Integrali Doppi e Tripli

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Integrali Doppi e Tripli
Integrali Doppi e Tripli
• Calcolare i seguenti integrali doppi applicando le formule di riduzione per rettangoli
e domini normali rispetto all’ asse x ed y, cambimento di coordinate polari.
1)
Z Z
xexy dx dy
R
con R = [0, 1] × [0, 2].
2)
Z Z
xy dx dy
T
dove T è un triangolo di vertici (0, 0), (1, 0), (1, 1).
3)
Z Z
sin(y 3 ) dx dy
√
dove D è la regione compresa tra y = x e la retta y = 1.
D
4)
Z Z
xy dx dy
D
dove D è l’ unione del semidisco centrato in (2, 0) di raggio 1 e y ≥ 0 con il
triangolo di vertici (0, −1), (1, 0), (3, 0).
5)
Z Z
x dx dy
D
dove D è la porzione del disco centrato in (0, 0) e raggio 2 nel quadrante
x ≥ 0, y ≥ 0.
6)
Z Z
x sin |x2 − y| dx dy
R
dove R = [0, 1] × [0, 1].
7)
Z Z
x2 dx dy
D
dove D è la corona circolare di raggi 1 e 2 per y ≥ 0.
8) Calcolare il volume del paraboloide z = x2 + y 2 per z ≤ 1.
9)
Z Z
|(sin x) − y| dx dy
R
dove R = [0, π] × [0, 1].
1
10)
2xy
dx dy
+ x2 + y 2 )
Z Z
D (x2
y 2 )(1
+
dove D = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ x2 + y 2 ≤ 2x}.
11)
Z Z
(x + 5) dx dy
T
dove t e’ un triangolo di vertici (−1, 0), (1, 0), (0, 2).
12)
Z Z
D
xy 2
dx dy
x2 + y 2
dove D è la porzione del disco centrato in (0, 0) e raggio 2 nel quadrante
x ≥ 0, y ≥ 0.
13) Calcolare l’area della regione
D = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ 1 , y 2 − 1 ≤ x ≤
q
1 − y2} .
14)
Z
log (xy) dx dy
A
dove A è la regione del piano delimitata dall’iperbole xy = 1 e dalle rette
y = 4x e x = −1.
15)
1
x(1 − x − y) + (1 − x − y)2 dx dy
2
A
dove A è un triangolo di vertici (0, 0), (1, 0), (0, 1).
Z Z Z
• Calcolare i seguenti integrali tripli applicando le formule di riduzione per strati e
per fili, cambiamento di coordinate sferiche e cilindriche
1)
Z Z Z
x2 y 3 z dx dy dz
P
dove P = [0, 2] × [0, 1] × [0, 3].
2)
Z Z Z
x2 z dx dy dz
Ω
dove Ω è la semisfera superiore centrata nell’ origine e raggio R.
2
3)
Z Z Z
x2 + y 2 dx dy dz
Ω
dove Ω è la porzione di cono con vertice in (0, 0, 0) e 0 ≤ z ≤ 1.
4) Calcolare il volume della sfera di raggio R.
5)
Z Z Z
x − y + z dx dy dz
C
dove C è: (a) la porzione di cilindro centrato nell’ origine di raggio 1 e −1 ≤ z ≤ 1;
(b) sfera di raggio 1 centrata in (0, 0, 0); (c) la porzione di cono con vertice in (0, 0, 0)
e 0 ≤ z ≤ 2.
6) Calcolare il volume del tetraedro con vertici (2, 0, 0), (0, 3, 0) (0, 0, 1).
7) Calcolare il volume della regione compresa tra i due paraboloidi z = x2 + y 2 and
z = 1 − x2 − y 2 .
8)
Z Z Z
2
ez dx dy dz
T
dove T è l’intersezione tra il cilindro x2 + y 2 = 4 ed il paraboloide x2 + y 2 = 2z con
0 ≤ z ≤ 2.
9)
Z Z Z
x2 + y 2 + z 2 dx dy dz
A
dove A è la regione compresa tra la semisfera superiore x2 + y 2 + z = 4, z ≥ 0, ed il
cilindro x2 + y 2 = 1.
10) Calcolare il volume della regione A limitata da z = x2 /3, z = 0, y = 0, 2x+3y−18 =
0.
11) Calcolare il volume di
A = {(x, y, z) ∈ R3 : (x − 2)2 + y 2 ≤ z ≤ 8 − 4x} .
12)
Z Z Z
z exp(x2 + y 2 ) dx dy dz
A
dove
A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ z ≤ 1} .
3
13)
Z Z Z
x + z dx dy dz
T
dove T è un tetraedro delimitato dai piani x = 0, y = 0, z = 0 e x + y + z = 1.
14)
Z Z Z
A
1
√ 2
dx dy dz
x + y2 + z2
dove A è la regione
A = {(x, y, z) ∈ R3 : z 2 ≤ x2 + y 2 ≥ 2z − z 2 } .
15)
Z Z Z
A
yz
dx dy dz
x2
dove A è la regione
A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≥ 1, y ≥ 0, (x − 1)2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2} .
4