Algebra Lineare – 3. Parte. Argomenti svolti: • Applicazioni lineari

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Algebra Lineare – 3. Parte. Argomenti svolti: • Applicazioni lineari
Algebra Lineare – 3. Parte
Algebra Lineare – 3. Parte.
Argomenti svolti:
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Applicazioni lineari: definizione, esempi e proprietà elementari.
Nucleo e immagine.
Matrice associata ad una applicazione lineare.
Se f : E → F è un’applicazione lineare, dim ker f + dim im f = dim(E).
ESERCIZI
1. È lineare l’applicazione che M ∈ R2,2 associa il valore del suo determinante det M ?
2. Dimostrare che l’applicazione D dallo spazio delle funzioni f : [a, b] → R derivabili
e lo spazio delle funzioni da [a, b] in R ha come nucleo l’insieme delle funzioni
costanti.
3. Data l’applicazione lineare f : R3 → R3 definita da
f (x, y, z) = (x − 3y + 2z, −2x − 2y − 2z, 3x − y + 4z)
(a) scrivere la matrice associata a f ;
(b) determinare ker f e una sua base;
(c) trovare una base di im f .
4. Dimostrare che
(a) se f : R3 → R2 è un’applicazione lineare, allora f non può essere iniettiva;
(b) se f : R2 → R3 è un’applicazione lineare, allora f non può essere suriettiva.
5. Sia f l’applicazione lineare da R5 in R3 individuata rispetto alle basi canoniche
dalla matrice


1 2 −1 0 3
 2 1 0 −1 2  .
0 3 −2 1 4
(a) Trovare ker f e una sua base.
(b) Trovare im f e una sua base.
(c) Determinare per quali valori di h il vettore (1, h, h2 ) appartiene a im f .
Ingegneria chimica
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Geometria I
Algebra Lineare – 3. Parte
6. Si consideri l’applicazione lineare f : R3 → R3 tale che
f (e1 ) = e1 − e2 ,
f (e2 ) = e1 + e2 + 2e3 ,
f (e3 ) = e2 + e3
(dove (e1 , e2 , e3 ) è la base canonica di R3 )
Determinare una base e la dimensione di ker f e im f .
7. Si consideri l’applicazione lineare f : R3 → R3 definita da
f (x1 , x2, x3 ) = (2x1 − x2 + x3 , x1 + x3 , x2 + x3 )
determinare una base e la dimensione di ker f e im f .
8. Sia f l’applicazione lineare di R3 che, rispetto alla base canonica, è associata alla
matrice:


2 1 −1
A =  1 2 1  , h ∈ R,
−1 1 h
trovato il valore di h per cui f non è suriettiva:
i) determinare im f ;
ii) determinare per quali valori di k ∈ R il vettore (1, k 2 − k, k) ∈ im f ;
iii) trovare un vettore di R3 privo di controimmagini;
iv) determinare ker f ;
v) verificare che ker f ∩ im f = {o};
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vi) esistono dei vettori x ∈ R3 tali che f (x) = (3, 2, −2)?
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¯
3
9. In R , riferito alla base canonica B = (e1 , e2 , e3 ), si consideri l’endomorfismo f
¯ ¯ ¯
dato da:
f (e1 ) − f (e2 ) − f (e3 ) = o,
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2f (e1 ) − f (e2 ) = 3e1 + 2e2 − e3 ,
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−f (e1 ) + f (e2 ) = 3e1 − e2 + 2e3 .
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i) f è iniettivo? f è suriettivo?
(1)
ii) Trovare ker f e im f .
Ingegneria chimica
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Geometria I