I sistemi cosmologici - Storia della Matematica

I sistemi cosmologici
Enrico Rogora
Il moto apparente delle stelle fisse venne spiegato agli albori della scienza
ellenica semplicemente come la rotazione di una sfera cui le stelle fisse sono
rigidamente attaccate. I pianeti non appaiono rigidamente attaccati alla
sfera delle stelle fisse e presentano un moto assai complicato. In particolare,
accanto ad un movimento apparente da est a ovest presentano periodicamente
un movimento retrogrado da ovest verso est.
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La cosmologia di Eudosso
Secondo Eudosso un pianeta è attaccato ad un sistema di sfere rotanti collegate rigidamente alla sfera delle stelle fisse, cfr. [4].
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2 Il sistema tolemaico
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Il sistema tolemaico
Il modello tolemaico non è geocentrico ma geostazionario. Per rendere conto dei moti retrogradi dei pianeti, delle variazioni di luminosità dovute a
variazioni della distanza dalla terra e delle variazioni di velocità, Tolomeo
considera il cerchio deferente il punto eccentrico, l’epiciclo e l’equante.
L’eccentrico è il centro del cerchio principale, o cerchio deferente (C), e non
coincide con la posizione della terra (T), l’epiciclo è il cerchio secondario (tratteggiato in figura), l’equante è il punto rispetto al quale la velocità angolare
del punto D, centro dell’epiciclo, resta costante (E).
3 Il sistema copernicano
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Il sistema copernicano
Con il Concilio di Trento comincia la controriforma, che con l’Inquisizione, la
congregazione dell’Indice e l’impegno militare e politico per la riconversione
dei protestanti alla fede cattolica crea un clima poco propenso allo sviluppo
del libero pensiero. È in questo clima che Copernico elabora la sua teoria,
inizialmente eliocentrica ma successivamente eliostazionaria, che cercherà per
tutta la vita di conciliare con la dottrina ufficiale della Chiesa1 . (Cfr. Letture,
Copernico, prefazione e proemio).
Tra il 1507 e il 1512 Copernico compone de hypothesibus motuum coelestium commentariolus, testo che ebbe scarsissima diffusione, probabilmente
per volere dello stesso Copernico, in cui enuncia sette assiomi che stanno alla
base del suo sistema:
1. Non esiste un solo centro di tutte le sfere celesti; la Terra è il centro di
rotazione della Luna, il Sole è il centro di rotazione degli altri pianeti.
2. Il Centro della Terra non coincide con il centro dell’Universo, ma solo
con il centro della gravità e della sfera della Luna.
3. Tutte le sfere celesti ruotano attorno al sole.
4. Il rapporto tra la distanza Terra-Sole e l’altezza del firmamento è trascurabile rispetto al rapporto fra il raggio terrestre e la distanza Terra
- Sole.
5. Tutti i moti che appaiono nel firmamento non derivano da moti del
firmamento, ma dal moto diurno della Terra.
6. Ciò che ci appare come movimenti del Sole non deriva dal suo moto, ma
dal moto della Terra e della nostra sfera con la quale ruotiamo attorno
al Sole come altro pianeta.
7. L’apparente moto retrogrado e diretto dei pianeti non deriva dal loro
moto, ma da quello della Terra.
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Una teoria eliocentrica era già stata formulata in epoca ellenistica da Aristarco di Samo. I contemporanei di Aristarco gli mossero obiezione che le stelle fisse non modificavano
la propria posizione nella volta celeste nel corso dell’anno, come invece avrebbero dovuto
fare se la Terra fosse stata in movimento ed Aristarco correttamente replicò la ragione per
cui non si osservavano questi moti apparenti si spiega con l’enorme distanza delle stelle
rispetto alle distanza tra la terra e il sole. L’idea che il sole fosse al centro dell’universo
è ancora più antica e fu sostenuta da Eraclide Pontico, contemporaneo di Aristotele, che
sollevò le medesime obiezioni che vedremo riprese da Tycho Brahe.
4 Il sistema di Tycho Brahe
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Dal punto di vista cinematico, la descrizione dei moti dei pianeti fatta
in accordo con il sistema copernicano non è migliore di quella fatta con il
sistema tolemaico. Allora perché il sistema copernicano è migliore di quello
tolemaico?
Secondo Keplero, ci sono almeno cinque ragioni, cfr. [2], pp. 135-37.
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Il sistema di Tycho Brahe
Il più grande astronomo osservativo del cinquecento, e certamente uno dei
più grandi in assoluto, fu il danese Tycho Brahe, che osservò nel 1572 una
luminossisima stella nella costellazione di Cassiopea, che scomparve nel 1574.
La conseguenza rivoluzionaria di questa osservazione fu che veniva a cadere
il dogma dell’imutabilità e dell’incorruttibilità dei cieli, rendendo concepibile l’idea che la materia dei cieli potesse obbedire alle medesime leggi della
materia terrena.
Tycho Brahe fu contrario al sistema Copernicano e cercò di escogitare un
sistema misto con la terra al centro dell’universo, con il sole e la luna che
ruotano intorno ad essa, e con i pianeti che ruotano intorno al sole.
Condivide i seguenti argomenti degli aristotelici contro il moto della terra:
Dimmi come può accadere che una sfera di piombo lasciata cadere da
una torre altissima raggiunga esattamente il punto della terra posto sulla sua
perpendicolare; il ragionamento geometrico ti persuaderà subito che ciò non
può accadere, supposto il contemporaneo e velocissimo moto di rotazione della
terra.
La risposta di Galileo nel dialogo sopra i due massimi sistemi riprende
gli stessi argomenti che abbiamo visto in Oresme (cfr. citazione in [?]),
ma li espone in modo assai più convincente, (cfr. l’estratto estratto 1:44:15
–1:52:00 dallo spettacolo ITIS Galilei di Marco Paolini).
https://www.youtube.com/watch?v=8alJ9eFl634&list=PL876B2DA14230825A
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Necessità di una nuova fisica
Per superare le obiezioni di Aristotele contro i movimenti della terra è necessario sviluppare una nuova fisica inerziale (Galileo e Newton), cfr. [1].
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Le leggi di Kepler
Anche Kepler, come Copernico, fu uomo profondamente religioso. Credeva
nel dovere crisitiano di comprendere l’opera di Dio, e a questo dedicò costan-
6 Le leggi di Kepler
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temente i suoi sforzi. Credeva nell’ordine matematico dell’universo e vedeva
nella matematica lo strumento con cui Dio aveva ordinato il mondo. Si occupò di astronomia, del problema dei volumi e dei centri di gravità, di ottica,
proprietà focali delle coniche, dei poliedri e dei logaritmi, dello studio delle
forme ottimali. La sua ricerca procede per assiomi, intuizioni e ipotesi ma
mantiene sempre uno straordinario rispetto per i dati. Una delle idee che
guidano la ricerca di Kepler è quella di armonia geometrica.
Nel Mysterium cosmograficum afferma:
In questo piccolo libro, caro lettore, mi sono proposto di dimostrare che il Creatore Ottimo Massimo nella creazione di questo
nostro mondo mobile e nella disposizione dei cieli ha guardato a
quei cinque corpi regolari che hanno goduto di cosı̀ grande fama
dai tempi di Pitagora e Platone sino ai nostri giorni, e che alla
loro natura ha accordato il numero e la proporzione dei cieli, e i
rapporti dei moti celesti [...]. Tre erano soprattutto le cose di cui
cercavo instancabilmente le cause, perché fossero cosı̀ e non altrimenti, ossia il numero, le dimensioni e i moti degli orbi. Ad osar
ciò mi convinse quella mirabile corrispondenza delle cose immobili, cioè il Sole, le fisse e lo spazio intermedio, come Dio Padre,
il Figlio e lo Spirito Santo: questa analogia svilupperò più ampiamente nella mia cosmografia. Tale essendo la situazione per
quanto riguarda le cose immobili, non dubitavo che un quadro
analogo si sarebbe presentato anche per quelle mobili.
6 Le leggi di Kepler
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La natura ama la semplicità, ama l’unità. In essa non vi è
niente di inutile o di superfluo; al contrario, spesso destina un’unica cosa a produrre più effetti. Ora, nelle ipotesi tradizionali,
non vi è alcun limite all’invenzione di nuovi orbi [...]. E dunque
quest’uomo ha non solamente liberato la natura dal fardello inutile e pesante di tante sfere immense, ma ha anche aperto un tesoro
inesauribile di considerazioni assolutamente divine riguardanti la
disposizione meravigliosa del mondo intero e dei suoi corpi celesti. Io non esito ad affermare che tutto quello che Copernico
ha stabilito a posteriori, e dimostrato a partire dalle osservazioni
per mezzo degli assiomi della geometria, tutto questo può essere
dimostrato a priori e senza nessuna difficoltà.
La dimostrazione di Kepler è la seguente2 : consideriamo la sfera di Saturno e il cubo inscritto i questa sfera, allora la sfera inscritta nel cubo è la
sfera di Giove. Inscriviamo nella sfera di Giove un tetraedro. La sfera inscritta nel tetraedro è la sfera di Marte, Analogamente si prosegue mettendo
un dodecaedro tra Marte e la Terra, un icosaedro tra la Terra e Venere e un
ottaedro tra Venere e Mercurio. Questo, secondo Kepler, spiega il numero
dei pianeti, cinque come il numero dei possibili solidi regolari.
Kepler: perché il sistema copernicano è migliore di quello tolemaico
My confidence [in Copernicus] was upheld in the first place
by the admirable agreement between his conceptions and all [the
objects] which are visible in the sky; an agreement which not only
enabled him to establish earlier motions going back to remote antiquity, but also to predict future [phenomena], certainly not with
absolute accuracy, but in any case much more exactly than Ptolemy, Alfonso and other astron omers. Furthermore, and this is
much more important, things which arouse our astonishment in
the case of other(s) [astronomers] are given a reasonable explanation by Copernicus, and thereby he destroys the source of our
astonishment which lies in the ignorance of causes.
Citato in A. Koyré, [2], pp. 129.
1. In the first place, Ptolemy could be asked: How
is it, that three of the eccentrics, namely those of the
2
In realtà la costruzione è più complessa. Per mostrare una miglior approssimazione ai
dati, Kepler suppone che le sfere dei pianeti abbiano spessore e nella costruzione prende
alternativamente il bordo esterno e quello interno, cfr. [2].
6 Le leggi di Kepler
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Sun, Venus and Mercury, have the same [period] of
revolution?
2. Why do the five planets show retrograde motion,
whilst the luminaries [the Sun and the Moon] do not ?
In the third place, one might ask [and Ptolemy would
be unable to give any answer] why the epicycles of the
large [planetary] circles are so small, and why those of
the small ones are so large; in other words, why the
prosthaphaeresis of Mars is greater than that of Jupiter, and that of Jupiter is greater than that of Saturn.
Also, why is it that Mercury does not have a greater
one than Venus, seeing that it is in a lower sphere than
Venus; whereas, in the case of the other four planets,
it is always greater for the lower [planet] ?
4. The Ancients also wondered, not unreasonably,
why the three superior [planets], when in opposition to
the Sun, are always at the lowest point of their epicycle
[nearest to the Earth], whilst at conjunction they are at
the highest point;
Citato in A. Koyré, [2], pp. 135-37.
L’importanza di Kepler per la nuova astronomia
[Kepler] fu il primo a superare, almeno parzialmente, l’ossessione per la circolarità, da cui Galileo non fu mai capace di
liberarsi, e di spogliare l’astronomia dall’ingombrante apparato di
sfere e cerchi che Copernico aveva rigidamente mantenuto. Di
conseguenza, dal punto di vista prettamente scientifico, egli, ancor più di Copernico che tecnicamente fu un tolemaico o addirittura un seguace stretto di Ipparco, fu il vero fondatore della nuova
astronomia. Ma d’altra parte fu lui che si oppose, con tutte le se
forze al tentativo di Giordano Bruno di rendere infinito l’Universo e credette, con fede d’acciaio – o piuttosto di ghiaccio, in
quanto di tale materiale la riteneva costituita – nell’esistenza di
una volta celeste che racchiudeva l’universo e conteneva le stelle
fisse.
A. Koyré, [2] p. 119.
L’astronomia di Keplero non è solo osservativa ma è una astronomia delle
cause, o fisica dei cieli.
6 Le leggi di Kepler
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Nel 1601, alla morte di Tycho Brahe venne nominato astronomo imperiale, con il compito principale di dare consigli astrologici all’imperatore. Studia
approfonditamente l’orbita di Marte, le cui irregolarità mettono a dura prova i suoi tentativi di elaborare una teoria generale sul moto dei corpi celesti.
Nell’opera Mysterium cosmograficum enuncia le prime due leggi dei moti dei
pianeti, basandosi sulle tavole astronomiche compilate da Tycho Brahe e più
accurate delle precedenti. Queste prime due leggi sono
• L’orbita descritta da un pianeta è un’ellisse, di cui il Sole occupa uno
dei due fuochi.
• Il segmento (raggio vettore) che unisce il centro del Sole con il centro
del pianeta descrive aree uguali in tempi uguali.
Kepler aggiunse successivamente una ulteriore terza legge nel 1619: i
quadrati dei tempi che i pianeti impiegano a percorrere le loro orbite sono
proporzionali ai cubi delle loro distanze medie dal sole.
La strada che porta Kepler a enunciare le sue Leggi è lunga e tortuosa e
deve superare pregiudizi radicati da millenni per giungere alla meta.
Secondo Platone, l’orbita di un pianeta è una circonferenza percorsa con
velocità uniforme. Cerchio e moto uniforme sono per Platone elementi perfetti e la giustificazione delle sue ipotesi sono basate in ultima analisi su ragioni
di tipo estetico e filosofico. Le osservazioni degli astronomi mostrano però
chiaramente come le ipotesi a priori di Platone non siano sostenibile. Tolomeo propone, in prima approssimazione3 , di descrivere l’orbita come il moto
uniforme su una circonferenza (epiciclo) il cui centro si muove con velocità
uniforme su un’altra circonferenza. Keplero, dopo lunghe fatiche rivolte a
salvare il pregiudizio dell’orbita circolare decide infine di rinunciare all’ipotesi che l’orbita sia una circonferenza, ipotizzando che il moto avvenga lungo
un’ellisse con il sole posto in uno dei fuochi (prima legge di Keplero).
Questa decisione di abbandonare l’ipotesi di circolarità dell’orbita è rivoluzionaria perché per duemila anni l’uomo aveva guardato al cielo come a un
mondo perfetto e la circolarità delle orbite era una conseguenza necessaria
della perfezione. Rinunciare alla circolarità significava quindi rinunciare alla
perfezione del cielo.
Riferimenti bibliografici
[1] Cohen B. I., The birth of a new physics, Anchor Books, New York, 1960.
[2] Koyré, The astronomical revolution.
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Trascurando l’equante e l’eccentrico
6 Le leggi di Kepler
[3] http://galileo.rice.edu/sci/theories/ptolemaic_system.html
[4] https://www.youtube.com/watch?v=_SFzDYSqR_4
[5] https://www.youtube.com/watch?v=wGjlT3XHb9A
[6] https://www.youtube.com/watch?v=EpSy0Lkm3zM&ebc=
ANyPxKpjHDV-f_gPdVfUg5O0Z5XhhxxO1v5JD5Fj80Adaxoj_
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