Avventura in Matelandia

Problemi “Avventura in Matelandia”
Villafranca, 13 aprile 2012
SISTEMI DINAMICI
1 Tre folletti infarinati
Su questo sentiero trovi tre folletti. Uno di loro ti racconta la loro
storia:
“All'inizio ciascuno di noi possedeva 1536 grammi di farina. La mia
era gialla, quella di Tino bianca e quella di Gino marrone. Ogni
mattina ciascuno di noi mescolava tutta la farina che possedeva e
la divideva in 3 parti. Io ne regalavo una parte a Tino, e due parti a
Gino. Tino ne regalava una parte a Gino, e due parti a me. Gino ne
regalava una parte a me e due parti a Tino. Ti lascerò passare se
riesci a dirmi quanti grammi di farina gialla possedevo al terzo
giorno.”
Il Mago dei Numeri sta zitto e pensa tra se e se “che problema
noioso”.
[R: 512]
2 Ancora i tre folletti
Questa volta i tre folletti ti hanno preceduto, e ti pongono un altro
quesito.
“Ti ricorderai bene come noi ci scambiamo la farina ogni mattina.
Oggi io possiedo 30 kili di farina. Tino ne possiede 39, Gino ne
possiede 27. Ti lascerò passare se indovini quanti kili possedevo
ieri.”
Il Mago dei Numeri mugugna e suggerisce “Mmm qua la faccenda
si fa già più matematica... Comincerei chiamando x,y,z le quantità
di farina possedute ieri da questo folleto senza nome, da Gino e da
Pino. Grazie alle informazioni che ci ha dato possiamo trovare tre
equazioni soddisfatte da x,y,z, che possono essere risolte con il
metodo della sostituzione. Se non conoscete il metodo della
sostituzione, mostratemi le equazioni che trovate e vi aiuterò io.”
[R:29]
TRUCCHI ARITMETICI
3 Un club costoso
A fermarvi per strada è un signore ricco e benvestito. “Sono ricco
perchè ho avuto la brillante idea di fondare il club. Io, come
fondatore, sono entrato gratis. Quando un nuovo membro vuole
entrare nel club, ciascun membro già esistente (me compreso) va a
chiedergli una moneta, e tutte queste monete vanno a me, perchè
sono il fondatore. Oggi il club conta 179 membri. Sapreste dire
quante monete ho guadagnato con questa truffa?
Il Mago dei Numeri suggerisce: possiamo fare un ragionamento del
genere. In media quante monete vengono guadagnate per un
nuovo membro? Sarà un numero che si colloca a metà strada tra 1
(il fondatore) e 178 (l'ultimo membro). Ora possiamo immaginare
che ogni membro abbia pagato la stessa quota d'iscrizione... e
concludere con una semplice moltiplicazione.
[R: 15931=179*178/2]
ARITMETICA MODULARE
4 Invasione di conigli.
Il guardiano di questo sentiero racconta:
“L'altr'anno c'è stata una terribile invasione di conigli. Il primo
giorno ce n'erano soltanto 43, ma si riproducevano così
velocemente che da un giorno all'altro il loro numero diventava 17
volte tanto. Il decimo giorno abbiamo deciso di liberarcene. Ne
prendevamo 9 alla volta, li chiudevamo in una gabbia e li
spedivamo in una foresta da dove non potevano ritornare. Quando
alla fine ne sono rimasti meno di 9, quelli li abbiamo risparmiati.
Quanti conigli erano rimasti alla fine?”
Il Mago dei Numeri fa il seguente bel ragionamento:
“Ragazzi, io vi dico che si uò risparmiare un po' di fatica e di
calcoli. Anche se i guardiani avessero deciso di spedire in colonia i
conigli ogni giorno, 9 alla volta, fermandosi quando ne rimanevano
meno di 9, il risultato sarebbe stato lo stesso. Infatti i conigli che
vengono spediti in questo modo sono un multiplo di 9. Se anche
fossero rimasti in Matelandia, la loro discendenza sarebbe
comunque un multiplo di 9 (della forma 9x17x17x...) e quindi si
poteva comunque spedire in colonia tutta la discendenza l'ultimo
giorno, senza farne avanzare uno. Tanto vale immaginare di fare
questa operazione sempre ed il più volte possibile, e vedrete che ci
risparmiamo tanti calcoli.”
5 Tre alla centoseiesima
Questo guardiano è un matematico, e non ama raccontare molte
storie. Chiede: “Consideriamo 3 elevato alla centoseiesima. Qual è
il resto della divisione per 5?” Il mago suggerisce: “Non serve fare
centosei moltiplicazioni. Scrivete i resti di 3, 3x3, 3x3x3, 3x3x3x3,
3x3x3x3x3, 3x3x3x3x3x3 diviso 5, e trovate una certa regolarità. A
questo punto è più facile indovinare quanto faccia 3 alla
centoseiesima...”
[R: 4]
6 La sciagura dei roditori
Il guardiano di questo sentiero vi racconta il suo sporco lavoro con
i topi:
“Vedete, io caccio topi. Ho un permesso speciale che mi permette
di ammazzarli soltanto di giorno e a gruppi di 43, e lo faccio
sempre finchè posso. Ma quei maledetti, nel corso della notte si
riproducono e il loro numero triplica ogni volta, anche quando ne
rimane uno solo, sono topi magici! Il primo giorno di lavoro ce
n'era uno solo infatti. Il centotrentesimo giorno ne ho fatti
rimanere soltanto............ me lo dite voi!?”
Il Mago dei Numeri suggerisce la sua solita brillante idea:
“State tranquilli, niente panico, non dovrete fare oltre cento
moltiplicazioni! Invece che fare 3x3x3x3x...x3 centoventinove volte,
provate a seguire questo trucco. 129 = 128 + 1. Inoltre 128 =
2x2x2x2x2x2x2. Quindi se partiamo da 3 e lo eleviamo al quadrato
per sette volte otteniamo 3 alla centoventottesima. Moltiplicando
ancora una volta per 3 otteniamo 3 alla centoventinovesima, che è
il numero di ratti che ci sarebbero stati l'ultimo giorno in assenza
del guardiano. Il discorso fatto per i conigli vale ancora: ogni volta
che otteniamo un numero maggiore di 43, possiamo sostituirlo con
il suo resto nella divisione per 43. Se avete capito ciò che ho detto
non dovreste metterci molto... il problema è capirlo!”
[R: 27]
ALGEBRA
7 Somme di quadrati.
“Trovate un modo di esprimere 5330 come somma dei quadrati di
due numeri interi e vi lascerò andare”.
Disperati all'idea di dover far migliaia di tentativi, vi rivolgete al
Mago dei Numeri, che con molta flemma si toglie il cappello e leva
da esso la seguente formula magica:
(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2
Voi lo guardate con faccia sbigottita, lui vi guarda con un velo di
disprezzo e fa: “Ok... questa formula vuol dire che se trovate il
modo di esprimere un numero X come somma di due quadrati, e il
modo di esprimere un numero Y come somma di due quadrati,
potete ricavare un modo di esprimere il prodotto XY come somma
di due quadrati. Ora... scomponete 5330 in fattori primi... ed
esprimete ciascun fattore come somma di quadrati... poi, usando
più volte la mia formula, metterete insieme il tutto.”
[R: tante possibili...]
GRAFI
8 Passeggiando per il villaggio
Un signore che vagabonda per questo sentiero vi racconta di
com'era fatto il suo villaggio. “Da ogni casa partivano tre sentieri
che portavano ad altre case. Inoltre, ricordo benissimo che se
facevo una passeggiata per il paese, partendo e arrivando a casa
mia, senza mai passare due volte per la stessa casa, vedevo sempre
un numero pari di case (compresa casa mia). Vi lascerò passare se
mi mostrate la mappa del mio villaggio!”
Il Mago commenta: “Questo ubriacone sicuramente non ricorda
com'era fatto il suo villaggio né quante case aveva. Qualsiasi
mappa che soddisfa le proprietà dal lui dette, probabilmente andrà
bene.”
[R: ad esempio un cubo]
9 Dimenticanza dei nomi
A metà di questo sentiero c'è una locanda. Vi fermate a bere un po'
d'acqua, e un ubriacone al banco vi racconta la sua storia.
“Eravamo in sei in quella casa. Alcuni tra di noi si conoscevano,
altri no. Quella sera abbiamo fatto un gioco, e dentro un vaso
ciascuno di noi ha messo un biglietto per ciascuna persona che
conosceva, con scritto il proprio nome e il nome del conoscente.
Poi abbiamo bevuto... abbiamo bevuto tanto... abbiamo bevuto così
tanto che la mattina dopo nessuno ricordava il proprio nome, e
tantomeno quello degli altri! Però guardando in faccia qualcuno si
riusciva ancora a ricordarsi se lo si conosceva o no. Poi abbiamo
trovato il vaso e... sai, noi ubriaconi siamo un po' smemorati ma
mica stupidi! Abbiamo ragionato un sacco e entro mezzogiorno
ciascuno aveva già ricavato con la logica il proprio nome.”
“Ragazzi, se avete inteso bene la mia storia, vi chiedo di disegnare
un grafico con sei punti, uno per ogni persona, e collegando con
una linea le persone che si conoscevano. Se il grafico sarà giusto,
vi offrirò da bere, altrimenti, scordatevi di uscire da qui.”
[R: ci sono più soluzioni, ad esempio una figura a casa (quadrato
più triangolo con l'aggiunta di un segmento che parte da un vertice
del quadrato]
SIMMETRIE
10 Fabbricante di dadi
Il personaggio che blocca questa strada è un fabbricante di dadi.
Dice: “è fondamentale che la somma dei numeri posti sulle facce
opposte di un dado sia sempre 7. Tuttavia, esistono tipi di dadi
diversi, nel senso che non possono essere posti uno a fianco
all'altro in modo che le facce rivolte verso la stessa direzione
mostrino lo stesso numero. Quanti tipi di dadi diversi possono
esistere?”
[R: 2]
11 Fabbricante di cubi
Il fabbricante di cubi vi narra: “il tipo più semplice di cubi che
vendo nel mio negozio ha ogni faccia dipinta di bianco o di nero.
Ieri un cliente mi ha chiesto quanti cubi diversi di quel tipo potessi
fabbricare. Cosa dovevo rispondergli?”
[R: 11]
12 SuperTetris!
Entrate nella locanda a bordo strada per chiedere informazioni.
Qui c'è un ragazzo che vi chiede una moneta per giocare ai
videogiochi. “Il mio gioco preferito è TETRIS” dice lui “lo
conoscerete sicuramente: ci sono delle figure da incastrare, tutte
formate da 4 quadretti. In totale ci sono cinque figure (quadrato,
linea, T, L, e saetta), oppure possiamo considerarne 7 se
distinguiamo tra quelle speculari fra loro. Tra poco però qui a
Matelandia uscirà la nuova versione del gioco, che si chiama
PENTIS, e avrà tutte le figure possibili che si possono ottenere
combinando 5 quadretti. Quante sono? Non serve che distinguiate
fra quelle speculari.”
Voi che volete sbrigarvela subito chiedete al Mago dei Numeri un
suggerimento su come procedere, senza rischiare di dimenticarne
una.
“Ogni figura con 5 quadretti si può ottenere da una con 4, e
aggiungendo un quadretto” dice lui “quindi potreste partire dalle
figure del TETRIS, e aggiungere quadretti in tutti i modi diversi.
Ma occhio a non contare più volte la stessa figura!”
[R: 12]
GIOCHI
13 Il giocatore
Trovate la strada bloccata. C'è una pila con cinque sassi piatti,
un'altra pila con tre, e poi un sasso isolato. Esce un cavaliere della
matematica che vi sfida: a turno, ciascuno dovrà togliere uno o più
sassi da una pila, e chi rimane senza sassi perde. Ovviamente vi
lascerà passare solo se vincete. Voi che mossa fate?
[R: da 5 a 2]
INFORMATICA
14 Non fare troppe domande
“Vi lascerò passare” dice la guardia con la lancia puntata verso di
voi “solo se mi dite il numero-chiave”.
“Questo numero è compreso tra 1 e 124, l'età di mio trisnonno.
Potete provare a indovinarlo: se voi mi dite un numero, io saprò
dirvi se il numero-chiave è più grande, più piccolo o uguale al
vostro. Ma guai a voi se fate più domande dello strettamente
necessario!”
Il Mago dei Numeri guarda con fastidio questa guardia arrogante e
vi suggerisce “Fate come volete, ma forse vi conviene ragionare al
contrario. Con una sola domanda, tra quanti numeri al massimo
potreste indovinare? Secondo me sono 3. Con due domande, sono
7, e lascio a voi capire perchè. Dovete avere abbastanza domande
per distinguere almeno 124 numeri.”
[R: 6]