1 1.1 Unità di misura angolari e conversioni Con angolo si intende

POLITECNICO DI TORINO
Dipartimento di Georisorse e Territorio
Ing. Andrea Lingua
Arch.Elena Albery
Fondamenti di Geodesia e Cartografia
1.1 Unità di misura angolari e conversioni
Con angolo si intende una porzione di piano delimitata da due semirette:
l'ampiezza dell'angolo è rappresentata dalla rotazione intorno all'origine di una
semiretta fino a sovrapporsi alla seconda semiretta. L'ampiezza di un angolo
può essere espressa in diverse unità di misura. Particolarmente rilevanti per gli
scopi topografici risultano essere i sistemi:
) matematico
) centesimale
) sessagesimale
) sessadecimale
Sistema matematico: l'unità di misura angolare è il "radiante" [rad] (unità SI)
definito come "angolo sotteso da un arco di lunghezza pari al
raggio".Dalla definizione ne consegue che l'angolo αr è
espresso in radianti come rapporto:
αr = l / R
dove
l = lunghezza dell'arco sotteso
R = raggio circonferenza
valori notevoli: 2π rad = angolo giro
π rad = angolo piatto
π/2 rad= angolo retto
sottomultipli: mrad = 10-3 rad
µrad = 10-6 rad
Questo sistema viene utilizzato in matematica e nel
linguaggio dei calcolatori.
Sistema centesimale: l'unità di misura angolare è il "grado centesimale" [gon]
(unità non SI ammessa) definito come:
1 gon = π/200rad
valori notevoli: 400 gon = angolo giro
200 gon = angolo piatto
100 gon = angolo retto
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sottomultipli: cgon = 10-2 gon
mgon = 10-3 gon
Questo sistema viene adottato nella maggior parte degli
strumenti topografici e nella fase di calcolo.
Sistema sessagesimale: l'unità di misura angolare è il "grado sessagesimale" [°]
(unità non SI ammessa) definito come:
1° = π / 180 rad
valori notevoli: 360° = angolo giro
180° = angolo piatto
90° = angolo retto
sottomultipli: 1' = 1° / 60
1" = 1' / 60
(un primo)
(un secondo)
I sottomultipli del secondo vengono espressi in forma
decimale.
Non essendo decimale, è sconsigliabile l'uso di questo
sistema nella condotta dei calcoli. E' impiegato
tradizionalmente per esprimere le coordinate geografiche
"latitudine" e "longitudine".
Sistema sessadecimale: l'unità di misura angolare è il "grado sessagesimale" [°]
(unità non SI ammessa). Differisce dal precedente sistema
sessagesimale in quanto i sottomultipli del grado sono
espressi in forma decimale. E' utilizzato per la condotta dei
calcoli al posto di quello sessagesimale.
Conversioni angolari
1. Da sessagesimali a sessadecimali (GRA° PRI' SEC" ---> GRA°.XXXX)
GRA°.XXXX = GRA° + PRI'/60 + SEC"/3600
2. Da sessadecimali a sessagesimali (GRA°.XXXX ---> GRA° PRI' SEC")
PRI' = INTERO[(GRA°.XXXX - GRA°)*60]
SEC" = {[(GRA°.XXXX - GRA°)*60 - PRI]}*60
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Le successive conversioni partono dal presupposto di aver già trasformato gli
angoli dal sistema sessagesimale a quello sessadecimale e possono essere
risolte impostando una semplice proporzione.
3. Da sessadecimali a centesimali e viceversa
α ° α gon
=
180 200
4. Da centesimali a radianti e viceversa
α gon α °
=
200
π
5. da radianti a sessadecimali e viceversa
α rad α °
=
π
180
In generale risulta essere:
α rad α ° α gon
=
=
π
180 200
1"
1'
1°
=
=
=
0.0003 gon =
0.018 gon =
1.11 gon
=
0.0000048 rad
0.00029 rad
0.017 rad
In topografia vengono misurati direttamente gli angoli azimutali e zenitali; il loro
naturale riferimento è la direzione della verticale in quanto materializzabile con
precisione.
In topografia vengono utilizzate convenzioni angolari che spesso si
differenziano da quelle adottate in matematica. Si consideri un punto di origine
(V) e due semirette uscenti da questo passanti per i punti A e B. Si stabilisca
convenzionalmente quali dei due punti rappresenti il "Punto avanti (PA)" e
quale il "Punto indietro (PI)".
Definiamo angolo "la minima rotazione oraria che deve compiere la
direzione corrispondente al punto indietro per sovrapporsi a quella del
punto avanti". Ne risulta che l'angolo viene dato dalla differenza di due
"direzioni angolari (θ)" e precisamente quelle corrispondenti ai punti avanti e
indietro:
A
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CARTOGRAFIA NUMERICA I
α = θPA - θPB
BVA
AVB
B
Se:
PA = B
PI = A
α = ΑVB
Se:
PA = A
PI = B
α = ΒVA
Angolo azimutale
Dati tre punti (A, O, B), è l'angolo diedro formato dal piano contenente le
verticali per O e A col piano contenete le verticali per O e B. (fig.5).
)
AOB
π
OA
A
O
B
π OB
Angolo azimutale
Angolo zenitale ϕ AB
E' l'angolo compreso tra la direzione della verticale e la direzione considerata.
Alternativamente è possibile utilizzare l'angolo di elevazione α AB (minima
rotazione antioraria tra la l'orizzontale e la direzione che si considera). (fig.6).
υA
ϕAB
ZAB
B
ϕAB
A
Angolo zenitale e di elevazione
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CARTOGRAFIA NUMERICA I
Azimut
E’ un particolare angolo di direzione in cui l'asse Y coincide con la direzione del
Nord. E' quindi l'angolo di cui deve ruotare la direzione del Nord in senso orario
per sovrapporsi alla direzione considerata.
Angolo di direzione
Si consideri un riferimento ortonormale R(O,X,Y) nel quale siano noti i punti P e
Q tramite le loro coordinate.
Definiamo "Angolo di direzione di Q rispetto a P (ϑ
ϑPQ o (PQ))", l'angolo di
cui la parallela all'asse Y del riferimento passante per P, deve ruotare in
senso orario per sovrapporsi alla direzione PQ.
ϑ PO = arc tan
XQ − X P
YQ − YP
Ne consegue che tra ϑPQ e il suo reciproco ϑQP sussiste la relazione:
ϑPQ = ϑQP ± π
( - se ϑQP > π
( + se ϑQP < π)
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CARTOGRAFIA NUMERICA I
Sebbene diverse calcolatrici tascabili riescano a calcolarlo direttamente, risulta
interessante analizzare il comportamento dell'angolo di direzione nei vari
quadranti. Come è noto la maggior parte dei calcolatori esegue infatti una
riduzione al 1° quadrante, per cui risulta sempre 0≤|ϑ|≤π/2 con valori di ϑ
positivi o negativi. Per eseguire il calcolo in quadranti che non siano solo il
primo, occorre innanzi tutto studiare il segno di ϑ.
n.quadr. segno ϑ
1
2
3
4
+
+
-
segno XQ XP
+
+
-
segno YQ - YP valore ϑ
+
+
ϑ
π - |ϑ|
π+ϑ
2π - ϑ
Riduzione dell'angolo di direzione ai vari quadranti.
Nella tabella sopra non sono però contemplati i seguenti casi particolari:
∆x
0
+
0
0
∆y
0
0
0
+
-
angolo indeterminato
ϑ = π/2
ϑ = 3π/2
ϑ=0
ϑ=π
Esercizio
Verificare i seguenti angoli di direzione calcolati rispetto al punto P di
coordinate:
XP = 123.49 m
YP = 144.35 m
considerando i seguenti punti di coordinate:
1.
2.
3.
4.
X = 103.41 m
X = 224.35 m
X = 62.62 m
X = 183.92 m
Y = 182.52 m
Y = 327.42 m
Y = 37.24 m
Y = 42.32 m
(4° quadrante
(1° quadrante
(3° quadrante
(2° quadrante
ϑ = 369.1695 gon)
ϑ = 32.0578 gon)
ϑ = 239.8992 gon)
ϑ = 165.9586 gon)
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