Quesiti - Matefilia
Transcript
Quesiti - Matefilia
www.matefilia.it PNI 2008 โ SESSIONE STRAORDINARIA - QUESITI QUESITO 1 Fra le piramidi quadrangolari regolari di data area laterale S, si determini quella di volume massimo. La superficie laterale della piramide è: ๐ = ๐ โ ๐ = 2๐ โ ๐, essendo l lo spigolo di base ed a lโapotema. 1 1 Il volume è: ๐ = 3 ๐ด๐ โ โ = 3 ๐ 2 โ ๐ ๐ Posto ๐ = ๐ฅ (๐ฅ > 0), si ha: ๐ = 2๐ = 2๐ฅ , โ = โ๐2 โ ๐2 4 ๐2 = โ4๐ฅ 2 โ ๐ฅ2 4 = โ๐ 2 โ๐ฅ 4 2๐ฅ Quindi: 1 1 ๐ = 3 ๐2 โ = 3 ๐ฅ 2 โ๐ 2 โ๐ฅ 4 2๐ฅ 1 = 6 ๐ฅโ๐ 2 โ ๐ฅ 4 ; V è massimo se lo è: ๐ฆ = ๐ฅ 2 (๐ 2 โ ๐ฅ 4 ) Risolviamo il problema per via elementare (il metodo delle derivate è usato più frequentemente): 1 ๐ฅ 2 (๐ 2 โ ๐ฅ 4 ) = (๐ฅ 4 )2 โ (๐ 2 โ ๐ฅ 4 ) Si tratta del prodotto di due potenze la cui somma delle basi (๐ฅ 4 ๐ ๐ 2 โ ๐ฅ 4 ) è costante (๐ 2 ); tale prodotto è massimo quando le basi sono proporzionali agli esponenti: ๐ฅ4 ๐2 โ ๐ฅ4 = , 1 1 2 4 3๐ฅ 4 = ๐ 2 , ๐ฅ = โ ๐2 3 4 ๐2 Il volume della piramide è massimo quando il lato della base è โ 3 . Liceo Scientifico PNI 2008 Sessione Straordinariaโ Questionario 1/ 7 www.matefilia.it QUESITO 2 Si calcoli il limite della funzione log ๐ ๐๐๐ฅ , log ๐ก๐๐ ๐ฅ quando x tende a 0. Il limite si presenta nella forma indeterminata โ/โ. Intendiamo il logaritmo nella base e. Quando x tende a zero (esattamente a zero più, altrimenti senx è negativo e non avrebbe senso log senx), le funzioni al numeratore e al denominatore sono continue ed hanno derivata: ๐๐๐ ๐ฅ ๐ท(log ๐ ๐๐๐ฅ) = ๐ ๐๐๐ฅ : esiste in un intorno destro di 0; ๐ท(log ๐ก๐๐๐ฅ) = 1/ cos2 ๐ฅ ๐ก๐๐๐ฅ 1 = ๐ ๐๐๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ : esiste in un intorno destro di 0 e non si annulla. Sono quindi verificate le ipotesi del teorema di de LโHศpital. Vediamo se esiste il limite del rapporto delle derivate: ๐๐๐ ๐ฅ ๐ ๐๐๐ฅ lim = lim+ cos 2 ๐ฅ = 1 1 ๐ฅโ0+ ๐ฅโ0 ๐ ๐๐๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ Senza utilizzare la regola di de LโHศpital: log ๐ ๐๐๐ฅ log ๐ ๐๐๐ฅ = = log ๐ก๐๐ ๐ฅ log ๐ ๐๐๐ฅ โ log ๐๐๐ ๐ฅ log ๐ ๐๐๐ฅ 1 = โ 1 ๐ ๐ ๐ฅ โ 0+ log ๐๐๐ ๐ฅ log ๐๐๐ ๐ฅ log ๐ ๐๐๐ฅ (1 โ ) 1โ log ๐ ๐๐๐ฅ log ๐ ๐๐๐ฅ Il limite della funzione per x che tende a 0 è quindi 1. QUESITO 3 Si provi se per la funzione ๐(๐ฅ) = |๐ฅ + 1| โ 2๐ฅ , nellโintervallo [-2;3], sono verificate le condizioni previste per la validità del teorema di Lagrange e, in caso affermativo, si trovi il punto in cui si verifica la tesi del teorema stesso. La funzione deve essere continua nellโintervallo chiuso e derivabile nellโintervallo aperto. Osserviamo che la funzione equivale a: Liceo Scientifico PNI 2008 Sessione Straordinariaโ Questionario 2/ 7 www.matefilia.it Se ๐ฅ โฅ โ1 โถ ๐(๐ฅ) = ๐ฅ + 1 โ 2๐ฅ = 1 โ ๐ฅ Se < โ1 โถ ๐(๐ฅ) = โ๐ฅ โ 1 โ 2๐ฅ = โ1 โ 3๐ฅ Quindi: ๐(๐ฅ) = { โ1 โ 3๐ฅ, ๐ ๐ โ 2 โค ๐ฅ < โ1 1 โ ๐ฅ , ๐ ๐ โ 1 โค ๐ฅ โค 3 Analizziamo il punto critico x=-1; la funzione è continua; vediamo se è derivabile: Se ๐ฅ < โ1 ๐ โฒ (๐ฅ) = โ3 , se ๐ฅ > โ1 ๐ โฒ (๐ฅ) = โ1 Quindi la funzione non è derivabile in x=-1, che fa parte dellโintervallo aperto (-2; 3): la funzione non soddisfa il teorema di Lagrange nellโintervallo indicato. QUESITO 4 Si determini il campo di esistenza della funzione ๐ฆ = (๐ฅ 2 + 3๐ฅ)โโ2โ๐ฅ . 2 {๐ฅ + 3๐ฅ > 0 โ2 โ ๐ฅ โฅ 0 โช ๐ฅ < โ3 ๐ฃ ๐ฅ > 0 { ๐ฅ โค โ2 ๐ฅ < โ3 โช { ๐ฅ 2 + 3๐ฅ = 0 โโ2 โ ๐ฅ > 0 โช ๐ฅ = 0, ๐ฅ = โ3 { ๐ฅ < โ2 ๐ฅ = โ3 Il dominio della funzione è quindi: โโ < ๐ฅ โค โ3 . QUESITO 5 Siano dati un triangolo equilatero, il cerchio in esso inscritto e il triangolo equilatero inscritto nel cerchio. Si scelga a caso un punto allโinterno del triangolo maggiore: si determini la probabilità che tale punto risulti interno al triangolo minore. Liceo Scientifico PNI 2008 Sessione Straordinariaโ Questionario 3/ 7 www.matefilia.it Il lato del triangolo inscritto nel cerchio è la metà del lato del triangolo circoscritto ( i vertici B, C, D del triangolo minore sono i punti medi dei lati del triangolo più grande), quindi la sua area è la quarta parte dellโare del triangolo circoscritto, pertanto: ๐= ๐ด๐๐๐(๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐ก๐ก๐) 1 = = 0.25 ๐ด๐๐๐(๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ก๐ก๐) 4 La probabilità richiesta è quindi 1/4. QUESITO 6 Alla prova orale di un concorso sono stati ammessi 9 maschi e 7 femmine. Sappiamo che saranno assunte 5 persone. Qual è la probabilità che siano assunti 2 maschi e 3 femmine? Abbiamo 16 persone; le possibili cinquine sono date dalle combinazioni di 16 oggetti a 5 a 5: ๐ถ16,5 = ( 16 16 โ 15 โ 14 โ 13 โ 12 )= = 4368 5 5! Le possibili coppie di maschi sono date dalle combinazioni di 9 oggetti a 2 a 2: 9 9โ8 ๐ถ9,2 = ( ) = = 36 2 2! Le possibili terne di femmine sono date dalle combinazioni di 7 oggetti a 3 a 3: 7 7โ6โ5 ๐ถ7,3 = ( ) = = 35 3 3! Le cinquine favorevoli (2 maschi e 3 femmine) sono 36 โ 35 ; la probabilità richiesta è: ๐= (29) โ (73) (16 ) 5 = 36 โ 35 15 = โ 0.288 = 28.8 % 4368 52 QUESITO 7 Si dimostri che lโequazione ๐๐๐ ๐ฅ + ๐ฅ = 0 ha unโunica radice reale e se ne calcoli un valore approssimato con due cifre decimali esatte. Intendiamo log come logaritmo naturale (ln). Dire ๐๐๐ฅ + ๐ฅ = 0 è come dire ๐๐๐ฅ = โ๐ฅ; graficamente si ha la seguente situazione: Liceo Scientifico PNI 2008 Sessione Straordinariaโ Questionario 4/ 7 www.matefilia.it Dal grafico si deduce che lโequazione ammette una sola radice, compresa tra 0 e 1. Restringiamo lโintervallo a cui appartiene la radice considerando la funzione ๐(๐ฅ) = ๐๐๐ฅ + ๐ฅ ; ๐(1) = 1, ๐(0.5) = ln(0.5) + 0.5 โ โ0.2 , ๐(0.6) โ 0.1 Quindi la radice (unica) è compresa tra 0.5 e 0.6. La funzione è continua nellโintervallo [0.5; 0.6], ha derivata prima e seconda uguale a: 1 1 ๐ โฒ (๐ฅ) = ๐ฅ + 1, ๐ โฒโฒ (๐ฅ) = โ ๐ฅ 2 < 0 in tutto lโintervallo considerato. Possiamo quindi applicare il metodo delle tangenti. Posto [a; b]=[0.5; 0.6], essendo ๐(0.5) < 0 ๐๐ ๐(0.6) > 0, il segno della derivata seconda è concorde con f(a), quindi assumiamo come punto iniziale dellโiterazione ๐ฅ0 = ๐ = 0.5 . ๐ฅ๐+1 = ๐ฅ๐ โ ๐(๐ฅ๐ ) ๐โฒ(๐ฅ๐ ) ๐ฅ1 = ๐ฅ0 โ ๐(๐ฅ0 ) ๐(0.5) = 0.5 โ โ 0.5644 ๐ โฒ (๐ฅ0 ) ๐ โฒ (0.5) ๐ฅ2 = ๐ฅ1 โ ๐(๐ฅ1 ) ๐(0.5644) = 0.5644 โ โฒ โ 0.5671 โฒ ๐ (๐ฅ1 ) ๐ (0.5644) ๐ฅ3 = ๐ฅ2 โ ๐(๐ฅ2 ) ๐(0.5671) = 0.5671 โ โฒ โ 0.5671 โฒ ๐ (๐ฅ2 ) ๐ (0.5671) Quindi la radice approssimata con due cifre decimali esatte è x๏ฝ๏ฐ๏ฎ๏ต๏ถ๏ ๏ฎ๏ ๏ ๏ ๏ Liceo Scientifico PNI 2008 Sessione Straordinariaโ Questionario 5/ 7 www.matefilia.it QUESITO 8 Si determinino le equazioni degli asintoti della curva: ๐ฅ ๐(๐ฅ) = โซ ๐ก ๐ ๐ก ๐๐ก . 1 Calcoliamo per parti lโintegrale indefinito: โซ ๐ก ๐ ๐ก ๐๐ก = โซ ๐ก โ (๐ ๐ก )โฒ ๐๐ก = ๐ก ๐ ๐ก โ โซ ๐ ๐ก ๐๐ก = ๐ก ๐ ๐ก โ ๐ ๐ก + ๐ Quindi: ๐ฅ ๐(๐ฅ) = โซ ๐ก ๐ ๐ก ๐๐ก = [๐ก ๐ ๐ก โ ๐ ๐ก ]1๐ฅ = ๐ฅ ๐ ๐ฅ โ ๐ ๐ฅ = ๐ ๐ฅ (๐ฅ โ 1) 1 La funzione è continua su tutto R, quindi non avremo asintoti verticali. Calcoliamo i limiti allโinfinito: lim๐ฅโโโ ๐ ๐ฅ (๐ฅ โ 1) = 0 (ricordiamo che ๐ฅ ๐ ๐ฅ tende a zero se x tende a โโ ). Quindi per x che tende a meno infinito abbiamo lโasintoto orizzontale y=0. lim๐ฅโ+โ ๐ ๐ฅ (๐ฅ โ 1) = +โ ; è soddisfatta la condizione necessaria per lโasintoto obliquo, che però non cโè, non essendo la funzione un infinito del primo ordine. QUESITO 9 Il toro è il solido di rotazione, ottenuto facendo ruotare un cerchio di raggio r di un giro completo attorno ad un asse, che abbia dal cerchio generatore una distanza a > r . Si calcolino lโarea e il volume del toro. Per il Primo teorema di Guldino il volume si ottiene moltiplicando lโarea A del cerchio per la lunghezza L della circonferenza descritta dal baricentro del cerchio (che è il suo centro) nella rotazione attorno allโasse: Liceo Scientifico PNI 2008 Sessione Straordinariaโ Questionario 6/ 7 www.matefilia.it ๐ = ๐ฟ โ ๐ด = 2๐๐ โ ๐๐ 2 = 2๐ 2 ๐๐ 2 Per il Secondo teorema di Guldino la superficie S del toro si ottiene moltiplicando la lunghezza della circonferenza data per la lunghezza L della circonferenza descritta dal baricentro del cerchio (che è il suo centro) nella rotazione attorno allโasse: ๐ = 2๐๐ โ 2๐๐ = 4๐ 2 ๐๐ . QUESITO 10 Un segmento AB di lunghezza costante ๐ scorre coi suoi estremi sopra due rette ortogonali fisse ๐ฅ, ๐ฆ. Si dimostri che un punto P qualsiasi del segmento descrive una ellisse avente gli assi sopra ๐ฅ, ๐ฆ. Che cosa succede se P è il punto medio di AB? Poniamo A=(0; k) e B=(h; 0) con โ๐ โค โ โค ๐ ๐ โ ๐ โค ๐ โค ๐ Senza ledere la generalità possiamo supporre che A e B stiano sui semiassi positivi. Risulta: โ2 + ๐ 2 = ๐2 Possiamo quindi porre: โ = ๐ ๐๐๐ ๐ผ , ๐ = ๐ ๐ ๐๐ ๐ผ (dove ๐ผ è lโangolo OBA, con O origine degli assi). Fissiamo un punto P sul segmento AB, con AP=t e BP=a-t, con 0<t<a Posto P=(x; y), risulta: ๐ฆ ๐โ๐ก = ๐ ๐๐ ๐ผ ๐ ๐ฅ ๐ก ๐ฆ = (๐ โ ๐ก) ๐ ๐๐๐ผ ๐ ๐ฅ = ๐ก ๐๐๐ ๐ผ = ๐๐๐ ๐ผ e tenendo presente la relazione goniometrica fondamentale: ๐ฅ 2 ๐ฆ 2 ( ) +( ) =1 ๐ก ๐โ๐ก ๐ฅ2 ๐ก2 ๐ฆ2 + (๐โ๐ก)2 = 1 che rappresenta unโellisse con gli assi coincidenti con gli assi cartesiani e semiassi t e a-t. ๐ Se P è il punto medio di AB risulta ๐ก = 2 , quindi il luogo diventa: ๐ฅ2 ๐2 4 + ๐ฆ2 ๐2 4 = 1, ๐ฅ2 + ๐ฆ2 = ๐2 4 โถ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ง๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐ก๐๐ ๐๐๐๐ โฒ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ 2 . Con la collaborazione di Angela Santamaria Liceo Scientifico PNI 2008 Sessione Straordinariaโ Questionario 7/ 7 www.matefilia.it