Istituto Magistrale

UNIONE MATEMATICA ITALIANA
C. I. I. M.
Commissione Italiana per l'Insegnamento della Matematica
ESEMPI DI TERZE PROVE per il NUOVO ESAME DI STATO
LA COMPONENTE MATEMATICA
ISTITUTO MAGISTRALE
Tipologia A - Trattazione sintetica di argomenti
4.
Ricordiamo che una legge di composizione interna (o operazione binaria) definita in un insieme I è una
funzione Φ: I X I→
→ I, ovvero una legge che ad ogni coppia ordinata di elementi di I fa corrispondere
uno ed un solo elemento di I (risultato dell'operazione).
a) Nell'insieme Z dei numeri interi si consideri la legge che ad ogni coppia (a, b) ∈Z X Z associa il
mimino degli interi a, b.
È una legge di composizione interna? Se sì, è associativa? È commutativa?
Si giustifichino adeguatamente tutte le risposte.
b) Nell'insieme N0 dei numeri naturali non nulli si consideri la Φ, definita per ogni coppia
(a, b) N0 X N0 nel modo seguente:
Φ (a, b) = c
essendo c ∈ N0 un divisore comune dei naturali a, b.
A quale, o quali, proprietà della definizione di operazione binaria l'esempio non soddisfa?
Si giustifichi adeguatamente la risposta.
c) Come può essere modificato l’esempio precedente in modo che la legge considerata sia una legge di
composizione interna?
Si giustifichi adeguatamente la risposta.
Estensione risposta: massimo 20 righe.
5.
Tra tutte le congruenze nel piano si considerino:
σr simmetria assiale di asse la retta r
σs simmetria assiale di asse la retta s
Indichiamo con • il segno di composizione di due congruenze.
1) Se r e s sono distinte e parallele, che tipo di congruenza è σr • σs?
2) Se r e s sono coincidenti, che tipo di congruenza è σr • σs?
3) Se r e s sono coincidenti, che tipo di congruenza è σr • σs • σr?
Siano ora r e s distinte ed incidenti e sia C l’intersezione di r, s. Sia:
σC simmetria centrale di centro il punto C
4) Se r e s sono perpendicolari, che tipo di congruenza è σr • σs?
5) Se r e s non sono perpendicolari, che tipo di congruenza è σr • σs?
6) Se r e s sono perpendicolari, che tipo di congruenza è σr • σs • σC?
Giustificare adeguatamente tutte le risposte.
Estensione risposta: massimo 25 righe e 6 disegni.
6.
Assegnate in un piano una retta r ed una figura F, dire che cosa si intende per figura simmetrica di F
rispetto ad r.
Disegnare poi due figure (a scelta) A e B che siano simmetriche rispetto ad r (l'una simmetrica
dell'altra).
Disegnare ancora due figure (a scelta) C e D che siano simmetriche rispetto ad r (ciascuna simmetrica
di se stessa).
Discutere i due possibili significati della frase X e Y sono figure simmetriche rispetto ad r, facendo
riferimento al connettivo logico "e".
Estensione risposta: massimo 12 righe e tre disegni.
7.
Nel secondo libro degli Elementi di Euclide l’identità algebrica modernamente scritta:
(a+b)² = a²+2ab+b²
era indicata mediante la figura:
a
b
a
a2
ab
b
ab
b2
1) Si spieghi come la precedente figura può indicare tale identità.
2) Si indichi come può essere illustrata, in modo analogo al caso ora esaminato, l’identità algebrica:
a²−b² = (a+b)(a−b)
3) Si indichi come può essere illustrata geometricamente l’identità:
(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
Si giustifichino adeguatamente tutte le risposte.
Estensione risposta: massimo 6 righe e 2 disegni.
8.
Si consideri il seguente problema: dimostrare che tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato quello di
area massima è il quadrato.
Una sua risoluzione elementare è avviata nel modo seguente:
Consideriamo tutti i rettangoli aventi perimetro che misura 4p, con p reale positivo. Indichiamo con
p+d e con p−d le misure dei lati di uno di tali rettangoli, essendo d un reale non negativo non maggiore
di p. L’area di tale rettangolo è data dall’espressione algebrica…
a) Si completi la precedente risoluzione.
b) Si consideri ora il seguente problema: dimostrare che tra tutti i rettangoli di area data quello avente
la diagonale minima è il quadrato. Lo si risolva utilizzando l’identità algebrica:
(a−b)2+2ab = a2+b2
c) Si risolva ora in modo analogo il problema: tra tutti i triangoli rettangoli di ipotenusa assegnata,
determinare quello di area massima.
Estensione risposta: massimo 25 righe e tre disegni eventuali.
9.
Determinare l'area di un triangolo rettangolo conoscendo la lunghezza dell'ipotenusa e l'ampiezza di un
angolo acuto. Fissata la lunghezza dell'ipotenusa, per quale ampiezza l'area è massima?
Rispondere poi alle domande precedenti nel caso si fissi la lunghezza di un cateto e si faccia variare
l'ampiezza dell'angolo acuto opposto al cateto.
Estensione risposta: 25 righe e due disegni.
Risposte e commenti
n. 8
a)La risposta avviata per l'area del rettangolo si può completare con:
(p+d)(p-d) = p 2 − d 2
Tale espressione è chiaramente massima quando il secondo termine d 2 è nullo.
Ma per d = 0 si ha che p+d = p-d = p, ovvero che il rettangolo è in effetti un quadrato.
b) Consideriamo l'espressione data nella quale a e b indicano le misure dei due lati del rettangolo e
riscriviamola:
a2+b2= (a−b)2+2ab
A primo membro abbiamo il quadrato della misura della diagonale. Essa sarà minima se (a−b)2+2ab è
minimo. Poiché l'area ab è fissata, e quindi lo è anche 2 ab (positivo), dovrà essere (a-b) 2 minimo,
ovvero nullo. Ma in tal caso a = b e dunque il rettangolo con la diagonale minima è un quadrato.
c) La relazione algebrica precedente (a−b)2+2ab = a2+b2 può essere scritta come
2ab = a2+b2- (a−b)2.
Adesso, se con a e b indichiamo le misure dei cateti del triangolo rettangolo, la sua area sarà
1
ab;
2
la misura dell'ipotenusa è data da a 2 + b 2 ; a2+b2 è il suo quadrato. Cercare il massimo dell'area
equivale a cercare il massimo del suo quadruplo 2 ab. L'area sarà allora massima quando l'ultimo
termine a secondo membro è minimo, ovvero quando (a−b)2= 0, e ciò accade per a = b.
n. 9
a)
a
Si può ricordare che, fissata la lunghezza dell'ipotenusa a, tutti i triangoli rettangoli sono inscritti in una
1
semicirconferenza che ha per diametro l'ipotenusa. Poiché l'area si può esprimere con ah (h misura
2
dell'altezza relativa all'ipotenusa), essa sarà massima quando h è massima: ciò corrisponde ad h uguale
al raggio: il triangolo risulta isoscele, con angoli acuti di 45°.
b)
k
A'
A''
Fissata la lunghezza di un cateto, geometricamente si osserva che l'area del triangolo cresce via via che
diminuisce l'ampiezza dell'angolo acuto opposto a tale cateto; contemporaneamente la lunghezza del
secondo cateto cresce, senza limitazioni. Pertanto non esiste un'area massima.
Tipologia B - Quesiti a risposta singola
1.
Si consideri un cubo. Sia P un punto interno al cubo. Si indichino con x1, x2 le distanze di P da due
facce parallele del cubo, con y1, y2 le distanze di P da altre due facce parallele, con z1, z2 le distanze di P
dalle rimanenti due facce parallele.
Si esprima la somma (x1 + x2 + y1 + y2 + z1 + z2) e si studi come varia al variare di P.
Si consideri ora un parallelepipedo retto di spigoli a, b, c e un punto P interno ad esso. Si definiscano
x1, x2, y1, y2, z1, z2 in modo analogo al caso del cubo.
Si calcoli la somma (x1 + x2 + y1 + y2 + z1 + z2).
Che cosa si osserva?
Estensione risposta: massimo 6 righe e un eventuale disegno.
2.
Un cubo è inscritto in una sfera di raggio unitario. Quanto è lungo lo spigolo del cubo? Quanto è lunga
una diagonale di una faccia del cubo? Qual è l'area della superficie totale del cubo?
Estensione risposta: massimo 9 righe più eventuale disegno.
3.
Dimostrare che la somma di quattro numeri naturali consecutivi è sempre divisibile per 2 e mai per 4 e
che il loro prodotto è divisibile per 24.
Estensione risposta: massimo 5 righe.
4.
Una mosca parte dal vertice A di un cubo ABCDEFGH avente lo spigolo lungo 200 cm; seguendo
sulla superficie del cubo la strada più breve, essa raggiunge il vertice opposto G alla velocità di 5 cm al
secondo. Una formica parte contemporaneamente dal vertice B (adiacente ad A) e raggiunge G alla
velocità di 3 cm al secondo, anch'essa per la via più breve. Quale dei due insetti arriva per primo? Dopo
quanto tempo arriva il secondo?
Estensione risposta: massimo 10 righe, oltre ad un eventuale disegno.
Risposte e commenti
n.1
Le distanze di un punto interno al cubo da due facce parallele sono segmenti perpendicolari alle facce
stesse, allineati sulla stessa retta ( adiacenti) ed anche paralleli ad uno spigolo del cubo.
Se a è la lunghezza dello spigolo del cubo, x1 + x2 = a ;
analogamente y1 + y2 = a e z1 + z2 = a.
Pertanto la somma complessiva vale 3 a.
Per il parallelepipedo rettangolo valgono le stesse considerazioni sulla direzione dei segmenti che
determinano le distanze del punto interno P dalle facce; sarà
x1 + x2 = a; y1 + y2 = b; z1 + z2 = c, quindi la loro somma complessiva vale a+b+c.
n.2
Risposta: 2 3
; 2 6 ; 8.
3
3
Commento. È un semplice esercizio che richiede la capacità di rappresentare una figura nello spazio
(per capire che la diagonale del cubo è un diametro della sfera) e la conoscenza delle proprietà
elementari dei radicali. Si può risolvere o impostando una proporzione a partire da un cubo di spigolo
unitario, o con una semplice equazione; alla fine, è probabile che lo studente razionalizzi i risultati.
Tipologia C - Quesiti a risposta multipla
1.
Se a, b sono due numeri irrazionali, la loro somma a+b:
a)
b)
c)
d)
può essere razionale
è irrazionale
è razionale
è diversa da 0
7.
La radice quadrata di 0,65 vale circa:
a)
b)
c)
d)
0,8
0,25
0,08
0,0026
8.
Quale delle seguenti espressioni rappresenta "un terzo del quadrato del doppio di x" ?
 x
a) 2  
 3
2
(2 x ) 2
3
2x2
c)
3
b)
 2x 
d)  
 3 
3
9.
Perché una mediana di un triangolo sia uguale alla metà del lato che essa divide in due parti
a)
b)
c)
d)
è necessario e sufficiente che il triangolo sia isoscele
è necessario ma non sufficiente che il triangolo sia rettangolo
è sufficiente ma non necessario che il triangolo sia rettangolo
è necessario e sufficiente che il triangolo sia rettangolo
Risposte e commenti
n.1
n.7
n.8
n.9
a
a
b
d
Tipologia D - Problemi a soluzione rapida
1.
Un litro di acqua minerale riempie interamente un contenitore di cartone a forma di parallelepipedo
con base quadrata di lato 7,0 cm.
a) Qual è l'altezza del recipiente?
b) Se la stessa quantità d'acqua riempie una lattina cilindrica che ha altezza eguale alla precedente,
quanto dev'essere il diametro della base?
c) In un container cubico con spigolo interno di 100 cm, quanti contenitori del primo tipo si possono
collocare?
d) Quante lattine cilindriche?
e) Se il costo del trasporto di un container è il medesimo sia che contenga lattine che cartoni, qual è
l'aggravio percentuale di spesa di trasporto per una lattina rispetto alla spesa per un cartone?
È consentito l'uso di calcolatrice tascabile.
2.
Si deve confezionare una scatola di cartone, a forma di parallelepipedo rettangolo, in cui vanno riposti
108 cioccolatini aventi la forma di un parallelepipedo rettangolo. Dire, motivando la risposta, che relazione deve esistere fra le lunghezze dei lati della scatola per usare meno cartone
possibile.
Precisare eventuali ipotesi aggiuntive.