Capitolo 22

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Capitolo 22

——————————— S.Barbarino - Appunti di Microonde ———————————
Cap. 22
Tubi a modulazione di velocitá Klystron.
22.1 - Klystron a due cavitá.
Al crescere della frequenza, i tubi di tipo classico non possono essere usati né come
amplificatori né come oscillatori.
Un sistema sostitutivo ad alte frequenze é il Klystron (dal greco klyzein=infrangersi
delle onde sulla spiaggia) che opera sul principio della modulazione di velocitá di un fascetto
di elettroni.
Un tipo di struttura é il Klystron a due cavità che é illustrato in fig.22.1-1.
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.. uscita
.. ←−
.. .... ....
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←−
←−
... 2
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.. 1
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vetro ...
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↓ .................................. ...................................................................................................... ........................................................
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G1 ..... ..... G2
G3 ..... ..... G4
L
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W
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... F .... .......................
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A
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k .. ..................................... ....................................................................................................... .......................................................
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M
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V0
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l
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fig.22.1-1
Gli elettroni emessi dal catodo k, focalizzati dal cilindro W ed eventualmente dalla
lente elettrostatica L, formano un fascio che percorre il tubo lungo l’asse x, attraverso la
coppia di griglie modulatrici G1 , G2 (buncher), il cilindro di raggruppamento compreso fra
G2 G3 (drift), la coppia di griglie captatrice G3 , G4 (catcher) fino a raggiungere in parte
l’anodo A. La coppia di griglie G1 G2 fa parte della cavitá 1; la coppia di griglie G3 G4 fa
parte della cavitá 2.
Le cavitá con le relative griglie, il cilindro di raggruppamento e l’anodo costituiscono
una sola struttura metallica, generalmente connessa a terra, mentre gli elettrodi del cannone elettronico sono isolati e connessi a convenienti potenziali negativi. In fig.22.1-2 é
22 - 1
schematizzata una tipica cavitá risonante utilizzata nei klystron.
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...........................griglia
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................griglia
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asse di
rotazione
fig.22.1-2
22.2 - Modulazione di velocitá.
Assumiamo che un fascio di elettroni passi attraverso una cavitá del tipo mostrato
in fig.22.1-2, fra le griglie della quale vi sia una tensione a radiofrequenza di periodo T .
Supponiamo che le griglie siano cosí vicine per cui il tempo di transito attraverso di esse
sia una piccola frazione del periodo. Esaminiamo ora il fenomeno di raggruppamento
degli elettroni che si manifesta allorché essi proseguono il viaggio dopo avere attraversato
la coppia di griglie G1 G2 che imprime loro la modulazione di velocitá. Com’è noto gli
elettroni giungono alla coppia di griglie con una velocitá u0 data da:
u0 =
r
p
2e
V0 = 5.95 · 105 V0
m0
m
sec
(22.2.1)
in cui e é la carica dell’elettrone, m0 é la massa dell’elettrone, V0 é la tensione acceleratrice
degli elettroni esistente fra il catodo k e la coppia di griglie.
Se fra la coppia di griglie modulatrice G1 G2 é applicata una tensione sinusoidale di
pulsazione ω e di ampiezza V , la velocitá u con cui gli elettroni escono da G2 soddisfa alla
relazione:
1
(22.2.2)
m0 u2 = e V0 + V sin ωt = eV0 1 + α sin ωt
2
per cui risulta:
√
u = u0 1 + α sin ωt
(22.2.3)
V
= profonditá di modulazione della velocitá.
V0
Se α é piccolo la radice della formula (22.2.3) si puó ritenere uguale ai primi due
termini del suo sviluppo in serie binomiale cioé:
dove si é posto α =
α
u ≃ u0 1 + sin ωt
2
22 - 2
(22.2.4)
La velocitá varia quindi fra i limiti
√
α
umax = u0 1 + α ≃ u0 1 +
2
√
α
umin = u0 1 − α ≃ u0 1 −
2
per cui, se per esempio α = 0.2 si ottiene
umax ≃ 1.1u0
umin ≃ 0.9u0
Un elettrone che attraversi la coppia di griglie modulatrici nell’istante in cui la tensione
fra queste é nulla prosegue il suo cammino con la velocitá costante u0 impressa dalla
tensione V0 e, in un periodo T , della tensione modulatrice, percorrerá lungo l’asse x del
tubo, uno spazio λ0 dato da:
λ 0 = u0 T
(22.2.5)
che chiameremo convenzionalmente lunghezza d’onda degli elettroni.
Conviene utilizzare, invece di x e t i parametri relativi (numerici) che si ottengono
riferendo x a λ0 e t a T ; possiamo porre cioé:
ξ=
t
x
; τ=
λ0
T
(22.2.6)
si possono inoltre indicare con θ gli angoli:
θ = ωt = 2πτ
(22.2.7)
L’equazione oraria del moto di ciascun elettrone é:
α
x = u0 1 + sin ωt0 (t − t0 )
2
(22.2.8)
essendo t0 l’istante in cui l’elettrone lascia la prima coppia di griglie (supposte a distanza
nulla) e t il tempo. Per t = t0 si ha x = 0 ossia l’elettrone si trova tra le griglie G1 G2 .
In coordinate normalizzate la (22.2.8) si scrive:
α
x
= 1 + sin 2πτ0 (τ − τ0 )
ξ=
u0 T
2
(22.2.9)
Tracciamo per α = 0.2 e per ogni valore di τ0 le rette espresse dalla (22.2.9) in un
diagramma (τ, ξ), denominato diagramma di Applegate, rappresentato in fig.22.2-1. In
tale diagramma tracciamo, cioé, la distanza ξ di ciascun elettrone dalla coppia di griglie in
funzione del tempo τ . La coppia di griglie, nella nostra ipotesi, puó essere trattata come
singolo piano.
22 - 3
Gli elettroni piú veloci hanno tendenza a raggiungere quelli partiti prima, mentre
quelli piú lenti saranno raggiunti da quelli piú veloci che partiranno dopo; in tal modo,
dopo un certo percorso, gli elettroni, che attraversano le griglie G1 G2 con densitá uniforme,
risulteranno alternativamente addensati o diradati.
Il raggruppamento degli elettroni in “pacchetti” é evidenziato dalla densitá delle rette.
Si noti che i “pacchetti” suddetti si formano intorno alle rette che passano per ξ = 0 negli
istanti 0, T, · · · , nT cioé intorno a quegli elettroni che attraversano le griglie modulatrici
quando il segnale passa per zero da valori negativi a valori positivi; mentre attorno alle
T
rette corrispondenti a (2n + 1) si crea la massima rarefazione di elettroni.
2
Il grafico fornisce un quadro qualitativo del fenomeno di raggruppamento degli elettroni: fino ad una certa distanza dalle griglie non si ha raggruppamento; ad una distanza
particolare (chiamata distanza focale) si verifica un forte raggruppamento degli elettroni
che si ripete con il periodo T della tensione alternata. Dopo il primo raggruppamento
il fascio elettronico si sdoppia e all’aumentare della distanza vi saranno due gruppi di
elettroni che si susseguono all’interno del periodo.
Se il parametro α é piú piccolo ossia alla coppia di griglie é applicato un piccolo
segnale a radiofrequenza la distanza focale diventa piú grande ma, come vedremo dallo
studio analitico, l’intensitá del raggruppamento é sempre la stessa. Questa é una grande
caratteristica in quanto l’amplificatore klystron puó avere una fortissima amplificazione
pur con un debole segnale di ingresso.
É utile osservare che il fenomeno di raggruppamento é piú efficace se si modulano le
griglie con tensione a dente di sega, ossia con una tensione del tipo:
y = m(τ0 − nT )
(22.2.10)
essendo: m il coefficiente angolare della retta che rappresenta l’andamento della tensione
modulatrice, n ∈ N e
"
"
T
T
(22.2.11)
0 ≤ τ0 ∈ (2n − 1) , (2n + 1)
2
2
In fig.22.2-2 sono rappresentate tali rette e si osserva la sparizione dello sdoppiamento
dei gruppi nonché la maggiore concentrazione spaziale del raggruppamento.
Programma matlab per il diagramma di Applegate.
APPLEGATE.m
delete(get (0, ’children’));
alfa=0.2;
axes(’Position’,[0.1 0.3 .8 .8])
for tau0=-5:0.05:6;
tau=-1:0.1:6;
x=(1+(alfa./2).*sin(2.*pi.*tau0)).*(tau-tau0);
hold on
plot(tau,x)
xlabel (’\tau’)
ylabel (’\xi’)
22 - 4
title (’Diagramma di Applegate’)
axis ([-1,4, 0, 4])
end
axes(’Position’,[0.1 0.1 .8 .1])
tau0=-1:.1:4;
y=sin(2.*pi.*tau0);
plot(tau0,y)
axis ([-1,4, -1, 1])
xlabel (’\tau 0’)
grid on
text(1.2,-3,’fig.22.2-1’)
title (’Tensione applicata normalizzata (sin2\pi\tau 0)’)
22 - 5
Diagramma di Applegate
4.0
3.5
3.0
2.5
ξ
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
−1.0 −0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
τ
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
Tensione applicata normalizzata (sin 2πτ0 )
1
V
V0
0
......
..........
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.... ......
... .....
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... .....
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... .....
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.... ....
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.........
−1
−1.0 −0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
τ0
fig.22.2-1
22 - 6
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
Diagramma di Applegate con modulazione a dente di sega
4.0
3.5
3.0
2.5
ξ
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
−1.0 −0.5
1
V
V0
0.0
0.5
1.0
1.5
τ
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
Tensione applicata a dente di sega normalizzata [m(τ0 − nT )]
0
−1
−1.0 −0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
τ0
fig.22.2-2
22 - 7
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
22.3 - Diagramma τ − τ0
Una seconda rappresentazione del raggruppamento degli elettroni causato dalla modulazione di velocitá é mostrata in fig. 22.3-1 dove in ascissa é riportato il tempo τ in cui
l’elettrone raggiunge un dato punto ξ lungo il fascio e in ordinata l’istante di tempo τ0 in
cui l’elettrone lascia la griglia. Per graficare tali curve procediamo nella seguente maniera.
Dalla (22.2.9) si ha:
ξ
τ − τ0 =
(22.3.1)
α
1 + sin 2πτ0
2
che sviluppando in serie puó scriversi:
α
(22.3.2)
τ ≃ τ0 + ξ 1 − sin 2πτ0
2
Posto ξ =
tx0
x
=
= τx0 , si ha:
u0 T
T
τ ≃ τ0 + τx0 −
αξ
sin 2πτ0
2
(22.3.3)
dove τx0 é il tempo (in unitá di T ) che un elettrone impiega a percorrere lo spazio x con
velocitá u0 .
Posto k = αξπ la (22.3.3) si puó scrivere:
τ = τ0 + τx0 −
k
sin 2πτ0
2π
(22.3.4)
k prende il nome di parametro di raggruppamento. Per α = 0.2, per ogni valore di
ξ risulta fissato k; si puó cosí graficare τ0 in funzione di τ per alcuni valori di ξ come in
figura 22.3-1.
Qualunque sia ξ si puó osservare che per certi valori di τ0 gli elettroni lasciano la
griglia con velocitá maggiore di u0 impiegando cosí meno tempo per raggiungere il piano
ξ; per altri valori di τ0 essi lasciano la griglia con velocitá minore di u0 impiegando cosí
piú tempo per raggiungere il piano ξ. Cosí le curve risultanti deviano dalla linea retta.
Osserviamo, tuttavia, che all’aumentare di ξ la curva puó avere una tangente verticale per
un certo valore di esso e che addirittura per valori maggiori puó mostrare una pendenza
opposta. Questo rappresenta un raggruppamento degli elettroni.
Infatti, poiché gli elettroni lasciano le griglie uniformemente, ad eguali intervalli sull’asse delle ordinate corrisponderá lo stesso numero di elettroni. Possiamo allora trovare la
densitá degli elettroni su ciascun piano ξ come funzione del tempo di arrivo τ , misurando la
differenza di ordinate corrispondenti a due punti vicini sull’asse delle ascisse e dividendo per
questo intervallo orizzontale. É chiaro, quindi, che dove la curva ha una tangente verticale,
la densitá degli elettroni diventerá infinita. Per calcolare questa tangente deriviamo:
dτ
= 1 − k cos 2πτ0
dτ0
22 - 8
(22.3.5)
dτ
= 0.
dτ0
Si ottiene
e poniamo
k cos 2πτ0 = 1
(22.3.6)
Per diversi valori di k si ottiene in corrispondenza di τ0 :
k
1
1.5
2
τ0
0
0.13
0.17
k
2.5
3
3.5
τ0
0.18
0.20
0.20
La distanza che per un dato valore di α rende soddisfatta la (22.3.6) si chiama distanza focale e viene indicata con ξf .
Per esempio: per k = 1 e α = 0.2 =⇒ ξf = 1.59.
In sostanza la distanza focale é quella, lungo lo spazio di addensamento degli elettroni,
per la quale si ha per la prima volta un massimo teoricamente infinito. Oltre tale distanza
il massimo suddetto si sdoppia in due, che si allontanano fra loro mentre l’insellatura fra
questi due massimi si approfondisce.
Gli addensamenti suddetti si propagano con la velocitá u0 che é la velocitá media del
fascio elettronico.
22 - 9
−1
τ0
−2
(ξ = 3.59) −3
−4
−1
τ0
−2
(ξ = 3.09) −3
−4
0
τ0
−1
(ξ = 2.59) −2
−3
0
τ0
−1
(ξ = 2.09) −2
−3
1
τ0
0
(ξ = 1.59) −1
−2
2
τ0
1
(ξ = 1.09)
0
−1
τ0
(ξ = 0.59)
2
1
0
−1
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....................
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...........................................................................
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
......................................................
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........................................
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
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.......................................................
...............................................
.....................
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...................................................
...........................
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
τ
fig.22.3-1
22 - 10
22.4 - Andamento della corrente.
La corrente I(ξ, τ ) che attraversa la sezione ξ all’istante τ é:
I(ξ, τ ) =
dq
dq dτ0
dq
1
1
=
=
= I0
dτ
dτ0 dτ
dτ0 1 − k cos 2πτ0
1 − k cos 2πτ0
(22.4.1)
I(ξ, τ )
, cioé la corrente, misurata nella sezione ξ
I0
all’istante τ , normalizzata alla corrente presente tra le griglie modulatrici:
Grafichiamo la funzione i(ξ, τ ) =
i(τ ) =
1
1 − k cos 2πτ0
(22.4.2)
dove τ0 é l’istante di partenza degli elettroni.
Ovviamente bisogna esplicitare l’argomento del coseno in funzione di τ per capire
come varia la i(τ ); l’istante τ di arrivo é una funzione di τ0 , e viceversa τ0 é una funzione
di τ , nel senso che, fissato l’istante di arrivo τ di un certo elettrone, si puó risalire al suo (o
ai suoi) istante di partenza τ0 . Per far ció é necessario invertire la funzione τ (τ0 ), il che é
possibile solo numericamente perché l’equazione che lega τ e τ0 é non lineare. In fig.22.41 sono riportati alcuni grafici di i(τ ) in varie sezioni, ottenuti valutando numericamente
τ0 (τ ) ed assumendo α = 0.2.
Prima di graficare la corrente é utile effettuare una previsione qualitativa della corrente
descritta dall’espressione (22.4.2).
Da quanto detto ci si aspetta che per k < 1 (ξ < 1.59) non ci sia raggruppamento,
ovvero che il massimo della corrente sia minore del sup[i(k, τ )] = +∞; ció é confermato
dal fatto che per k < 1 il denominatore di i(τ ) non puó annullarsi. Tuttavia al tendere
di k all’unitá il denominatore si approssima allo zero, per cui il massimo di i(τ ) cresce
all’aumentare di k nell’intervallo (0, 1). I diversi grafici confermano le previsioni.
Si noti, inoltre, che τ é normalizzata al periodo T del campo armonico generato dal
klystron. Nella sezione ξ = 0.59 si ha il massimo della corrente, per t ≃ 0.6T , pari a circa
due volte la corrente continua fornita dal catodo all’ingresso della cavitá modulatrice.
Per ξ = 1.59 ci si attende che i massimi siano infiniti, dato che k = 1.
Si noti che l’istante in cui si ha il massimo é successivo all’istante di massimo del
grafico precedente; é una regola del tutto generale: i picchi relativi alle sezioni piú lontane hanno luogo in istanti di tempo successivi ai massimi delle sezioni piú vicine alle
griglie modulatrici; fisicamente, ció é facilmente intuibile: tra un grafico ed il successivo,
l’andamento temporale é traslato a destra, cioé si ha un ritardo, dovuto al fatto che gli
elettroni impiegano piú tempo per raggiungere sezioni piú lontane.
Per ξ > 1.59 é palese che l’andamento sia traslato verso destra, rispetto al grafico
per ξ = 1.59. Inoltre si nota uno sdoppiamento del massimo in due picchi, tra i quali é
presente un “avvallamento”, come del resto é evidente dal diagramma di Applegate.
Man mano che aumenta ξ, i picchi si sono distanziati maggiormente rispetto ai grafici
delle sezioni precedenti; anche questo fatto é del tutto generale: all’aumentare di ξ, cioé
della distanza fra le due cavitá, i picchi si allontanano. Questo era giá facilmente intuibile dai grafici dell’istante di arrivo in funzione di quello di partenza: é evidente che
22 - 11
all’aumentare di k, cioé della distanza fra le due cavitá, gli istanti di arrivo corrispondenti
ai punti a derivata nulla si distanziano sempre piú.
Per quanto detto, quindi, ci aspettiamo che i grafici successivi, relativi a k via via
crescenti, siano simili a quelli giá presentati, eccetto che per la traslazione verso destra e
per l’aumento della distanza fra i massimi.
I massimi per k ≥ 1 sono infiniti, come previsto, e quindi la distanza focale (k = 1)
é la prima sezione con picco non limitato che si incontra viaggiando tra le due cavitá nel
verso degli elettroni.
Si noti che dai grafici di i(τ ) non si evince alcuna informazione che possa suggerire
quale sia il valore ottimale di k (che abbiamo precedentemente visto essere pari all’unitá)
ai fini del massimo raggruppamento: per k ≥ 1 i massimi sono tutti infiniti, cioé vi é un
istante di tempo in cui gli elettroni giungono pressoché contemporaneamente. Per capire
come i concetti introdotti in questo e nel precedente paragrafo siano collegati é necessario
evidenziare che in pratica non si puó ottenere una corrente infinita; ció avviene in quanto
non sono verificate in modo esatto le ipotesi sulla perfetta uguaglianza delle velocitá di
ingresso dei vari elettroni alle griglie modulatrici, sul poter trascurare l’interazione tra gli
elettroni (che certo esercitano gli uni sugli altri delle forze piccole, ma non nulle), sul poter
considerare istantaneo il volo tra le griglie di ciascuna cavitá.
Allora nella pratica realizzazione di un generatore klystron a due cavitá bisogna
scegliere k in modo che il raggruppamento sia migliore possibile: i picchi non saranno
piú infiniti, e per quanto detto il massimo piú elevato si avrá per k = 1, in quanto la τ (τ0 )
∆q
é massimamente piatta e quindi
é il massimo possibile fra le sezioni a k ≥ 1.
∆τ
Nella pagina successiva é presentata una serie di grafici che permette di verificare la
correttezza delle osservazioni sin qui proposte. É riportato l’andamento della corrente in
un klystron a due cavitá: ogni diagramma si riferisce ad una sezione (indicata a lato);
sull’asse delle ascisse vi é il tempo, sulle ordinate l’intensitá di corrente normalizzata alla
corrente presente all’ingresso delle griglie modulatrici.
22 - 12
20
15
i(τ )
10
(ξ = 3.59)
5
0
20
15
i(τ )
10
(ξ = 3.09)
5
0
20
15
i(τ )
10
(ξ = 2.59)
5
0
20
15
i(τ )
10
(ξ = 2.09)
5
0
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0.0
0.2
0.4 0.6 0.8 1.0
1.2
1.4 1.6 1.8 2.0
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0.0 0.2 0.4 .0.6. 0.8 1.0 1.2 1.4 .1.6. 1.8 2.0
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0.0 . . 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 . . 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
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0.0 0.2 0.4 0.6
0.8 1.0 1.2 1.4 1.6
1.8 2.0
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i(τ )
(ξ = 1.59)
4
2
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0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
i(τ )
(ξ = 1.09)
4
2
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
i(τ )
(ξ = 0.59)
4
2
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0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
τ
fig.22.4-1
22 - 13
22.5 - Algoritmo di inversione della funzione τ (τ0 ).
Per graficare la funzione i(τ ) é necessario esplicitare la relazione che esprime il valore
dell’istante di partenza degli elettroni che giungono all’ingresso del catcher all’istante τ nel
quale si vuole valutare l’ampiezza della corrente.
Dalla teoria conosciamo la funzione τ (τ0 ), purtroppo é impossibile invertire tale funzione in modo simbolico, in quanto tale espressione é non lineare a causa del termine
cosinusoidale.
Allora si é costretti a procedere numericamente, fissando di volta in volta la sezione
ξ: per ogni τ nel quale si vuole calcolare la corrente, é necessario ricavare l’istante di
partenza τ0 che soddisfa la nota equazione τ = f (τ0 ). A tal uopo, utilizzando un qualunque
programma di calcolo, si puó valutare numericamente il valore di τ0 che, per un certo τ ,
soddisfa la τ = f (τ0 ), ovvero la soluzione dell’equazione τ − f (τ0 ) = 0.
Quindi il problema dell’inversione della funzione τ (τ0 ) nella τ0 (τ ) si riduce semplicemente al calcolo iterativo, al variare di τ , degli zeri della funzione τ − f (τ0 ), che si effettua
facilmente. Presentiamo un programma Matlab che effettua tale inversione e calcola la
corrente. Bisogna tuttavia far attenzione che quando la curva τ0 (τ ) é a tre soluzioni, ossia
per ogni valore di τ esistono tre valori di τ0 e quindi della corrente, bisogna sommare i tre
valori della corrente (in valore assoluto) per tracciare il grafico.
Programma MODVELO.m
delete(get(0,’children’));
csi=3.59;
alfa=0.2;
k=csi.*alfa.*pi;
for tau=0.:.01:2;
delta=0.001;
tau0=-4.5;
for i=1:3000
F(i)=tau0+(csi./(1+(alfa./2).*sin(2.*pi.*tau0)))-tau;
tau0=tau0+delta;
G(i)=tau0+(csi./(1+(alfa./2).*sin(2.*pi.*tau0)))-tau;
HH(i)=F(i).*G(i);
[tau0 F(i) G(i) HH(i)]
if HH(i)<0
[tau tau0]
I=1./(1-k.*cos(2.*pi.*tau0));
[tau0 tau I F(i)]
end
end
end
Fine del Cap.22
22 - 14

Capitolo 22

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