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L'ANGOLO MATEMATICO di A. K. Dewdney Tecniche di grafica al calcolatore permettono di visualizzare un mondo immaginario l primo giorno dell"anno 2991, l'a· stronave interstellare Armstrong si posò sul quarto pianeta della stella Tau Ceti. L'equipaggio dell'Arn1Slrong rilevò immediatamente segni di movi mento provenienti da "ardest e puntò la telecamera dell'astronave su un lontano dirupo roccioso. Su una sporgenza della parete c'era un nido di cristalli di quarzo contenente un uovo di forma simile a una frittella. L'uovo iniziò a dissolversi e n e uscì una creatura sinuosa, formata da due anelli attorcigliati, che il biologo della missione non esitò a classificare co- I me un «gorgonoide». Mentre la sonda si avvicinava per osservarlo meglio, lostra no essere si irrigidì intimorito e si gettò dal dirupo in un fiume di acetilene. Indubbiamente il mondo del gorgo· noide appartiene alla fantascienza, ma la sua immagine si trova in un calcolatore del Thomas J. Watson Research Center dell'IBM. Clifford A . Pickover, un ma· go della grafica che lavora all'IBM, ha creato l'essere alieno che io chiamo gor· gonoide per dimostrare la potenza dei nuovi strumenti a disposizione della gra· fica al calcolatore. Le tecniche da lui eia· Figura di LissajollS sftrica 94 LESOENZE n. 271, mano 1991 borate possono aiutare altri scienziati a visualizzare le forme complesse prodone da fenomeni fisici o dedotte dalla teoria. Pickover, di cui si è parlato in queste pagine nell'agosto 1989 a proposito dei suoi biomorfi microscopici. definisce le sue creazioni «grafica da un mondo im maginario» (si veda l'illuslrazione nella pagilla a fronle). Per quanto simile a una forma di vita aliena, l'uovo di gorgonoide è in realtà un modello basato su principi fisici sco· perti in laboratori terrestri. Se si potesse asportare il «guscio» dell'uovo di gorgo noide, si troverebbe una struttura com posta da due «cavi», uno piegato a forma di cerchio e l'altro avvolto intorno al cer chio in una spirale chiusa. Se fra i due cavi vi fosse una differenza di potenziale essi genererebbero una forza eleurica più intensa nei punti vicini alla struttura che non in quelli distanti da essa. Il pro gramma per calcolatore di Pickover in dividua tutti i punti in cui la forza ha una data intensità e li rappresenta in modo da formare il guscio dell'uovo di gorgo noide. Pickover dà a questa tecnica gra fica il nome di t<scultura elettrica,.. Egli si dedica alla scultura elettrica per rappresentare una grande varietà di strutture che vanno da singole molecole alla complessa doppia elica del DNA. Poiché questa tecnica mostra le forze elettriche che circondano le molecole, i ricercatori possono comprendere in che modo alcune molecole prodotte da cel lule viventi possono adattarsi ai siti re cettori di altre cellule. n piccolo di gorgonoide non è una scultura elettrica, ma è ottenuto in modo analogo a una collana di perle. Come l'uovo, il gorgonoide «nasce,. da due cappi di cavo, uno avvolto intorno all'al tro. Per costruire il corpo dello strano essere, Pickover «infila» nei cavi perle sferiche, grandi per il cavo circolare, pic cole per quello a spirale. Le perle sono spaziate uniformemente e quelle in po sizione consecutiva si compenetrano. Il gorgonoide adulto è una collana fat tadi tre cavi: il primo avvolge il secondo, il quale a sua volta è avviluppato intorno al terzo, Il gorgonoide adulto ha anche un occhio formato da tre sfere quasi con centriche che si intersecano per formare un'iride e una pupilla, Un gorgonoide adulto può individua· re un predatore a un chilometro e mezzo di distanza attraverso la foschia di am moniaca, una capacità che diventa molto importante per la sua sopravvivenza quando il gorgonoide è minacciato da una pacmantide, Quest'ultima creatura, dalla forma di calice, passa metà del suo tempo a crogiolarsi ai raggi di Tau Ceti, ma quando ha fame rotola sul terreno aprendo e chiudendo la bocca come Pac -man, il protagonista di un videogioco. L'anatomia della pacmantide non è più complicata di quella del gorgonoide. Per dar vita a una pacmantide, Pickover crea al calcolatore una sorta di pendolo, simulando una palla attaccata a un'est re- LE SCIENZE n. 271, marzo 1991 9S mità di un cavo rigido,collegato con l'al tra estremità a un perno che consente al cavo c alla palla di oscillare liberamente in tutte le direzioni. AI pendolo viene inizialmente impres sa una spinta l.flterale ed esso comincia a oscillare con una certa velocità per ef fetto della forza di gravità. Nel suo moto di oscillazione il pendolo arriva fino a un punto che si trova a una certa distanza dal punto di partenza; nel corso delle oscillazioni successive, la palla copre la maggior parte dello spazio disponibile nella sfera delle posizioni possibili. Mentre il pendolo oscilla, il calcolato re di Pickover fotografa periodicamente la palla. Quando numerose immagini della palla vengono mostrate simulta neamente, queste formano un guscio. Ruotando di 90 gradi tale guscio si vede l'esoscheletro di una pacmantide nella sua giusta orientazione. Anche se di tanto in tanto sgranocchia un gorgonoide,la pacmantide preferisce cibarsi dei tubanidi che vivono negli oceani di ammoniaca. Questi prelibati molluschi assomigliano a certe ammoniti del Mesozoieo. Il tubanide ha un bel gu scio striato che inizia come una normale spirale aperta, ma poi si incurva su se stesso, quasi fosse il progetto di un ar chitetto un po' folle. A causa del suo guscio attorcigliato, il tubanide nuota ro tolando su se stesso, e questo ne fa una facile preda per la pacmantide. l tubanidi sono un prodotto della col laborazione tra Pickover e il conchiglio10go australiano Chris lIIert. Pickover e lIIert hanno studiato una bizzarra am monite chiamata Nipponites mirabilis. Molte ammoniti, come pure l'attuale NaUlilus, hanno conchiglie regolari, a forma di spirale logaritmica, che consen tono all'animale di muoversi agevolmen te nell'acqua. Nei primi stadi della cre scita, la conchiglia di N. mirabilis si svi luppa in modo del tutto simile a quella delle altre ammoniti, ma poi si attorci glia e si piega in tutte le direzioni. IIIert contava di studiare questo strano tipo di accrescimento attraverso una descrizio ne matematica della spirale irregolare. Nel corso della ricerca ricavò una for mula che può essere interpretata in mo do semplice. L'orientazione dell'apertu ra della conchiglia determina la direzio ne di accrescimento. Nella normale cre scita a spirale, l'orientazione dell'aper tura rimane fissa rispetto agli anelli adia centi della conchiglia. Ma si può ottene re una buona simulazione della crescita di N. mirabilis se si ruota l'apertura se condo una regola esponenziale: via via che la conchiglia si sviluppa, l'apertura ruota sempre di più. Con questa ipotesi si ottengono piccoli di N. mirabilis dal corretto aspetto ammonoidale e adulti con una spirale di forma attorcigliata e irregolare. Pickover e lIIert hanno dimostrato che il tubanide costituisce un buon modello per studiare N. mirabilis. Per dare una rappresentazione tridimensionale dei tu banidi, Pickover ha usato la tecnica della collana di perline e ha colorato il guscio alternando sfere cremisi e bianche. I concetti su cui si fondano le rappre sentazioni grafiche descritte sono effet tivamente molto semplici, ma sono ten tato di aggiungere un avviso: «Non pro vateci a casa!» Dopo tutto, Pickover ha acces�o a calcolatori specificamente pro gettatt per la grafica. Il suo sistema può ombreggiare e nascondere superfici in modo automatico; può mostrare la ri flessione di luce proveniente da diverse sorl?enti su una superficie, e può produr re Istantaneamente una immagine di qualunque oggetto tridimensionale sotto q�alsiasi angolazione. Basta poco, quin di, per arrivare alle creature di Pickover. Anche se i comuni calcolatori dome stici non dispongono di queste caratteri stiche, Pickover non scoraggerebbe i programmatori dilettanti che volessero creare certe splendide immagini aliene dette figure di Lissajous (si veda l'iIIu straziolle a pagina 94). Nel 1857 il mate matico francese Antoine Lissajous de scrisse per la prima volta le figure sinu soidali che oggi campeggiano sugli scher mi degli oscilloscopi. Una singola curva di Lissajous è tracciata sullo schermo da un punto luminoso che si muove ver ticalmente e lateralmente un numero qualsiasi di volte per tornare infine al suo punto di partenza. Le figure di Lissajous sferiche hanno le stesse proprietà delle loro corrispetti ve bidimensionali, tranne per il fatto che giacciono sulla superficie di una sfera. Per rappresentare questa curva tridi mensionale nelle tre dimensioni sono ne cessarie tre equazioni separate, ciascuna a una variabile t che può essere immagi nata come il tempo: x = y = z = Rsen(AI)eos(BI) Rsen(AI)sen(BI) Rcos(AI) dove R,A e 8 sono costanti. Per ciascun valore di I, le tre formule specificano col lettivamente un singolo punto nello spa zio tridimensionale. AI crescere del va! lore di I (ciO<'! al passare del tempo), la formula genera una successione di punti che danno la curva sferica di Lissajous. Attribuendo un valore a R, A e 8 - le velocità di oscillazione delle curve - si possono generare figure affascinanti. La curv.a si richiuderà su se stessa, a meno che Il rapporto tra A e 8 sia un numero irrazionale, un evento che non è certo probabile in un calcolatore. fletton possono scrivere un semplice programma per calcolatore che permet- 96 LE SCIE/'I.ZE n. 271, marzo 1991 ta d! visualizzare una curva di Lissajolls sfeTlca su uno schermo bidimensionale . Il programma dovrebbe prima richiede re i valori di R. A e B. poi dovrebbe entrare in un ciclo in cui il valore di l è incrementato. diciamo. da 1 a 1000. Per ciascun valore di l, il programma dovreb be calcolare x e y secondo le formule. La coordinata x, per esempio. risulterà dal prodotto di R per il seno di Al. poi per Il coseno di Br. Infine. il programma do vrebbe disegnare il punto (x, y). Per usare l"algoritmo risulta necessa ria qualche avvertenza. Prima di tutto, può essere indispensabile modificare i numeri x e y in modo che il punto da disegnare appaia sullo schermo: se è il caso. va aggiunta una costante appro priala. In secondo luogo. può darsi che i valori di l debbano cambiare in modo più graduale per produrre una curva di aspetto continuo e non una fila di punti spaziati tra loro. Pickover ritiene, con grande soddisfa zione. che le tecniche da lui sviluppate e altre analoghe possano servire anche agli artisti oltre che agli scienziati. Fra gli ar tisti che hanno già sfruttato queste pos sibilità, cita William Latham dello UK Scientifie Center dell'18M, John Lewis del New York lnstitute of Teehnology e Donna J. Cox del National Center for Supereomputing Applieations dell'Uni versità dell'Illinois a Urbana-Cham paign. Con il ridursi delle dimensioni dei dispositivi elettronici e con il progressivo aumento della loro velocità, sarà possi. bile racchiudere in macchine sempre più piccole ed economiche anche calcolatori raffinati come il sistema di Pickover. Si possono prevedere ricadute importanti sia per la scienza sia per l'arte via via che un numero sempre maggiore di rappre sentazioni grafiche emergerà da mondi immaginari. Come esercizio per i muscoli mentali, lo scorso gennaio ho sfidato i lettori a risolvere tre piccoli quesiti. Primo, se si mescolano un asso, un re e una regina, li si mette coperti sul tavolo, se ne toglie uno a caSo e infine si scopre una delle due carte rimanenti, la probabilità che si tratti �i un asso è pari a un terzo,la stessa che SI avrebbe se non fosse stata tolta alcuna carta. Secondo, la dimostrazione del fatto che nessuno lavora non funzio na proprio: sottrae infatti mele (giornate lavorative di otto ore) da arance (gior nate di 24 ore). Infine, se una bottiglia e un tappo costano insieme 1, lO dollari e la bottiglia costa l dollaro più del tappo, allora il tappo deve costare 5 centesimi. BIBLIOGRARA PICKOVER ClIFFORD A., CompUlers, Pallern, Chaos, and Beauty, S1. Martin's Press, 1990. IFOSSW E lA STORIA DEUA VlfA .""'Go!Iri .... L3Z.5GOIIIIidIIL3UIII lA SCOPERTA DEllE PARTICEIU SUBATOIIICIIE ,s-.... L2UII01IIIidII LSUIII POTENZE DI DIECI '1IiI!.1'IIrk"'" LUSlIIIIidIIL3UIII lA DIVERSITÀ UMANA .... � L"IoI*MLSUIII lA SCIENZA DlLSUONO • '''ldlilRt L"IoI*MLSUIII B.SECONDO PIJNaPIO .,. .... L"IoI*MLSUIII L'l!llEDn'À DI EINSJ'EIN .w.� Ln.tIIo*IiL3UIII