Dinamica dei sistemi

DINAMICA DEI SISTEMI
1. Dimostrare che il centro di massa di una sbarra di massa M e lunghezza L
coincide con il punto medio della sbarra se essa possiede una densità lineare λ
uniforme. Nel caso in cui λ non sia uniforme ma valga λ = 50 g m + 20 x g m 2
( x distanza da un estremo della sbarra) e la sbarra sia lunga L = 30 cm calcolare:
a. La massa totale M della sbarra;
b. La distanza del centro di massa da uno degli estremi.
2. Un oggetto di massa M ha la forma di un triangolo rettangolo. L’ipotenusa è
lunga c , il cateto maggiore a mentre quello minore b . Sapendo che la densità
superficiale di massa è uniforme calcolare il centro di massa.
3. Una molecola di acqua è formata da un atomo di ossigeno e due
atomi di idrogeno come in figura. L’angolo formato dalle direzioni
dei legami covalenti dei due atomi di idrogeno con quello di
ossigeno è 106° . Se la lunghezza dei due legami è 0.1 nm dove si
trova il centro di massa della molecola?
4. Una ragazza di massa m = 50 kg è in piedi su una zattera di massa M = 100 kg e
lunghezza L = 3 m posta in prossimità di una boa fissa, e si trova all’estremità
della zattera più vicina alla boa, a distanza d = 2 m . La ragazza si sposta sull’altra
estremità della zattera. Trascurando l’attrito tra la zattera e l’acqua, si determini la
nuova distanza della zattera rispetto alla boa.
5. Due corpi di massa m1 ed m2 = 2m1 sono agganciati ai capi di una molla di massa
trascurabile e posti su di un piano liscio orizzontale. La molla ha lunghezza di
riposo L e costante elastica k . Inizialmente le due masse sono collegate da un filo
e la molla è compressa di un tratto l0 . In un dato istante il filo viene tagliato ed il
sistema e lasciato libero di muoversi. Si determini la velocità massima raggiunta
dai due corpi nel loro moto.
6. Un proiettile di massa m viene lanciato da terra all’istante t = 0 con velocità
iniziale v0 = 10 m s in una direzione che forma un angolo θ = 60° con
l’orizzontale. Durante il volo il proiettile esplode in due frammenti di massa pari a
2
m
m ed
rispettivamente. I due frammenti atterrano simultaneamente e la
3
3
distanza del frammento più leggero dal punto di lancio è x2 = 11 m . Trascurando
la resistenza dell’aria si calcoli a quale distanza dal punto di lancio atterra il
frammento di proiettile più pesante.
7. Una biglia di massa m1 si muove con velocità v0 su un piano orizzontale liscio e
subisce un urto elastico centrale con una seconda biglia, di massa m2 = 3m1 ,
inizialmente ferma. Successivamente la seconda biglia cade da un gradino di
altezza h = 0.5 m . Si trovi il valore di v0 per cui la biglia tocca terra a distanza
d = 5 m dal bordo del gradino.
8. Un cannone di massa M inizialmente fermo su un piano orizzontale scabro spara,
con un'inclinazione α rispetto all'orizzontale, un proiettile di massa m . Sapendo
che il proiettile viene espulso con una velocità v p e che la superficie su cui poggia
il cannone presenta un coefficiente di attrito dinamico µ D , si calcolino il rinculo
del cannone e l’impulso della reazione vincolare d’appoggio. Si trascuri l'attrito
tra cannone e suolo durante lo sparo.
9. Un blocco di legno di massa M è appeso ad un piolo mediante una fune
inestensibile di lunghezza L e di massa trascurabile. Una pallottola di massa m si
conficca nel blocco con velocità v0 :
a. Si calcoli il minimo valore di v0 per cui il blocco compie un giro attorno al
piolo.
b. Per tale valore di v0 , si calcoli l’energia dissipata nel blocco durante l’urto.
c. Come cambierebbe la risposta a se al posto della fune vi fosse un’asta rigida
sempre di massa trascurabile?
10.Un cuneo di massa M = 2 kg , la cui sezione è delimitata da un quarto di cerchio
di raggio R = 50 cm , libero di muoversi su di un piano orizzontale, è inizialmente
in quiete. Un corpo di massa m = 0.5 kg viene lanciato lungo il piano orizzontale
in direzione del cuneo. Si
determini il minimo valore che
deve avere la velocità iniziale
R
m
v
del
M
corpo
affinché
possa
percorrere la superficie curva
del cuneo giungendo fino alla quota h = R . Si supponga trascurabile ogni forma
2
di attrito.
11.La guida ABC in
piano
D
C
figura giace in un
orizzontale.
All’estremo
A
h
m1
è
attaccata una molla
m2
A
O
B
h
di massa trascurabile e costante elastica k=400 N m alla quale è appoggiata una
massa m1 = 200 g ; in queste condizioni la molla risulta compressa di x0 cm .
Rilasciando la molla, la massa m1 urta elasticamente una massa m2 = 2m1 ferma
sul tratto AB .
a. Determinare x0 , sapendo che dopo l’urto m1 , ribattendo sulla molla, la
comprime di x1 = 3.5 cm .
b. La massa m2 , per effetto dell’urto, sale lungo il profilo liscio BC e prosegue
per un tratto scabro CD
( µD = 0.5) . Sapendo che
CD = CO = h , determinare
per quale valore di h la massa m2 si arresta in D .
12.Tre barche uguali A B e C , di massa M = 100 kg , si muovono affiancate
sull’acqua con la stessa velocità V V = 6 m s . Dalla barca B , che si trova in
(
)
posizione centrale, vengono lanciati nello stesso istante di tempo due corpi di
massa m = 10 kg che ricadono sulle due barche laterali. Le velocità
v′ ( v′ = 10 m s ) dei due corpi al momento del lancio sono orizzontali rispetto alla
barca B , normali rispetto a V ed uguali in modulo. Supponendo di trascurare
l’attrito dell’acqua, si determinino:
a. la velocità della barca B dopo il lancio dei due corpi;
b. la direzione secondo cui si muovono le barche A e C dopo che le due masse
sono ricadute in esse
13.Due sfere identiche si muovono su un piano privo di attrito lungo due direzioni
che formano rispettivamente un angolo α = 45° e β = 30° rispetto all’orizzontale.
La prima sfera ha una velocità v1 = 3 m s , la seconda v 2 = 4.24 m s . Ad un dato
istante esse si urtano in maniera totalmente anelastico. Stabilire in quale direzione
si muoveranno le sfere dopo l’urto determinare
a. la velocità delle due sfere dopo l’urto;
b. la perdita percentuale di energia durante l’urto.