trasm calore

Elementi di trasmissione del calore
3.1 Informazioni generali
Per trasmissione di calore si
intende scambio di energia tra
sistemi a diversa temperatura; il
secondo
principio
della
termodinamica precisa poi che i
flussi di calore possono essere
scambiati spontaneamente solo nel
verso
delle
temperature
decrescenti. Vengono, generalmente, distinte tre diverse
modalità di trasmissione del
calore: per conduzione, quando il
flusso di calore viene scambiato
tra parti di un mezzo continuo per
effetto di scambi di energia a livello
atomico tra particelle contigue,
come avviene nei mezzi solidi o nei
fluidi in quiete; per convezione,
quando a tale processo si
sovrappone un trasporto di energia
dovuto al movimento macroscopico di particelle, come
avviene nei mezzi fluidi; per
irraggiamento, quando l'energia
tra due corpi a differente temperatura viene scambiata sotto
forma di onde elettromagnetiche,
come avviene tra due corpi
separati da spazio vuoto o da un
mezzo trasparente alle onde
stesse.
3.2 Trasmissione del
calore per conduzione
II flusso di calore q, trasmesso per
conduzione nella direzione n, è
proporzionale al gradiente di
temperatura in tale direzione:
q =-λəT/ən
(22)
La relazione (22) è l'espressione
matematica della legge di Fourier.
II coefficiente di proporzio-nalità
λ, dalla stessa definito, è noto
come conduttività termica. Essa è
una proprietà del mezzo il cui
valore è indice della capacità di
trasmettere flussi di calore: quanto
più è elevato, tanto più elevato è il
flusso di calore trasmesso a parità
di gradiente di temperatura. Il
segno meno presente nella (22) è
dovuto al fatto, già ricordato, che il
calore fluisce nel verso delle temperature decrescenti e, quindi, dei
gradienti di temperatura negativi.
La conduttività termica è funzione dello stato termodinamico
mezzo.
intensivo
del
Generalmente è massima allo
stato solido e minima in quello
gassoso; è praticamente costante
con la pressione sia per i solidi che
per i liquidi, nonché per i
gas a valori sufficientemente
elevati di pressione. Dunque varia
sensibilmente
solo
con
la
temperatura,
variazione
che,
peraltro, in molti problemi tecnici
può essere trascurata. Valori di
conduttività termica per alcuni
mezzi, solidi, liquidi e gassosi,
sono riportati nella tabella 6.
3.2.1 Strato piano, cilindrico e
sferico
In regime termico stazionario la
(22) può essere facilmente
integrata nel caso di geometrie
semplici e con particolari
condizioni al contorno. Nella
figura 30 sono riportati gli
schemi di strato semplice piano,
cilindrico e sferico. Nella stessa
figura sono anche evidenziate le
espressioni della potenza termica
scambiata attraverso ciascuno
strato, quali risultano dalla
integrazione della (22), nelle
ipotesi di materiale omogeneo e
con conduttività termica costante
e assumendo, quali condizioni al
contorno, temperatura uniforme
sulle superfici delimitanti gli
strati.
Attraverso 1o strato piano 1a
temperatura varia linearmente, con
pendenza, a parità di calore
scambiato,
inversamente
proporzionale
al
valore
di
conduttività termica; attraverso gli
strati cilindrico e sferico la
temperatura varia, invece, in
modo più complesso, ma sempre
con andamento decrescente nel
verso del flusso di calore.
Le relazioni esprimenti la potenza
termica trasmessa attraverso gli
strati semplici sono poi facilmente
estendibili al caso degli strati
doppi schematizzati nella figura 31
e, in modo analogo, al caso di strati
multipli qualsiasi, purché ciascuno
strato sia omogeneo e a conduttività termica costante.
3.2.2 Analogia elettrica
Spesso nella risoluzione di
problemi di scambio termico è
utile l'analogia esistente tra
fenomeni termici ed elettrici,
derivante dalla uguaglianza formale
di
alcune
delle
equazioni
caratteristiche dei due fenomeni. E’
dunque possibile schematizzare un
sistema sede di flussi di calore con
una rete elettrica equivalente in
cui il flusso di calore corrisponde
alla corrente elettrica e!a temperatura al potenziale elettrostatico.
In
condizioni
di
regime
stazionario, il circuito elettrico è
caratterizzato dalla resistenza
elettrica dei vari rami, a cui
corrisponde fa resistenza termica
definita, per analogia, come
rapporto
tra
differenza
di
temperatura e calore scambiato
nell'unità di tempo.
Nella figura 32 è rappresentato il
circuito elettrico equivalente degli
strati doppi di figura 31; nella stessa
figura è inoltre evidenziata, per
ciascuno strato, l'espressione della
relativa resistenza termica.
L'inverso della resistenza termica è definito conduttanza
termica:
C =1 /R
(23)
Resistenze
e
conduttanze
termiche possono essere composte
con le stesse regole valevoli per le
corrispondenti grandezze elettriche.
Dunque, osservando che due
resistenze termiche si dicono in
serie se sono attraversate dallo
stesso flusso di calore, e in parallelo
se sono sottoposte alla stessa
differenza di temperatura, valgono
le seguenti regole di composizione:
- la resistenza complessiva di due o
più rami in serie si ottiene
sommando le conduttanze dei
singoli
rami;
- la conduttanza complessiva di due
o più rami in parallelo si ottiene
sommando le conduttanze dei
singoli rami.
Nei casi schematizzati nella
figura 31 le resistenze sono
disposte in serie; la resistenza
complessiva, pertanto, vale;
Rg= Σ i Ri
(24)
risultato già evidenziato nella figura
stessa.
• Esempio 6. Si calcoli la resistenza
termica unitaria, cioè riferita
all'unità di superficie, della parete
rappresentata nella f i g u r a 33. Si
determini quindi il flusso di calore
trasmesso nell'ipotesi che tra le
superfici estreme sia mantenuta
una differenza di temperatura pari a
20 °C. Per i materiali costituenti si
assumano i seguenti valori di
conduttività termica, desunti dalla
tabella 6:
laterizio pieno
0,90 W/(m °C)
polistirene espanso 0,04 W/(m °C)
Tab. 6 Valori di densità, calore specifico a pressione costante e conduttività termica (1)
(1) I valori di conduttività termica sono da intendersi utili di calcolo, comprensivi, cioè, di un’opportuna maggiorazione con cui si tiene
conto delle reali condizioni di esercizio del materiale. Per i materiali non omogenei, quali i materiali granulari, cellulari, fibrosi o porosi a
bassa densità, λ deve essere considerata una conduttività termica equivalente.
30
31
Fig. 30 Strato semplice omogeneo:
piano, cilindrico, sferico.
Fig. 31 Strato doppio omogeneo:
piano, cilindrico, sferico.
Fig. 32 Circuito elettrico equivalente
degli strati doppi omogenei di figura
31 ed espressione delle relative
resistenze termiche.
Fig. 33 Parete costituita da tre strati
piani omogenei (dimensioni espresse
in metri).
32
33
Per il laterizio forato si assuma una
conduttanza termica unitaria di 3,7
W/(m2 °C). Il laterizio forato non è
un materiale omogeneo. Spesso,
tuttavia, nei calcoli tecnici si
assume l'ipotesi semplificativa di
poterlo considerare tale.
La resistenza termica unitaria di un
generico strato piano vale:
Ri = si / λi
mentre,
per
definizione,
la
conduttanza dello strato è l'inverso
della sua resistenza termica. Con i
valori numerici relativi ai singoli
strati si ottiene pertanto:
R laterizio pieno = 0,18 m2 °C/W
R polistirene espanso=1m2° C/W
RIaterizio forato =0,27 m2° C/W
Poiché le tre resistenze sono disposte in serie, la resistenza termica
unitaria complessiva della parete
vale:
Rg= 0,18+1+0,27 =1,45 m2 °C/W
Infine, il calore trasmesso per unità
di tempo e di superficie è:
q=1/Rg ∆t=1/1,45x20=13,8W/m2
•Esempio 7. Si determini la
distribuzione di temperatura attraverso
la
parete
considerata
nell'esempio 6. Per la temperatura
delle superfici estreme (su perfici 1
e 4) si assumano rispettivamente i
valori 20 e 0 °C.
Dalla definizione di resistenza
termica unitaria, attraverso ogni
strato fa differenza di temperatura
vale:
│∆t│ =│q│ R
Noti, dunque, dai risultati
dell'esempio precedente, il flusso di
calare trasmesso e la resistenza
termica dei tre strati, è immediato il
calcolo
delta
variazione
di
temperatura attraverso ciascuno di
essi:
t1- t2 =13,8 x 0,27 = 3,7 °C
t2-t3=13,8x1=13,8 °C
t3-t4=13,8x0,18=2,5°C
Risulta, pertanto:
t2 =16,3 °C t3=2,5°C
Nella stessa figura 33 è
mostrata la distribuzione della
temperatura attraverso la parete; il
grafico evidenzia che la massima
variazione di temperatura si verifica
attraverso lo strato termicamente
isolante.
3.4 Trasmissione del
calore
per
irraggiamento
Qualunque superficie tende a
emettere energia sotto forma di
onde elettromagnetiche, dipendente
dalla natura della superficie stessa
oltre
- che dalla sua temperatura, e
nel contempo tende ad assorbire
l'energia
di
onde
elettromagnetiche emesse da altre
a
superfici
che incidano su di essa.
Da ciò risulta uno scambio netto di
energia tra la superficie e il suo
ambiente, a cui viene dato il nome
di trasmissione del calore per
irraggiamento.
Caratteristica di tale processo è
1a lunghezza d'onda delle onde
elettromagnetiche compresa entro
l'intervallo
della radiazione visibile
e, soprattutto, infrarossa (10-7 - 10-3
m).
y Al contrario di quanto avviene
per la conduzione e per fa
convezione, tale trasporto di
energia non richiede la presenza di
alcun mezzo intermediario, che
anzi lo può ostacolare o anche
impedire completamente.
3.4.1 Definizioni fondamentali
e leggi dell'irraggiamento per il
corpo nero
L'energia che per irraggiamento
incide su una superficie può
essere dalla stessa assorbita,
riflessa o trasmessa (fig. 41);
indicando con a, r, t, le frazioni
di
energia
rispettivamente
assorbita, riflessa e trasmessa,
per il principio di conservazione
dell'energia deve risultare:
a+r+t=1
(37)
Tali frazioni sono comunemente
note
come
coefficienti
di
assorbimento, di riflessione e di
trasmissione. Fissata la superficie, in
generale essi dipendono dalla
temperatura della stessa, dalla
lunghezza d'onda della radiazione
inci-dente
e
dall'angolo
di
incidenza. Per la maggior parte dei
corpi solidi risulta t=0; essi sono
dunque opachi per la radiazione
considerata.
Tuttavia,
come
osservato,
tali
coefficienti
dipendono dalla lunghezza d'onda
della radiazione incidente. Per
esempio, il vetro, pur trasparente
alla radiazione visibile (luce), è
opaco alla radiazione infrarossa; in
questo intervallo di lunghezza
d'onda dunque t = 0.
Si definisce corpo nero quella
superficie che assorbe tutta la
radiazione su di essa incidente, per
la quale è, cioè, a=1. II corpo nero
verifica alcune leggi che sono
fondamentali
nell'analisi
dei
processi di scambio termico per
irraggiamento.
Si definisce potere emissivo
integrale q l'energia emessa da un
corpo per unità di tempo e di
superficie. Per il corpo nero q risulta
funzione esclusivamente della sua
temperatura, secondo la seguente
legge, nota come legge di SiefanBoltzmann:
qo
(38)
=
σo
T4
dove σo é una costante pari a 5,67
x 10-8W/(m2K4).
Una superficie emette energia
sotto
forma
di
onde
elettromagnetiche
di
diversa
lunghezza d'onda, ciascuna delle
quali contribuisce alfa formazione
del potere emissivo integrale. Si
definisce potere emissivo specifico
ε la potenza emessa dall'unità di
superficie
per
intervallo
di
lunghezza d'onda unitario. Per il
corpo nero la distribuzione di ε in
funzione di λ è stata evidenziata da
Planck; tale correlazione è mostrata
nel grafico di figura 42, per diversi
valori
di
temperatura della
superficie emittente. All'aumentare
della temperatura, lo spettro di
emissione del corpo nero si sposta
verso valori di lunghezza d'onda
inferiori. Il valore di λ, per il quale si
verifica il massimo di εo, λ max, e i1
corrispondente
valore
della
temperatura sono correlati dalla
relazione:
λ
max
T=
0,002897
mK
(39)
nota come legge di Wien o del
regresso.
La distribuzione spaziale della
radiazione
emessa
da
una
qualunque superficie è poi
individuata dal potere emissivo
angolare iα, potenza emessa dall'unità di superficie entro l'angolo
solido unitario nella direzione
individuata dall'angolo α rispetto
alla normale alla superficie. Per
il corpo nero la legge di Lambert
afferma che iα
varia come
cosα,assumendo dunque il valore
massimo
nella direzione n,
normale alla superficie:
i oα = i on cos α
L'emissione di energia verificante
la legge di Lambert viene
denominata emissione diffusa.
3.5 Contemporanea presenza di
differenti modalità di scambio
termico
Spesso il processo di scambio
termico avviene tra due ambienti a
diversa temperatura, attraverso una
parete di separazione, come
schematizzato nella f i g u ra 45
dove, a titolo esemplificativo, si
assume che la temperatura
dell'ambiente 1 sia superiore a
quella dell'ambiente 2. Se il
regime è stazionario e la parete è
sede di flusso termico monodimensionale,
il
problema
è
schematizzabile
me-diante
l'analogia elettrica, come mostrato
nella figura 46.
La superficie S1 e il fluido f1
cedono calore alla parete per
irraggiamento e per convezione
attraverso le resistenze termiche Rr
e Rc, rispettivamente; il calore è
trasmesso per conduzione attraverso la parete, la cui resistenza
termica è R, e quindi ceduto alla
superficie S2 e al fluido f2 ancora
per irraggiamento e per convezione, rispettivamente.
Un
caso
di
particolare
importanza pratica si presenta
quando TS1=T f1 e TS2= Tf2; in tale
condizione le resistenze termiche
Rr e Rc risultano collegate in
parallelo e, pertanto, i loro
inversi pos- sono essere sommati
per dare luogo a una conduttanza
che tenga conto del calore
scambiato, in ciascun ambiente sia
per
convezione
che
per
irraggiamento. Facendo riferimento
all'unità di superficie di parete,
questa è !'adduttanza unitaria α,
somma
dei
coefficienti
di
convezione e di irraggiamento:
α
=
hc
+
hr
(49)
Nel caso in cui la definizione (49) sia
applicabile, la potenza termica
scambiata tra i due ambienti,
attraverso la parete di area A, è
esprimibile mediante la relazione:
Q = KA (T1- T2)
(50)
con K definito coefficiente
globale di scambio termico. Il suo
inverso rappresenta la resistenza
termica, per unità di superficie di
parete, tra i due ambienti, quale
(40)risulta dalla somma delle singole
resistenze termiche poste in serie. Se
la parete è costituita da uno strato
piano semplice o, più in generale,
multiplo, K assume l'espressione:
K =1 /(1 /a1 + Σi si / λi + 1 /α 2) (51)
II problema al quale si riferisce la (51)
è schematizzato nella figura 47,
insieme al relativo circuito elettrico
equivalente. Più in generale la
sommatoria presente nella (51) può
contenere resistenze termiche anche
non conduttive, qualora, per esempio,
nella
parete
siano
presenti
intercapedini vuote.
Nel caso di strati cilindrico e
sferico, il coefficiente globale di
scambio
termico
assume
espressioni analoghe; si deve
tuttavia osservare che in queste
situazioni l'espressione di K non è
individuata univocamente poiché
l'area della superficie attraversata
dalla potenza termica non si
conserva costante attraverso la
parete.
• Esempio 11. Si calcoli il
coefficiente globale di scambio
termico per la parete dell'esempio
6, nelle stesse condizioni
ambientali specificate negli esempi
7-9.
Si determini, quindi, la potenza
termica scambiata per unità di
superficie tra gli ambienti interno
ed esterno.
Poiché in entrambi gli ambienti
la temperatura dell'aria coincide
con la temperatura delle superfici
con cui la parete scambia calore per
irraggiamento, risulta applicabile la
definizione di adduttanza unitaria
(49). Indicando con i pedici i ed
e gli ambienti interno ed
esterno, rispettivamente, si ha:
αi=hci+h ri=1,65+5,08=
= 6,73 W/(m2 °C)
αe =h ce +h re =19,3+4,18=
= 23,48 W/(m 2 °C)
Per i valori di αi e αe nelle
situazioni pratiche si rimanda
alla Tabella 9.
Ricordando, poi, il risultato dell'e
sempi o 6, il coefficiente globale di
scambio termico, definito dalla (51),
è:
K=1/(1/6,73 + 1,45 + 1/23,48) =
=0,61 W / (m2 °C)
Infine, dalla (50) segue:
q=
K(ti-te) = 0 , 6 1 x ( 2 0 - 0) =
=12,22 W/m2
Si deve osservare che per il
calcolo dei, coefficienti di irraggiamento e di convezione naturale
sono stati assunti per la parete i
seguenti valori di temperatura
superficiale:
tpi= 1 8 ° C
tpe=1 °C
Tuttavia, nel presente esempio, i
valori di tp sono "a priori" incogniti.
Questi sono calcola-bili, una
volta noti q e α, mediante
l'equazione di bilancio termico
all'interfaccia tra parete e ambiente:
│q │= α │t p- tambiente│
Esplicitando tp, si ha:
tpi = ti - q / αj= 20-12,22/
/6,73 =18,2°C
tpe
= te+q/αe= 0 + 1 2 , 2 2 /
/ 2 3 , 4 8 = 0,5°C
Con questi valori di f si
dovrebbe ripetere il calcolo dei
coefficienti di irraggiamento e di
convezione e, infine, di q. Tenendo
conto di questi si dovrebbe quindi
ricalcolare tp, e così di seguito
finche i valori di tp non risultassero
sufficientemente prossimi a
quelli calcolati nella precedente iterazione. Tuttavia, nel
presente esempio i valori di tp
impiegati per il calcolo dei
coefficienti di irraggiamento e di
convezione (18 e 1 °C) possono
ritenersi sufficientemente approssimati in considerazione della
modesta
dipendenza
del
coefficiente di irraggiamento da tp
e del relativamente modesto valore
del coefficiente di convezione
naturale verso l'ambiente interno.
Inoltre, dalla espressione di K si può
notare che la resistenza termica di
conduzione (resistenza termica
t"della parete) è notevol-mente
superiore rispetto alle, altre poste in
Fig. 45 Trasmissione di calore tra
due ambienti attraverso una parete.
Fig. 46 Circuito elettrico equivalente
del problema termico schematizzato
nella figura 45.
Fig. 47 Trasmissione di calore tra
due ambienti isotermi, attraverso
uno strato piano multiplo e relativo
circuito elettrico equivalente. Il
circuito b) è ottenuto dal circuito
a)componendo le conduttanze in
parallelo(convezione e
irraggiamento), attraverso la
definizione di adduttanza unitaria,
nonchè le resistenze in serie degli
stati costituenti la parete.
45
47
46
Tab.9
serie a essa; il valore di
queste, pertanto, non risulta
particolarmente critico per il calcolo di K e, quindi, di q. Tale
considerazione è confermata dal
risultato dell'esempio 6 in cui il
valore del flusso di calore
scambiato attraverso la sola parete,
trascurando dunque le resistenze
termiche e di convezione e
irraggiamento tra la parete e gli
ambienti,
non
si
discosta
eccessivamente dal valore ottenuto
nel caso del presente esempio. Si
deve, comunque, osservare che tale
conclusione dipende dal particolare
problema considerato in cui la
presenza di uno strato termicamente
isolante incrementa notevolmente la
resistenza termica della parete.
3.6 Nomenclatura
a
coefficiente di
assorbimento;
A
area (m2);
cp
calore specifico a
pressione
costante (J/(kg °C));
C
conduttanza termica
(W/ °C);
e
emissività emisferica
totale;
emissività emisferica
eλ
specifica;
Fij
fattore di forma tra la
superficie i e la superficie
j;
g
accelerazione di
gravità (m/s2);
Gr
numero di Grashof;
coefficiente di
h, hc
convezione (W/(m2 °C));
hr
coefficiente di
irraggiamento (W/(m2 °0));
iα
potere emissivo angolare
(WI(m2 sr));
K
coefficiente globale di
scambio termico (W/(m2 °C));
n
coordinata in direzione
normale alla superficie, con
verso uscente (m);
Nu
Pr
q
q
Q
(W);
numero di Nusselt;
numero di Prandtl;
flusso di calore (W/m2);
potere emissivo integrale
(W/m2);
potenza termica scambiata
r
calore latente di
vaporizzazione (J/kg);
r
coefficiente di riflessione;
r
vettore posizione
adimensionale;
R
resistenza termica (°C/W)
ovvero resistenza termica
unitaria (°Cm2/W);
Ra
numero di Rayleigh;
Re
numero di Reynolds;
s
spessore (m);
t
temperatura Celsius (°C);
t
coefficiente di
trasmissione;
T
temperatura Kelvin (K);
V
velocità media (m/s);
z
quota (m).
Simboli greci
α
adduttanza unitaria
(W/(m2 °C));
α2
diffusività termica
(m2ls);
β
riscaldamento di edifici, e relativi
talloncini di aggiornamento, UNI,
Milano
UNI norma 7745, Determinazione
della conduttività termica con íl
metodo della piastra calda con
anello di guardia, UNI, Milano
1977
UNI norma 7891, Determinazione
della conduttività termica con il
metodo dei termoflussimetri, UNI,
Milano 1978
coefficiente di
dilatazione termica
(1/°C);
ε
potere emissivo specifico
(W/m3);
λ
conduttività termica
(W/(m°C));
λ
lunghezza d'onda (m);
v
viscosità cinematica
(m2/s);
ρ
densità (kg/m3);
σo
costante di
Stefan~Boltzmann
(5,67108 W/(m2 K4)).
τ
tempo adimensionale
•
Pedici
f
e
i
p
1, 2
o
r
fluido;
esterno;
interno;
parete;
superficie 1, superficie 2;
corpo nero.
3.7 Bibliografia
ASHRAE
Handbook
Fundarnentals, American Society
of Heating, Refrigerating and AirConditioning Engineers, Atlanta
1985
CNR-PFE,
Repertorio
delle
caratteristi che termifisiche dei
componenti edilizi opachi e
trasparenti, CNR-PFE, Roma 1982
Cocchi A., Elementi di termofísica
generale e applicata, società
Editrice Esculapio, Bologna 1990
Guglielmini G. e Pisoni C.,
Elementi di trasmissione del calore,
Editoriale Veschi, Milano 1990
KREITN
F.,
Principi
di
trasmissione del calore, Liguori
Editore, Napoli 1974 Pirrs D. R. e
Sissom L. E., Trasmissione del
calore, Etas Libri, Milano 1982
UNI norma 7357-74, Calcolo del
fabbisogno
termico
per
i1