Studio dello svuotamento di un serbatoio - "E. Fermi"
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Studio dello svuotamento di un serbatoio - "E. Fermi"
Studio dello svuotamento di un serbatoio By A.C. Neve – ITIS E. Fermi - Lecce Si consideri un serbatoio pieno di liquido fino ad una generica altezza Ho e dotato di un foro per la fuoriuscita del liquido stesso. Ho S1 V1 ∆h massa m di liquido h(t) S2 V2 S1 = Superficie superiore del serbatoio S2 = Superficie del foro di uscita V1 = Velocità di abbassamento del livello V2 = Velocità di uscita del liquido Ho = Altezza iniziale del liquido h(t) = Valore istantaneo dell'altezza ∆h = Variazione dell'altezza Si consideri una massa elementare m di liquido che scende ad una velocità V1 da una generica altezza h(t); risultando il liquido incomprimibile, esisterà una identica massa m che uscirà dal foro con velocità V2. Per il principio di conservazione dell'energia si ha che: 1 1 m ⋅ V1 2 + m ⋅ g ⋅ h(t) = m ⋅ V 2 2 2 2 Per il principio di continuità si ha invece che: S1 ⋅ V1 = S2 ⋅ V 2 ⇒ V1 = S2 ⋅ V2 S1 Sostituendo nella precedente si ottiene S 22 1 2 V2 ⋅ (1 − 2 ) = g ⋅ h(t) ⇒ V2 = 2 S1 Se S1>>S2 risulterà che: V2 ≈ 2 ⋅ g ⋅ h(t) ⋅ S1 2 2 S1 − S2 2 2 ⋅ g ⋅ h(t) meglio nota come formula di Torricelli. Si è così scoperto che la velocità di fuoriuscita del liquido segue una legge non lineare in quanto il liquido non esce con velocità costante ma dipendente dall'altezza e dal tempo. Analizzando il sistema fisico e l'espressione di V2 di intuisce che inizialmente, essendo il livello ancora elevato, anche la velocità sarà elevata, col passare del tempo, diminuendo l'altezza, anche V2 diminuirà fino ad annullarsi con lo svuotamento del serbatoio. A.C. Neve - Serbatoio Osservando il fenomeno durante un breve intervallo di tempo ∆t si può ipotizzare che lo svuotamento segua una legge di tipo lineare infatti durante l'intervallo ∆t la curva coincide con la tangente nel punto Ho. h(t) Ho 0 t ts E' così possibile sviluppare un metodo di calcolo di tipo iterativo tabellare attraverso il quale si può ottenere il valore del livello ad intervalli di tempo successivi ed equispaziati di ∆t. t La convenienza di tale metodo risiede nella possibilità di poter considerare il fenomeno approssimativamente lineare e cioè con velocità, e quindi anche portata, costanti nel tempo. Nella figura seguente viene proposto il diagramma di flusso della procedura di calcolo: Start h(t) t=0 Ho V2(t) = end 2 g h(t) Q2(t) = V2(t) S2 no si h(t)=0? Vol out(t,t +∆ t) = Q2∆ t h(t + ∆t) = h(t) t = t +∆ t S2 2 g h(t)∆ t S1 0 ∆t 2∆t 3∆ t 4∆t 5∆t ts t V2(t) = velocità di fuoriuscita del liquido Q2(t) = portata di uscita Volout (t,t+∆t) = volume di liquido fuoriuscito nell'intervallo di tempo ∆t h(t+∆t) = variazione del livello nell'intervallo di tempo ∆t Il sistema diventa così discreto, lineare attratti e la curva risulta una spezzata. E' evidente che più piccolo è il ∆t scelto e più la curva si avvicinerà a quella teorica garantendo così un risultato più preciso. Il problema risiede quindi nella scelta del valore più opportuno per ∆t. Ovviamente il ∆t dovrà risultare piccolo rispetto al tempo di evoluzione del fenomeno in studio, avendo indicato con ts il tempo di svuotamento del serbatoio, dovrà essere verificata la condizione ∆t << ts A.C. Neve - Serbatoio Valori di ∆t troppo grandi comportano delle approssimazioni, e quindi degli errori, inaccettabili, per contro, valori di ∆t troppo piccoli non migliorano sensibilmente la precisione del risultato in quanto è noto che oltre un certo limite la precisione non migliora più mentre il tempo di calcolo aumenta in quanto il numero di iterazioni da eseguire è pari a N = ts/∆t. Il valore ottimale di ∆t può essere determinato per approssimazioni successive: Si inizia fissando un ∆t un pò più piccolo del tempo di svuotamento ottenibile ipotizzando una portata costante e pari a quella massima Q(0), si otterrà così una certa curva molto imprecisa. Si prosegue poi riducendo sempre di più il valore di ∆t determinando sempre la relativa curva di svuotamento. Finchè le curve ottenute sono significativamente diverse tra loro, vuol dire che il ∆t utilizzato è ancora troppo grande, ulteriori riduzioni del ∆t condurranno poi ad una situazione di coincidenza dei risultati ottenuti, il fenomeno cioè tende a stabilizzarsi . Questo è il limite oltre il quale una ulteriore riduzione di ∆t non migliora i risultati ma allunga soltanto il tempo di calcolo. Questi ultimi grafici forniscono l'andamento della curva di svuotamento ed il tempo di svuotamento totale. L'esperimento di simulazione può essere realizzato sviluppando un opportuno programma oppure, più comodamente, facendo uso di un foglio elettronico di calcolo tipo EXCEL o altri. ESEMPIO Si consideri un serbatoio cilindrico così caratterizzato: Ho = 150 cm, d1 = 100 cm, d2 = 5 cm Le sezioni di ingresso ed uscita valgono: S1 = 7850 cmq S2 = 20 cmq risulta così soddisfatta la condizione S1 >> S2 Il volume totale del serbatoio è pari a: Voltot = 1177500 cmq La portata iniziale è pari a: Q(0) = V2(0) S2 = 2gHo S2 = 10850 cmq/sec Ipotizzando uno svuotamento di tipo lineare ed a portata costante pari a quella iniziale, si otterrebbe lo svuotamento in un tempo pari a: Tsv = Voltot/Q(0) = 108,5 sec Si può allora iniziare lo studio utilizzando un ∆t circa uguale a Tsv/2 (40 sec) e poi ridurlo sempre di più fino ad ottenere la stabilizzazione della curva di svuotamento. Dai grafici così ottenuti, si possono desumere le seguenti informazioni: A.C. Neve - Serbatoio ∆t (sec) 40 20 10 5 2 1 0.5 0.2 ts (sec) 160 180 192 202 210 213 215 216 N° di iterazioni 4 10 20 40 105 213 430 1080 Osservando la tabella si può notare che, al diminuire del ∆t corrisponde un aumento del tempo di svuotamento ts che però non risulta proporzionale ma al contrario tende a stabilizzarsi verso un valore finale non molto più grande dell'ultimo ottenuto e cioè 216.2 sec. Una ulteriore prova di quanto asserito la si può ottenere osservando gli ultimi due grafici che in effetti non differiscono significativamente tra loro. Si è così raggiunta una stabilizzazione dei risultati oltre la quale, una ulteriore riduzione di ∆t comporterà soltanto un inutile prolungamento del tempo di calcolo senza un corrispondente incremento della precisione. Sviluppando lo studio del sistema in modo rigorosamente formale e facendo uso delle relazioni proposte nell'appendice, si ottiene per il tempo di svuotamento un valore di 217 secondi. Confrontando questo valore con quello ottenuto in precedenza di nota che l'errore commesso è pari allo 0.36% e quindi certamente accettabile. Di sicuro interesse potrebbe risultare il confronto del tempo di svuotamento relativo a due serbatoi aventi il medesimo volume ma differenti dimensioni e cioè la determinazione della risposta alla seguente domanda: "Si svuota più rapidamente un serbatoio alto e stretto oppure uno basso e largo ?" A.C. Neve - Serbatoio APPENDICE: Determinazione della legge teorica di svuotamento La velocità di fuoriuscita del liquido dal foro S2 si è già visto che è pari a: V2 = 2g ⋅ h(t) (cm / sec) la corrispondente portata risulterà: Q2 = V2 ⋅ S2 = S2 ⋅ 2g ⋅ h(t) (cm3 / sec) Il volume di liquido che fuoriesce in un tempo dt è dato da: dVol(o u t) = Q 2 ⋅ dt =S2 ⋅ 2g ⋅ h(t) dt La corrispondente variazione del livello di liquido nel serbatoio (di segno negativo) è pari a: dVol ( out ) S2 = − ⋅ 2 g ⋅ h( t) ⋅ dt = − K ⋅ h( t) ⋅ dt S1 S1 Separando le variabili ed integrando si ottiene: dh( t ) = − ∫ dh(t) = h(t) ∫ - K ⋅ dt ⇒ 2 h(t) = − K ⋅ t + C ⇒ h(t) = (- K ⋅ t + C) 2 2 Per t=0 il serbatoio è pieno, per cui h(0)=Ho e quindi risulterà C = Ho Sostituendo il valore di C e di K si ottiene l'equazione che regola lo svuotamento del serbatoio: 2 g S2 ⋅t2− h(t) = ⋅ 2 S1 2 2gHo ⋅ S2 ⋅ t + Ho S1 Valida per 0 ≤ t ≤ t s si noti il classico andamento parabolico. Il completo svuotamento del serbatoio si avrà dopo un tempo ts tale che h(ts)=0 per cui si ricava: ts = 2 Ho S1 ⋅ 2g S2 h(t) Arco di parabola Ho 0 A.C. Neve - Serbatoio ts t