Sistemi con ritardo finito
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Sistemi con ritardo finito
Sistemi con ritardo finito Un sistema con ritardo finito ha f.d.t. del tipo: N ( S ) − Sτ G(S ) = e D( S ) Applicando a tale sistema un ingresso all’istante t=0, la risposta inizierà all’istante t=τ La forma della riposta sarà determinata da poli, zeri e guadagno del sistema esempio Si consideri il serbatoio inizialmente vuoto, se τ è il tempo necessario perché il livello dell’acqua raggiunga quello del foro d’uscita, y(t ) = u (t − τ ) si ha trasformando si ottiene Y ( s ) = e − sτU ( s ) da cui segue G ( s ) = e − sτ Sviluppo in serie di Padè • Il ritardo finito può essere approssimato da una funzione razionale fratta del tipo: bp s + bp −1s p −1 + ....... + b0 aq s + aq−1s q −1 + ...... + a0 p −s e ≅ q ( p + q − k )! p! bk = (−1) k ( p + q)! k! ( p − k )! ak = ( p + q − k )! q! ( p + q)! k!(q − k )! k = 0,......, p k = 0,......, q i sistemi che si ottengono utilizzando l’approssimazione di Padè non sono mai sistemi a fase minima, infatti essi hanno sempre zeri a parte reale positiva p = q =1 p=q=2 1 − s2τ G( S ) = 1 + s2τ 1− G( s) = 1+ sτ 2 sτ 2 + + ( sτ ) 2 12 ( sτ ) 2 12 Risposta in frequenza:esempio velocità del nastro v=1m/sec lunghezza q=2m il modello ingresso/uscita è : y (t ) = u (t − 2) per cui si ha: Y ( s ) = e −2 sU ( s ) ⇒ G ( s ) = e −2 s da cui è possibile ricavare la funzione di risposta armonica G ( jω ) = e −2 jω da cui: ⎧ G ( jω ) = 1 ⎨ ⎩ϕ (ω ) = −2ω Ritardo finito Approssimante di secondo ordine L’approssimazione di Padè è poco accurata nello studio in frequenza Esempio in matlab >> g=0.05/(1+0.2*s) Transfer function: 0.05 --------0.2 s + 1 >> g.inputdelay=0.3 Transfer function: 0.05 exp(-0.3*s) * --------0.2 s + 1 >> step(g) Diagramma polare