5.Il gioco interrotto e la divisione della posta

Dati e previsioni
Il gioco interrotto e la divisione della posta
Cecilia Magni
Contesto
Questa attività può essere svolte nel secondo biennio (per esempio nella classe quarta) per mettere
alla provagli studenti con un problema “storico” del calcolo delle probabilità.
Prerequisiti
Conoscenza della probabilità totale e della probabilità composta di eventi indipendenti.
Descrizione dell’attività
L’insegnante pone ai gruppi di lavoro il seguente problema:
“Due giocatori, A e B, hanno deciso di giocare una serie di partite ed hanno stabilito che vincerà
tutto quello che vincerà per primo 3 partite. Hanno scommesso 18 euro ciascuno quindi la posta in
gioco è di 36 euro. Ad un certo punto però, quando stanno 2 a 1 per A (cioè A ha vinto due partite e
B solo una) devono interrompere il gioco: come è giusto che dividano la posta?”
Osservazione iniziale
Dalla discussione collettiva dovrà emergere che la posta andrà divisa in relazione alle probabilità
che hanno di vincere ciascun giocatore al momento dell’interruzione del gioco. Non ha senso quindi
per esempio dire che la posta va divisa in parti proporzionali al punteggio ,in questo caso 2 :1 , cioè
24 euro ad A e 12 euro a B.
Infatti con questo schema di ragionamento se per esempio il gioco fosse stato interrotto quando
stanno 1: 0 a B non spetterebbe niente mentre anche B, continuando il gioco, ha qualche probabilità
di vincere.
Il problema è quindi quello di calcolare la probabilità che hanno di vincere i due giocatori nel
momento in cui il gioco viene interrotto.
Qual è la probabilità che hanno i due giocatori di vincere?
Si suppone che i due giocatori siano da considerarsi di pari abilità e che quindi ad ogni partita
abbiamo la stessa probabilità di aggiudicarsi il punto.
Supponiamo che il gioco continui: se nella prima partita vince A il gioco è finito ed ha vinto A, se
invece vince B sono 2:2 e devono giocare un’altra partita.
Se in questa seconda partita vince A il gioco finisce ed ha vinto A, mentre se vince B anche in
questo caso il gioco finisce ed ha vinto B.
Rappresentiamo la situazione con un grafo ad albero in cui se mi sposto a sinistra vince A , se mi
sposto a destra vince B e in cui indico il punteggio che si è raggiunto dopo la partita.
1
1 1 1
di vincere alla prima partita oppure probabilità = ⋅ di vincere alla
2
4 2 2
seconda partita (avendo perso la prima) e quindi in totale la sua probabilità di vittoria è
Quindi A ha probabilità
p (vince − A) =
1 1 3
+ =
2 4 4
Invece B per vincere deve vincere sia la prima che la seconda partita e quindi la sua probabilità di
vittoria è
p (vince − B ) =
1 1 1
⋅ =
2 2 4
In conclusione i 36 euro della posta vanno suddivisi in rapporto di 3:1 (cioè nello stesso rapporto in
3
1
cui stanno le probabilità) cioè ⋅ 36 = 27 euro ad A e ⋅ 36 = 9 euro a B.
4
4
Generalizziamo il metodo risolutivo
E se , al momento dell’interruzione del gioco, stessero 2 a 0 per A?
In questo caso si dovrebbero giocare al massimo altre tre partite e lo schema sarebbe il seguente:
Quindi abbiamo:
p (vince − A) =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 7
+ ⋅ + ⋅ ⋅ = + + =
2 2 2 2 2 2 2 4 8 8
p (vince − B ) =
1 1 1 1
⋅ ⋅ =
2 2 2 8
E se fossero 1 a 0 per A?
In questo caso si vede che al massimo occorre giocare altre quattro partite e che facendo il grafo
abbiamo
1 1 1 1 1
1 11
+ + + + +
=
4 8 16 8 16 16 16
5
p (vince − B ) =
16
p (vince − A) =
Approfondimento storico
Il problema della suddivisione equa della posta nel caso di interruzione del gioco fu affrontato in un
carteggio tra Pascal e Fermat : è stimolante, dopo aver discusso la soluzione, leggere parte della
lettera in cui Pascal spiega a Fermat il suo metodo e in cui riporta anche il metodo di Fermat
concludendo che le due strategie portano allo stesso risultato.
Riportiamo il brano della lettera di Pascal a Fermat del 29 Luglio 1654.
Lettera di Pascal a Fermat (29/7/1654)
[Ecco pressappoco come faccio a sapere come deve essere suddivisa la posta
quando due giocatori giocano, per esempio, in tre partite e ciascuno a messo 32
pistole in gioco:
Supponiamo che il primo di essi abbia due (punti) e l'altro uno. Essi ora giocano
una mano in cui le possibilità sono tali che, se il primo vincesse, vincerebbe la
posta intera che è in gioco, vale a dire 64 pistole. Se vincesse l’altro, sarebbero 2-2
e, di conseguenza, se vogliono separarsi, ne consegue che ognuno riprenderà la sua
posta, vale a dire 32 pistole.
Considerate allora, signore, che se il primo vincesse, 64 pistole apparterrebbero a
lui. Se perdesse, ne avrebbe 32. Quindi se a questo punto non desiderano giocare, e
vogliono separarsi senza farlo, il primo dovrebbe dire: "Sono certo di 32 pistole,
perché le avrei anche se perdessi.
Per quanto riguarda le altre 32, forse li avrò io e forse li avrai tu, le possibilità
sono uguali. Quindi dividiamo le 32 pistole a metà, e dammi le 32 di cui sono certo.
Egli allora avrà 48 pistole e l’altro ne avrà 16.]
[Ora supponiamo che il primo abbia due punti e l'altro nessuno, e che stiano per
cominciare una nuova mano. Le possibilità sono tali che, se il primo vincesse,
vincerebbe l’intera posta di 64 pistole. Se vincesse l’altro, ecco, essi tornerebbero al
caso precedente in cui il primo ha due punti e l'altro uno.
Ma abbiamo già dimostrato che in questo caso 48 pistole apparterrebbero a colui
che ha due punti. Pertanto, se non desiderano giocare a questo punto, egli
dovrebbe dire: "Se vincessi, guadagnerei tutto, cioè 64 [pistole]. Se perdessi, 48
[pistole] sarebbero legittimamente mie. Pertanto dammi le 48 che sono mie di
certo, anche se perdessi, e dividiamoci le altre 16 a metà perché vi sono le stesse
probabilità che le guadagni tu o io." Così egli avrà 48 più 8, che sono 56 pistole.
Supponiamo ora che il primo abbia un solo punto e l'altro nessuno. Vedete,
Monsieur, che se si giocasse una nuova mano, le possibilità sono tali che, in caso di
vittoria del primo, egli sarebbe sul due a zero, e dividendo come nel caso
precedente, 56 [pistole] apparterrebbero a lui. In caso di sconfitta, essi sarebbero
sull’1 a 1, ed egli avrebbe diritto a 32 pistole. Pertanto, dovrebbe dire: "Se non vuoi
giocare, dammi le 32 pistole di cui sono certo, e dividiamo quello che resta dalle 56
a metà. Da 56 sottraiamo 32, e ne restano 24: dividete dunque 24 in due parti
uguali, prendetene 12 voi e io 12, che con 32 fanno 44”.]
Quindi nel caso in cui i due giocatori A e B siano 1 a 0 per A secondo il metodo di Pascal al
giocatore A spetterebbero 44 pistole e solo 20 al secondo.
Fermat aveva invece proposto a Pascal una soluzione di tipo “combinatorio” considerando tutti i
possibili esiti delle successive partite con un metodo quindi più simile al nostro.
Traduzione della parte della lettera in cui Pascal spiega la soluzione proposta da Fermat .
Se, in una partita di più mani, due giocatori si ritrovano in una situazione
tale che, per vincere la posta, al primo di loro mancano due punti e al
secondo tre, voi dite che occorre vedere dopo quante mani l’esito del gioco
verrà definitivamente deciso.
Per convenienza possiamo supporre che ciò accadrà dopo quattro mani,
cosa da cui concludete che è necessario vedere in quanti modi questi
quattro punti possono essere distribuiti fra i due giocatori, calcolare
quante combinazioni portano alla vincita del primo e quante a quella del
secondo e, quindi, dividere la posta in accordo con questa proporzione.
[In ogni partita Fermat indica con a la vittoria del giocatore A e con b la vittoria del giocatore B e
Pascal riporta la tabella di tutti i possibili esiti delle successive quattro partite]
a
a
a
a
1
a
a
a
b
1
a
a
b
a
1
a
a
b
b
1
a
b
a
a
1
a
b
a
b
1
a
b
b
a
1
a
b
b
b
2
b
a
a
a
1
b
a
a
b
1
b
a
b
a
1
b
a
b
b
2
b
b
a
a
1
b
b
a
b
2
b
b
b
a
2
b
b
b
b
2
E, poiché al primo giocatore mancano due punti, tutte le combinazioni che
contengono almeno due a – ce ne sono complessivamente 11 – lo portano alla
vittoria; e dato che al secondo giocatore mancano tre punti, tutte le
combinazioni che contengono tre b – ce ne sono complessivamente 5 – lo
fanno vincere. Pertanto, essi dovranno spartirsi la somma in un rapporto
di 11 a 5.
Pascal allora conclude scrivendo:
“Je vois bien que la vérité est la mȇme à Toulouse et à Paris. »
[Vedo quindi che la verità è la stessa a Tolosa e a Parigi]
Infatti secondo il metodo di Fermat , dovendo spartire la posta in un rapporto di 11 a 5 , al giocatore
11
5
A spettano
⋅ 64 = 44 pistole e al giocatore B
⋅ 64 = 20 pistole come aveva concluso anche
16
16
Pascal.