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Data la DFT Generalizzata
Il pricing veloce delle componenti derivative: DFT su griglie gaussiane Analisi di Performance e Error Control Indice della presentazione Indice della presentazione •L'Option Pricing via DFT •L'Option Pricing via DFT • Formule per il prezzo di un derivato via FT • Convergenze della DFT alla FT • Teoremi di Convergenza su Griglie Uniformi • Teoremi di Convergenza su Griglie Non Uniformi Gaussiane • Formule per il prezzo di un derivato via FT • Convergenze della DFT alla FT • Teoremi di Convergenza su Griglie Uniformi • Teoremi di Convergenza su Griglie Non Uniformi Gaussiane • L’Option Pricing Veloce • FFT • FFT Non Uniforme •L’algoritmo interpolante “Gaussian Gridding” •Analisi di Performance: Velocità, Stabilità, Accuratezza • Conclusioni Marcello Minenna – Paolo Verzella IX WORKSHOP ON QUANTITATIVE FINANCE 1 January 24-25, 2008 University of Rome "Tor Vergata" 2 Il Pricing via FT Call Europea 3 Il Pricing via FT Ct Call Europea sotto la misura neutrale al rischio Prezzo Spot St Una trasformazione lineare dallo Spazio di Fourier Il Pricing via FT Accuratezza Ct Errore Medio Assoluto calcolato rispetto ad. Una trasformazione lineare dallo Spazio di Fourier FT FT 4 5 Il Pricing via FT 7 su uno spazio esteso 6 Convergenze DFT - FT Indice della presentazione Stabilità Errore Medio Assoluto calcolato rispetto ad su uno spazio sotto la misura neutrale al rischio Prezzo Spot St •L'Option Pricing via DFT • Formule per il prezzo di un derivato via FT • Convergenze della DFT alla FT • Teoremi di Convergenza su Griglie Uniformi • Teoremi di Convergenza su Griglie Non Uniformi Gaussiane 8 Data la DFT Generalizzata 9 Convergenze DFT - FT Convergenze DFT - FT Convergenze su Griglie Non Uniformi Data la DFT Generalizzata Il Teorema di Convergenza per la DFT generalizzata (C Th) C0 via FT Teoremi di Convergenza via DFT 10 11 Indice della presentazione Convergenze su Griglie Uniformi •L'Option Pricing via DFT Condizione 1 • Formule per il prezzo di un derivato via FT • Convergenze della DFT alla FT • Teoremi di Convergenza su Griglie Uniformi • Teoremi di Convergenza su Griglie Non Uniformi Gaussiane 12 Convergenze su Griglie Uniformi Condizione 2 Griglia di Discretizzazione Uniforme N=M DFT specializzata where n=1,2,…,N 13 14 Convergenze su Griglie Uniformi Convergenze su Griglie Uniformi Condizione 1 15 Convergenze su Griglie Uniformi Condizione 2 Limite di Nyquist – Shannon (N-S) Griglia di Discretizzazione Uniforme per f DFT classica 1. 2. 16 17 18 Convergenze su Griglie Uniformi Convergenze su Griglie Uniformi 1. 2. Convergenze su Griglie Uniformi Teorema di Equivalenza + + N-S N-S 19 20 Indice della presentazione Il prezzo della Call calcolato via Teorema di Convergenza è uguale al prezzo della Call calcolato via Trapezoid/Simpson Quadrature 21 Convergenze su Griglie Non Uniformi Convergenze su Griglie Non Uniformi Condizione 1 •L'Option Pricing via DFT • Formule per il prezzo di un derivato via FT • Convergenze della DFT alla FT • Teoremi di Convergenza su Griglie Uniformi • Teoremi di Convergenza su Griglie Non Uniformi Gaussiane Condizione 1 Griglie di Discretizzazione Non Uniformi Griglie Gaussiane Scelta Ottimale dei punti di discretizzazione Gauss Laguerre 22 23 Convergenze su Griglie Non Uniformi Condizione 1 Gander Gautschi 24 Convergenze su Griglie Non Uniformi Griglie Gaussiane Scelta Ottimale dei punti di discretizzazione Condizione 1 Convergenze su Griglie Non Uniformi Griglie Gaussiane Scelta Ottimale dei punti di discretizzazione Gauss Laguerre Condizione 1 Griglie Gaussiane Scelta Ottimale dei punti di discretizzazione Gauss Lobatto Zero di Polinomi di Laguerre 25 Zero di Polinomi di Legendre Gander Gautschi Zero di Polinomi di Legendre riscalati 26 a b 27 Convergenze su Griglie Non Uniformi Convergenze su Griglie Non Uniformi Condizione 2 Convergenze su Griglie Non Uniformi Il Teorema di Convergenza per la DFT generalizzata (C Th) N≠ M Griglie Gaussiane per f DFT Generalizzata 1. dove m=1,2,…,M 2. 28 29 Convergenze su Griglie Non Uniformi Convergenze su Griglie Non Uniformi 1. 2. 30 Convergenze su Griglie Non Uniformi Teorema di Equivalenza + + C-Th C-Th 31 32 Indice della presentazione L’Option Pricing Veloce Il prezzo della Call calcolato via Teorema di Convergenza è uguale al prezzo della Call calcolato via Gauss Laguerre/Gander Gautschi Quadrature 33 L’Option Pricing Veloce •L'Option Pricing via DFT • Formule per il prezzo di un derivato via FT • Convergenze della DFT alla FT • Teoremi di Convergenza su Griglie Uniformi • Teoremi di Convergenza su Griglie Non Uniformi Gaussiane • L’Option Pricing Veloce • FFT • FFT Non Uniforme •L’algoritmo interpolante “Gaussian Gridding” •Analisi di Performance: Velocità, Stabilità, Accuratezza via DFT via DFT consente Newton-Cotes Algoritmi Fast Fourier Transform FFT Uniforme • Conclusioni 34 35 36 L’Option Pricing Veloce Indice della presentazione FFT Uniformi •L'Option Pricing via DFT via DFT Gauss FFT Non Uniforme • Formule per il prezzo di un derivato via FT • Convergenze della DFT alla FT • Teoremi di Convergenza su Griglie Uniformi • Teoremi di Convergenza su Griglie Non Uniformi Gaussiane Caratterizzazione della DFT di Cooley - Tukey • L’Option Pricing Veloce • FFT • FFT Non Uniforme Iterando dal basso verso l’alto per N passi •L’algoritmo interpolante “Gaussian Gridding” •Analisi di Performance: Velocità, Stabilità, Accuratezza • Conclusioni Si ottiene l’algoritmo FFT di Cooley – Tukey 37 FFT Uniformi 38 FFT Uniformi 39 FFT Uniformi Algoritmo FFT di Cooley – Tukey Dato il Limite di Nyquist – Shannon, le formule di prezzo via FFT Il costo computazionale della DFT si riduce forniscono prezzi accurati da SOLO intorno alla Frequenza di Nyquist a 40 41 Indice della presentazione FFT Uniformi Dato il Limite di Nyquist – Shannon, le formule di prezzo via FFT forniscono prezzi accurati SOLO intorno alla Frequenza di Nyquist 42 FFT Non Uniforme Gaussian Gridding •L'Option Pricing via DFT • Formule per il prezzo di un derivato via FT • Convergenze della DFT alla FT • Teoremi di Convergenza su Griglie Uniformi • Teoremi di Convergenza su Griglie Non Uniformi Gaussiane • L’Option Pricing Veloce • FFT • FFT Non Uniforme •L’algoritmo interpolante “Gaussian Gridding” •Analisi di Performance: Velocità, Stabilità, Accuratezza All’incirca il 25% dei prezzi può essere accettato 43 • Conclusioni 44 45 FFT Non Uniforme FFT Non Uniforme FFT Non Uniforme Gaussian Gridding Gaussian Gridding Step 1 Step 1 Convoluzione Gaussiana della funzione caratteristica non uniformemente campionata Step 1 Convoluzione Gaussiana della funzione caratteristica non uniformemente campionata 47 48 46 Non Uniform FFT Gaussian Gridding FFT Non Uniforme Non Uniform FFT Componenti Singole Gaussian Gridding Gaussian Gridding Step 1 Convoluzione Gaussiana della funzione caratteristica non uniformemente campionata Step 1 Convoluzione Gaussiana della funzione caratteristica non uniformemente campionata 0 x1* x2* x1 49 x3* x2 x3 x*N -1 x4* x4 xN -1 x*N 2p xN 50 FFT Non Uniforme Non Uniform FFT 51 FFT Non Uniforme Gaussian Gridding Step 2 Discretizzazione su una griglia uniforme sovracampionata f t ( x ) f t ( x2* ) x2* 0 x1* x3* x4* x*N -1 x*N f t ( x2* ) x2* 0 x1* 2p x3* x4* x*N -1 x*N dove x1 x2 x3 xN -1 x4 52 x1 xN 53 x2 x3 xN -1 x4 54 xN 2p Non Uniform FFT Non Uniform FFT Gaussian Gridding Non Uniform FFT Gaussian Gridding Step 3 Calcolo del Coefficiente di Fourier f t ( x )discretizzato Gaussian Gridding Step 4 Rappresentazione NU-DFT del Coefficiente di Fourier Ft (n ) Step 5 Rappresentazione DFT del Coefficiente di Fourier Ft (n ) per n = 1, 2,...., M t 2 55 56 Non Uniform FFT 57 Non Uniform FFT Non Uniform FFT Gaussian Gridding Gaussian Gridding Gaussian Gridding Step 6 Derivazione della NU-DFT come una funzione della DFT Step 6 Derivazione della NU-DFT come una funzione della DFT Step 7 Calcolo NU-FFT per n = 1, 2,...., M t 2 58 59 Non Uniform FFT 60 Non Uniform FFT FFT Non Uniforme Gaussian Gridding Gaussian Gridding Step 7 Calcolo NU-FFT Step 7 Calcolo NU-FFT FFT 61 NU-FFT Costo Computazionale FFT 62 63 FFT Non Uniforme FFT Non Uniforme FFT Non Uniforme Costo Computazionale Costo Computazionale Costo Computazionale Il maggior costo computazionale della procedura è la FFT su griglia sovracampionata Il maggior costo computazionale della procedura è la FFT su griglia sovracampionata Il maggior costo computazionale della procedura è la FFT su griglia sovracampionata scegliendo il rapporto di sovracampionatura scegliendo il rapporto di sovracampionatura Il costo totale della procedura è 64 65 Indice della presentazione 66 Analisi di Performance Analisi di Performance •L'Option Pricing via DFT • Formule per il prezzo di un derivato via FT • Convergenze della DFT alla FT • Teoremi di Convergenza su Griglie Uniformi • Teoremi di Convergenza su Griglie Non Uniformi Gaussiane ACCURATEZZA • L’Option Pricing Veloce • FFT • FFT Non Uniforme •L’algoritmo interpolante “Gaussian Gridding” •Analisi di Performance: Velocità, Stabilità, Accuratezza • Conclusioni G LA G LA G LO G LO 2000 Prices computed 67 68 Analisi di Performance 69 Analisi di Performance Analisi di Performance STABILITA’ L’errore del 90% dei prezzi calcolati ricade entro STABILITA’ G LA G LA G LO G LO 35 70 80 Strike price 71 135 72 Analisi di Performance Analisi di Performance Analisi di Performance VELOCITA’ STABILITA’ L’errore del 90% dei prezzi calcolati ricade entro VELOCITA’ FFT L’INTERVALLO DI PRECISIONE NU FFT 73 Analisi di Performance lo schema NU – FFT è all’incirca 2 volte più lento di FFT 74 75 Indice della presentazione Analisi di Performance VELOCITA’ VELOCITA’ Per tempi minimi, le differenze scompaiono •L'Option Pricing via DFT • Formule per il prezzo di un derivato via FT • Convergenze della DFT alla FT • Teoremi di Convergenza su Griglie Uniformi • Teoremi di Convergenza su Griglie Non Uniformi Gaussiane Per tempi minimi, le differenze scompaiono FFT NU – FFT NC2 G – LA G - LO 0.01 sec. N/A N/A NC2 G - LA G - LO 0.02 sec. 0.0261 sec. 0.0301 sec. Calcolo di 4000 prezzi su un Centrino 1600Mhz – 2gb RAM Valore medio su 1000 run 76 Conclusioni •L’algoritmo interpolante “Gaussian Gridding” •Analisi di Performance: Velocità, Stabilità, Accuratezza • Conclusioni 77 Conclusioni • NU – FFT permette l’uso di Griglie Gaussiane • L’Option Pricing Veloce • FFT • FFT Non Uniforme 78 Conclusioni • NU – FFT permette l’uso di Griglie Gaussiane • NU – FFT permette l’uso di Griglie Gaussiane • NU – FFT è indifferente al limite di Nyquist - Shannon • NU – FFT è indifferente al limite di Nyquist - Shannon • NU – FFT è accurato almeno quanto FFT 79 80 81 Conclusioni Conclusioni Il pricing veloce delle componenti derivative: DFT su griglie gaussiane Analisi di Performance e Error Control • NU – FFT permette l’uso di Griglie Gaussiane • NU – FFT permette l’uso di Griglie Gaussiane • NU – FFT è indifferente al limite di Nyquist - Shannon • NU – FFT è indifferente al limite di Nyquist - Shannon • NU – FFT è accurato almeno quanto FFT • NU – FFT è accurato almeno quanto FFT • NU – FFT è più stabile di FFT • NU – FFT è più stabile di FFT • NU – FFT è veloce tanto quanto FFT classico Marcello Minenna – Paolo Verzella 82 83 IX WORKSHOP ON QUANTITATIVE FINANCE 84 January 24-25, 2008 University of Rome "Tor Vergata"
