NUOVE FORMULE RISOLUTIVE DELLE CONGRUENZE CUBICHE

G. SANSONE (Firenze - Italia)
NUOVE FORMULE RISOLUTIVE DELLE CONGRUENZE CUBICHE
1. - Questa Comunicazione si riattacca ad altri miei lavori sulla risoluzione
apiristica delle congruenze. Tale questione, nel caso delle congruenze binomie, fu
trattata magistralmente dal prof. M. CIPOLLA (*) ; in seguito il prof. G. SCORZA (2)
mediante l'uso della formula di interpolazione Lagrangiana provò la possibilità
di costruire più tipi di formule risolutive per le congruenze medesime. Io ho
preso a studiare le congruenze di tipo diverso dalle binomie. In un primo tempo
ho dato la risoluzione delle congruenze cubiche e biquadratiche (3), poi ho studiato
hi risolti/ione delle eongruenze di grado qualunque e in particolare la risoluzione
titille* congruenze ili ter/c» e quarto grado (>).
Nelle ricerche preeedriiti Hülle cubiche avevo trovato che nel caso che le
lie m<h<*l dell« congruenza avessero lo stesso carattere quadratico rispetto al
fitiiittifii inni IT« possibile appurare le formule risolutive della congruenza da
un* tttiihlMle, senza passare attraverso una sua conveniente trasformata lineare.
(') M. CIPOLLA: a) Formule di risoluzione della congruenza binomia quadratica e
biquadratica. [«Rend, della R. Acc. delle Scienze fis. mat. di Napoli», gennaio 1905];
b) Sulla risoluzione apiristica delle congruenze binomie secondo un modulo primo. [« Math.
Ann. », Bd. LXIII, 1906]; e) Sulla risoluzione apiristica delle congruenze binomie. Note l a e 2a.
[Rend, della R. Acc. Naz. dei Lincei », fase. 8° e 9° del voi. XVI, ser. 5a, 1° sem. 1907].
(2) G. SCORZA: La risoluzione apiristica delle congruenze binomie e la formula di
interpolazione di Lagrange. [« Rend, della R. Acc. Naz. dei Lincei », fase. 7°, voi. III, ser. 6*,
1° sem. 1926].
(3) G. SANSONE: a) La risoluzione apiristica delle congruenze cubiche. Il lavoro è in
pubblicazione negli « Annali di Matematica ». Per la prima parte cfr. T. VI, (Serie IV),
p. 127-160. I resultati sono stati riassunti nel « Boll, dell'Un. Mat. Ital. », Anno VII0, n. 1,
p. 27; b) La risoluzione apiristica delle congruenze biquadratiche. [«Rend, della R. Acc.
Naz. dei Lincei », fase. 12°, voi. VI0, ser. 6a, 2° sem. 1927].
(4) G. SANSONE : a) Sul problema della risoluzione apiristica delle congruenze di grado
qualunque rispetto ad un modulo primo, e la risoluzione apiristica delle congruenze di
quarto grado. [Memorie della R. Acc. Naz. dei Lincei, fase. Vili, voi. Ili, ser. 6a, 1929].
I resultati sono stati riassunti nel «Boll, dell'Un. Mat. Ital.», Anno VII0, n. 3 ; b) Sulla
risoluzione apiristica delle congruenze cubiche le cui radici hanno lo stesso carattere quadratico rispetto al modulo. [Rendiconto R. Istituto Lombardo di Se. e Lettere, fase. XI-XV,
vol. LXI, 1928).
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COMUNICAZIONI
Anche in questo caso sono ora riuscito a stabilire formule assai semplici ed
eleganti per la loro risoluzione ( i ).
•»2. - Riassumiamo i risultati precedentemente ottenuti.
Una congruenza cubica può sempre ridursi con una sostituzione lineare, o
alla forma binomia x3 = a (mod. p) risolubile con la formula di CIPOLLA (2) o
alla forma
x3 + ax+a==Q
(1)
(mod. p)
dove supponiamo a intero, p primo, p #= 2, 3.
P0St
°
aD_ 3 = l,
D-2=0,
D_ì=0,
I?o = l,
A=0,
i
M^-(*T )^+(*7y'---+(-<iy r
(2)
(per * > 1 , r = | j ,
(per&>l,r= ^j^Jr
condizione necessaria e sufficiente perchè la (1) abbia tre radici incongrue è
che il numero a soddisfi la congruenza
(3)
Dp_2(a)=0
(mod. p)r
e nel caso che essa possegga una radice che non ha modulo p il carattere
quadratico delle altre due, [e per ciò è necessario e basta che si abbia
(4)
2>(p-5)/*(a)*0
(mod. p)]f
questa radice si determina colla formula
p-B
(I)
x= ( - 1 )
2
D{p__3)i2(a) I D (i >_5)/ 2 (a)
(mod. p).
Nel caso che la (1) abbia tre radici Xi, x2ì x3 aventi tutte e tre lo stesso
carattere quadratico del modulo, abbiamo pure visto (3) che esse possono supporsi tutte e tre residuo quadratico del modulo. Quando ciò sia, se i tre numeri
Xi — \x2x3, x2—ÌxBXi, x3—ÌXiX2 non hanno tutte e tre lo stesso carattere quadratico modulo p, allora posto :
(5) r^-SK-D^Ü,)^, ^^^^^(-D^U^-t)^ *-i.*(£) Per le dimostrazioni cfr. G. SANSONE « Nuove formule risolutive delle congruenze
cubiche ». [Rend, della R. Acc. di Se. fis. e mat di Napoli, voi. XXXV, ser. 4a, 1929].
(2) Cfr. G. SANSONE, loc. cit. (3) b), p. 13.
(3) Cfr. G. SANSONE, loc. cit. (4) b), p. 13.
G.
SANSONE:
Nuove formule
risolutive
delle congruenze
cubiche
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dove in ciascuna somma i prende tutti i possibili valori interi positivi o nulli per
i quali i coefficienti binomiali hanno i loro termini non negativi e il numeratore
non minore del denominatore, con la solita convenzione f j = l , la formula
(II)
* = 2 ( - l ) > Tp_-j(-^)
J 2p_5(-g
(mod. p)
dà una radice della (1).
3. - È facile provare che se nella (1) le tre radici xi9 x2} x3 hanno lo stessa
carattere quadratico modulo p, ma le tre differenze x±— x2} x2—x3, x3—Xi non
hanno lo stesso carattere quadratico modulo p, con una trasformazione lineare
nota, la (1) può ridursi in un'altra per la quale si può applicare la formula (I).
Il caso di cui possiamo perciò occuparci è il seguente:
<•»
(?)=(?)=(!)• ( V M V H V ) Hi dimostra allora :
a) Sia p~ Al \ 1, e le tre radici della (1) soddisfino le (6), si abbia cioè:
17)
(
I) » />,, »(«)»J/>„ ,.(".) 0,
i\mEÌ*lcruim*> il
congruenza
lG((J(}i + aa-a)yJf,(a)
differenziale
a
T
J =0
di tp(a) sono determinati
Ci_i=0,
del secondo
+ 2^3a2 + a)yJf(a)+4:5ayJ(a) = 0
dalle
(mod.^).
CZ_2 = 0,
ordine
(mod. p),.
relazioni:
(4*>9)(4i+13)c,+8a(2i + 7)(i+^^
£=Z-4,J-5,....,3,2,1,0.
(9)
e
(_"
«(<*' ' I tU ««' * f .... +<vx + c0)f
th-fi ni lo uHivornmvHtv dalla
di tipa futitsiano :
I coefficienti
R
polinomio
V(u)
(H)
I)„
(mod.p)
Cï_3 = l ,
l'equazione
(10)
ammette
(III)
tp(a) = 0
1—2 radici
incongrue.
La
(mod. p)
formula
2
3a + a
. y>'(a)\
„_„+!/(, ,g±i.
+ 1 v>(°)
per ciascuno dei 31 + 3 valori incongrui di a che non soddisfano la (10)
fornisce sempre una radice della congruenza (1), e precisamente dei tre numeri
Xi + a, x2 + a, x3 + a dà quello che non ha il carattere quadratico degli altri due..
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COMUNICAZIONI
b) Sia p=4l+3,
lo stesso le (7).
Consideriamo il
e le tre radici della (1) soddisfino le (6) o ciò che è
polinomio
ip{a) = a(al~L + Ci_2al~2 + Ci^3al~3 + .... + c2a2 + c±a + c0)
di grado 1, definito univocamente
ordine di tipo
fuchsiano:
16(a3 + aa-a)yj/,(a)
(8')
I coefficienti
dalla congruenza
+ 8(Sa2 + a)yj,(a)-Sayj(a)=0
di yj(a) sono determinati
dalle
(4à + 3)(4à + 7)Ci + 8a(2i + 5)(é + 3 ) ^
ci+i=ci=0,
c^_i = l ;
i=l—2,
e l'equazione
(10')
ammette
differenziale
del secondo
(mod. p).
relazioni:
(mod.^)
l—3,...., 2 , 1 , 0,
^(a) = 0
1 radici incongrue
(IIP)
(0 ineluso). Za
(mod. p)
formula
^ - a +i j g
(m0 d.^)
jper ciascuno dei 31 valori di a che non soddisfano la (10), e distinti
—Xi, — x 2 , — x 3 fornisce una radice della congruenza (1).
da
4. - Passando a studiare le proprietà delle radici della congruenza
(10)
yj(a) = 0
(mod. p).
relativa ad una congruenza (1) per la quale sono soddisfatte le (7) si dimostra :
La (10) ammette le radici
Gl,
a2=l±Ì-4:a~27/6
e se a è una radice della (1) incongrua aLi a2 modulo p, essa ammette
anche le radici che si ottengono da a con le trasformazioni
lineari, una
inversa
dell'altra:
(da + V2)a + 2a2
Gaa _|_ (__ Qa _|_ |/j) '
(9a — V A)a + 2a2
ßaa + (— 9a — VA) '
A
-a 2 (4a + 27).