e il destino di Mathlantide

ALLENAMENTO GARA A SQUADRE ON-LINE (11/10/2010)
Istruzioni Generali
•
Si ricorda che per tutti i problemi occorre indicare sul cartellino delle risposte un numero intero
compreso tra 0000 e 9999, o comunque una successione di 4 cifre. Si ricorda anche che occorre sempre e
comunque compilare tutte le 4 cifre, eventualmente aggiungendo degli zeri iniziali.
•
Se la quantità richiesta non è un numero intero, si indichi la sua parte intera. Si ricorda che la parte
intera di un numero reale x è il più grande intero minore od uguale ad x.
•
Se la quantità richiesta è un numero negativo, oppure se il problema non ha soluzione, si indichi 0000.
•
Se la quantità richiesta è un numero maggiore di 9999, oppure se non è univocamente determinata, si
indichi 9999.
•
Nello svolgimento dei calcoli può essere utile tener conto dei seguenti valori approssimati:
2 = 1,4142
3 = 1,7321
5 = 2,2361
6 = 2,4495
π = 3,1416
NON APRIRE QUESTO FASCICOLO
FINO A QUANDO LA GARA NON È INIZIATA
Ritorna l'avventura del più famoso archeologo al mondo:
e il destino di Mathlantide
«Innanzi a quella foce stretta che si chiama colonne
d'Ercole, c'era un'isola. E quest'isola era più grande della
Libia e dell'Asia insieme, e da essa si poteva passare ad
altre isole e da queste alla terraferma di fronte. [...] In tempi posteriori [...], essendo succeduti
terremoti e cataclismi straordinari, nel volgere di un giorno e di una notte, [...] tutto in massa
sprofondò sotto terra e l'isola di Mathlantide ingoiata dal mare scomparve.»
Tratto dal Timeo di Platone
Hanno collaborato alla stesura dei problemi:
Angela Aquilino
Carlo Cassola
Fabio Roman
Giampaolo Gasparin
Luca Lamanna
Marzia Famanelli
Orietta Zangiacomi
Salvatore Damantino
Sandro Campigotto
Ugo Tomat
10 febbraio 1938:
Barnett College – New-York
1. TEST A SORPRESA
Al termine di una lezione sulla civiltà Micenea, il prof. Indiana Jones mise alla prova i suoi studenti proponendo il
3
3
3
3
seguente quesito: "Qual è la cifra delle unità del numero ottenuto sommando 1 + 2 + 3 + ... + 2010 ? Lo studente
che diede la risposta corretta chiese in premio notizie sull'antica civiltà Mathlantidea, ricevendo una risposta
telegrafica: "Pure invenzioni del folle filosofo Platone!", ma una sorpresa attendeva il nostro eroe.
2. UNA SORPRESA IN GONNELLA
"Jones, miss. Katherine White ha chiesto di parlarti." affermò Marcus Brody entrando nello
studio di Indiana Jones e invitando ad accomodarsi una giovanile signora vestita di un bianco
tailleur e con un cappello dalle larghe tese. "Katy? Quanto tempo… era dai tempi
dell'università…" l'accolse Indy.
"Ciao, Indiana. Riconosci questo simbolo?" disse lei porgendogli una fotografia. "Certo, è il
simbolo a cui hai dedicato tutta una vita, quello della civiltà mathlantidea descritto nel
Timeo da Platone."
"L'abbiamo trovato scolpito in una pietra quadrata di diagonale 40 cm "
"E qual è l'area dalla parte colorata?" "Suvvia Jones… non prendermi in giro: la sai calcolare
da solo".
3. LA PRIMA PROVA
"E così lo hai trovato. E dove?" "Calma Jones, non essere frettoloso. Il simbolo è scolpito
a fianco di un gioco per bambini che ora ti disegno." e così dicendo, prese un foglio
dove tracciò la figura a fianco riportata. "Un'iscrizione sotto il simbolo chiede se è più
probabile che una moneta lasciata cadere da A raggiunga l'uscita B o l'uscita C."
"Supponiamo che io ti dia la soluzione," disse Indy "io cosa ci guadagno?" "Ti porterò con
me a studiare il reperto." (dare come soluzione la somma tra numeratore e
denominatore della frazione ridotta ai minimi termini della probabilità massima).
A
C B B C
Durante il viaggio in aereo verso Algeri, Katherine White raccontò a Indiana Jones che dalle sue ricerche risultava che la
civiltà Mathlantidea aveva raggiunto un livello tecnologico avanzatissimo grazie soprattutto ai grandi risultati matematici
ottenuti. Secondo Platone il continente di Mathlantide venne divorato dalla furia delle acque in una notte e della civiltà
non rimase alcuna traccia. Da sempre si era pensato che la civiltà fosse fiorita su un'isola dell'atlantico, ma indizi più
recenti spostavano l'attenzione sul mar Mediterraneo.
1 marzo 1938
Bazar di Algeri
4. OMAR AL-JABBAR
"Dobbiamo contattare Omar Al-Jabbar, un commerciante locale di souvenir. È lui che in un suo scavo ha trovato il
simbolo della civiltà Mathlantidea." Dopo una estenuante ricerca, finalmente Indy e Katy giungono in un bazar del
centro città. "Sei tu Omar Al-Jabbar?", chiese Indiana Jones al venditore di cianfrusaglie.
"Ci sono uomini malvagi in giro… Risponderò alla tua domanda se tu risponderai alla mia. Sto pensando ad un numero
di tre cifre, tutte diverse e nessuna è zero. Se sommi tutti gli altri 5 numeri di tre cifre che si possono formare
utilizzando le cifre del mio numero, scambiandole di posto, ottieni 2211. Che numero ho scelto?"
5. LA MAPPA DEL DESERTO
Omar consegnò ad Indy e Katy una mappa rappresentante il deserto a sud di Algeri e si rifiutò di accompagnarli. La
mappa era una griglia cartesiana con coordinate x e y da 0 a 99.
Vi era riportata la seguente scritta sul bordo: " x = ab ; y = cd ; c'è un unico numero abcd compreso tra 1000 e 9999
tale per cui le ultime quattro cifre del suo quadrato siano uguali al numero stesso." Noleggiata una jeep, a quali
coordinate si sono diretti i due protagonisti? (Dare come risposta abcd.)
Deserto a sud di Algeri
6. SCAVO NEL DESERTO
Una fossa nella sabbia. Ecco la prima impressione che ebbe Indiana Jones giunto sul posto.
Discesa una scala di legno, Katy e Indy si trovarono di fronte ad una parete di roccia con incisa
sopra una croce con a fianco la scritta AB misura 20 5 cm .
"Omar ti ha mai parlato di questo?", disse Indy a Katy, che per tutta risposta scrollò le spalle.
"Guarda qua. C'è una specie di ruota numerata," notò Katy "e sopra c'è una scritta in antico
greco, che tradotta vuol dire estensione o superficie". "Ho capito" disse Jones" e la risposta è
decisamente semplice".
A
B
7. INDIZI NELLA SABBIA
La parete di roccia nascondeva una grotta scavata dall'uomo: infatti la forma era troppo regolare per essere naturale.
In un angolo Jones e Katy poterono osservare il gioco per bambini e il simbolo inciso sulla parete. Ma fu un'altra zona
che attirò l'attenzione di Jones. Sulla parete opposta all'entrata vi era una serie di pulsanti disposta in 10 righe e 10
colonne. A fianco, ripulita dalle incrostazioni del tempo, qualcuno aveva riportato alla luce una scritta in antichi
caratteri greci. "E questa? Non me ne hai mai parlato." disse Jones a Katy, che fece finta di non sentire continuando ad
ammirare il simbolo mathlantideo della parete. Indiana Jones, inforcando gli occhiali, lesse attentamente le incisioni
sulla roccia: "In quanti modi diversi puoi premere 4 pulsanti adiacenti in sequenza da destra verso sinistra o viceversa,
dall'alto verso il basso o viceversa o in diagonale?"
Il giorno dopo, Jones e Katherine continuarono ad indagare la grotta. Posizionando la ruota numerata sulla risposta, la
parete ruotò su sé stessa rivelando un'incisione familiare: la rappresentazione del Mar Mediterraneo. A sud della Grecia,
dove normalmente c'è l'isola di Creta era riportata un'isola molto più grande con inciso sopra il simbolo Mathlantideo. Una
scoperta sensazionale.
2 marzo 1938
Grotta sotterranea nel deserto
8. PRIGIONIERO NAZISTA
"Herr Jones, sapevo che avrei potuto contare su di te!" gridò il graduato Nazista
emergendo dalla luce dell'ingresso. In un attimo Jones fu bloccato da 4 mani nerborute
e rinchiuso in una stanza attigua a quella principale. Katherine fu scortata fuori.
Appena la vista si abituò all'oscurità, sulla parete interna dello stanzino Jones osservò
la figura a fianco riportata e trovò un'altra ruota numerica. Sopra alla ruota la scritta
AB = BC = CD = 10 cm EB ⊥ AD ⊥ CF e i simboli dal significato di "superficie".
D
E
C
B
A
F
9. L'ENIGMA DELLA GUARDIA
Trovata un'uscita secondaria, Jones si rese conto di essere stato abbandonato. Una sola guardia era stata lasciata a
presidio dello scavo, ed una mongolfiera era ancorata a terra. La guardia era impegnata in un enigma matematico,
evidentemente trovato nella grotta: "Sono dati i seguenti insiemi:
S 4 = {7,8,9,10} , …
contenuti in S 22 ?"
S1 = {1} , S 2 = {2,3} , S3 = {4,5,6} ,
dove ogni insieme contiene un elemento in più del precedente. Qual è la somma degli elementi
10. VERSO L'ISOLA DI CRETA
Reso inoffensivo il soldato tedesco, Jones notò che il sistema di ancoraggio del pallone aerostatico era a combinazione
numerica. Interrogata la guardia, questa affermò: "Il codice è il più grande intero n di 4 cifre tale che il prodotto del
numero costituito dalla prima e dalla terza cifra di n con il numero costituito dalla seconda e dalla terza cifra di n sia
un numero di tre cifre tutte uguali alla quarta cifra di n". Jones non se lo fece ripetere due volte, e nel giro di pochi
istanti era in volo verso l'isola di Creta
3 marzo 1938
Cieli d'Algeria a 13 miglia dalle coste nord
11. NUOVAMENTE PRIGIONIERO
Sorvolando il mar mediterraneo con il pallone aerostatico, per passare il tempo, Indy cominciò a tracciare delle rette
sul pavimento della gondola. Dopo averne fatte 3 parallele in un senso, 4 parallele in un altro senso e 5 parallele in un
terzo senso sentì un colpo di fucile: avvistato da un sommergibile nazista, era appena stato abbattuto. Quanti
parallelogrammi aveva disegnato, al massimo, Indiana Jones?
Nella prigione del sommergibile, Jones si rese conto che il sottomarino aveva urtato qualcosa e quindi si era fermato. Un
gran vociare di ordini in tedesco e nel giro di pochi minuti un silenzio totale. Doveva trovare il modo per fuggire. Jones si
rese conto che la stanza dove era stato rinchiuso non era una vera prigione. Infatti la porta venne giù dopo alcune poderose
spallate. Nel sommergibile non c'era più anima viva, erano tutti sbarcati, ma per dove?
12. FUGGIRE ANCORA
Era necessario uscire dal sommergibile quanto prima. Un tubo lanciasiluri!!! Jones fu folgorato dalla malsana idea di
trasformarsi in siluro e farsi sparare fuori dall'U-boat. Sul pannello di controllo, per non dimenticarsi il codice di
lancio, qualcuno aveva appuntato: "È dato un triangolo scaleno di lati 13, 14 e 15 cm. Si costruisca il simmetrico del
triangolo rispetto al baricentro. Il codice di lancio è l'area della parte di piano comune ai due triangoli."
13. LA PORTA DI MATHLANTIDE
Uno spettacolo incredibile. Jones si ritrovò in una caverna subacquea, dove l'acqua non riusciva ad entrare. Su una
parete della grotta si intravedevano una porta scolpita nella roccia, con incisa una scritta che tradotta chiedeva
"Quanto pesa il cubo?" ed una ruota numerata. A lato una bilancia a bracci diseguali, un cubetto di metallo sconosciuto
e alcuni pesi numerati. Il peso del cubo risultò essere di 392g se posto su un piatto, di 450 se posto sull'altro. Indiana
Jones non si arrese e riuscì ad aprire la porta risolvendo l'enigma.
Quello che Indiana Jones trovò al di là della porta in pietra lo
lasciò senza fiato. Un'intera città, costruita su tre cerchi
concentrici e perfettamente conservatasi nel tempo sul fondo del
mar Mediterraneo, contenuta in una bolla d'aria che chissà quale
strana energia stava mantenendo.
14. IL PRIMO CERCHIO
Per raggiungere il grande tempio, al centro della città fu
necessario superare le tre grandi fortificazioni circolari,
risolvendo gli enigmi riportati sui portali. Sul primo c'era scritto
"Una piramide ha per base un pentagono regolare di lato
30 13 m , e le sue facce laterali sono tutte triangoli
equilateri. Trovate il minimo percorso che unisce il punto
medio di un lato della base con il vertice opposto del
pentagono, senza poter passare sotto la piramide."
15. SECONDO CERCHIO
Sul portale del secondo cerchio di mura il quesito chiedeva "Calcolate la somma dei coefficienti del polinomio
(4 x
20
)
− 3 x10 + 1
2010
(
)
− 4 x 20 + 3 x10 + 1
670
+ 4 x 20 + 1
ridotto in forma normale."
16. TERZO CERCHIO
L'accesso alla zona del tempio era bloccata da un portale che interrogava: "Quali sono,
in base 10 le prime 4 cifre decimali del rapporto tra il maggiore ed il minore dei fattori
primi del numero
187 432
scritto in base 432?"
17. LA PORTA DEL TEMPIO
Una sola parola era incisa sulla porta del tempio: "Superficie". Subito sotto vi era
riportata l'incisione di un esagono irregolare con diagonali concorrenti. Jones capì subito
che la chiave della porta era l'area del triangolo indicato con x.
x
Uno spettacolo di morte attendeva il nostro eroe. All'interno del tempio giaceva una serie infinita di scheletri mutilati e
deformi, ma la più amara delle sorprese doveva ancora arrivare. "Indy, la mia fiducia in te era ben posta." La voce
inconfondibile di Katherine distolse l'attenzione di Jones dai cadaveri. "Fräulein White, la sua idea di sfruttare le abilità del
dott. Jones è stata l'arma della nostra più grande vittoria" disse il graduato nazista che l'accompagnava. "Devi sapere –
riprese Katherine – che le leggende raccontano che i Mathlantidei erano riusciti a costruire una macchina per diventare dei,
e così si salvarono dalla catastrofe."
Alba del 4 marzo 1938
Tempio di Mathlantide
18. ATTIVARE LA MACCHINA
"Siamo qua per diventare Dei." affermò solenne Katherine togliendo la polvere
da un altare dove trovò delle strane incisioni. Sulla parete due ruote con sopra
la scritta m ⊕ n = 5 . "Jones, quante coppie di numeri naturali (m; n) ci
permetteranno di diventare degli dei?" chiese l'ufficiale tedesco.
m ⊕ n = m + [(m − 1) ⊕ (n − 1)] + n
m≠0
m⊕0 = 0
n≠0
0⊕ n =1
0 ⊕ 0 = −1
19. LA MACCHINA PER DIVENTARE DEI
Attivata la macchina, restò un solo problema, trovare la piattaforma sulla quale posizionarsi per diventare Dei.
Katherine tradusse le iscrizioni riportate sul pannello di controllo: "La piattaforma è un quadrilatero irregolare, le cui
diagonali sono perpendicolari tra loro. Due lati opposti valgono rispettivamente 373 mm e 373 mm . Il rapporto fra
le due diagonali è 45/47. I 4 segmenti in cui si dividono le diagonali incrociandosi sono espressi, in mm, tutti da
numeri interi e il più piccolo dei 4 giace sulla diagonale maggiore."
I soldati nazisti si misero subito alla ricerca della piattaforma.
Quanto vale l’area della piattaforma in mm quadrati (dare la risposta divisa per 10)?
L'ufficiale tedesco si piazzò sulla piattaforma, ma Katherine White con una pistola lo freddò. "Se c'è qualcuno che deve
diventare un dio, quella sono io." E così dicendo si posizionò sulla piattaforma e attivò la macchina. Un raggio di energia la
attraversò e il suo corpo divenne fosforescente. Quando la luce scomparve sulla piattaforma restò un mucchio di ossa.
Chissà se la macchina funzionava veramente. Indiana Jones capì subito che quella fu l'ultima volta che l'artefatto funzionò.
Con una serie di esplosioni il marchingegno si ruppe. I soldati nazisti fuggirono in preda al panico. Con un boato lo scudo di
energia che proteggeva Mathlantide si spezzò, e l'acqua del mare cominciò ad invadere quanto per secoli non aveva potuto
ricoprire.
20. FUGA DA MATHLANTIDE
In un angolo, su una specie di bolla di un materiale ibrido trasparente, Jones individuò una scritta in greco antico:
"Quanto vale il resto della divisione
373373 + 3737 3737
25
Grazie alla bolla, Indiana raggiunse la superficie
del mare dove trovò il sommergibile nazista non
più bloccato dalle rocce.
Guardando il tramonto, si rese conto di essere
l'unico spettatore della fine della città
Mathlantidea e l'unico superstite della follia
Nazista.
Unico testimone di una storia a cui nessuno
crederà mai.
Liberamente tratto da "Indiana Jones and the fate of Atlantis" - LucasArts™
?" Indiana Jones trovò la soluzione, e quella fu la sua salvezza.