Lezione 6 Ideali primari.
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Lezione 6 Ideali primari.
Lezione 6 Ideali primari. Sia A un anello. Definizione 6.1 Un ideale proprio I di A si dice primario se, per ogni a, b ∈ A , ab ∈ I ⇒ a ∈ I oppure b ∈ I . Corollario 6.2 L’ideale I di A è primario se e solo se in A / I ogni divisore dello zero è nilpotente. Dimostrazione: Siano a, b ∈ A . La condizione della Definizione 6.1, alla luce dell'Esercizio 1.35, equivale a ( I + a )( I + b) = I ⇒ I + a = I oppure I + b ∈ (I ) , cioè: se il prodotto di I + a e I + b è nullo, e I + a non è nullo, allora I + b è nilpotente. Proposizione 6.3 Sia A un UFD, e sia x ∈ A un elemento non invertibile e non nullo. Allora l’ideale ( x ) è primario se e solo se x = up n per qualche elemento primo p, qualche elemento invertibile u e qualche intero positivo n. Dimostrazione: Sia p un elemento primo di A e sia n un intero positivo. Proviamo che ( p n ) è primario. Siano a, b ∈ A tali che ab ∈ ( p n ) e a ∉ ( p n ) . Allora, p n | ab , ma p n /| a , e quindi, per la proprietà di fattorizzazione unica, segue che p b , cioè, b ∈ ( p ) = ( p n ) (vedi Esempio 1.24). Viceversa, supponiamo che x sia divisibile per due fattori primi distinti p e q. Sia a = p r la massima potenza di p che divide x, e sia b tale che ab = x . Allora a ∉ (x ) (perché q /| a ) e b ∉ (x ) (perché p /| b ). Si deduce immediatamente: Corollario 6.4 In un PID gli ideali primari sono tutte e sole le potenze degli ideali primi. Osservazione 6.5 Chiaramente, ogni ideale primo è primario. Non è, però, vero il viceversa: nell’anello dei polinomi K [x ] , l’ideale ( x 2 ) , in base alla Proposizione 6.3 è primario, però non è primo. Esempio 6.6 Nell’anello K [ x, y ], l’ideale ( x, y 3 ) è primario. Infatti: K [ x, y ] 3 ( x, y ) ≅ K[ y] (y3) , e in quest’ultimo anello quoziente ogni divisore dello zero è nilpotente, perché, in base alla Proposizione 6.3, l’ideale ( y 3 ) di K [ y ] è primario. Proposizione 6.7 Sia I un ideale primario. Allora I è il più piccolo ideale primo di A contenente I. Dimostrazione: Siano a, b ∈ A tali che ab ∈ I , e a ∉ I . Allora, per un opportuno intero positivo n, ( ab) n = a n b n ∈ I , mentre a n ∉ I . Essendo I primario, segue che b n ∈ I , e quindi b ∈ I . Ciò prova che I è primo. D’altra parte, se P è un ideale primo contenente I, allora, in base alla Proposizione 2.18, si ha che I ⊂ P . Definizione 6.8 Se I è un ideale primario tale che primario. I coincide con l’ideale primo P, si dice che I è P- Osservazioni 6.9 a) Abbiamo visto che se I è un ideale primario, allora I è primo. Non vale, però, il viceversa. Nell’anello K [ x, y ] consideriamo l’ideale I = ( xy , x 2 ) . Allora I = (x ) è un ideale primo. Però I non è primario, perché xy ∈ I , ma x ∉ I e y ∉ I . b) Parte della Proposizione 6.3 vale anche senza l’ipotesi che A sia un UFD: se p è un elemento primo dell’anello integro A, allora, per ogni intero positivo n, l’ideale ( p n ) è sempre primario. Siano a, b ∈ A tali che ab ∈ ( p n ) , allora ab = p n c per qualche c ∈ A . Supponiamo che a ∉ ( p n ) , allora esiste un intero nonnegativo r < n tale che p r sia la massima potenza di p che divide a. Sia a = p r α , con α ∈ A , allora p n c = ab = p r αb , da cui p n − r c = αb , di modo che p αb . Poiché p /| α , segue che p b , da cui p n b n e quindi b ∈ ( p n ) . Ciò prova che ( p n ) è un ideale primario. c) Non è, però, possibile estendere la Proposizione 6.3 alle potenze degli ideali primi non principali di un anello integro: la potenza di un ideale primo non è sempre un ideale primario, come ci mostra il l’ideale seguente esempio. Consideriamo, nell’anello integro A = K [ x, y, z ] ( xy − z 2 ) , P = ( x, z ) ( xy − z 2 ) . Allora, in base al terzo teorema di isomorfismo per anelli (vedi Algebra 3, Teorema 2.2), si ha K [ x, y, z ] ( xy − z 2 ) A = ≅ K [ x, y , z ] ≅ K[ y] , P ( x, z ) ( x, z ) ( xy − z 2 ) dove l’ultimo anello è integro. Quindi P è un ideale primo. Indicheremo con un soprassegno le classi laterali modulo ( xy − z 2 ) . Si ha: P 2 = ( x , z )2 = (( x ) + ( z ))2 = ( x )2 + ( xz ) + ( z ) 2 = ( x 2 , xz , z 2 ) . Si osservi che a P2 appartengono solo classi laterali formate da polinomi che sono somme di monomi di grado maggiore o uguale a 2. Ora, x y − z 2 = 0 , da cui x y = z 2 ∈ P 2 . Però x ∉ P 2 , e y ∉ P 2 = P (vedi l’Osservazione 1.30 ed il Lemma 2.17). Quindi P2 non è primario. Possiamo quindi ampliare la serie delle inclusioni stabilita nell’Osservazione 2.14: {ideali massimali}⊂ {ideali primi} ⊂ {ideali irriducibili} ∩ {ideali primari} In particolare, abbiamo che ogni ideale massimale è primario. In realtà vale un risultato più forte: Proposizione 6.10 Sia I un ideale di A tale che I è massimale. Allora I è primario. Dimostrazione: In base alla Proposizione 2.18, l’ideale massimale M = I è l’unico ideale primo di A contenente I. Quindi, in base al teorema di corripondenza per gli anelli, M = M I è l’unico ideale massimale di A / I . Sia I + a , con a ∈ A , uno zero divisore di A / I . Allora, non essendo I + a invertibile, in base al Corollario 2.25, segue che I + a ∈ M I , cioè a ∈ M . Quindi per qualche intero positivo n, si ha che a n ∈ I , ossia ( I + a ) n = I . Abbiamo così provato che ogni zero divisore di A / I è nilpotente. In virtù del Corollario 6.2, ciò implica che I è primario. Osservazione 6.11 In base all’Osservazione 6.9 a), il fatto che I è primo non basta a garantire che I sia primario. Abbiamo appena visto, però, che la conclusione vale se si rafforza l’ipotesi, richiedendo che I sia massimale. Esempio 6.12 Nell’anello di polinomi K [ x1 ,..., x s ] l’ideale I = ( x1α1 ,..., x s α s ) (ove gli esponenti sono interi positivi) è primario: infatti, com’è facile vedere, I = ( x1 ,..., x s ) , che è un ideale massimale di K [ x1 ,..., x s ] . Possiamo notare, inoltre, che I, per s>1, non è, in generale, la potenza di alcun ideale primo P (tranne che nel caso banale in cui α i = 1 per ogni indice i.). Supponiamo, per fissare le idee, che α 1 > 1 . Se fosse I = P n per qualche intero positivo n, allora si avrebbe I = P n = P = P , quindi P = ( x1 ,..., x s ) . Osserviamo che n > 1 , perché I non è primo ( x1α1 ∈ I , però x1 ∉ I ). Si ha, inoltre, che α i ≥ n per ogni indice i (altrimenti x i αi ∉ P n ). Allora x1 n −1 x 2 ∈ P n \ I , assurdo. Ciò prova che, contrariamente a quanto stabilito per i PID nel Corollario 6.4, un ideale primario non è sempre una potenza di un ideale primo.