Integrali Doppi e Tripli
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Integrali Doppi e Tripli
Integrali Doppi e Tripli • Calcolare i seguenti integrali doppi applicando le formule di riduzione per rettangoli e domini normali rispetto all’ asse x ed y, cambimento di coordinate polari. 1) Z Z xexy dx dy R con R = [0, 1] × [0, 2]. 2) Z Z xy dx dy T dove T è un triangolo di vertici (0, 0), (1, 0), (1, 1). 3) Z Z sin(y 3 ) dx dy √ dove D è la regione compresa tra y = x e la retta y = 1. D 4) Z Z xy dx dy D dove D è l’ unione del semidisco centrato in (2, 0) di raggio 1 e y ≥ 0 con il triangolo di vertici (0, −1), (1, 0), (3, 0). 5) Z Z x dx dy D dove D è la porzione del disco centrato in (0, 0) e raggio 2 nel quadrante x ≥ 0, y ≥ 0. 6) Z Z x sin |x2 − y| dx dy R dove R = [0, 1] × [0, 1]. 7) Z Z x2 dx dy D dove D è la corona circolare di raggi 1 e 2 per y ≥ 0. 8) Calcolare il volume del paraboloide z = x2 + y 2 per z ≤ 1. 9) Z Z |(sin x) − y| dx dy R dove R = [0, π] × [0, 1]. 1 10) 2xy dx dy + x2 + y 2 ) Z Z D (x2 y 2 )(1 + dove D = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ x2 + y 2 ≤ 2x}. 11) Z Z (x + 5) dx dy T dove t e’ un triangolo di vertici (−1, 0), (1, 0), (0, 2). 12) Z Z D xy 2 dx dy x2 + y 2 dove D è la porzione del disco centrato in (0, 0) e raggio 2 nel quadrante x ≥ 0, y ≥ 0. 13) Calcolare l’area della regione D = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ 1 , y 2 − 1 ≤ x ≤ q 1 − y2} . 14) Z log (xy) dx dy A dove A è la regione del piano delimitata dall’iperbole xy = 1 e dalle rette y = 4x e x = −1. 15) 1 x(1 − x − y) + (1 − x − y)2 dx dy 2 A dove A è un triangolo di vertici (0, 0), (1, 0), (0, 1). Z Z Z • Calcolare i seguenti integrali tripli applicando le formule di riduzione per strati e per fili, cambiamento di coordinate sferiche e cilindriche 1) Z Z Z x2 y 3 z dx dy dz P dove P = [0, 2] × [0, 1] × [0, 3]. 2) Z Z Z x2 z dx dy dz Ω dove Ω è la semisfera superiore centrata nell’ origine e raggio R. 2 3) Z Z Z x2 + y 2 dx dy dz Ω dove Ω è la porzione di cono con vertice in (0, 0, 0) e 0 ≤ z ≤ 1. 4) Calcolare il volume della sfera di raggio R. 5) Z Z Z x − y + z dx dy dz C dove C è: (a) la porzione di cilindro centrato nell’ origine di raggio 1 e −1 ≤ z ≤ 1; (b) sfera di raggio 1 centrata in (0, 0, 0); (c) la porzione di cono con vertice in (0, 0, 0) e 0 ≤ z ≤ 2. 6) Calcolare il volume del tetraedro con vertici (2, 0, 0), (0, 3, 0) (0, 0, 1). 7) Calcolare il volume della regione compresa tra i due paraboloidi z = x2 + y 2 and z = 1 − x2 − y 2 . 8) Z Z Z 2 ez dx dy dz T dove T è l’intersezione tra il cilindro x2 + y 2 = 4 ed il paraboloide x2 + y 2 = 2z con 0 ≤ z ≤ 2. 9) Z Z Z x2 + y 2 + z 2 dx dy dz A dove A è la regione compresa tra la semisfera superiore x2 + y 2 + z = 4, z ≥ 0, ed il cilindro x2 + y 2 = 1. 10) Calcolare il volume della regione A limitata da z = x2 /3, z = 0, y = 0, 2x+3y−18 = 0. 11) Calcolare il volume di A = {(x, y, z) ∈ R3 : (x − 2)2 + y 2 ≤ z ≤ 8 − 4x} . 12) Z Z Z z exp(x2 + y 2 ) dx dy dz A dove A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ z ≤ 1} . 3 13) Z Z Z x + z dx dy dz T dove T è un tetraedro delimitato dai piani x = 0, y = 0, z = 0 e x + y + z = 1. 14) Z Z Z A 1 √ 2 dx dy dz x + y2 + z2 dove A è la regione A = {(x, y, z) ∈ R3 : z 2 ≤ x2 + y 2 ≥ 2z − z 2 } . 15) Z Z Z A yz dx dy dz x2 dove A è la regione A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≥ 1, y ≥ 0, (x − 1)2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2} . 4