Instabilita` 2 - Politecnico di Milano

Politecnico di Milano – Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale
INSTABILITA’
ESPRESSIONE DEL TENSORE DI DEFORMAZIONE
NELLA FORMULAZIONE DI VON KARMAN
DISPENSE DEL CORSO DI
STRUTTURE E MATERIALI AEROSPAZIALI II
VITTORIO GIAVOTTO – CHIARA BISAGNI
ANNO ACCADEMICO 2001/2002
Materiale didattico per uso personale degli studenti. Non è consentito l’uso di questo materiale a scopo di lucro. E’ vietato
utilizzare dati, informazioni e immagini presenti nel testo senza autorizzazione.
Strutture e Materiali Aerospaziali II - Anno 2001/2002
Copyright Dipartimento Ingegneria Aerospaziale - Legge Italiana sul Copyright 22.04.1941 n. 633
Espressione del tensore di deformazione nella formulazione di Von Karman
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ESPRESSIONE DEL TENSORE DI DEFORMAZIONE
NELLA FORMULAZIONE DI VON KARMAN
Si consideri un pannello di materiale isotropo. Per pannello si intende un corpo continuo
tridimensionale, sede di un sistema completo di sforzi.
Si assumono due ipotesi :
1. Pannello sottile, ovvero il pannello ha una dimensione, lo spessore h, costante e molto più
piccola delle altre due dimensioni.
2. Curvatura piccola, ovvero il pannello, se è curvo, ha un raggio di curvatura R molto grande
rispetto alla semilunghezza d’onda λ tipica della deformata corrispondente al carico critico.
Sul pannello è identificabile la superficie media, che è il luogo dei punti che dividono a metà lo
spessore h.
Siano x,y le coordinate sulla superficie media, z la distanza dalla superficie media ed N il versore
normale alla superficie media.
Sia P un punto generico del pannello ed O il piede della perpendicolare del punto P sulla superficie
media. P è definito dalle coordinate di O sulla superficie media e dalla distanza z di P da O:
P = P(x,y,z)
P=O+zN
Si consideri lo spostamento s del generico punto P del pannello:
s(x,y,z) = u(x,y) + w(x,y)N + v(x,y,z)
dove: u(x,y) è la componente dello spostamento di O nel piano medio;
w(x,y)N è lo spostamento di O fuori dal piano medio;
v(x,y,z) è pari a s(P) -s(O)
Si ragiona nell’approssimazione di Donnel-Von Karman, in cui si considerano spostamenti non
infinitesimi.
Mentre u e v sono infinitesimi, w è piccolo ma non infinitesimo. Quindi si trascureranno i prodotti
w v ed w u , ma non i prodotti w w .
Si assume anche l’ipotesi di Kirchhoff, cioè l’ipotesi di conservazione delle normali. Si assume cioè
che i punti che stanno su una normale alla superficie media prima della deformazione rimangano, a
deformazione avvenuta, sulla normale alla superficie deformata.
Con questa ipotesi si trascura, nell’espressione dell’energia di deformazione del pannello, la parte
dovuta allo scorrimento delle normali rispetto alla superficie media, che normalmente è
insignificante, almeno finché il pannello può esser considerato sottile.
Si ha quindi:
vx = - z w/x
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Espressione del tensore di deformazione nella formulazione di Von Karman
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Analogamente si ha:
vy = - z w/y
Di conseguenza:
vi = - z w/i (i = 1,2)
e quindi:
v = - z grad(w)
Si aveva definito la metrica nella configurazione indeformata:
ds2 =dP • dP = aik dxi dxk
Si vuole ora definire la metrica nella configurazione deformata:
Q=P+s
dQ =Q/i dxi = (P/i + s/i ) dxi
≈
≈
d s 2 = dQ • dQ = (P/i + s/i ) • (P/k + s/k ) dxi dxk = a ik dxi dxk
≈
d s 2 = (aik + si/k +sk/i + s/i • s/k ) dxi dxk
Il tensore di deformazione, considerando solo la deformazione nei piani paralleli alla superficie
media, cioè nei piani a z costante, è dato da:
εik =
1 ≈
1
( a ik - aik) = (si/k +sk/i + s/i • s/k)
2
2
cioè contiene anche un termine non lineare.
Essendo:
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Q=P+s
dQ =Q/i dxi = (P/i + s/i ) dxi
s(x,y,z) = u + w N - z grad w
si ottiene:
≈
d s 2 = dQ • dQ =
= [P/i + u/i + w/i N + w N/i - z (grad w)/i ] • [P/k + u/k + w/k N + w N/k - z (grad w)/k ] dxi dxk
Per le ipotesi fatte, si considerano trascurabili i termini in cui si hanno i seguenti prodotti e le loro
derivate:
w u , u • u perché infinitesimi e
w w z perché piccoli
Inoltre, essendo nullo il prodotto scalare tra due vettori perpendicolari, rimane:
≈
d s 2 = [ aik + ui/k - w bik - z w/ik + uk/i +w/i w/k - w bik + w2 N/i • N/k - z w/ik ] dxi dxk
Si valuta ora l’ordine di grandezza dei due termini w/i w/k e w2 N/i• N/k . Si usa la notazione ≅ per
indicare l’uguaglianza degli ordini di grandezza.
Se le coordinate xi sono delle lunghezze misurate sulla superficie media, in base a ciò che è stato
visto in precedenza risulta:
aik ≅ 1
bik ≅ 1/R
dove R è il raggio di curvatura minimo
Essendo -N/i • P/j = bij , si ha:
w2 N/i • N/k = w2 bij bkj ≅ w2 / R2
Nei fenomeni di instabilità si formano onde del tipo:
w = A sin
πx
λ
quindi si ha:
w≅A
w/ x =
π
π x Aπ
A cos
≅
λ
λ
λ
Di conseguenza:
π
w/i w/k ≅ A2  
2
λ
 A
w N/i • N/k ≅  
R
2
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Espressione del tensore di deformazione nella formulazione di Von Karman
w2 N / i • N / k
 λ 

≅ 
w/ i w/ k
π R 
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Essendo λ la semilunghezza d’onda tipica del fenomeno di instabilità, dall’ipotesi fatta di curvatura
piccola, il termine w2 N/i • N/k risulta trascurabile rispetto a w/i w/k .
Pertanto:
≈
d s 2 = ( aik + ui/k - w bik -z w/ik + uk/i + w/i w/k - w bik - z w/ik ) dxi dxk =
= ( aik + ui/k + uk/i + w/i w/k - 2 w bik - 2 z w/ik ) dxi dxk =
≈
= a ik dxi dxk
Il tensore di deformazione risulta:
εik =
εik =
1 ≈
( a ik - aik )
2
1
(ui/k + uk/i + w/i w/k ) - w bik - z w/ik
2
Il tensore di deformazione risulta costituito da un termine membranale, che non dipende da z, e da
un termine flessionale, che dipende da z:
εik = ξik - z w/ik
ξik =
1
(ui/k + uk/i + w/i w/k ) - w bik
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