Prova d`esame del 11 gennaio 2006

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Prova d`esame del 11 gennaio 2006
UNIVERSITA' DI ROMA " LA SAPIENZA" – A.A. 2005/2006 - 11/1/2006
CORSO DI LAUREA DI INGEGNERIA CLINICA - ESAME DI FISICA I
1) Un punto materiale di massa m=50g si muove di moto circolare con una legge oraria
s = s(t) = ct2 + bt (c=1ms-2, b=2ms-1), dove s e' la coordinata curvilinea e t e' il tempo.
All'istante t1=2s il modulo dell'accelerazione del punto e' : a1 = 25 ms-2. Determinare il
raggio della circonferenza e calcolare il lavoro compiuto dalla forza agente in un giro
completo a partire dall'istante t=0.
2) Un blocco di massa M=10Kg colpisce l'estremita' di una molla, disposta su un piano
orizzontale scabro, la cui altra estremita' e' fissa. La costante elastica della molla e'
K=20 N/m e la massa della molla e' trascurabile. Il blocco comprime la molla di un
tratto L=50 cm. Sapendo che il coefficiente di attrito dinamico fra la massa e il piano
e' d=0.25, determinare la velocita' del blocco nell'istante in cui inizia a comprimere la
molla.
3) Un corpo di massa m urta in maniera totalmente anelastica un secondo corpo
inizialmente fermo avente massa M=m, dova  indica una costante positiva.
Determinare il valore di  per il quale l'energia persa nell'urto e' pari al 75%
dell'energia cinetica iniziale.
4) Trovare la posizione del centro di massa di una lamina omogenea piana a forma di
semicerchio di raggio R.
5) Due ruote sottili di raggio R1 e R2 ed eguale massa rotolano senza strisciare lungo un
piano inclinato, partendo dalla stessa quota. Quale e' il rapporto delle velocita' dei due
oggetti al fondo del piano inclinato?
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI di ROMA LA SAPIENZA A. A.
2004 - 2005
FACOLTA’ DI INGEGNERIA - Corso di Laurea ing. CLINICA
Esame di Fisica Generale I - Soluzioni del 11 Gennaio 2006
Esercizio N. 1
| a |=
q
a2t + a2n
at =
δ2s
= 2c
δt2
v=
δs
= 2ct + b
δt
an =
v2
(2ct + b)2
=
R
R
segue che :
(2ct + b)2
R=√
= 1.44m
a2 − 4c2
(2ct + b)4
a = 4c +
R2
2
2
Il lavoro su un giro sara’ dato da :
Z
Z
~ =
L=
f~ · dl
giro
giro
~ =
m~a · dl
Z
mat dl = 4πmcR = 0.9J
giro
Esercizio N. 2
Consideriamo il bilancio dell’energia fra i due istanti in cui inizia e finisce la compressione della
molla. Considerando il lavoro dell’attrico si ha:
1
1 2
mv + Lattr = K∆L2
2
2
Lattr = −µd mg∆L
si ottiene quindi :
v=
r
m
K
∆L2 + 2µd g∆L = 2.73
m
s
Esercizio N. 3
Il problema e’ monodimensionale. Chiamata vi la velocita’ dell’unico corpo in moto prima
dell’urto e vf la velocita’ dei due corpi che si muovono congiuntamente dopo l’urto totalmente
anelastico si ha:
1
Ei = mvi2
2
Ef =
1
1
(m + M ) vf2 = (1 + α) mvf2
2
2
Ef = E i
inoltre la conservazione dell’impulso impone
mvi = (m + M ) vf = (1 + α) mvf
Da cui si ottiene
1
m (1 + α)
2
segue :
vi
1+α
1
1
=
1+α
4
2
vf =
1
= mvi2
8
α=3
vi
1+α
1
4
Esercizio N. 4
La coordinata lungo x del centro di massa e’ nullo
per simmetria. Lungo y si ha
ycm
1
=
m
σ=
=
ycm
−2σR3
=
m
Z
π
2
Z
1
ydm =
m
lamina
2m
m
=
S
πR2
2σ
=
m
cos2 θd (cosθ) =
0
Z
π
2
Z
yσ (2xdy)
lamina
dm = σdS = σ2xdy
R sin(θ)R cos(θ)Rcos(θ)dθ =
0
4R
2σR3
=
3m
3π
Esercizio N. 5
Considerando un moto di puro rotolamento, si avra’ che per entrambi i dischi la conservazione
dell’energia impone, per un dislivello ∆h:
1 2 1 2
mv + Iω = mg∆h
2
2
v = ωR
Dato che il termine mg∆h e’ eguale per entrambi i dischi in moto si avra’:
1 2 1
1
1
mv1 + I1 ω12 = mv22 + I2 ω22 =
2
2
2
2
Considerando che per un disco sottile I = 21 mR2 si puo’ porre:
mv12
+
1
mR12
2
v12
R12
2
=
mv22
da cui si ottiene
v1 = v 2
+
1
mR22
2
v22
R22
2