Corso Ordinario. Problemi e quesiti

2010
Corso Ordinario. Problemi e quesiti
Il candidato risolva uno dei due problemi e cinque dei dieci quesiti in cui si articola
il questionario.
PROBLEMA 1
Sia ABCD un quadrato di lato 1, P un punto di AB e ∞ la circofnerenza di centro
P e raggioAP . Si prenda sul lato BC un punto Q in modo che sia il centro di una
circonferenza ∏ passante per C e tangente esternamente a ∞.
1. Se AP = x, si provi che il raggio di ∏ in funzione di x è dato da f (x) =
1−x
1+x .
2. Riferito il piano ad un sistema di coordinante Oxy, si tracci, indipendentemente dalle limitazioni poste ad x dal problema geometrico, il grafico di
f (x). La funzione f (x) è invertibile? Se sı̀, qual è il grafico della sua inversa?
3. Sia g(x) = | 1−x
1+x |, con x ∈ R; qual è l’equazione della retta tangente al grafico
di g(x) nel punto R(0,1)? E nel punto S(1,0)? Cosa si può dire della tangente
al grafico di g(x) nel punto S?
4. Si calcoli l’area del triangolo mistilineo ROS, ove l’arco RS appartiene al
grafico di f (x) o, indifferentemente, di g(x).
PROBLEMA 2
Nel piano, riferito a coordinante cartesiane Oxy, si consideri la funzione f definita
da f (x) = bx (b > 0,b 6= 1).
1. Sia Gb il grafico di f (x) relativo ad un assegnato valore di b. Si illustri come
varia Gb al variare di b.
2. Sia P un punto di Gb . La tangente a Gb in P all’asse y intersecano l’asse x
rispettivamente in A e in B. Si dimostri che, qualsiasi sia P , il segmento AB
ha lunghezza costante. Per quali valori di b la lunghezza di AB è uguale a
1?.
3. Sia r la retta passante per O tangente a Ge (e=numero di Nepero). Qual è
la misura in radianti dell’angolo che la retta r forma con il semiasse positivo
delle ascisse ?
4. Si calcoli l’area della regione del primo quadrante delimitata dall’asse y, da
Ge e dalla retta di equazione y = e.
2
Esame di maturità dell’anno 2010
QUESTIONARIO
1. Sia p(x) un polinomio di grado n. Si dimostri che la sua derivata n-esima è
p(n) = n!an dove an è il coefficiente di xn .
2. Siano ABC un triangolo rettangolo in A, r la retta perpendicolare in B al
piano del triangolo e P un punto di r distinto da B. Si dimostri che i triangoli
PAB, PBC, PCA sono triangoli rettangoli
3. Sia ∞ il grafico di f (x) = e3x + 1. Per quale valore di x la retta tangente a ∞
in (x,f(x)) ha pendenza uguale a 2?
4. Si calcoli:
lim 4xsin
x→1
1
x
5. Un serbatoio ha la stessa capacità del massimo cono circolare retto di apotema 80 cm. Qual è la capacità in litri del serbatoio?
√
6. Si determini il dominio della funzione f (x) = cosx.
7. Per quale o quali valori di k la funzione:
(
3x2 − 11x − 4, x 6 4,
h(x) =
kx2 − 2x − 1, se x < 4.
è continua in x = 4?
° n ¢ ° n ¢° n ¢
8. Se n > 3 e n−1
, n−2 , n−3 sono in progressione aritmetica, qual è il valore
di n?
9. Si provi che non esiste un triangolo ABC con AB uguale 3, AC=2 e l’angolo
AB̂C = 45o . Si provi altresı̀ che se AB=3, AC=2 e AB̂C = 30o , allora
esistono due triangoli che soddisfano queste condizioni.
√
10. Si consideri la regione delimitata da y = x, dall’asse x e dalla retta x = 4
e si calcoli il volume del solido che essa genera ruotando di un giro completo
intorno all’asse y.
Risoluzioni
PROBLEMA 1
Analisi Studio di funzione
Geometria euclidea Teorema di Pitagora
1. Poniamo QC = y (il raggio della circonferenza ∏) e riferiamoci al triangolo
P BQ; dato che il lato del quadrato è 1, i lati del triangolo sono P B = 1 − x e
BQ = 1 − y. L’ipotenusa del triangolo è la somma dei raggi delle circonferenze,
quindi P B = x + y. Applicando il terorema di Pitagora al triangolo:
(1 − x)2 + (1 + y)2 = (x + y)2
Anno 2010. Risoluzione problema 1
3
Figura 10.1
Disegno schematico del
problema.
Sviluppando i quadrati ed esplicitando la y si ottiene la relazione tra i due raggi:
y=
1−x
1+x
2. Tracciamo il grafico di f (x).
Dominio: essendo una funzione razionale fratta D : ∀xεR 6= −1
Segno: Il numeratore della frazione risulta positivo per x < 1, mentre il denominatore risulta positivo per x > −1. Pertanto la funzione risulta
1. f (x) > 0
−1≤x≤1
2. f (x) < 0 x < −1 et x > 1
Passiamo ai limiti.
1−x
= −1
1+x
La retta y = −1 risulta essere un asintoto orizzontale. Vediamo cosa accade intorno
ad x = −1;
1−x
lim
= −1
x→1− 1 + x
1−x
lim+
= +1
x→1 1 + x
Passiamo ora alle derivata prima:
lim
x→1
y0 =
−2
(x + 1)2
Essendo il denominatore sempre positivo, la derivata risulta sempre negativa; pertanto la funzione risulta essere sempre decrescente nel dominio. Passiamo alla
derivata seconda:
4
y 00 =
(x + 1)3
4
Esame di maturità dell’anno 2010
In questo caso il segno della derivata coincide con quello del denominatore; pertanto esso risulta:
1. f 00 (x) ≤ 0
−1≤x
2. f (x) ≥ 0 x ≥ −1
Pertanto la funzione ha concavità verso il basso per x − 1 ≤ x, verso l’alto per
x ≥ −1. Il grafico risulta essere:
Figura 10.2
Grafico della funzione.
Essendo biunivoca, la funzione risulta essere invertibile; invertendola si ha:
x=
1−y
1+y
Si noti che la funzione e la sua inversa presentano una medesima relazione funzionale.
3. Dividiamo la funzione in due intervalli:
1−x
1+x
per
g(x) =
x−1
1+x
g(x) =
− 1 ≤ x ≤ +1
altrove
Si veda il grafico della funzione in modulo nella successiva figura.
Anno 2010. Risoluzione problema 2
5
Figura 10.3
Grafico della funzione.
L’equazione della retta passante per il punto R è:
y − 1 = m(x − 0)
In questa relazione bisogna imporre che il coefficiente angolare m sia uguale a
quello della retta tangente a g(x) in R. Per questo
m = g 0 (x = 0)
Esssendo g 0 (x = 0) = −2 (vedi punto precendete sulla derivata della funzione), la
retta richiesta è:
y = −2x + 1
Per quanto riguarda il punto S dal grafico della g(x) si vede che in x = 1 si ha un
punto angoloso; pertanto non risulta definita la derivata prima.
4. L’area richiesta è calcolabile tramite:
AROS =
Z
0
1
1−x
dx
1+x
Se operiamo la divisione tra i polinomi del numeratore e del denominatore, possiamo scrivere:
Z 1
2
AROS =
(−1 +
)dx
1
+
x
0
Z 1
2
AROS = −1 + 2
dx
0 1+x
AROS = −1 + 2(ln(2) − ln(1)) = 2ln2 − 1
Cosa metto nella cassetta degli attrezzi...
• Studio di una funzione con il modulo
• Funzione inversa
• Punti di non derivabilità
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Esame di maturità dell’anno 2010
Risoluzioni
PROBLEMA 2
Analisi Studio della funzione esponenziale.
1. Considerando che f (x) = bx è una funzione esponenziale ci saranno due andamenti in base ai valori di b ovvero per 0 < b < 1 e per b > 1. Riportiamo nella
figura successiva i due grafici di esempio.
Figura 10.4
Grafico della funzione bx
per b=2 (grafico
crescente) e b=1/2.
t
Attenzione alla derivata 2. Essendo P un punto della curva f(x) avrà coordinate (t, b ). Utilizzando la
0
x
x
x
formula:
y
−
t
=
m(x
−
t)
dove
m
=
f
(x
=
t),
la
tangente
alla
curva in P sarà
di b : Db = b · lnb
data da:
y − bt = bt ln(b)(x − t)
Ponendo a sistema la precedente equazione con y = 0, il punto A intersezione della
tangente con l’asse delle x avrà allora coordinate
(
tln(b) − 1
, 0)
ln(b)
Il punto B avrà, invece, coordinate (t, 0). Conoscendo le coordinate dei punti, la
distanza AB sarà data da:
|
tln(b) − 1
−1
− t| = |
|
ln(b)
ln(b)
Quindi, essendo indipendente da t, il segmento ha una lunghezza costante.
AB è uguale ad 1 per b = e e b = 1/e.
3. Se si prende l’equazione, scritta nel precedente punto 2, della generica tangente
alla curva (considerando b = e) e si impone il passaggio per l’origine, si ottiene il
punto di tangenza P (1, e). Il coefficiente angolare della retta r per P ed O sarà
m = e.
Dall’interpretazione trigonometrica del coefficiente angolare si ha che m = tgα
(dove α è l’angolo tra la retta e l’asse delle x). Da ciò deriva che α = arctg(e).
4. L’area A da determinare si può ottenere sottraendo all’area del rettangolo di
base 1 e altezza e (in figura è dato da A+B) e l’area compresa fra la curva e l’asse
delle x (in figura B).
Z 1
A=e−
ex dx = e − (e − 1) = 1
0
Anno 2010. Risoluzione questionario
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Figura 10.5
Rappresentazione delle
aree richieste.
Cosa metto nella cassetta degli attrezzi...
• Grafici della funzione esponenziale e derivata della funzione bx
• Retta tangente ad una curva
• Calcolo delle aree sottese ad una curva.
QUESTIONARIO
Geometria solida Volume del cono, retta perpendicolare ad un piano.
Analisi Limiti notevoli, definizione funzione continua,
derivate n-esime.
Calcolo combinatorio coefficiente binomiale.
Trigonometria teorema del seno.
1. Se consideriamo il generico polinomio
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + ...a1 x + a0
con i coefficienti an ....a0 che appartengono all’insieme dei numeri reali, calcolando
la derivata prima otteniamo
P 0 = nan xn−1 + (n − 1)an−1 xn−2 + ...a1
la derivata seconda sarà:
p00 = n(n − 1)an xn−2 + (n − 1)(n − 2)an−1 xn−3 + ......a2
Ad ogni derivazione successiva sparisce il termine di grado inferiore.
p(n−1) = n(n − 1)(n − 2)...2 · an x + (n − 1)(n − 2)....1 · an−1
8
Esame di maturità dell’anno 2010
Alla n-esima derivazione sparirà il termine con an−1 , avremo quindi:
p(n) = n(n − 1)...2 · 1 · an → p(n) = n!an
2. Se consideriamo la figura seguente
I triangoli ABP e PBC sono rettangoli per costruzione, poichè gli angoli AB̂P
e C B̂P sono angoli retti, infatti la retta r essendo perpendicolare al piano sarà
perpendicolare ad ogni retta appartenente al piano e passante per il punto B.
Per dimostrare che il triangolo APC è rettangolo verifichiamo che esso rispetti il
teorema di Pitagora. Dobbiamo dimostrare che:
P C 2 = P A2 + AC 2
Se consideriamo i triangoli ABP e PBC per il teorema di Pitagora possiamo
scrivere:
P C 2 = BC 2 + P B 2
P A2 = BA2 + P B 2
Se sottraiamo membro a membro queste ultime due equazioni e ricordando che
AC 2 = BC 2 − AB 2 avremo:
P C 2 − P A2 = BC 2 − BA2 ⇒ P C 2 − P A2 = AC 2 ⇒ P C 2 = P A2 + AC 2
che è proprio il risultato che si desiderava dimostrare.
3. Per definizione la funzione derivata ci fornisce il valore del coefficiente angolare
della retta tangente ad una curva in funzione di x, per cui se noi calcoliamo la
derivata prima della nostra funzione e imponiamo il valore di 2 otterremo il valore
della x che soddisfa la condizione richiesta:
f 0 (x) = 3e3x = 2
2
= e3x
3
Anno 2010. Risoluzione questionario
ln
9
2
1 2
= 3x ⇒ x = ln
3
3 3
4. Se riscriviamo in maniera differente il limite avremo:
lim 4
sin x1
1
x
x→1
Questo è un limite notevole del tipo
possiamo scrivere:
lim 4
x→1
sin x
x
sin x1
1
x
che per x → 1 tende ad 1, quindi
=4
5. Se chiamiamo con h l’altezza del cono, possiamo calcolare r, il raggio della
circonferenza di base:
r=
p
802 − h2
quindi il volume del cono in funzione di h sarà:
V =
πr2 h
π(802 − h2 h)
=
3
3
Figura 10.6
Disegno del cono circolare
retto.
per trovare il volume massimo deriviamo rispetto ad h ed uguagliamo a 0:
V0 =
π802
− πh2 = 0
3
da cui
80
h= √
3
Sostituendo questo valore nella formula del calcolo del volume avremo una capacità
di circa 206 litri.
6. Considerato che la funzione cos x non crea problemi per il dominio, l’unica
limitazione è costituita dalla presenza della radice quadrata che è definita solo per
valori positivi del radicando. Per questo motivo dovremo imporre che il cos(x) sia
maggiore o uguale a zero. Il cos(x) maggiore di zero per − π2 + 2kπ < x < π2 + 2kπ.
7. Una funzione è continua in un punto x0 se i limiti per x0 da destra e da sinistra
coincidono. Per rispondere, quindi, alla domanda è sufficiente calcolare i seguenti
limiti:
lim− 3x2 − 11x − 4 = 48 − 44 − 4 = 0
x→4
10
Esame di maturità dell’anno 2010
lim kx2 − 2x − 1 = 16k − 8 − 1
x→4+
Uguagliando i due limiti otteniamo l’equazione con l’incognita k richiesta:
9
16k − 9 = 0 ovvero k = 16
8. Calcoliamo i tre coefficienti binomiali:
µ
∂
n
=n
n−1
µ
∂
n
n(n − 1)
=
n−2
2
µ
∂
n
n(n − 1)(n − 2)
=
n−3
6
Per essere una progressione aritmetica si deve avere che an − an−1 = costante.
Quindi
n(n − 1)(n − 2) n(n − 1)
n(n − 1)
−
=
−n
6
2
2
Riolvendo l’equazione (n deve essere maggiore di 3, perciò le soluzioni n = 0 ed
n = 2 non sono accettabili), si ottiene
n=7
9. Il triangolo ABC, per esistere, deve rispettare il teorema dei seni; quindi se
chiamiamo x l’angolo ACB si ha che:
sin(45◦ )
sin(x)
=
2
3
da cui sin(x) ' 1, 06 che risulta essere impossibile. Se invece l’angolo ABC è di
30◦ , applicando ancora il teorema dei seni, si ottiene
sin(x) =
3
4
per cui si hanno due valori possibili di x, minori di 180◦ (x = 48, 6o x = 131, 4o ).
10. L’area cercata si può
√ calcolare come differenza tra i volume del cilindro di
raggio 4 e altezza h = 4 = 2 √e il volume del solido ottenuto dalla rotazione
dell’area sottesa dalla curva y = x e l’asse y.
Z 2
32π
128π
V = 16πh −
πy 4 dy = 32π −
=
5
5
0
Cosa metto nella cassetta degli attrezzi...
• Fattoriale e derivata di xα
• Geometria solida
• Limite notevole sin(x)/x
• Definizione di funzione continua
• Calcolo del volume di un solido di rotazione