la perpendicolarità nello spazio

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LA PERPENDICOLARITA’ NELLO SPAZIO
Nello spazio si definiscono la perpendicolarità sia tra una retta e un piano sia tra due piani.
2.1 La perpendicolarità retta piano
Nel piano la perpendicolarità tra rette è una condizione di incidenza particolare, ricca di
conseguenze, basti pensare ai teoremi sui triangoli rettangoli. Anche nello spazio la perpendicolarità
tra una retta e un piano è una situazione di incidenza che dà origine a proprietà notevoli.
Ma cosa significa che una retta è perpendicolare a un piano?
Tutti noi vediamo gli spigoli della stanza e diciamo che sono perpendicolari al piano del pavimento,
ma su che basi si fonda la nostra affermazione?
Ritorniamo alla perpendicolarità tra rette osservando che lo spigolo che diciamo “verticale” è
perpendicolare agli altri due spigoli che concorrono in un angolo della stanza. Ma queste non sono
le uniche rette perpendicolari allo spigolo verticale, qualunque altra retta del piano del pavimento
che concorre nello stesso angolo della stanza è a sua volta perpendicolare allo spigolo verticale,
come assicura il seguente teorema.
Teorema 3 Se una retta è perpendicolare a due rette incidenti allora è perpendicolare a tutte le rette
del loro fascio e non è perpendicolare a nessun’altra retta della stella.
Ipotesi: r ⊥ a, r ⊥ b
c retta del fascio generato da a, b
d retta della stella, ma non del fascio
Tesi: 1) r ⊥ c
2) r non perpendicolare a d
figura 1
2
DIM
1) Indichiamo con α il piano generato dalle rette a, b e con O il loro punto d’intersezione.
Tracciamo nel piano α una qualunque retta c passante per O.
Per dimostrare che r è perpendicolare a c costruiamo un triangolo che ha una mediana coincidente
con c e dimostriamo che tale triangolo è isoscele.
•
Costruzione del triangolo
Tracciamo nel piano α una retta s non passante per O e indichiamo con A, B, C i suoi punti
d’intersezione con le rette a, b, c . Indichiamo con P, Q due punti della retta r equidistanti da O.
Allora la retta c contiene la mediana CO del triangolo PCQ.
•
PCQ è un triangolo isoscele
Per dimostrare che CP
CQ proviamo che sono lati di due triangoli congruenti PAC e QAC.
AP AQ perché la retta a è asse di PQ
BP
BQ perché la retta b è asse di PQ
Allora PAB QAB per il terzo criterio, un lato è in comune e le altre due coppie di lati sono
congruenti per la dimostrazione appena effettuata. Quindi sono congruenti coppie di angoli dei
due triangoli e, in particolare vale PAC QAC.
Allora i triangoli PAC e QAC sono congruenti per il primo criterio e, in particolare, sono
congruenti i lati CP e CQ. Così abbiamo dimostrato che PCQ è un triangolo isoscele di base PQ.
La mediana relativa alla base è anche altezza, perciò le rette r e c sono fra loro perpendicolari.
2) Consideriamo ancora la retta r perpendicolare al piano α in O.
Supponiamo per assurdo che esista una retta d, perpendicolare in O a r, ma non appartenente
al piano α (figura 2). Le rette incidenti r, d generano a loro volta un piano che chiamiamo β.
I piani α e β sono incidenti in O perciò hanno in comune una retta passante per O, la
indichiamo con e.
Le rette r, d, e sono tutte nel piano β, in cui accade che: r ⊥ d in O per ipotesi r ⊥ e in O per quanto dimostrato al punto 1) Abbiamo così ottenuto l’assurdo, perché in un piano non possono esserci due rette
perpendicolari a una retta in uno stesso punto.
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Figura 2
Il teorema appena dimostrato risponde alla domanda posta in apertura del paragrafo, si dà la
seguente definizione.
Def Si dice che una retta è perpendicolare a un piano in un suo punto se è perpendicolare a
tutte le rette del piano passanti per quel punto.
Il teorema 3 assicura che, per dimostrare che una retta è perpendicolare a un piano in suo
punto, è sufficiente dimostrare che la stessa è perpendicolare a due rette del piano distinte e
passanti per quel punto.
Proponiamo ora il secondo teorema sulla perpendicolarità retta – piano, vedremo nel seguito
che è il fondamento delle dimostrazioni di importanti proprietà di figure solide.
Teorema 4 – Teorema delle tre perpendicolari. Se dal piede della perpendicolare a un
piano si conduce la perpendicolare a un’altra retta del piano, quest’ultima è perpendicolare
al piano formato dalle prime due.
L’enunciato sembra uno scioglilingua, il suo contenuto si chiarirà costruendo la figura.
Disegniamo una retta r perpendicolare a un piano α in un suo punto O, piede della
perpendicolare. Tracciamo nello stesso piano una retta s non passante per O, e da O
conduciamo la retta t perpendicolare a s, indichiamo con H il piede della perpendicolare.
Abbiamo così disegnato tre rette a due a due perpendicolari ( figura 3)
Figura 3
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Ipotesi: r ⊥ α t ⊥ s
Tesi: s perpendicolare al piano generato da r, t
DIM.
Il piano generato dalle rette r, t, che chiameremo β, può anche essere individuato con tre
punti O, H e un generico punto P sulla retta r (figura 4)
Per ipotesi s è perpendicolare in H alla retta t di β, in forza del precedente teorema basta
dimostrare che s è perpendicolare in H a un’altra retta di β. Dimostriamo che s è perpendicolare alla retta HP seguendo una strada analoga a quella del
teorema 3. Indichiamo con A, B due punti della retta s simmetrici rispetto a H e dimostriamo
che il triangolo PAB è isoscele sulla base AB (figura 4).
POA ≅ POB per il primo criterio, infatti l’angolo in O è retto, il cateto OP è comune, i cateti
OA e OB sono congruenti perché O è, per costruzione, un punto dell’asse di AB.
In particolare è PA ≅ PB, perciò il triangolo PAB è isoscele su AB e la mediana PH è anche
altezza.
Abbiamo così provato che s è perpendicolare alle rette HO e HP del piano β, e quindi è
perpendicolare al piano stesso.
Figura 4
Due teoremi stabiliscono una relazione tra una retta, un punto e un piano perpendicolare alla
retta.
Teorema 5 Dati una retta r e un
punto P esiste ed è unico il piano che è
perpendicolare a r e passa per P.
Figura 5
Teorema 6 Dati un piano α e un punto P esiste ed è unica la retta che è perpendicolare a α e
passa per P.
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•
Si distinguono due casi
Ipotesi: P∈α
Tesi: r ⊥ α in P
figura 6a
•
Ipotesi: P ∉α
Tesi: r passa per P
r⊥α
figura 6b
Concludiamo con un teorema che presenta la trasposizione allo spazio di una proprietà della
geometria piana.
Teorema 7 Due rette perpendicolari a uno stesso piano sono tra loro parallele.
Tesi: r // s
Ipotesi: r ⊥ α
s⊥α
Figura 7
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Alla luce di questi teoremi, chiamiamo proiezione di un punto su un piano il piede della
perpendicolare al piano.
Il segmento che ha per estremi un punto e la sua proiezione sul piano è detto distanza di un
punto da un piano. A seconda dei contesti prendono lo stesso nome anche la lunghezza e la
misura del segmento.
Riguardo alla distanza di un punto da un piano vale una proprietà analoga a quella che
sussiste nel piano per la perpendicolare e le oblique da un punto a una retta. Si dimostra
infatti il seguente teorema.
Teorema 8 Dati un piano α e un punto P che non gli appartiene, il segmento che ha per
estremi P e la sua proiezione su α è minore di ogni altro segmento che ha un estremo in P e
l’altro in un punto di α.
Ipotesi: P ∉α
PH ⊥ α
A (distinto da H) ∈α
Tesi: PH < PA
Figura 8
La proiezione di un segmento su un piano è il segmento che ha per estremi le proiezioni
degli estremi del segmento sul piano.
In figura sono rappresentati un
segmento AB e la sua proiezione HK
su un piano α.
Figura 9
Infine definiamo l’angolo che una retta forma con un piano che la intersechi come
l’angolo acuto che la retta forma con la sua proiezione sul piano.
In figura 10 sono rappresentate una retta r e la sua proiezione sul piano, l’angolo che la retta
forma con il piano è QPH.
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Figura 10
Se una retta è perpendicolare a un piano si dice che forma un angolo retto con il piano.
L’angolo acuto che una retta incidente un piano α in un punto P forma con la sua
proiezione su α gode di un’importante proprietà di minimo, si dimostra infatti che tale
angolo è minore dell’angolo che la stessa retta forma con qualunque altra retta di α
passante per P.
In figura ... sono rappresentate la retta r, la sua proiezione s sul piano α e un’altra retta t
passante per il punto O di α. Per qualunque posizione di t vale la disuguaglianza POH
POA
figura 11
2.2 Angoli diedri
L’angolo formato da due semirette che hanno l’origine comune ha un analogo nello spazio, prima di
definirlo ricordiamo che nel piano
un angolo ha
•
•
due lati: semirette che hanno la stessa origine
un vertice: origine dei lati
un angolo è ciascuna delle due parti di piano limitate dalle semirette.
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Per definire il nuovo ente che chiameremo angolo diedro o, più brevemente, diedro aumentiamo di
una dimensione gli enti che limitano l’angolo
Semirette → semipiani
Vertice
→ retta
Def Si dice angolo diedro ciascuna delle parti di spazio limitate da due semipiani che hanno
l’origine comune.
Ciascun semipiano è detto faccia del diedro, mentre la retta, origine dei semipiani, è detta spigolo
Figura 12
Come per gli angoli piani si dice diedro convesso la parte di spazio che non contiene i
prolungamenti della facce, diedro concavo l’altra.
Se le facce sono complanari e opposte allo spigolo, lo spazio è diviso in due semispazi, che sono
figure convesse, in questo caso ciascuno dei due diedri è detto diedro piatto.
Proseguendo nell’analogia con gli angoli, due diedri si dicono consecutivi se hanno in comune
un’intera faccia e nessun altro punto.
La somma di due diedri consecutivi è il diedro che li contiene e ha per facce le facce non comuni.
Una classificazione dei diedri, analoga a quella degli angoli piani, avviene attraverso l’intersezione
del diedro con un piano che ne interseca le facce, la figura che si ottiene è un angolo detto sezione
del diedro.
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figura 13
In figura 13 è rappresentato l’angolo aOb sezione di un diedro con un piano α perpendicolare allo
spigolo.
Ogni sezione di un diedro con un piano perpendicolare allo spigolo è detta sezione normale, a
questo riguardo si dimostra il seguente teorema.
Teorema 9 Le sezioni normali di uno stesso diedro sono congruenti.
Segnaliamo alcune conseguenze importanti.
•
•
Due diedri sono congruenti se lo sono le loro sezioni normali. Si dimostra che la relazione
di congruenza tra diedri introdotta è una relazione di equivalenza. La grandezza comune a
tutti i diedri congruenti è detta ampiezza e viene misurata con le stesse unità di misura
dell’angolo piano.
Si dice che un diedro è acuto, retto o ottuso se lo sono, rispettivamente, le sue sezioni
normali.
L’analogo nello spazio della bisettrice di un angolo è il piano bisettore di un diedro, definito come
quel piano che passa per lo spigolo del diedro e lo divide in due diedri congruenti.
2.3 La perpendicolarità tra piani
Se consideriamo due piani che si intersecano, lo spazio viene diviso in quattro parti ciascuna delle
quali è un diedro. A partire dalla classificazione dei diedri si definisce la perpendicolarità tra piani.
Def. Si dice che due piani sono perpendicolari se intersecandosi formano quattro diedi retti.
figura 14
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Riguardo alla perpendicolarità tra piani si enunciano tre importanti teoremi in ciascuno dei quali
sono diversamente coinvolti due piani e una retta perpendicolare a uno dei due.
Teorema 10 Ogni piano β passante per una
retta s perpendicolare a un piano α è
anch’esso perpendicolare a questo piano.
Teorema 11 Ogni piano α perpendicolare a
una retta s di un piano β è perpendicolare
anche a questo piano.
figura 15
Teorema 12 Se due piani sono perpendicolari, ogni retta perpendicolare alla loro intersezione e
situata su uno dei due piani, è perpendicolare all’altro piano.
Ipotesi: t ≡ α ∩ β
r∈α
r⊥t
Tesi: r ⊥ β
figura 16