resoconto fatto insieme a loro.

Calcolini - stavolta realistici e per niente “fanta”.
(vers. 1.1)
Anni fa avevo proposto di giocare con “fantacalcoli” da svolgere con unità di misura desuete o
addirittura inventate, per capire meglio i meccanismi dei calcoli. Ne avevamo ricavato due piccole
dispense che si possono leggere qui e qui.
Negli esercizi che ho proposto di recente ad alcune classi di principianti (o quasi) abbiamo invece
utilizzato solo le unità di misura del sistema internazionale per risolvere solo problemi che, pur
sembrando a prima vista curiosi o irrealistici, in realtà riguardano cose che fanno parte del nostro
quotidiano, della vita che ci si muove intorno, delle cose che troviamo nelle tasche o negli zainetti
e non solo in qualche laboratorio fantascientifico. Di quelle con cui ci troveremo a lavorare.
La difficoltà di questi esercizi, dal punto di vista matematico, è assolutamente irrisoria.
In alcuni casi, si tratta di problemi che quando io, e i genitori dei nostri studenti, andavamo alle
scuole elementari, si facevano fra la quarta e la quinta: al massimo poteva essere diverso – ma
solo in apparenza - il modo di presentarci i dati.
Scopo degli esercizi è invece quello di allenare a capire che forma hanno i dati e ad usare i diversi
modi che tante persone furbe hanno inventato per svolgere i calcoli in maniera rapida, semplice,
corretta.
Ma, anche qui, non c'è nessuna difficoltà superiore a quella di esprimere una stessa distanza in
chilometri, metri o centimetri, o un volume in metri cubi, centimetri cubi o litri: l'unica difficoltà è
quella di imparare una ventina di prefissi e i corrispondenti valori moltiplicativi, che per la maggior
parte delle persone richiede solo qualche minuto di sforzo e poi un po' di esercizio ogni tanto per
rinfrescare la memoria.
Da lì e per sempre, avremo un potente strumento che ci permette di svolgere qualsiasi calcolo
dimensionale su oggetti grandi come un atomo o come una galassia, come abbiamo di recente
visto anche con animazioni come questa o magari come quest'altra.
Allora, proviamo. Svolgiamo tutti i passaggi fino al dettaglio più semplice, così che nessuno si
perda, mettendo sempre tutti i simboli e tutte le unità di misura.
Poi, dal momento che sapete che a me piace commentare abbastanza a lungo le cose che
facciamo, per essere sicuri che tutti le capiscano, mi dilungo un po' nello spiegare il tipo di
problema e a quale realtà quotidiana possiamo riferirci. Lo sapete che sono un chiacchierone...
“Esercizio numero uno!”
Sappiamo che la stampa a getto d'inchiostro è oggi una tecnica diffusissima sia a livello industriale,
sia sulla scrivania di fianco al vostro computer.
I nostri compagni del Setificio, poco più grandi di noi, avevano partecipato con successo alla
grande conferenza internazionale che si era tenuta a Como nel 2012, di cui possiamo leggere qui il
resoconto fatto insieme a loro.
Sappiamo anche, purtroppo per il nostro portafoglio, che il costo più importante con questa tecnica
è quello degli inchiostri. La cosa vale sia per le innovative stamperie tessili che ci sono intorno a
noi, sia per un'artista che realizzi stampe su carta da vendere ai collezionisti, sia per noi quando
dobbiamo ricomprarci le cartucce della nostra stampantina.
Prima di impostare qualsiasi altro calcolo, potrebbe interessarci sapere quanto inchiostro rimane su
un foglio ogni volta che la stampante “spara” una gocciolina.
Pensiamo, per il momento, non alle goccioline finissime che vengono proiettate anche dalla più
economica stampante di tipo fotografico che vorremmo farci regalare per Natale (il cui volume è di
pochi picolitri, come possiamo scoprire da un depliant o dal sito delle case produttrici) ma a quelle
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un po' più grosse che può lanciare la testina di una stampante industriale, per esempio su un
cartellone in materiale plastico come quelli per usi pubblicitari o decorativi.
Diciamo, per esempio, che il volume di una goccia sia di 38 pL, come nell'esercizio che ho proposto
ad una classe.
L'inchiostro contiene ovviamente molto solvente, che evapora, e una parte “secca”, che si fissa sul
nostro pannello.
Non è facilissimo calcolare a priori quanto sarà grande la macchia, ma supponiamo che un tecnico
nostro amico, che dispone di un comune microscopio, abbia fatto le misure per noi e ci dica che
quella goccia, una volta spiaccicata e dopo che il solvente è evaporato, abbia il diametro di 60 µm.
Ci ha fatto anche sapere che il volume della goccia è costituito per il 70% da solvente, e quindi il
volume di materiale secco che rimane è il 30% del volume iniziale della goccia.
Dato che il prof di chimica, per farci capire quali sono le dimensioni delle molecole e degli atomi, ci
ha invitato a stimare le dimensioni delle tracce di inchiostro che lasciamo sulla carta (o quelle di
gesso che lasciamo sulla lavagna) ci viene la curiosità di sapere anche in questo caso quant'è lo
spessore di inchiostro.
Ricordiamo che per semplicità di calcolo abbiamo supposto che non venga “bevuto” dalla carta, ma
che resti sulla superficie, come vediamo su tanti oggetti in materiale plastico che maneggiamo ogni
giorno, e che con alcuni studenti abbiamo addirittura già misurato direttamente.
A questo punto,basta con le chiacchiere: il calcolo è semplicissimo.
La macchiolina che resta sul foglio è un piccolo cilindro, di cui sappiamo il diametro e di cui
calcoliamo il volume:
V macchia =V goccia ⋅
30
= 38 pL⋅0.30=11.4 pL
100
Per praticità, anche se non è indispensabile, passiamo dai litri ai metri cubi: il numero avrà un
esponente a cui non siamo ancora molto abituati, ma il calcolo sarebbe lo stesso se avessimo
esponenti piccoli e usassimo bicchieri e secchielli per riempire una vasca da bagno...
V macchia =11.4 pL=11.4⋅10−12 L=11.4⋅10−12 dm3 =11.4⋅10−15 m3=1.14⋅10 −14 m3 (*)
Se il volume del cilindro è
V = A⋅h=( π r )⋅h
2
allora, con le nostre misure:
− 14
V =1.14⋅10
−5
m = π⋅( 3.0⋅10 m) ⋅h
3
2
e quindi
1.14⋅10−14 m 3
h=
= 4.0 µm
2.83⋅10 −9 m 2
Cioè, la nostra macchia è un dischetto sottilissimo. Fine del problema.
(*) Grazie a chi mi ha fatto notare che avevo lasciato 11.4 10 -15 e non avevo sistemato a 1.14 10-14!
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“Esercizio numero due!”
Il precedente esercizio è una variante di classici come “quanta carta serve per imballare i regali di
Natale?” o “quanta pittura serve per imbiancare l'aula?”; proviamone un altro simile, anch'esso non
particolarmente nuovo o originale.
Supponiamo di poter prendere una piccola quantità di un materiale comune, come potrebbe essere
il metallo di una monetina da 20 c€, un frammento di carbone da barbecue o simili, e di lavorarlo
con un mattarello fino a ottenere un foglio molto largo e estremamente sottile.
Diciamo, esattamente dello spessore di un solo atomo.
Quanto diverrebbe grande questo foglio?
Oppure, capovolgiamo il problema partendo dal fondo.
Un ipotetico foglio formato da atomi di carbonio ha lo spessore di un solo atomo.
Lo vogliamo usare per ricoprire un campo da calcio, come se fosse il telone impermeabile per
proteggere il terreno dalla pioggia.
Quanto potrebbe essere la sua massa?
Tenendo presente quanto spazio occupano in un magazzino i rotoloni impermeabili in tela resinata
che si usano veramente, quanto spazio occuperebbe invece questo materiale alternativo?
Anche qui, dobbiamo trovare i dati: per il campo da calcio, sappiamo che le dimensioni più comuni
dai lati sono 105 m e 68 m. Non dovrebbe essere un problema a calcolare l'area!
A=l 1⋅l 2 =105 m⋅68 m= 7140 m2 =7.14⋅103 m 2
Solo una piccola osservazione: è più corretto il primo o il secondo modo di esprimere il risultato?
In entrambi i casi, siamo partiti da valori che hanno meno cifre significative di quelli che abbiamo
riportato nel risultato; sappiamo che ciò non è corretto.
In realtà, sappiamo come può essere tracciato e misurato un campo da calcio, per cui possiamo
credere che le misure siano conosciute con una incertezza minore rispetto al metro, diciamo per
esempio 10 cm.
Quindi, per questa volta anche usare le quattro cifre “7140” non sarebbe del tutto scorretto, e
usando le tre cifre significative della seconda espressione siamo sicuramente nel giusto.
Ma, lo ripeto, solo perché sappiamo possiamo immaginare in che modo viene realizzata la
misurazione: in caso contrario, avremmo dovuto scrivere semplicemente “7.1 10³ m²”.
Forse è meno facile trovare il dato dello spessore che può avere quel foglio.
Mettiamo che uno di noi abbia cercato i raggi o i diametri degli atomi, che troviamo riportati in
qualche tabella su molti libri di testo. Può darsi che abbia trovato indicato espressioni come “raggio
covalente”, “raggio ionico”, “raggio di van der Waals”. Quando propongo questo esercizio, di solito
lo faccio proprio per introdurre questi concetti, ma per il momento rinviamo la spiegazione e
accontentiamoci di usare l'ultimo.
Diciamo che lo spessore di quel foglio, ricavato sperimentalmente, è intorno ai 335 pm.
Allora, banalmente, il volume diventa
V = A⋅h=7.14⋅10 m ⋅3.35⋅10
3
2
− 10
−6
m= 2.39⋅10 m = 2.39 mL
3
(e, ovviamente, l'unica “difficoltà” dell'esercizio in questo caso è il modo in cui abbiamo cambiato
l'espressione del risultato)!
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Questo significa che il nostro ipotetico, gigantesco telone impermeabile, una volta arrotolato su sé
stesso per essere riposto in magazzino, occuperebbe il volume di un gessetto da lavagna lungo
circa 3 cm!
E che massa avrebbe? Anche in questo caso, non è difficile trovare un dato sperimentale: la massa
volumica (densità) di quel materiale è poco più del doppio di quella dell'acqua, ovvero
ρ =2.1
g
3
cm
quindi la massa dell'enorme lenzuolo sarebbe solamente
m=V ⋅ ρ = 2.39 mL⋅2.1 g ⋅mL− 1=5.0 g
... cioè quanto lo zucchero in una bustina del bar, oppure poco meno della massa di una moneta
da 20 c€!
Ma a cosa ci serve svolgere questo esercizio, che oltretutto è così banale che non ci ha nemmeno
impegnato per allenarci con i calcoli?
In realtà materiali di questo tipo esistono e fanno abbondantemente parte della vita di tutti i
giorni. Il materiale con cui abbiamo realizzato il nostro immaginario foglio, da qualche anno è
venuto alla ribalta e viene utilizzato ogni giorno per nuove applicazioni: si chiama grafene ed anche
un gruppo di studenti del Setificio lo ha studiato sperimentalmente, in collaborazione con una
azienda d'avanguardia del nostro territorio.
Eppure, anche se solo da pochi anni lo si può preparare sperimentalmente, la sua esistenza è nota
da secoli. Infatti, è la struttura fondamentale che forma la grafite, la forma più comune ed
economica del carbonio. Lo spessore del foglio e la densità del materiale si potevano infatti
ricavare anche da un vecchio manuale che riportasse i dati strutturali della grafite, ben prima delle
ricerche che hanno portato al premio Nobel Andrej Gejm e Konstantin Novosëlov.
Riuscire a “vedere” superfici, volumi, spessori di questo genere serve a visualizzare il
funzionamento di processi chimici estremamente diffusi, dalle caratteristiche di strati per
rivestimento o imballaggio alla tintura delle fibre tessili, dalle analisi cromatografiche alla
depurazione dell'acqua con resine a scambio ionico oppure con i carboni attivi, e naturalmente a
capire i meccanismi biochimici cellulari.
Salvo poi scoprire che questi fogli “magici” potremo trovarli presto, proprio con funzioni
impermeabili, in oggetti di uso quotidiano!
E infine, “esercizio numero tre!”
Ho una palla di neve ghiacciata, sporca, piena di sabbia, del diametro di 9.4 cm.
Vorrei stimare quanta acqua resterà adesa sui granelli di sabbia se la lascio sciogliere
completamente.
Mettiamoci dei dati. Posso supporre che la sabbia sia fatta da oggetti perfettamente sferici, tutti
del diametro di 0.086 mm (cioè, lo so che non è vero, ma assumiamolo come dato medio per una
sabbia abbastanza fine).
Devo sapere quant'è il volume della sabbia. Un rapporto tra due volumi è un modo di esprimere
una concentrazione. Una ragazza dell'altra classe ha già fatto la prova e mi dice che il 78% in
volume è acqua ed il resto sabbia.
Il prof mi ha poi detto che su ogni granello posso pensare che resti uno strato d'acqua di 1 µm,
che lo avvolge come una pellicola.
Abbiamo tutto? Allora per prima cosa scriviamo i dati e facciamo i primi calcoli.
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4
4
4
V palla = π r 3= π ( 4.7 cm)3 = π ( 4.7⋅10−2 m)3 =3.57⋅10− 4 m3
3
3
3
4
4
4
V granello = π r 3 = π ( 43 µm) 3= π ( 4.3⋅10−5 m)3 =3.33⋅10−13 m 3
3
3
3
Prima domanda: perché ho riscritto l'espressione in metri cubi anziché in centimetri cubi o
micrometri cubi? Solo per una questione di comodità: così porto tutti i valori in metri cubi togliendo
i prefissi e sostituendoli con le potenze di 10. È chiaro che si può fare anche esattamente il
contrario, oppure si può usare anche una soluzione intermedia. Questione di allenamento!
Seconda domanda: nel risultato, ho scritto tre cifre, mentre il dato di partenza ne aveva due.
Mi ricordo come si possono usare le cifre significative? Dal punto di vista pratico, abbiamo detto
che, se i calcoli restano tutti all'interno della calcolatrice, prima di trascrivere sul foglio il risultato,
lasciamole usare tutte le cifre che vuole e poi arrotondiamo con buon senso solo il dato finale
prima di scriverlo sul foglio.
Quando dobbiamo svolgere una serie di calcoli di questo tipo, può essere ragionevole usare una
cifra in più rispetto a quelle che ci aspettiamo di trovare nel risultato finale, in maniera tale che gli
eventuali errori di arrotondamento si eliminino a vicenda passando da un calcolo a quello
successivo.
Certo, se dovessimo fare un calcolo estremamente rigoroso dal punto di vista fisico, o se
dovessimo dare il risultato di un'analisi chimica da cui dipende qualcosa di importante, dovremmo
usare dei criteri molto più impegnativi, ma per le cose di tutti i giorni questo criterio un po'
approssimativo è più che sufficiente.
Dobbiamo scoprire quanti sono i granelli di sabbia. In base ai dati, li calcoliamo così:
C sabbia =
(100− 78)
=0.22
100
... già, ma 0.22 cosa? Beh, 0.22 e basta: se è un rapporto tra due volumi, il risultato è una
grandezza adimensionale o, come oggi meglio si usa dire, una grandezza a dimensione uno.
Quindi, il volume dei granelli di sabbia sarà
V sabbia =V palla⋅0.22=3.57 m 3⋅0.22= 7.85⋅10 −5 m3
e il loro numero si otterrà dividendo il volume totale per il volume di ciascuno:
N granelli =
V sabbia 7.85⋅10− 5 m3
=
=2.36⋅10 8
−13
3
V granello 3.33⋅10 m
Però, sono parecchi: quasi 240 milioni!
Ci accorgiamo, ancora una volta, che se facciamo i calcoli in questa maniera, possiamo calcolare
quante biglie ci sono in un secchiello, o stimare quanti sono i granelli di sabbia nel deserto del
Sahara, usando più o meno sempre gli stessi calcoli, sempre gli stessi prefissi, sempre le stesse
unità di misura eccetera: i modi inventati dagli scienziati e dei tecnici per sviluppare calcoli servono
proprio per rendere chiunque capace di svolgere qualunque calcolo, una volta che si siano
imparate pochissime semplici regoline.
Sappiamo che sulla superficie di ogni singolo granello c'è un velo di acqua.
Qui, forse, geometricamente ci accorgiamo che il calcolo dovrebbe essere appena un pochino più
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complesso, ma approssimiamolo dicendo che il volume totale dell'acqua sia dato dall'area del
granello moltiplicato per lo spessore, come se fosse un parallelepipedo. In fondo quello che ci
interessa non è il valore esatto ma una stima ragionevolmente affidabile, per capire con che
quantità stiamo lavorando.
Allora il calcolo diventa questo:
A granello = 4 π r 2 = 4 π ( 4.3⋅10−5 m)2 =2.32⋅10 −8 m− 2
e quindi
−8
−2
A sabbia= A granello ⋅N granelli = 2.32⋅10 m ⋅2.36⋅10 =5.5 m
8
2
Ah però! Sembrano tanti 5.5 m³? Se facciamo due conti, vediamo che la superficie esterna
complessiva di quella manciata di granelli di sabbia è all'incirca tre volte la superficie del nostro
letto; oppure, se preferiamo, circa uguale alla superficie di 90 fogli di carta A4, di quelli che siamo
abituati ad usare per scrivere o disegnare!
Ma il nostro scopo era proprio cercare di visualizzare le dimensioni degli oggetti: è una cosa che
può servire a un grafico, a un tessitore, a un tecnico di qualsiasi settore. Ovviamente ci serve
anche per capire la chimica, dato che molto spesso gli oggetti di cui parla il prof di chimica sono
oggetti molto piccoli e che dobbiamo imparare a raffigurarci mentalmente, se non vogliamo che
siano solo una serie di informazioni da imparare a memoria e dimenticare il giorno dopo.
E allora, finalmente, completiamo il nostro calcolo:
−6
−6
V acqua adesa = Asabbia ⋅hacqua =5.5 m ⋅1⋅10 m=5.5⋅10 m =5.5 cm
3
3
3
Come dire: la quantità di acqua che resta appoggiata sui granelli di sabbia, se lasciamo sciogliere
la palla di neve sotto il sole, non è per niente trascurabile rispetto al volume totale della palla di
neve. Facciamo un passaggio in più, che credo non ci sia bisogno di spiegare:
V acqua adesa
5.5 cm3
=
=1.98%
V palla
(357⋅0.78) cm 3
È chiaro che il nostro calcolo è estremamente approssimativo e grossolano, però vediamo che, se i
numeri sono questi, il volume di acqua che resta sui granelli di sabbia rappresenta circa il 2%
dell'acqua totale. Come dire: se noi scorgiamo della sabbia su una goccia d'acqua, la goccia viene
rapidamente “catturata” dalla sabbia, ed è una cosa che sappiamo fin dalla prima volta che
abbiamo giocato sulla spiaggia!
La cosa nuova è che, adesso, ci rendiamo conto che usando un minimo di geometria e pochi
minuti di pazienza, più carta, penna e calcolatrice, le cose che sappiamo fin da bambini siamo in
grado di misurarle: e questo vale per qualsiasi altro calcolo che ci capiti di fare.
Tenendo presente che quelli per calcolare le tasse che dobbiamo pagare, di solito, sono
decisamente più laboriosi, eppure dobbiamo farli in modo molto preciso!
Sergio Palazzi
p.s.: già che ci siete, controllate i calcoli, un errore è sempre possibile e posso averlo fatto anch'io che sono un distratto!
p.p.s: Qualcuno potrebbe pensare che pagine sarebbero state molto più leggibili e forse anche molto più sintetiche se, al
posto di contenere solo parole, formule e numeri, fossero state illustrate. Ma io, purtroppo, come grafico valgo assai
poco: certo, se ci fosse qualche mio giovane amico aspirante grafico che volesse metterci una mano più esperta... ;)
p.p.p.s: Visto che molti di voi sono abili al computer, sapete anche scrivere con facilità le formule che ci sono in queste
pagine? Ottimo per le ricerche e le relazioni, no? Io ho usato Open Office, come sempre.
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