Svolgimento

Svolgimento dell’esame di Analisi Matematica II del 21 febbraio 2012 ore 8.30
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MT D D E A B A B E
Esercizio. (10 punti)
Calcolare il flusso del rotore del campo vettoriale
F (x, y, z) = y sin x + cos z 4 − 3z, y 8 ex+z , 3x + 5x2 z
attraverso la superficie
n
o
p
Σ = (x, y, z) ∈ R3 : y = 2 − x2 + z 2 , y ≥ 0 ,
orientata in modo che il versore normale al piano tangente a Σ formi un angolo acuto con il versore fondamentale dell’asse y.
SVOLGIMENTO DELL’ESERCIZIO
1
3
Si ha che F è di classe C su R . Per il Teorema di Stokes si ha che
Z
Z
rotF · n dσ =
F · dP,
Σ
γ
dove γ è una curva parametrica che parametrizza il bordo di Σ inducendo su di esso un verso di percorrenza antiorario
rispetto ad un osservatore posto come il versore normale al piano tangente a Σ. Una curva parametrica γ siffatta è ad
esempio γ : [0, 2π] → R3 definita da
γ(t) = (2 cos t, 0, −2 sin t).
z
z
Piano y = 0
2
N
γ
b
γ
Σ
O
−2
y
2
x
x
−2
Figura 2: La curva γ.
Figura 1: La superficie Σ.
Quindi
Z
rotF · n dσ =
Σ
Z
F · dP =
Z
2π
F (γ(t)) · γ ′ (t) dt.
0
γ
Per ogni t ∈ [0, 1] si ha che
F (γ(t)) · γ ′ (t) = F (2 cos t, 0, −2 sin t) · (−2 sin t, 0, −2 cos t) = (6 sin t, 0, 6 cos t − 40 cos2 t sin t) · (−2 sin t, 0, −2 cos t) =
= 80 cos3 t sin t − 12 sin2 t − 12 cos2 t = 80 cos3 t sin t − 12.
Ne segue che
Z
Σ
rotF · n dσ =
Z
γ
F · dP =
Z
0
2π
′
F (γ(t)) · γ (t) dt =
Z
0
2π
80 cos3 t sin t − 12 dt = −24π.
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Quiz 1
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Quiz 7
Quiz 8
MR B A D B D D D C
Esercizio. (10 punti)
Calcolare il flusso del rotore del campo vettoriale
F (x, y, z) = x4 ey+z , x cos y + sin z 5 − 2z, 2y + 3y 2 z
attraverso la superficie
Σ = (x, y, z) ∈ R3 : x = 9 − y 2 − z 2 , x ≥ 0 ,
orientata in modo che il versore normale al piano tangente a Σ formi un angolo acuto con il versore fondamentale dell’asse x.
SVOLGIMENTO DELL’ESERCIZIO
Si ha che F è di classe C 1 su R3 . Per il Teorema di Stokes si ha che
Z
Z
rotF · n dσ =
F · dP,
Σ
γ
dove γ è una curva parametrica che parametrizza il bordo di Σ inducendo su di esso un verso di percorrenza antiorario
rispetto ad un osservatore posto come il versore normale al piano tangente a Σ. Una curva parametrica γ siffatta è ad
esempio γ : [0, 2π] → R3 definita da
γ(t) = (0, 3 cos t, 3 sin t).
y
z
Piano x = 0
3
N
γ
b
γ
Σ
−3
x
O
3
y
z
−3
Figura 4: La curva γ.
Figura 3: La superficie Σ.
Quindi
Z
rotF · n dσ =
Σ
Z
γ
F · dP =
Z
2π
F (γ(t)) · γ ′ (t) dt.
0
Per ogni t ∈ [0, 1] si ha che
F (γ(t)) · γ ′ (t) = F (0, 3 cos t, 3 sin t) · (0, −3 sin t, 3 cos t) = (0, −6 sin t, 6 cos t + 81 cos2 t sin t) · (0, −3 sin t, 0, 3 cos t) =
= 18 sin2 t + 18 cos2 t + 243 cos3 t sin t = 18 + 243 cos3 t sin t.
Ne segue che
Z
Σ
rotF · n dσ =
Z
γ
F · dP =
Z
0
2π
F (γ(t)) · γ ′ (t) dt =
Z
2π
0
18 + 243 cos3 t sin t dt = 36π.
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Quiz 1
Quiz 2
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LU A A A D D D B C
Esercizio. (10 punti)
Calcolare il flusso del rotore del campo vettoriale
F (x, y, z) = y sin x − cos z 3 − 2z, y 7 ex−z , 2x + 4x2 z
attraverso la superficie
n
o
p
Σ = (x, y, z) ∈ R3 : y = 4 − x2 + z 2 , y ≥ 0 ,
orientata in modo che il versore normale al piano tangente a Σ formi un angolo acuto con il versore fondamentale dell’asse y.
SVOLGIMENTO DELL’ESERCIZIO
1
3
Si ha che F è di classe C su R . Per il Teorema di Stokes si ha che
Z
Z
rotF · n dσ =
F · dP,
Σ
γ
dove γ è una curva parametrica che parametrizza il bordo di Σ inducendo su di esso un verso di percorrenza antiorario
rispetto ad un osservatore posto come il versore normale al piano tangente a Σ. Una curva parametrica γ siffatta è ad
esempio γ : [0, 2π] → R3 definita da
γ(t) = (4 cos t, 0, −4 sin t).
z
z
Piano y = 0
4
N
γ
b
γ
Σ
−4
y
O
4
x
x
−4
Figura 6: La curva γ.
Figura 5: La superficie Σ.
Quindi
Z
rotF · n dσ =
Σ
Z
F · dP =
Z
2π
F (γ(t)) · γ ′ (t) dt.
0
γ
Per ogni t ∈ [0, 1] si ha che
F (γ(t)) · γ ′ (t) = F (4 cos t, 0, −4 sin t) · (−4 sin t, 0, −4 cos t) = (8 sin t, 0, 8 cos t − 256 cos2 t sin t) · (−4 sin t, 0, −4 cos t) =
= −32 sin2 t − 32 cos2 t + 1024 cos3 t sin t = −32 + 1024 cos3 t sin t.
Ne segue che
Z
rotF · n dσ =
Σ
Z
γ
F · dP =
Z
0
2π
′
F (γ(t)) · γ (t) dt =
Z
0
2π
−32 + 1024 cos3 t sin t dt = −64π.
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Quiz 6
Quiz 7
Quiz 8
GI E D C B C D C C
Esercizio. (10 punti)
Calcolare il flusso del rotore del campo vettoriale
F (x, y, z) = x5 ey−z , x cos y − sin z 2 − 4z, 4y − 2y 2 z
attraverso la superficie
Σ = (x, y, z) ∈ R3 : x = 25 − y 2 − z 2 , x ≥ 0 ,
orientata in modo che il versore normale al piano tangente a Σ formi un angolo acuto con il versore fondamentale dell’asse x.
SVOLGIMENTO DELL’ESERCIZIO
Si ha che F è di classe C 1 su R3 . Per il Teorema di Stokes si ha che
Z
Z
rotF · n dσ =
F · dP,
Σ
γ
dove γ è una curva parametrica che parametrizza il bordo di Σ inducendo su di esso un verso di percorrenza antiorario
rispetto ad un osservatore posto come il versore normale al piano tangente a Σ. Una curva parametrica γ siffatta è ad
esempio γ : [0, 2π] → R3 definita da
γ(t) = (0, 5 cos t, 5 sin t).
y
z
Piano x = 0
5
N
γ
b
γ
Σ
−5
x
O
5
y
z
−5
Figura 8: La curva γ.
Figura 7: La superficie Σ.
Quindi
Z
rotF · n dσ =
Σ
Z
F · dP =
Z
2π
F (γ(t)) · γ ′ (t) dt.
0
γ
Per ogni t ∈ [0, 1] si ha che
F (γ(t)) · γ ′ (t) = F (0, 5 cos t, 5 sin t) · (0, −5 sin t, 5 cos t) = (0, −20 sin t, 20 cos t − 250 cos2 t sin t) · (0, −5 sin t, 0, 5 cos t) =
= 100 sin2 t + 100 cos2 t − 750 cos3 t sin t = 100 − 750 cos3 t sin t.
Ne segue che
Z
Σ
rotF · n dσ =
Z
γ
F · dP =
Z
0
2π
′
F (γ(t)) · γ (t) dt =
Z
0
2π
100 − 750 cos3 t sin t dt = 200π.