VEDI - Liceo Scientifico G. Carducci

Anno scolastico 2014/2015
Liceo Scientifico Paritario “G.Carducci”
MATEMATICA – COMPITI “ESTIVI” - CLASSE 4A
a) LETTURA DI UN LIBRO RIGUARDANTE LA MATEMATICA
Si consigliano i seguenti libri:
- Denis Guedj, IL TEOREMA DEL PAPPAGALLO, Una piccola grande epopea dei numeri che
tra humor, e suspense svela la trascinante vitalità dell’”arida” matematica, TEA
Dove comincia questa storia? In Amazzonia, quando un cercatore d’oro, che ha deciso di raccogliere (con
mezzi non sempre leciti) tutte le opere matematiche più importanti del
mondo, scompare misteriosamente? In un capannone del mercato dalle
pulci di Clignancourt, a Parigi, dove un ragazzino strappa un pappagallo
dalle mani di due loschi individui e se lo porta a casa, battezzandolo poi
con il singolare nome di Nofutur? Oppure nell'antico Egitto, quando
Talete, grazie alla collaborazione di uno sconosciuto fellah, riesce a
misurare l'altezza della piramide di Cheope? Dove finisce questa storia?
In Sicilia, in un altipiano spazzato dal vento in cui sorge la presunta
tomba di Pitagora? In una radura del Sudamerica, con decine di uccelli
di ogni specie, taglia, colore, piumaggio, che ascoltano, in assoluto
silenzio, un loro simile? Oppure a Cambridge, quando un giovane
studioso-offre al mondo la dimostrazione di uno dei teoremi più discussi
della Storia, quello di Fermat? In realtà, non ha molta importanza
decidere dove comincia (o finisce) questa storia. Come una retta, si
allunga all'infinito in entrambi i sensi; come un numero, può essere
sempre aumentata di un’unità. Perché é la storia dell’eterna sfida
dell’uomo all’ignoto, dell’incessante desiderio di poter finalmente
conoscere il mondo che ci circonda. E’ la storia della matematica.
Sorpresi? Allora provate a seguire tre vivaci ragazzini, la loro enigmatica madre, un libraio-filosofo e il
pappagallo Nofutur in questa avventura. Scoprite con loro com’è stato inventato lo zero, gli oscuri segreti
dei matematici arabi, le incredibili vicissitudini di Cardano e Tartaglia; percorrete in loro compagnia la
grande biblioteca di Alessandria, la lunghissima (interminabile?) successione dei decimali di . E sarete
ancora più sorpresi. Perché, alla fine, l'«arida», «dura» matematica vi sembrerà avvincente e trascinante
proprio come un romanzo.
- Amir D. Aczel, L’ENIGMA DI FERMAT, La soluzione di un giallo matematico durato più di tre
secoli, Il Saggiatore
Nel 1637 il matematico francese Pierre de Fermat scrisse in una breve
nota di aver dimostrato che, mentre il quadrato di un numero intero può
essere scomposto nella somma dei quadrati di altri due numeri, come si
evince dal teorema di Pitagora, ciò non è possibile per il cubo e per tutte
le potenze superiori a due.
La prova di questa affermazione non venne mai trovata tra le carte del
matematico, e quello che venne definito "l'ultimo teorema di Fermat"
rimase irrisolto per secoli.
Nel 1993 il professor Andrew Wiles, dell'università di Princeton,
annunciò di aver risolto l’enigma dopo sette anni di lavoro.
Il libro di Aczel è l'appassionante ricostruzione di questa straordinaria
vicenda scientifica, fatta di grandi sodalizi, intrighi e sentimenti.
Ma la storia del teorema di Fermat ripercorre anche le tappe
fondamentali dell'avventura umana tra i numeri, con i suoi retroscena e i
suoi misteri.
Anno scolastico 2014/2015
Liceo Scientifico Paritario “G.Carducci”
- Marcus du Sautoy, L’ENIGMA DEI NUMERI PRIMI, L’ipotesi di Riemann, il più grande
mistero della matematica, BUR
Nel 1866, mentre l’esercito prussiano entrava a Gottinga, il sommo matematico tedesco Bernhard
Riemann lasciava in fretta e furia la città per rifugiarsi nell’amata Italia,
abbandonando pagine e pagine di appunti che una governante troppo
solerte si affrettò a bruciare. Fra quelle carte perdute si nascondeva forse
la soluzione di un enigma millenario: il mistero dei numeri primi.
Nell’universo razionale della matematica, i numeri primi, cioè divisibili
soltanto per se stessi e per 1, si susseguono con un ritmo inafferrabile,
apparentemente illogico: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31... Sembra
quasi che la natura li abbia scelti a caso. Ma non sono numeri qualsiasi,
sono gli “atomi dell'aritmetica”, gli elementi di base con cui si
costruiscono tutti gli altri numeri naturali. Cogliere un ordine nella loro
sequenza, trovare una regola che permetta di stabilire quale sia, ad
esempio, il miliardesimo numero primo, avrebbe implicazioni
fondamentali, e non solo per la matematica.
Per questo l’ipotesi che Riemann aveva formulato sette anni prima di
fuggire da Gottinga è ancora tanto importante: se fosse vera,
significherebbe che sotto quell'oscura cadenza di numeri si cela una
delicata armonia densa di conseguenze. Ma dopo un secolo e mezzo
nessuno è stato ancora capace di dimostrarla. Chi ci riuscisse oggi si assicurerebbe, oltre a una fama
imperitura, il premio da un milione di dollari che di recente un imprenditore americano innamorato della
matematica ha messo in palio. Proprio a partire dall'ipotesi di Riemann, in questo libro Marcus Du Sautoy
presenta con chiarezza esemplare i principali enigmi risolti e irrisolti del mondo dei numeri primi,
spiegando quale sia la loro importanza attuale in campi come la fisica quantistica e la sicurezza
informatica.
Per farlo racconta la storia e le mirabolanti avventure (non solo intellettuali) dei grandi matematici che in
ogni epoca si sono spinti in quel territorio misterioso. Da Euclide, che nel quarto secolo avanti Cristo
dimostrò l’esistenza di infiniti numeri primi, fino agli odierni continuatori dell'opera di Riemann, come il
matematico pavese Enrico Bombieri, questa è la storia di uomini e donne eccentrici e geniali, accomunati
dalla stessa ossessione e da un’inestinguibile sete di conoscenza.
b) ESERCIZI: vengono proposte 6 verifiche, con indicato il tempo di svolgimento.
Si richiede di svolgerle in quel tempo, darsi una autovalutazione e poi, eventualmente, terminare gli
esercizi non svolti.
Il docente
prof. Roberto Occhetta
Milano, 15/06/2015
Liceo Scientifico Paritario “G.Carducci”
Anno scolastico 2014/2015
VERIFICA DI MATEMATICA n° 1
1) Risolvere le seguenti equazioni con la condizione 0  x  360 o ( 0  x  2 )
a) tg 3x  24  1  0
Valutazione: 0,75 punti
b) 4 cos3x  15  3cotg45  22  cos(15  3x)
Valutazione: 1,50 punti

2 


c) sin 3 x    cos 5 x   
5
3 


Valutazione: 1,75 punti
2) Risolvere le seguenti equazioni:
a) 2tgx  cotgx  3
Valutazione: 1,00 punti
b) sin 2 2 x  2  2 cos 2 x
Valutazione: 1,25 punti
c) 2 sin 3x cos 7 x  2 cos 7 x  2 sin 3x  2  0
Valutazione: 1,75 punti
d) tg 2 x  cosec2 x  1
Valutazione: 1,00 punti
Tempo a disposizione: 60 minuti
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Anno scolastico 2014/2015
VERIFICA DI MATEMATICA n° 2
1) Risolvere le seguenti disequazioni con la condizione 0  x  360 o ( 0  x  2 )
a)
2 sin x  3
0
2 cos x
b) sin 2 x  tgx
c)
2 2 sin x  6
0
3tg 2 x  1
Valutazione: 1,00 punti
Valutazione: 1,25 punti
Valutazione: 1,50 punti
2) Risolvere le seguenti equazioni:
a)
sin x  3
3
sin x
Valutazione: 1,25 punti
b) cos x  3 sin x  3
Valutazione: 1,50 punti
c) 2 2  sin x  1  2 sin x
Valutazione: 1,50 punti
d)
2 cos x
2tgx

1
cotgx
2
Tempo a disposizione: 60 minuti
Valutazione: 1,00 punti
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Anno scolastico 2014/2015
VERIFICA DI MATEMATICA n° 3
Risolvere i seguenti problemi
1) Di un triangolo rettangolo conosciamo la somma dei cateti, 21 cm, e la tangente di uno degli
angoli acuti, 3/4. Determinare il perimetro e l’area del triangolo.
Valutazione: 1,75 punti
2) Una circonferenza ha diametro AB  60 . La corda AC misura 40 e il suo prolungamento
incontra in T la tangente alla circonferenza condotta per il punto B. Calcola BT , il perimetro e
l’area del triangolo CTB.
Valutazione: 2,25 punti
3) Data la circonferenza di diametro AB  2r e centro O, considera una corda CD perpendicolare
ad AB e in C traccia la tangente alla circonferenza fino a incontrare in E il prolungamento del
CD CE

diametro. Indicato CBˆ O  x , scrivi l’equazione della funzione f ( x) 
e disegna il suo
AB EO
grafico evidenziando il tratto che si riferisce al problema.
Valutazione: 2,50 punti
4) Dato il segmento AB di lunghezza unitaria, considera la semiretta AP che forma con AB un
angolo acuto PAˆ B  x . Sia Q la proiezione di B su AP. Costruisci il triangolo AQC rettangolo e
isoscele di ipotenusa AQ, nel semipiano generato da AP non contenente B. Determina i valori di x
per cui l’area del quadrilatero ABQC risulta minore di 1/8.
Valutazione: 2,50 punti
Tempo a disposizione: 70 minuti
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Anno scolastico 2014/2015
VERIFICA DI MATEMATICA n° 4
Risolvere i seguenti problemi
1) Risolvere il triangolo ABC noti: b  12 cm ,   60 e  

4
, e calcolarne la misura dell’area.
Valutazione: 1,75 punti
2) Determina gli angoli di un trapezio isoscele sapendo che la base maggiore AB  14 , la base minore
CD  8 e il rapporto tra il quadrato della diagonale e il quadrato del lato obliquo è 37/9.
Valutazione:2,00 punti
3) Due cariche puntiformi, Q1 = 2,0∙10-1 μC e Q2 = - 4,0∙10-1 μC, sono poste nel vuoto in un sistema
di riferimento cartesiano xOy (distanza in mm), rispettivamente nei punti (0;2) e (1;0).
Calcolare intensità direzione e verso della forza di Coulomb fra le due cariche e del campo elettrico
che esse generano nel punto P (2;1).
Valutazione: 2,00 punti
4) E’ data la semicirconferenza di diametro AB  2r e centro O. Nel triangolo ABC in essa inscritto
poni BAˆ C  x . Sulla semiretta OC considera il punto P tale che OC  CP .
2
2
a) Verifica che PA  PB  10r 2
b) Determina per quali valori di x è verificato che
c) Determina il valore del rapporto
PA 2
PB
2
PA 2
PB

per x 
6
2
2.
Valutazione: 2,25 punti
5) Per calcolare l’area di un appezzamento di terreno a forma di quadrilatero convesso un agronomo
ne misura i lati trovando: AB = 58 m, BC = 53 m, CD = 104 m e DA = 82 m. Misura poi l’angolo
DAˆ B  11242' . Qual è l’area del terreno?
Valutazione: 1,00 punti
Tempo a disposizione: 90 minuti
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Anno scolastico 2014/2015
VERIFICA DI MATEMATICA n° 5
Risolvere, a propria scelta, una sola equazione/disequazione per ognuno dei seguenti 4 gruppi.
Qualora fossero risolti entrambi gli esercizi di uno o più gruppi, sarà valutato solo il primo risolto, a
meno di chiara diversa indicazione.
La valutazione di seguito indicata si intende come punteggio massimo per esercizio
Gruppo 1 – Equazione esponenziale
2 x 1
 32
a)
8
2
b) 4 x  2  2 x 1  12  0
x
c)
1
3 x 1
2 x 0
9
1
Valutazione: esercizio a) 1,25 punti; b) 1,75 punti; c) 2,25 punti
Gruppo 2 – Disequazioni esponenziale
a) 3
x 1
3 x 1  5 x 1
9
 2 x
b)
1 x
27
3
 3  36
x
2 x 1  41 x
c)
3
61 x
Valutazione: esercizio a) 1,25 punti; b) 1,75 punti; c) 2,25 punti
Gruppo 3 – Equazione logaritmica
a) log2 (7 x 2  16x  4)  2
b) Log (3  2 x)  Log (3  2 x)  Log 9  2 Log (2 x  1)
3
c) log2 ( x  1)  log 1 x  log 1 x  1  log3 27
2
2
4
Valutazione: esercizio a) 1,25 punti; b) 1,75 punti; c) 2,25 punti
Gruppo 4 – Disequazione logaritmica
a) Log ( x 2  15x)  2
b) Logx 
2
1  0
Logx
c) 3(log2 x  log 1 x)  log3 81  log2
2
1
x
Valutazione: esercizio a) 1,25 punti; b) 1,75 punti; c) 2,25 punti
Tempo a disposizione: 60 minuti
N.B.:
dopo aver svolto la verifica come da indicazioni iniziali (un esercizio per gruppo),
risolvere anche tutti gli altri esercizi.
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Anno scolastico 2014/2015
VERIFICA DI MATEMATICA n° 6
Determinare il dominio delle seguenti funzioni
1) f ( x) 
3) f ( x) 
x 2  2x  1
2 x 3  5x 2  x  2
ln x
ln( x  1)
2) f ( x)  sin 2 x  sin x , in [-;]
4) f ( x) 
x 2 1
5) f ( x )  x e
2
7) f ( x) 
9) f ( x) 
6) f ( x) 
4 x 2
x 2  4  4x  8
1  3tgx
2 sin x  3
, in [0;2]
x2 1
4 x  2 x 3  12
8) f ( x)  ln x 2  7 x  12
10) f ( x ) 
La valutazione è la stessa per ogni funzione (0,90 punti)
Tempo a disposizione: 90 minuti
x 3  5 x 2  3x  1
2x  1
3 sin x  cos x  1
, in [0;2]
sin 2 x