f - ISAC

DINAMICA
Principi di conservazione:
1) del momento
2) della massa
3) dell’energia
Forze che influenzano i moti atmosferici:
1) forza del gradiente di pressione
2) forza gravitazionale
3) attrito
Forze apparenti nel caso di sistema di riferimento ruotante (non inerziale):
- forza centrifuga
- forza di Coriolis
Forza del gradiente di pressione (pressure gradient force)
∂p δx 

FAX = − p0 +
δyδz
∂x 2 

∂p δx 

FBX =  p0 −
δyδz
∂x 2 

FX=FAX+FBX
FX
1 ∂p
=−
m
ρ ∂x
r
F
1
= − ∇p
ρ
m
La forza non è proporzionale alla pressione
ma al gradiente di pressione
r
Fg
r
GM  r 
GM
Forza gravitazionale
= g* = − 2   ≈ − 2
m
r r
a
r
r 
  = cost.
r
Forza d’attrito viscoso
F
δu
∂u
= τ zx = limδz →0 µ
=µ
δz
A
∂z
τ zx
componente dello stress che deriva
dallo shear verticale (z) della
componente x della velocità
∂τ δz 
∂τ δz 
∂τ


X : τ zx + zx δyδx − τ zx − zx δyδx = zx δxδyδz
∂z 2 
∂z 2 
∂z


1 ∂τ zx 1 ∂  ∂u 
∂ 2u
=
 µ  =ν 2
ρ ∂z
ρ ∂z  ∂z 
∂z
 ∂2u ∂2u ∂2u 
Frx =ν  2 + 2 + 2 
 ∂x ∂y ∂z 
 ∂ 2v ∂ 2v ∂ 2 v 
Fry =ν  2 + 2 + 2 
 ∂x ∂y ∂z 
ν = coeff. di viscosità cinematico
 ∂ 2 w ∂2 w ∂2 w
Frz =ν  2 + 2 + 2 
∂z 
 ∂x ∂y
Sistemi di riferimento non inerziali
Sistemi di riferimento inerziali principio della dinamica
Sistemi di riferimento non inerziali forze apparenti (centrifuga e Coriolis)
Forza Centripeta e Centrifuga
r
dv
2r
= −ω r
dt
forza centripeta diretta verso il centro di rotazione
forza centrifuga è uguale ed opposta
Forza di gravità
Ω=2π/86164=7.292 10-5 rad/s
r
r r
2
g = g * +Ω R
g* diretta verso il centro della terra
g perpendicolare alla superficie
r
dφ
∇φ = − g ⇒
=g
dz
Forza di Coriolis
Moto lungo un circolo di latitudine
2
2
2 r
r
r
r
2
Ω
u
u
u


R+ 2 R
Ω +  R = Ω R +
R
R
R

2Ωu r
R
R
forza
centrifuga
forza deviante
forza di Coriolis per un oggetto in moto lungo un circolo di latitudine
dv
= − 2 Ω u sin φ
dt
dw
= 2 Ω u cos φ
dt
Una particella che si muove verso est subisce una deviazione
verso sud, mentre una particella che si muove verso ovest viene
deviata verso nord (nell’emisfero nord). In entrambi i casi la
deviazione è sulla destra rispetto alla direzione del moto.
La componente verticale è normalmente trascurabile rispetto alla
forza gravitazionale e causa solo variazioni minime nel peso
della particella in moto.
Forza di Coriolis per un oggetto in moto lungo un meridiano
Conservazione del momento angolare
δu = −2ΩδR
δu 

2
vR = Ω R =  Ω +
 (R + δ R )
R + δR 

2
Questo incremento δu può essere
dovuto sia da un moto meridionale
che verticale (vedi fig)
Per un moto meridionale
δu = −2ΩδR = 2Ωaδφ sin φ0
dφ
 du 
sin φ0 = 2Ωv sin φ
  = 2Ωa
dt
 dt Co
per un moto verticale:
du
= −2Ωw cos φ
dt
Quindi l’espressione completa che descrive la variazione della velocità zonale diventa:
du
= 2Ωv sin φ − 2Ωw cos φ = fv − 2Ωw cos φ
dt
f = 2Ω sin φ
= parametro di Coriolis
Quindi anche per moti meridionali/verticali l’effetto della forza di Coriolis è di produrre
una deviazione verso destra (nell’emisfero nord).
L’espressione completa in 3D della forza di Coriolis risulta:
du
= fv − 2 Ω w cos φ
dt
dv
= − fu
dt
dw
= 2 Ω u cos φ
dt
OSS1: la forza di Coriolis agisce sempre perpendicolarmente al moto, quindi non fa lavoro sulla particella in
moto. Può cambiarne la direzione, ma non la velocità.
OSS2: la forza di Coriolis non è importante per moti a piccola scala come, ad esempio, la dinamica di una
cella temporalesca. E’ essenziale nella descrizione dei moti a larga scala (sinottica e planetaria) anche ad
esempio nel calcolo delle traiettorie dei missili a lungo raggio.