Calibrazione di uno strumento

Calibrazione
Come possiamo fidarci di uno strumento?
Abbiamo bisogno di acquisire sperimentalmente (identificare) il suo
funzionamento in condizioni controllate.
L’ identificazione deve essere razionalmente organizzata e condivisa
in termini procedurali: si tratta dell’operazione di calibrazione.
Argomenti :
¾definizione del modello di strumento idealizzato;
¾la tecnica della regressione lineare;
¾la verifica della bontà di una regressione;
¾il processo di calibrazione.
1
Lo strumento idealizzato
2
1
Lo strumento idealizzato
Lo strumento prima di essere tale è un oggetto fisico, quindi soggetto
in ogni sua parte alle leggi della fisica che governano i fenomeni che
caratterizzano ciascuna di esse
L’oggetto è quindi caratterizzato da un insieme di proprietà,
comportamenti … di varia natura
comportamenti,
Solo un sottoinsieme di queste caratteristiche è utile per la misura e
solo limitando opportunamente le condizioni
Il comportamento è tipicamente descritto attraverso equazioni
differenziali
pp
le condizioni al contorno le leggi
gg
Solo limitando opportunamente
di funzionamento si riducono ad una legge utile per la misura (es
una costante) e l’ «oggetto strumento» può essere utilizzato
come «strumento».
3
Lo strumento reale
Lo strumento può essere rappresentato come un sistema a più
ingressi ed una singola uscita.
Ingressi: desiderato
di interferenza
di modifica
Uscita:
misura
di interferenza
desiderato
di modifica
STRUMENTO
misura
La completa caratterizzazione di uno strumento prevedrebbe
l’individuazione sperimentale della sua funzione di trasferimento
ovvero della funzione che lega l’uscita
l uscita a tutti gli ingressi.
ingressi
Misura=f(desiderato, interferenza, modifica)
La misura è in genere dipendente, attraverso le sensibilità incrociate,
a molti ingressi diversi da quello desiderato. Particolare importanza
rivestono anche il tempo e la frequenza, come vedremo nel proseguo
4
del corso.
2
Lo strumento idealizzato
Dal punto di vista metrologico lo strumento viene normalmente
ricondotto ad un sistema singolo ingresso – singola uscita (SISO).
Ingressi: desiderato
di interferenza
di modifica
di interferenza
desiderato
Uscita:
misura
di modifica
STRUMENTO
misura
La caratterizzazione dello strumento viene semplificata:
Misura=f(desid., interf., modif.)=K(desiderato)•desiderato+offset
La dipendenza dell’uscita dall’ingresso viene ridotta ad un singolo
parametro (K) detto coefficiente di calibrazione.
Nelle comuni applicazioni in ambito sperimentale il coefficiente di
calibrazione è in realtà una costante di calibrazione e l’offset è
nullo.
5
Lo strumento idealizzato
Il comportamento dello strumento reale è quindi ricondotto a quello
dello strumento ideale definibile da una relazione ingresso-uscita:
u(t)=k i(t)
con k costante,
costante almeno nel campo di variabilità dell’ingresso
dell ingresso in cui
viene utilizzato lo strumento.
Out
La costante di calibrazione non dipende
dalla variabilità temporale dell’ingresso:
il diagramma ingresso / uscita è un segmento.
Questo comportamento è detto statico:
lo strumento non ha stati interni che
contribuiscono
t ib i
alla
ll di
dinamica
i d
dell’uscita.
ll’
it
In
La funzione di trasferimento è una costante ed ogni variabilità
dell’uscita è esclusivamente dovuta alla variazione dell’ingresso con un
legame puramente proporzionale e non risente di altri disturbi.
6
3
Lo strumento idealizzato
Lo strumento ideale è un modello metrologico; la maggior parte
degli strumenti ha caratteristiche assimilabili allo strumento ideale
solo per particolari modalità di impiego.
Occorre quindi un metodo di analisi che ci permetta di capire come
usare uno strumento perché funzioni in maniera ideale.
ideale
Dobbiamo quindi costruire un modello più complesso del semplice
SISO lineare; l’analisi del suo comportamento consentirà di capire in
quali condizioni si riduce al modello metrologico.
La definizione analitica delle caratteristiche dinamiche consente di
capire alcune delle limitazioni di utilizzo.
La definizione sperimentale delle caratteristiche statiche permette di
costruire il modello metrologico (quasi
(quasi-ideale)
ideale) dello strumento
strumento.
Le caratteristiche statiche definiscono la qualità della misura, quindi
valgono anche nelle applicazioni dinamiche.
Questi elementi verranno discussi nella seconda parte del corso.
7
Regressione di dati sperimentali
Revisione dei concetti principali
8
4
Tendenze e regressioni
¾ Nelle attività sperimentali è pratica comune correlare dati
mediante la regressione (fitting) di funzioni matematiche, come
polinomi di basso ordine o esponenziali,
n
y = a0 + a1 x + a2 x 2 + L = ∑ ai x i
y = aebx
i =0
¾ Una delle funzioni più comunemente utilizzate per la
caratterizzazione di strumenti è la retta. In altri casi è possibile
eseguire una trasformazione in modo da ricondurre il legame ad
una forma lineare.
Il problema
bl
può
ò essere cosìì fformulato:
l t
dato un insieme di coppie di dati (Xi, Yi),
trovare la funzione che descrive
“meglio” l’andamento generale
9
Tendenze e regressioni
Analizziamo in dettaglio il problema di regressione polinomiale di
ordine generico.
M
Ordine M
y = a0 + a1 x + a2 x 2 + L = ∑ x k ak
k =0
M
Errore
ei = yi − ∑ x ak
k =0
k
i
M
⎛
⎞
I = ∑ ⎜ yi − ∑ xik ak ⎟
errore quadratico per gli N punti disponibili
i =1 ⎝
k =0
⎠
∂I
= 0 k = 0:M
Minimizzazione errore: M equazioni del tipo
∂ak
N
[C ]{a} = {B}
Soluzione di un sistema lineare di ordine M
N
N
Ckj = ∑ xik xij = ∑ xik + j
Matrice coefficienti e termine noto
2
i =1
i =1
N
Bk = ∑ x yi
i =1
k
i
k, j = 0 : M
10
5
Tendenze e regressioni
Affrontiamo un caso particolare:
il modello di ordine 0
y = a0
L’errore
L
errore per ogni punto è dato da
ei = yi − a0
N
i =1
i =1
N
∂I
= ∑ ( a0 − yi ) = 0
∂a0 i =1
Minimizziamo rispetto all’incognita
Soluzione
N
I = ∑ ei2 = ∑ ( yi − a0 ) 2
L’errore quadratico totale è
N
N
i =1
i =1
∑ ( a0 − yi ) = Na0 − ∑ yi = 0
⇒
a0 =
1 N
∑ yi
N i =1
Il modello regressivo definisce il coefficiente di regressione come la
media dei valori e deve essere impiegato solo in assenza di una
tendenza
11
Tendenze e regressioni
Affrontiamo il caso lineare, tipico
della calibrazione di uno strumento:
y = a0 + a1 x
ei = yi − (a0 + a1 xi )
e o e pe
per og
ogni pu
punto
o è da
dato
o da
L’errore
L’errore quadratico totale è
N
N
i =1
i =1
I = ∑ ei2 = ∑ ( yi − (a0 + a1 xi )) 2
N
⎧ ∂I
2
=
( a1 xi + a0 − yi ) = 0
∑
⎪ ∂a
i =1
⎪ 0
Minimizziamo rispetto alle incognite ⎨
N
⎪ ∂I = 2 x ( a x + a − y ) = 0
∑
i
1 i
0
i
⎪⎩ ∂a1
i =1
Sistema di equazioni
N
⎧ ⎛N ⎞
⎛N ⎞
1
a
x
a
+
=
⎪ ⎜ ∑ ⎟ 0 ⎜ ∑ i ⎟ 1 ∑ yi
i =1
⎪ ⎝ i =1 ⎠
⎝ i =1 ⎠
⎨ N
N
N
⎪⎛ x ⎞ a + ⎛ x2 ⎞ a = x y
∑
∑
∑
i i
⎪⎩⎜⎝ i =1 i ⎟⎠ 0 ⎜⎝ i =1 i ⎟⎠ 1 i =12
1
6
Tendenze e regressioni
Ordine 1
Soluzione:
a0 =
N
N
i =1
i =1
2
N
N
i =1
a1 =
i =1
2
⎛
⎞
2
N ∑ xi − ⎜ ∑ xi ⎟
i =1
⎝ i =1 ⎠
N
Condizioni di esistenza:
- Denominatore non nullo
N
N
N
N ∑ xi yi − ∑ yi ∑ xi
i =1
i =1
i =1
⎛
⎞
2
N ∑ xi − ⎜ ∑ xi ⎟
i =1
⎝ i =1 ⎠
N
N
2
2
⎛ N ⎞
N ∑ xi − ⎜ ∑ xi ⎟ ≠ 0
i =1
⎝ i =1 ⎠
N
2
x12 = ( x1 )
Questo comporta:
- N >1
-
N
∑ yi ∑ xi −∑ xi yi ∑ xi
2
punti distinti, infatti per N punti coincidenti xi = x si avrebbe
2
2
N
⎛ N ⎞
⎛ N ⎞
2
N ∑ xi − ⎜ ∑ xi ⎟ = Nx 2 ∑1 − ⎜ x ∑1⎟ = Nx 2 N − ( xN ) = 0
i =1
i =1
⎝ i =1 ⎠
⎝ i =1 ⎠
N
2
13
Qualità della regressione
Per operare una regressione è necessario ipotizzare un modello che
«spieghi» la distribuzione dai dati disponibili.
Il modello ricalcherà il comportamento dei dati quanto più corrette
sono le ipotesi
p
e a meno dell’errore q
quadratico residuo.
Per apprezzare la qualità della regressione può essere utile
analizzare il residuo.
Si calcolano quindi le deviazioni del modello in ogni punto di misura:
Δi = yi − yi = yi − C ( xi , M )
e le si diagrammano rispetto all’ingresso
all ingresso xi
Se il modello è coretto, il residuo non può avere una relazione con la
variabile in ingresso, quindi non può evidenziare una tendenza (un
comportamento) riconoscibile, cioè riconducibile ad un altro modello
La dispersione dei residui deve essere quindi «casuale»
7
Qualità della regressione
Per ogni coppia: xi , yi
¾ calcolare la misura con il polinomio di regressione: yi = a0 + a1 xi
¾ calcolare la deviazione rispetto al valore di riferimento:
Δ i = yi − yi
¾ mettere in grafico le deviazioni in funzione dell’ingresso
dell ingresso.
Si deve verificare l’assenza di una qualsiasi tendenza
La scala sulle deviazioni mette in
evidenza eventuali comportamenti
anomali, in particolare:
Dispersione corretta
¾ tendenze di ordine superiore
rispetto all’ordine
all ordine del polinomio
usato (la linea «media» rossa),
quindi un problema di modello;
¾ dispersioni non omogenee (il
punto cerchiato in verde), quindi un
problema di qualità dei dati.
Anomalia di
tendenza
Anomalia di
dispersione
15
Qualità della regressione lineare
Possibile quantificare la qualità della regressione e in particolare di
quella lineare? I dati sono realmente bene interpretati da una retta?
L’indicatore principe è l’errore quadratico medio (*) tra modello e dati:
σ y2, x =
1 N
∑ ( yi − (a0 + a1xi ))2
N i =1
E’ una misura della «distanza» tra modello e dati ed è nulla se i punti
appartengono alla retta di regressione.
1
N
∑
2
( yi − y ) 2
Nel caso di carenza di correlazione, a1 → 0 , essa σ y =
N i =1
tende allo scarto quadratico dalla media delle misure
((sicuramente maggiore).
gg
)
σ y2 − σ y2, x
Un indicatore sintetico della qualità della regressione
2
r
=
è la distanza percentuale dalla situazione di assenza
σ y2
di correlazione: il coefficiente di determinazione, r.
* Possibili correzioni per effetti legati a N piccolo
r = 1−
σ y2, x
σ y2
16
8
Qualità della regressione
Con questa notazione
r = 1 se tutti i punti giacciono sulla retta
r = 0 se i punti hanno distribuzione casuale
r≈0
r
r≈ 1
Una buona correlazione presenta un coefficiente di regressione
superiore a 0.98; per uno strumento ci si aspetta un valore superiore
a 0.99.
17
Tendenze e regressioni
E’ noto che cambi di coordinate possono semplificare
l’interpretazione dei dati (es. le coordinate logaritmiche consentono di
descrivere in termini lineari alcuni fenomeni come la scarica di un
condensatore o in generale la risposta esponenziale di un’equazione
diff
differenziale
i l di primo
i
grado).
d ) IIn questi
ti casii sii parla
l di regressione
i
lineare con trasformazione.
Graficamente:
18
9
Tendenze e regressioni
Esaminiamo un’equazione esponenziale: y = aehx
Applicando il logaritmo ad entrambi i termini otteniamo
ln(y)
(y) = hx + ln(a)
( )
⇒
Y = Bx + A
Poichè ln(a) è una costante, abbiamo ottenuto una relazione
lineare tra x e ln(y).
Eseguendo quindi il logaritmo delle misure y (Y=ln(y)) otteniamo
un problema di regressione nella forma lineare canonica
Y=B
Bx + A
con a=exp(A) e h=B
19
L’operazione di calibrazione
21
10
Calibrazione
La calibrazione è la procedura sperimentale che permette di definire
la caratteristica metrologica più importante di uno strumento:
il rapporto ingresso-uscita o guadagno o sensibilità (sensitivity)
Permette di mettere in relazione l'uscita di uno strumento con
l'ingresso attraverso una misura nota e precisa dell'ingresso stesso.
Stiamo identificando una funzione di trasferimento.
Tale relazione è genericamente non lineare ma per molti strumenti è
costante, almeno nell’ambito di particolari condizioni di utilizzo
definite proprio per garantire questo comportamento
Se il guadagno è costante, l’uscita è puramente proporzionale all’
ingresso: si dice che lo strumento ha un comportamento statico nei
confronti dell’ingresso, cioè non produce effetti dinamici propri dello
strumento e innescati dalla variabilità nel tempo dell’ingresso.
22
Opzioni di calibrazione
Obiettivi della calibrazione:
¾ valutazione metrologica di uno strumento (Costruttore, Responsabile
della Qualità).
ƒ Definizione delle curve di calibrazione e taratura per cui è
necessario avere sia un numero elevato di punti nell’intervallo
di variabilità dell’ingresso sia un numero elevato di ripetizione
della misura per lo stesso valore di ingresso.
ƒ Definizione di tutti gli elementi di interesse generale (limiti di
accuratezza, isteresi, effetti di ingressi, … )
¾ mantenimento in qualità dello strumento (Responsabile dell’utilizzo)
ƒ Valutazione dello stato generale dello strumento per cui sono
necessarie solo alcune misure ripetute in alcune stazioni per
garantire il corretto funzionamento del dispositivo.
ƒ Verifica delle curve di calibrazione e taratura tipicamente
svolta con procedura a singolo ciclo.
23
11
Calibrazione
La procedura di calibrazione consiste dei seguenti passi:
¾ registrazione dei dati ambientali e verifica dell’assenza di effetti
non controllati sullo strumento soggetto a calibrazione;
¾ applicazione
li
i
di una serie
i di valori
l i iin iingresso allo
ll strumento
t
t e
trascrizione dei corrispondenti valori in uscita;
¾ tracciatura della curva (retta) di regressione;
¾ identificazione dei valori caratteristici della funzione di calibrazione
(per una retta: costante di calibrazione ed offset).
Nel caso di sensibilità apprezzabile ad ingressi diversi da quello
desiderato è necessario ripetere la calibrazione con valori differenti di
tali parametri (modifica o interferenza) in modo da quantificarne gli
effetti sui parametri di calibrazione.
Si ottengono le derive di sensibilità o di zero: la derivata della
costante di calibrazione, o dell’offset, rispetto ad un ingresso
indesiderato.
24
Modalità di prova: sequenziale/casuale
La calibrazione prevede l’applicazione statica di ingressi sull’intero
campo di misura dello strumento.
Gli ingressi possono essere applicati in maniera sequenziale o casuale.
¾ Una prova sequenziale prevede la variazione progressiva
dell’ingresso sull’intervallo desiderato, in salita (up-scale) ed in discesa
(down-scale): ogni applicazione dell’ingresso consiste in un
incremento/decremento del precedente.
¾ Una prova casuale prevede l’applicazione degli ingressi, distribuiti
sull’intero intervallo di variabilità, con un ordine casuale: ogni
applicazione dell’ingresso è indipendente dal precedente.
I requisiti operativi per la realizzazione della calibrazione sono
stringenti (ambiente controllato o di laboratorio) e non compatibili con
quelli di esercizio: la calibrazione deve avvenire in condizioni
ambientali controllate.
25
12
Modalità di prova: sequenziale/casuale
La prova con modalità sequenziale permette di evidenziare gli
effetti di isteresi cioè la presenza di dissipazioni nello strumento
che producono una variazione dell’uscita dovuta all’incremento /alla
diminuzione progressivo/a dell’ingresso
dell ingresso (particolarmente utile anche
nelle prove oltre che nella calibrazione).
La sequenza casuale permette di minimizzare effetti quali le
interferenze degli ingressi non desiderati e l’isteresi.
La conoscenza dei fenomeni fisici coinvolti permette di valutare a
priori l’importanza della scelta.
La strumentazione di buona qualità dovrebbe presentare ridotti effetti
isteretici, quindi una prova sequenziale non è critica.
26
Calibrazione
La calibrazione quindi:
¾ è un’operazione
un operazione che permette di ottenere la relazione che lega
l'uscita di uno strumento con l'ingresso attraverso l'impiego di una
misura nota, certa e precisa dell'ingresso stesso;
¾ può essere applicata ad uno strumento, ad un sistema di misura o
a un trasduttore singolo;
¾ può avvenire tramite metodologia:
ƒ diretta: le uscite dello strumento vengono confrontate con
i
ingressi
i omogeneii notii ((standard):
d d) es. peso calibrato,
lib
metro
ƒ indiretta: se l’entità dell’ingresso di calibrazione viene
contestualmente misurata con uno strumento preventivamente
calibrato.
27
13
Calibrazione
IMPORTANTE: l’accuratezza dello strumento utilizzato per confronto
deve essere un ordine superiore di quella dello strumento da tarare.
Wr < 1/10 Wm
Incertezza della
misura Wm
Incertezza del
riferimento Wr
28
Calibrazione e Taratura
Operativamente:
¾ i dati di ingresso/uscita vengono trascritti/registrati in tabelle;
¾id
datiti vengono elaborati
l b ti mediante
di t una regressione
i
(lineare)
(li
) iin modo
d d
da
ottenere la curva di calibrazione in forma analitica:
v misurata = k Ingresso + h
Ingresso
v misurata
¾ Nel caso di uno strumento che presenti la misura in termini omogenei
con l’ingresso, es. un manometro in cui si legga direttamente il valore di
pressione), i coefficienti di calibrazione correggono la lettura:
Pmisurata = z Pimposta + w
con z ≈1 e w≈0
29
14
Taratura
Operativamente la relazione di calibrazione è inutile: l’obiettivo di
un’attività sperimentale è di conoscere l’ingresso applicato allo
strumento data la sua uscita.
La relazione di calibrazione viene q
quindi risolta rispetto
p
alla misura p
per
fornire la curva di taratura o diagramma di taratura:
Misura = K v misurata + H
relazione che permette di ricavare la misura da assegnare al
misurando per un valore di lettura fornito da un dispositivo di
misurazione.
p indicata = K v misurata + H
p indicata = Z p misurata + W
La curva di taratura è una relazione biunivoca tra i valori forniti dallo
strumento e i corrispondenti valori da assegnare al misurando.
Se la curva di taratura è una retta parleremo di costante di taratura; in
caso contrario il comportamento non è lineare (impiego prevalente in
applicazioni statiche).
30
Calibrazione
La figura mostra una curva di
calibratura reale ottenuta mediante
un solo percorso di carico-scarico.
Sono riportati i dati relativi alla
curva di calibrazione vera e propria,
del tipo pressione indicata/
pressione reale e i valori della retta
di regressione.
Sono mostrate inoltre le
informazioni inerenti le condizioni
ambientali in cui si è svolta la p
prova,,
temperatura, e le condizioni
operative, livelli di accelerazione e
vibrazione.
31
15
Opzioni di calibrazione
La qualità della calibrazione dipende dalle informazioni disponibili ed in
particolare dal:
¾ numero di stazioni utilizzate per definire l’andamento del legame
ingresso-uscita sul campo di misura;
¾ numero di cicli impiegati per definire i parametri di qualità valutando
la dispersione delle risposte sul campo di misura (ripetibilità,
accuratezza, … ).
Se non serve definire la qualità dello strumento è inutile eseguire cicli
multipli di carico/scarico perché è infatti sufficiente un singolo ciclo di
acquisizione per definire correttamente il legame funzionale, sempre
che lo strumento sia in condizioni ottimali.
E’ importante sottolineare che la regressione non è in grado di capire
la differenza tra più livelli di ingresso o più misure per livello a parità di
numero complessivo di valutazioni.
32
Calibrazione
Passi del procedimento:
¾ registrare i dati ambientali;
¾ acquisire le coppie di valori ingresso/uscita sull
sull’intero
intero campo di
misura e, se necessario, per più cicli (se possibile a parità di
ingressi, ma non necessario);
¾ calcolare e tracciare la retta di regressione;
¾ calcolare e mettere in grafico le deviazioni dalla retta di
regressione;
¾ calcolare e tracciare l’intervallo di confidenza;
¾ definire le caratteristiche di qualità dello strumento.
ATTENZIONE! Si tratta di una procedura del tutto generica che non
tiene conto di tutte le caratteristiche di funzionamento di uno
strumento (si pensi alla calibrazione di un termometro)
33
16
Calibrazione
Dati da un rapporto su attività di laboratorio: calibrazione di un
potenziometro lineare
Pos
23
20
17
14
11
8
6
4
2
0
Misure ciclo
1
2
4.998
4.998
4.358
4.363
3.695
3.694
3.042
3.043
2.389
2.376
1.722
1.718
1.276
1.278
0.844
0.829
0.41
0.399
0.001
0.001
3
4.998
4.364
3.702
3.054
2.386
1.735
1.289
0.843
0.419
0.001
4
4.998
4.358
3.693
3.048
2.387
1.727
1.286
0.849
0.416
0.001
5
4.998
4.375
3.708
3.054
2.389
1.724
1.283
0.843
0.399
0.001
6
4.998
4.37
3.706
3.044
2.386
1.722
1.276
0.839
0.394
0.001
34
Calibrazione
La visualizzazione dei dati ovvero il mettere in grafico i punti e la
retta di regressione evidenzia:
¾ comportamenti anomali;
¾ punti discutibili;
¾ differenze di comportamento tra i cicli di carico/scarico.
6
Coeff. retta regressione:
B = -0.0343
Notate qualche problema?
La tendenza del modello (lineare in
questo caso) nasconde possibili
«incoerenze» presenti nei dati
4
Missure [V]
A = 0.2187
5
3
2
1
0
-1
0
5
10
Posizione [cm]
15
20
25
35
17
Calibrazione
Visualizzazione scostamenti dalla misura attesa: ei =yi-(a xi+b)
Equazione V=0.218711 cm + -0.021502
Ci si aspetta un andamento
privo di qualsiasi tendenza,
cioè «casuale»
0.025
0.02
0.015
Aggiungiamo:
¾ valori medi stazioni;
¾ dispersione stazioni.
Errore: yi-(ax-b) [V]
0.01
Notate qualcosa?
0.005
0
-0.005
-0.01
-0.015
-0.02
Commenti?
-0.025
0
5
10
15
Posizione [cm]
20
25
Il diagramma evidenzia incongruenze di comportamento:
¾ la dispersione dei punti estremi è molto più piccola;
¾ la differenza di dispersione indica un comportamento diverso;
¾ escludendo i punti estremi si evidenzia una tendenza lineare.
36
Calibrazione
Qualora fosse giustificato e corretto escludere i punti estremi si
otterrebbe una curva di calibrazione leggermente diversa
Il grafico uscita/ingresso non si modifica sensibilmente, cambia invece
il g
grafico deviazione/ingresso:
g
0.03
Commenti?
¾ la distribuzione delle
dispersioni è omogenea;
¾ la tendenza media è
evidentemente orizzontale;
¾ la piccola differenza sulla
pendenza provoca
differenze sensibili.
Errore: yi-(ax-b) [V]
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
0
5
10
15
Posizione [cm]
20
Correzione minima dei coeff:
Effetto significativo sulla misura a FS:
aerrato
acorretto
err misura a VFS:
0.2187
0.2199 (err % 0.584 )
25
1.343 mm su 230
37
18
Calibrazione: legame ingresso uscita
Se eseguiti più cicli di ingressi, sono possibili tre schemi operativi:
A. regressione totale: si utilizzano insieme tutti i valori disponibili;
B. regressioni indipendenti e valutazione dei valori medi e delle
deviazioni standard dei coeff. di regressione per ogni ciclo;
C ripetizione degli stessi ingressi e calcolo della regressione sui valori
C.
medi per ogni stazione.
Coeff
A
B
1
2
N. Ciclo
3
4
5
Valore
Media
Dev.
Std.
Globale
0.21953 0.22030 0.21952 0.21909 0.22080 0.21985 0.00069 0.21985
-0.03319 -0.04562 -0.02605 -0.02513 -0.04128 -0.03425 0.00909 -0.03425
Qualche domanda cui dovremo trovare una risposta:
p
• Quale schema adottare?
• come sono influenzati i coefficienti dalla posizione, xi, e dal numero,
N, di misurazioni svolte?
• cosa aggiunge la molteplicità di xi?
• a parità di numero di misure è meglio avere più stazioni o ripetizioni?
38
Un commento sulla regressione
Osservazioni:
•
Nella soluzione B il calcolo della dispersione dei coefficienti medi fornisce
solo una indicazione: i cicli sono troppo pochi per un calcolo preciso.
•
La soluzione C , con l’uso dei valori medi, prevede che i motivi di
dispersione abbiano distribuzione simmetrica (quindi a media nulla) nelle
singole stazioni; inoltre il valor medio probabilmente non è preciso, sempre
viste le poche ripetizioni
•
Si può dimostrare che usare due volte la stessa ascissa equivale ad
utilizzare un solo punto con misura pari al valore medio dei singoli dati
Quindi l’aggiunta di punti in una singola stazione di misura ha il solo
effetto di migliorare la valutazione di quel valor medio, es in presenza di
errori di misura, ma non migliora la qualità generale dell’operazione
Questa situazione poteva essere prevista: per infiniti punti xi coincidenti,
la soluzione non esiste esattamente come per un solo punto.
Le ripetizioni quindi non migliorano la stima dei coefficienti della
regressione
•
A parità di informazioni le tre procedure forniscono gli stessi risultati.
39
19
Un commento sulla regressione
Raccomandazioni:
•
Si effettua sempre
p una regressione
g
totale su tutti i p
punti
•
Anche quando si opera con ripetizione, gli ingressi devono essere
misurati ad ogni ciclo, di fatto rientrando nell’opzione A.
Da evitare l’utilizzo della medesima serie di valori di ingresso
per i diversi cicli di carico: la imprecisione di riproduzione
dell’ingresso tra i vari cicli verrebbe vista come una mancanza
di ripetibilità dello strumento in calibrazione (unico caso:
bilancia con pesi calibrati).
La decisione finale dovrà però tenere conto anche della discussione
dell’incertezza dei coefficienti della regressione
40
Altri impieghi della regressione
41
20
Altri impieghi della regressione
La regressione è una procedura di stima dei coefficienti di una
funzione in grado di minimizzare gli scostamenti di un modello dal
comportamento definito da un insieme di dati sperimentali.
La regressione
g
lineare è un utile mezzo p
per determinare da dati
sperimentali le costanti di funzionamento che determinano l’uscita di
un sistema in proporzione ad un ingresso dato:
¾ rigidezza di estremità di una trave
incastrata caricata trasversalmente;
k=
L3
w
=
3EJ F
¾ rigidezza di flessionale di una sezione di trave;
¾ modulo elastico di un materiale
E=
EJ =
L⎛F⎞
⎜ ⎟
A⎝ u ⎠
L3 ⎛ F ⎞
⎜ ⎟
3 ⎝ w⎠
Il coefficiente angolare della regressione che ha in ingresso il carico
e in uscita lo spostamento è sempre correlato al parametro cercato.
42
Uso regressione
Prendiamo una serie di valori di un legame lineare (rigidezza come
legame forza-spostamento o modulo elastico di un materiale come
legame sforzo-deformazione).
Procedure possibili:
p
¾ calcolare i rapporti forza/spostamento e farne la media (la media
sarebbe la stessa anche per piccole perturbazioni dei dati);
¾ calcolare il coefficiente angolare della regressione.
K=
N ∑ si Fi − ( ∑ si )( ∑ Fi )
N ∑ s − ( ∑ si )
2
i
2
K=
1
Fi
2 ∑
N
si
Possiamo dedurre che le due metodologie sono del tutto alternative
una all’altra?
Essendo più semplice, si può usare la media dei rapporti?
43
21
Uso regressione
Evidentemente per
A=
yi = k xi i coefficienti della regressione sono:
N ∑ xi yi − ( ∑ xi )( ∑ yi )
N ∑ xi2 − ( ∑ xi )
B = ... = k
(
k N ∑ xi2 − ( ∑ xi )
=
2
N ∑ xi2 − ( ∑ xi )
2
2
) =k
(∑ x )(∑ x ) − (∑ x )(∑ x ) = 0
N ∑ x − (∑ x )
i
2
i
2
i
i
2
2
i
i
Così come per la media dei rapporti si ottiene:
1
A% =
N
yi
∑x
i
=
1
N
∑k
i
≈
1
N
∑k = k
In campo sperimentale i dati però non seguono perfettamente il
modello matematico di una retta priva di intercetta ma essendo affetti
da errori di misura si disperdono attorno a tale andamento. In questo
caso il risultato si mantiene?
44
Uso regressione
Se i dati non rispondono ad un comportamento perfettamente lineare i
punti possono non appartenere ad una retta spiccata dall’origine
F
_
k
ki
k
s
Usare i rapporti F/s, ignorando che ciò equivale a spiccare una retta
d ll’ i i
dall’origine,
può
ò portare
t
a una pendenza
d
variabile
i bil con il carico
i e a un
valore medio diverso dalla pendenza del legame cercato: k ≠ k
E’ il caso di una prova strutturale, in cui è quasi inevitabile avere
giochi o assestamenti, recuperati dall’applicazione di un carico.
45
22
Da ricordare
Concetto di separazione tra caratteristiche metrologiche e
caratteristiche funzionali di uno strumento.
Metodologia per la calibrazione di un trasduttore/strumento, anche in
presenza di sensibilità incrociate.
p
Necessità di adeguare lo schema generale dell’operazione alla
tipologia specifica di uno strumento (da riprendere): la “procedura” di
calibrazione dovrà tenere conto di come uno strumento funziona.
Identificazione sperimentale della funzione di trasferimento di un
sistema (caso statico).
Validità del processo di idealizzazione di uno strumento e i limiti di
applicabilità della funzione di trasferimento lineare
lineare.
Utilizzo del metodo di regressione per la definizione di legami lineari
in genere.
Concetto di incertezza sul risultato di una regressione (da
riprendere).
46
Domande?
47
23
Cosa sappiamo fare?
Tecniche e procedure generiche di calibrazione.
Valutare la bontà di una regressione.
Valutare la qualità dei dati disponibili per una regressione.
48
48
Cosa sappiamo fare?
Esercizio 1 del 15 novembre 2012
Per uno strumento generico viene avanzata l’ipotesi di comportamento
descrivibile con un modello di primo ordine. Si chiede di:
F Suggerire una procedura sperimentale per verificare che l’ipotesi sia
corretta
F Elencare e descrivere tutti i passi di una procedura per la sua calibrazione
C Suggerire quali caratteristiche fisiche dello strumento andrebbero
modificate, e come, per migliorare il suo comportamento dinamico
Ai punti in rosso non sappiamo rispondere in quanto non sappiamo ancora
cosa sia uno strumento di “primo ordine”
Potrebbe sembrare di essere già in grado di rispondere al secondo quesito,
ma ATTENZIONE: il punto è in relazione con la parte generale di descrizione
del problema CHE PARLA DI UNO STRUMENTO DI PRIMO ORDINE quindi
la procedura di calibrazione deve essere contestualizzata al problema
esaminato.
Lo schema generale è senz’altro la base della risposta: deve però essere
completata per poter essere correttamente applicata ad uno strumento di
questo tipo
49
24
Fine presentazione
50
Approfondimento tecnica di regressione
51
25
Tendenze e regressioni
Conveniente utilizzare una formulazione matriciale per la definizione
del problema di regressione per il caso polinomiale di ordine generico.
Ordine M
Numero misure N
⎧ a0 ⎫
⎪ ⎪
y = ∑ x ak = ⎡⎣1 x x L x ⎤⎦ ⎨ M ⎬ = [ P ( x, M ) ]{a}
k =0
⎪a ⎪
⎩ n⎭
M
2
k
ei = yi − [ P ( xi , M ) ]{a}
N
n
⎧M ⎫ ⎧ M ⎫ ⎡ M ⎤
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⇒ { E} = ⎨ei ⎬ = ⎨ yi ⎬ − ⎢⎢[ Pi ]⎥⎥ {a} = {Y } − [ X ]{a}
⎪M ⎪ ⎪ M ⎪ ⎢ M ⎥
⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦
I = ∑ ( yi − [ X i ]{a} ) = { E}
2
T
i =1
{E} = ({Y } − [ X ]{a}) ({Y } − [ X ]{a}) =
T
{Y } {Y } − {Y } [ X ]{a} − ([ X ]{a}) {Y } + ([ X ]{a}) ([ X ]{a}) =
T
T
T
T
T
{Y } {Y } − 2 − {a} [ X ] {Y } + {a} [ X ] [ X ]{a}
52
T
T
T
T
Tendenze e regressioni
Funzionale in forma matriciale
I = { E}
T
{E} = {Y } {Y } − 2{a} [ X ] {Y } + {a} [ X ] [ X ]{a}
Minimizzazione:
T
T
T
T
T
∂I
T
T
= − [ X ] {Y } + [ X ] [ X ]{a} = 0
∂ {a}
[C ]{a} = {B}
N
[C ] = [ X ]T [ X ] = ∑ [ Pi ]T [ Pi ]
N
{B} = [ X ]T {Y } = ∑ [ Pi ]T yi
;
i =1
N
Coefficienti:
i =1
N
[C ] = ∑ [ P( xi )] [ P( xi )]
T
;
i =1
N
Ckj = ∑ xik + j
i =1
[ B ] = ∑ [ P( xi )]
i =1
N
; Bk = ∑ xik yi
T
yi
k, j = 0 : M
i =1
53
26
Tendenze e regressioni
La struttura dell’operatore è .
Ordine n
⎡
⎢N
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
N
N
∑x ∑x
i
i =1
N
∑x
i =1
i =1
N
2
i
∑x
3
i
i =1
N
∑x
i
i =1
Simm
⎤
⎧ N 0 ⎫ ⎧ N
⎫
⎥
⎪ ∑ xi yi ⎪ ⎪ ∑ yi ⎪
i =1
⎥
⎪ i =1
⎪ ⎪ i =1
⎪
N
N
a
⎧
⎫
⎪ ⎪ N
⎪
⎪
0
n +1 ⎥
1
L ∑ xi ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ∑ xi yi ⎪ ⎪ ∑ xi yi ⎪
a
i =1
⎪⎪ ⎪⎪ i =1
⎪⎪
⎥ ⎪⎪ 1 ⎪⎪ ⎪⎪ i =1
N
N
=
a
⎥
⎬=⎨ N 2 ⎬
⎨
n+2 ⎨ 1 ⎬
2
L ∑ xi ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ∑ xi yi ⎪ ⎪ ∑ xi yi ⎪
i =1
⎥ ⎪ M ⎪ ⎪ i =1
⎪ ⎪ i =1
⎪
O
M ⎥ ⎩⎪an ⎭⎪ ⎪
M
M
⎪ ⎪
⎪
⎥
⎪N
⎪ ⎪N
⎪
N
⎪∑ xin −1 yi ⎪ ⎪∑ xin −1 yi ⎪
xi 2 n ⎥
∑
⎥
⎪⎩ i =1
⎪⎭ ⎩⎪ i =1
i =1
⎦
⎭⎪
N
2
i
4
L
∑x
n
i
Matrice simmetrica e di struttura prevedibile
Matrice malcondizionata per ordini superiori a 5 o 6
54
Tendenze e regressioni
Vediamo le soluzioni di ordine inferiore.
N
N
Ordine 0
T
T
[C] = ∑[ Xi ] [ Xi ] = ∑[1] [1] = N
i =1
i =1
N
N
N
i =1
i =1
i =1
{B} = ∑[ Xi ]T yi = ∑[1]T yi = ∑ yi
{a0} = [C]−1{b} =
1 N
∑yi
N i=1
Abbiamo quindi ottenuto che il valor medio di una serie è il valore
che
h minimizza
i i i
l somma degli
la
d li scarti
ti quadratici.
d ti i
Nel caso di assenza di ingresso il modello regressivo fornisce come
stima il valor medio.
Condizione di applicabilità del metodo è che l’errore sia a valore
medio nullo.
55
27
Tendenze e regressioni
Regressione, o “fitting”, lineare:
⎡
⎢ N
⎢
⎢N
⎢ ∑ xi
⎣ i =1
N
a0 =
N
⎤
⎧ N
⎫
⎥ ⎧a ⎫ ⎪ ∑ yi ⎪
i =1
⎥ ⎨ 0 ⎬ = ⎨⎪ i =1 ⎬⎪
N
N
2⎥ a
xi ⎥ ⎩ 1 ⎭ ⎪∑ xi yi ⎪
∑
⎪⎩ i =1
⎪⎭
i =1
⎦
N
∑x
i
N
i =1
i
i =1
2
i
i
i =1
i
i =1
2
⎛
⎞
N ∑ xi − ⎜ ∑ xi ⎟
i =1
⎝ i =1 ⎠
N
2
N
N
∑ y ∑ x −∑ x y ∑ x
N
i
a1 =
N
N
N ∑ xi yi − ∑ yi ∑ xi
i =1
i =1
i =1
⎛
⎞
N ∑ xi − ⎜ ∑ xi ⎟
i =1
⎝ i =1 ⎠
N
2
N
2
56
28