PROGRAMMA DRESAME E TEMI DRESAME DI MATEMATICA

PROGRAMMA D’ESAME
E TEMI D’ESAME DI
MATEMATICA
Prerequisiti. L’algebra, la geometria analitica e la trigonometria dei programmi delle scuole superiori sono prerequisiti fondamentali. In particolare
bisogna sapere cosa sono le equazioni e disequazioni, l’equazione della retta,
le proprietà delle potenze, gli esponenziali e logaritmi, il seno e coseno e la
tangente, i gra…ci di tutte queste funzioni, etc. La logica elementare è un prerequisito ancor più fondamentale. In particolare bisogna saper usare un linguaggio non ambiguo ed aver ben chiaro cosa sono ipotesi, tesi, dimostrazione. Le
de…nizioni ed i teoremi devono essere enunciati con precisione ed illustrati con
esempi e controesempi.
Calcolo di¤erenziale in una variabile. Funzioni: dominio, immagine,
funzioni composte ed inverse. Esempi: Curve e super…ci. Simmetrie, periodicità, gra…ci. Funzioni elementari: Potenze, esponenziale e logaritmo, seno,
coseno, tangente e arcotangente. De…nizione di limite. Calcolo di limiti. Forme
di indecisione. Due numeri speciali: e, . Funzioni continue. Il teorema degli
zeri ed il metodo di bisezione per il calcolo approssimato di uno zero. Esistenza
di massimi e minimi. Rapporto incrementale e derivata, equazione della retta
tangente al gra…co di una funzione. Derivata seconda: concavità e convessità. Regole di derivazione: Somma e di¤erenza, prodotto e quoziente, derivata
della funzione composta ed inversa. Derivate di funzioni elementari: Potenze,
esponenziale e logaritmo, seno, coseno, tangente e arcotangente. I teoremi del
calcolo di¤erenziale: Fermat, Rolle, Lagrange, de l’Hopital. Studio di funzioni:
Dominio e immagine, simmetrie, limiti agli estremi del dominio, massimi e minimi, concavità e convessità, asintoti, gra…co.
Calcolo integrale in una variabile. Integrale di Riemann: De…nizione
e signi…cato geometrico. Calcolo approssimato di un integrale: Il metodo dei
rettangoli e dei trapezi. Proprietà dell’integrale de…nito. Il teorema della media.
Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Funzioni primitive e integrale
inde…nito. Metodi di integrazione: Scomposizione, per parti, per sostituzione.
La formula di Taylor con il resto integrale. Lo sviluppo in serie di potenze delle
funzioni elementari.
1
Calcolo di¤erenziale ed integrale in più variabili. Derivate direzionali e parziali. Gradiente, direzione di massima pendenza. Equazione del piano
tangente ad una super…cie. Derivate di ordine superiore. Formula di Taylor.
Segno di un polinomio di secondo grado. Massimi e minimi liberi e vincolati.
Integrali multipli. Riduzione di un integrale multiplo ad integrali semplici successivi. Integrazione in coordinate polari. Calcolo di aree, volumi, baricentri.
Area del cerchio, volume della sfera.
Equazioni di¤erenziali. Esempi dalla …sica: F = ma, velocità e accelerazione. Equazioni di¤erenziali del primo ordine e problema di Cauchy. Signi…cato geometrico: Campo di direzioni. Soluzioni approssimate di equazioni
di¤erenziali: Poligonali di Eulero. Sviluppo in serie di potenze della soluzione di
una equazione di¤erenziale. Equazioni a variabili separabili e lineari. Equazioni
del secondo ordine lineari con coe¢ cienti costanti. L’oscillatore armonico.
Algebra lineare. Spazi vettoriali. Esempi: Vettori del piano e dello spazio,
regola del parallelogramma, prodotto scalare. Combinazione lineare di vettori,
vettori indipendenti. Base e dimensione di uno spazio vettoriale. Algebra delle
matrici. Sistemi di equazioni lineari.
2
Matematica
Nome:
-
Dicembre 2011
no :
James Bond
007
1) Se sin(x) = 1=2, allora
x = =6 o 5 =6
p
tan (x) = 1= 3
p
2) La funzione inversa di f (x) = e
f 1 (x) = log2 (x)
x
è
sin (2x)
=2
x
log (x)
=1
3) limx!1
x 1
sin (x)
limx!+1 p
=0
x
limx!0
4) L’equazione della retta tangente alla parabola y =
1
y 2 = (x 4) :
4
5) Studiare la funzione y =
x2
x3
1
.
a) Dominio: fx 6= 1g.
b) Zeri: y = 0 se e solo se x = 0.
c) Segno: y > 0 se e solo se x > 1.
limx! 1 y = 0
limx!1 y = 1
d)
limx!1+ y = +1
limx!+1 y = 0+
dy
d
x2
x4 2x
=
=
e)
2 =
dx
dx x3 1
(x3 1)
p
Minimi : x = 3 2
f)
Massimi : x = 0
3
x x3 + 2
(x3
2
1)
p
x nel punto (4; 2) è
g) Tracciare un gra…co qualitativo di y = x2 = x3
y
1 .
1.50
1.25
1.00
0.75
0.50
0.25
-3
-2
-1
1
-0.25
-0.50
-0.75
4
2
3
4
5
x
Matematica
Nome:
-
Marzo 2012
James Bond
no :
007
(1) Determinare i massimi e minimi assoluti e relativi della funzione (y
1) y
@
(y 1) y x2 = 2x (y 1) ;
@x
@
(y 1) y x2 = 2y x2 1;
@y
2x (y 1) = 0
; (x; y) = ( 1; 1) ; (0; 1=2) :
2y x2 1 = 0
Nei punti con y = 1 la funzione cambia segno, quindi i punti ( 1; 1) sono
selle. Sotto la retta y = 1 e sopra la parabola y = x2 la funzione è negativa,
quindi il punto (0; 1=2) è un minimo relativo. Non ci sono massimi e minimi
assoluti, la funzione è illimitata superiormente ed inferiormente. Lo sviluppo di
Taylor della funzione (y 1) y x2 nel punto (0; 1=2) è
(y
1) y
x2 =
1=4 + x2 =2 + (y
2
1=2)
x2 (y
1=2) :
(2) Calcolare e disegnare la retta di regressione per i punti ( 1; 0), (0; 0),
(1; 1), (2; 1).
2
2
2
f (m; q) = ( m + q) + q 2 + (m + q 1) + (2m + q 1) ;
n
o
@
2
2
2
( m + q) + q 2 + (m + q 1) + (2m + q 1) = 12m + 4q 6;
@m
o
@ n
2
2
2
( m + q) + q 2 + (m + q 1) + (2m + q 1) = 4m + 8q 4;
@q
12m + 4q = 6
m = 2=5
;
; y = 2=5x + 3=10:
4m + 8q = 4
q = 3=10
2
(3) Disegnare la lemniscata di Bernoulli che in coordinate polari ha equazione
= cos(2#), e calcolare l’area di un anello.
5
x2 .
2
Z
=4
Z pcos(2#)
d d# =
=4 0
Z
Z
cos(2#)
d# = 1=4
2
=4
=4
(4) Disegnare la regione x2
centro.
Area =
Z Z
fx2 y 1g
dxdy =
y
Z
1
1
=2
cos(')d' = 1=2:
=2
1 , calcolare l’area, determinare il bari-
Z
1
x2
dy dx =
Z
1
y 1g
1
x2
6
x2 dx = 4=3:
1
1
L’ascissa del baricentro è 0 e l’ordinata è
Z Z
Z 1 Z 1
Z
3=4
ydxdy = 3=4
ydy dx = 3=8
fx2
= cos(2#):
1
1
1
x4 dx = 3=5:
Matematica
Nome:
-
Maggio 2012
James Bond
no :
007
(1) Tracciare il campo di direzioni associato all’equazione di¤erenziale dy=dx =
x=y ed un gra…co qualitativo delle soluzioni per il punto (0; 1).
y
2
1
-3
-2
-1
1
-1
-2
dy=dx = x=y;
y(0) = 1:
(2) Risolvere l’equazione di¤erenziale
Z
ydy =
Z
xdx;
y 2 =2 = x2 =2 + C;
p
y=
x2 + C
p
y = x2 + 1:
8
<
d2 y
+ 4y = x
2
(3) Risolvere l’equazione di¤erenziale
: y(0)dx= 0; y 0 (0) = 0:
7
2
3
x
Le soluzioni dell’equazione omogenea sono A cos(2x)+B sin(2x). Una soluzione
particolare dell’equazione non omogenea è x=4. La soluzione del problema di
Cauchy è
1
1
y= x
sin(2x):
4
8
(4)
8
<
x + y = 0;
Scrivere il sistema come prodotto di vettori e matrici,
y z = 1;
e risolvere.
:
x + y + z = 2:
2
32
3 2 3 2
3 2
3
1 1 0
x
0
x
3
4 0 1
1 54 y 5 = 4 1 5; 4 y 5 = 4 3 5
1 1 1
z
2
z
2
8
Matematica
Nome:
-
Giugno 2012
no :
James Bond
007
2=3
(1) Studiare la funzione f (x) = 3 (x 1) + x 1:
lim f (x) =
1:
lim f (x) = +1:
x! 1
x!+1
d
1=3
f (x) = 2 (x 1)
+ 1:
dx
Punti di minimo?
x = 1:
Punti di massimo? x = 7:
Tracciare un gra…co qualitativo della curva y = f (x).
y
60
40
20
-40
-30
-20
-10
10
9
20
30
40
x
(2) Determinare i massimi e minimi relativi ed assoluti ed i punti di sella
della funzione z = x2 + y 2 4xy + y.
@
x2 + y 2
@x
4xy + y = 2x
4y = 0;
@
x2 + y 2 4xy + y = 2y 4x + 1 = 0;
@y
@ 2 z=@x2
@ 2 z=@x@y
2
4
(x; y) = (1=3; 1=6) ,
=
2
@ z=@x@y @ 2 z=@y 2
4 2
, sella.
(3) Disegnare la regione fx > 0; y > 0; x + y < 1g e calcolare l’integrale
della funzione xy su questa regione.
La regione è un triangolo.
=
Z
0
1
Z
Z Z
1 x
xydxdy
fx>0; y>0; x+y<1g
Z 1
3
xydy dx =
0
x =2
x2 + x=2 dx = 1=24:
0
dy=dx = x=y;
y(0) = 1:
(4)
Z
ydy =
Z
xdx;
y 2 =2 = x2 =2 + C;
p
y=
x2 + C
p
y = x2 + 1:
(5)
8
<
x + y = 0;
Scrivere il sistema come prodotto di vettori e matrici,
y z = 1;
e risolvere.
:
x + y + z = 2:
2
32
3 2 3 2
3 2
3
1 1 0
x
0
x
3
4 0 1
1 54 y 5 = 4 1 5; 4 y 5 = 4 3 5
1 1 1
z
2
z
2
10
Matematica
Nome:
-
Luglio 2012
no :
James Bond
1
(1) Studiare la funzione f (x) = log(x) +
Dominio f (x):
lim f (x) =
x!0+
lim f (x) =
1
x
d
f (x) =
dx
.
x 1
f0 < x < 1g [ fx > 1g
1
lim f (x) =
1
x!1
+1
x!1+
007
lim f (x) =
x!+1
2
1
(x
1)2
=
x
+1
3x + 1
2
xp
(x 1)
p
3
5
3+ 5
Punti di Minimo:
x=
Punti di Massimo:
x=
2
2
1
Tracciare un gra…co qualitativo della curva y = log(x) +
:
x 1
y
10
8
6
4
2
-1
1
2
3
4
-2
-4
-6
-8
-10
11
5
6
7
8
9
10
x
(2) Determinare i massimi e minimi relativi ed assoluti ed i punti di sella
della funzione z = x y + xy x2 y 2 .
@
x y + xy x2 y 2 = 1 + y 2x;
@x
@
x y + xy x2 y 2 = 1 + x 2y;
@y
@ 2 z=@x2
@ 2 z=@x@y
2 1
=
:
@ 2 z=@x@y @ 2 z=@y 2
1
2
Il punto (x; y) = (1=3; 1=3) è un massimo, e non ci sono minimi.
(3) Disegnare la regione fx > 0; y > 0; x + y < 1g e calcolare l’integrale
della funzione x su questa regione.
La regione è un triangolo.
=
Z
0
(4)
1
Z
0
Z Z
xdxdy
fx>0; y>0; x+y<1g
Z 1
1 x
xdy dx =
x2 dx = 1=6:
dy=dx = x2 y 2 ;
y(0) = 1:
Z
(5)
x
0
y
2
y
1
dy =
Z
x2 dx;
= x3 =3 + C;
y = 1= C
x3 =3
y = 3= 3
x3 :
y 00 + y 0 = 1;
y(0) = y 0 (0) = 0:
y=x
1 + exp( x):
12
Matematica
Nome:
-
Settembre 2012
no :
James Bond
p
(1) Studiare la funzione f (x) = x (x 1) (x
Dominio f (x): f0 x 1g [ fx 2g
d
3x2 6x + 2
p
f (x) =
dx
2 x (x 1) (x 2)
007
2)
p
3
Punti di Massimo:
3
p
Tracciare un gra…co qualitativo della curva y = x (x 1) (x 2).
Punti di Minimo:
y
3
x = 0; 1; 2
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
(2) Disegnare la regione f0 < x < y <
Z
0
1p
xdx
Z
p
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
xg e calcolare l’area.
1
xdx = 2=3
1=2 = 1=6:
0
(3) Determinare i massimi e minimi relativi ed assoluti ed i punti di sella
della funzione z = x x2 + y 2 1 .
13
3.0
x
@
x x2 + y 2 1 = 3x2 + y 2 1
@x
@
x x2 + y 2 1 = 2xy
@y
p
3x2 + y 2 1 = 0
(0; 1) ;
1= 3; 0
2xy = 0
Nei punti (0; 1) la funzione cambia segno, questi punti
p sono selle. Dagli
zeri e dal segno della funzione si deduce che il punto
1= 3; 0 è un massimo
p
relativo ed il punto 1= 3; 0 è un minimo relativo. Se y = 0 e x ! 1, anche
z = x3 ! 1, quindi non ci sono massimi o minimi assoluti.
(4)
dy=dx = x + y;
y(0) = 0
y = exp (x)
x
1:
8
x + 2y + 3z + 4w = 0
>
>
<
Scrivere il sistema come prodotto di vettori e matrici,
y + 2z + 3w = 0
.
(5)
e risolvere.
z + 2w = 0
>
>
:
w=1
3
3 2
3 2 3 2
32
2
0
x
0
x
1 2 3 4
6 0 1 2 3 76 y 7 6 0 7 6 y 7 6 1 7
7
7 6
7 6 7 6
76
6
4 0 0 1 2 54 z 5 = 4 0 5; 4 z 5 = 4 2 5
1
w
1
w
0 0 0 1
14
Matematica
Nome:
-
Novembre 2012
no :
James Bond
007
(1) Il raggio della terra è R e la distanza lungo
l’arco da A a B è D. Si vuole costruire un
tunnel rettilineo da A a B. Nel punto più
profondo quanto è profondo il tunnel?
[ è D=2R, e
La misura in radianti dell’angolo AOP
PQ = R
[
R cos AOP
= R (1
cos (D=2R)) :
Se D è piccolo rispetto a R si può approssimare
!
1 cos (D=2R)
2
R (1 cos (D=2R)) = R (D=2R)
2
(D=2R)
(2)
limx!+1
1+x
= 1=2;
2x
limx!+1
1
2
R (D=2R) = D2 =8R:
2
sin (x)
= 0;
x
limx!0
log (1 + 2x)
= 2:
x
(3.1) Scrivere 6 termini dello sviluppo in serie di Taylor centrato in 0 della
funzione exp(x).
p
3.2) Calcolare 3 decimali di e.
exp(x) = 1 + x + x2 =2 + x3 =6 + x4 =24 + x5 =120 + :::
p
6331
e = exp(1=2) = 1 + 1=2 + 1=8 + 1=48 + 1=384 + 1=3840 + :::
= 1; 64869:::
3840
p
e = 1; 64872:::
15
(4) Piegando un foglio con lati A e B lungo le linee
tratteggiate si ottiene una scatola di altezza X.
Tracciare un gra…co del volume in funzione della
altezza. Per quale altezza il volume è massimo?
0 x min fA=2; B=2g ;
Volume = x (A 2x) (B 2x) ,
d
4x3 2 (A + B) x2 + ABx
dx
= 12x2 4 (A + B)
p x + AB;
A+B
A2 + B 2 AB
Massimo x =
,
p 6
A + B + A2 + B 2 AB
Minimo x =
.
6
(5) Disegnare la regione 0 < x2 < y < x e calcolare l’area.
Z
Z
1
xdx
0
1
x2 dx = 1=2
1=3 = 1=6:
0
(6) Disegnare la regione f0 < x < 1; 0 < y < sin ( x)g e calcolare l’area.
Z
1
sin ( x) dx = 2= :
0
(7)
y 00 + 3y 0 + 2y = 1
y(0) = y 0 (0) = 0:
y (x) =
1 1
+ exp ( 2x)
2 2
16
exp ( x) :
(8) Calcolare e disegnare la retta di regressione per i punti (0; 0), (1; 0),
(3; 1).
2
2
f (m; q) = q 2 + (m + q) + (3m + q 1) ;
n
o
@
2
2
q 2 + (m + q) + (3m + q 1) = 20m + 8q 6;
@m
o
@ n 2
2
2
q + (m + q) + (3m + q 1) = 6q + 8m 2;
@q
20m + 8q 6 = 0
m = 5=14
;
; y = 5=14x 1=7:
6q + 8m 2 = 0
q = 1=7
17
Matematica
Nome:
-
Gennaio 2013
no :
James Bond
007
(1) Tracciare il campo di direzioni associato all’equazione di¤erenziale dy=dx =
xy 2 ed un gra…co qualitativo delle soluzioni per il punto (0; 1) e per il punto
(0; 1).
y
2
1
-3
-2
-1
1
-1
-2
dy=dx = xy 2 ;
y(0) = 1:
(2)
Z
y
y
2
1
dy =
x2 =2
1= 1 + x2 =2 :
8
<
d2 y
+ 9y = 1;
2
(3)
: y(0)dx= 0; y 0 (0) = 0:
xdx;
= x2 =2 + C;
y = 1= C
y=
Z
18
2
3
x
1
9
1
cos (3x) :
9
0; y
0; x2 + y 2
y (x) =
(4) Disegnare il dominio x
tro.
1 , e calcolare il baricen-
Il dominio è un quarto di cerchio e l’ascissa del baricentro è
Z Z
x dxdy
2
2
Z Zfx 0; y 0; x +y 1g
dxdy
=
Z
1
0
Z p1
fx 0; y 0; x2 +y 2 1g
!
y2
x dx dy
0
=4
dxdy =
fx 0; y 0; x2 +y 2 1g
x dxdy =
fx 0; y 0; x2 +y 2 1g
Z Z
Z
1
y2
1
2
0
In coordinate polari,
Z Z
Z Z
4
=
Z
Z
1
d
0
1
2
d
0
Z
Z
4
:
3
=2
d# = =4;
0
=2
cos (#) d# = 1=3;
0
x dxdy
Z Zfx
dy =
0; y 0; x2 +y 2 1g
=
dxdy
4
:
3
fx 0; y 0; x2 +y 2 1g
8
< x + y + z = 0;
x + y z = 1;
(5)
:
x y z = 2:
2
2
1
4 1
1
Scrivere il sistema come somma di vettori,
come prodotto di vettori e matrici,
poi risolvere.
3
2
1
x4 1 5 + y4
1
32
1
1
x
+1
1 54 y
1
1
z
3
0
5+z4 1 5 = 4 1 5
1
1
2
3 2 3 2
3 2
3
0
x
1
5 = 4 1 5 ; 4 y 5 = 4 1=2 5
2
z
1=2
1
1
3
19
2
1
3
2
Matematica
Nome:
-
Febbraio 2013
no :
James Bond
007
o
\
(1) AB = 3; AC = 2; BAC = 60 :
Quanto misura BC ?
\ ; HB = AB AC cos BAC
\ ;
CH = AC sin BAC
r
p
2
\
\
BC = CH 2 + HB 2 =
+ AB AC cos BAC
AC sin BAC
r
\
= AB 2 + AC 2 2AB AC cos BAC
60o = =3 e cos ( =3) = 1=2. Quindi, BC =
p
32 + 22
2 3 2 1=2 =
2
p
7.
(2) Trovare il dominio, il segno, i limiti al bordo, i massimi e minimi, e
log(x)
tracciare un gra…co della funzione y =
.
x
Dominio:
fx > 0g
limx!0+ y =
d
dx
Minimi:
Gra…co y =
Segno: y > 0 se e solo se x > 1.
1
log(x)
x
limx!+1 y =
=
Nessuno
1
log (x)
:
x2
Massimi:
log(x)
:
x
20
0+:
x = e.
y
0.2
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
x
-0.2
-0.4
y
2
(3) Calcolare i massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione x3
x.
x2
La funzione ristretta all’asse y = 0 si riduce a x3 x2 x ed è illimitata
superiormente ed inferiormente. Quindi la funzione non ha massimi e minimi
assoluti.
8
@
>
<
x3 x2 y 2 x = 3x2 2x 1;
@x
> @ x3 x2 y 2 x = 2y:
:
@y
Il gradiente è nullo solo nei punti ( 1=3; 0) e (1; 0).
8 2
@
>
>
x3 x2 y 2 x = 6x 2;
>
2
>
@x
>
< @2
x3 x2 y 2 x = 2;
> @y 2
>
>
2
>
> @
:
x3 x2 y 2 x = 0:
@x@y
4 0
è de…nita
0
2
negativa, questo punto è un massimo relativo. Nel punto (1; 0) la matrice delle
4 0
derivate seconde
è inde…nita, questo punto è una sella.
0
2
Nel punto ( 1=3; 0) la matrice delle derivate seconde
21
(4) Disegnare il dominio fx
Z Z
0; y
0; x + y
1g, e calcolare
x99 dxdy:
fx 0; y 0; x+y 1g
Il dominio è un triangolo e
Z Z
=
Z
1
x99
0
(5)
Z
1 x
dy dx =
0
d2 y
y = 1;
2
: y(0)dx
= 0; y 0 (0) = 0:
y=
8
< y + z = 0;
x + z = 1;
(6)
:
x + y = 2:
0
4 1
1
x
x
0
8
<
2
x99 dxdy
fx 0; y 0; x+y 1g
Z 1
99
100
1
100
1
1
=
:
101
10100
1
1
exp ( x) + exp (x) :
2
2
Scrivere il sistema come somma di vettori,
come prodotto di vettori e matrici,
poi risolvere.
2
x4
1
0
1
1+
dx =
1
1
0
3
2 3
2
0
1
1 5+y4 0 5+z4
1
1
32
3 2 3
0
x
54 y 5 = 4 1 5;
z
2
22
3 2 3
1
0
1 5=4 1 5
0
2
2
3 2
3
x
3=2
4 y 5 = 4 1=2 5
z
1=2
Matematica
Nome:
-
Giugno 2013
no :
James Bond
007
(1) Dominio, segno, limiti al bordo, massimi e minimi, e gra…co della funzione
1+x
:
y=
1 + x2
Dominio: f 1 < x < +1g .
Segno: y > 0 se e solo se x > 1.
Limiti: lim y = 0.
x! 1
1+x
1 2x x2
=
2 :
2
1+x
(x2 + 1)
p
p
Massimi: x = 2 1, Minimi: x =
2
d
dx
1.
1.2
y
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-4
-3
-2
-1
1
2
-0.2
(2) Equazione della retta tangente alla curva y =
d
dx
1+x
1 + x2
=
1
2x
x2
2
(1 + x2 )
y = x + 1:
23
3
4
x
1+x
nel punto (0; 1).
1 + x2
;
(3) Disegnare il dominio 0 < x < 1; 0 < y <
=
Z
Z Z
1p
0
(4)
f0<x<1;
1
xdx =
p
0<y< 1 xg
2
(1
3
p
1
x e calcolare l’area.
dxdy
1
3=2
=
x)
0
2
:
3
dy=dx = y + 1;
y(0) = 0:
y = exp (x)
1:
(5) Massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione
x
:
1 + x2 + y 2
La funzione tende a 0 se (x; y) tende all’in…nito, quindi ci sono massimi e
minimi assoluti. La funzione è dispari rispetto a x e pari rispetto a y, quindi
basta considerare x 0 e y 0.
8
@
x
1 x2 + y 2
>
>
=
<
2;
2
2
@x 1 + x + y
(x2 + y 2 + 1)
@
x
2xy
>
>
=
:
2:
2
@y 1 + x2 + y 2
(x + y 2 + 1)
Da @=@y = 0 si ricava x = 0 o y = 0. Se x = 0 si ha @=@x > 0. Se
y = 0 e @=@x = 0 allora x = 1. In particolare le derivate sono nulle solo
nei punti (1; 0) e ( 1; 0). Nel primo punto la funzione è positiva e nel secondo
negativa, il primo punto è un massimo assoluto ed il secondo un minimo assoluto.
Calcoliamo comunque le derivate seconde.
8 2
2x x2 3y 2 3
x
@
>
>
=
>
> @x2 1 + x2 + y 2
3 ;
>
(x2 + y 2 + 1)
>
>
< @2
2x x2 + 3y 2 1
x
;
=
3
>
@y 2 1 + x2 + y 2
(x2 + y 2 + 1)
>
>
>
2
2
>
2y 3x
y
1
@2
x
>
>
=
:
:
3
2
2
@x@y 1 + x + y
(x2 + y 2 + 1)
24
1=2
0
è de…nita
0
1=2
negativa, questo punto è un massimo relativo. Nel punto ( 1; 0) la matrice delle
1=2
0
derivate seconde
è de…nita positiva, questo punto è un minimo.
0
1=2
Nel punto (1; 0) la matrice delle derivate seconde
8
x + 2y
>
>
<
y + 2z
(6)
z w
>
>
:
w
=0
=0
=0
=1
Scrivere il sistema come somma di vettori,
come prodotto di vettori e matrici,
e risolvere.
3 2 3
2
2 3
2 3
3
0
0
0
2
1
6 0 7 6 0 7
6 2 7
6 1 7
6 0 7
7 6 7
6
6 7
6 7
7
x6
4 0 5 + y4 0 5 + z4 1 5 + w4 1 5 = 4 0 5;
1
1
0
0
0
3
3 2
3 2 3 2
32
4
x
0
x
1 2 0 0
7
7 6
7 6 7 6
6
0 1 2 0 7
76 y 7 = 6 0 7; 6 y 7 = 6 2 7:
5
4
5
4
5
4
5
4
1 5
z
0
z
0 0 1
1
1
w
1
w
0 0 0 1
2
2
6
6
4
25
Matematica
Nome:
-
Luglio 2013
no :
James Bond
007
(1) Dominio, segno, limiti al bordo, massimi e minimi, e gra…co della funzione
x3
y=
:
1+x
Dominio: f 1 < x < 1g [ f 1 < x < +1g .
Segno: y > 0 in f 1 < x < 1g [ f0 < x < +1g .
Limiti: lim y = +1,
lim y = +1,
lim y = 1,
x! 1
x! 1
d
dx
x3
1+x
=
x! 1+
x2 (2x + 3)
2 :
(x + 1)
Massimi: Nessuno, Minimi: x = 3=2.
y
15
10
5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
-5
(2) Scrivere 5 termini della formula di Taylor con centro x = 1 della funzione
log (x). Calcolare 2 decimali di log (1=2). Calcolare 2 decimali di log (2).
log (x) = (x
1
2
1
1
2
1
(x
2
1)
1
2
2
1
+
2
1) +
1
3
1
2
log (2) =
1
(x
3
3
1
1
(x
4
3
1)
1
4
1
2
4
4
1
+
log (1=2) = 0:693:::
26
1
5
(x 1)
5
5
1
1 =
2
1) +
1
5
:::
661
=
960
0:688:::
(3) Disegnare il dominio f0 < x < 1; 0 < y < sin ( x)g e calcolare l’area.
=
Z
0
1
Z Z
dxdy
f0<x<1; 0<y<sin( x)g
sin ( x) dx =
1
cos ( x) = j0 = 2= :
8
< d2 y
dy
+2
+ 5y = 1;
2
(4)
dx
dx
: y(0)
0
= y (0) = 0:
1 1
exp ( x) cos (2x)
y=
5 5
1
exp ( x) sin (2x) :
10
(5) Massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione
1 + x2 + y 2 + x3 :
La funzione tende a 1 se x tende a 1 e y rimane limitato, quindi non
ci sono massimi e minimi assoluti.
8
@
>
<
1 + x2 + y 2 + x3 = 2x + 3x2 ;
@x
> @ 1 + x2 + y 2 + x3 = 2y:
:
@y
Da @=@x = 0 si ricava x = 0 o x = 2=3, e da @=@y = 0 si ricava y = 0,
quindi le derivate si annullano solo in (0; 0) e ( 2=3; 0). Le derivate seconde
sono
8 2
@
>
>
1 + x2 + y 2 + x3 = 6x + 2;
>
2
>
@x
>
< @2
1 + x2 + y 2 + x3 = 2;
@y 2
>
>
> @2
>
>
:
1 + x2 + y 2 + x3 = 0:
@x@y
2 0
è de…nita positiva,
0 2
questo punto è un minimo relativo. Nel punto ( 2=3; 0) la matrice delle derivate
2 0
seconde
è inde…nita, questo punto è una sella.
0 2
Nel punto (0; 0) la matrice delle derivate seconde
27
o
\
(6) AB = 3; BC = 2; ABC = 45 :
Quanto misura CA ?
\ =
CH = 2 sin ABC
p
2;
p
\ = 2;
HB = 2 cos ABC
p
AH = AB HB = 3
2;
r
p
p 2
p
CA = AH 2 + HC 2 =
3
2 +
2
28
2
q
= 13
p
6 2:
Matematica
Nome:
-
Settembre 2013
no :
James Bond
007
(1) Tracciare un gra…co della funzione y = sin (x). Scrivere il polinomio
di Taylor di quinto grado con centro x = 0 della funzione sin (x). Calcolare 2
decimali di sin (1).
sin (x) = x x3 =6 + x5 =120 :::
1 1=6 + 1=120 = 0; 84167:::
sin (1) = 0; 84147:::
(2) Dominio, segno, limiti al bordo, massimi e minimi, e gra…co della funzione
1
y = x + 2:
x
Dominio: f 1 < x < 0g [ f0 < x < +1g .
Segno: y > 0 in f 1 < x < 0g [ f0 < x < +1g .
Limiti: lim y = 1,
lim y = +1,
x! 1
d
dx
x!0
1
x+ 2
x
=1
2
:
x3
Massimi: Nessuno, Minimi: x =
y
p
3
2.
8
6
4
2
-4
-3
-2
-1
1
-2
-4
29
2
3
4
x
(3) Disegnare il dominio f0 < x < =4; 0 < y < tan (x)g e calcolare l’area.
=
Z
Z Z
dxdy
f0<x< =4; 0<y<tan(x)g
=4
tan (x) dx =
0
log (cos (x))j0
=4
=
1
log (2) :
2
(4) Trovare tutte le soluzioni dell’equazione di¤erenziale
y=
1 2
x
9
d2 y
+ 9y = x2 :
dx2
2
+ A cos (3x) + B sin (3x) :
81
(5) Massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione
x2 + 3xy + y 2 :
La funzione tende a
e minimi assoluti
1 se x =
y tende a
1, quindi non ci sono massimi
8
@
>
<
x2 + 3xy + y 2 = 2x + 3y;
@x
@
>
:
x2 + 3xy + y 2 = 3x + 2y;
@y
8 2
@
>
>
x2 + 3xy + y 2 = 2;
>
2
>
@x
>
< @2
x2 + 3xy + y 2 = 2;
@y 2
>
>
>
> @2
>
:
x2 + 3xy + y 2 = 3:
@x@y
Le derivate prime si annullano solo in (0; 0).
2 3
. Il punto (0; 0) è una sella.
3 2
Le derivate seconde sono
(6) Equazione del piano tangente alla super…cie z = x2 + 3xy + y 2 nel punto
(0; 1; 1).
z = 1 + 3x + 2 (y 1) :
30
Matematica
Nome:
-
Dicembre 2013
James Bond
no :
007
(1) Un triangolo rettangolo
ha base B ed angolo acuto
alla base . Quanto misura
l’ipotenusa?
Se l’ipotenusa è X si ha X cos ( ) = B, cioè X = B= cos ( ).
(p
p )
p
2+x
2
limx!0
= 2=4:
x
sin
(x)
(2)
= 1=2:
limx!0
2x p
sin ( x)
limx!+1
= 0:
x
(3) Piegando un foglio con lati A e B lungo le linee
tratteggiate si ottiene una scatola di altezza X.
Tracciare un gra…co del volume in funzione della
altezza. Per quale altezza il volume è massimo?
31
0 x min fA=2; B=2g ;
Volume = x (A 2x) (B 2x) ,
d
4x3 2 (A + B) x2 + ABx
dx
= 12x2 4 (A + B)
p x + AB;
A2 + B 2 AB
A+B
,
Massimo x =
p 6
2
2
A+B+ A +B
AB
Minimo x =
.
6
(4.1) p
Scrivere 4 termini dello sviluppo in serie di Taylor centrato in 0 della
funzione 3 1 + x.
p
(4.2) Calcolare 3 decimali di 3 1=2.
p
3
p
3
1=2 =
p
3
p
3
1
1
1+x=1+ x
3
1
1
1
1=2 = 1 +
3
2
9
1 2
5
x + x3
9
81
2
1
5
+
2
81
:::
1
2
3
:::
517
= 0:797:::
648
1=2 = 0:793:::
(5) Disegnare la regione f0 < x < 8; 0 < y <
Z
0
8p
3
xdx =
3 4=3
x
4
p
3
xg e calcolare l’area.
8
= 12:
0
(6) Disegnare la regione f1 < x < 2; 0 < y < log (x)g e calcolare l’area.
Z
2
log (x) dx = x log (x)
1
2
xj1 = 2 log (2)
8
<
1:
d2 y
+ 9y = x
2
(7) Risolvere l’equazione di¤erenziale
: y(0)dx= 1; y 0 (0) = 0:
32
Le soluzioni dell’equazione omogenea sono A cos(3x)+B sin(3x). Una soluzione
particolare dell’equazione non omogenea è x=9. La soluzione del problema di
Cauchy è
1
1
y = x + cos (3x)
sin (3x) :
9
27
(8) Determinare i massimi e minimi relativi ed assoluti ed i punti di sella
della funzione z = x3 xy 2 x.
@
x3 xy 2 x = 3x2 y 2 1
@x
@
x3 xy 2 x = 2xy
@y
@2
x3 xy 2 x = 6x
@x2
@2
x3 xy 2 x = 2x
@y 2
@2
x3 xy 2 x = 2y
@x@y
p
3x2 y 2 1 = 0
1= 3; 0
2xy = 0
@ 2 =@x2
@ 2 =@x@y
@ 2 =@y@x
@ 2 =@y 2
=
Non ci sono massimi e minimi, ed i punti
33
6x
2y
2y
2x
p
1= 3; 0 sono selle.
Matematica
Nome:
-
Gennaio 2014
no :
James Bond
007
(1) Tracciare il campo di direzioni dell’equazione di¤erenziale
un gra…co qualitativo della soluzione per il punto (0; 1).
y
dy
= x2 y ed
dx
2
1
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
-1
-2
(2)
dy=dx = x2 y;
y(0) = 1:
Z
y
1
dy =
Z
x2 dx;
log (jyj) = x3 =3 + C;
y = C exp x3 =3
y = exp x3 =3 :
34
1.0
1.5
2.0
x
8
< d2 y
+ 4y = 1;
(3)
dx2
: y(0)
= 0; y 0 (0) = 0:
y (x) =
1
4
1
cos (2x) :
4
(4) Calcolare e disegnare la retta di regressione per i punti (0; 2), (1; 0),
(2; 0).
2
2
2
f (m; q) = (q 2) + (m + q) + (2m + q) ;
n
o
@
2
2
2
(q 2) + (m + q) + (2m + q) = 10m + 6q;
@m
o
@ n
2
2
2
(q 2) + (m + q) + (2m + q) = 6m + 6q 4;
@q
10m + 6q = 0
m= 1
;
; y = x + 5=3:
6m + 6q 4 = 0
q = 5=3
(5) Disegnare il dominio y
baricentro.
0; x2 + y 2
1 e calcolare le coordinate del
Il dominio è la metà di un cerchio. Per simmetria l’ascissa del baricentro è
0, e l’ordinata è
Z Z
y dxdy
2
2
Z Zfy 0; x +y 1g
dxdy
=
Z
1
1
Z
p
1
x2
!
y dx dy
0
8
< x + y z = 0;
x y + z = 1;
(6)
:
x + y + z = 2:
fy 0; x2 +y 2 1g
=
=2
2
Z
1
1
x2
1
2
dx =
4
:
3
Scrivere il sistema come somma di vettori,
come prodotto di vettori e matrici,
poi risolvere.
35
2
2
1
4 1
1
3
2
3
2
3
2
3
0
5+y4 1 5+z4 1 5 = 4 1 5
1
1
1
2
32
3 2 3 2
3 2
3
1
1
x
0
x
1=2
5
1 1 54 y 5 = 4 1 5; 4 y 5 = 4 1
1
1
z
2
z
3=2
1
x4 1
1
36
1
Matematica
Nome:
-
Febbraio 2014
no :
James Bond
007
p
(1.1) La funzione inversa di f (x) = 2 x è f 1 (x) = 2 x2 .
(1.2) L’equazione 2x = 1=x ha una sola soluzione, compresa tra 1=2 e 1.
(1.3) La retta tangente alla curva y = log (x) nel punto (1; 0) è y = x 1.
x
.
x2 + x + 1
Dominio: 1 < x < +1. limx 1 y = 0 . limx
dy
1 x2
=
2:
dx
(x2 + x + 1)
Punti di minimo: x = 1. Punti di massimo: x = 1.
Gra…co di y = x= x2 + x + 1 .
(2) Studiare la funzione y =
+1
y = 0+.
y
0.2
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
(3)
dy=dx = 2x(y
y(0) = 0:
log jy
1);
Z
dy
Z
2xdx;
y 1
1j = x2 + C; y = 1 + C exp
y=1
=
exp
37
x2 :
x2 :
4
5
x
(4) Disegnare la regione 0 < x < 1; 0 < y < 1; y 3
Area =
Z Z
dxdy =
f0<x<1; 0<y<1;
y3
x2 g
Z
0
1
Z
0
x2=3
x2 e calcolare l’area.
!
dy dx =
Z
1
x2=3 dx = 3=5:
0
(5) Determinare i massimi e minimi relativi ed assoluti ed i punti di sella
della funzione
z = 3xy + x3 + y 3 :
8
@
>
<
3xy + x3 + y 3 = 3x2 + 3y;
@x
@
>
:
3xy + x3 + y 3 = 3y 2 + 3x;
@y
8
@2
>
>
3xy + x3 + y 3 = 6x;
>
2
>
>
< @x
@2
3xy + x3 + y 3 = 3;
@x@y
>
>
>
2
>
>
: @
3xy + x3 + y 3 = 6y:
@y 2
Le derivate @z=@x = 0 e @z=@y = 0 nei punti (0; 0) e ( 1; 1).
Lo sviluppo di Taylor nel punto (0; 0) è z = 3xy+:::, questo punto è una sella.
2
Lo sviluppo di Taylor nel punto ( 1; 1) è z = 1 3 (x + 1) +3 (x + 1) (y + 1)
2
3 (y + 1) + :::, questo punto è un massimo relativo. Non ci sono minimi o
massimi assoluti.
di Taylor con centro x = 4 della funzione
p
p (6) Scrivere 4 termini della formula
x. Poi calcolare 2 decimali di 5.
p
1
(x
4
p
1
5=2+
4
x=2+
1
1
2
3
(x 4) +
(x 4)
:::
64
512
1
1
1145
+
:::
= 2; 236:::
64 512
512
4)
38