Esercizio 1 - Un pallone viene lanciato dalla posizione indicata in

Esercizio 1 - Un pallone viene lanciato dalla posizione indicata in figura con una velocità iniziale ~vo
che forma un angolo di π4 con l’orizzontale . Calcolare il valore minimo di vo affinchè il pallone cada
sul tetto di un edificio di altezza h che si trova a distanza d dal punto di lancio.
Trascurare la resistenza dell’aria.
h
~vo
π
4
d
Soluzione
Calcoliamo il valore di vo per il quale il pallone tocca il vertice dell’edificio; per valori di vo maggiori il pallone supererà tale vertice e ricadrà sul tetto.
Scegliendo l’origine
del sistema di riferimento
nel punto di lancio del pallone, le sue coordinate in funzione del tempo sono date da:
;
y(t) = vo sin π4 t − 21 gt2
x(t) = vo cos π4 t
uguagliandole
dell’edificio:
alle coordinate del πvertice
;
vo sin 4 t − 12 gt2 = h
vo cos π4 t = d
otteniamo
q un sistema di equazioni in t e vo che ha per soluzioni positive:
gd2
d−h
vo =
;
t=
d
vo cos ( π
4)
notiamo che tali soluzioni hanno significato fisico solo se d > h ; perchè ?
Non essendo indicata nel problema la larghezza dell’edificio, non consideriamo la possibilità che il pallone lo superi e ricada dall’altro lato. Data tale larghezza,
potremmo calcolare anche il valore massimo di vo .
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5 - Nel sistema in figura la molla (costante elastica κ, lunghezza di riposo ℓo )
è vincolata a muoversi verticalmente. Al suo estremo libero sono vincolati gli
estremi di due sbarrette omogenee (masse m1 , m2 , lunghezze d1 , d2 maggiori di
l0 ); gli altri estremi delle sbarrette possono scivolare senza attrito su un piano
orizzontale. Analizzare le posizioni di equilibrio del sistema, indicandone anche il
tipo. Considerare la massa della molla trascurabile rispetto ad m1 , m2 .
Soluzione - Riprendiamo l’es. 5 della dinamica dei corpi rigidi nel file degli esercizi. In questo caso non conviene utilizzare come variabile indipendente un
angolo, perchè nel sistema ve ne sono due; uno dei due può essere calcolato in funzione dell’altro, ma l’espressione può risultare complicata. Se scegliamo invece
.
come variabile la lunghezza della molla, h, i seni dei due angoli saranno dati da dh e dh ed entrambi i centri di massa si troveranno ad una quota h
2
1
2
L’energia potenziale si scrive
U (h) = 21 κ(h − ℓo )2 + 21 m1 gh + 12 m2 gh
e la sua derivata rispetto ad h:
U ′ (h) = κ(h − ℓo ) + 21 m1 g + 12 m2 g
che si annulla per:
g
h = ℓo − 2κ
(m1 + m2 )
Notiamo che per κ sufficientemente piccolo o masse sufficientemente grandi (
2κℓo < g(m1 + m2 ) ) h sarebbe negativo, cioè la posizione di equilibrio si
troverebbe in una posizione non fisica per il sistema considerato.
La derivata seconda di U è sempre positiva, quindi l’equilibrio è stabile.
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3 - Un recipiente di sezione S e lunghezza d è diviso in due parti da un setto che può
scorrere senza attrito ed è a contatto con un termostato a temperatura T . Nella parte a
destra il setto è collegato ad una delle basi del recipiente da una molla di costante elastica
κ e lunghezza di riposo ℓo . La parte a sinistra contiene n moli di gas perfetto, quella a
destra non contiene gas. Calcolare il volume del gas all’equilibrio. Ottenuto il risultato,
discutere il caso in cui non vi sia gas nella parte a sinistra (n = 0) e quello in cui la molla
sia totalmente rigida (κ → ∞).
n, T
S
κ, ℓo
d
Soluzione - Indichiamo con h la lunghezza della parte di sinistra all’equilibrio; l’equazione di stato dei gas perfetti ci permette di scrivere l’espressione della
pressione p del gas:
p = nRT
Sh
Tale pressione si esercita verso l’esterno del recipiente, quindi il gas esercita sul setto una forza di modulo pS diretta verso destra e la molla viene compressa.
Indicando con ℓ la lunghezza della molla si ha:
ℓ=d−h
La molla esercita dunque sul setto un forza diretta verso sinistra di modulo:
F = κ(ℓo − ℓ) = κ(ℓo − d + h).
All’equilibrio: F = pS
Sostituendo
in quest’ultima le espressionii di F e di p si ottiene un’equazione per h che ha una sola soluzione positiva:
h
h=
1
2
(d − ℓo ) +
p
(d − ℓo )2 + 4 nRT
κ
In entrambi i casi proposti nel testo si ha:
(la soluzione negativa non ha significato fisico).
h = d − ℓo
cioè la molla, come ci aspettiamo, rimane nella sua posizione di riposo.