Il Modello Binomiale

Introduzione alla Programmazione e Applicazioni per la
Finanza M2 (Prodotti Derivati)
Lezione 2
Anno accademico 2005-06
Titolare corso: Prof. Costanza Torricelli
Docente a contratto: Dott. Marianna Brunetti
Il Modello Binomiale
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I modelli di Pricing: Il Modello Binomiale
Modello Binomiale Uniperiodale – Esempio in Excel
Ø 2 istanti di tempo: t=0, t=1
Ø 3 titoli: azione (A), obbligazione (B), call europea (C)
55
1. Aè
50
48.5
2. B è 1
1.06
3. C è ???
5
0
Non-Arbitraggio è combino azione e obbligazione x replicare la call
up → 55 A + 1.06 B = 5
down → 48.5 A + 1.06 B = 0
A = 0.769
B = −35.196
Il Modello Binomiale
C = 3.2656
2
Modello Binomiale Uniperiodale – Generalizzando…
Ø 2 istanti di tempo: t=0, t=1
Ø In t=1, 2 possibili stati del mondo:
1. Up è
qu
2. Down è
qd
Prezzi in t=0 Azione (A) e Obbligazione (B) con le risk-neutral probabilities sono:
A →qu [S0 (1+ u)] + qd [S0 (1+ d )] = S0
B →qu (1+ r) + qd (1+ r) =1
qu =
r −d
u−r
qd =
(1+ r )(u − d )
(1+ r)(u − d )
C = qu [Max(S (1 + u ) − X ;0)] + qd [Max(S (1 + d ) − X ;0)]
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Verifica in Excel
1. Risk-neutral probabilities
A
B
C
D
1 u
10%
2 d
-3%
3
4 S0
50
5 r
6%
6 X
50
7
8 Risk-neutral probabilities
9 qu
0.653
10 q d
E
=(B5-B2)/((1+B5)*(B1-B2))
0.29 =(B1-B5)/((1+B5)*(B1-B2))
2. Prezzi Azione, Obbligazione e Call Europea
Verifica prezzi
Prezzo A
Prezzo B
Prezzo C
50 =B22*C9+B23*C11
1.06 =1/(B22+B23)
3.2656 =B22*M9+B23*M11
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Consideriamo una Put Europea (P):
0
Pè
???
1.5
P = qu [Max( X − S (1 + u );0)] + qd [Max( X − S (1 + d );0)]
Oppure, se già abbiamo il prezzo della corrispondente Call (C)
possiamo sfruttare la Put-Call Parity
Prezzo Put
Prezzo P
0.43541 =B22*C33+B23*C35
Put-call Parity 0.43541 =B29+B6/(1+B5)-B4
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Modello Binomiale Biperiodale – Esempio in Excel
Ø 3 istanti di tempo: t=0, t=1, t=2 (e quindi 2 periodi)
Ø 3 titoli: azione (A), obbligazione (B), call europea (C)
t=0
t=2
t=1
60.50
55
1. Aè
50
53.35
48.5
47.05
2. B è
1
1.06
1.1236
10.50
3. C è
???
???
Caso Up
3.35
???
0.00
Caso Down
La Call va prezzata a ritroso (procedimento backward)!
Usiamo le risk-neutral probabilities prima nei 2 “sottocasi” (Up e Down) in t=1 e
poi in t=0
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Modello Binomiale Biperiodale – Esempio in Excel (2)
In t=1
Caso Up è
C = qu (10.5) + qd (3.35)
Caso Down è
u
C = qu (3.35) + qd (0)
d
10.50
7.830
3.35
3.35
2.188
0.00
In t=0
10.50
7.830
C=
5.749
3.35
2.188
0.00
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Modello Binomiale Multiperiodale – Esempio in Excel
Consideriamo:
• 5 istanti di tempo
• S=50, u=10%, d=-3%
• r=6%
• X=50
Valutazione a Ritroso:
r −d
qu =
= 0.6531
(1+ r)(u − d )
qd =
u −r
= 0.2903
(1 + r )(u − d )
C = 10.4360
Valutazione alternativa (per opzioni europee):
 n  i n −i
C = ∑   qu qd Max S ( 1 + u )i ( 1 + d )n − i − X ;0
i =0  i 
n
 n  i n−i
P = ∑   qu qd Max X − S ( 1 + u )i ( 1 + d )n − i ;0
i =0  i 
n
(
)
(
)
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Modello Binomiale Multiperiodale – Esempio in Excel (2)
Prezzo
finale
azione
Ritorno
finale
opzione
Numero di
movimenti
"up"
Numero di
movimenti
"down"
Prezzo
nello stato
del mondo
Numero
di sentieri
73.2050
23.2050
4
0
0.1820
1
Valore =
ritorno *
prezzo *
# sentieri
4.2224
64.5535
14.5535
3
1
0.0809
4
4.7078
56.9245
6.9245
2
2
0.0359
6
1.4933
50.1970
0.1970
1
3
0.0160
4
0.0126
44.2646
0.0000
0
4
0.0071
1
0.0000
Valore Opzione
• Prezzo nello stato del mondo è
qu
# up
* qd
10.4360
# down
n
• Numero sentieri è   dove n= periodi, i= movimenti up
i 
• Valore ad oggi è numero sentieri*prezzo*ritorno
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Modello Binomiale per Opzioni Americane
Ø Procedimento backword
Ø Ad ogni nodo il valore dell’opzione è il Max tra:
• Payoff (se esercitata)
• Valore attuale atteso sotto le risk-neutral probabilites dei payoff nei due nodi
collegati al tempo successivo (se esercizio anticipato non conviene)
Esempio in Excel
• 3 istanti di tempo: t=0, t=1, t=2
• azione, obbligazione, call americana (CA), put americana (PA)
• S=50, u=10%, d=-3%
• r=6%
• X=50
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Modello Binomiale per Opzioni Americane – Esempio in Excel(ctd)
10.5000
Call Americana è
7.83
5.749
3.3500
2.19
0.0000
NB= Il pricing non
cambia (infatti
l’azione nn
distribuisce
dividendi)
0.0000
0
Put Americana è
0.4354
0.0000
1.5
2.9550
0.0000
Put Europea è
0
0.2490
0.0000
0.8578
NB= La Put
Americana vale
di più poiché
intrinseca il
valore
dell’esercizio
anticipato
2.9550
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Modello Binomiale per Opzioni Esotiche – Esempio in Excel
Consideriamo:
• 4 istanti di tempo: t=0, t=1, t=2, t=3
• call americana
• S=100, u=10%, d=-5%
•r=6%
•X varia nel tempo è X t
21.100
16.000
11.583
CA = 8.368
2.950
2.041
1.412
0.000
0.000
0.000
? = Se e dove conviene l’esercizio anticipato?
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