Introduzione Capitolo 1 1.1Introduzione L`argomento della presente

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Introduzione
Capitolo 1
1.1Introduzione
L’argomento della presente trattazione può considerarsi un tentativo di dare una
risposta(secondo la teoria della quantizzazione alla Weyl ) alla seguente domanda : come
impostare matematicamente il problema della quantizzazione nell’odierna meccanica quantistica per sistemi ad un numero finito di gradi di libertà.Sia l’analisi concettuale (onda di
de Broglie)quanto le osservazioni sperimentali sulla natura ondulatoria della materia ,conducono a fondare la descrizione quantistica dei sistemi microscopici ad un numero finito di
gradi di libertà su alcuni postulati di natura strettamente matematica.Per i nostri scopi
basterà esprimere i seguenti postulati in modo poco formale :
1)Gli stati di un sistema quantistico corrispondente ad un sistema Hamiltoniano classico sono vettori di norma uno in uno spazio di Hilbert complesso separabile;
2) Le variabili dinamiche classiche sono in corrispondenza univoca con gli operatori
lineari autoaggiunti nello spazio di Hilbert.
3)Se ad una variabile f è associato l’operatore fˆautoaggiunto ,con una data misura
spettrale Ef (x) allora la distribuzione di probabilità del risultato di una certa misura F
sullo stato hΨi vale hψ|Ef (λ)Ψi)
Questi principi non specificano come costruire questa corrispondenza univoca :in che
modo trovare lo spazio astratto dei ket ; e una volta trovato come individuare la corrispondenza tra operatori autoaggiunti e variabili dinamiche classiche . Sappiamo che il
ragionamento di Schrödinger stabilisce questa corrispondenza nel caso particolare della
Hamiltoniana classica Hc = p2 + V (q) ; i vettori di stato sono funzioni Ψ(q)εL2 (R3 ) e
l’equazione stazionaria di Schrödinger H(Ψ) = (−h̄2 4+V )ψ = EΨ si ottiene considerando
H operatore differenziale , la cui espressione segue dalla sostituzione p̂ = −ih̄∇ e q̂ (operatore di moltiplicazione per tale variabile).Il calcolo del commutatore tra p̂ e q̂ fornisce
[p̂, q̂] = ih̄.Piú in generale per un polinomio (F) nelle coordinate (q,p), la regola di sostituzione formale non conduce a un’espressione univoca ,perché nei vari termini del polinomio
3
Introduzione
compaiono ,in generale, degli operatori che non commutano e il cui ordine non é perció
indifferente.Inoltre se non si adottano delle prescrizioni opportune per l’ordine in cui vanno
disposti tali operatori non commutanti, l’espressione che si ottiene per F̂ ,non solo non sará
un operatore autoaggiunto , ma neppure ,in generale, simmetrico.Ad esempio nel caso di
una singola particella sulla retta (ricordando che (ÂB̂)† = B̂ † Â† ), (q̂ p̂)† = p̂† q̂ † = p̂q̂ 6= q̂ p̂.
Se si vuole che F̂ risulti simmetrico occorre nell’eseguire la sostituzione q → q̂, p → p̂ simmetrizzare in maniera opportuna i singoli termini del polinomio.Ad esempio a qp si deve
far corrispondere (q̂ p̂)simm. =
1
2 (q̂ p̂
+ p̂q̂), (q̂ p̂ + p̂q̂)† = (p̂q̂ + q̂ p̂) = (q̂ p̂ + p̂q̂). Notiamo
,tuttavia, che neppure il procedimento di simmetrizzazione é univoco.Ad esempio a q 2 p si
puó far corrispondere 12 (q̂ 2 p̂+ p̂q̂ 2 ) o q̂ p̂q̂.Un’osservazione é fondamentale :alle funzioni (per
ora polinomiali) solo formalmente restano associati operatori differenziali autoaggiunti in
L2 (R3 ).L’effettiva autoaggiuntezza vá stabilita caso per caso .In altri termini l’operatore
(−h̄2 4 + V ) é puramente formale se non si stabilisce il dominio su cui opera.Quanto sopra
affermato costituisce la soluzione di Schrödinger delle regole di commutazione canoniche.In
altri termini sono stati individuati uno spazio di Hilbert e degli operatori che soddisfano
le regole di commutazione canoniche [q̂, p̂] = ih̄1.A questo livello non siamo in grado di
stabilire che tipo di operatore venga associato ad una funzione generica in (q,p), o se esiste
,un’algebra non commutativa sullo spazio delle funzioni isomorfa all’algebra non commutativa degli operatori.Per analizzare alcuni aspetti di questi problemi conviene assumere un
punto di vista piú astratto, in cui eviteremo di considerare una realizzazione particolare
degli operatori q̂, p̂ come operatori differenziali ,e consideremo gli elementi , su cui essi
agiscono, appartenenti ad uno spazio di Hilbert astratto.Richiederemo ancora che il commutatore ,definito da [q̂, p̂] ≡ q̂ p̂ − p̂q̂, soddisfi la relazione [q̂, p̂] = ih̄1, dove 1 é l’identitá
in H.Questa relazione definisce l’algebra di Heisenberg degli operatori q̂, p̂, 1.In particolare se si prende in considerazione uno spazio vettoriale simplettico (spazio vettoriale di
dimensione pari dotato di una struttura simplettica ω) le relazioni di commutaziione possono essere scritte ,per ogni coppia u,v: ûv̂ − v̂û = ih̄ω(u, v), dove û, v̂ sono gli operatori
corrispondenti a elementi dello spazio lineare simplettico.Il risultato chiave é il seguente
: l’algebra degli operatori cosí definita é unica a meno di isomorfismi. Per ragioni che
saranno piú chiare in seguito sará conveniente usare una forma integrale delle regole di
4
operatori differenziali e simboli
commutazione che si avvalga di operatori unitari fortemente continui U(s),V(t) tali che
U (s)V (t) = exp(ist) V(t)U(s) , U (s) = exp(isP ), V (t) = exp(itQ) (almeno formalmente
per tornare alle vecchie regole di commutazione basta applicare la derivata seconda mista
rispetto a s e t e valutata nel punto (0,0)).Il problema della classificazione delle rappresentazioni irriducibili puó formularsi :classificare tutti gli spazi di Hilbert H e tutti i gruppi
fortemente continui di operatori unitari U(s), V(t):s,t < che ivi agiscano in modo tale
che sia soddisfatta la regola di commutazione U (s)V (t) = exp(ist) V(t)U(s). A partire
da questa formulazione delle regole di commutazione introdurremo il formalismo di Weyl
, che si basa su uno spazio vettoriale di dimensione finita (e pari) dotato di una forma
simplettica(ω).Tramite questo formalismo definiremo un’applicazione ,definita mappa di
Weyl( che indicheremo con Ω), che permette di associare a funzioni a quadrato integrabile
definite sullo spazio vettoriale reale,di dimensione pari , un operatore formalmente autoaggiunto su uno spazio di Hilbert separabile (H).Osserveremo inoltre che tale applicazione é
invertibile e l’applicazione inversa (Ω−1 ) sará definita simbolo di Weyl.Dunque mediante
l’utilizzo della mappa-simbolo di Weyl saremo in grado di stabilire una relazione uno a
uno tra funzioni a quadrato integrabile e (come vedremo) operatori di Hilbert-Schmidt su
H.Inoltre l’applicazione mappa-simbolo permetterá di introdurre, a partire dal prodotto
non commutativo tra operatori, un prodotto(che indicheremo con ?) non commutativo
nello spazio delle funzioni definite sullo spazio vettoriale simplettico:
f ? g = Ω−1 (Ω(f )Ω(g))
. Questo prodotto é chiamato prodotto di Moyal ed é una ”deformazione ” del prodotto
puntiforme abeliano standard(·).Con ”deformazione” intendiamo dire che f ?g sará uguale a
f ·g piú altri termini dipendenti da h̄.Nella prima parte introdurremo il concetto di sistema
di Weyl.Interpreteremo questo sistema come una rappresentazione unitaria proiettiva del
gruppo delle traslazioni.In particolare il fattore di fase sará connesso alla forma simplettica
ω.In questo modo la rappresentazione sará covariante rispetto all’azione del gruppo lineare
simplettico , e sará possibile introdurre una procedura di quantizzazzione per alcuni sistemi
dinamici classici (identificheremo lo spazio vettoriale simplettico con uno spazio delle fasi
).Infine introdurremo la mappa e il simbolo di Weyl e dunque il prodotto di Moyal.
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Capitolo 1
1.1 Operatori differenziali e simboli:
Un operatore differenziale lineare P di ordine d è una espressione polinomiale del tipo
:
X
P = P (x, D) =
aα (x)Dxα
(α≤d)
dove aα (x) é una funzione di classe C ∞ (Rm ).Per simbolo intendiamo
σ(P ) = p(x, ξ) =
X
aα (x)ξ α ,
(α≤d)
sostituendo formalmente l’operatore differenziale Dxα con il monomio ξ α ;il polinomio p é di
grado d nella variabile ξ duale della x.Conviene riguardare ,dunque, la coppia (x,ξ) come
le coordinate di un punto dello spazio cotangente T ∗ (Rm ).L’idea di sostituire all’operatore
differenziale una variabile ,ξ, appartenente allo spazio vettoriale duale rispetto a quello
delle x, é suggerita dal diverso modo di trasformarsi delle variabili x e dell’operatore in
seguito a una trasformazione di coordinate.Supponiamo infatti di eseguire un cambiamento
di coordinate e di passare dalle x definite nel dominio U a x̃ appartenenti al dominio Ũ
mediante il diffeomorfismo h : U → Ũ , ossia x̃ = h(x).A questo punto possiamo considerare
,ad esempio,f C ∞ (U ) , f˜C ∞ (Ũ ), e P un operatore lineare su C ∞ (U ), allora possiamo
definire:
h∗ (f˜)(x) ≡ f˜(h(x))
h∗ (f ) ≡ ((h∗ )−1 )f
h∗ P ≡ h∗ ◦ P ◦ h∗ .
Indichiamo con dh la matrice Jacobiana della trasformazione .Possiamo riguardare le variabili (x,ξ) come coordinate del fibrato cotangente T ∗ U ed estendere il diffeomorfismo h,in
modo che sia una trasforazione tra fibrati: h:T ∗ U −→ T ∗ Ũ :
6
˜ = (h(x), (dh(x)−1 )t ξ)
h(x, ξ) ≡ (x̃, ξ)
(la t sta a indicare la matrice trasposta). Il simbolo principale si ottiene considerando
nell’operatore differenziale il termine di ordine più elevato ossia una espressione del tipo:
σprincipale (x, y) = pprincipale (x, ξ) =
X
aα (x)ξ α
(α=d)
.Il passo successivo é ricercare una eventuale applicazione inversa tra simboli e operatori.
Dalla teoria dell’analisi di Fourier è noto che, detto S lo spazio delle funzioni a valori
complessi su Rn di classe C ∞ e tali che ∀α, β R esistono delle costanti Cαβ per cui
(xα Dxβ f ) < Cαβ allora ∀f S risulta
Dxα f (x)
Z
=
exp(ixξ) ξ α fˆ (ξ)dξ;
; dunque se al posto di Dxα consideriamo p otteniamo la formula
Z
P f (x) =
exp(ixξ)p(x, ξ)fˆ(ξ)dξ
da cui
Z
P f (x) =
exp(ix − y)ξ p(x, ξ)f (y)dydξ.
L’integrale non converge assolutamente e non possiamo invertire l’integrale in dy con
dξ .In generale é possibile considerare l’insieme dei simboli(S)costituito dalle funzioni
p(x,ξ)regolari a supporto compatto nella variabile x ,e con una crescita controllata per
cui possiamo sempre associare l’operatore corrispondente a ciascuna funzione p mediante
R
la formula P f (x) = exp(ix − y)ξp(x, ξ)f (y)dydξ.
1.2 Meccanica ondulatoria
L’idea centrale che sta alla base della meccanica ondulatoria origina dalla tesi di deBroglie secondo cui ad ogni particella materiale é associata un’onda la cui lunghezza d’onda
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λ é legata al momento lineare dalla relazione :λ = hp .L’idea permette di trattare sia l’ottica
geometrica che la dinamica delle particelle materiali con lo stesso formalismo hamiltoniano.Nel 1926 ,in due articoli,Schödinger prese in considerazione l’ipotesi di DeBroglie e fece
un’assunzione precisa :quella di associare ad una particella materiale un pacchetto d’onde
costituito dalla sovrapposizione di onde piane .Inoltre ,sempre nei due articoli,Schödinger
osservó che l’ottica geometrica si basa su un’equazione ,detta equazione dell’iconale, che
ha una struttura formalmente analoga all’equazione di Hamilton-Jacobi per una particella
della meccanica classica.Schödinger tentó allora di determinare un’equazione fondamentale
di una meccanica ondulatoria per la materia, rispetto alla quale l’equazione di HamiltonJacobi della meccanica giocasse lo stesso ruolo approssimato che l’equazione dell’iconale
(ottica geometrica) gioca rispetto all’equazione di d’Alembert(ottica ondulatoria).In questo
modo pervenne alla notissima equazione di Schödinger. Noi ricaveremo tale equazione mediante l’utilizzo della teoria degli operatori differenziali e simboli ad essi connessi. In tal
senso sceglieremo per spazio delle fasi il fibrato cotangente T ∗ R4 = R4 ×R4∗ =(~x,t;~k,ω)
dove (~x vettore posizione t tempo,~k vettore d’onda e ω frequenza).In questo spazio gioca
un ruolo essenziale la uno forma ottica kdx-ωdt. .La prescrizione data in precedenza per
ottenere il simbolo a partire da un operatore differenziale può essere equivalentemente
espressa attraverso la formula
σ(D) = exp −(αkµ xµ )D exp(αkµ xµ )
(l’unica differenza é nell’introduzione dello scalare α che puó essere anche un numero complesso) in questo caso σ(D)T ∗ R4 .Naturalmente al fine di ottenere delle funzioni definite
su T ∗ R4 vanno presi in considerazioni operatori differenziali su R4 .Esempio :D (operatore di D’Alambert)σ(D) = (α2 k · k − n2 k02 ).Ponenendo σ(D) = 0 ,chiamata relazione di
dispersione,si trovano le condizioni necessarie affinchè exp(αkµ xµ ) siano soluzioni della corrispondente equazione Du=0.In particolare la suddetta equazione specifica in che modo la
frequenza ω dipende dal vettore d’onda (e qundi dalla lunghezza d’onda).Dalla definizione
stessa segue che σ é una applicazione lineare .L’ordine dell’operatore differenziale diventa
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il grado del polinomio nelle k per le funzioni su T ∗ R4 (se l’operatore differenziale ha per
generatore
∂
∂x ).In
generale
X
m
m
∂
αm (x)
∂x
viene associato al simbolo
σ(D) =
X
αm (x)k m αm .
m
Operatori differenziali come ~a ·
∂
∂~
x
e
∂
∂x0
corrispondono ai simboli α~a · ~k e αk0 . Se
~a é un vettore costante tutti gli operatori ottenuti considerando potenze dei generatori
~a ·
∂
∂~
x
o anche
∂
∂x0
con coefficienti costanti costituiscono un’algebra associativa.La mappa
σ diventa una applicazione tra quest’algebra e quella delle funzioni polinomiali in k con
coefficienti costanti.In particolare tale mappa é un omomorfismo* tra algebre, ossia ad
ogni polinomio a coeffienti costanti su R4∗ viene associato un operatore differenziale a
coefficienti costanti.In generale,peró,mentre l’algebra delle funzioni é sempre commutativa
, non si puó dire lo stesso di quella degli operatori che abbiano coefficienti che non sono
funzioni costanti.Il passaggio dall’ottica ondulatoria alla dinamica delle particelle materiali
avviene attraverso l’identificazione tra uno forma di Liouville e uno forma ottica :
p~ · d~x − Edt = h̄(~k · d~x − ωdt)
.Utilizzando tale identificazione (relazione di Einstein-DeBroglie) il simbolo di un operatore
diviene:
i
i
σ(D) = exp − (~
p · ~x − Et)D exp (~
p · ~x − Et)
h̄
h̄
.Siamo interessati a passare dalle funzioni sullo spazio delle fasi (Hamiltoniana) a un operatore che viene definito in analogia operatore Hamiltoniano. Tale transizione non é triviale
poiché la mappa da simboli ad operatori contiene alcune ambiguitá.Tale transizione é sempre possibile se i polinomi in p hanno coefficienti costanti.Quando non si presenta questo
* dette A B una coppia di algebre ,una applicazione lineare ϕ : A −→ B é detta
omomorfismo di algebre se ϕ(AB) = ϕ(A)ϕ(B)
9
caso semplice possiamo pensare di superare l’ambiguitá considerando polinomi ordinati
ossia polinomi in cui la p compare a destra.In questo modo otteniamo un isomorfismo tra
i polinomi ordinati di un dato grado e operatori differenziali di un dato ordine .Naturalmente tale isomorfismo non é estendibile anche alle algebre: il simbolo del prodotto di
due operatori non é uguale al prodotto dei simboli dei due operatori.Nonostante questi
problemi possiamo calcolare lo stesso
∂
σ
∂t
i
=−
E
h̄
e ancora
∂
σ
∂~x
i
=
p~
h̄
.Questa proprietá giustifica l’associazione:
E −→ (ih̄)
∂
∂
, p~ → (−ih̄)
∂t
∂~x
.Inoltre ,in base alla definizione ,il simbolo di un operatore di moltiplicazione é l’operatore
stesso visto come funzione.Dunque scriveremo (ˆindica l’operatore):
ˆx) , xi −→ x̂i
V (~x) −→ V (~
e associamo alla Hamiltoniana classica
ˆx).Poiché classicamente
V (~
p2
2m
p2
2m
+ V (~x) l’operatore Hamiltoniano
1
∂ 2
2m (−ih̄ ∂~
x) +
+ V (~x) = E otteniamo la seguente equazione differenziale:
∂ 2
1
ˆx))ψ = ih̄ ∂ ψ
(−ih̄ ) + V (~
(
2m
∂~x
∂t
(tenendo presente che un’equazione operatoriale come la nostra diventa un’equazione differenziale, quando gli operatori agiscono su opportune ’funzioni’ ) La mappa ”simbolo”
comunque dipende dal sistema di riferimento,infatti cambiando coordinate un operatore a
coefficienti costanti puó scriversi come uno a coefficienti variabili.Dunque siamo obbligati a
quantizzare in coordinate cartesiane. Vedremo come cambiando la mappa simbolo si possa
ottenere una procedura nuova di quantizzazione.
10
1.3 Applicazioni
Attraveso l’applicazione simbolo siamo riusciti a stabilire un isomorfismo tra lo spazio
vettoriale dei polinomi ordinati di un dato ordine e gli operatori differenziali di un dato
grado. Possiamo, a questo punto, definire un nuovo prodotto sullo spazio delle funzioni
indotto attraverso la mappa simbolo dal prodotto tra operatori differenziali .Tale prodotto
sará naturalmente non commutativo, in quanto realizzazione (sullo spazio delle funzioni)
del prodotto non commutativo tra operatori. Introduciamo ora una parentesi di Poisson
che indicheremo con {·, ·}, tale che agisca su funzioni (nel seguito ci limiteremo ai polinomi)
in R2 (indicheremo con F (R2 )l’insieme delle funzioni su R2 ):
{·, ·} : F (R2 ) × F (R2 ) −→ F (R2 )
tale che sia una applicazione bilineare, antisimmetrica e che soddisfi :
1)l’identitá di Jacobi, per ogni terna di funzioni:
{f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, g}} = 0
2)la regola di Leibnitz, per ogni terna di funzioni:
{f g, h} = f {g, h} + {f, h}g
rispetto al prodotto puntuale abeliano standard tra funzioni in F (R2 ).In generale queste
proprietá implicano che ogni parentesi di Poisson determina univocamente un campo tensoriale antisimmetrico due volte controvariante(Jost 1964),che in termini di funzioni coordinate(in generale se la parentesi é definita sulle funzioni su una varietá n dimensionale)
(ξ1 , ...ξn ) si scrive : {ξj , ξk }
∂
∂ξj
∧ ∂ξ∂k . Nel nostro caso considerando le coordinate canoniche
(x,p) per R2 , tali che {x, p} = 1, otteniamo {f, g} =
∂f ∂g
∂x ∂p
−
∂f ∂g
∂p ∂x
, ∀f, g F (R2 ).
Passiamo a considerare i seguenti esempi di operatori differenziali. Siano
D = a(x)
d
d
, D0 = a0 (x)
dx
dx
una coppia di operatori differenziali del primo ordine.I corrispondenti simboli saranno :
σ(D) = a(x)(
ip
)
h̄
, σ(D0 ) = a0 (x)(
11
ip
)
h̄
, mentre il simbolo del prodotto sará:
σ(DD0 ) = a(x)
da0 ip
p
( ) + a(x)a0 (x)(−( )2 ).
dx h̄
h̄
Il simbolo del commutatore :
i ∂σ(D) ∂σ(D0 ) ∂σ(D) ∂σ(D0 )
−
)
σ[D, D0 ] = ( )(
h̄
∂x
∂p
∂p
∂x
Dunque abbiamo verificato che il simbolo del commutatore dei due operatori differenziali
del primo ordine é uguale alla parentesi di Poisson (giá introdotta )tra i simboli :
i
σ[D, D0 ] = ( ){σ(D), σ(D0 )}.
h̄
.Possiamo definire un nuovo prodotto (che indicheremo con ∗):
σ(D) ∗ σ(D0 ) = (a(x)(
ip
ip
p
da0 ip
)) ∗ (a0 (x)( )) = a(x)a0 (x)(−( )2 ) + a(x)
( ) = σ(DD0 )
h̄
h̄
h̄
dx h̄
.
Il prodotto é non locale , infatti coinvolge le derivate dei coefficienti degli operatori.
Prendendo operatori differenziali del secondo ordine :
D = a(x)
d2
dx2
, D0 = a0 (x)
d2
dx2
e considerando il simbolo otteniamo:
p
σ(D) = a(x)(−( )2 )
h̄
p
σ(D0 ) = a0 (x)(−( )2 )
h̄
.
σ(DD0 ) = σ(a(x)
d2 a0 d2
da0 d3
d4
0
+
2a(x)
+
a(x)a
(x)
)
dx dx3
dx2 dx2
dx4
12
= a(x)
p 2
d2 a0
da0
p
p
(−(
)
)
+
2a(x)
−i( )3 + a(x)a0 (x)( )4 .
2
h̄
dx
h̄
h̄
dx
dunque il prodotto sará:
p
d2 a0 p
da0
p
p
p
−i( )3 + a(x)a0 (x)( )4 .
(− )2 a ∗ (− )2 a0 = a(x) 2 (− )2 + 2a(x)
h̄
h̄
h̄
dx
h̄
h̄
dx
Mentre il simbolo del commutatore é :
p
d2 a0
d2 a
i ∂σ(D) ∂σ(D0 ) ∂σ(D) ∂σ(D0 )
−
) + (−( )2 )(a(x) 2 + a0 (x) 2 ).
σ[D, D0 ] = ( )(
h̄
∂x
∂p
∂p
∂x
h̄
dx
dx
Anche in questo caso verifichiamo che sussiste un’uguaglianza tra il simbolo del commutatore e la parentesi di Poisson tra i simboli, ma questa volta compaiono ulteriori termini.In
generale é possibile dimostrare che considerando unicamente il simbolo principale per operatori differenziali di qualunque ordine vale l’uguaglianza:
i
σprincipale [D, D0 ] = ( ){σprincipale (D), σprincipale (D0 )}
h̄
Per fissare le idee consideriamo a(x)=5x2 , a’(x)=x3 :
p
σ(D) = 5x2 (−( )2 )
h̄
p
σ(D0 ) = x3 (−( )2 )
h̄
p
p
p
σ(DD0 ) = 5(x2 )(6x)(−( )2 ) + 2(5x2 )(3x2 )(−i( )3 ) + 5(x2 )(x3 )(( )4 )
h̄
h̄
h̄
da cui :
p
p
p
σ(DD0 ) = 30x2 (−( )2 ) + 30x4 (−i( )3 ) + 5(x5 )(( )4 )
h̄
h̄
h̄
da cui:
p
p
p
p
p
5x2 (−( )2 ) ∗ x3 (−( )2 ) = 30x2 (−( )2 ) + 30x4 (−i( )3 ) + 5(x5 )(( )4 ).
h̄
h̄
h̄
h̄
h̄
In questo caso risulta:
13
−2p
p
p3
p
p
p3
σ[D, D0 ] = (10x(−( )2 ))(x3 (−2 2 )) − 5x2 ( 2 )3x2 (−( )2 ) + 10x4 4 − 15x4 4
h̄
h̄
h̄
h̄
h̄
h̄
da cui :
σ[D, D0 ] = −10
x4 p3
p 2
3
4 + 40x (−( h̄ ) )
h̄
Dunque possiamo osservare che il nuovo prodotto ∗ é una ”deformazione”(compaiono
nuovi termini) del prodotto puntuale tra funzioni , e nel limite h̄ → 0
f ∗ g = f · g.
Inoltre i simboli formano un’algebra associativa rispetto al prodotto ∗.L’associativitá deriva
dall’associativitá del prodotto tra operatori:Â(B̂ Ĉ) = (ÂB̂)Ĉ
1.3 Operatori canonici :
Passiamo ad affrontare un’analisi dei principi matematici presenti alla base della procedura di quantizzazione canonica .Dunque si inizierá dalle relazioni di commutazione per
gli operatori posizione e momento(Q,P).Questi operatori devono soddisfare la relazione:
QP − P Q = i1
,ma in virtú di un teorema(Wintner) gli operatori non possono essere entrambi limitati
. Infatti si supponga per assurdo che due generici operatori Â e B̂ autoaggiunti e limitati abbiano commutatore pari ad un multiplo dell’identitá [Â, B̂] = c1.Dunque ripetendo
l’applicazione delle regole di commutazione si ottiene
[Â, B̂ n ] = cnB̂ n−1
, da cui applicando la diseguaglianza triangolare ad entrambi i membri si ottiene :
cn||B̂||n−1 = cn||B̂ n−1 || ≤ 2||Â||||B̂||n
e questo accade ∀nN ossia :
cn ≤ 2||Â||||B̂||
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. Questo risultato é in palese contraddizione con l’ipotesi di operatori entrambi limitati.Dunque possiamo concludere che mentre il membro di destra delle relazioni di commutazione é definito sull’intero spazio di Hilbert, il membro di sinistra no.Tale risultato é
imputabile al teorema di Hellinger e Toeplitz1 ,il quale stabilisce che un operatore chiuso2
(A, DA ) definito in uno spazio di Hilbert H e tale che DA = H, é limitato.Dunque un
operatore chiuso non limitato non puó avere come dominio di definizione l’intero spazio di
Hilbert.
Questo risultato si enuncia anche dicendo che dove il commutatore é definito é un
multiplo dell’identitá.Dunque il problema che tecnicamente si pone é : come dare significato alle relazioni di commutazione se gli operatori pur essendo autoaggiunti non sono
limitati?La risposta fu suggerita da Weyl.Piuttosto che considerare operatori differenziali si
possono considerare operatori unitari (dunque limitati)ottenuti per esponenziazione degli
operatori P,Q ossia :
U (s) = eisP , V (t) = eitQ
(definiti gruppi a un parametro)tali che soddisfino la seguente relazione
U (s)V (t) = eist V (t)U (s)
. La domanda che si pone naturalmente a questo punto é :cosa rende legittimo questo
modo di procedere? Gli operatori non limitati ,pur rimanendo autoaggiunti, sono ancora
riconducibili alle osservabili fisiche? La risposta é da individuarsi nel teorema di risoluzione
spettrale per operatori autoaggiunti non limitati3 .Esporremo brevemente alcuni risultati
che riguardano la teoria di questi operatori differenziali al fine di comprendere l’analogia
esistente con quelli limitati.
Risulta che gli autovalori di operatori autoaggiunti (A,DA ) sono reali ,e autovettori
corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali.Se Au = λu allora λ é reale :
λ=
1
2
3
hu|Aui
2
||u||
=
hAu|ui
2
||u||
=
¯
hu|Aui
2
||u||
= λ̄
si veda biblio,n4
∀fn ⊂ DA se fn → g allora f DA inoltre se Afn → ϕ allora Afn = ϕ
si veda biblio.n3
15
(considerando (H,h·, ·i) come spazio di Hilbert e (||·||) la norma indotta ). Se Au=λu e
Av=µv, allora 0 = hAu|vi − hu|Avi = (λ − µ)hu|vi, da cui hu|vi = 0 ogni volta che λ 6= µ.
Per ogni numero complesso definiamo ∆λ il dominio dell’operatore risolvente (A − λ1)−1
,∆λ = D(A−λ1)−1 = RA−λ1 . L’operatore é ben definito con il dominio ∆λ supposto che
λ non é autovalore.Se non lo é allora ker(A − λ1) = 0, e per ogni yRA−λ1 esiste ed
é unico xDA y = (A − λ1)x.Come per gli operatori limitati un numero complesso λ é
detto valore regolare per A se ∆λ =H. L’operatore risolvante (A − λ1)−1 si puó considerare limitato e continuo.L’insieme dei numeri complessi non regolari sono chiamati ancora
spettro di A. In particolare λ é un autovalore dell’operatore autoaggiunto (A,DA ), se e
solo se l’insieme ∆λ non é denso in H. É naturale classificare lo spettro in due parti ,
lo spettro puntuale consistente degli autovalori ,per i quali ∆λ non é denso in H , e lo
spettro continuo consistente di quei valori λ per i quali ∆λ non é chiuso.Riportiamo il
seguente risultato chiave : sia A operatore autoaggiunto nello spazio di Hibert H, esiste
una famiglia di operatori* Eλ (λR) tali che E−(∞) = 0 e E(∞) = 1 i quali permettono
R
di scrivere A = λdEλ .Dunque il teorema di risoluzione spettrale continua a valere e il
formalismo della m.q. rimane fondamentalmente lo stesso.In particolare se si considera la
R
funzione f : R → C integrabile secondo Lebesgue allora risulta f (A) = f (λ)dEλ .Nel caso
R
in cui la f sia eix otteniamo U=eiA = eiλ dEλ , otteniamo l’esponenziale dell’operatore
non limitato ma autoaggiunto di cui eravamo alla ricerca.In proposito si enuncia il seguente
teorema dovuto a Stone:dato H spazio di Hilbert ,l’operatore funzione U :R −→ U (H) il
quale soddisfi le seguenti condizioni:
1)∀tεR, U(t)é un operatore unitario e U(t+s)=U(t)U(s),∀s, tR
2)∀ϕH set −→ t0 allora risulta U (t)ϕ −→ U (t0 )ϕ; si definisce operatore unitario ad
un parametro fortemente continuo.Per i vettori ψ per i quali esiste il limite :
lim U (t)ψ − ψ
≡ iAψ
t→0
t
si definisce A generatore infinitesimale .L’insieme delle ψ per cui il limite esiste é il dominio
di A. All’interno di questo dominio A risulta essere essenzialmente autoaggiunto.
* si veda appendice decomposizione spettrale
16
2.1 Sistemi di Weyl:
Il primo passo del programma della quantizzazione alla Weyl é la nozione dei sistemi
di Weyl.Il punto di partenza é uno spazio vettoriale simplettico che indicheremo con (L, ω)
dove L é uno spazio vettoriale finito dimensionale e ω una forma bilineare antisimmetrica e non degenere .Per sistema di Weyl associato ad (L,ω) si intende una applicazione
nell’insieme degli operatori unitari su uno spazio di Hilbert separabile H:
W : L 7−→ U (H)
tale che :
1)W é continuo nella topologia forte degli operatori;
2)Per ogni coppia di vettori z,z’L :
W (z + z 0 ) = e
iω(z,z 0 )
2h̄
W (z)W (z 0 )
(da questo momento in poi,salvo avviso contrario ,porremo h̄ = 1).
Tale condizione comporta:
0
W (z 0 )W (z) = eiω(z,z ) W (z)W (z 0 )
[1]
Ogni spazio vettoriale é un gruppo rispetto alla somma .Ebbene il sistema di Weyl
puó essere riguardato come una rappresentazione unitaria ,proiettiva del gruppo delle
traslazioni.Il fattore di fase di questa rappresentazione é connesso con la forma simplettica
su L. Nell’ipotesi in cui L sia decomponibile nella somma diretta di uno spazio vettoriale
e del suo duale :
L=S
M
S∗
si puó esprimere la definizione dei sistemi di Weyl nel seguente modo .Consideriamo
U : S −→ U (H)
e ancora
V : S ∗ −→ U (H)
17
dove entrambi gli operatori U,V sono rappresentazioni unitarie continue di S,S ∗ . Ebbene
diremo che la coppia (U,V) definisce un sistema di Weyl se
V (f )U (x) = eif (x) U (x)V (f ) ∀xS ∀f S
e ancora
U (x)U (x0 ) = U (x0 )U (x) , V (f )V (f 0 ) = V (f 0 )V (f )
Infatti in questo caso essendo
L = S(spazio conf igurazioni)
M
S ∗ (spazio dei momenti)
una forma simplettica naturale é data da [(x, f ), (x0 , f 0 )] = hf, x0 i − hf 0 , xi dove h·, ·i
stanno a indicare le parentesi di dualitá (in particolare hf, xi=f(x)). Dunque definiamo
W (z) = e
if (x)
2
U (x)V (f ) da cui si puó dimostrare W (z + z 0 ) = e
iω(z,z 0 )
2
W (z)W (z 0 ). In
particolare prendendo in considerazione un vettore di L,e due scalari t,t’ :
W (tz)W (t0 z) = W ((t + t0 )z) , ∀t, t0 R ∀zL
ossia W(tz)é un omomorfismo tra R e U(H), ossia un gruppo ad un parametro di trasformazioni unitarie. W(tz) é un gruppo ad un parametro di operatori unitari fortemente
continui. Dunque appellandosi al teorema di Stone W si puó considerare l’esponenziale di
un operatore autoaggiunto:
W (z) = eiR(z)
. Dalle ipotesi fatte per il sistema di Weyl segue che R(z) é lineare
R(tz) = tR(z) ∀tR ∀zL
. Inoltre la relazione [1] stabilisce
0 0
W (tz)W (t0 z 0 ) = e−iω(tz,t z ) W (t0 z 0 )W (tz)
0
0
0 0
0
0
eitR(z) eit R(z ) = e−iω(tz,t z ) eit R(z ) eitR(z)
18
[2]
Dunque il sistema di Weyl per un sottospazio unidimensionale corrisponde a un gruppo
unitario ad un parametro di operatori unitari che soddisfano le regole di commutazione .
In particolare lo sviluppo in serie di entrambi i membri della [2](arrestato al primo ordine)
conduce alla formula
[R(z), R(z 0 )] = iω(z, z 0 )
.
2.2 Schrödinger picture:
Una volta definito il sistema di Weyl il passo successivo é darne una realizzazione.In
L ∗
particolare consideriamo L = S
S , dove se con S intendiamo una varietá (spazio vettoriale reale di dimensione finita) L ∼
= T ∗ S (fibrato cotangente).Introdotto un sistema di
carte globali ad ogni vettore z restano associate le coordinate (q a , pa ). Con M intenderemo lo spazio di Hilbert H=L2 (S, dx): spazio delle funzioni a quadrato integrabile rispetto
alla misura di Lebesgue (invariante per traslazione).Gli operatori U,V (di cui al paragrafo
precedente) sono cosí definiti:
(U (q)ψ)(x) = ψ(x + q) U : S −→ U (L2 (S))
(V (p)ψ)(x) = eihp,xi ψ(x) V : S ∗ −→ U (L2 (S))
dove hp, xi corrisponde all’azione del covettore p su x (parentesi di dualitá).
L’operatore
W (z)ψ = W (q, p)ψ = U †(q)V (p)e
ihp,xi
2
ψ(x)
fornisce una realizzazzione del sistema di Weyl .
La sua azione su una funzione ψ in H é
W (q, p)ψ(x) = e
−ihp,qi
2
eihp,xi ψ(x − q)
Essendo U(q) e V(p) gruppi ad un parametro di operatori unitari possono riscriversi
in termini di operatori autoaggiunti (generatori infinitesimali)
U (q) = eiq
a
P̂a
(P̂a ψ)(x) = −i
19
dψ
dxa
V (p) = eip
b
Q̂b
(Q̂b ψ)(x) = xb ψ(x)
U(q) costituisce una rappresentazione fedele del guppo abeliano delle traslazioni (S,+).
Analogamente, visto che S ∗ é isomorfo a S ,V(p) puó considerarsi una rappresentazione di
(S ∗ ,+).I singoli operatori associati non commutano :
U (q)V (p) = eiω(q,0),(0,p) V (p)U (q)
La rappresentazione di Schrödinger oltre ad essere irriducibile (si dimostra) risulta
il ”prototipo” di realizzazione in meccanica quantistica .Questo risultato va sotto il nome
di teorema di Von Neumann.Il teorema stabilisce che :dati due gruppi a un parametro su
uno spazio di Hilbert H separabile ,e tali da soddisfare le relazioni qualificanti il sistema
di Weyl , allora esistono sottospazi chiusi ,Hl tali che :
L N
1)H = l=1 Hl , N > 0 N ≤ ∞
2)Ciascun Hl é invariante per azione di U(α) e V(β) ∀α, βR
3)Per ogni l, esiste un operatore unitario Tl : Hl −→ L2 (R) tale che Tl U (α)Tl −1 é una
traslazione di α e Tl V (β)Tl −1 é una moltiplicazione per un fattore di fase eiβx .
In altri termini le realizzazioni irriducibili delle relazioni di commutazione alla Weyl
sono equivalenti tra di loro;dunque possono essere ricondotte alla rappresentazione di
Schödinger attraverso un operatore (isometria)Tl che agisce per coniugazione:
(Tl (U (α))Tl −1 ψ)(x) = ψ(x)
(Tl (V (β))Tl −1 ψ)(x) = eihβ,xi ψ(x)
2.3 Applicazioni lineari simplettiche e operatori unitari
Il sistema di Weyl si basa su uno spazio vettoriale simplettico;le strutture geometriche
che abbiamo a disposizione sono dunque:struttura di spazio vettoriale, e una forma simplettica invariante per traslazioni.Le trasformazioni T dello spazio di partenza (T : L −→ L)
20
che conservano entrambe le strutture sono le trasformazioni lineari e simplettiche.Ci proponiamo , dunque, di esaminare le proprietá di covarianza del sistema di Weyl per trasformazioni di questo tipo .
W (T (z + z 0 )) = e
iω(z,z 0 )
2
W (T (z))W (T (z 0 ))
(linearitá di T) mentre in base alla simpletticitá
ω(T (z), T (z 0 )) = ω(z, z 0 )
.
Questo risultato suggerisce di considerare un nuovo sistema di Weyl WT : S −→
U (H) tale che z −→ W (T z)
WT (z + z 0 ) = WT (z)WT (z 0 )e
iω(z,z 0 )
2
. Dunque essendo WT unitariamente equivalente a W é possibile definire un automorfismo
(associato alla specifica trasformazione T)
υT : U (H) −→ U (H)
per cui
W (T z) = WT (z) = υT (W (Z))
Siccome ogni automorfismo del gruppo degli operatori unitari si puó scrivere come
una coniugazione per un operatore unitario
υT (W (z)) = UT −1 W (z)UT
, ogni trasformazione simplettica puó essere rappresentata come operatore unitario sullo
spazio di Hilbert risolvendo l’equazione:
UT −1 W (z)UT = W (T z)
21
o per quanto riguarda i generatori R(z):
UT −1 R(z)UT = RT (z) = pa Q̂aT − q a P̂T a
In base al teorema di Von Neumann i calcoli possono essere svolti nella rappresentazione di Schrödinger.Prima di procedere é necessario motivare la presenza degli indici,
rispettivamente in alto e in basso, per gli operatori ˆ(P ) e Q̂. Si consideri la trasformazione
T (di cui sopra) che agisce sulle componenti q ,q
p
0
a
0
a
≡ T a b q b e per le componenti duali
≡ T −1b a (pb ) in base a quanto precedentemente osservato
UT −1 W (z)UT = UT −1 ei(q
a
P̂a −pa Q̂a )
UT
da cui
UT −1 eiq
a
P̂a
a
UT UT −1 e−ipa Q̂ UT = ei(T
a
bq
b
P̂a )
ei(T
−1b
a (pb )Q̂a )
≡ W (z)
(si trascura il fattore di fase ) da cui
P̂T a = T b a (P̂b )
mentre nel caso degli operatori Q̂ otteniamo :
Q̂aT = Tb −1a (Q̂b )
(le P̂ si trasformano con legge di controvarianza rispetto alle Q̂).
Queste leggi di trasformazione dei sistemi di Weyl rispetto al gruppo delle trasformazioni lineari simplettiche suggeriscono una riflessione : supponiamo di avere una dinamica classica sullo spazio vettoriale di partenza L , e che questa dinamica possa esprimersi in
forma canonica attraverso una hamiltoniana quadratica .L’evoluzione temporale dunque
potrá scriversi come un gruppo ad un parametro di trasformazioni lineari simplettiche su
L (lungo il moto si conserva la forma simplettica ,le equazioni di Hamilton sono del primo
ordine ).
22
Dunque una volta ottenuta l’evoluzione temporale si puó pensare ,tramite quanto
detto in precedenza , di ottenere il corrispondente gruppo ad un parametro di operatori
unitari ,ossia l’evoluzione quantistica.
2.4 Mappa e simbolo di Weyl
Una volta realizzato il sistema di Weyl nell’insieme degli operatori unitari ,il passo
successivo é definire una mappa che vada da funzioni (definite sullo spazio vettoriale di
partenza L) in operatori (definiti sempre su H ).A questa applicazione si dá il nome di
mappa di Weyl :
Ŵ : (L, ω) −→ U (H)
mentre
Ω̂ : F (L) −→ Op(H)
La quantizzazione alla Weyl puó essere intesa come una estensione dell’analisi di
Fourier per le funzioni (L2 ).Si consideri f di n variabili x1 , ....xn , almeno formalmente ,
possiamo scrivere la trasformata e l’antitrasformata :
f˜(ξ) =
Z
Z
f (x) =
e−ihξ,xi f (x)dx
eihξ,xi f˜(ξ)dξ
Weyl pensó di realizzare un calcolo operatoriale che é l’analogo di prima per n-ple di operatori A = (A1 , ....An ) su un dato spazio di Hilbert ,(sostituendo formalmente le Ak con xk )
Z
f (A) =
eihξ,Ai f˜(ξ)dξ
.
In particolare l’esponenziale dell’operatore puó essere inteso come la scrittura del
sistema di Weyl W in termini dei suoi generatori . Dunque se
f˜(w) =
Z
dzf (z)eiω(z,w)
23
la definizione ,almeno formale ,di mappa di Weyl é :
Ω(f ) = fˆ =
Z
dwf˜(w)W (w)
(l’integrale va inteso in questo senso: per ogni coppia di vettori ψ, ψ 0 nello spazio di Hilbert
(H,h·|·i) si ha :
Z
0
hψ|Ω(f )|ψ i =
dwf˜(w)hψ|W (w)|ψ 0 i
)
La domanda che naturalmente si pone a questo punto é: che relazione intercorre tra
la procedura di quatizzazione ordinaria mediante simbolo (brevemente nel primo capitolo)
e la quantizzazione alla Weyl? Per rispondere a questa domanda esplicitiamo la mappa di
Weyl in tutta generalitá : dunque sia p(x, ξ) una funzione di due variabili con trasformata
e antitrasformata:
Z Z
ei(−hη,xi+hy,ξi) p(x, ξ)dxdξ
p̃(η, y) =
Z Z
p(x, ξ) =
ei(hη,xi−hy,ξi) p(η, y)dηdy
l’operatore W lo indicheremo con la scrittura :
W = e−i
hη,yi
2
eihη,Qi e−ihy,P i
hη,yi
2
eihη,xi u(x − y)dydη
dunque :
Z Z
p̃(η, y)e−i
da cui svolgendo tutti i calcoli risulta
Z
(p̂weyl u)(x) =
eihξ,x−yi p(
x+y
, ξ) u(y)dydξ
2
Per un confronto riportiamo di seguito anche l’operatore ottenuto per quantizzazione (descritta nel primo cap) :
Z
(p̂standard u)(x) =
eihξ,x−yi p(x, ξ) u(y)dydξ
24
Possiamo dunque ossevare che la quatizzazione alla Weyl fornisce un giusto compromesso tra il moltiplicare prima e poi differenziare e il differenziare prima e poi moltiplicare. Volendo ricondurre la quantizzazione di Weyl a quella standard bisogna introdurre
l’operatore :
J = expiπDx Dξ
(con Dx =
1 ∂
2πi ∂x ,Dξ
=
1 ∂
2πi ∂ξ
) tale che, in forma integrale, possa scriversi come
Z Z
(Jp)(x, ξ) =
e−4iπhy,ηi p(x + y, η + ξ)dydη
da cui quantizzando
ˆ
(Jpu)(x)
=
Z Z
eihξ,x−yi p(
x+y
, ξ)u(y)dydξ
2
. Ricordiamo4 inoltre che dato un operatore P̂ ottenuto per quantizzazione di una funzione
p(x, ξ) ,il suo aggiunto P̂ † ha come simbolo σ(P̂ † ) = Dx Dξ p̄ dove p̄ é la funzione complessa
coniugata ;dunque visto che ,nel caso della quantizzazione di Weyl, bisogna quantizzare Jp
risulta:
ˆ standard )† = (Jˆp̄standard ) = (p̄
ˆ)weyl
(p̂weyl )† = (Jp
Dunque per funzioni p reali gli operatori associati tramite la mappa di Weyl sono
(formalmente) autoaggiunti.
Esempio: consideriamo lo spazio di Hilbert L2 (R, ds), e consideriamo la rappresentazione di Schrödinger (si veda 2.2),e per u(q,p)=q, otteniamo:
Z
(q̂ψ)(s) =
dqdpqe2i(s−q)p ψ(2q − s)
=
4
risultati ottenuti nel contesto della teoria degli operatori pseudodifferenziali la cui
dimostrazione esula dal presente elaborato ,per una adeguata trattazione si rimanda a
testi specialistici,es Hormander
25
R
(l’integrale in dp da un fattore δ(s − q) ) dqδ(s − q)ψ(2q − s) = sψ(s).
Per f(q,p)=p si ha :
Z
dqdppe2i(s−q)p ψ(2q − s) =
facendo la sostituzione x=2q-s,
Z
dxdp pei(s−x)p ψ(x)
l’integrazione in dx fornisce la trasformata di Fourier di ψ:
Z
˜
dp peisp ψ(p).
Questa espressione é equivalente a :
(p̂ψ)(s) = −i
dψ
ds
Il prossimo passo é quello di definire un’applicazione che vada dallo spazio degli operatori (poi stabiliremo di che tipo ) in funzioni.A tal fine consideremo l’insieme dei W(z)
come una base generalizzata per gli operatori ( almeno limitati). Per definire i coefficienti
delle combinazioni lineari é necessario introdurre un prodotto scalare tra operatori.Tale
prodotto scalare coincide con la traccia tra due operatori.In proposito sussistono i seguenti
risultati ,se (H,h·|·i) é uno spazio di Hilbert , l’operatore A é detto di classe traccia se esiste
una base hilbertiana N di H per cui {hu||A|ui}uN ha somma finita:
ΣuN hu||A|ui < ∞
.Indicheremo con B1 (H) l’insieme degli operatori di classe traccia.Se AB1 (H) é ben
definita la traccia :
trA ≡ ΣuN hu|Aui
(sempre con N base hilbertiana di H).Altri risultati notevoli sono ,se A, BB1 (H) e α, βC:
¯
tr(A† ) = tr(A)
26
tr(αA + βB) = αtr(A) + βtr(B).
Un risultato chiave é il seguente, se AB1 (H) allora esistono due operatori B,C di HilbertSchmidt* tale che A=BC e viceversa se B,C sono operatori di di Hilbert-Schmidt, allora
BC é un operatore di classe traccia A, e in particolare :
tr(A) = ΣuN hB † u|Cui
Nel nostro caso dunque é ben definita la traccia tra gli operatori W (z)† e fˆ (operatore
di Hilbert-Schmidt sullo stesso spazio di Hilbert su cui é realizzato il sistema di Weyl).In
particolare si definisce simbolo di Weyl la funzione :
tr(ÂW (z)† ) = A
. Esistono delle profonde differenze tra il simbolo ”standard” e il simbolo di Weyl.Infatti nel
primo caso gli operatori sono giá realizzati come operatori differenziali e con l’applicazione
simbolo, definita nel pimo capitolo, consideriamo la loro azione sulle funzioni eipx (funzioni
solo localmente a quadrato integrabile, ma siamo interessati alle sole proprietá locali degli
operatori differenziali).Nel secondo caso l’operatore appartiene ad un’algebra astratta. Inoltre mediante l’applicazione simbolo di Weyl , siamo interessati a rappresentare l’operatore
come una combinazione lineare degli elementi di una base generalizzata dello spazio vettoriale sempre degli operatori limitati.
In termini di basi generalizzate per lo spazio di Hilbert é possibile almeno formalmente
calcolare la traccia dei soli operatori W(z):
tr(W (z)) = δ(z)
. Per una verifica si prenda in considerazione la rappresentazione di Schrödinger , dunque
gli operatori agiranno sullo spazio H = L2 (Rn , ds) e consideremo la base generalizzata
delle funzioni localmente a quadrato integrabili:eipx .Nelle ipotesi fatte :
Z Z
T r(W (q, p)) =
dxdp e−ipx e
−i
2 pq
eipx eip(x−q)
* dato un operatore lineare A in (H,h·|·i)con || · || norma indotta ,é detto di H.-S. se
esiste una base hilbertiana U per cui l’insieme {||Au||2 }uU ammette somma finita .
27
da cui ricordando che δ(x) =
R
eiσ(x) dσ si ottiene il risultato. Analogamente si puó verifi-
care :
†
tr(W (z)W (z 0 ) ) = δ(z − z 0 )
. Questo significa che gli operatori W definiscono una risoluzione generalizzata dell’identitá:
la mappa di Weyl puó essere invertita.L’applicazione inversa é proprio il simbolo di Weyl.
fˆ =
Z
dwf˜(w)W (w)
,
f˜ = tr(fˆW (z)† )
Possiamo concludere, dunque, che la mappa-simbolo di Weyl stabilisce una relazione
uno a uno tra funzioni a quadrato integrabile su R2n e operatori di Hilbert-Schmidt sullo
spazio degli operatori su cui il sistema di Weyl é stato realizzato.
2.5 Algebra di Weyl
Sia A un’algebra (commutativa, con unitá, normata con norma || · || di Banach) sul
campo C. Se esiste un’applicazione *:A → A che gode delleseguenti proprietá :
1)(antilinearitá):(αx + βy)∗ = ᾱx∗ + β̄y ∗ ∀x, yA, α, βC
2)(involutivitá):(x*)*=x ∀xA
3)(xy)*=y*x* ∀x, yA
tale applicazione é detta involuzione e la struttura (A,*) si dice *-algebra (rispettivamente commutativa , con unitá,normata, di Banach). Una *-algebra di Banach (con unitá)
si dice C*-algebra (rispettivamente con unitá) se vale l’ulteriore proprietá :
||x∗ x|| = ||x||2
.
Sia L uno spazio vettoriale di dimensione arbitraria (anche non finita) sul campo reale
e ω : L × L −→ R una forma simplettica su L. Una C*-algebra W(L,ω) é detta algebra
di Weyl associata a (L,ω) se esiste in W(L,ω) una classe {W (u)}uL di elementi non nulli,
detti generatori di W(L,ω) tali che :
28
1)valgono le relazioni di Weyl:
i
W (u)W (v) = e 2 ω(u,v) W (v)W (u)
,
∗
W (u) = W (−u)
∀u, vL;
2)W(L,ω) sia generata da {W (u)}uL cioé W(L,ω) coincida con la chiusura dello spazio
lineare delle combinazioni lineari finite di prodotti finiti degli elementi in W(L,ω) .
3)Se H é uno spazio di Hilbert ,una rappresentazione (operatoriale) su H dell’algebra
di Weyl associata a (L,ω) , é un’algebra di Weyl associata a (L,ω) i cui elementi sono
operatori limitati su H , che hanno una struttura di C*-algebra rispetto all’operazione
di coniugazione hermitiana. (ossia la norma della C*-algebra é quella operatoriale su H
e l’involuzione é la coniugazione). Il fatto che l’applicazione mappa-simbolo di Weyl é
invertibile permette di definire un differente prodotto sullo spazio delle funzioni definite su
R2n , a partire dal prodotto tra operatori.Questo prodotto (indicheremo con ?) é chiamato
prodotto di Moyal:
Ω(f ? g) = Ω(f )Ω(g)
. Anche in questo caso il prodotto sullo spazio delle funzioni sará non commutativo,
essendo una realizzazione del prodotto non commutativo tra operatori. Scritto in termini
di funzioni , la sua forma integrale sará:
Z
(f ? g)(z) =
−iω(a,z)
Z
da e
db f˜(a) g̃(a − b) e
−iω(a,b)
2
Questo prodotto é non locale :la funzione prodotto (f ? g)(z) (in virtú della sua
definizione) puó avere supporto non vuoto sebbene l’intersezione dei domini delle due
funzioni f,g é vuoto.L’espressione integrale del prodotto ? é simile al prodotto di convoluzione tra le trasformate simplettiche di Fourier f˜ g̃, ma nel nostro caso é presente
un termine in piú pari al nucleo integrale e
−iω(a,b)
2
29
. Inoltre i simboli formano un’algebra
associativa rispetto al prodotto ?.L’associativitá deriva dall’associativitá del prodotto tra
operatori:Â(B̂ Ĉ) = (ÂB̂)Ĉ.
2.6 Parentesi di Moyal
Si puó dimostrare che il prodotto di Moyal tra due funzioni f,g (supponiamo che siano
S ∞ )* puó scriversi :
←−−−−→ ←−−−−→
−ih̄ ∂ ∂
∂ ∂
f ? g = f (z) exp
( a
) g(z)
−
2 ∂q ∂pa
∂pa ∂q a
,(si noti che abbiamo reintrodotto la costante h̄, che ci servirá in seguito) dove la
freccia sul simbolo di operatore differenziale indica la funzione su cui agisce.Lo sviluppo
arrestato al primo ordine in h̄ fornisce il seguente valore :
f ? g = fg +
ih̄ ∂f ∂g
∂f ∂g
((
− a
)) + o(h̄2 )
a
2 ∂pa ∂q
∂q ∂pa
f ? g = fg +
ih̄
{f, g} + o(h̄2 )
2
(dove abbiamo indicato con {·, ·} la parentesi di Poisson). Si dimostra che questa formula
puó applicarsi anche a funzioni che non appartengono a S ∞ . Per le funzioni coordinate
formalmente otteniamo :
q a ? p b = q a pa −
ih̄ a
δ
2 b
pb ? q a = q a p a +
ih̄ a
δ
2 b
.
Possiamo, a questo punto, considerare la forma antisimmetrizzata del prodotto di
Moyal:
{f, g}M =
i
(f ? g − g ? f )
h̄
* spazio delle funzioni dotate di derivata di qualsiasi ordine e tali che ,nel caso di una
sola variabile, |xp f (q) | < Cq,p , ossia la derivata q-esima di f rispetto a x, per la potenza
p-esima di x é maggiorata da una costante C dipendente da q,p.
30
,
{·, ·}M : F (R2n ) × F (R2n ) −→ F (R2n )
che chiameremo parentesi di Moyal. Questa applicazione bilineare ”traduce” ,nell’insieme
delle funzioni (definite su R2n ) la nozione di commutatore dell’insieme degli operatori.Se
indichiamo con Ω la mappa di Weyl e con Ω−1 il simbolo di Weyl possiamo scrivere :
{f, g}M =
i −1
Ω [Ω(f ), Ω(g)],
h̄
per questo motivo la parentesi di Moyal, oltre ad essere bilineare e antisimmetrica, soddisfa
l’identitá di Jacobi:
{f, {g, h}M }M + {g, {h, f }M }M + {h, {f, g}M }M = 0,
e la regola di Leibnitz, per ogni terna di funzioni, rispetto al prodotto di Moyal:
{f ? g, h}M = f ? {g, h}M + {f, h}M ? g.
Siccome la parentesi di Moyal soddisfa la regola di Leibnitz per una data funzione H F (R2n ) l’applicazione : {·, H}M : F (R2n ) −→ F (R2n ) é una derivazione nell’algebra ?
non abeliana§ .Dunque in un sistema di coordinate (q a , pa ) si puó definire :
q˙a =
d a
(q ) ≡ {q a , H}M
dt
p˙a =
d
(pa ) ≡ {pa , H}M
dt
o in generale per una funzione f (q a , pa ):
d
f (q a , pa ) ≡ {f (q a , pa ), H}M .
dt
Nel caso bidimensionale ,(q,p), (per f, gF (R2 )) la parentesi di Moyal si scrive :
{f, g}M = ih̄{f, g} + Σ∞
k=2 (
§ si veda biblio. n3
31
ih̄ k Dk (f, g) − Dk (g, f )
)
2
k!
dove:
k
k
k
∂kf
∂kf ∂kg
∂kg
k∂ f ∂ g
−
.
Dk (f, g) ≡
+
...
+
(−1)
1 ∂q k−1 ∂p ∂pk−1 ∂q
∂q k ∂pk
∂pk ∂q k
Dunque per ogni coppia di funzioni f e g ,delle quali almeno una é quadratica o lineare in
(q,p),la parentesi di Moyal coincide con la loro parentesi di Poisson, ma altrimenti le due
parentesi sono ben differenti.
Dimostriamo, a questo punto, che le derivazioni indotte dalla parentesi di Moyal sono
connesse con la dinamica quantistica. Consideriamo , a tal fine , l’evoluzione quantistica
nella rappresentazione di Heisenberg§ .Gli operatori evolvono secondo la formula :
Â(t) = Û † (t)ÂÛ (t)
applicando il simbolo di Weyl a entrambi i membri otteniamo:
Ω−1 (Â(t)) = Ω−1 (Û † (t)ÂÛ (t))
(si puó dimostrare in generale che Ω−1 (Â† ) = A∗ ))
A(t) = (U ∗ (t) ? A ? U (t)).
Se consideriamo che l’operatore U ha la forma e
−iĤt
h̄
, la relazione di prima puó scriversi in
forma infinitesima :
dA(t)
iĤ
iĤ
=
? (U ∗ (t) ? A ? U (t)) − (U ∗ (t) ? A ? U (t)) ?
dt
h̄
h̄
ossia :
dA(t)
= {H, A(t)}M .
dt
. Queste equazioni mostrano che il formalismo alla Weyl permette di scrivere l’evoluzione
quantistica in temini di equazioni che coinvolgono funzioni sullo spazio delle fasi ,dove é
§ si veda appendice
32
definita una dinamica classica. In questo formalismo ,gli stati sono definiti da funzioni che
sono dei proiettori, ossia:
ρ ? ρ = ρ,
il problema agli autovalori per l’Hamiltoniana H diventa:
H ? ρ = EρE
e H ammette la decomposizione :
H = ΣE EρE ,
dove :
1
E=
2πh̄
Z
1
(H ? ρE )(q, p)dqdp =
2πh̄
Z
(HρE )(q, p)dqdp.
Inoltre l’evoluzione temporale é determinata dall’equazione :
ih̄
d Ht
e = H ? eHt
dt
dove:
Ht
e
=
Σ∞
n=0
n
1 −it
(H?)n
n! h̄
avendo definito:
(H?)n ≡ H ? H.... ? H (n f attori).
La serie infinita di derivate che compaiono nel prodotto di Moyal, cosí come nella parentesi
,mostra il senso in cui la meccanica quantistica é non locale.In particolare una funzione
d’onda risente della presenza di un potenziale anche in punti al di fuori del dominio del
potenziale stesso.Inoltre si vorrebbe sottolineare che il formalismo di Weyl-Moyal non é
una approssimazione ma una trascrizione esatta della meccanica quantistica.
33
2.7 Sul significato della quantizzazione alla Weyl
Il programma alla Weyl fin qui esposto contiene in sé un cambiamento di punto di
vista :non considerare la meccanica classica come punto di partenza per la quantizzazione
,ma piuttosto condiderare la meccanica classica come caso limite di quella quantistica
.Il punto di partenza per un programma di questo tipo é la giustificatione della validitá
delle relazioni di commutazione di Heisenberg indipendentemente dalle considerazioni sulle
parentesi di Poisson (principio di corrispondenza).
Per comprendere le argomentazioni addotte da Weyl é necessario (cosí come giá esposto) considerare una forma integrale delle relazioni di commutazione :sostituire gli operatori differenziali autoaggiunti(non limitati) con operatori unitari (i soliti gruppi ad un
parametro di operatori unitari che costituiscono un omomorfismo del gruppo additivo della
retta reale su uno spazio di Hilbert). Nel caso in cui lo spazio H é finito dimensionale la
rappresentazione t −→ U A t ( con A autoaggiunto) corrisponde alla formula :
U A t = eiAt =
X∞ (iAt)n
n=0
n!
Piú in generale il teorema di Stone stabilisce che
1 d
A
i dt U t |t=0
é uguale ad A .Dunque
”gli oggetti fondamentali” con cui avere a che fare sono le rappresentazioni unitarie della
retta reale s −→ eisP e t −→ eitQ (invece degli operatori P,Q) i quali forniscono una
relazione di commutazione piú generale (utizzando una notazione analoga a quella delle
pagine precedenti idicheremo eisPk = Uk (s) , eitQj = Vj (t) ):
j
Uk (s) Vj (t) = eistδk Vj (t) Uk (s)
Uk (s) Uj (t) − Uj (t) Uk (s) = Vk (s) Vj (t) − Vj (t) Vk (s) = 0
∀s, t, i, k, j
Raccogliendo insieme gli operatori tipo eisPk in una sola rappresentazione unitaria U
del gruppo commutativo delle n-ple di numeri reali otteniamo (eisk Pk = Uk (sk ) , eitQj =
Vj (tk ) ):
Us1 ,...sn ≡ Us =
N
Y
k=1
34
Uk (sk )
e facendo lo stesso con Vj (tk )
Vt1 ,...tn ≡ Vt =
N
Y
Vk (tk )
k=1
Piú in generale Weyl consideró l’operatore unitario del gruppo additivo R2n dato dalla
formula :
Ws1 ,...sn ,t1 ,...tn ≡ Ws,t = Us Vt
Ebbene W non costituisce una rappresentazione del gruppo R2n (infatti risulta W(x+y) 6=
W(x) W(y) ) eppure gli si avvicina di molto ,c’é un fattore di fase dipendente da x, y.
Esattamente risulta
W(x+y) = σ(x, y)W(x) W(y) dove σ : R2n −→ C(numeri complessi con modulo 1)
Da cui il termine rappresentazione proiettiva con moltiplicatore σ. Piú in generale vale il
teorema di Mackey :
dati due gruppi topologici G1 , G2 e commutativi e G = G1 ⊗ G2 (prodotto diretto
dei due). Si consideri W(x,y) = Ux Vy con U,V rappresentazioni unitarie di G1 e G2 rispettivamente nello stesso spazio di Hilbert H,e tali che soddisfino le seguenti relazioni di
commutazione:
Ux Vy = Vy Ux ρ(x, y) ∀xG1 ∀yG2
avendo indicato con ρ una funzione da G a valori complessi di modulo uno; allora x, y −→
W(x,y) costituisce una rappresentazione unitaria proiettiva di G ,il cui moltiplicatore σ é
dato dalla formula :
σ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = ρ(x2 , y1 )
Dimostrazione :
W(x1 ,y1 )(x2 ,y2 ) = W(x1 x2 ,y1 y2 ) = Ux1 x2 Vy1 y2 = Ux1 Ux2 Vy1 Vy2
= Ux1 (Ux2 Vy1 )Vy2 =Ux1 (Vy1 Ux2 )Vy2 ρ(x2 , y1 )= (Ux1 Vy1 )(Ux2 Vy2 )ρ(x2 , y1 ) =
ρ(x2 , y1 )W(x1 ,y1 ) W(x2 ,y2 )
35
Nel caso di nostro interesse risulta G1 = G2 = Rn , e in base alla forma di Weyl
delle relazioni di commutazione di Heisenberg otteniamo per il moltiplicatore la seguente
formula :
0
0
σ(s1 , ...sn , t1 , ...tn ) (s01 , ...s0n , t01 , ...t0n ) ≡ ei(t1 s1 +...+tn sn )
. Le regole di commutazione di Heisenberg in forma globale corrispondono alla richiesta
per cui W é una rappresentazione poiettiva di R2n con moltiplicatore σ.
Dunque la giustificazione di cui eravamo alla ricerca é stata ottenuta nell’ambito della
rappresentazione dei gruppi . Il programma di Weyl potrebbe essere generalizzato:trovare
uno spazio delle fasi π su cui agisce un gruppo di Lie G, una rappresentazione unitaria di
G su un certo spazio di Hilbert H,e infine individuare una corrispondenza operatori simboli
(funzioni definite su π).In piú richiederemo la covarianza
−1
ρ(g)Op(a)ρ(g)
= Op(a ◦ g −1 )
(Op=operatore ,aF (π) gG). In particolare la generalizzazione della mappa di Weyl
sarebbe ,in questo caso:
Z
Op(a) =
a(x)σx dm
dove σx = operatore unitario su H corrispondente alla simmetria di π nell’intorno di x e
dm la misura su π invariante per azione di G.La scelta di utilizzare gruppi di Lie é fondamentalmente connessa con la loro caratteristica di essere anche delle varietá differenziabili;ció,infatti, permette di avere un misura (dm) regolare. Alla luce di queste osservazioni
si pone naturalmente la domanda:a quale gruppo di simmetria abbiamo fatto riferimento
nella presente trattazione parlando dei sistemi di Weyl? Ebbene si é fatto riferimento al
gruppo di Heisenberg ndimensionale definito come il gruppo di Lie individuato su Rn+1
con legge di composizione data da :x Rn , p Rn , η R
1
(η, x, p) ◦ (η 0 , x0 , p0 ) = (η + η 0 + Σni=1 pi x0i − p0i xi , x + x0 , p + p0 )
2
L’algebra di questo gruppo é composta da 2n+1 generatori :pi , xi , 1 con i=1...n e tali
generatori soddisfano le regole di commutazione :[xi , pi ] = δij 1
i,j=1...n.
36
, [xi , 1] = [pi , 1] = 0
Dunque proviamo a ripercorrere la presentazione dei sistemi di Weyl .Siamo partiti con
un approccio geometrico parlando di uno spazio vettoriale simplettico ; in veritá si puó considerare uno spazio delle fasi che sia una varietá (che indichiamo con M)diffeomorfa ad un
piano , su cui sia definita una due forma (ω) differenziale chiusa e non degenere.Supponiamo
M di dimensione finita ,diciamo 2n.Fissato un punto m di M, indichiamo con Mm lo spazio
tangente,e con ωm la forma antisimmetrica e bilineare non degenere;la coppia (Mm , ωm )
corrisponde allo spazio vettoriale simplettico (in particolare consideriamo M diffeomorfa
a Mm ). Ci interessa l’algebra dei polinomi su Mm di grado uno (algebra di Lie rispetto
alle parentesi di Poisson ). É proprio questa l’algebra di Heisenberg.Infatti introducendo
coordinate canoniche otteniamo [xi , y j ] = δ ij .
Il gruppo semplicemente connesso generato da detta algebra é il gruppo di Heisenberg
in m (che indicheremo con h ).Nel corso della trattazione si é fatto spesso riferimento al
gruppo R2n .Anche questo eúno spazio vettoriale simplettico ; la sua algebra é ottenuta considerando sempre i polinomi di grado uno corredati dalle parentesi di Poisson.Considerare
Mm o R2n é la stessa cosa.
Infatti introdotto un sistema di coordinate canoniche la varietá Mm é isomorfa a R2n ,le
algebre sono isomorfe, i gruppi sono isomorfi (e ωm diventa una matrice) .
Infine abbiamo considerato la rapprentazione irriducibile W di h su uno spazio di
Hilbert tale che W(1)=exp(i)1 (forma alla Weyl delle relazioni di commutazione ).
osservazioni Nell’approccio standard l’analisi di Fourier per le funzioni integrabili su
uno spazio vettoriale (corredato con una misura di Lebesgue invariante per traslazioni ) si
é soliti considerare la trasformata secondo la formula :
f˜(w) =
Z
dzf (z)e−i(z·w)
e questa applicazione puó essere invertita (a condizione che la funzione abbia una crescita
controllata):
Z
f (z) =
dwf˜(w)ei(z·w)
37
Attraverso il teorema di Plancherel questa applicazione puó essere estesa alle funzioni a
quadrato integrabile . Da un punto di vista geometrico questa mappa definisce una rapprentazione unitaria del gruppo delle traslazioni (Rn , +).Il nucleo integrale é un fattore di
fase che rappresenta l’azione del covettore w sul vettore z (si ricordi Rn∗ = Rn ).Tale azione
viene espressa in termini di un prodotto scalare, ossia di una due forma simmetrica che
agisce sui vettori.Nel nostro caso abbiamo a disposizione uno spazio vettoriale dotato di
una due forma (L ' R2n , ω).Sembra dunque naturale realizzare una analisi armonica che
faccia utilizzo di questa struttura.Sostituendo il prodotto scalare con la due forma antisimmetrica otteniamo una mappa covariante per azione del gruppo simplettico5 .Infatti,una
generica trasformazione T simplettica agirá in questo modo: T t ωT = ω(supponiamo ω
scritta in forma canonica di Darboux).In conseguenza di questa applicazione la trasformata simplettica di Fourier rimane inalterata :
Z
f (z) =
dw f˜(w) eiω(z,w) .
Conclusioni
Lo scopo del presente elaborato é stato la trattazione del formalismo di Weyl.Questo
formalismo si basa sulla definizione dei sistemi di Weyl.Il punto di partenza ,per questa
definizione, é uno spazio vettoriale simplettico che abbiamo indicato con (L,ω)(ove L é uno
spazio vettoriale finito dimensionale mentre ω é una forma bilineare ,antisimmetrica e non
degenere).Esattamente per sistema di Weyl si intende una applicazione W, che va da L
nell’insieme degli operatori unitari su uno spazio di Hilbert separabile (H):
W : L 7−→ U (H)
tale che per ogni coppia di vettori z,z’L :
W (z + z 0 ) = e
5
iω(z,z 0 )
2h̄
si veda biblio.n1
38
W (z)W (z 0 ),
(dove W é continuo nella topologia forte degli operatori). Inoltre abbiamo osservato che
ogni spazio vettoriale puó essere riguardato come realizzazione del gruppo delle traslazioni.
Dunque abbiamo interpretato il sistema di Weyl come una rappresentazione unitaria proiettiva associata a questa realizzazione,dove il fattore di fase é connesso alla forma simplettica
definita su L. Siamo poi passati a considerare una realizzazione irriducibile del sistema di
Weyl, la rappresentazione di Schrödinger, identificando L = T ∗ S(fibrato cotangente su S
che é uno spazio vettoriale di dimensione finita), H con L2 (S, dx), spazio delle funzioni a
quadrato integrabile su S rispetto alla misuara di Lebesgue dx invariante per traslazioni.In
questo caso l’operatore W é realizzato in modo da agire su una funzione ψL2 (S, dx)in
questo modo :
W (q, p)ψ(x) = e
−ihp,qi
2
eihp,xi ψ(x − q).
Inoltre abbiamo osservato che la rappresentazione di Schrödinger costituisce ilprototipo di
realizzazione in meccanica quantistica.Infatti in base al teorema di Von Neumann (espresso
in modo non formalizzato):``tutte le realizzazioni irriducibili del sistema di Weyl sono isomorfe tra loro´´.Inoltre abbiamo osservato , che il sistema di Weyl é covariante rispetto
al gruppo delle trasformazioni lineari simplettiche.Infatti se si esegue una trasformazione
lineare simplettica T sullo spazio vettoriale di partenza L,cui corrisponde il sistema di
Weyl W , il sistema di Weyl (WT ), associato allo spazio vettoriale trasformato, é unitariamente equivalente a W.Dunque possiamo osservare che ad ogni trasformazione lineare
simplettica su L ,si puó associare un operatore unitario su H.Questo risultato ha fornito un
metodo per quantizzare alcuni sistemi dinamici classici.In particolare supponiamo che una
data dinamica classica sullo spazio vettoriale L , ammetta una forma canonica attraverso
una hamiltoniana quadratica.L’evoluzione temporale potrá scriversi come un gruppo ad
un parametro di di trasformazioni lineari simplettiche su L.A questo gruppo é possibile
associare (per quanto detto in precedenza),un gruppo ad un parametro di operatori unitari,ossia l’evoluzione quantistica.In seguito é stata introdotta l’applicazione nota come
mappa di Weyl(che abbiamo indicato con Ω).Questa applicazione ha permesso di associare ad ogni funzione a quadrato integrabile su L un operatore limitato su H(almeno
39
formalmente autoaggiunto).La definizione formale é :
Ω(f ) = fˆ =
Z
dwf˜(w)W (w)
(con f˜(w) abbiamo inteso la trasformata di Fourier di f). Abbiamo poi osservato che
tale applicazione é invertibile, dove l’applicazione inversa (Ω−1 ) é stata definita simbolo di
Weyl.In particolare ad ogni operatore Â di Hilbert-Schmidt su H abbiamo associato una
funzione (A) a quadrato integrabile su L, tramite la prescrizione :
tr(ÂW (z)† ) = A
.Dunque attraverso le applicazioni mappa,simbolo di Weyl abbiamo ottenuto una corrispondenza uno a uno tra funzioni e operatori .Per questo motivo Ω,Ω−1 hanno permesso di introdurre ,a partire dal prodotto associativo,non commuatativo tra operatori, un
prodotto (?, chiamato di Moyal) associativo non commutativo nello spazio delle funzioni
(con f,g coppia di funzioni a quadrato integrabile su L) :
−1
f ?g =Ω
Z
(Ω(f )Ω(g)) ≡ (f ? g)(z) =
−iω(a,z)
Z
da e
db f˜(a) g̃(a − b) e
−iω(a,b)
2
(al solito con f˜(a) g̃ abbiamo inteso le rispettive trasformate di Fourier di f,g).Lo stesso
prodotto puó riscriversi secondo la formula ,particolarmente predicativa,:
←−−−−→ ←−−−−→
∂ ∂
−ih̄ ∂ ∂
( a
−
) g(z).
f ? g = f (z) exp
2 ∂q ∂pa
∂pa ∂q a
Il fatto che il prodotto di Moyal tra due funzioni f,g dipenda da tutte le derivate di f,g dimostra che tale prodotto é non locale.Abbiamo poi considerato la forma antisimmetrizzata
di ?, ossia la parentesi di Moyal(({}M ).Questa parentesi per come é definita :
{f, g}M =
i −1
Ω [Ω(f ), Ω(g)],
h̄
é bilineare ,antisimmetrica , soddisfa la regola di Jacobi e la regola di Leibnitz rispetto al
prodotto ?.Dunque data una funzione H F (R2n ) l’applicazione : {·, H}M : F (R2n ) −→
40
F (R2n ) é una derivazione nell’algebra ? non abeliana.Per questo motivo, in un sistema di
coordinate (q a , pa ), si puó definire (per una generica funzione f delle coordinate ) :
df (q a , pa )
≡ {f (q a , pa ), H}M .
dt
Tramite equazioni di questo tipo siamo riusciti a fornire una trascrizione esatta della meccanica quantistica in termini di funzioni definite su uno spazio vettoriale simplettico.
Appendice sui gruppi
Un gruppo di Lie é un gruppo topologico ossia un gruppo algebrico che é anche uno
spazio topologoco dotato di una mappa ψ : (g, h) −→ gh−1 (continua) . In particolare
G deve avere la struttura di varietá differenziabile e le applicazioni Φ : (g, h) −→ gh
τ : g −→ g −1 devono essere differenziabili. Se G é un gruppo con queste proprietá ,
l’operazione di traslazione a sinistra Lg : G −→ G definita da Lg h = gh é un diffeomorfismo
di G in sé .(Anche l’operazione di traslazione a destra lo é).Una traslazione a sinistra
induce una mappa tra i campi vettoriali (Lg∗ X)a = Lg∗ Xg−1 a (X campo vettoriale ,
a destra Lg∗ é la mappa tangente in g −1 a ).Dato un vettore tangente ,A, nell’identitá,
A(Te G) consideriamo il campo vettoriale X su G dato da Xg = (Lg∗ A). Questo campo
é invariante a sinistra Lg∗ Xh = (Lg∗ ) ◦ (Lh∗ A)=(Lg ◦ Lh )∗ A = (Lgh∗ A) = Xgh . (É
possibile dimostrare che X é l’unico campo vettoriale differenziabile invariante a sinistra
ovunque su G tale che Xe = A). I campi invarianti a sinistra su G sono pertanto in
corrispondenza uno a uno con i vettori tangenti nell’unitá, i quali formano uno spazio
vettoriale di dimensione n (G̃). Data un’applicazione ϕ : M −→ N tra due varietá ,
0
diremo che i campi sono ϕ−related se (ϕ∗ Xp ) = Xϕ(p)
∀pM . In generale non esiste
un campo vettoriale ϕ−related ad un generico campo vettoriale X su M a meno che ϕ
non é un diffeomorfismo.In proposito si enuncia il seguente risultato : se ϕ : M −→ N
41
é un’applicazione (C ∞ ) e X,Y sono campi ϕ−related su M rispettivamente a X’,Y’ su N
la loro parentesi di Lie [X, Y ] e [X 0 , Y 0 ] sono ϕ−related, ossia [X 0 , Y 0 ]ϕ(p) f =ϕ∗ [X, Y ](p) f ,
dove f : N −→ R. Se X,Y sono invarianti a sinistra su un gruppo di Lie allora dal risultato
precedente segue Lg∗ [X, Y ] = [X, Y ].Lo spazio vettoriale G̃ perció forma un’algebra ndimensionale chiamata algebra di Lie del gruppo .Poiché esiste una corrispondenza
uno a uno tra G̃ e (Te G) si puó pensare di scrivere [A, B] ∀A(Te G),ossia si puó pensare
che la struttura di algebra di Lie viva sullo spazio tangente all’identitá.Un omomorfismo
tra gruppi di Lie G e M é un’applicazione differenziale ϕ : G −→ M che é un omomorfismo
di gruppo ,ϕ(gh) = ϕ(g)ϕ(h),∀(g, h)(G).Nel caso in cui ϕ é un diffeomorfismo, ϕ é detto
isomorfismo tra gruppi.Un risultato notevole é il seguente :un omomorfismo di gruppo,
ϕ : G −→ M , ne induce una di algebre, ϕ∗ : G∗ −→ M∗ .Se ϕ é un isomorfismo , allora
ϕ∗ é un isomorfismo di algebre. In particolare un sottogruppo ad un parametro é
un omomorfismo γ : R −→ G tale che γ(t + s) −→ γ(s)γ(t). L’applicazione esponenziale
exp:Ĝ −→ G é definita dalla relazione exp(X) = γ(1) (dove γ : R −→ G ,sottogruppo ad
un parametro generato dai campi vettoriali invarianti a sinistra). Allora γ(s) = exp(sX). Il
nome mappa esponenziale deriva dalla proprietá exp(sX)exp(tX) = γ(s)γ(t) = γ(s + t) =
exp(s + t)X. Un sottogruppo di Lie H di un gruppo di Lie G é un sottogruppo algebrico
tale che l’immersione i : H −→ G i(g)=g dia una sottovarietá regolare.Un gruppo é chiuso
se é un sottoinsieme chiuso di G. Sia M una varietá differenziabile e G un gruppo di Lie
,per azione di G su M intendiamo Φ : G × M −→ M spesso indicata con Φ(g, x) = gx tale
che :
i) ex=x ∀xM dove e é l’identitá.
ii)(gh)x=g(hx)
, in questo caso G é detto gruppo di trasformazione per M.L’azione di G su M é
detta effettiva ae e lascia tutti i punti xM fissi (gx = x =⇒ g = e).Per orbita di un punto
xM intendiamo l’insieme Gx = {gx|gG} e l’azione di G su M é transitiva se l’intera
varietá M é orbita di alcuni punti di M.In questo caso M é detta varietá omogenea di G. Un
sottogruppo é chiamato normale se gN g −1 = N ∀gG, da cui risulta gN = gN g −1 g = N g.
42
Se G é un gruppo topologico e V uno spazio vettoriale topologico ,una rappresentazione T di G in V:
T : G −→ Aut(V ) : a −→ T (a)
ossia che associa ad ogni elemento del gruppo un operatore continuo e lineare T(a) su V,
e tale che :
T (ab) = T (a)T (b)
T (a) = 1
∀a, bG. In particolare se lo spazio V é uno spazio di Hilbert, e T(a) operatore unitario
∀aG ,la rappresentazione sará presa fortemente continua.Date due rappresentazioni T,T’
di G in H,H’ si diranno unitariamente equivalenti se esiste una mappa U da H in H’
tale che ,∀aG,:
U T (a) = T 0 (a)U
. Una rappresentazione unitaria e continua é detta irriducibile se non esiste alcuno spazio
vuoto di H che rimane invariato sotto l’azione dell’intero insieme di trasformazioni T(a).
Appendice :decomposizione spettrale
Per ogni operatore autoaggiunto esiste una decomposizione spettrale del tipo : A =
R
xdÊx dove gli operatori Êx costituiscono una famiglia spettrale e cioé soddisfano alle
seguenti proprietá :
a)per ogni x reale Êx é un operatore di proiezione ortogonale su un sottospazio lineare
dello spazio di Hilbert;
b)limx→−∞ Êx = 0;
c)limx→∞ Êx = 1;
d)lim→0 ||Êx+ − Êx |ψi|| = 0;
Abbiamo utilizzato le notazioni seguenti: || · || indica la norma del vettore ,0 é
l’operatore nullo e 1 é l’operatore unitá e infine il limite → 0 si intende per valori strettamente positivi di .Dalla definizione segue facilmente che :Êx Êy = Êy Êx = Êx , x < y.
43
Si ha allora che ogni funzione f(A) puó essere definita attraverso l’integrale:f (A) :=
R∞
f (x)dÊx .
−∞
L’integrale rispetto alla famiglia spettrale deve intendersi secondo la seguente costruzione
:
sia f(x) continua in un intervallo (a,b). Suddividiamo l’intervallo in n parti a =
x0 , x1 , x2 , ...xn = b.
Formiamo poi le somme parzialiSn =
Pn
k=1
f (xk )(Êxk − Êxk−1 ) e mandiamo n →
∞ in modo che tutti gli intervalli parziali tendano uniformente a zero.Il limite definisce
Rb
l’integrale a f (x)dÊx .Per quello che ci interessa non attribuiremo a dÊx un significato
particolare , ha solo un valore simbolico nella definizione di prima. La famiglia spettrale
caratterizza interamente l’operatore autoaggiunto,in particolare il suo spettro.L’asse reale
é suddiviso in tre sottoinsiemi :R(A),P σ(A) e Cσ(A):
a)R(a) é detto insieme risolvente é costituito dai punti x tali che Êx é costante in un
intorno di x;i punti di R(A) non contribuiscono alla decomposizione spettrale ;
b)P σ(A)(lo spettro discreto ) é costituito dai punti di discontinuitá di Êx :e cioé
P σ(A) = {x|limy→x Êy 6= Êx }
c)Cσ(A) (lo spettro continuo) é costituito dai punti x in cui Êy ćontinuo anche a sinistra in x , ma non é costante in alcun suo intorno. Si verifica facilmente che i punti dello spettro discreto corrispondono agli autovalori di A nel senso che per ogni xP esiste almeno un
R∞
vettore hx tale che :Ahx = xhx. Si ha infatti :AÊx − Êx− |ψi = −∞ ydÊy (Êx − Êx− )|ψi =
R∞
R∞
yd
Ê
Ê
|ψi
−
y Êx− |ψi=
y
x
−∞
−∞
Z
x
Z
x−
ydÊy |ψi −
−∞
Z
x
ydÊy |ψi =
−∞
ydÊy |ψi ∼ x(Êx − Êx− )|ψi
x−
L’operatore Px = lim→0 Êx − Êx− proietta perció nel sottospazio delle soluzioni
dell’equazione agli autovalori A|ψi = x|ψi
Appendice :Rappresentazione di Heisenberg per l’evoluzione temporale
É noto che l’equazione di Schrödinger per i vettori di stato é un’equazione differenziale su uno spazio di Hilbert a infinite dimensioni.Inoltre sappiamo che le sue soluzioni
44
possono essere espresse nella forma ψ(t) = U (t, t0 )ψ(t0 ), dove l’operatore U (t, t0 ) soddisfa
l’equazione del primo ordine :
ih̄
d
U (t, t0 ) = HU (t, t0 ) (1)
dt
con le condizioni iniziali :
U (t0 , t0 ) = 1.
Questa equazione é leggermente differente dalla rappresentazione ”spazio-tempo” associata all’equazione di Schrödinger per la funzione d’onda ,che é invece una equazione
differenziale alle derivate parziali ,la cui soluzione é definita su tutto lo spazio tempo (di
Minkowski). Il valor medio dell’osservabile A sullo stato ψ é : hAiψ ≡
(ψ,Aψ)
(ψ,ψ)
ma se si considera un nuovo vettore di stato (dove V(t) é un operatore scelto opportunamente ):
Φ(t) ≡ V (t)ψ(t) il suo valor medio diventa: hAiψ ≡
(Φ,V AV −1 Ψ)
.
(Ψ,Ψ)
Questo permette di
definire :
A(t, t0 ) = V AV −1
e nella rappresentazione di Heisenberg si sceglie:
V (t) ≡ U −1 (t, t0 )
che implica :
A(t, t0 ) = U −1 (t, t0 )AU (t, t0 )
Φ(t) = U −1 (t, t0 )U (t, t0 )ψ(t0 ) = ψ(t0 ).
Questo significa che nella rappresentazione di Heisenberg gli operatori evolvono nel tempo
mentre i vettori di stato restano fissi.Inoltre ,in base all’equazione (1) otteniamo :
ih̄
d †
U (t, t0 ) = −U −1 (t, t0 )H
dt
45
da cui:
ih̄
d
A(t, t0 ) = −U −1 (t, t0 )(AH − HA)U (t, t0 ) = [A(t, t0 , H)].
dt
Questo implica che l’operatore A(t, t0 ) é una costante del moto se e solo se commuta con
H.
.
46

Introduzione Capitolo 1 1.1Introduzione L`argomento della presente

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