8πG
.
c4
Al primo membro compare il tensore di Einstein. Perché si abbia il termine
di costante cosmologica Λ, l’azione da considerare è
Z
√
S = (R + 2Λ) −g d4 x ,
nel vuoto, da cui, variando, si trova
Z
√
1
µν
Rµν − gµν R − Λgµν
δg
−g d4 x = 0.
2
Di conseguenza, in presenza di sorgenti sarà
Z
√
S = [(R + 2Λ) + κLM ] −g d4 x
(4.19)
(4.20)
(4.21)
e
1
8πG
Rµν − gµν R − Λgµν = 4 Tµν .
2
c
(4.22)
Tutto questo preambolo formale non è inutile, perché è dalla relazione (4.21)
che si intuisce la possibilità di sostituire il termine in Λ con la lagrangiana di
102
un campo scalare Φ accoppiato minimalmente con la gravità e disaccoppiato
da altri campi: la quintessenza4 .
Per spiegare meglio le nostre richieste, precisiamo che vogliamo un campo
di quintessenza che abbia un parametro di stato w < − 13 al presente,
in modo da poter giustificare l’attuale accelerazione dello spazio cosmico.
Inoltre, poiché il campo evolve, ci aspettiamo anche che la quintessenza sia
spazialmente disomogenea su grande scala.
L’ipotesi
di
accoppiamento
minimale
esclude
dalla
lagrangiana
semplicemente la presenza di tutti i termini misti del tipo RΦ2 , ovvero,
formalmente, nei termini ξRΦ2 prendiamo ξ → 0. Infine, dicendo che il
campo è disaccoppiato da altri campi, intendiamo che la lagrangiana non
contiene altri termini coinvolgenti altri campi, ma contiene soltanto termini
dipendenti da Φ. Nella seguente trattazione, sarà comodo usare le unità
naturali in cui ~ = c = 1.
L’azione tipica da cui si comincia può essere scritta, in analogia con la (4.21)
e mutatis mutandis, nel seguente modo:
Z √
MP lanch
1 µν
S=
−
−g d4 x , (4.23)
R + g ∂µ Φ∂ν Φ − V (Φ) + LM
16π
2
dove MP lanck è la massa di Planck, V (Φ) è il potenziale di autointerazione
del campo scalare di quintessenza Φ, LM la lagrangiana delle sorgenti e dei
campi disaccoppiati da Φ, R è lo scalare di Ricci che tiene conto degli effetti
gravitazionali. Notiamo che i termini
1 µν
g ∂µ Φ∂ν Φ − V (Φ)
2
(4.24)
individuano la lagrangiana di un campo scalare con massa associata, m,
data da
∂2V
,
∂Φ2
ovvero, è la lagrangiana di Klein-Gordon.
m2 =
(4.25)
A causa della struttura dell’azione (4.23), l’unica equazione del moto
4
Una sorta di quinta componente dell’universo, dopo la materia oscura, la materia barionica,
la radiazione ed i neutrini, non direttamente osservabile al di sotto delle scale dell’orizzonte,
quindi con una lunghezza d’onda Compton più grande di RH .
4.2 Quintessenza
103
e l’equazione di stato della quintessenza risulteranno completamente
indipendenti dalla gravità e dagli altri campi: la dinamica di Φ si disaccoppia
dal resto del fluido cosmico.
4.2.2
Dinamica della quintessenza
Ormai, siamo in grado di scrivere l’equazione del moto ed il tensore energiaimpulso per il campo scalare di quintessenza, in uno spazio con metrica di
F LRW , la cui rappresentazione tensoriale è diagonale:


1 0
0
0
 0 −a2 0
0 

gµν = 
 0 0 −a2 0  ,
0 0
0 −a2
il determinante è dato da
√
−g = a3
e l’inverso del tensore metrico da

1
0
0
0
−2

0
−a
0
0
g µν = 
 0
0
−a−2
0
0
0
0
−a−2
(4.26)
(4.27)


 .

(4.28)
Equazione del moto
È fornita dalle equazioni di Eulero-Lagrange (4.6)
∇µ
∂L
∂L
−
= 0,
∂(∇µ q)
∂q
(4.29)
per la lagrangiana (4.24) di un campo scalare:
1
1
L = g µν ∂µ Φ∂ν Φ − V (Φ) = g µν ∇µ Φ∇ν Φ − V (Φ) ,
2
2
(4.30)
in quanto Φ è scalare. Ora,
∂L
∂V
=−
;
∂Φ
∂Φ
(4.31)
∂L
= g µν ∇ν Φ ,
∂(∇µ Φ)
(4.32)
e
104
per la simmetria di g µν ;
∇µ
√
∂L
1
= g µν ∇µ ∇ν Φ ≡ Φ = √ ∂µ ( −g g µν ∂ν Φ) .
∂(∇µ Φ)
−g
(4.33)
Quindi, l’equazione che regola l’evoluzione del campo scalare è
Φ +
∂V
= 0.
∂Φ
(4.34)
Calcoliamo esplicitamente anche Φ, dalla relazione (4.33) e usando le
(4.26), (4.27) e (4.28):
1
1
Φ = 3 ∂µ a3 g µν ∂ν Φ = 3
a
a
(
∇2 Φ
ȧ
= Φ̈ + 3 Φ̇ − 2 ;
a
a
∂0
3
X
a ∂0 Φ −
∂i (a∂i Φ)
3
i=1
)
=
(4.35)
se ∇2 Φ/a2 è trascurabile rispetto agli altri termini, cioè Φ varia, come
ipotizzato, su grande scala, l’operatore di D’Alambert agente su Φ dà
Φ ≃ Φ̈ + 3H Φ̇
(4.36)
e l’equazione di Eulero-Lagrange per la quintessenza è5
Φ̈ + 3H Φ̇ +
∂V
= 0.
∂Φ
(4.37)
Osserviamo che l’equazione appena scritta è pensabile come l’equazione che
regola un sistema ad un grado di libertà descritto dal campo Φ che “rotola”
sotto la forza
∂V
,
∂Φ
in presenza dell’attrito rappresentato dal termine 3H Φ̇ e dovuto
−
all’espansione cosmica.
Tensore energia-impulso
Applicando la precedente definizione del tensore energia-impulso (4.10), in
unità naturali,
Tµν
5
2 δS
2
=√
=√
µν
−g δg
−g
√
√
∂(L −g)
∂(L −g)
,
− ∂λ
∂g µν
∂(∂λ g µν )
Esistono anche altri modi per arrivare allo stesso risultato.
(4.38)
4.2 Quintessenza
105
alla lagrangiana di Klein-Gordon (4.24), si trova
√
∂(L −g)
= 0,
∂(∂λ g µν )
(4.39)
poiché non c’è dipendenza dalle derivate delle componenti del tensore
metrico;
√
√
∂ −g √
L
∂(L −g) √
∂L
∂L
= −g µν + L
= −g µν + √ ggµν ,
µν
µν
∂g
∂g
∂g
∂g
2 −g
(4.40)
avendo usato la relazione δg = −ggµν δg µν . Esplicitando la forma della
lagrangiana, si ha
√
√
1 ρσ
1
−g
∂(L −g)
=
∂µ Φ∂ν Φ + √
g ∂ρ Φ∂σ Φ − V (Φ) ggµν , (4.41)
∂g µν
2
2 −g 2
perciò
1 ρσ
Tµν = ∂µ Φ∂ν Φ − g ∂ρ Φ∂σ Φ − V (Φ) gµν .
(4.42)
2
In generale, in uno spaziotempo curvo n−dimensionale, per un campo
scalare Φ, vale (vedi [5]),
Tµν
1
gµν g ρσ φ;ρφ;σ − 2ξφ;µν φ +
= (1 − 2ξ)φ;µφ;ν + 2ξ −
2
2
1
2(n − 1)
+ ξgµν φφ − ξ Rµν − Rgµν +
ξRgµν φ2 +
n
2
n
1
1
+2
ξ m2 gµν φ2 ,
(4.43)
− 1−
4
n
dove ξ è la costante d’accoppiamento con la gravità e
1
V (Φ) = m2 Φ2 .
2
Equazione di stato
L’espressione (4.42) ci permette di scrivere la densità di energia della
quintessenza, nelle nostre unità, come:
1
1
(∇Φ)2
ρΦ (x, t) = T 00 = T 00 = T00 = Φ̇2 +
+ V (Φ) ≃ Φ̇2 + V (Φ) (4.44)
2
2
2a
2
e la pressione si può calcolare secondo la relazione
3
P (x, t) = −
1X i
1
(∇Φ)2
1 2
T i = Φ̇2 −
Φ̇ − V (Φ) .
−
V
(Φ)
≃
3 i=1
2
6a2
2
(4.45)
106
In entrambi i casi, abbiamo supposto il termine di gradiente ininfluente.
Il parametro di stato allora diventa:
1 2
Φ̇ − V (Φ)
PΦ
wΦ =
= 21
.
ρΦ
Φ̇2 + V (Φ)
2
(4.46)
È interessante infine notare che l’equazione di stato dipende essenzialmente
dal potenziale del campo.
Equazioni di Friedmann
Una volta noto il tensore energia-impulso, lo si può introdurre nelle
equazioni di campo di Einstein e vedere come si modificano le equazioni
di Friedmann; ovviamente, ci aspettiamo che alle densità e pressione del
fluido cosmico si aggiungano quelle del campo di quintessenza. Difatti, esse
risultano essere
4
ä = − πG(ρM + ρRAD + 3PRAD + ρΦ + 3PΦ )a
3
h
i
4
2
= − πG ρM + ρRAD + 3PRAD + 2Φ̇ − 2V (Φ) a .
3
8
2
ȧ =
πG(ρM + ρRAD + ρΦ )a2
3
8
1 2
=
πG ρM + ρRAD + Φ̇ + V (Φ) a2 ;
3
2
Combinando la (4.49) e la (4.47), si ottiene anche
4
2
Ḣ = −4πG ρM + ρRAD + Φ̇ ,
3
(4.47)
(4.48)
(4.49)
(4.50)
(4.51)
avendo considerato PM ≃ 0, PRAD = ρRAD /3 e K = 0 (universi piatti).
Commento qualitativo
Da quanto detto, emerge chiaramente che la quintessenza è capace di
“generare” un termine di costante cosmologica se Φ̇2 ≪ V (Φ); in tal caso,
wΦ ≃ −1 e PΦ ≃ −ρΦ , proprio come accade per Λ. Inoltre, nelle fasi in cui
V (Φ) domina sul termine cinetico e sulle altre componenti dell’universo, la
(4.50) porge
8
ȧ2 ≃ πGV (Φ)a2
3
(4.52)
4.3 Proprietà della quintessenza
107
con Φ lentamente variabile: la condizione Φ̇2 ≪ V (Φ) è detta di “lento
rotolamento” di Φ lungo il potenziale autointeragente V (Φ) e, anche qualora
il campo risulti intrappolato in un minimo di V (Φ), vale la condizione (4.52),
dalla quale si ha
a ∝ exp
(r
)
8
πGV t :
3
(4.53)
in entrambi i casi, l’espansione è esponenziale, ovvero accelerata.
Un’ultima nota tecnica: le equazioni da risolvere, una volta scelto il
potenziale, sono l’equazione di Klein-Gordon (4.37) che fornisce l’evoluzione
del campo Φ e l’equazione di Friedmann (4.50) che ci dice come evolve
a (ossia H); gli andamenti di ρM e ρRAD sono noti dalla condizione di
adiabaticità. Abbiamo pertanto un sistema di due equazioni differenziali
((4.37) e (4.50)) in due incognite (Φ ed a) la cui soluzione è, di norma,
cercata numericamente.
4.3
Proprietà della quintessenza
I modelli con quintessenza hanno molte caratteristiche, per esempio:
• poiché il campo scalare Φ non è uniforme, se Φ(x, t) = Φ0 (x)+δΦ(x, t),
l’evoluzione delle perturbazioni, nello spazio di Fourier, segue la
relazione (Steinhardt & Caldwell, 1998):
2
1
′′
2
2∂ V
δΦk + 2aHδΦk + k + a
δΦk = − h′k Φ′0 ,
2
∂Φ
2
(4.54)
dove h è la traccia della metrica di perturbazione di gauge sincrona e
l’apice indica la derivazione rispetto al tempo conforme;
• i campi scalari possono riprodurre ogni forma per w; in particolare, si
può sempre ricostruire il potenziale che riproduce l’equazione di stato
del fluido cosmico;
• i modelli di quintessenza non producono variazioni drastiche sugli
osservabili;
108
• esistono modelli la cui evoluzione è quasi indipendente dalle condizioni
iniziali (proprietà di tracking).
Tra tutte, cosmologicamente, la più intrigante è l’ultima, perché, come
vedremo a posteriori, permetterà di attenuare fortemente il problema della
coincidenza cosmica.
4.3.1
Quintessenza con proprietà di tracker
Si parla di proprietà di tracking, o soluzione tracker, per quei modelli in cui
l’evoluzione finale del campo scalare Φ non dipende dalle condizioni iniziali
per un ampio intervallo di valori (fino a ∼ 100 ordini di grandezza in ρΦ ).
Si può combinare l’equazione di Klein-Gordon con il parametro di stato per
ottenere [43]
V′
±
=3
V
r
1 d ln x
8πG √
,
1 + wΦ 1 +
3ΩΦ
6 d ln a
avendo definito
x≡
(4.55)
1 + wΦ
Φ̇2
=
1 − wΦ
2V
e prendendo il segno positivo se V ′ > 0, quello negativo se V ′ < 0;
imponiamo che la soluzione abbia wΦ ≈ costante con wB < wΦ < −1
(tracker solution); qui wB è riferito al “background”. Con tale ipotesi,
Φ̇2 ≃ ΩΦ H 2 e la relazione (4.55) fornisce la condizione di tracking:
1
V′
H
≈√
.
≈
V
ΩΦ
Φ̇
(4.56)
Per determinare se esistono o meno soluzioni di tracking è importante
definire il parametro
Γ≡
V ′′ V
wB − wΦ 1 + wB − 2wΦ ẋ
2
ẍ
= 1+
−
−
(4.57)
′2
V
2(1 + wΦ )
2(1 + wΦ ) 6 + ẋ 1 + wΦ (6 + ẋ)2
con
ẋ =
d ln x
d ln a
e ẍ =
d2 ln x
;
(d ln a)2
l’equazione (4.57) è detta equazione di tracking e ci permette di enunciare
il seguente teorema fondamentale:
109
1) per wΦ < wB si ha tracking per ogni potenziale per cui Γ > 1 circa
costante - ovvero,
d(Γ − 1)
≪ |Γ − 1|
H dt
su tutto l’intervallo dei possibili valori iniziali;
2) per wB < wΦ < (1 + wB )/2 si ha tracking se
1−
1 − wB
<Γ<1
6 + 2wB
e Γ è circa costante;
3) non si ha tracking se
Γ<1−
1 − wB
.
6 + 2wB
L’utilità sta nel fatto che non serve risolvere l’equazione del moto per Φ, ma
basta calcolare Γ, a partire da V (Φ), per capire se c’è una tracker solution. Il
caso più affine alla costante cosmologica è naturalmente il primo ed esistono
diversi potenziali che lo soddisfano: ad esempio, potenziali che vanno come
leggi inverse di potenza V (Φ) ∝ Φ−α (Ratra & Peebles, 1988), giustificati
nelle teorie delle particelle elementari. Per quanto concerne Γ, affinché nella
(4.57) sia costante, i termini contenenti derivate devono essere trascurabili
e, quindi,
Γ≃1+
wB − wΦ
,
2(1 + wΦ )
che fornisce come equazione di stato
wΦ ≃
wB − 2(Γ − 1)
.
1 + 2(Γ − 1)
Se Γ > 1 allora wΦ < wB , per cui, in un universo dominato da radiazione,
wΦ < 1/3, mentre in un universo dominato da materia wΦ < 0; poi, la
condizione
V′
1
≈√
V
ΩΦ
assicura che, rotolando il campo scalare giù lungo il potenziale, entrambi i
membri decrescono: la tracker solution produce un incremento di ΩΦ , fino
110
1.2
-10
-20
10
-30
10
-40
Equation-of-state ( w Q )
10
4
ρ (GeV )
10
10
-50
12
10
10
10
8
10
6
10
4
10
2
10
0
10
z+1
0.8
KE dominates
0.4
Q joins
tracker sol.
0.0
-0.4
Q
frozen
-0.8
-1.2 12
10
10
10
8
10
6
10
4
10
2
10
0
10
z+1
Figura 4.1: andamento per la quintessenza.
Sulla sinistra, il grafico mostra la densità di energia del campo di quintessenza al variare
del redshift. Come nella referenza [43], per convenienza di calcolo, lo z iniziale è
stato posto pari a 1012 (piuttosto che all’epoca dell’inflazione). La barra sulla sinistra
rappresenta l’intervallo di valori iniziali ammessi per ρ0Φ : estrapolando fino all’inflazione,
si arriva a circa 100 ordini di grandezza. La parte bianca individua degli “undershoot”
(valori iniziali di ρ0Φ inferiori al valore asintotico) e quella grigia degli “overshoot”
(valori iniziali di ρ0Φ superiori al valore asintotico). Il cerchio nero rappresenta la sola
condizione iniziale accettabile se l’energia mancante è costituita da energia di vuoto
(costante cosmologica). Come esempio, la curva continua rappresenta un “overshoot: la
densità decresce rapidamente, subisce una fase di congelamento e alla fine si unisce alla
tracker solution.
A destra, c’è l’evoluzione del corrispondente parametro di stato, indicato con wQ : esso
cresce immediatamente verso +1 e la quintessenza diventa dominata dall’ energia cinetica
- vedi equazione (4.46); poi, il campo si congela e wQ precipita verso −1. Infine, quando,
di nuovo, c’è l’unione alla tracker solution, wQ cresce e si stabilizza sul valore asintotico
di tracker.
111
0.0
-10
10
10
-0.4
10
wQ
10
V ~ 1/Q6
-20
4
ρ (GeV )
-0.2
-30
V ~ 1/Q6
V ~ exp(1/Q)
-40
-0.6
V ~ 1/Q
-0.8
V ~ 1/Q
-50
10
12
10
V ~ exp(1/Q)
10
10
10
8
10
6
10
4
10
2
10
0
-1.0
0.8
z+1
0.6
Ωm
0.4
0.2
Figura 4.2: andamenti per la quintessenza.
Sulla sinistra, in analogia alla figura precedente, il grafico mostra la densità di energia
del campo di quintessenza per i tre tipi di potenziale indicati.
A destra, sono mostrate le corrispondenti relazioni wQ − Ωm , avendo assunto un universo
piatto, con Ωm = 1 − ΩQ , dove wQ rappresenta il presente valore di wQ .
a renderlo dominante, durante la fase di convergenza.
Alcuni esempi, tratti da [43], sono dati in figura 4.1, in figura 4.2 ed in
figura 4.3.
4.3.2
Potenziali Ratra & Peebles e SUGRA
Casi molto particolari ed interessanti sono quelli in cui la densità di energia
del campo scalare di quintessenza evolve secondo una legge di potenza in a,
ossia in (1 + z)−1 . Ci riferiamo alle cosiddette scaling solution (soluzioni di
scala), per prime notate da Ratra & Peebles (1988).
Al solito, l’idea è supporre un campo scalare soggetto ad un potenziale
V (Φ), in un universo che, per semplicità, supporremo piatto ed imporre
ρΦ ∼ a−n , per un opportuno n. Troveremo, cosı̀, l’andamento di Φ(a) e la
forma del potenziale che lo determina.
Dalla condizione di adiabaticità (vedi capitolo I), per il fluido cosmico di
fondo, possiamo scrivere (in unità c = 1)
d(ρa3 ) = −P da3
(4.58)
1.2
10
0.8
8
ΩQ~ tP
0.4
P/P0
Equation-of-state ( w Q )
112
0.0
6
V ~ exp(1/Q)
4
-0.4
2
-0.8
-1.2 12
10
10
10
10
8
10
6
10
4
10
2
10
0
0
z+1
V ~ 1/Qα
11
10
9
10
7
10
5
10
3
10
1
10
z+1
Figura 4.3: equazione di stato per la quintessenza.
A sinistra, si nota la convergenza, per diverse condizioni iniziali, alla tracker solution. Il
parametro wQ decade verso la tracker solution esponenzialmente, con piccole oscillazioni.
Entrambe le curve sono relative al potenziale V (Q) = M 4 /Q6 : quella continua
rappresenta il caso di overshoot della figura 4.1, quella sottile e trattegiata con wQ ≈ 0 è
la tracker solution della curva a tratti e punti che, invece, è relativa ad un caso di debole
undershooting.
A destra, mostriamo un grafico di P/P0 versus t, dove ΩQ ∝ tP e P0 è il valore iniziale di
P . Il grafico confronta un potenziale (V ∼ 1/Qα ), per cui P è costante, con un generico
potenziale (es., V ∼ exp(1/Q)) in cui P cresce nel tempo.
113
e perciò
dρ + 3(ρ + P )
da
=0
a
(4.59)
con ρ e P rispettivamente densità di energia e pressione del background.
Differenziando rispetto al tempo la condizione (4.58), si arriva all’equazione
di continuità
ȧ
ρ̇ + 3 (ρ + P ) = 0,
a
(4.60)
ȧ
ρ̇
+ 3 (1 + w) = 0,
ρ
a
(4.61)
ovvero
essendo w il parametro di stato relativo al ‘background’. La soluzione della
(4.58) o, equivalentemente, della (4.61) sarà
ρ = ρ0 x−m ,
avendo definito
x≡
a
,
a0
m ≡ 3(1 + w)
ed indicato con ρ0 la condizione iniziale (non necessariamente fissata al
tempo presente). A questo punto, imponiamo che anche per il campo scalare
sia ρΦ ∝ a−n , cioè,
ρΦ = ρ0Φ x−n
e che Φ, con la sua pressione, PΦ , soddisfi le precedenti relazioni (4.58),
(4.60) e (4.61). Derivando rispetto al tempo ρΦ e sostituendo in queste
ultime, otteniamo, per il parametro di stato della quintessenza, wΦ ,
l’espressione
wΦ =
n
− 1,
3
(4.62)
che porta all’equazione di stato
PΦ =
n
3
− 1 ρΦ .
(4.63)
Dalle formule (4.44) e (4.45), si deducono le condizioni cui deve soddisfare
114
la scaling solution:
n
n
ρΦ = ρ0Φ x−n
3
3
ρΦ − PΦ n
n
V (Φ) =
ρΦ = 1 −
ρ0Φ x−n .
= 1−
2
6
6
Φ̇2 = ρΦ + PΦ =
(4.64)
(4.65)
L’equazione di Friedmann per universo piatto (4.49), con l’ausilio della
(4.64) nell’esplicitare ρΦ in funzione di Φ̇ (ρΦ = 3Φ̇2 /n), può essere posta
nella seguente forma
dΦ
A
,
= √
dx
x 1 + B 2 xn−m
(4.66)
con
r
r
n
ρ0Φ
n
ρ0
A≡
=
Ω0Φ ,
B≡
,
8πG ρ0 + ρ0Φ
8πG
ρ0Φ
avendo assunto ρ come densità di energia del fluido di fondo, avendo
r
considerato ρcr = ρ0cr = ρ0 + ρ0Φ e avendo definito
Ω0Φ ≡
ρ0Φ
ρ0Φ
=
.
ρ0cr
ρ0 + ρ0Φ
Se m = n, la densità del background e del campo scalare scalano allo stesso
modo e la (4.66) diventa
dΦ
A
= √
:
dx
x 1 + B2
essa può essere integrata in modo elementare per dedurre l’evoluzione del
campo in funzione del parametro di espansione riscalato, x, tramite la
relazione
A
ln x ,
(4.67)
1 + B2
dove Φ0 ingloba la condizione iniziale. Il potenziale corrispondente è noto
Φ − Φ0 = √
esplicitando x e sostituendo l’espressione trovata nella formula (4.65); si ha
n
V (Φ) = 1 −
ρ0Φ eλ(Φ−Φ0 ) ,
(4.68)
6
essendo
√
√
n8πG
n 1 + B2
λ=
.
=
A
Ω0Φ
È palese che il campo in grado di produrre soluzioni di scala evolve
logaritmicamente con l’espansione cosmica ed il potenziale capace di
115
generarle è esponenziale in Φ.
Tuttavia, il caso m = n, in cui le densità di energia del fluido cosmico
e della quintessenza hanno lo stesso andamento, non è plausibile, perché
non riesce a conciliare la formazione delle strutture, nel passato (quando ρΦ
sarebbe dovuto essere trascurabile rispetto a ρ), con l’attuale accelerazione
(per avere la quale, ρΦ dovrebbe dominare su ρ). Oltretutto, se fosse ρΦ ∼ ρ,
non si potrebbe mai avere inversione di regime e transizione da una passata
fase di espansione decelerata ad una attuale fase di espansione accelerata,
come, invece, suggeriscono i dati sperimentali (si veda il capitolo III).
L’unica soluzione al problema è ipotizzare m 6= n. In tal caso, l’integrale
dell’equazione differenziale (4.66)
Z
Φ − Φ0
dx
√
=
≡I
A
x 1 + B 2 xn−m
si può trovare, un po’ laboriosamente, sostituendo, prima,
y 2 = B 2 xn−m , con y > 0, per avere
Z
dy
2
p
;
I=
n−m
y 1 + y2
poi, z = y −1 e ricondursi a
2
I=
m−n
Z
√
dz
;
1 + z2
infine, l’integrale si risolve per via elementare ponendo z = cosht e
ricavando
I=
2
t + costante ;
m−n
la costante viene fissata dalla condizione iniziale.
Esplicitando la dipendenza da x di t = t(z(y(x))), si giunge alla soluzione
dell’equazione (4.66); essa è
q
2A
2
−1 (m−n)/2
−1
(m−n)/2
) .
ln B x
+ 1 + (B x
Φ − Φ0 =
m−n
(4.69)
116
Nel limite B ≫ 1, il campo scalare è sottodominante rispetto al fondo
(ρ0 ≫ ρ0Φ ) e l’andamento asintotico, al primo ordine in B −1 x(m−n)/2 , della
relazione precedente è
B≫1
Φ − Φ0 ∼
2A
B −1 x(m−n)/2 ,
m−n
(4.70)
2/(m−n)
(4.71)
allora,
B≫1
x ∼
e, dalla (4.65),
m−n
B (Φ − Φ0 )
2A
−2n/(m−n)
n
m−n
V (Φ) ∼ 1 −
ρ0Φ
B
(Φ − Φ0 )−2n/(m−n) .
6
2A
B≫1
(4.72)
Usualmente, i potenziali di questo tipo sono noti come potenziali di Ratra
& Peebles e si trovano altrimenti scritti come
V (Φ) =
M 4+α
,
Φα
(4.73)
dove M è un parametro libero dalle dimensioni di un’energia elevata
alla 1/4. Essendo l’espressione (4.72) valida quando la quintessenza è
sottodominante, essa dipenderà debolmente dalle condizioni iniziali ρ0Φ e
Φ0 , quindi i potenziali Ratra & Peebles producono soluzioni di scaling che
sono anche tracking solution: l’evoluzione asintotica di ρΦ segue una legge
di potenza alquanto indipendente dalle condizioni iniziali.
Osserviamo, poi, che dalle (4.72) e (4.73), possiamo scrivere α = 2n/(m−n),
da cui n = αm/(α + 2) e
wΦ =
n
α(m − 3)/3 − 2
−1 =
:
3
α+2
(4.74)
se il background è dominato dalla radiazione, m = 4 e
wΦ =
α/3 − 2
;
α+2
(4.75)
se il background è dominato dalla materia , m = 3 e
wΦ = −
2
.
α+2
(4.76)
117
In linea del tutto generale, con potenziali del tipo (4.73), l’equazione del
moto (di Klein-Gordon, 4.37) diventa
Φ̈ +
3q
αM 4+α
Φ̇ −
=0,
t
Φ1+α
(4.77)
con il parametro d’espansione genericamente dato da a ∝ tq , q = 2/3 per
univesi di materia e q = 1/2 per universi di radiazione. L’equazione (4.77)
è un’equazione differenziale del secondo ordine di Eulero ed ammette come
soluzioni leggi di potenza date da Φ ∝ tp ; il parametro p vale p = 2/(2 + α).
Ora, per definizione, la densità di energia del campo è ρΦ = Φ̇2 /2 + V (Φ)
e, poiché
Φ̇2 ∝ t2(p−1) ∝ t−2α/(2+α) ,
(4.78)
V (Φ) ∝ t−αp ∝ t2(p−1) ∝ t−2α/(2+α) ,
(4.79)
ρΦ ∝ t2(p−1) ∝ t−2α/(2+α) .
(4.80)
anche
Visto che per il background, sia esso dominato da radiazione o materia,
l’evoluzione della densità è ρ ∝ t−2 (vedi capitolo I), si deduce che
ρΦ
∝ t2p ∝ t4/(2+α) ;
ρ
(4.81)
tale rapporto è crescente per α > −2 : in questo limite, da un certo
istante in poi, ρΦ domina su ρ e provoca l’accelerazione dell’espansione.
Quando la quintessenza è sottodominante, in accordo con le (4.75) e (4.76),
il parametro di stato risulta
wΦ =
wα − 2
,
2+α
ma quando si passa nel regime di dominio del campo, l’accelerazione dello
spaziotempo fa incrementare il termine di attrito dovuto all’espansione, il
118
termine cinetico Φ̇2 decresce (il campo rallenta) diventando trascurabile
rispetto al potenziale e il parametro di stato tende a −1,
wΦ → −1;
si veda la formula (4.46).
In corrispondenza di masse e campi paragonabili con MP lanck , vanno
considerate alcune correzioni indotte dalle teorie supergravitazionali
(SUGRA). Queste suggeriscono un potenziale dalla forma
M 4+α
k 2
V (Φ) =
exp
Φ .
Φα
2
(4.82)
Il primo fattore è un potenziale Ratra & Peebles che viene naturalmente
giustificato dalle teorie supersimmetriche (SUSY), mentre il secondo è la
correzione SUGRA espressa in termini del rapporto Φ/MP lanck . Alcuni
andamenti sono mostrati in figura 4.4.
Notiamo che la correzione SUGRA al potenziale Ratra & Peebles fa
crescere notevolmente l’equazione di stato mantenendola più vicina allo zero
e favorendo la formazione delle strutture - il confronto è tra la curva a punti
e la curva a tratti brevi. Ovviamente, variando w con z, varieranno di
conseguenza anche tutte le quantità in cui esso compare, in particolare,
risulterà drasticamente influenzata tutta l’espansione dello spaziotempo;
invece, le quantità connesse con le sole modalità di crescita delle strutture
(spettro di potenza, varianza, etc.) rimarranno intatte.
Le quantità M ed α dipendono dai parametri delle teorie SUSY, in
particolare, imponendo che ci sia una rottura di simmetria che fa
disaccoppiare la gravità dalle altre interazioni ad energie maggiori6 di
102 GeV, si ricava un valore minimo per α : α > 11. Tale valore è compatibile
con le considerazioni fatte in riferimento alla (4.81). L’evoluzione iniziale
del campo avviene in modo analogo a quanto accade con potenziali Ratra
& Peebles, essendo Φ/MP lanck ≪ 1, ma all’aumentare del tempo cosmico,
la correzione esponenziale comincia a dominare (si pensa che Φ ≈ MP lanck ,
6
Perché è la soglia dell’unificazione elettrodebole.
119
Figura 4.4: esempi dell’evoluzione in redshift del parametro di stato in vari modelli di
quintessenza. Le curve, dall’alto verso il basso, si riferiscono a:
1) potenziale SUGRA normalizzato a w = −0.83 (linea a punti),
2) potenziale SUGRA normalizzato a w = −0.85 (linea continua),
3) potenziale SUGRA normalizzato a w = −0.90 (linea a tratti lunghi),
4) potenziale Ratra & Peebles normalizzato a w = −0.83 (linea a tratti corti),
5) potenziale SUGRA normalizzato a w = −0.95 (linea a tratti e punti).
Come detto nel testo, la correzione SUGRA al potenziale Ratra & Peebles fa crescere
notevolmente l’equazione di stato mantenendola più vicina allo zero e favorendo la
formazione delle strutture - il confronto è tra la curva relativa al caso 1) e la curva
relativa al caso 4).
120
all’epoca presente) spingendo più rapidamente il parametro di stato verso
−1 e alleviando ulteriormente la dipendenza da α : cosı̀, anche il possibile
fine tuning α > 11 viene rimosso dal fattore SUGRA.
4.4
Alcune considerazioni
Vogliamo fare alcune brevi considerazioni sui problemi di fine tuning.
I modelli di quintessenza propongono una visione ‘evolutiva’ della costante
cosmologica, sotto forma di campo scalare: essa aiuta a rimuovere il fine
tuning connesso con il problema della coincidenza cosmica e con le scale
energetiche di Λ.
In particolare, il problema della coincidenza cosmica è risolto dalle tracking
solution perché, ad alti z, le possibili condizioni iniziali per ρ0Φ che
conducono ad un valore attuale di ΩΦ ≡ ΩΛ = 0.7 possono variare
nell’intervallo [10−37 GeV 4 , 1061 GeV 4 ], coprendo ben 98 ordini di grandezza!
Anche il fine tuning sulle scale energetiche viene attenuato: infatti, dalla
(4.44) e dalle equazioni di Friedmann, si ricava V ′′ ≈ ρΦ /Φ2 ed, in regime
di tracking, V ′′ = 9(α + 1)(1 − wΦ2 )H 2 /2α. Combinando le due, si deduce
quanto già accennato: attualmente, Φ ≈ MP lanck . Volendo determinare il
parametro M dei potenziali Ratra & Peebles, supponiamo, come sembra
essere, ΩΦ ∼ ΩM e V (Φ ≈ MP lanck ) ∼ ρM , per l’epoca presente, cioè
M 4+α
∼ ρM ,
MPαlanck
da cui
M ∼ (ρM MPαlanck )1/(4+α) ;
se α > 2, il parametro M assume valori dell’ordine del GeV, che è proprio
la scala energetica tipica delle particelle elementari7 .
Concludiamo menzionando solo la possibilità di considerare campi
accoppiati alla gravità: si tratta dei modelli di quintessenza estesa governati
7
Almeno di quelle note.
4.4 Alcune considerazioni
121
da un’azione leggermente diversa dall’espressione (4.23), ma nel presente
lavoro non ce ne occuperemo.
122
Capitolo 5
Simulazioni
Omnia mortalium opera
mortalitate damnata sunt.
Seneca
Per studiare in dettaglio la formazione delle prime strutture cosmiche
e per cercare di capire la discrepanza, accennata all’inizio del capitolo
precedente, tra i dati osservativi e le simulazioni numeriche, è stata
avanzata la proposta di effettuare, seguire ed analizzare delle opportune
simulazioni presso il CINECA (Centro Interuniversitario del Nord-Est per il
Calcolo). A questo fine è stato presentato un progetto (P.I.: Umberto Maio)
nell’ambito della “call” CINECA/INAF. Il comitato scientifico ha valutato
positivamente la richiesta, assegnando un numero di ore complessivo pari
a 20000 sul supercalcolatore SP 4. Questo ha permesso di realizzare le
simulazioni per quattro modelli diversi.
Nelle prossime pagine, descriveremo il codice usato per eseguire le
simulazioni ed i modelli scelti: il progetto, proprio perché ha l’obiettivo di
investigare sulla nascita degli oggetti più giovani, in cosmologie con energia
124
Simulazioni
oscura (quintessenza), è stato chiamato YODA - acronimo dell’inglese
Young Objects with DArk energy.
5.1
Il codice
È stato utilizzato il codice GADGET (Galaxies with Dark matter and Gas
Interact1 : si veda a proposito [41]), nella sua versione parallela, adatta
alle esecuzioni su supercalcolatori. Esso segue un algoritmo ad albero per
calcolare le forze gravitazionali e adotta la tecnica SPH per seguire gli effetti
idrodinamici (descritti nel capitolo I).
Per quanto riguarda la fisica implementata, la materia oscura e le
stelle vengono trattate come fluidi non collisionali soggetti all’equazione
non collisionale di Boltzmann o di Vlasov; tuttavia, come detto nel
capitolo I, data la difficoltà di tale trattamento si segue un equivalente
approccio N-body.
Il gas, invece, seguirà le tradizionali leggi dei
fluidi (collsionali): l’equazione di continuità, le equazioni di Eulero, la
conservazione dell’energia e l’equazione di stato per gas perfetti.
Esse
forniscono densità ρ, pressione P , velocità v ed energia interna u, per ogni
particella SPH.
5.2
I modelli cosmologici
I modelli cosmologici che abbiamo scelto di seguire sono quattro.
Il primo è il modello standard, piatto e dominato da costante cosmologica,
con uno spettro primordiale che segue una legge di potenza avente indice
n, costante e uguale ad 1. Ci riferiremo a questo modello chiamandolo
semplicemente ΛCDM.
Il secondo modello è una variante del primo: si assume una cosmologia
standard, ma un indice spettrale variabile con la scala delle fluttuazioni,
come suggerito dai dati di WMAP (vedi capitolo III); lo indicheremo
1
L’acronimo si riferisce alle origini del codice, usato inizialmente per lo studio di collisioni
fra galassie.
5.2 I modelli cosmologici
125
Figura 5.1: evoluzione in redshift del parametro di stato in un modello di quintessenza
con potenziale SUGRA e w = −0.85 al presente.
come ΛCDM − RSI. L’espressione per n è il fit dei dati di
WMAPext+2dFGRS+Lyα, secondo la formula (3.9).
Gli altri due modelli riguardano la possibile esistenza di energia
oscura.
Come visto, l’effetto principale dell’introduzione di un campo
scalare soggetto ad un potenziale di autointerazione si sente soprattutto
sull’equazione di stato, in accordo con l’espressione (4.46).
Le simulazioni che abbiamo scelto di seguire coinvolgono un potenziale
SUGRA del tipo
M 4+α
V (Φ) =
exp
Φα
k 2
Φ
2
,
per cui il parametro libero α viene fissato imponendo che il parametro di
stato valga, al tempo attuale, −0.85. Tale scelta è consistente con i dati ed
i vincoli sperimentali mostrati nel capitolo III (vedi figure 3.14 e 3.15 ), e
si discosta, evidentemente, dalla scelta di un parametro di stato relativo ad
una costante cosmologica. La figura 5.1 mostra l’evoluzione del parametro di
stato risultante. Esso tende a zero ad alti redshift per crollare bruscamente
a −0.85, quando z diventa minore di circa 10.
126
Simulazioni
Anche per il modello con potenziale SUGRA e parametro pari a −0.85
al presente distinguiamo due possibili varianti: chiameremo semplicemente
SUGRA quello con indice spettrale costante n = 1 e SUGRA-RSI quello con
indice variabile in funzione del numero d’onda k. Ricapitolando i quattro
modelli considerati sono i seguenti:
ΛCDM, ΛCDM − RSI, SUGRA e SUGRA-RSI.
5.3
Caratteristiche delle simulazioni
Tutte le simulazioni sono state inizializzate con un numero totale di
particelle uguale a 2 × 3243 = 68024448: precisamente, abbiamo assunto
3243 particelle di materia oscura e altrettante particelle di gas (particelle
3
SPH), in un volume comovente V di 1 Mpc3 = (0.7 Mpc h−1 ) .
Si è
assunto, poi, Ω0M = 0.3, Ω0b = 0.04, Ω0 = 1, h = 0.7, σ8 = 0.9. Questo
significa che la massa totale da considerare nelle nostre simulazioni deve
essere (Ω0M ρ0cr )V ≃ 2.855 · 109 M⊙ h−1 . Tale massa viene ridistribuita tra
3243 particelle di materia oscura e 3243 particelle di gas (SPH) identiche,
pertanto il valore della massa delle singole particelle di materia oscura è
mDM ≃ 728 M⊙ h−1 e quello delle particelle di gas mgas ≃ 112 M⊙ h−1 ,
avendo rispettato anche il vincolo imposto dalla frazione barionica
fb =
Ω0b
Ω0b
mgas
=
=
≃ 0.133 .
Ω0M
Ω0DM + Ω0b
mDM + mgas
Facciamo, poi, un’osservazione sulla limitatezza nella scelta del volume:
essa è dovuta al fatto che le simulazioni sono ad alta risoluzione;
infatti, i mezzi di calcolo attualmente disponibili non permettono di avere
contemporaneamente simulazioni ad alta risoluzione e che coprano i volumi
tipici della struttura su grande scala, dell’ordine di (102 Mpc h−1 )3 . Bisogna
scegliere tra le due caratteristiche: la nostra preferenza è stata accordata
all’alta risoluzione, perché, in tal modo, è possibile seguire meglio i processi
di formazione stellare.
Come vedremo meglio nel capitolo successivo,
ciò comporterà uno spostamento abbastanza evidente del numero d’onda
5.3 Caratteristiche delle simulazioni
127
minimo delle perturbazioni, nell’ambito delle simulazioni, con un leggero
abbassamento delle funzioni di massa, rispetto alle prescrizioni teoriche.
Oltre tutto, per quanto concerne la rappresentatività dell’universo di
un volume di ∼ 1 Mpc3 , essa è abbastanza soddisfacente: difatti, ci
interessiamo a processi avvenuti ad alti redshift (z > 15), quando il principio
cosmologico è verosimilmente accettabile su scale del Mpc. Ricordiamo che
oggi si osserva omogeneità ed isotropia su scale del centinaio di Mpc e che
le perturbazioni scalano, in regime lineare, ad alti z, come a ∼ (1 + z)−1 .
Naturalmente, in accordo con il capitolo I, abbiamo sfruttato la convergenza
asintotica, del tutto generale, al modello di Einstein-de Sitter2 , per un
qualsiasi modello cosmologico, a z ≫ 1. Questo ci permette di dire, che
se adesso c’è omogeneità ed isotropia su centinaia di Mpc, a z ≈ 20 ci
aspetteremo che ci sia stata omogeneità ed isotropia su scale dell’ordine di
alcuni Mpc. Oltretutto, si consideri pure che quando si passa in regime non
lineare la crescita delle perturbazioni diventa più rapida: ciò ci permette
di dire che, a a ≈ 20, volumi di ∼ 1 Mpc3 sono in buona approssimazione
omogenei ed isotropi.
Inoltre, sono state seguite le reazioni di non equilibrio per diverse specie
chimiche: e− , H, H + , He, He+ , He++ , H2 , H2+ e H − e considerati gli
effetti di raffreddamento radiativo.
L’evoluzione è stata seguita, passo passo, fino ad un redshift z ≃ 15, per le
simulazioni ΛCDM, ΛCDM − RSI e SUGRA-RSI e fino a z ≃ 19, per la
simulazione SUGRA, poiché, in questa, la crescita delle perturbazioni si è
mostrata molto rapida e abbondantemente superiore rispetto alle altre.
Il tempo di calcolo sfruttato da SP4 è stato di 5000 ore, grossomodo, per
ogni simulazione: precisiamo che il numero di ore è stato un po’ inferiore per
la simulazione ΛCDM − RSI, visto che essa ha mostrato scarsa formazione
di oggetti, e per la SUGRA, bloccata a z ≃ 19, anziché a z ≃ 15, come
abbiamo appena detto.
2
La convergenza verso il modello di Einstein-de Sitter è già buona a z ≈ 7 ÷ 10.
128
Simulazioni
Figura 5.2: differenze indotte sulla varianza di massa, σ(M ), da un indice spettrale
costante, n = 1, ed uno variabile in k (RSI). La normalizzazione è data da σ8 = 0.9.
5.4
Indice spettrale
Infine, proponiamo dei commenti sull’indice spettrale che è stato scelto, a
seconda dei casi, come già specificato. Per quantificare la differenza tra un
indice spettrale costante n = 1 e un “running spectral index” (RSI) con
k
1 dn
,
ln
n(k) = n(k0 ) +
2 d ln k
k0
dove k0 = 0.05 Mpc−1 , n(k0 ) = 0.93 e dn/d ln k = −0.03, mostriamo, per
entrambi i casi, nelle figure 5.2 e 5.3, i grafici della varianza di massa σ(M),
dello spettro P (k) e della varianza per intervallo logaritmico di k
∆2 (k) =
k3
P (k)
2π 2
(utile per amplificare le differenze e anche perché rappresenta la quantità
fisicamente più significativa e più direttamente connessa con la potenza delle
perturbazioni). Si vede bene come, nel caso di indice variabile (RSI), la
varianza di massa (figura 5.2) sia sistematicamente spostata verso valori
5.4 Indice spettrale
129
1000
100
10
1
0.1
0.01
0.001
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
10
100
1000
1000
100
10
1
0.1
0.1
1
10
100
1000
Figura 5.3: differenze indotte su P (k) (pannello in alto) e ∆2 (k) (pannello in basso) da
un indice spettrale costante, n = 1, ed uno variabile in k (RSI). La normalizzazione è
data da σ8 = 0.9.
130
Simulazioni
Figura 5.4: dipendenze di P (k) e ∆2 (k) dai parametri spettrali Γ e σ8 .
più bassi e come ci sia minore potenza su piccole scale, ovvero grandi
numeri d’onda (figura 5.3). Precisamente, un indice spettrale variabile fa
decrescere ∆2 (k) di quasi il 50% a k ≃ 10 Mpc−1 e di addirittura un sesto
a k ≃ 103 Mpc−1 ; ovviamente, alle stesse scale, anche lo spettro si abbassa
di quantità analoghe. Pertanto, ci si attende una formazione delle strutture
ritardata rispetto ai modelli con n = 1. Per completezza, proponiamo
i grafici in figura 5.4, i quali mostrano le variazioni di P (k) e ∆2 (k) al
variare dei parametri spettrali Γ e σ8 . In generale, al crescere di Γ e di σ8
cresce anche la formazione delle strutture: infatti, nel primo caso c’è uno
spostamento del picco dello spettro su scale più piccole e, nel secondo, un
5.5 Distribuzioni
131
aumento di potenza su tutte le scale.
5.5
Distribuzioni
Per concludere, nelle figure che chiudono il capitolo mostriamo alcune
mappe, a vari redshift, ottenute per i quattro modelli seguiti; già cosı̀ si
riesce ad individuare il modello che prevede maggiore formazione e quello
che ne prevede una minore: in ordine crescente, si susseguono in tal modo:
ΛCDM − RSI, SUGRA-RSI, ΛCDM e SUGRA.
Le mappe mostrano la distribuzione degli aloni di materia oscura e i gruppi
di gas individuati mediante un algoritmo friends-of-friends, con lunghezza di
legame linking lenght, rispettivamente, del 20 % e del 5 % della separazione
media delle particelle, ovvero di 0.432 kpc h−1 e 0.108 kpc h−1.
Come confronto, nella figura, 5.5, sono graficate le mappe complessive dei
nostri quattro modelli allo stesso redshift, z ≃ 19.
Le mappe nelle figure 5.6, 5.7, 5.8, 5.9, rappresentano, per vari redshift, la
distribuzione dei soli aloni di materia oscura.
In relazione ai soli gruppi di gas, diciamo che essi si formano a redshift
relativamente bassi nei modelli con indice spettrale variabile: i primi
addensamenti di gas si manifestano a z ≃ 18, nel modello ΛCDM − RSI,
e a z ≃ 23, nel modello SUGRA-RSI; nei modelli con n = 1, la formazione
è anticipata a z ≃ 26, per il modello ΛCDM, e a z > 30, per il modello
SUGRA.
Nelle ultime figure,
5.10 e 5.11,
mostriamo le mappe di tutti
gli addensamenti (materia oscura e gas) e dei soli gruppi di gas,
rispettivamente, relative ai redshift più bassi raggiunti dalle simulazioni.
132
Simulazioni
Figura 5.5: mappe degli oggetti formati, per tutti i modelli, a z = 19.
5.5 Distribuzioni
133
Figura 5.6: mappe degli aloni di materia oscura, a vari redshift, per il modello
ΛCDM − RSI. Da sinistra a destra e dall’alto verso il basso, essi sono: z = 15, 16,
17, 18.
134
Simulazioni
Figura 5.7: mappe degli aloni di materia oscura, a vari redshift, per il modello SUGRARSI. Da sinistra a destra e dall’alto verso il basso, essi sono: z = 15, 16, 17, 19, 22,
25.
5.5 Distribuzioni
135
Figura 5.8: mappe degli aloni di materia oscura, a vari redshift, per il modello ΛCDM .
Da sinistra a destra e dall’alto verso il basso, essi sono: z = 16, 17, 19, 20.6, 22, 25.
136
Simulazioni
Figura 5.9: mappe degli aloni di materia oscura, a vari redshift, per il modello SUGRA.
Da sinistra a destra e dall’alto verso il basso, essi sono: z = 19, 20.6, 22, 25.
5.5 Distribuzioni
137
Figura 5.10: mappe degli oggetti formati per i redshift più bassi raggiunti dalle
simulazioni. Da sinistra a destra e dall’alto verso il basso, essi sono: z = 15 per il
modello ΛCDM − RSI, z = 15 per il modello SUGRA-RSI, z = 16 per il modello
standard ΛCDM , z = 19 per il modello SUGRA.
138
Simulazioni
Figura 5.11: mappe dei gruppi di gas formati per i redshift più bassi raggiunti dalle
simulazioni. Da sinistra a destra e dall’alto verso il basso, essi sono: z = 15 per il
modello ΛCDM − RSI, z = 15 per il modello SUGRA-RSI, z = 16 per il modello
standard ΛCDM , z = 19 per il modello SUGRA.
Capitolo 6
Risultati delle simulazioni
...e di chi vide
Sotto l’etereo padiglion rotarsi
Più mondi, e il Sole irradiarli immoto,
Onde all’Anglo che tanta ala vi stese
Sgombrò primo le vie del firmamamento . . .
Foscolo
Nel presente capitolo, presentiamo i risultati dell’analisi delle simulazioni
precedentemente descritte. In particolare, dopo aver introdotto le tecniche
utilizzabili per analizzare gli output, discuteremo le varie proprietà degli
aloni di materia oscura, dei gruppi di gas (gas clouds) e faremo, poi, alcune
considerazioni sulla possibilità o meno che le nostre simulazioni giustifichino
una fase di reionizzazione intorno ad un redshift z ≃ 15, come suggerito dai
dati di W MAP .
Notiamo che, in alcuni casi, non consideriamo il modello SUGRA, in quanto
appare troppo evoluto.
6.1
Tecniche di analisi
L’analisi dei dati delle simulazioni si basa sulla ricerca degli aloni e delle
sovraddensità di gas formatisi ad un certo redshift, per ogni redshift. Allo
scopo, esistono due algoritmi principali: il friends-of-friends (o FoF, amici
degli amici) e quello basato sul calcolo delle “sovraddensità sferiche”, dette
140
anche Spherical overdensities (SO).
La prima tecnica consiste in quanto segue: si fissa un raggio tipico o
lunghezza di collegamento (linking length) per gli aloni e i gruppi di gas
e si controlla se la sfera centrata in ogni particella “tocca” o “interseca”
altre sfere vicine (cioè si verifica se c’è percolazione). In caso affermativo, le
particelle percolate individuano una struttura che viene catalogata come
oggetto collassato.
Usualmente, è consuetudine fissare come lunghezza
di collegamento per gli aloni di materia oscura un valore uguale al 20%
della separazione interparticellare media; per i gruppi di gas, si fissa,
invece, il 5% della predetta separazione. Il numero minimo di particelle
che costituiscono i gruppi è, generalmente, assunto essere di 10, perché
valori inferiori producono gruppi con scarsa valenza statistica. Pertanto, il
risultato finale è un catalogo dei centri dei gruppi trovati e del numero di
particelle costituenti ogni gruppo.
Il secondo metodo consiste in un calcolo più accurato del raggio di ogni
alone. Per ogni centro, si calcola la densità in funzione della distanza e la si
confronta con la densità media del “background”, per stabilire se l’oggetto
è collassato. Precisamente, una volta note ed ordinate le distanze, di , delle
singole particelle dal centro in questione, si considerano, ordinatamente,
sfere aventi quei raggi e, per ciascuna di esse, si calcola la densità media,
ρS,i .
Se la densità della sfera con raggio di è maggiore di 180 volte
quella del “background”, ρb (ρS,i > 180 ρb ), e la densità della sfera con
raggio di+1 (successivo a di ) è minore di 180 volte quella del “background”
(ρS,i+1 < 180 ρb ), allora, possiamo assumere che di è il raggio viriale, RV IR , e
la massa interna ad RV IR è la massa viriale, MV IR . Naturalmente, calcolato
RV IR , è possibile individuare tutte le varie componenti della massa di
virializzazione, MV IR : materia oscura, gas caldo e gas freddo. Per quanto
concerne la scelta di 180 nel computo dei raggi di virializzazione, essa è
6.2 Analisi degli aloni
141
legata al parametro di sovraddensità nella fase di collasso sferico, pari a
circa 180, per un modello di Einstein - de Sitter (si veda la teoria di Jeans
e i modelli di crescita delle perturbazioni, nel capitolo I). Spesso, invece
di 180, si trova anche 200, perché quest’ultimo valore è il contrasto di
densità utilizzato, di norma, nell’analisi dei dati: infatti, il ∆c dipende
dalla cosmologia adottata che, a priori, è sconosciuta, quindi, per evitare
di fare assunzioni arbitrarie, si sceglie il valore 200 essenzialmente come un
riferimento comodo per confrontare i risultati.
La differenza sostanziale tra i due metodi è che il secondo (SO) risulta
molto più dettagliato, soprattutto nella trattazione delle sottodensità locali
non rivelabili con un semplice algoritmo FoF. D’altro canto, quest’ultima
tecnica dà buone approssimazioni e, soprattutto, è molto più rapida
richiedendo minor tempo di calcolo.
6.2
Analisi degli aloni
Il primo passo che abbiamo compiuto nello studiare gli output delle
simulazioni è stato ricercare gli aloni di materia oscura in grado di originare
una formazione primordiale delle strutture.
Nella figura 6.1, si mostrano i risultati ottenuti usando la tecnica del FoF;
per la precisione, si grafica il numero di oggetti con massa superiore alla
massa critica di Mc = 7·105 M⊙ per unità di volume, in funzione del redshift,
per tutti e quattro i nostri modelli. La motivazione per il predetto valore di
Mc è legata al fatto che vogliamo investigare se, ad un dato redshift, esiste
un numero sufficiente di strutture in grado di portare alla formazione di
stelle primordiali molto massive (di popolazione III). La teoria di Jeans ci
dice che gli aloni tipici in cui nascono tali stelle hanno una massa dell’ordine
di 105 M⊙ h−1 ÷ 106 M⊙ h−1 : la nostra massa critica è stata scelta proprio
perché cade in questo intervallo.
142
6.2.1
Densità numeriche: andamenti generali
Un primo sguardo alla figura ci rivela subito quali sono i modelli che
prevedono un maggior numero di strutture e una più rapida formazione:
il modello SUGRA è quello in cui si raggiunge, per ogni redshift, il valore
massimo di densità numerica, seguito, nell’ordine, dal modello ΛCDM e
dal modello SUGRA − RSI; il modello in cui si trovano meno oggetti è il
ΛCDM − RSI. La differenza è peraltro sostanziale, visto che, a z ≃ 20, la
densità numerica del modello SUGRA supera di oltre cento volte il valore
relativo al modello ΛCDM − RSI. Vi è pertanto, una differenza di più di
due ordini di grandezza. I primi aloni con massa M > Mc cominciano
a costituirsi a redshift z > 30 nel modello SUGRA, e a z ≃ 28 nel
modello standard; i modelli RSI prevedono una formazione ritardata: i
primi aloni sono individuati a z ≃ 25 per il SUGRA − RSI, e a z ≃ 19 per
il ΛCDM − RSI.
Inoltre, si nota che i modelli in cui si ha maggiore formazione sono quelli
con indice spettrale, n, costante ed uguale ad 1, mentre i modelli con indice
variabile (RSI) si mantengono sempre al di sotto dei primi; questa sorta
di “segregazione” conferma quanto anticipato in precedenza (capitolo V) a
proposito della mancanza di potenza su piccole scale nei modelli RSI.
Oltretutto, fissato l’indice spettrale, si osserva che i modelli con cosmologia
standard (ΛCDM e ΛCDM − RSI), in cui Ω0Λ = ΩΛ = 0.7, danno sempre
meno strutture degli analoghi modelli di quintessenza (SUGRA e SUGRA−
RSI, rispettivamente), in cui la densità associata a Λ, interpretata come
densità di energia oscura, evolve nel tempo determinando una variabilità
monotòna del parametro di stato tra 0 e −0.85 (vedi capitolo V e il
grafico 5.1). È difatti proprio questa la causa della maggiore formazione di
strutture nel modello SUGRA rispetto al modello ΛCDM e del modello
SUGRA − RSI rispetto al corrispondente modello ΛCDM − RSI: la
costante cosmologica, essendo caratterizzata da un parametro di stato pari a
−1 ad ogni redshift, si oppone al collasso più fortemente dell’energia oscura,
143
Figura 6.1: densità in numero degli aloni di materia oscura con massa maggiore di
7 · 105 M⊙ in funzione del redshift per i modelli SU GRA, ΛCDM , SU GRA − RSI e
ΛCDM − RSI, rispettivamente dall’alto verso il basso. I punti e le linee tratteggiate
si riferiscono agli aloni trovati nelle simulazioni via FoF, le linee continue alle predizioni
teoriche ottenute con il formalismo di Press & Schechter.
144
Figura 6.2: densità in numero degli aloni di materia oscura con massa maggiore di
7 · 105 M⊙ in funzione del redshift per i modelli SU GRA, ΛCDM , SU GRA − RSI e
ΛCDM − RSI, rispettivamente dall’alto verso il basso, in ogni pannello. I punti e le
linee tratteggiate si riferiscono agli aloni trovati nelle simulazioni, le linee continue alle
predizioni teoriche; le curve nel pannello a sinistra sono le densità calcolate con una
funzione di massa di Sheth & Tormen, a destra si trovano quelle calcolate usando la
funzione proposta da Jenkins et al..
il cui parametro di stato giunge solo fino a −0.85, al presente, e assume valori
maggiori nel passato.
In pratica, possiamo dire che il grafico 6.1 si interpreta come la risultante
di due cause concomitanti: da un lato, la minore potenza su piccole scale
induce minore formazione nei modelli RSI; dall’altro, la quintessenza la
favorisce avendo sempre wΦ > −1. Ciò spiega perché nel modello SUGRA
si hanno oltre il doppio di aloni (a z ≃ 20) rispetto al modello ΛCDM,
perché in quest’ultimo se ne formano circa due ordini di grandezza in più
rispetto al modello ΛCDM − RSI e perché il modello SUGRA − RSI
porta ad una formazione intermedia: rispetto al modello ΛCDM, esso ha
un indice variabile, che sposta verso il basso (cioè verso i valori del modello
ΛCDM − RSI) la densità numerica, ma il potenziale SUGRA contribuisce
a risollevarla portandola al di sopra del modello ΛCDM − RSI stesso.
6.2.2
145
Confronto con le predizioni teoriche
In riferimento alle figure 6.1 e 6.2, mostriamo anche il confronto dei dati
relativi alle simulazioni con le predizioni teoriche (linee continue), calcolate
con una funzione di massa di Press & Schechter, Sheth & Tormen e Jenkins
et al..
Focalizzandoci sulla figura 6.1, è palese una differenza alquanto evidente
a redshift relativamente alti, quando si cominciano a formare le prime
strutture che risulterà riscontrabile anche dall’analisi delle funzioni di massa.
I motivi principali per cui non si trova accordo sono due.
Il primo, su cui ritorneremo nel paragrafo seguente, consiste nel fatto che
il “box” delle simulazioni è relativamente piccolo (solo 1 Mpc) per studiare
in dettaglio la formazione delle strutture: esse campionano solo una parte
dei numeri d’onda e questo comporta un taglio nella varianza di massa
abbastanza significativo: nelle simulazioni, essa non è data semplicemente
dalla relazione (1.127)
2
σM
1
= 2
2π
Z
P (k)Ŵ 2 (kR)k 2 dk ,
(6.1)
ma dalla relazione
2
σM
1
= 2
2π
Z
+∞
P (k)Ŵ 2(kR)k 2 dk ,
(6.2)
kmin
dove kmin è il numero d’onda corrispondente al lato del volume della
simulazione (nel nostro caso il lato è di 1 Mpc e kmin = 2π Mpc−1 ). Tra
l’altro, la correzione è indipendente dal tipo di cosmologia considerata, in
quanto coinvolge solo le proprietà dello spettro. Un grafico esplicativo è
mostrato in figura 6.3, in cui si mostra la varianza calcolata con il taglio
(cut) ad 1 Mpc a confronto con il calcolo teorico fatto integrando lo spettro
su tutto il dominio: k ∈ [0, +∞]. Si nota che la differenza è del 10%
a masse dell’ordine di 103 M⊙ e raggiunge il 20% a masse dell’ordine di
108 M⊙ . Il fatto che le curve con il taglio siano più basse e ripide provoca
146
Figura 6.3: varianze di massa. Si mostra il calcolo con il taglio (cut ) ad 1 M pc a
confronto con il calcolo teorico fatto integrando su k ∈ [0, +∞].
sostanzialmente una minore formazione delle strutture (ricordiamo che la
varianza entra nella caduta esponenziale delle funzioni di massa in maniera
inversa e, tramite il modulo della derivata rispetto alla massa, influenza
direttamente anche il regime anteriore al “cut-off”, in cui questa decresce
seguendo, in buona approssimazione, una legge di potenza). Come esempio,
gli effetti del taglio sulle funzioni di massa teoriche sono mostrati nella figura
6.4, in cui si vede il forte calo nel regime esponenziale.
Il secondo problema riguarda la poca accuratezza con cui le funzioni di
massa teoriche descrivono la formazione delle strutture ad alti redshift o
per masse “piccole” (dell’ordine di 104 M⊙ ÷ 108 M⊙ ); nel nostro caso siamo
nella condizione di dover usare le predizioni teoriche proprio ad alti redshift
e per masse piccole, ben fuori dai limiti di validità entro cui esse sono state
calibrate. Tra l’altro, facciamo presente che masse di questo tipo, a redshift
di circa 20, cadono nel taglio esponenziale delle predizioni teoriche e perciò,
147
Figura 6.4: funzioni di massa. Si mostrano le funzioni di massa calcolate integrando la
varianza sul dominio [kmin , +∞] (linea tratteggiata) a confronto con i calcoli teorici fatti
integrando la varianza su k ∈ [0, +∞] (linea continua), per i vari modelli considerati, a
z ≃ 19.
148
anche piccole deviazioni possono provocare effetti notevoli nel calcolo delle
densità e delle funzioni di massa, come vedremo subito.
Un’ultima osservazione riguarda il progressivo avvicinamento dei punti
simulati con le curve teoriche al decrescere del redshift e al crescere del
numero di strutture formate: infatti, il modello SUGRA è in buon accordo
già a z ≃ 20, quando si trova nhalo (M > 7 · 105 M⊙ ) ≃ 500 Mpc−3 , mentre
per il modello standard, allo stesso redshift, la differenza è solo di una
ventina di unità su circa 200 (il numero esatto di aloni trovati è 174 su 194
previsti, pari ad un errore del 10%).
Per il modello SUGRA − RSI, l’avvicinamento alle curve teoriche diventa
soddisfacente in tempi successivi: a z ≃ 18, ci sono, nella simulazione, 90
oggetti per Mpc3 rispetto ai 94 previsti, per un errore del solo 4%.
Il modello ΛCDM − RSI, nell’intervallo studiato, si trova ancora in
una fase di scarsa formazione per fare considerazioni significative, ma
presumibilmente, a redshift minori, tenderà, come gli altri modelli, sempre
più verso le soluzioni analitiche.
Questa convergenza è riscontrabile meglio in figura 6.2, dove si vede
più chiaramente che i punti si avvicinano alle predizioni della relazione di
Sheth & Tormen, ma l’accordo, complessivamente peggiora, perché esse sono
più alte della Press & Schechter. Riguardo alla densità numerica calcolata
integrando la Jenkins et al., essa crolla molto bruscamente al crescere del
redshift, fittando meglio i dati ad alti z. Tuttavia, il comportamento in
questi regimi, dove le prescrizioni teoriche sono meno affidabili, è inficiato
da errori sui conteggi che sono dominanti e va preso con cautela.
Il motivo principale per cui si può constatare tale andamento globale è che
le funzioni teoriche, al decrescere del redshift, descrivono sempre meglio
le simulazioni ed anche il rumore poissoniano diminuisce, aumentando il
numero di aloni formati.
6.2.3
149
Funzioni di massa
Le funzioni di massa indicano il numero di oggetti collassati per unità
di massa e per unità di volume. Ai fini pratici, è comodo calcolarle per
intervallo logaritmico di massa e cosı̀ faremo.
Anche le funzioni di massa, come le densità numeriche, possono essere
ricavate tramite l’algoritmo FoF o con le spherical overdensities. Nel seguito
mostreremo i risultati ottenuti con il secondo metodo.
Per cominciare, consideriamo il modello ΛCDM − RSI; in figura 6.5,
sono mostrate le funzioni di massa di Press & Schechter, Sheth & Tormen
e di Jenkins et al., per i redshift z = 22.23 (in alto) e z = 19.16 (in basso).
Possiamo constatare che ci sono notevoli differenze tra i valori dedotti dalla
simulazione e gli andamenti teorici. Sia la formula di Press & Schechter, che
quella di Sheth & Tormen sono più alte di circa 3 e 20 volte rispettivamente,
a z = 22.23, in corrispondenza di 105 M⊙ h−1 . Circa la stessa differenza
si trova anche a z = 19.16. Per quanto concerne la funzione di massa di
Jenkins et al., essa tocca appena gli istogrammi e, tenendo in considerazione
anche dell’errore poissoniano sui conteggi, per bassi valori di dn/dLogM,
l’accordo non può essere considerato soddisfacente.
È degno di nota osservare concretamente che stiamo effettivamente
analizzando la caduta esponenziale delle funzioni di massa: ce ne rendiamo
conto dall’andamento della formula di Jenkins che decade più rapidamente
della Press & Schechter e della Sheth & Tormen proprio perché ha un
taglio esponenziale più marcato. In genere, nei loro regimi di validità, le
funzioni di massa di Press & Schechter sono tali da predire un numero
leggermente minore di oggetti rispetto a quelle di Sheth & Tormen e di
Jenkins et al.; inoltre, queste ultime due sono molto simili e si distinguono
significativamente essenzialmente per la diversa coda esponenziale. Poiché
il grafico mostra una funzione di massa di Jenkins più bassa delle altre,
allora necessariamente saremo in tale regime (si veda pure il capitolo I).
150
Figura 6.5: funzioni di massa teoriche a confronto con le funzioni di massa estratte dalle
simulazioni via SO.
151
Nel grafico corrispondente al redshift z = 19.16, si nota bene l’intersezione
della curva relativa all’espressione della Press & Schechter con quella della
Jenkins, a masse ∼ 105 M⊙ h−1 , e della Sheth & Tormen, sempre con la
Jenkins, a masse poco inferiori a ∼ 104 M⊙ h−1 . A z = 22.23 invece, la
caduta comincia a masse inferiori ai valori trovati nella simulazione. Tra
l’altro, sottolineiamo che si tratta davvero di valori molto bassi, rispetto a
quelli cui si è abituati a pensare in corrispondenza del “cut-off”: a z ≃ 0,
esso è a masse dell’ordine di 1014 M⊙ h−1 , mentre vediamo che, al nostro
redshift, cade tra 102 M⊙ h−1 e 103 M⊙ h−1 !
Nei tre pannelli della successiva figura 6.6, è mostrata l’evoluzione in
redshift delle funzioni di massa di Press & Schechter, di Sheth & Tormen e
di Jenkins et al., per z =19, 20.5, 22 e 26, nella cosmologia ΛCDM − RSI.
Di nuovo, notiamo una forte discrepanza tra le funzioni di massa di Press &
Schechter e di Sheth & Tormen con i dati numerici fino ad oltre due ordini
di grandezza e l’accordo peggiora al crescere del redshift. Per la funzione
di Jenkins, vale quanto detto in precedenza: la situazione migliora rispetto
alle altre funzioni di massa (gli errori sono al più di un “solo” ordine), ma
decisamente non vi è buon accordo con la simulazione.
La seconda simulazione da considerare è la SUGRA − RSI.
Anche per questa mostriamo le funzioni di massa di Press & Schechter, di
Sheth & Tormen e di Jenkins et al., per z = 22.23 e per z = 19.16, in figura
6.7, e l’evoluzione in redshift di tutte le funzioni di massa, in figura 6.8.
Il numero di oggetti trovato per ogni bin è superiore a quello della ΛCDM −
RSI e gli errori di conteggio saranno presumibilmente minori, tuttavia la
funzione di Press & Schechter prevede ancora valori di circa 5 volte superiori
a quelli trovati, per z = 22.23 (pannello in alto), in corrispondenza di
105 M⊙ h−1 e quella di Sheth & Tormen di circa 15 volte. La formula di
Jenkins tocca l’istogramma tra circa 4 · 105 M⊙ h−1 e 106 M⊙ h−1 , ma se ne
allontana, man mano, per masse inferiori, fino ad assumere valori quasi 10
152
simulazioni via SO.
153
simulazioni via SO.
154
simulazioni via SO.
volte più elevati. Analogamente si dica per z = 19.16, dove, sempre per la
stessa massa le funzioni teoriche superano di un fattore 6 i punti. Anche
in questo modello masse e redshift in gioco cadono nel taglio esponenziale,
essendo l’intersezione della curva di Jenkins et al. con quella di Press &
Schechter, più o meno, a 105 M⊙ h−1 , per z = 22.23, e a 106 M⊙ h−1 , per
z = 19.16. Le intersezioni con la Sheth & Tormen sono anticipate a meno
di 104 M⊙ h−1 , per z = 22.23, e a circa 105 M⊙ h−1 , per z = 19.16.
La figura 6.8 conferma che l’accordo delle funzioni di massa per vari redshift
è solo approssimativo, limitatamente alla Jenkins, se non addirittura
155
insoddisfacente, per la Press & Schechter e la Sheth & Tormen.
Il modello standard ΛCDM evidenzia accordi migliori (si vedano le
figure 6.9 e 6.10).
I dati della simulazione, per z = 19.16, forniscono oltre duemila oggetti per
unità di volume a 105 M⊙ h−1 e la funzione di massa di Press & Schechter
dà un corrispondente valore di quasi tremila; le altre due non si discostano
molto da questa. A z = 19.16, in corrispondenza della stessa massa, si
trovano all’incirca 7000 oggetti per unità di volume contro i 104 previsti
dalla Press & Schechter. A masse maggiori di 105 M⊙ h−1 ÷ 106 M⊙ h−1
l’accordo è buono per tutte le funzioni di massa, in entrambi i casi, ma non
vale lo stesso per masse inferiori. L’intersezione del “cut-off” della Jenkins
con la Press & Schechter e con la Sheth & Tormen avviene, nell’ordine,
a valori di poco superiori a 105 M⊙ h−1 e a 106 M⊙ h−1 , quando siamo a
z = 22.23, e a 106 M⊙ h−1 e 107 M⊙ h−1 , per z = 19.16.
In figura 6.10, riportiamo l’evoluzione in redshift delle varie funzioni di
massa per il modello ΛCDM, confrontandolo con i dati. L’accordo migliora
al decrescere di z, infatti, per la Press & Schechter, la discrepanza passa
da un ordine di grandezza circa, a z = 25 e a 105 M⊙ h−1 , a circa un
terzo per z = 19. Analogamente, lo stesso discorso vale per la Sheth &
Tormen e la Jenkins et al.. In generale, le funzioni di massa risultano
comunque sempre un po’ più alte, soprattutto per basse masse; la Sheth &
Tormen è quella che si distacca maggiormente dagli istogrammi, mentre, la
Jenkins si avvicina di più alle simulazioni nell’intervallo di masse superiori
a 106 M⊙ h−1 , grossomodo, a partire da z = 25.
Gli ultimi grafici che proponiamo a questo punto sono i confronti allo
stesso redshift delle funzioni di massa per le varie simulazioni.
In figura 6.11, mostriamo i loro andamenti a z = 22.23, invece, in figura
6.12, gli andamenti a z = 19.16.
156
simulazioni via SO.
157
Figura 6.10: funzioni di massa teoriche a confronto con le funzioni di massa estratte
dalle simulazioni via SO.
158
SUGRA
SUGRA
LCDM
LCDM
SUGRA-RSI
SUGRA-RSI
LCDM-RSI
LCDM-RSI
SUGRA
LCDM
SUGRA-RSI
LCDM-RSI
Figura 6.11: funzioni di massa per i vari modelli allo stesso redshift.
In entrambi i casi, si nota che, per tutti i modelli, le funzioni di massa di
Sheth & Tormen (pannello in alto a destra in entrambe le figure) predicono
sempre un maggior numero di oggetti rispetto alle corrispondenti funzioni di
Press & Schechter (pannello in alto a sinistra in entrambe le figure) e che le
funzioni di Jenkins et al. (pannello in basso in entrambe le figure) tagliano
i grafici sempre nella coda esponenziale, in corrispondenza di un valore di
dn/dLogM ≈ 20 Mpc3 h−3 , quando siamo a z = 22.23, ed in corrispondenza
di un valore di dn/dLogM di alcune unità quando siamo a z = 19.16. In
ogni caso, non c’è sostanziale differenza tra i vari modelli.
159
SUGRA
SUGRA
LCDM
LCDM
SUGRA-RSI
SUGRA-RSI
LCDM-RSI
LCDM-RSI
SUGRA
LCDM
SUGRA-RSI
LCDM-RSI
Figura 6.12: funzioni di massa per i vari modelli allo stesso redshift.
160
Le discrepanze con la teoria, d’altro canto, sono diverse a seconda del
modello, in particolare, maggiori nel modello ΛCDM − RSI e minori in
quello SUGRA − RSI, per diminuire ulteriormente nel modello ΛCDM. Il
fenomeno si nota sia confrontando le funzioni di massa di Press & Schechter
che le funzioni di massa di Sheth & Tormen e di Jenkins et al..
6.2.4
Effetto della limitatezza del volume delle simulazioni sulle
funzioni di massa
A questo punto, approfondendo il discorso accennato in precedenza, è
interessante vedere direttamente se la discrepanza tra i modelli teorici e
i risultati numerici possa essere completamente attribuita alla mancanza di
potenza su scale (in k) maggiori di quelle relative al volume delle simulazioni.
A questo fine, abbiamo calcolato le funzioni di massa utilizzando la varianza
espressa dalla (6.2).
In figura 6.13, sono mostrati i calcoli per il modello ΛCDM − RSI a
confronto con le funzioni estratte dalle simulazioni numeriche; in figura
6.14, quelli relativi al modello di quintessenza con indice spettrale variabile,
SUGRA − RSI; in figura 6.15, quelli per il modello standard ΛCDM.
In tutti i casi si nota che le funzioni di massa calcolate con il taglio sono
sistematicamente più basse di quelle calcolate con k ∈ [0, +∞], tuttavia non
esiste un accordo soddisfacente con i valori delle simulazioni, soprattutto per
i redshift più alti. Inoltre, si vede chiaramente che i problemi maggiori si
manifestano verso le “masse più piccole”, mentre, man mano ci spostiamo
a masse maggiori, la situazione migliora lievemente: basta guardare gli
andamenti della funzione di Press & Schechter o di quella di Sheth &
Tormen (calcolate con il taglio in k - linee tratteggiate nelle figure) per
rendersene conto. Pertanto, anche con le correzioni suddette, non si riescono
ad accordare gli andamenti numerici con quelli analitici predetti dalla teoria.
La conclusione delle nostre considerazioni, quindi, è che, in questi regimi
(alti redshift e/o basse masse), le funzioni di massa di Press & Schechter,
di Sheth & Tormen e di Jenkins et al. non sono affidabili.
161
Figura 6.13: funzioni di massa a vari redshift per il modello ΛCDM − RSI. Le
linee continue si riferiscono alle funzioni di massa teoriche calcolate usando la varianza
integrata su tutte le scale, quelle tratteggiate usando la varianza integrata su [kmin , +∞].
162
Figura 6.14: funzioni di massa a vari redshift per il modello SU GRA − RSI. Le
linee continue si riferiscono alle funzioni di massa teoriche calcolate usando la varianza
integrata su tutte le scale, quelle tratteggiate usando la varianza integrata su [kmin , +∞].
163
Figura 6.15: funzioni di massa a vari redshift per il modello ΛCDM . Le linee continue
si riferiscono alle funzioni di massa teoriche calcolate usando la varianza integrata su
tutte le scale, quelle tratteggiate usando la varianza integrata su [kmin , +∞].
164
6.3
Analisi dei gruppi di gas
Una volta considerati gli aloni, possiamo passare agli addensamenti di
gas. Poiché per essi non è applicabile la teoria del collasso gravitazionale
valida per gli aloni di sola materia oscura, procediamo cercandoli tramite
l’algoritmo FoF.
In figura 6.16, facciamo vedere il numero di gruppi di gas (gas clouds) trovati
per unità di volume, in funzione del redshift, per tutte e quattro le nostre
simulazioni.
Osserviamo che, come per gli aloni di materia oscura, il modello in cui
si trova un maggior numero di strutture è il SUGRA, seguito a ruota dal
modello standard e dai modelli con indice spettrale variabile SUGRA−RSI
e ΛCDM − RSI. Si ripropone quindi la “segregazione” di cui abbiamo
accennato in precedenza tra i modelli RSI e quelli con n = 1 anche per i
gas clouds che si addensano negli aloni.
Notiamo che pure la formazione di strutture barioniche è molto sensibile
al modello cosmologico; infatti, la differenza tra il modello che mostra la
massima formazione e quello che mostra la minore formazione di oggetti
gassosi è di oltre un fattore 300. Per la precisione, quando nel modello
SUGRA si sono costituiti circa 300 gruppi di gas, a z ≃ 19, nel
modello ΛCDM − RSI ancora non si sono riscontrati oggetti barionici,
che compaiono solo a z ≃ 18, invece, nel modello SUGRA − RSI si
manifestano per la prima volta a z ≃ 24 e nel modello standard a z ≃ 26.
Oltretutto, le modalità di crescita risultano molto simili. Il valore della
densità numerica all’ultimo redshift seguito è, in unità di Mpc−3 , 12 per
il modello ΛCDM − RSI, 29 per il modello SUGRA − RSI, 70 per il
modello ΛCDM e 310 per il modello SUGRA. Va detto, però, che, mentre
gli altri modelli arrivano fino a z ≈ 15 ÷ 16, quello SUGRA giunge solo
fino a z ≃ 19, quando la differenza nel numero di gas clouds con il modello
standard è di un fattore 6 e con il modello SUGRA − RSI di un fattore 30,
circa. Detto per inciso, il numero di gruppi di gas trovati in quest’ultima
6.3 Analisi dei gruppi di gas
165
Figura 6.16: densità in numero dei gruppi di gas in funzione del redshift per i modelli
ΛCDM , ΛCDM − RSI, SU GRA e SU GRA − RSI.
166
Figura 6.17: i grafici mostrano la percentuale di aloni (asse delle ordinate) aventi una
data frazione barionica (asse delle ascisse), per i vari modelli e a diversi redshift.
simulazione, allo stesso redshift di 19, è solo un quinto rispetto ai dati
relativi al modello standard. È interessante, poi, notare l’appiattimento
(particolarmente evidente per i modelli SUGRA − RSI e ΛCDM) della
densità numerica negli ultimi redshift: fenomeno questo che mostra una
certa saturazione nella formazione delle strutture barioniche.
Tipicamente, i gruppi trovati hanno centri che distano qualche kpc dal centro
dell’alone più vicino. Osserviamo che le frazioni barioniche sono inferiori alle
partizioni cosmiche: gli aloni, quindi, risultano poveri di gas.
In figura 6.17, mostriamo i relativi grafici, per i vari modelli. Sull’asse
167
delle ascisse, sono riportate le frazioni barioniche, definite, per ogni alone
di massa totale MV IR e massa della sola componente gassosa Mgas , come
fb ≡
Mgas
;
MV IR
(6.3)
sull’asse delle ordinate, riportiamo la percentuale di aloni con una data
frazione barionica. Le diverse curve, in ogni pannello, si riferiscono a diversi
redshift, e, tralasciando i dettagli, si verifica che l’andamento globale è molto
simile in tutti i modelli e abbastanza indipendente da z.
Si potrebbe fare anche una distinzione tra gas “caldo” e gas “freddo”, ma
si troverebbe un netto dominio del gas caldo, in quanto la presenza di gas
freddo è praticamente quasi sempre trascurabile, soprattutto nei due modelli
RSI. Il numero di aloni che lo contengono è limitato, considerando tutti i
modelli e i vari redshift, al più ad una parte su 1000. Le frazioni barioniche
corrispondenti sono dell’ordine di 10−4 ÷ 10−2 , quindi ci potrebbe essere
qualche alone che contiene gas freddo in misura sostanziale, ma sarebbe,
tutto sommato, un’occorrenza alquanto isolata ed improbabile.
Un ultimo problema che vogliamo affrontare, in relazione ai gruppi di gas
ed alla reionizzazione dell’universo è il calcolo del fattore di addensamento
(clumping factor ), C, e del tempo di ricombinazione.
Spieghiamo brevemente. La reionizzazione cosmica può essere descritta,
statisticamente, considerando che, durante tale fase, i fotoni liberi possono
anche essere riassorbiti da un atomo1 che si sta ricombinando e che diviene
nuovamente ionizzato. Il “fattore di riempimento” (filling factor ), Q(t), in
un dato istante t, delle regioni di idrogeno ionizzato è allora semplicemente
dato dal numero totale di fotoni ionizzanti emessi per atomo di idrogeno
prima di quell’istante t cui viene sottratto il numero totale di ricombinazioni
per atomo, ([40]). Con questo argomento, Madau, Haardt & Rees (1999),
[27], derivano una semplice equazione differenziale che regola la transizione
1
Il processo sarà dominato dagli atomi di idrogeno, essendo quelli più abbondanti nelle ere
primordiali.
168
da un universo neutro ad uno completamente ionizzato:
dQ
ṅion
Q
=
−
,
dt
n̄H
trec
(6.4)
dove n̄ion rappresenta il tasso di emissione (comovente) di fotoni in grado
di ionizzare l’idrogeno, n̄H è la densità comovente media degli atomi di
idrogeno e trec il tempo di ricombinazione dell’idrogeno, mediato sul volume;
quest’ultimo vale
trec =
1
,
αB C n̄H (1 + z)3 (1 + 2χ)
(6.5)
in cui αB è il coefficiente di ricombinazione (si trova uno studio dei vari
coefficienti in [6]), χ l’abbondanza dell’elio rispetto all’idrogeno (helium-tohydrogen abundance) e C è il clumping factor dell’idrogeno ionizzato, ovvero
il rapporto tra la media quadratica ed il quadrato della media della densità
di idrogeno ionizzato:
C≡
hn2H + i
.
hnH + i2
(6.6)
Come si evince dalla definizione, C è una quantità adimensionale. In genere,
il tempo di ricombinazione è una funzione del parametro di espansione (o
equivalentemente del redshift) e, assunta una temperatura di circa 104 K,
si può scrivere, in miliardi di anni:
trec (a) ≃ 588
a3
[Gyr] .
C(a)
(6.7)
Nel calcolo del clumping factor tramite le simulazioni SPH, si approssima
C con la stima:
C=
P
i
P
mi ρ−1
j
j mj ρj
,
P
( k mk )2
(6.8)
dove le sommatorie sono fatte su tutte le particelle di gas aventi massa mi
e densità ρi .
Nelle figure 6.18 e 6.19, mostriamo le nostre stime del clumping factor, C,
e del tempo di ricombinazione, trec , al variare del redshift, per i quattro
modelli considerati, ΛCDM, ΛCDM − RSI, SUGRA e SUGRA − RSI.
Innanzitutto, consistentemente con i risultati precedenti, gli aggregati più
169
Figura 6.18: evoluzione in redshift del clumping factor, C, per i modelli ΛCDM ,
ΛCDM − RSI, SU GRA e SU GRA − RSI.
170
Figura 6.19: evoluzione in redshift del tempo di ricombinazione, trec , per i modelli
ΛCDM , ΛCDM − RSI, SU GRA e SU GRA − RSI.
171
densi si trovano nella simulazione SUGRA, seguiti, in ordine, da quelli delle
simulazioni ΛCDM, SUGRA − RSI e ΛCDM − RSI. La differenza tra i
due modelli con indice spettrale variabile è minima per praticamente tutti i
redshift rimanendo C limitato sempre ad un valore pressoché unitario. Nel
modello ΛCDM, invece, si cominciano a presentare le prime differenze, in
quanto il clumping factor ha una evoluzione che si separa da quella degli
altri due modelli precedenti a z ≃ 25 per crescere fino ad un valore finale
di oltre 2. Sicuramente, le differenze più impressionanti sono relative al
modello SUGRA, il cui clumping factor comincia ad allontanarsi dall’unità
a z ≃ 30 e arriva a quasi 17 a z ≃ 19.
Tutto ciò significa che il gas è molto più aggregato e addensato in
quest’ultima simulazione rispetto a quanto accade nelle altre. In particolare,
nei modelli RSI, C ≈ 1, cioè vi sono scarse e poco dense sovraddensità
barioniche, visto che la densità quadratica media è circa uguale alla densità
media al quadrato.
Noto C, diventa facile calcolare il tempo di ricombinazione, trec , usando
la formula 6.7, che implica una proporzionalità inversa tra le grandezze in
questione.
I risultati per i quattro modelli SUGRA, ΛCDM, SUGRA − RSI e
ΛCDM − RSI sono presentati in figura 6.19. L’ordine di grandezza è
il miliardo di anni (Gyr) ed i valori per i vari modelli si cominciano a
distinguere in corrispondenza degli stessi redshift in cui comparivano le
prime differenze tra i clumping factor, ovviamente. Il valore massimo si
ottiene in corrispondenza del modello con meno addensamenti, il modello
ΛCDM − RSI, per cui la ricombinazione richiede un tempo più lungo degli
altri: quasi 2.2 Gyr (esattamente, 2.16 Gyr) a z ≃ 15; si scende poi a quasi
1.9 Gyr allo stesso redshift per il modello SUGRA − RSI, a 0.9 Gyr per il
modello standard, a z ≃ 16, e a meno di 0.1 Gyr a z ≃ 19, per il modello
SUGRA, in cui, essendo massimo il valore di C, è minimo trec , cioè la
ricombinazione è particolarmente veloce ed efficiente, perché c’è maggiore
172
concentrazione di gas.
6.4
Considerazioni sulla reionizzazione
L’analisi dei gruppi di gas è già utile per determinare se le simulazioni sono
compatibili con un’epoca di reionizzazione primordiale.
In realtà, per fare dei conti dettagliati si dovrebbero effettuare opportune
simulazioni di trasporto radiativo e trovare la frazione di volume ionizzato,
il cosiddetto filling factor (si veda [2] e [27]). Tuttavia, esistono studi
(come suggerito da [45]) i quali mostrano che affinché ci sia reionizzazione
è necessario trovare, ad un redshift di z ≃ 15, almeno un centinaio di stelle
massive per Mpc3 , in un tempo di ricombinazione. Ovviamente, il numero
di stelle massive è determinabile dal numero di gas clouds mostrato in figura
6.16 ed il tempo di ricombinazione è quello graficato in figura 6.19. Da questi
dati possiamo estrapolare le seguenti conclusioni.
Nel modello ΛCDM − RSI, non ci aspettiamo reionizzazione (in accordo
con [45]) perché il numero dei gruppi di gas è troppo basso.
Nel modello SUGRA − RSI si trovano una trentina di clouds ed il tempo
di ricombinazione è circa 1.9 Gyr: l’implicazione immediata è che neanche
in questo modello ci può essere reionizzazione.
Invece, nel modello standard la prospettiva è diversa, avendo circa 70 oggetti
ed un tempo di ricombinazione corrispondente di 0.9 Gyr, per z ≃ 16. Il
numero di stelle massive per Mpc3 e per tempo di ricombinazione si avvicina
molto a 100 ed inoltre, la caduta di trec è molto ripida a partire da redshift
18 ÷ 19 verso valori inferiori, pertanto tutto ciò fa pensare che, giunti a
z ≃ 15, ci siano effettivamente le condizioni per avere una rionizzazione
globale del mezzo.
Tra l’altro, i valori da noi individuati per C sono
compatibili con quelli ottenuti da [40].
Per concudere, anche il modello SUGRA, benché seguito solo fino a z ≃ 19,
dà delle informazioni soddisfacenti: esso prevede oltre 300 (esattamente,
310) gruppi per un tempo di ricombinazione minore di un decimo di Gyr
6.4 Considerazioni sulla reionizzazione
173
Figura 6.20: evoluzione in redshift del rapporto tra il numero di clouds ed il tempo di
ricombinazione per i modelli ΛCDM , ΛCDM − RSI, SU GRA e SU GRA − RSI. La
stella rappresenta il limite per avere reionizzazione a z ≃ 15.
(precisamente 0.086 Gyr), a z ≃ 19; ciò vuol dire che si aspettano ben più
di tremila stelle massive per Mpc3 , in un tempo di ricombinazione, ad un
redshift z ≃ 19. La condizione è pertanto in palese accordo con la possibilità
di una globale reionizzazione a quei redshift.
Un quadro riassuntivo è fornito dal grafico in figura 6.20.
Vedremo meglio, nel capitolo seguente, che i dati di W MAP e calcoli
analitici dello spessore ottico (integrato lungo la linea di vista, τ ),
indipendenti dallo spettro di potenza, possono limitare il possibile intervallo
174
in redshift per la reionizzazione in una cosmologia SUGRA con parametro
di stato w0Φ = −0.85, tra circa z ≃ 15 e z ≃ 22 (si vedano le figure 7.2 e
7.3).
Anche per il modello standard valgono analoghe conclusioni: l’analisi dello
spessore ottico metterà in luce che l’intervallo di redshift compatibile con la
reionizzazione cosmica è, grosso modo, [14, 20].
In entrambi i casi, i due diversi discorsi portano a risultati ragionevoli e
non discordanti tra loro, anche se le considerazioni fatte sul numero di gas
clouds sono solo qualitative: ciò è incoraggiante.
Alla fine della nostra analisi sui gruppi di gas e sui tempi di ricombinazione,
possiamo affermare che nessuno dei modelli RSI è compatibile con la
reionizzazione dell’universo a z ≃ 15, mentre i modelli ΛCDM e SUGRA
lo sono.
6.5
Oggetti più grandi
Come studio complementare, abbiamo ricercato, nelle simulazioni, l’oggetto
più grande e visto come cambiano, in redshift, alcune sue caratteristiche.
Innanzitutto, le dimensioni variano, mediamente da poco meno di 1 kpc/h
ad alti redshift (z ≃ 25) ad alcuni kpc/h agli ultimi redshift seguiti.
Nei primi tre pannelli da sinistra verso destra e dall’alto verso il basso, in
figura 6.21, viene mostrata, per i vari modelli, l’evoluzione della massa totale
(linea nera), della sola componente oscura (linea rossa), della componente
di gas caldo (linea blu) e di quella di gas freddo (linea verde). Come
ovvio, gli aloni crescono al decrescere del redshift, con valori caratteristici
corrispondenti, circa (per il confronto vedi pure il pannello in basso a destra),
quando z ≃ 20, a quasi 7·105 M⊙ h−1 per l’alone più grande della simulazione
ΛCDM − RSI, a 3 · 106 M⊙ h−1 per quello individuato nella simulazione
SUGRA−RSI, a quasi 6·106 M⊙ h−1 per la simulazione del modello ΛCDM.
Se poniamo l’attenzione a z ≃ 25, le masse sono di quasi 6 · 104 M⊙ h−1 per
l’alone della simulazione ΛCDM − RSI, di quasi 7 · 105 M⊙ h−1 per quello
6.5 Oggetti più grandi
175
Figura 6.21: evoluzione in redshift della massa per l’oggetto più grande trovato nelle
simulazioni ΛCDM − RSI (pannello in alto a sinistra), SU GRA − RSI (pannello in alto
a destra), ΛCDM (pannello in basso a sinistra). Le diverse curve mostrano l’andamento
per le diverse componenti:
massa totale (M-tot) − linea continua;
materia oscura (M-dm) − tratteggio lungo;
gas caldo (M-hot) − tratteggio corto; gas freddo (M-cold) − puntini.
Nel pannello in basso a destra, si confrontano le masse totali al variare del redshift, nelle
varie simulazioni.
176
della simulazione SUGRA − RSI, di oltre 106 M⊙ h−1 per la simulazione
ΛCDM.
È evidente il netto dominio della componente oscura che costituisce la
stragrande maggioranza della massa degli aloni considerati, mentre il gas
caldo risulta sistematicamente più basso di almeno un ordine di grandezza;
quello freddo, se presente, anche di due.
In figura 6.22 mostriamo i profili di densità della componente oscura
dell’alone più grande per il modello ΛCDM − RSI a diversi redshift ed
in figura 6.23 i corrispondenti profili di densità del gas. Il pannello in basso
a destra mostra, in entrambi i casi, tutti i profili in funzione della distanza
dal centro dell’alone espressa in unità del raggio viriale.
Si nota come i profili della materia oscura siano più alti di quelli del gas, ad
alti redshift, di almeno un ordine di grandezza, ma già a z ≃ 18 la situazione
cambia, perchè la densità del gas raggiunge i valori della densità di materia
oscura. Tale processo segnala l’avvento del cosiddetto catch-up dei barioni,
dovuto alla caduta del gas nelle primordiali buche gravitazionali degli aloni
oscuri, e diventa fondamentale per la formazione delle prime nubi barioniche
(che avviene proprio in questa epoca, come abbiamo visto dal grafico in
figura 6.16).
Naturalmente, ci aspettiamo che per gli altri modelli gli andamenti siano
simili e spostati verso redshift più alti.
Nella figura 6.24, vediamo l’andamento dell’energia interna del gas per unità
di massa, u, al variare della distanza dal centro dell’alone in questione.
Dall’energia interna si può ricavare la temperatura tramite alcune semplici
conversioni:
per ogni particella SPH, sia XH la frazione in massa
dell’idrogeno e YHe quella dell’elio, allora si ha
YHe =
1 − XH
.
4XH
(6.9)
Per conoscere la temperatura, serve sapere quanto vale il peso molecolare
medio, µ.
Nel caso in cui si considerino processi adiabatici (ovvero simulazioni
177
Figura 6.22: profili di densità della materia oscura intorno all’alone più grande per il
modello ΛCDM − RSI. Le unità della densità sono M⊙ h2 pc−3 .
178
Figura 6.23: profili di densità del gas intorno all’alone più grande per il modello
ΛCDM − RSI. Le unità della densità sono le stesse del grafico precedente.
179
Figura 6.24: profili dell’energia interna del gas intorno all’alone più grande per il modello
ΛCDM − RSI.
adiabatiche),
1 + 4YHe
.
1 + 3YHe + 1
µ=
(6.10)
Se ci sono anche processi di raffreddamento radiativo che possono far
ionizzare il mezzo, allora andrà considerata anche la frazione elettronica,
xN e , nella relazione (6.10): il peso molecolare medio diventa
µ=
1 + 4YHe
.
1 + YHe + xN e
(6.11)
Una volta noto µ, si può calcolare la temperatura di una particella, T ,
secondo la consueta uguaglianza
3
(µmH )u = kB T ,
2
(6.12)
in cui, mH è la massa del protone, u, come abbiamo detto, l’energia interna
per unità di massa e kB la costante di Boltzmann. Di fatto, perciò, i grafici in
figura 6.24 sono a tutti gli effetti dei profili di temperatura. Essi evidenziano
un nucleo isotermo a T ≈ 3 · 103 K, cioè la temperatura ideale per la
formazione di stelle di popolazione III, tramite raffreddamento guidato da
H2 (si veda pure il capitolo II, in proposito).
180
Capitolo 7
Implicazioni per la
reionizzazione
Nil igitur fieri de nilo posse fatendumst,
semine quando opus est rebus quo quaeque creatae
aëris in teneras possint proferrier auras.
Lucrezio
L’analisi portata avanti fino ad ora ha messo in luce chiaramente che i
modelli con indice spettrale variabile (RSI) hanno un’evoluzione più lenta
e ritardata rispetto ai corrispondenti modelli con indice costante n = 1.
Difatti, nei primi, le strutture cominciano a formarsi, mediamente, a redshift
minori di quasi dieci unità. Più precisamente, nel modello standard ΛCDM,
le prime concentrazioni di gas in grado di generare stelle di popolazione III si
manifestano quando l’età dell’universo è di circa 100 milioni di anni, mentre,
nel modello ΛCDM − RSI, esse si manifestano quando l’universo ha circa
170 milioni di anni. Un discorso analogo vale per le due varianti SUGRA,
in cui l’età dell’universo alla formazione delle prime strutture barioniche è
di circa 65 milioni di anni, per il caso n = 1, e di circa 120 milioni di anni,
per il caso RSI.
Tali dati permettono di concludere che la reionizzazione viene giustificata
solo nei modelli ΛCDM e SUGRA e non nei modelli con indice spettrale
variabile.
È interessante notare che queste considerazioni non sono in
contraddizione con i tempi tipici di vita delle stelle di popolazione III (circa
182
Implicazioni per la reionizzazione
cento milioni di anni, come abbiamo detto nel capitolo II): se vogliamo
una reionizzazione globale dopo ∼ 200 milioni di anni di vita dell’universo,
le prime stelle si devono necessariamente formare, al più tardi, dopo 100
milioni di anni e ciò non accade nei modelli RSI.
Inoltre, la rionizzazione nel modello SUGRA risulta anticipata rispetto
al modello standard; non si tratta di un fenomeno inatteso, perché un
andamento simile era prevedibile anche dallo studio dello spessore ottico
Thomson, come vedremo subito nel prossimo paragrafo.
7.1
Spessore ottico
In sintonia con quanto accennato nel capitolo II, lo spessore ottico
differenziale, per completa ionizzazione, è definito dalla relazione (2.16),
la quale è stata, poi, scritta nella forma (2.17), che qui riportiamo, per
comodità:
dτ (z) =
σT n(z) c
dz ;
(1 + z) H(z)
(7.1)
in forma integrata, essa diventa
dτ (z) = σT c
Z
z
0
n(z ′ )
dz ′ .
′
′
(1 + z ) H(z )
(7.2)
Nelle equazioni (7.1) e (7.2),
2 2
e
8π
≈ 6.65 · 10−25 cm2
σT =
3 me c2
è la sezione d’urto Thomson, c la velocità della luce, H(z) è il parametro
di Hubble ed n(z) è la densità numerica di elettroni in funzione del redshift
z: per completa reionizzazione, essa coincide con la densità numerica dei
barioni.
Come si vede sempre dalle formule (7.1) e (7.2), la dipendenza è solo dai
parametri cosmologici geometrici, non da quelli spettrali, quindi l’esistenza
o meno di un indice variabile (RSI) è, per lo spessore ottico, del tutto
ininfluente. Per questo motivo, noi ci interesseremo solo ai casi relativi
al modello ΛCDM ed al modello SUGRA; lo spessore per i modelli
7.1 Spessore ottico
183
Figura 7.1: andamenti degli spessori ottici differenziali (pannello a sinistra) ed integrati
(pannello a destra) per una cosmologia ΛCDM ; sono stati considerati due diversi valori
di Ω0M : 0.3 (linea continua) e 0.27 (linea a tratti lunghi e tratti brevi). La banda
orizzontale delimitata dalle linee a punti nel pannello a destra si riferisce all’intervallo di
confidenza pari ad 1σ dei dati di WMAP, che forniscono τ = 0.17 ± 0.04.
ΛCDM − RSI e SUGRA-RSI sarà identico, rispettivamente, alle predette
cosmologie. Ricordiamo che lo spessore ottico τ (z), per il modello ΛCDM,
ammette una forma analitica esatta data dalla (2.19)
τ (z) =
Z
z
0
2σT n(0)c
√
dτ (z ′ ) =
3H0 Ω0M
"r
Ω0Λ
−
(1 + z)3 +
Ω0M
r
#
Ω0Λ
. (7.3)
1+
Ω0M
I calcoli per il modello SUGRA vanno, invece, svolti numericamente.
Nella figura 7.1, forniamo gli andamenti dello spessore ottico differenziale
ed integrato per due valori diversi di Ω0M : Ω0M = 0.3 ed Ω0M = 0.27.
Abbiamo scelto tali valori perché il primo è quello usato nelle simulazioni,
invece il secondo è quello suggerito da WMAP (come dibattuto nel capitolo
III). Si nota come, fissata la densità numerica attuale dei barioni, n(0),
dτ e τ variano inversamente rispetto ad Ω0M , che compare, tramite il
parametro di Hubble, al denominatore delle equazioni (7.1) e (7.2). Ciò
si spiega in quanto, al crescere del parametro di densità della materia,
la formazione delle strutture diventa maggiore e la reionizzazione risulta,
conseguentemente, anticipata. La linea orizzontale a tratti brevi è la misura
184
Figura 7.2: grafici degli spessori ottici differenziali (pannelli in alto) ed integrati
(pannelli in basso) per una cosmologia ΛCDM (linea continua) ed una cosmologia
SUGRA (linea a tratti); sono stati considerati due diversi valori di Ω0M : 0.3 (colonna
sinistra) e 0.27 (colonna destra). In entrambi i casi, i grafici si riferiscono alle soluzioni
numeriche; per il modello ΛCDM , l’accordo con i risultati analitici mostrati in figura
7.1 è migliore di alcune parti per migliaia.
di WMAP e la banda delimitata dalle linee a punti rappresenta l’intervallo
di confidenza pari ad 1 σ dei dati.
In relazione ai corrispondenti calcoli relativi al modello SUGRA, bisogna
considerare quanto segue.
Per un fluido cosmico di materia, radiazione e costante cosmologica con
7.1 Spessore ottico
185
wΛ = −1, l’espressione di H(z) è la (1.60),
i
h
H 2 (z) = H02 (1+z)2 1−Ω0 +Ω0M (1+z)+Ω0R (1+z)2 +Ω0Λ (1+z)−2 .
(7.4)
Nei modelli di quintessenza, abbiamo visto che il campo scalare produce
un parametro di stato diverso da −1 e variabile in z, quindi, H(z) è una
funzione che dipenderà dal redshift anche attraverso wΦ = wΦ (z), dove Φ è il
campo scalare in questione. Naturalmente, tutto ciò si traduce nel sostituire
il termine Ω0Λ (1 + z)−2 , nella (7.4), con Ω0Φ (1 + z)1+3wΦ (z) .
Assumendo un universo piatto, in cui la radiazione è trascurabile rispetto
alla materia, ed un potenziale SUGRA normalizzato in modo che
w0Φ = −0.85, si ottengono i risultati mostrati in figura 7.2. Come paragone,
sono stati graficati anche gli analoghi andamenti per il modello ΛCDM
calcolati, stavolta, numericamente: l’accordo con la soluzione analitica è di
alcune parti per migliaia. È chiaro che il modello ΛCDM ha uno spessore
ottico più alto del modello SUGRA dell’un per cento circa a z ≃ 17,
implicando questo un’epoca di completa reionizzazione un po’ ritardata.
Il risultato è compatibile con le simulazioni numeriche, in quanto (vedi
capitolo VI) nei modelli SUGRA considerati viene favorita la formazione
delle strutture, in confronto con i modelli ΛCDM. Essendo il numero di
oggetti formati maggiore, anche la reionizzazione sarà agevolata e spostata
verso epoche precedenti. Va comunque detto, però, che lo spostamento è
solo di qualche unità di redshift, ovverosia, in tempo, si tratta di “soli” 15±5
milioni di anni, circa, avendo considerato anche l’intervallo di confidenza dei
dati di WMAP.
Per completezza, abbiamo considerato anche l’ipotesi che il campo
di quintessenza sia soggetto a potenziali diversi da quello descritto in
precedenza: la figura 7.3 mostra i risultati delle integrazioni numeriche, oltre
che per il modello standard ΛCDM, anche per diversi potenziali SUGRA
variamente normalizzati e per un potenziale Ratra & Peebles; per tutti i
modelli sono stati considerati i seguenti parametri cosmologici geometrici:
186
Figura 7.3: il grafico mostra il risultato delle integrazioni numeriche dello spessore ottico
per vari modelli; essi sono indicati, in ordine, dall’alto verso il basso, nella didascalia e
descritti nella tabella 7.1.
7.1 Spessore ottico
187
Tabella 7.1: Vari modelli di quintessenza
Modello
ΛCDM
SU GRA − 0.95
RP − 0.83
SU GRA − 0.90
SU GRA − 0.85
SU GRA − 0.83
Descrizione
modello standard
(linea continua)
potenziale SUGRA con w0Φ = −0.95
(linea a punti)
potenziale Ratra & Peebles con w0Φ = −0.83
(linea a tratti brevi)
(linea a tratti brevi e tratti lunghi)
(linea a tratti lunghi)
(linea a tratti e punti)
h = 0.7, Ω0M = 0.3, Ω0Φ = 0.7. Per ulteriori dettagli si veda la tabella
esplicativa 7.1.
Un breve commento alla figura: si vede come, al tendere di w0Φ a −1,
i potenziali tendano a riprodurre lo stesso andamento del modello ΛCDM,
in cui w0Φ ≡ wΛ = −1, come è naturale che sia.
Inoltre, il paragone tra lo spessore ottico integrato, τ (z), determinato con
un potenziale Ratra & Peebles normalizzato da w0Φ = −0.83 (linea a
tratti brevi), e il corrispondente spessore ottico determinato da un modello
SUGRA, normalizzato sempre in modo da avere w0Φ = −0.83 (linea
a tratti e punti), ci permette di constatare gli effetti della correzione
supergravitazionale, la quale fa anticipare la reionizzazione di oltre una
unità in redshift, ossia di circa 20 milioni di anni. L’effetto è comunque
comparabile alle incertezze su Ω0M .
188
7.2
Formazione stellare
modello di SFR
dopo
la
reionizzazione:
Dopo la fase di reionizzazione dovuta alle stelle di popolazione III, si
svilupperanno le successive generazioni stellari oggi osservabili. Una delle
principali quantità necessarie per determinare l’evoluzione delle popolazioni
stellari, come già anticipato nel capitolo II, è il tasso di formazione stellare
o star formation rate (SFR).
In generale, capire l’andamento dello SFR di una data popolazione stellare
è un’impresa ardua, vista la dipendenza non solo dai vari parametri
cosmologici, geometrici e spettrali, ma anche dai parametri chimici ed
evolutivi dell’insieme in questione. Oltre tutto, ci sono forti dipendenze
dalle caratteristiche contingenti e locali del mezzo interstellare. Da un punto
di vista cosmologico, si può pensare di prescindere da questi e tentare di
misurare o calcolare uno SFR medio per tutto l’universo, al variare del
redshift.
Di seguito, proporremo un modello analitico semplice e del tutto generale,
il cui studio è stato avviato da Springel & Hernquist (si veda [19] e [42] ):
noi lo generalizzeremo per i nostri modelli di energia oscura.
Lo scopo è identificare i meccanismi cosmologici di base che guidano
l’evoluzione della formazione stellare, senza pretendere di entrare nei
dettagli tecnici. Per cominciare, possiamo scrivere lo SFR, ρ̇⋆ (z), come
segue:
hṀ⋆ i
ρ̇⋆ (z) = ρ(z)
= ρ0
M
Z
hṀ⋆ i
dF (M, z) = ρ0
M
Z
g(M, z) s(M, z) d ln M ,
(7.5)
dove hṀ⋆ i è la massa stellare media formatasi nell’unità di tempo, ρ(z) è la
densità media dell’universo ad un redshift z, ρ0 vale
ρ0 ≡
3 H02
Ω0M ,
8πG
con H0 costante di Hubble e Ω0M attuale parametro di densità della materia,
F (M, z) è una funzione di massa, le funzioni g(M, z) e s(M, z), dipendenti
7.2 Formazione stellare dopo la reionizzazione: modello di SFR
189
dalla massa degli aloni, M, e da z, sono definite nel seguente modo:
g(M, z) ≡
dF
d ln M
(7.6)
s(M, z) ≡
hṀ⋆ i
.
M
(7.7)
e
La funzione s(M, z), definita dalla (7.7), è la frazione di formazione stellare
per alone. Definiamo, poi, in modo autoconsistente,
GM
,
R
(7.8)
vV3 IR
M=
10 G H(z)
(7.9)
vV IR
;
10 H(z)
(7.10)
vV2 IR ≡
ponendo
e
R=
qui, H(z) rappresenta il parametro di Hubble in funzione del redshift. La
temperatura di virializzazione TV IR , espressa in gradi Kelvin, è
2
µ vV2 IR
vV IR
TV IR =
≃ 36
K
2 kB
[km/s]
(7.11)
avendo considerato, brutalmente, ma senza sbagliare per le stelle che si
cominciano a formare dopo la reionizzazione, µ ≃ 0.6 come peso molecolare
medio.
Esprimendo TV IR in funzione della massa e facendo uso della
definizione (7.8), si trova
TV IR ≡ T (M, z) = 9.5 · 10
7
con
H(z)
χ(z) ≡
H0
M
15
[10 M⊙ h−1 ]
2/3
χ(z) K ,
(7.12)
= E 2/3 (z) .
Il calcolo di s(M, z), come definito in (7.7), è complicato dai processi di
raffreddamento considerati. È comodo sfruttare l’ansatz
s(M, z) ≡ s̃ (T (M, z)) q(z) ,
190
separando la dipendenza esplicita del redshift dalla temperatura: questo è
suggerito anche dalle simulazioni, come mostrato in [19]. Tra l’altro, esse
confermano che lo SFR diventa efficiente, tipicamente, a T & 104 K, qualora
si consideri raffreddamento guidato da H ed He (ipotesi molto verosimile
per le stelle di popolazione II); perciò, assumiamo
s0 q(z)
T > 104 K
s(M, z) ≡ s̃ (T (M, z)) q(z) =
0
altrimenti
con s0 costante da determinare sperimentalmente.
(7.13)
Detta M4 la massa
corrispondente a TV IR = 104 K e σ42 la varianza corrispondente ad M4 ,
σ42 = σ 2 (M4 (z), z), dalla relazione (7.5) e dall’ansatz (7.13), segue
ρ̇⋆ (z) = ρ0 s0 q(z) [F (+∞, z) − F (M4 , z)] ;
questa espressione può essere scritta come
δc
ρ̇⋆ (z) = ρ0 s0 q(z) 1 − erf √
,
2 σ4
(7.14)
(7.15)
usando una funzione di massa di Press & Schechter, oppure, come
√
1 a δc2
aδc
A
ρ̇⋆ (z) = ρ0 s0 q(z) 1 − Aerf √
Γ̃
,
−√
5 2 σ42
2 σ4
23/5 π
1
(7.16)
≈ ρ0 s0 q(z)
√ 2 ,
√
aδc
5 √ √ aδc
√
1 + 2 π 2σ exp 2σ
4
4
usando una funzione di massa di Sheth & Tormen, in cui
"
#−1
Γ 51
A=1+ √
≈ 0.3222 ,
23/5 π
a = 0.707, δc ≃ 1.686; la funzione Γ di Eulero e la funzione Γ incompleta di
Eulero, Γ̃, sono definite, rispettivamente, come
Z
Γ(a) = ta−1 e−t dt
e
Γ̃(a, x) =
Z
0
x
ta−1 e−t dt .
191
Ad alti z, per la funzione di massa di Sheth & Tormen, si ha l’andamento
aδc
z≫1
ρ̇⋆ (z) ∼ q(z)σ4 (z) exp − 2 .
(7.17)
2σ4
Detto D il fattore di crescita ed n l’indice spettrale efficace, la varianza
scala come σ 2 (z) ∼ D 2 (z) ed, inoltre, σ 2 (z) ∼ M −(n+3)/3 , quindi,
−(n+3)/3
σ42 (z) ∼ D 2 (z)M4
∼ D 2 (z)χ(n+3)/3 (z) .
(7.18)
Per universi piatti, all’ordine più basso, D(z) ∼ χ−1 (z) e, dalla (7.18),
σ42 (z) ∼ χ(n−1)/4 (z).
Il comportamento di q(z) è più complesso.
Il calcolo del tempo di
raffreddamento, tcool , per una massa di gas, Mgas , a simmetria sferica, ad
una temperatura T , in un alone di massa MV IR e raggio RV IR ,
tcool (r) =
3kB T ρgas (r)
,
2µn2H (r)Λ(T )
con profilo di densità isotermo,
ρgas (r) =
(3 − η)Mgas
,
η
4πRV3−η
r
IR
in cui η è un opportuno parametro di fit che vale circa η ≈ 1.65 (vedi [19]),
ci porge un tasso di raffreddamento o cooling rate
rcool
(3 − η)Mgas RVη−2
IR
=
4πf (T )vV IR
con
f (T ) = tcool (r)ρ(r) =
1/η
,
3m2H kB T
,
2µX 2 Λ(T )
essendo X la frazione di idrogeno, µ il peso molecolare medio, kB la costante
di Boltzmann, Λ la funzione di raffreddmento, mH la massa dell’atomo di
idrogeno,
(3−η)/η
d Mcool
3−η
(3 − η)fb
2 d rcool
= 4πρgas (rcool )rcool
=
fb MV IR
[10 H(z)]3/η
dt
dt
η
4πGf (T )
la massa raffreddata nell’unità di tempo e fb ≡ Mgas /MV IR la frazione
barionica. Ora, in virtù della definizione (7.7), ci aspettiamo che q(z)
192
dipenda da η ed infatti, un buon fit dei risultati delle simulazioni è fornito
da [19]
9/2η
χχ̃
q(z) ≃
,
(χm + χ̃m )1/m
con χ̃ = 4.6 e m = 6. Sostituendo nella (7.17),
9/2η
1
χχ̃
ρ̇⋆ (z) = ρ0 s0
,
5√
m
m
1/m
(χ + χ̃ )
1 + 2 πu exp(u2 )
(7.19)
dove
√
aδc
u ≡ u(z) = √
∼ 0.21χ7/8 .
2σ4 (z)
Il modello può essere complicato incorporando gli effetti di feedback e dei
venti galattici: essi fanno crescere mediamente di tre volte s(M, z), per
T > 106.5 K. In tal caso, assumiamo

 s0 q(z)
3s0 q(z)
s̃(T )q(z) =

0
104 6 T /[K] < 106.5
T /[K] > 106.5
altrimenti
(7.20)
e
ρ̇⋆ (z) = ρ0 s0 q(z) {3 [F (+∞, z) − F (M6.5 , z)] + F (M6.5 , z) − F (M4 , z)}
(7.21)
che si esplicita come segue
9/2η χχ̃
1
2
√
√
ρ̇⋆ (z) = ρ0 s0
+
,
(χm + χ̃m )1/m
1+ 25 πu exp(u2 ) 1+ 52 πw exp(w 2 )
(7.22)
essendo u come definito in precedenza e
√
aδc
∼ 0.67χ0.78 .
w ≡ w(z) = √
2σ6.5 (z)
È interessante notare gli andamenti asintotici:
per bassi redshift,
z<1
ρ̇⋆ (z) ∼ H 4/3 (z) ,
per alti redshift,
z≫1
ρ̇⋆ (z) ∼ χ−1 (z) exp −βχ7/4 (z) ,
193
con β = u2 (0).
C’è, pertanto, un picco dipendente dal parametro libero χ̃: se χ̃ → +∞,
allora zpeak ≃ 8.67; per valori finiti di χ̃, si sposta a redshift più bassi; il
valore adatto di χ̃ va calibrato ad hoc.
Nella figura 7.4, mostriamo le dipendenze dello SFR dai vari parametri
cosmologici e nelle figure 7.5 e 7.6 il calcolo per il modello ΛCDM e per
vari modelli di quintessenza. In generale, si vede come a bassi redshift ci
sia un declino dovuto all’espansione dell’universo che inibisce i processi di
raffreddamento; ad alti redshift, invece, le densità sono più alte e, quindi, i
tempi di raffreddamento più bassi, però, benché le condizioni chimiche siano
molto favorevoli, c’è comunque un decremento, oltre il picco, col crescere
di z. Esso è dovuto essenzialmente al taglio esponenziale delle funzioni di
massa, dominante sulla crescita secondo legge di potenza dell’efficienza del
raffreddamento. In altre parole, ad alti redshift, anche se ci sono tutte le
prerogative per la formazione stellare, mancano gli aloni di materia oscura1
in cui essa possa avvenire: i siti per avviare significativamente la nascita
delle stelle non si sono ancora formati o, in ogni caso, la loro formazione è
scarsa.
Analizzando i parametri coinvolti nel nostro semplice modello (vedi sempre
la figura 7.4), si possono constatare diversi comportamenti:
• lo SFR cresce al crescere di σ8 : il motivo è semplicemente che,
aumentando σ8 , aumenta la normalizzazione dello spettro di potenza
e ciò favorisce la crescita delle strutture su tutte le scale;
• lo SFR cresce al crescere di Ω0b : l’interpretazione ovvia è che maggiore
è Ω0b , maggiore è la quantità di gas a disposizione per formare
stelle, in particolare, come si vede dalla definizione (7.5), la crescita è
direttamente proporzionale ad Ω0b ;
• lo SFR cresce al crescere di Γ: il motivo è banalmente connesso al
1
Nel capitolo I abbiamo discusso come gli aloni guidino la formazione delle strutture, anche
di quelle barioniche (ad esempio tramite il catch-up).
194
0.1
0.1
0.01
0.01
0.001
0.001
0
5
10
15
20
0.1
0.1
0.01
0.01
0.001
0
5
10
15
20
0
5
10
15
20
0.001
0
5
10
15
20
Figura 7.4: andamenti dello SFR per il modello ΛCDM . Si mostra come esso varia al
variare dei parametri cosmologici σ8 (pannello in alto a sinistra), Ω0b (pannello in alto
a destra), h0 (pannello in basso a sinistra) e Γ (pannello in basso a destra). I valori
considerati per il nostro modello sono σ8 = 0.9, Ω0b = 0.04, h0 = 0.7, Γ = 0.17 (linea
continua in tutti e quattro i pannelli); essi sono stati singolarmente variati come segue:
σ8 = 1.2, 1.0, 0.9, 0.8, 0.6 (nell’ordine, linea a tratti e punti, linea a punti, linea continua,
linea a tratti brevi, linea a tratti lunghi );
Ω0b = 0.06, 0.05, 0.04, 0.03, 0.02 (nell’ordine, linea a tratti e punti, linea a punti, linea
continua, linea a tratti brevi, linea a tratti lunghi );
h0 = 0.8, 0.7, 0.6, 0.5 (nell’ordine, linea a tratti lunghi, linea continua, linea a tratti
brevi, linea a punti );
Γ =0.21, 0.20, 0.19, 0.18, 0.17 (nell’ordine, linea a tratti e punti, linea a tratti lunghi,
linea a tratti brevi, linea a punti, linea continua ).
195
picco dello spettro di potenza; incrementando Γ, il picco sposta più
potenza verso scale più piccole favorendo la formazione delle strutture
e quindi aumentando lo SFR;
• lo SFR cresce al decrescere della costante di Hubble: questa è una
proprietà un po’ controintuitiva, ma va considerato che la costante
di Hubble gioca un duplice ruolo.
Essa è direttamente coinvolta
sia nell’espansione cosmica, in virtù della legge di Hubble, sia nella
determinazione del picco dello spettro di potenza, in virtù dei fit su Γ
citati nel capitolo I, formule (1.134) e (1.135). Quando h aumenta, da
un lato, aumenta anche l’espansione sfavorendo la formazione stellare,
dall’altro, cresce Γ spostando la potenza delle perturbazioni su scale
più piccole, a vantaggio della formazione stellare. L’effetto risultante
è dominato dall’ultima causa; del resto, la crescita delle perturbazioni
ad alto redshift è fortemente determinata dai parametri spettrali, più
che dai parametri geometrici che sottostanno alla teoria di Jeans.
Interessante è notare come piccole variazioni dei parametri portino a
variazioni dello SFR anche notevoli, soprattutto ad alti z (si vedano
ad esempio gli effetti su σ8 e Γ). Anche questo fenomeno è dovuto al
decadimento esponenziale delle funzioni di massa che domina nel regime
in cui z ≫ 1.
In figura 7.5, mostriamo i risultati del calcolo dello SFR per i modelli
da noi seguiti. Di nuovo, troviamo una conferma degli andamenti globali
nella formazione delle strutture: il modello in cui si verifica la maggiore
formazione stellare è il SUGRA, seguito dal modello ΛCDM e dalle due
varianti con indice spettrale variabile (RSI), in ordine decrescente, SUGRARSI e ΛCDM − RSI.
La figura 7.6, infine, riporta i risultati del calcolo dello SFR anche per
gli altri modelli di quintessenza già discussi nel paragrafo precedente:
tre varianti del modello SUGRA con w0Φ
=
−0.85 normalizzate,
rispettivamente, da w0Φ = −0.83 (linea a punti ), −0.90 (linea a tratti
196
Figura 7.5: andamenti dello SFR per i modelli da noi considerati. La linee continue si
riferiscono ai modelli con Γ = 0.21, quelle a punti ai modelli con Γ = 0.17. In ordine,
dall’alto verso il basso, le curve si riferiscono ai seguenti modelli cosmologici: SU GRA
con w0Φ = −0.85, ΛCDM , SU GRA − RSI con w0Φ = −0.85 e ΛCDM − RSI.
197
Figura 7.6: andamenti dello SFR per vari modelli di quintessenza.
In entrambi i pannelli, mostriamo lo SFR per i modelli SU GRA con w0Φ = −0.85,
ΛCDM , SU GRA − RSI con w0Φ = −0.85 e ΛCDM − RSI (linee continue, nell’ordine,
dall’alto verso il basso) e, in aggiunta, abbiamo:
nel primo pannello − varianti del modello SU GRA normalizzate a w0Φ = −0.83 (linea
a punti ), −0.90 (linea a tratti brevi), −0.95 (linea a tratti lunghi), modello Ratra &
Peebles con w0Φ = −0.83 ed indice spettrale costante n = 1 (linea a tratti e punti);
nel secondo pannello − varianti del modello SU GRA − RSI normalizzate a w0Φ = −0.83
(linea a punti ), −0.90 (linea a tratti brevi), −0.95 (linea a tratti lunghi), modello Ratra
& Peebles con w0Φ = −0.83 ed indice spettrale variabile (linea a tratti e punti).
198
brevi) −0.95 (linea a tratti lunghi), e un modello Ratra & Peebles con
w0Φ = −0.83 (linea a tratti e punti); per tutti si considera sia il caso
di indice spettrale costante, n = 1, che di indice variabile (RSI). Ciò
che ritorna è il graduale avvicinamento al modello standard man mano
che il parametro di stato si avvicina a −1. In particolare, i modelli di
quintessenza con indice n = −1 tendono al modello ΛCDM, mentre se
consideriamo un indice variabile (RSI), i modelli di energia oscura tendono
al modello ΛCDM − RSI, come è giusto che sia. Inoltre, confrontando
lo SFR del modello SUGRA con w0Φ = −0.83 (SUGRA-0.83) e il Ratra
& Peebles con w0Φ = −0.83 (RP-0.83) si ritrova l’effetto della correzione
supergravitazionale che fa incrementare la formazione delle strutture e anche
lo SFR di oltre due volte a z ≃ 15 e di ben tre volte se consideriamo gli
analoghi modelli con RSI, allo stesso redshift.
7.3
Considerazioni finali
Teniamo a sottolineare come i risultati dei calcoli analitici dello spessore
ottico e dello SFR siano compatibili tra di loro e seguano l’andamento
suggerito dalle simulazioni.
Inoltre, vale la pena dire che i modelli
cosmologici di quintessenza da noi considerati portano tutti a risultati molto
vicini tra di loro, limitatamente al calcolo dello spessore ottico (si veda la
figura 7.3), ma le differenze possono essere notevoli in relazione alla crescita
delle strutture e allo SFR, come dimostrano i grafici in figura 7.5 ed in figura
7.6.
Capitolo 8
Conclusioni
E tu, Cielo, dall’alto dei mondi
sereni, infinito, immortale,
oh! d’un pianto di stelle lo inondi
quest’atomo opaco del male!
Pascoli
La teoria della formazione delle strutture cosmiche, in ambito
cosmologico, permette di capire e descrivere l’evoluzione delle proprietà
medie dell’universo e del suo “contenuto”. Intendiamo con “contenuto”
non solo gli oggetti più grandi e massivi osservabili, come ammassi e
superammassi di galassie, nettamente dominati dalla materia oscura, ma
anche oggetti relativamente più piccoli, quali le galassie e le stelle. Questi
ultimi sono soggetti ad una fisica molto più delicata e sottile, essendo
costituiti, in maniera non trascurabile, anche dal gas. E proprio il gas
sarebbe il principale responsabile di quella che viene normalmente detta
reionizzazione cosmica: un fenomeno per cui, dopo la neutralizzazione
dell’universo e la nascita dei primi oggetti, si avrebbe, ad opera proprio
delle prime strutture, un nuovo periodo di ionizzazione globale, a z ≃ 15,
circa duecento milioni di anni dopo il Big Bang.
Lo scopo del presente lavoro di Tesi è stato, appunto, indagare se tutto ciò
sia stato possibile e come sia avvenuto.
Dopo aver rivisitato gli studi astrofisici che stanno alla base dei modelli di
200
Conclusioni
evoluzione delle strutture, abbiamo mostrato quali sono i dati osservativi a
sostegno dell’ipotesi precedente e spiegato come essa possa essere giustificata
attraverso la possibile esistenza di stelle di popolazione III.
Inoltre abbiamo parlato del contrasto esistente tra i dati di W MAP , che
suggeriscono una reionizzazione a z ≃ 15 ed un indice spettrale variabile
(RSI), e le simulazioni di Yoshida et al. (2003), che, assumendo gli stessi
dati, ne mostrano l’impossibilità.
Per tentare di risolvere la discrepanza, abbiamo cercato di studiare,
attraverso opportune simulazioni numeriche, la formazione delle strutture
in modelli con energia oscura.
Essa sarebbe associata ad una non
ben determinata componente dovuta ad un campo scalare, detto di
“quintessenza”, originantesi dall’inflazione e soggetto ad un opportuno
potenziale di autointerazione. Il campo, evolvendo nel tempo, produrrebbe
un parametro di stato variabile secondo una relazione, al primo ordine, del
tipo wΦ (z) = w0Φ + wΦ′ (z) z, con wΦ (z) > −1.
I modelli considerati sono stati: il modello standard ΛCDM, con indice
spettrale n = 1; il modello ΛCDM − RSI, variante del modello
standard, avente uno spettro di potenza con indice variabile; un modello di
quintessenza descritto da un potenziale supergravitazionale normalizzato da
un parametro w0Φ = −0.85 e con indice spettrale n = 1 (modello SUGRA);
infine, la corrispondente variante SUGRA − RSI.
Per questi sono state eseguite le relative simulazioni di formazione delle
strutture presso il supercomputer SP 4 del centro di calcolo CINECA e ne
sono stati analizzati i dati.
Il processo di riduzione ha messo in evidenza, in primo luogo, che il
modello in cui c’è maggiore formazione di strutture è il SUGRA, seguito dal
modello ΛCDM, dal modello SUGRA − RSI e dal modello ΛCDM − RSI,
sia dal punto di vista degli aloni di materia oscura, sia dal punto di vista
dei gruppi di gas.
201
Si è visto, poi, che le classiche funzioni di massa di Press & Schechter,
di Sheth & Tormen e di Jenkins et al. non sono adeguate per descrivere
bene il numero di oggetti collassati ad alti redshift (z > 15) e piccole
masse (∼ 104÷8 M⊙ h−1 ); inoltre, le strutture che dovrebbero portare alla
reionizzazione intorno a z ∼ 15 hanno masse appartenenti al regime di
“cut-off” delle predette funzioni.
Abbiamo verificato anche che le frazioni barioniche relative agli aloni,
mediamente, non corrispondono alla frazione barionica cosmica, ma sono
decisamente più basse. Uno studio interessante è stato il calcolo, al variare
del redshift, del clumping factor, C, e del tempo di ricombinazione del gas:
esso ha messo in evidenza che le nubi più concentrate sono riscontrabili nel
modello SUGRA per cui C ≃ 20 a z ≃ 19: non si tratta di un caso, essendo
questo il modello in cui c’è la maggiore e più precoce formazione di oggetti;
nello stesso ordine precedente, si trovano concentrazioni via via decrescenti
nei modelli ΛCDM, SUGRA − RSI e ΛCDM − RSI con i rispettivi valori
di C poco maggiori dell’ unità, per tutti i redshift di interesse.
Al crescere del clumping factor, diminuirà il tempo di ricombinazione che,
infatti, risulta massimo per il modello ΛCDM −RSI (in cui è pari a 2.2 Gyr
circa a z ≃ 15) e minimo per il SUGRA (in cui vale meno di 0.1 Gyr a
z ≃ 19).
Per raffinare l’analisi delle simulazioni, abbiamo anche studiato l’evoluzione
delle principali caratteristiche degli oggetti più grandi e alcune loro
proprietà strutturali (distribuzione delle varie componenti della massa di
virializzazione, densità, temperatura).
Abbiamo, infine, calcolato lo spessore ottico differenziale ed integrato per
una varietà di modelli cosmologici di quintessenza variamente normalizzati
e confrontato i risultati con i dati osservativi, concludendo che un potenziale
di quintessenza porta ad una reionizzazione tanto più anticipata quanto più
il parametro di stato risulta maggiore di −1.
202
Conclusioni
L’analisi compiuta ci permette di affermare, a proposito dei quattro modelli
seguiti, che quelli con indice spettrale variabile (RSI) non sono compatibili
con la reionizzazione dell’universo a z ≃ 15, mentre i modelli ΛCDM e
SUGRA lo sono, sia dal punto di vista delle simulazioni, sia dal punto di
vista dello spessore ottico.
Finiamo col menzionare il semplice modello analitico di SFR costruito
per capire i processi fisici di base della formazione stellare, per vedere, dopo
la reionizzazione, come potrebbe svilupparsi la successiva generazione di
stelle (stelle di popolazione II) e per evidenziare i parametri cosmologici
coinvolti. I calcoli, compiuti per vari modelli, mostrano, al crescere di z,
un generale incremento, un succesivo raggiungimento di un valore massimo
(picco) ed un finale decremento. La caduta ad alti redshift è connessa
alla decrescita esponenziale delle funzioni di massa e quindi, alla graduale
mancanza di siti in cui avere formazione di stelle; invece, per bassi redshift,
quando z → 0+ , lo SF R segue una legge di potenza: al decrescere del
redshift, l’espansione rallenta i processi di raffreddamento e, di conseguenza,
anche la formazione di strutture barioniche. In relazione alle dipendenze dai
parametri cosmologici, troviamo che lo SF R cresce al crescere di σ8 , di Ω0b ,
di Γ e, forse un po’ controintuitivamente, della costante di Hubble. Per
quanto riguarda il redshift di picco, invece, esso dipende da un parametro
libero, ma, in ogni caso, non può assumere valori arbitrari, essendo limitato
superiormente dal vincolo z < 8.67 e, inferiormente, da z > 0: per z = 0, si
avrebbe una funzione nulla durante tutta l’evoluzione cosmica.
Per quanto riguarda le prospettive future, sarebbe interessante estendere
la nostra analisi anche ad altri modelli di energia oscura e studiare i processi
di reionizzazione, in modo molto più dettagliato, tramite simulazioni di
trasporto radiativo.
Ovviamente, gli sviluppi possibili dipendono anche da eventuali conferme o
203
smentite degli attuali dati osservativi riguardanti lo spessore ottico e l’indice
spettrale.
Infine, va sottolineata la necessità di capire meglio gli andamenti delle
funzioni di massa ad alti redshift e basse masse, regimi in cui, abbiamo
visto, esse hanno dei chiari limiti di applicabilità.
. . . “Istra ten va, più non t’adizzo”
Dante
204
Conclusioni
Appendice A
Random Walk
E poi che gli occhi a quelle luci appunto,
ch’a lor sembrano un punto,
e sono immense, in guisa
che un punto a petto a lor son terra e mare
veracemente; a cui
l’uomo non pur, ma questo
globo ove l’uomo è nulla,
sconosciuto è del tutto; . . .
Lo scopo della presente appendice è studiare il moto casuale di N passi,
per semplicità assunti di lunghezza unitaria, in una dimensione, ognuno
con probabilità 1/2 di essere fatto in avanti o indietro. La probabilità che
si arrivi alla posizione m, dopo N passi, assunti indipendenti, oltre che
equiprobabili, è data da
N
1
w(m, N) =
W (m, N) ,
2
(A.1)
dove W (m, N) è il numero delle possibili sequenze distinte che conducono
fino ad m. Vediamo come possiamo calcolare W (m, N) e, con questo, la
probabilità w(m, N) .
206
Random Walk
A.1
Approccio generale
Per essere in m, dopo N passi, è necessario percorrere (N + m)/2 passi
verso m ed (N − m)/2 nel verso opposto, per un numero totale di passi
(N + m) (N − m)
+
=N.
2
2
(A.2)
Il numero di sequenze possibili è perciò
W (m, N) =
N +m
2
e quindi
essendo
N!
w(m, N) = N +m N −m ! 2 !
2
N!
N −m ! 2 !
N
N 1
1
N
= N +m
,
2
2
2
N
N +m
2
(A.3)
(A.4)
l’abituale coefficiente binomiale.
La distribuzione ottenuta è la distribuzione di Bernoulli : essa porge la
probabilità che, su N eventi ciascuno con probabilità 1/2, ne vengano sortiti
esattamente (N + m)/2; infatti, l’espressione (A.4) può essere scritta come
N N N −km
p q
,
(A.5)
w(m, N) =
km
con
p = 1/2 , q = 1 − p = 1/2
.
km = (N + m)/2
(A.6)
Ora, se x è un certo evento che segue la distribuzione di Bernoulli, si avrà
hxi =
hx2 i =
δ
2
n
X
x=1
n
X
xw(x) =
n
X
x
x=1
n
X
x2 w(x) =
x=1
x=1
2
n!
px q n−x = np ,
x!(n − x)!
x2
(A.7)
n!
px q n−x = np+n(n−1)p2 ,(A.8)
x!(n − x)!
≡ h(x − hxi) i = hx2 i − hxi2 = np(1 − p) = npq .
(A.9)
A.1 Approccio generale
207
In particolare,
N +m
N
h
i =
,
(A.10)
2
2
2
2
N +m
N +m
N +m 2 1
N +m
−h
i i = h
i = N,
i−h
h
2
2
2
2
4
(A.11)
da cui segue
hmi = 0
e
hm2 i = N .
(A.12)
Consideriamo allora
N!
w(m, N) = N +m N −m ! 2 !
2
N
1
2
(A.13)
e cerchiamone l’andamento asintotico, quando m ≪ N e N ≫ 1. Saranno
utili i seguenti sviluppi:
1
1
1
N ≫1
ln N! ∼ N +
ln N − N + ln 2π + O
2
2
N
(formula di Stirling) e
3
m2
m
m N ≫1 m
∼ ± −
+O
ln 1 ±
2
N
N
2N
N3
(A.14)
(A.15)
(sviluppi in serie di Mc Laurin).
Risulta
ln w(m, N)
N ≫1
∼
−
N ≫1
∼
−
−
N ≫1
∼
1
m
N +m+1
N
N+
ln N −
ln
1+
+
2
2
2
N
m N ≫1
N
N −m+1
1
ln
1−
ln 2π − N ln 2 −
∼
2
2
2
N
1
1
N+
ln N − ln 2π − N ln 2 +
2
2
N
m
m2
N +m+1
ln +
−
+
2
2
N
2N 2
N
m
m2 N ≫1
N −m+1
ln −
−
∼
2
2
N
2N 2
m2
m2
1
2
1
−
− ln N + ln 2 = ln √
,
− ln 2π −
2
2N
2
2N
2πN
(A.16)
208
Random Walk
e quindi
N ≫1
w(m, N) ∼
r
2 − m2
e 2N .
πN
(A.17)
Finora abbiamo considerato m, N ∈ N; effettuiamo il cambio di variabile
x = ml =⇒ dx = l dm
(A.18)
con l ∈ R, anche x ∈ R e passiamo nello spazio dei reali, in cui l ed x
possono variare tra ] − ∞, +∞[. Perciò1
1
∆x
1
x2
w(x, N)∆x = w(m, N)
=⇒ w(x, N) = √
exp −
2
l
2Nl2
2πNl2
(A.19)
è la densità di probabilità che una particella si trovi in [x, x + ∆x].
Se vengono fatti N passi nell’unità di tempo t, n ≡ N/t, allora
def.: D = 21 nl2 =⇒
x2
1
exp −
,
w(x, t) = √
4Dt
2 πDt
(A.20)
sul dominio {(x, t) ∈ R×R+ } e la distanza quadratica media percorsa, hL2 i,
risulta pari a hL2 i = 2DNt; con un calcolo diretto, si verifica poi che viene
soddisfatta l’equazione
∂w
∂2w
=D 2 ;
∂t
∂x
(A.21)
essa è nota come equazione di diffusione e D è detto coefficiente di
diffusione. La generalizzazione in 3 dimensioni è immediata e conduce
all’equazione
∂w
= D ∇2 w .
∂t
1
(A.22)
Per m sufficientemente grande, si può passare al q
“limite del continuo”, supponendo m variare
R +∞
R +∞
m2
2
e− 2N dm = (x = ml) =
con continuità, e scrivere 0 w(m, N )dm = 0
πN
2
R +∞
R +∞
R +∞ q 2 − x2 dx
− x
1
e 2N l2 dx ≡ −∞ w(x, N )dx
e 2N l2 l = −∞ √2πNl
= 12 −∞
2
πN
A.2 Barriera riflettente
A.2
209
Barriera riflettente
Il punto di partenza è sempre la distribuzione
w(m, N)
=
N ≫1
∼
N
N!
1
N ≫1
N −m ∼
N +m
! 2 ! 2
2
r
2
m2
,
exp −
πN
2N
(A.23)
dove m, N ∈ N.
In presenza di una barriera riflettente situata nella posizione m1 , una
particella che parte dall’origine può essere riflessa prima di arrivare in un
punto P , posto in m 6 m1 : la probabilità w(m, N)∆m di trovarla in
quel punto perciò aumenta. In particolare, per ogni punto P , possiamo
considerare il punto P ′ , immagine2 di P , rispetto ad m1 ; allora la densità
di probabilità è data da3 :
w(m, N) + il contributo relativo a P ′ , che ha coordinate (2m1 − m, N) ,
ovvero
w(m, N; m1 )
=
N ≫1
∼
N ≫1
w(m, N) + w(2m1 − m, N) ∼
r
2
m2
(2m1 − m)2
exp −
+ exp −
.
πN
2N
2N
(A.24)
Come prima, effettuando le sostituzioni
x = ml,
x1 = m1 l,
1
D = nl2 ,
2
n=
N
,
t
con l, x, x1 , D ∈ R e n, t ∈ R+ , abbiamo
1
x2
(2x1 − x)2
N ≫1
w(x, t; x1 ) ∼ √
exp −
+ exp −
,
4Dt
4Dt
2 πDt
2
(A.25)
(A.26)
P ′ è la posizione che raggiungerebbe la particella, se non ci fosse la barriera.
Facciamo la somma dei due eventi, perché si può arrivare in m o direttamente o urtando la
barriera; non serve che i due eventi si verifichino entrambi e simultaneamente.
3
210
Random Walk
essendo w(x, t; x1 )∆x la probabilità di trovare la particella in [x, x + ∆x] e
avendo considerato l’effetto della barriera tramite P ′ .
Osserviamo che sulla barriera:
∂
2x
2(2x1 − x) = w(x, t; x1 ) −
= 0 . (A.27)
w(x, t; x1 )
+
∂x
4Dt
4Dt
x=x1
x=x1
A.3
A.3.1
Barriera assorbente
Distribuzione di probabilità
Qualora vi sia una barriera assorbente sita in m1 , calcoliamo la distribuzione
di probabilità escludendo la traiettoria che arriva al punto immagine
(proprio perché la particella viene assorbita in m1 ): essa viene detta
“traiettoria proibita”. Avremo:
w(m, N; m1 )
=
N ≫1
∼
N ≫1
w(m, N) − w(2m1 − m, N) ∼
r
2
m2
(2m1 − m)2
exp −
− exp −
.
πN
2N
2N
(A.28)
Di nuovo, effettuando le sostituzioni
x = ml,
x1 = m1 l,
1
D = nl2 ,
2
n=
N
t
(A.29)
con l, x, x1 , D ∈ R e n, t ∈ R+ , abbiamo
(2x1 − x)2
1
x2
N ≫1
− exp −
, (A.30)
w(x, t; x1 ) ∼ √
exp −
4Dt
4Dt
2 πDt
essendo w(x, t; x1 )∆x la probabilità di trovare la particella in [x, x + ∆x] e
avendo considerato l’effetto della barriera tramite P ′ .
Osserviamo che:
∂
w(x, t; x1 )
∂x
x=x1
A.3.2
= w(x, t; x1 )
2x
2(2x1 − x) = 0 . (A.31)
−
+
4Dt
4Dt
x=x1
Tasso di probabilità di deposito sulla barriera (velocità di
arrivo sulla barriera)
Vogliamo conoscere la probabilità a(m1 , N) di arrivo della particella in
m = m1 , in N passi, senza aver mai precedentemente toccato la barriera.
A.3 Barriera assorbente
211
Osserviamo che se m1 è pari (dispari), allora N è pari (dispari) e
necessariamente N > m1 .
Indichiamo con (m1 , N) la generica posizione nello spazio {(m, N) ∈ N2 }.
Allora:
A - tra le traiettorie che giungono in (m1 − 1, N − 1), sono permesse solo
quelle che non toccano (m1 −1) in meno di (N −1) passi, ossia toccano
(m1 − 1), per la prima volta, dopo il passo (N − 1)−esimo;
B - le traiettorie che arrivano in (m1 + 1, N + 1) sono proibite, perché
superano la barriera assorbente in (m1 , N); ovviamente, le traiettorie
che giungono in (m1 + 1, N + 1) passano anche, necessariamente, per
(m1 − 1, N − 1).
In riferimento al caso A, facciamo presente che il numero di traiettorie che
giungono in (m1 − 1, N − 1), avendo toccato già la barriera in m1 è uguale
al numero di traiettorie che giungerebbero in (m1 + 1, N − 1) in assenza
di barriera (metodo del punto immagine). Se W è il numero di modi per
costruire le traiettorie, cioè W (m, N) è tale che w(m, N) = W (m, N)2−N ,
allora nel computo totale andranno sottratti i contributi delle traiettorie
proibite: il numero di modi con cui una particella può giungere in m1 , dopo
N spostamenti, senza aver mai toccato la barriera, è dunque
W [a(m1 , N)] = W (m1 , N) − W (m1 + 1, N − 1) − W (m1 − 1, N − 1), (A.32)
dove il secondo termine si riferisce alle traiettorie proibite del caso A e il
terzo a quelle del caso B; il primo è il termine relativo alla libera diffusione
delle particelle. La precedente relazione diventa poi
W [a(m1 , N)] = W (m1 , N) − 2W (m1 + 1, N − 1) =
N!
(N − 1)!
= N +m1 N −m1 − 2 N +m1 N −m1 −2 =
!
!
!
!
2
2
2
2
2
N!
N!
N −m
=
= N +m1 N −m1 −
N +m1
1
N
!
!
!
−
1
!
2
2
2
2
N!
m1
= N +m1 N −m1 ,
(A.33)
!
! N
2
2
212
Random Walk
da cui ricaviamo
a(m1 , N) =
Per N ≫ 1:
m1
a(m1 , N) ∼
N
N ≫1
m1
w(m1 , N) .
N
r
Definiamo:
x = ml,
x1 = m1 l,
(A.34)
2
m2
.
exp −
πN
2N
1
D = nl2 ,
2
n=
N
,
t
(A.35)
(A.36)
con l, x, x1 , D, ∈ R e n, t ∈ R+ ; allora
x1
x21
1
√
a(x1 , t) ∼
exp −
.
nt 2 πDt
4Dt
N ≫1
(A.37)
Se vogliamo la probabilità q(x1 , t)∆t che la particella arrivi in x1 ,
nell’intervallo [t, t + ∆t] per la prima volta, allora q(x1 , t)∆t = a(x1 , t)n∆t,
ovvero
x21
x1
1
√
exp −
q(x1 , t) ∼
.
(A.38)
t 2 πDt
4Dt
La quantità q(x1 , t) è interpretabile come la frazione per unità di tempo di
N ≫1
un gran numero di particelle che inizialmente sono in x = 0 e che si sono
depositate sullo schermo, posto in x1 dopo che è trascorso un tempo t: in
altre parole, q(x1 , t) è la probabilità per unità di tempo che una particella si
trovi in x = x1 , dopo un tempo t, essendo partita da x = 0 quando t → 0+ .
Notiamo che
q(x1 , t) = −D
con
1
w(x, t; x1 ) = √
2 πDt
∂w ∂x x=x1
x2
(2x1 − x)2
exp −
− exp −
;
4Dt
4Dt
(A.39)
(A.40)
infatti:
2x
∂
2(2x1 −x)
1
x2
(2x1 −x)2
−
−
,
w(x, t; x1 ) = √
exp −
exp −
∂x
4Dt
4Dt
4Dt
2 πDt 4Dt
(A.41)
da cui
x 1
x21
1
∂w 1
= √
exp −
= − q(x1 , t) .
−
∂x x=x1 2 πDt
Dt
4Dt
D
(A.42)
A.3 Barriera assorbente
213
Osserviamo, infine, che:
q(x1 , t) = a(x1 , t)n = a(x1 , t)
N
∼ a(x1 , t)Ṅ ,
t
(A.43)
ovvero, q(x1 , t) ∼ probabilità che una particella sia in (x1 , t)× “velocità ”
della particella: esso è un tasso di probabilità di deposito delle particelle sulla
barriera, essendo il prodotto della “velocità” di diffusione delle particelle, Ṅ
(numero di spostamenti effettuati nell’unità di tempo), per la probabilità
che esse arrivino sulla barriera.
214
Random Walk
Appendice B
Excursion Set e funzioni di
massa
. . . e quando miro
quegli ancor più senz’alcun fin remoti
nodi quasi di stelle,
ch’a noi paion qual nebbia, a cui non l’uomo
e non la terra sol, ma tutte in uno,
del numero infinite e della mole,
con l’aureo sole insiem, . . .
La crescita delle perturbazioni è descritta dal contrasto di densità
δ(x, t) legato allo spettro di potenza P (k); quando si studia la teoria
della formazione delle strutture si trova che il valore in corrispondenza
del quale avviene il collasso è circa δc ≃ 1.686 (con deboli dipendenze
da ΩM , ΩΛ →vedi il modello di collasso sferico).
In genere, si può
trasferire la dipendenza temporale di δ(x, t) su δc secondo la relazione
δc (t) = δc D(t0 )/D(t). Nel modello di collasso, ipotizziamo che un elemento
di massa m nella posizione x farà parte di un alone con massa M, nell’istante
t, se e solo se la fluttuazione lineare, centrata in x e filtrata su una sfera di
raggio R ∝ M 1/3 , δf (x, R), ha valore maggiore o uguale alla soglia critica
in quell’istante, ovvero: m(x) ∈ M ⇐⇒ δf (x, R) > δc (t).
216
B.1
Excursion Set e funzioni di massa
Cammini Browniani
Il contrasto δf (x, R) si può scrivere, matematicamente, come convoluzione
di δ(x) con una funzione finestra (dipendente da R) W (x, R),
δf (x, R) = (δ ∗ W )(x, R) :
(B.1)
usando il teorema di Parseval (hf, gi = (2π)−n hfˆ, ĝi, dove n è la dimensione
dello spazio), e sfruttando le proprietà delle trasformate di Fourier, in tre
dimensioni, possiamo scrivere
Z
1
δf (x, R) = (δ ∗ W )(x, R) =
d3 k δ̂(k)Ŵ (kR) =
(2π)3
Z +∞
Z kf
1
1
2
δ̂(k)k 2 dk ≡ δf (x, kf ).
δ̂(k)Ŵ (kR)k dk ≈ 2
=
2π 2 0
2π 0
(B.2)
Nell’ultimo passaggio, abbiamo usato per Ŵ una funzione gradino, ma in
generale, si avrebbe avuto un andamento analogo anche per filtri diversi e
δf (x, R) ≈ δf (x, kf ); kf = 2π/R è il numero d’onda del raggio del filtraggio.
Pertanto, ad ogni punto x possiamo associare una coppia (kf , δf (x, kf )) che
descrive il filtraggio e la fluttuazione corrispondente al numero d’onda del
filtraggio stesso. Però è comodo usare, anziché kf , una coordinata ad essa
legata, la varianza di massa filtrata su scala R(kf ) nello spazio di Fourier:
Z
1
2
2
2
σ = (σ ∗ W )(x, R) =
d3 k P (k)Ŵ 2 (kR)
3
(2π)
Z +∞
Z kf
1
1
2
2
=
P (k)k 2 dk ≡ S(kf ) .
P (k)Ŵ (kR)k dk ≈ 2
2π 2 0
2π 0
(B.3)
Di solito, S(kf ) è una funzione monotona di kf , con S(0) = 0 ed
S(+∞) = +∞, perciò
• se kf ր=⇒ S(kf ) ր: molta dispersione su scale piccole,
• se kf ց=⇒ S(kf ) ց: poca dispersione su scale grandi.
B.1 Cammini Browniani
217
Nello spazio {(S, δf )}, per ogni punto x si può costruire una traiettoria
filtrando (quindi variando S) su scale diverse la distribuzione di massa
intorno al punto x e “misurando” il corrispondente valore di δf (x, Rf ).
Partendo da R −→ +∞, ovvero S(kf ) −→ 0, δf (x, kf ) −→ 0, l’evoluzione
della traiettoria al decrescere della scala di filtraggio sarà tale da allontanarsi
dall’origine (S = 0, R → +∞, δf = 0) in modo stocastico, a seconda di come
la massa si distribuisce attorno a x. Pertanto, la distribuzione di probabilità
delle traiettorie che hanno un certo valore di δf , fissato S, è gaussiana e
soddisfa l’equazione di diffusione. In pratica, c’è una forte analogia con i
cammini browniani classici: infatti, in termini matematici, per un cammino
browniano libero avremo
2
δf
1
Q(δf , S) dδf = √
exp −
dδf .
2S
2πS
(B.4)
Essa è la frazione numerica di traiettorie, ovvero la probabilità di trovare
una traiettoria, nell’intervallo [δf , δf + dδf ], dato S; si noti che Q(δf , S) è
normalizzato all’unità (come deve essere per avere consistenza con il suo
significato):
Z
Q(δf , S)dδf = 1 .
(B.5)
È facile verificare che Q(δf , S) soddisfa l’equazione di diffusione
∂Q
1 ∂2Q
=
.
∂S
2 ∂δf2
(B.6)
Osserviamo che, cosı̀ come la distribuzione dall’origine di una particella
varia casualmente nel tempo, anche le fluttuazioni in densità su una data
scala sono stocastiche e scorrelate, pertanto i contributi dei vari modi k
al campo δf (x, kf ) sono tra di loro indipendenti. Tutto ciò fa sı̀ che la
traiettoria descritta da δf nello spazio bidimensionale {(S, δf )} sia un moto
browniano con S che “imita” il parametro temporale dei cammini classici:
l’equazione (A.20), con la posizione 2Dt = S e x = δf , diventa identica alla
(B.4) e l’equazione di diffusione (A.21) identica alla (B.6).
218
B.2
Modello degli Excursion Set
Dal formalismo dei cammini browniani (vedi [10]) si può derivare la funzione
di massa di Press & Schechter per collasso sferico (vedi Bond et al.(1991),
[7]).
In ogni istante, l’esistenza di δc (t) segna una ordinata limite oltre la quale
c’è collasso. All’aumentare di S, quando il cammino supera per la prima
volta tale soglia, la perturbazione raggiunge una sovraddensità maggiore di
quella critica: ciò avverrà in corrispondenza di una certa ascissa S∗ (legata
ad un numero d’onda, che chiamiamo k∗ , e ad una massa M∗ ∝ k∗−3 ); ovvero,
la traiettoria δf (x, kf ) corrisponderà ad un elemento di fluido appartenente
ad un alone di massa M(S∗ ), al tempo considerato.
Il motivo per cui si richiede che il cammino superi “per la prima volta” δc è
dovuto alla possibile esistenza di sottodensità locali su scale più piccole di
M(S∗ ) (S > S∗ ). In ogni caso ciò non inficia l’appartenenza dell’elemento
di fluido centrato in x all’alone.
Per calcolare la funzione di massa degli aloni di materia oscura, in un dato
istante, bisogna “contare” i vari tipi di traiettoria in riferimento alla soglia
critica δc (t). Ci sono tre possibilità:
1) traiettorie integralmente al di sopra della barriera, da un certo kf in
poi; cioè,
∃ kf∗ :
δf (kf ) < δc (t) ,
∀ kf < kf∗
e
δf (kf ) > δc (t) , ∀ kf > kf∗
(kf è la scala tipica di riferimento);
2) traiettorie che superano la barriera per un certo kf′ e passano al di
sotto per kf′′ > kf′ ; cioè,
∃kf′′ :
∃kf′ :
δf (kf ) < δc (t) , ∀ kf > kf′′ ,
δf (kf ) > δc (t) , ∀ kf ∈ [kf′ , kf′′ ] e δf (kf ) < δc (t) ,
3) traiettorie che sono sempre al di sotto della barriera; cioè,
δf (kf ) < δc (t) ,
∀ kf .
∀ kf < kf′ ;
B.2 Modello degli Excursion Set
219
In particolare, fissata una scala kf = k0 , ovvero S(kf = k0 ) = S0 , è
utile contare le traiettorie di tipo 3: quelle relative a elementi di fluido
appartenenti ad aloni di massa M < M(S0 ). Successivamente passeremo a
quelle complementari.
Calcoliamo la
densità di probabilità di traiettorie che non hanno mai
raggiunto la barriera, cioè relative ad oggetti non collassati: essa sarà
data dalla densità delle traiettorie di tipo 3 cui viene sottratta la densità
delle traiettorie di tipo 2 che sono scese al di sotto della barriera (queste
infatti corrispondono a strutture che vanno considerate già collassate su
scale più grandi, in R, e devono essere escluse dal computo degli oggetti
non collassati).
La distribuzione del numero totale delle traiettorie è
semplicemente
2
δf
1
QT (δf , S) = √
exp −
.
2S
2πS
(B.7)
La distribuzione di tipo 2 può essere ricavata considerando la tecnica dei
punti immagine discussa nella precedente appendice: quando il cammino δf
incrocia δc (t) ha uguale probabilità di spostarsi verso l’alto o verso il basso
e i due cammini saranno simmetrici rispetto all’asse δf = δc (t). Questo vuol
dire che per ogni traiettoria che parte da (0, 0), ce ne sarà una speculare
che parte da (0, 2δc ) (vedi [10]); questa seconda possibile traiettoria virtuale
scende poi fino ad intersecare la prima in δf = δc (t). In altri termini la
traiettorie di tipo 2 sono una combinazione di traiettorie in parte ascendenti
- da (0, 0) - e in parte discendenti - da (0, 2δc ). La densità di probabilità
associata alle traiettorie virtuali centrate in (0, 2δc ) è
1
[δf − 2δc (t)]2
QV (δf , S, Sc (t)) = √
exp −
,
2S
2πS
(B.8)
in analogia con quanto detto nell’appendice sui cammini stocastici (random
walk ) e con [10]. Queste sono da sottrarre nel calcolo della densità totale,
perché descrivono un campo δf che, originariamente, è già al di sopra della
soglia e che per questo dobbiamo escludere. Le traiettorie che partono da
(0, 0), invece, vengono considerate - finché δf < δc (t) - quando “contiamo” le
220
traiettorie totali al di sotto della soglia tramite la distribuzione precedente
QT (δf , S). Praticamente, il problema è molto simile a quello delle barriere
assorbenti, in particolare, nel nostro caso, l’assorbimento di una traiettoria
da parte della barriera equivale al collasso della perturbazione sulla scala in
corrispondenza della quale la traiettoria viene assorbita. Lo stesso vale per
tutte le traiettorie relative ad oggetti collassati.
La distribuzione risultante delle traiettorie che, al tempo t, non hanno mai
toccato la barriera è, allora,
Q(δf , S, δc (t)) = QT (δf , S) − QV (δf , S, Sc (t)) ,
(B.9)
ossia, in forma esplicita:
1
Q(δf , S, Sc (t)) = √
2πS
2
δf
[δf − 2δc (t)]2
exp −
− exp −
.
2S
2S
(B.10)
L’espressione per Q soddisfa l’equazione di diffusione (B.6) delle traiettorie
stocastiche, relative agli elementi di fluido, con la condizione che quelle
intersecanti la soglia δc (t) vengano assorbite. Formalmente essa è simile a
quella derivata nella precedente appendice (vedi equazioni (A.30), (A.39),
(A.42)).
È proprio questo discorso che risolve il problema di Press &
Schechter del fattore 2 mancante: esso nasce perché ci si limita ad integrare
la distribuzione gaussiana da δc (t) fino a +∞, senza considerare l’addendo a
destra della (B.10), che deriva, come detto, da oggetti che vanno considerati
già collassati (traiettorie di tipo 2.) ed esclusi dal calcolo di quelli non
collassati.
La frazione (probabilità) di traiettorie che, al tempo t, ancora non hanno
superato la barriera δc (t) è quindi
Z
P (S, δc (t)) =
δc (t)
Q(δf , S, Sc (t)) dδf
(B.11)
−∞
e la frazione (probabilità) di traiettorie che, al tempo t, hanno invece
superato la barriera è semplicemente la quantità complementare:
Z +∞
P̄ (S, δc (t)) = 1 − P (S, δc (t)) =
Q(δf , S, Sc (t)) dδf .
δc (t)
(B.12)
B.3 Funzione di massa differenziale
221
spesso indicata come segue:
P (< S, t) ≡ P̄ (S, δc (t)).
(B.13)
S = S(kf ) = S(kf (R)) = S(kf (R(M))) = S(M) .
(B.14)
Osserviamo che
B.3
Funzione di massa differenziale
Consideriamo la distribuzione di probabilità delle traiettorie che, al tempo
t, hanno superato la barriera, per unità di varianza S:
∂ P̄
∂
p(S, δc (t)) ≡
(S, δc (t)) = −
∂S
∂S
Z
δc (t)
Q(δf , S, δc (t)) dδf .
(B.15)
−∞
Sfruttiamo l’equazione di diffusione (B.6), dopo aver portato la derivata
sotto il segno di integrale,
1
p(S, δc (t)) = −
2
= √
Z
δc (t)
−∞
δc (t)
2πS 3/2
δ (t)
∂2Q
1 ∂Q c
=
dδf = −
∂δf2
2 ∂δf −∞
2 δ (t)
,
exp − c
2S
(B.16)
ossia
2 δ (t)
δc (t)
exp − c 2 .
P (σ, δc (t)) = √
2σ
2πσ 3
(B.17)
Poichè, dalla (B.14), S è funzione di M, effettuiamo un cambio di variabile
come segue:
p(S, δc (t)) =
∂ P̄
df (S)
(S, δc (t)) ≡
,
∂S
dS
(B.18)
cioè passiamo dalla variabile P̄ alla variabile f , perché cosı̀ si ha la derivata
totale
df
dS
anziché la derivata parziale
∂ P̄
;
∂S
a parte i dettagli matematici, P̄ ed
f rappresentano la stessa distribuzione di probabilità, scritta esplicitando
le dipendenze in due modi diversi (ma consistenti). Scriviamo
df (S) dS df (S) S d ln S df (M)
=
;
=
dM
dS dM dS M d ln M (B.19)
222
allora, per la (B.18),
2 df (M)
δc (t)
S d ln S δ (t) 1
=√
= p(S, δc (t)) exp − c
dM
M d ln M
2S M
2πS 2
2 d ln σ(kf ) δc (t)
δc (t)
=
= √
exp − 2
2σ (kf ) M d ln M 2π σ(kf )
r
δc2 (t)
2 δc (t) 1 d ln σ(kf ) =
exp − 2
π σ(kf ) M d ln M 2σ (kf )
d ln S d ln M =
(B.20)
La (B.20) è la frazione di massa collassata (frazione di oggetti collassati
per intervallo di massa). La densità numerica di aloni con massa M, in
un volume V , in un certo istante t (o se vogliamo ad un certo redshift z),
contenente una massa totale MT ot , è, banalmente,
dn
df 1 MT ot
df ρ
≡
=
,
dM
dM V M
dM M
(B.21)
essendo ρ la densità del volume considerato; quindi
dn
(M) =
dM
r
δc2 (t)
2 ρ δc (t) d ln σ(kf ) exp − 2
.
π M 2 σ(kf ) d ln M 2σ (kf )
(B.22)
Essa è nota comunemente come funzione di massa.
Il modello degli excursion set ha problemi nel contare aloni poco massivi,
ma per M > M∗ , con M∗ opportuno, è in ottimo accordo con i dati delle
simulazioni N-body e, inoltre, la funzione di massa differenziale è molto
poco sensibile alle particolari scelte dei filtri.
Modi alternativi di scrivere la funzione di massa
Def.:
δc (t)
df
ν=
=⇒
=
σ(M)
d ln ν
r
2
2
ν
;
ν exp −
π
2
(B.23)
da cui
df
=
dν
r
r
2
2
dn
ν
ν
2
2 ρ
=⇒
exp −
=
exp −
π
2
dν
π M
2
(B.24)
B.4 Funzione di massa condizionale
223
e in funzione di σ e σ 2 :
r
dn
2 ρ δc (t) 1 d ln σ 2 (kf ) δc2 (t)
exp − 2
=
=
dM
π M 2 σ(kf ) 2 d ln M 2σ (kf )
r
2 ρ δc (t) dσ(kf ) δc2 (t)
exp − 2
=
=
π M σ 2 (kf ) dM 2σ (kf )
r
2 ρ δc (t) dσ 2 (kf ) δc2 (t)
exp − 2
.
(B.25)
=
π M 2σ 3 (kf ) dM 2σ (kf )
B.4
Funzione di massa condizionale
Con il formalismo sopra introdotto si può costruire un insieme di risultati
utili a studiare le proprietà di merging (si veda ad esempio [23] e [24]). Esse
costituiscono quello che è comunemente detto modello di Press-Schechter
esteso. Perché si abbia merging, bisogna richiedere che un alone di massa M1
e varianza S1 , al tempo t1 , abbia massa M2 e varianza S2 , al tempo t2 , con
t1 < t2 , M1 < M2 , S1 > S2 . In uno scenario di merging, nel piano {(S, δf )},
si avrà una evoluzione delle traiettorie δf (S) verso sinistra all’aumentare del
tempo, visto che si aspetta un aumento delle dimensioni, e un conseguente
decremento di kf e S(kf ) = σ 2 (kf ) dell’oggetto collassato, in virtù di eventi
di merging fra aloni diversi. Ora, dato un alone di massa M2 e varianza S2 ,
nell’istante t2 , determiniamo come tale massa sia stata precedentemente
distribuita in aloni di massa M1 < M2 , in un certo istante t1 < t2 : allo
scopo, basta calcolare la probabilità condizionata p(in.|f in.):
df
(S1 , δc (t1 )|S2 , δc (t2 )) =
dS
δc (t1 ) − δc (t2 )
[δc (t1 ) − δc (t2 )]2
= √
.
exp −
2(S1 − S2 )
2π(S1 − S2 )3/2
(B.26)
p(S1 , δc (t1 )|S2 , δc (t2 )) =
Osserviamo che: S1 − S2 > 0, δc (t1 ) − δc (t2 ) > 0.
In funzione della massa dell’alone progenitore M1 , si ha
dS1 ,
p(M1 , t1 |M2 , t2 ) = p(S1 , δc (t1 )|S2 , δc (t2 )) dM1 (B.27)
224
dove
σ2
dS1
=2 1
dM1
M1
d ln σ1 d ln M1 ,
(B.28)
e, come nel caso precedente, si arriva alla funzione di massa dei progenitori :
sia p(S1 , S2 ) =
df
,
dS1
allora, come prima,
df ρ
dn
(M1 ) =
=
dM1
dM1 M1
r
2 [δc (t1 ) − δc (t2 )] σ12 ρ d ln σ1 [δc (t1 ) − δc (t2 )]2
=
exp −
.
π 2(σ12 − σ22 )3/2 M12 d ln M1 2(σ12 − σ22 )
(B.29)
Appendice C
Formalismo generale nella
Teoria dei Campi classica
. . . le nostre stelle
o sono ignote, o cosı̀ paion come
essi alla terra, un punto
di luce nebulosa; al pensier mio
che sembri allora, o prole
dell’uomo?
Leopardi
Esistono vari modi di studiare evoluzione e proprietà di un dato
processo fisico, in particolare, il formalismo più adatto, soprattutto nelle
teorie di campo, è quello lagrangiano (vedi, ad esempio, [26] e [13]).
Classicamente, assegnata una funzione lagrangiana che descrive, tramite
opportune coordinate generalizzate, il sistema fisico considerato, è possibile,
a partire da un principio di minima azione, derivare le equazioni del moto
per ciascuna quantità coinvolta.
C.1
Equazioni del moto
Esprimiamo matematicamente il concetto appena discusso. Se L(qi , q̇i ) è la
lagrangiana e qi sono le coordinate generalizzate, allora si definisce l’azione
come
S≡
Z
L(qi , q̇i ) dt
(C.1)
226
Formalismo generale nella Teoria dei Campi classica
e si impone che la sua variazione δS sia nulla (δS = 0) lungo un cammino
con estremi fissi. In tal modo si ricavano le equazioni di Eulero-Lagrange
che regolano l’evoluzione del sistema:
d ∂L ∂L
−
= 0.
dt ∂ q̇i ∂qi
(C.2)
Per generalizzare la procedura e semplificare i conti, può essere comodo
considerare non una lagrangiana, ma una densità di Lagrangiana L che
possa dipendere dalle coordinate e dalle loro derivate:
Z
L(q, q,µ ) ≡ L (q, q,µ) dV ,
(C.3)
con dV elemento di volume spaziale dx1 dx2 dx3 , q vettore delle coordinate
lagrangiane e gli indici greci variabili, al solito, da 0 a 3; in tal caso l’azione
è definita da
S≡
Z
L (q, q,µ ) dV dt ;
(C.4)
la precedente si mette, spesso, nella forma più elegante
Z
1
L (q, q,µ ) dΩ ,
S≡
c
(C.5)
dove l’elemento infinitesimo spaziotemporale è dΩ = dx0 dx1 dx2 dx3 ≡ d4 x,
con x0 = ct e xi indicanti le coordinate spaziali.
Nel nostro caso, le
coordinate xα sono quelle che parametrizzano la varietà. L’annullamento
della variazione dell’azione porge
Z
1
∂L
∂L
δS =
dΩ
δq +
δq,µ = 0 ,
c Ω
∂q
∂q,µ
ovvero
1
c
Z
dΩ
Ω
∂L
δq + ∂µ
∂q
∂L
∂L
δq − ∂µ
δq = 0 .
∂q,µ
∂q,µ
Nell’espressione precedente, per semplicità è stato posto L ≡ L (q, q,µ );
il secondo addendo non contribuisce alle equazioni del moto, essendo una
quadridivergenza1 e per il teorema fondamentale del calcolo variazionale, le
1
Possiamo pensare al teorema di Gauss: dato un campo f , il flusso di f attraverso
l’ipersuperficie orientata dSµ vale
Z
Z
Φ(f ) =
f dSµ =
∂µ f dΩ;
∂Ω
Ω
C.1 Equazioni del moto
227
equazioni di Eulero-Lagrange diventano
∂µ
∂L
∂L
−
= 0.
∂q,µ
∂q
(C.6)
Queste generalizzano le equazioni (C.2).
Fino ad ora, abbiamo implicitamente assunto che la metrica sia
minkowskiana, però se ciò non è vero l’elemento di volume non si conserva.
√
La quantità invariante che allora va usata è −g dΩ e l’azione è
Z
√
1
(C.7)
S≡
L (q, q,µ ) −g dΩ .
c
√
Il riflesso nelle equazioni (C.6) è la sostituzione di L con L −g o,
equivalentemente, delle derivate con le derivate covarianti: si ottiene
∇µ
∂L
∂L
−
= 0.
∂(∇µ q)
∂q
(C.8)
Osserviamo, in riferimento alle integrazioni dei tensori, che queste, di per sé,
non hanno senso, visto che non è possibile sommare tensori in punti diversi e
ottenere ancora un tensore. Le integrazioni sono sensate solo se l’integrando,
nel suo complesso, si comporta da scalare, infatti in tal caso, possiamo
calcolare l’integrando in punti diversi e, sommando, ottenere ancora uno
scalare che soddisfa la condizione φ′ (x1 ) + φ′ (x2 ) = φ(x1 ) + φ(x2 ), essendo
φ lo scalare calcolato nei punti x1 e x2 della varietà e φ′ il suo trasformato.
In generale, una densità di peso p è tale se, per definizione, l’espressione
a...
della sua derivata covariante ∇c Tb...
coincide con l’espressione valida per
a...
tensori più il termine additivo −pΓddc Tb...
, cioè
a...
∇c Tb...
=
a...
∂Tb...
d...
a...
a...
+ Γadc Tb...
− Γdbc Td...
+ · · · − pΓddc Tb...
.
∂xc
(C.9)
Il peso p è determinato dalla potenza dello Jacobiano della trasformazione:
per una densità vettoriale di peso +1 risulta ∇a T a = ∂a T a ; per le metriche
g
µ′ ν ′
in quattro dimensioni si ha
dSα =
∂xµ ∂xν
= µ′ ν ′ gµν
∂x ∂x
(C.10)
1
ǫαβγδ dxβ dxγ dxδ .
3!
Esplicitamente,
le
componenti
della
superficie
orientata
sono (dx1 dx2 dx3 , dx0 dx2 dx3 , dx0 dx1 dx3 , dx0 dx1 dx2 ). In pratica, essa è la proiezione sul piano
xα = costante dell’elemento di volume quadridimensionale dΩ.
228
e il loro determinante, g = det gµν , segue la legge di trasformazione
µ 2
∂x g = µ′ g ,
∂x
′
(C.11)
quindi è una densità tensoriale di peso 2, mentre, supposto −g > 0,
√
−g ha peso p = 1. Ora in quanto scalare, la lagrangiana non ha
peso, invece l’elemento di volume d Ω ha peso p = −1; la combinazione
√
L −g dΩ, globalmente, ha peso nullo, si comporta cioè da scalare ed ha
senso farne l’integrale su tutta la varietà o su regioni di questa. Ciò giustifica
ulteriormente l’estensione fatta con la definizione (C.7).
C.2
Tensore energia-impulso
Oltre alle equazioni del moto, dall’azione si può risalire anche al tensore
energia-impulso, dal quale si ricava immediatamente l’equazione di stato di
un dato sistema fisico: vediamo come.
Variando l’azione, si ha:
Z
Z
√
√
1
1
δS = δ
dΩ −g L =
dΩ δ( −gL ) =
c
c
)
( √
√
Z
1
∂( −g L ) µν
∂( −g L )
dΩ
δgµν +
δg ,λ . (C.12)
c
∂g µν
∂g µν,λ
I termini variati rispetto alle coordinate forniscono le equazioni di EuleroLagrange, quindi la loro somma è complessivamente nulla. Manipolando il
secondo addendo nella (C.12) ed integrando per parti (ovvero sfruttando il
teorema di Gauss), si ha
1
δS =
c
Z
dΩ
(
)
√
√
∂( −g L )
∂( −g L )
− ∂λ
δg µν = 0 ;
∂g µν
∂g µν,λ
(C.13)
definiamo il tensore energia-impulso Tµν :
√
√
√
−g
∂( −g L )
∂( −g L )
Tµν ≡
− ∂λ
;
2
∂g µν
∂g µν,λ
(C.14)
C.2 Tensore energia-impulso
229
allora
√
Z
√
1
= −
dΩ −g T µν δgµν = 0 ,
2c
1
δS =
2c
Z
(C.15)
(C.16)
avendo usato g µν gµν = 1, da cui δg ρσ = −g ρµ g σν δgµν . Grazie alle precedenti
uguaglianze, il tensore energia-impulso viene anche scritto come:
2c δS
,
Tµν = √
−g δg µν
(C.17)
oppure, in forma contravariante,
2c δS
.
T µν = − √
−g δgµν
(C.18)
Le espressioni (C.14), (C.17) e (C.18) sono definizioni equivalenti del tensore
energia-impulso Tµν . Inoltre, esse non sono arbitrarie, perché danno un
tensore simmetrico e covariantemente conservato; infatti, sviluppando g µν
in un intorno “piccolo” del generico punto xλ si ha
g µν (xλ + ξ λ ) ≃ g µν (xλ ) + ξ λ g µν,λ
(C.19)
con ξ λ ≪ xλ , e sotto una trasformazione di coordinate abbiamo (evitando
di esplicitare la dipendenza da xλ ):
′ ′
ν
µ
g µ ν = g µν + g µβ ξ,β
+ g αν ξ,α
− ξ λ g µν,λ ≡ g µν + δg µν ,
(C.20)
ν
µ
δg µν = g µβ ξ,β
+ g αν ξ,α
− ξ λ g µν,λ = ξ ν,µ + ξ µ,ν − ξ λg µν,λ ;
(C.21)
essendo
si verifica, poi, che
δg µν = ξ µ;ν + ξ ν;µ .
(C.22)
230
Usando la relazione (C.22) nell’espressione (C.15), troviamo
Z
√
1
δS =
2c
Z
√
1
dΩ −g Tµν (ξ µ;ν + ξ ν;µ ) =
=
2c
Z
√
1
dΩ −g Tµν ξ µ;ν =
=
c
Z
√
1
dΩ −g Tµ ν ξ µ;ν =
=
c
Z
h
i
√
1
dΩ −g Tµ ν ξ µ ;ν − Tµ ν;ν ξ µ =
=
c
Z
√
1
= −
dΩ −g Tµ ν;ν ξ µ = 0 ,
c
(C.23)
dove si è tenuto conto della simmetria di Tµν , fra il secondo e terzo passaggio,
e del teorema di Gauss, per l’ultimo passaggio. In conclusione, il lemma
fondamentale del calcolo variazionale ci permette di scrivere
Tµ ν;ν = 0 ,
(C.24)
che rappresenta le quattro equazioni di conservazione del tensore energiaimpulso.
Ovviamente, noto Tµν , è banale risalire all’equazione di stato, essendo il
termine di componenti (0, 0) la densità di energia e i termini diagonali
relativi alla pressione.
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cosmological
model
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BIBLIOGRAFIA
Ringraziamenti
...falsus honor iuvat quem?
Orazio
Desidero ringraziare il Professor Lauro Moscardini ed il Dottor Klaus
Dolag, per la supervisione al lavoro, per gli utili consigli e per le stimolanti
discussioni.
Un ulteriore ringraziamento va al “neo” fisico teorico Michele Maio, per
aver dato un importante contributo alla stesura del testo, e ai miei genitori,
per il supporto morale e la continua presenza.
Infine, voglio ricordare tutti coloro che, direttamente o indirettamente,
hanno partecipato al mio lavoro ed i miei amici che, purtroppo,
presto abbandonerò; in particolare, Gerardo, Giuseppe, Ruggero, Lorenzo,
Sebastian, Marco, Antonio, Carmelo, Giuseppe, Andrea, Federica, Filomena,
Nicoletta e (soprattutto) Annamaria: essi con il loro sorriso hanno di certo
aggiunto qualcosa a questo “frammento di vita”.

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