Effetto Sagnac
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Effetto Sagnac
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA Dipartimento di Fisica “Galileo Galilei” LABORATORIO DI ASTROFISICA PROFESSORE G. SARTORI EFFETTO SAGNAC Relazione di laboratorio di Berrugi Marzio Carbone Carmelita Sandri Mario [email protected] ANNO ACCADEMICO 2001/2002 Effetto Sagnac INDICE Pagina 03 INTRODUZIONE Pagina 04 TRATTAZIONE CLASSICA DELL’EFFETTO SAGNAC Pagina 09 TECNICA DI ANALISI DELLA FIGURA D’INTERFERENZA Pagina 12 DESCRIZIONE DELL’APPARATO Pagina 15 FIBRE OTTICHE Pagina 23 CAUSE DI ERRORE Pagina 29 PROCEDURA DI ACQUISIZIONE DEI DATI Pagina 31 PROCEDURA DI ANALISI DEI DATI Pagina 33 PROGRAMMA DI ANALISI DEI DATI Pagina 47 RISULTATI OTTENUTI Pagina 58 CONCLUSIONI Pagina 2 Effetto Sagnac INTRODUZIONE Uno dei postulati della relatività speciale di Einstein afferma che tutti i fenomeni fisici si manifestano nello stesso modo nei sistemi di riferimento inerziali a parità di condizioni iniziali; pertanto non esistono riferimenti privilegiati tra quelli in moto traslatorio uniforme. Questo postulato estende naturalmente a tutti i fenomeni fisici il principio di relatività galileiana; Galileo per primo aveva osservato che il moto rettilineo ed uniforme non influenza i fenomeni meccanici concludendo che non è possibile mettere in evidenza il moto relativo degli osservatori (inerziali) dallo studio di fenomeni come la caduta dei gravi o l’oscillazione del pendolo. I riferimenti non inerziali sono invece intrinsecamente distinguibili; in essi infatti un corpo libero descrive traiettorie non rettilinee, il piano di oscillazione del pendolo ruota nello spazio e i gravi spostandosi cadono dalla verticale. Sebbene questi esempi si riferiscano al moto dei corpi, che è regolato dalle leggi della meccanica, anche la fenomenologia indotta dall’elettromagnetismo consente di discriminare tra riferimenti inerziali e riferimenti accelerati; a dimostrazione di ciò nel 1913 Sagnac concepì un dispositivo interferometrico in grado di evidenziare lo stato di rotazione del sistema di riferimento in cui l’apparato è a riposo (vedi figura). Egli constatò che la rotazione induce un ritardo, e conseguentemente una differenza di fase, tra due onde luminose che si propagano in direzioni opposte lungo un cammino ottico chiuso solidale al riferimento che ruota; ciò produce una figura di interferenza dallo studio della quale è possibile risalire alla velocità di rotazione. L’effetto prende il nome dal suo scopritore e pertanto ci si riferisce ad esso come effetto Sagnac. Pagina 3 Effetto Sagnac TRATTAZIONE CLASSICA DELL’EFFETTO SAGNAC Per determinare l’espressione della differenza di fase prodotta dall’effetto Sagnac si consideri la figura sottostante, dove il percorso ottico è circolare con raggio R (come all’interno di una bobina di fibre ottiche) ed è montato su una piattaforma che può essere posta in rotazione attorno al proprio asse verticale di simmetria. Percorsi ottici con giroscopio fermo e in rotazione Il raggio luminoso (laser) entra nel percorso dal punto A, dove viene spezzato da un beam splitter nei due diversi raggi, orario e antiorario; i due raggi si ritroveranno all’uscita nel punto A’, spostata da A a causa della rotazione dell’intero sistema. Nel caso di una semplice spira, la lunghezza del percorso è L = 2 π R, che da fermo viene descritto in un tempo ∆t = L 2π ⋅ R . Se indichiamo con ∆t1 (> t) il tempo necessario = c c al raggio che si propaga in verso concorde alla rotazione per ritornare al beam splitter e con ∆t2 (< t) quello relativo al raggio discorde, risultano soddisfatte le seguenti equazioni: c ∆t1 = 2 π R + R Ω ∆t1 c ∆t2 = 2 π R - R Ω ∆t2 dalle quali si ricava: Pagina 4 Effetto Sagnac ∆ t1 = 2π ⋅ R c − R⋅Ω e ∆t 2 = 2π ⋅ R c + R⋅Ω Pertanto il ritardo temporale tra i due raggi è ∆T = ∆t1 − ∆t 2 = 4π ⋅ R 2 ⋅ Ω 4π ⋅ R 2 ≅ Ω c2 c2 − R2 ⋅ Ω2 Nell’approssimazione si è assunto per ovvie ragioni R Ω << c. La corrispondente differenza di cammino ottico è pari a ∆L = c ⋅ ∆T ≅ 4π ⋅ R 2 Ω c Poiché si dimostra che l’effetto Sagnac è indipendente dalla forma del cammino ottico vale la formula più generale: ρ ρ 4⋅Ω⋅S ∆T = c2 dove S è l’area racchiusa dal cammino ottico. A questa differenza di tempo è associata una differenza di fase ψs tra i due treni d’onde, data dalla seguente espressione in cui ω rappresenta la pulsazione della luce laser emessa: ρ ρ 4 ⋅ω ⋅ Ω ⋅ S ψ s = ω ⋅ ∆T = c2 Questo risultato resta inalterato se l’interferometro è costituito da un mezzo di indice di rifrazione n grazie all’effetto di trascinamento Fresnel-Fizeau dovuto al movimento del mezzo che compensa l’incremento del cammino ottico. Un’analisi più dettagliata che considera anche lo spostamento doppler in frequenza, dovuto al moto del punto d’iniezione del fascio luminoso, e quello dovuto al movimento del mezzo, dimostra che la dipendenza dalla dispersione dovuta al materiale è assente. Infatti, tra le due onde che si propagano nei due sensi opposti non vi è differenza di frequenza se le consideriamo nel riferimento in cui il mezzo è fermo, ovvero la piattaforma ruotante, e quindi non c’è Pagina 5 Effetto Sagnac alcuna dipendenza dalla dispersione. Inoltre nel calcolare la fase di Sagnac non è importante considerare l’effetto doppler, in quanto ∆T resta inalterato essendo la velocità della luce nel vuoto indipendente dalla frequenza, mentre la fase di Sagnac resta corretta all’ordine più basso in R⋅Ω . c La differenza di cammino ottico che si crea per effetto della rotazione dell’interferometro generalmente è molto piccola; assumendo Ω = 2 giri/h (circa 3.5 mrad/s) e R = 10 cm si ottiene per ∆L un valore di circa 1,5 x 10-12 m, decisamente inferiore rispetto alla lunghezza d’onda della luce laser che nel nostro caso è di 0,6 µm. Per incrementare ∆L, e con essa la differenza di fase ψs, si utilizza come guida per la luce una lunga fibra ottica, dell’ordine del chilometro, e la si avvolge quasi completamente attorno ad una bobina; l’area totale racchiusa dal cammino ottico sarà allora pari al prodotto dell’area della bobina per il numero di spire. Esprimendo l’area in funzione della lunghezza L della fibra otteniamo la seguente relazione ψ s = 2π D⋅L Ω c⋅λ dove D è il diametro della bobina. Noti i valori dei parametri L = 472 m (lunghezza della fibra), Pagina 6 Effetto Sagnac R = 8.1 cm (raggio della bobina), λ = 635 nm (lunghezza d’onda della luca laser), si può ricavare il valore della costante di proporzionalità tra ψ s e Ω che risulta pari a: λ ⋅c ≅ 0,3965 sec-1. 4π ⋅ L ⋅ R Confronteremo questo valore con quello che ricaveremo dal fit dei dati sperimentali. Per determinare l’intensità dell’onda risultante in uscita dall’interferometro, si supponga che i segnali in partenza da A abbiano le seguenti ampiezze: s1 = s2 = S0 sin (ωt) Al termine dei due percorsi, trascurando eventuali attenuazioni, le ampiezze luminose istantanee sono: s1 = S0 sin (ωt – α1) s2 = S0 sin (ωt – α2) Nel caso di sovrapposizione di onde coerenti, ossia polarizzate linearmente nello stesso piano, l’ampiezza dell’onda risultante è data da una semplice somma algebrica s1 + s2, che dopo alcuni passaggi (usando le formule di prostaferesi) diventa: s = 2 ⋅ S 0 ⋅ cos con S max = 2 ⋅ S 0 ⋅ cos ψs 2 ψs ψ ⎞ ψ ⎞ ⎛ ⎛ sin ⎜ ω ⋅ t − s ⎟ = S max ⋅ sin ⎜ ω ⋅ t − s ⎟ 2 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ e ψ s = α1 – α2 (effetto Sagnac). L’intensità massima dell’onda risultante è proporzionale al quadrato delle ampiezze e precisamente: 2 I = K ⋅ S max = K ⋅ 4 ⋅ S 02 ⋅ cos 2 Pagina 7 ψs 2 = I 0 ⋅ cos 2 ψs 2 Effetto Sagnac dove I0 è il massimo dell’intensità luminosa raggiunta per ψ s = 0 (segnali in fase e giroscopio con velocità nulla). L’intensità minima I0 = 0 si ha per ψ s = ± π. In alternativa, la precedente espressione può essere sostituita dalla seguente: I = I0 1 + cosψ s 2 Se ne deduce allora che la variazione di fase indotta dalla rotazione dell’interferometro ha come effetto quello di indurre una figura d’interferenza. Pagina 8 Effetto Sagnac TECNICA DI ANALISI DELLA FIGURA D’INTERFERENZA Ingenuamente la fase di Sagnac si può determinare direttamente dalla figura d’interferenza; tuttavia questo metodo è poco utile poiché è estremamente sensibile alle variazioni di intensità della luce focalizzata nella fibra. Una tecnica migliore consiste nell’aggiungere al segnale da analizzare, per mezzo di un disco o un cilindro piezoelettrico, una fase supplementare con dipendenza periodica dal tempo (fase di polarizzazione alternata): φ(t) = φm cos (ωt) Le due onde che si propagano in versi opposti subiscono la stessa modulazione ma in istanti di tempo diversi che indicheremo con t e t – τ; questo induce un’ulteriore differenza di fase tra i due raggi pari a φ(t) e φ(t - τ). Conseguentemente l’intensità del segnale uscente dall’interferometro dipenderà dal tempo secondo la legge I (t ) = 1 I 0 {1 + cos[ψ s + ϕ (t ) − ϕ (t − τ )]} . 2 Per ottenere una stima dello sfasamento si procede ad uno sviluppo in serie di Bessel e di Fourier della funzione intensità: Bessel: I (t ) = ∞ 1 I 0 [1 + J 0 (ϕ e ) cos(ψ s )] + I 0 cos(ψ s )∑ J 2 k (ϕ e ) cos(2kω ⋅ t − kωτ ) 2 k =1 ∞ 1 + I 0 sin(ψ s )∑ J 2 k −1 (ϕ e ) sin(( 2k − 1)ω ⋅ t − (k − )ωτ ) 2 k =1 Fourier: ∞ I (t ) = S 0 + ∑ S k cos( kω ⋅ t + ϕ k ) k =1 Pagina 9 Effetto Sagnac ⎛ω ⋅t ⎞ dove è stato definito ϕ e = 2ϕ m sin ⎜ ⎟. ⎝ 2 ⎠ Dal confronto delle due espressioni si ricavano immediatamente le seguenti uguaglianze S0 = 1 I 0 [1 + J 0 (ϕ e ) cos(ψ s )] 2 S1 = I 0 ⋅ J 1 (ϕ e )sin (ψ s ) S 2 = I 0 ⋅ J 2 (ϕ e ) cos(ψ s ) S 3 = I 0 ⋅ J 3 (ϕ e )sin (ψ s ) S 4 = I 0 ⋅ J 4 (ϕ e ) cos(ψ s ) … Le armoniche pari risultano essere proporzionali al coseno della fase di Sagnac mentre quelle dispari sono proporzionali al seno. In assenza di rotazione (ψs = 0) S2k-1 = 0 e in uscita dall’interferometro si ha un segnale di frequenza fondamentale doppia rispetto a quella del modulatore. In uscita dal fotodiodo, a causa della non linearità sia della curva di risposta dell’interferometro sia di quella del fotodiodo, si ha un segnale a larga banda che comprende soltanto le armoniche pari (2ω, 4ω, 6ω, …) le cui ampiezze sono legate all’ampiezza del segnale modulante. Quando il giroscopio ruota, la risposta in uscita è dipendente dalla fase non reciproca e sono presenti tutte le componenti armoniche (ω, 2ω, 3ω, 4ω, …). Si può arrivare alle stesse conclusioni effettuando delle considerazioni da un punto di vista geometrico, come mostrato in figura. Giroscopio non in rotazione Giroscopio in rotazione Pagina 10 Effetto Sagnac Nelle espressioni precedenti compare come incognita anche la grandezza costante φe che pertanto deve essere in qualche modo stimata. Una tecnica per farlo consiste nel calcolare i rapporti tra le armoniche pari o dispari consecutive dato che essi dipendono solamente da φe (attraverso le funzioni di Bessel): J (ϕ ) S1 = 1 e S3 J 3 (ϕ e ) J (ϕ ) S2 = 2 e S4 J 4 (ϕ e ) … Ciascun rapporto fornisce una stima indipendente di φe che non risente delle eventuali fluttuazioni dell’intensità della sorgente. Un procedimento analogo è poi utilizzato per ricavare, una volta noto φe, il valore della fase di Sagnac; in questo caso però i rapporti sono calcolati tra le armoniche dispari e pari consecutive. J (ϕ ) S1 = 1 e tan (ψ s ) S2 J 2 (ϕ e ) S3 J (ϕ ) = 3 e tan (ψ s ) S4 J 4 (ϕ e ) … Un’osservazione: se la fase di Sagnac supera il valore π/2 allora la sua determinazione non è più univoca. Pagina 11 Effetto Sagnac DESCRIZIONE DELL’APPARATO Rappresentazione schematica dell’interferometro di Sagnac utilizzato in laboratorio. Il laser da noi usato è a stato solido ed emette luce con lunghezza d’onda pari a 635 nm e la sua potenza di output è 3 mW. La lamina a quarto d’onda è il primo elemento che la luce laser incontra. Serve per polarizzare rettilineamente il fascio luminoso uscente dal laser ed è utile per impedire ad un’eventuale segnale che proviene dalla direzione opposta di interferire con la sorgente laser in quanto si è potuto osservare che ne blocca il passaggio dato che tale segnale presenta un differente grado di polarizzazione. Pagina 12 Effetto Sagnac Poichè tutto l’apparato necessita di un alto grado di polarizzazione, si è deciso di utilizzare un prisma di Glan-Thompson, che ha la caratteristica di rendere il segnale estremamente polarizzato, ma ha lo svantaggio di attenuare il segnale uscente. Lo stadio successivo che si incontra è il beam splitter. Il suo compito dipende dal verso di provenienza della luce: se la luce proviene dal laser, questo oggetto non fa altro che dividere il fascio in due componenti pressoché uguali, una di queste prosegue indisturbata e l’altra viene persa. Quando invece il raggio luminoso ritorna dopo aver compiuto tutto il suo cammino, il beam splitter ha il compito di convogliare parte della luce nel fotodiodo, così da poter essere utilizzata per la misura. Successivamente si incontra un cubo polarizzante, molto utile per polarizzare il fascio laser, soprattutto quello in uscita dalla fibra ottica. Non ha un’efficienza paragonabile al Glan-Thompson, ma si è rivelato necessario anche se presenta una perdita in fatto di segnale uscente, sia all’andata che al ritorno. Oggetto estremamente utile e di vitale importanza per l’esperimento è il focalizzatore, che serve, come dice la parola stessa, a incanalare la luce proveniente dal laser nella fibra ottica. Tale strumento è stato posizionato nel miglior modo possibile affinché vi fosse poca dissipazione del segnale entrante. La costruzione del coupler richiede l’utilizzo dei campi evanescenti che si creano all’esterno dei core delle due fibre. Ciò è stato fatto rimuovendo parte dei cladding di ciascuna fibra tramite acquaforte chimica o tecniche di raschiamento e pulitura. È necessario inoltre tirare le due fibre mentre le si fondono insieme per allargare i loro modi interni al fine di averne una sovrapposizione efficace. È importante notare che i coupler vengono ottimizzati usando fibre altamente birifrangenti. Tale oggetto ha lo svantaggio che ha quattro capi di cui uno è inutilizzato e questo comporta una perdita del segnale. La bobina, da noi usata, non è altro che un cilindro di 8,1 cm di raggio sul quale sono stati avvolti 472 metri di fibra ottica. In realtà per ottimizzare la sensibilità dello strumento sarebbe necessario almeno un chilometro di fibra. Pagina 13 Effetto Sagnac Il modulatore di fase è costituito da due sezioni semicilindriche sovrapposte, tra cui è posta una lamina con caratteristiche piezoelettriche e attorno alle quali è avvolta la fibra. Applicando una tensione sinusoidale alle superfici del materiale piezoelettrico si ottengono delle variazioni periodiche del diametro del cilindro e dunque della lunghezza della fibra avvolta; quest’ultimo effetto induce a sua volta delle modifiche nella fase delle onde. Tale tensione sinusoidale è stata regolata tramite un generatore di segnale. Strumento indispensabile per la raccolta dei dati è il fotodiodo che presenta una risposta quasi costante fino a circa 300 kHz dove è presente un’attenuazione della banda passante del 30%. Data la frequenza di lavoro del modulatore di fase, circa 66 kHz, e considerando tale caratteristica del fotodiodo, si è deciso di utilizzare per l’analisi dei dati solo le prime quattro armoniche. Tutti questi apparati descritti con la batteria, l’inverter e il generatore di tensione, necessari per far funzionare la strumentazione, si trovano sulla piattaforma girevole. Tale piattaforma può ruotare grazie ad un motore regolato da un apposito strumento che ne fa variare la velocità. Il segnale uscente dal fotodiodo e quello uscente dal generatore di onde vengono convogliati fuori dalla piattaforma attraverso cavi coassiali in un oscilloscopio, il quale a sua volta manda il segnale opportunamente mediato al personal computer che ha il compito di acquisirlo e successivamente analizzarlo. Dalla descrizione dell’apparato emerge come il segnale che arriva al fotodiodo è solo una ristretta parte del raggio laser emesso, infatti polarizzatori, beam splitter e coupler perdono parte dell’intensità del fascio. Questo complica ulteriormente la ricezione del segnale, che molto spesso è più debole dei vari raggi riflessi, dunque è necessario selezionare accuratamente il fascio che deve essere analizzato. Pagina 14 Effetto Sagnac FIBRE OTTICHE Le fibre ottiche sono linee di trasmissione costituite da materiali dielettrici in grado di convogliare radiazioni elettromagnetiche comprese fra 0,7 e 1,6 µm. Ciascuna fibra si presenta come un sottilissimo filo di vetro dal diametro variabile tra i 100 e i 200 micron. Sono formate da una parte interna, detta core, di diametro compreso fra 5 e 100 µm, entro cui avviene la propagazione radiazioni, delle e rivestimento da un esterno generalmente dello stesso materiale, detto cladding, che ha un rifrazione indice di minore. Quest’ultimo a sua volta è ricoperto da uno strato più esterno in plastica, detto coating, che ha la funzione di riparare la fibra vera e propria da eventuali abrasioni o scalfiture. Il funzionamento delle fibre ottiche si basa sul fenomeno della riflessione totale delle radiazioni elettromagnetiche sulle pareti interne del nucleo. Il segnale da trasmettere, sia analogico che numerico, modula un trasduttore elettrottico (per esempio un led o un diodo a laser) affacciato a un'estremità della fibra. All'altra estremità la radiazione elettromagnetica viene convertita in segnale elettrico da un fotodiodo. Le prestazioni di una fibra ottica dipendono dalla sua struttura e dall'andamento dell'indice di rifrazione lungo il raggio della fibra. Si dividono in tre tipi. Le fibre ottiche più semplici sono le fibre a gradino (step index), dette anche multimodo. Il diametro del nucleo è di circa 100 µm, molto maggiore della lunghezza d'onda della Pagina 15 Effetto Sagnac radiazione elettromagnetica. Ciò consente alle radiazioni di propagarsi all'interno del nucleo secondo diverse traiettorie (o modi). La differenza di indice di rifrazione fra nucleo e mantello è di circa il 10%. In questo tipo di fibre si verifica una dispersione degli impulsi trasmessi, con la conseguente sovrapposizione di quelli adiacenti, tanto più marcata tanto più elevata è la frequenza del segnale. Si ha pertanto un limite della banda di frequenza utilizzabile dell'ordine di 100 MHz·km. Per aumentare la banda di frequenza si utilizzano fibre step index monomodo e fibre graded index. Le prime hanno un nucleo più sottile (circa 5µm) e una differenza di indice di rifrazione fra nucleo e mantello del 5%. Consentono la propagazione delle radiazioni secondo un'unica traiettoria (monomodo). La modesta sezione del nucleo, però, riduce l'accoppiamento con i trasduttori ottici di ingresso e di uscita. Le fibre graded index sono caratterizzate da un andamento graduale dell'indice di rifrazione all'interno del nucleo. La propagazione delle radiazioni segue pertanto una traiettoria curvilinea anziché a linee spezzate. Ciò riduce la differenza fra le lunghezze delle possibili traiettorie e consente di aumentare la banda di trasmissione. Per studiare qualitativamente la propagazione della luce all’interno di una fibra ottica si può usare l’ottica geometrica. È possibile infatti visualizzare la fibra in un sistema bidimensionale come una regione dello spazio delimitata da due lastre parallele; lo spazio resta diviso in tre zone di cui quella interna ha indice di rifrazione n1 mentre quelle esterne hanno indice di rifrazione n2. Deve essere verificato n2 < n1. Pagina 16 Effetto Sagnac Un’onda piana, immessa nella fibra ottica con un certo angolo d’incidenza θ minore di un certo angolo critico (vedi dopo), subirà una serie di riflessioni totali rimanendo quindi confinata all’interno della fibra. La luce uscirà dalla fibra con un angolo pari a quello d’incidenza indipendentemente che siano presenti strozzature dovute a difetti di fabbricazione o curvature della fibra. In questi punti però si avrà una perdita di energia, e quindi una ulteriore attenuazione del segnale, dovuta alla curvatura. Questo fenomeno si spiega ricordando che quando si ha riflessione totale all’interfaccia tra due dielettrici si forma un campo evanescente nel mezzo meno denso otticamente. Nel caso di una fibra il campo evanescente all’interfaccia mantello-nucleo si propaga insieme alla luce guidata nel nucleo seguendo l’eventuale curvatura della fibra. Bisogna comunque sottolineare che le fibre sopportano senza perdite apprezzabili curvature anche assai elevate corrispondenti talora a raggi di curvatura di 1 mm. La riflessione totale dipende dall’angolo θ con cui entra la luce, infatti dalla legge di Cartesio si ha che ⎛π ⎞ sin θ = n1 ⋅ sin ⎜ − r ⎟ ⎝2 ⎠ dove r è l’angolo d’incidenza sulla superficie interna del nucleo. In corrispondenza di r = rlim (angolo critico definito dalla relazione sin rlim = n2 ) si ricava il massimo valore n1 dell’angolo di incidenza che permette alla luce di propagarsi nella fibra: sin θ lim = n12 − n 22 Questo valore quindi è chiamato apertura numerica. Un altro parametro che caratterizza la prestazione della fibra ottica è l'andamento dell'attenuazione del segnale, per chilometro, in funzione della lunghezza d'onda della radiazione. L'attenuazione del segnale dipende da due fattori: dalle perdite per diffusione dovute alle irregolarità della superficie di separazione fra nucleo e mantello, e dalle perdite per assorbimento dovute alla presenza di ossidrili e ioni metallici che si manifestano con picchi di irregolarità. L'attuale tecnologia permette di ridurre l'attenuazione a 0,16 dB, utilizzando lunghezze d'onda comprese fra 0,85 e 1,30 µm. Pagina 17 Effetto Sagnac In realtà, per studiare la propagazione della luce nelle fibre, si devono introdurre altri parametri. Ad esempio, il numero d’onda normalizzato V riassume le principali caratteristiche fisiche delle fibre ed è definito dalla V = 2π λ0 a ⋅ NA dove λ0 è la lunghezza d’onda della luce nel vuoto, a il diametro della fibra e NA l’apertura numerica. All’interno di una fibra ottica possono propagarsi due tipi di raggi: meridiani, che si propagano lungo l’asse del core, e sghembi, che danno luogo ad una distribuzione di onde stazionarie circolari attorno all’asse. Poiché le onde associate a tali raggi devono interferire in fase tra loro per evitare un decadimento di energia, dovuto ad interferenza distruttiva, si trova che solo un numero discreto di angoli di trasmissione Φ dà luogo a campi che si propagano inalterati nella fibra. Ciascuno di questi angoli permessi corrisponde ad un modo di propagazione caratterizzato da un coefficiente di propagazione β definito come ρ β = n1 k cos φ p con k vettore d’onda e dove il pedice p rappresenta un indice discreto. I modi associati ai raggi sghembi sono caratterizzati anche da un ulteriore indice l detto dei modi angolari in quanto un modo deve dare luogo ad una distribuzione circolare di onde stazionarie caratterizzata per ciò da un numero intero di nodi 2l. In definitiva i raggi sghembi corrispondono a modi con indici l, p ≠ 0 mentre i raggi meridiani danno luogo a modi con l = 0 e distribuzioni del campo a simmetria assiale. Per le caratteristiche vettoriali dei campi, a ogni combinazione l, p sono associati quattro diversi modi, corrispondenti a due orientazioni ortogonali dei campi per ciascuna delle due polarizzazioni. Poiché i raggi con angolo d’ingresso θ > θlim non sono guidati, il numero totale dei modi M è finito ed è: M = V2 2 Pagina 18 Effetto Sagnac Si ha il caso monomodale quando V ≈ 2; infatti M = 2 corrisponde alle due polarizzazioni l = 0 e p = 1. La velocità di fase della luce all’interno della fibra è v = ω . Poiché ω è costante, si β vede che a diversi valori di β corrispondono diverse velocità di fase. Poiché per un diametro del core ≤ 5 µm e λ > 600 nm la fibra si comporta a modo singolo, nel caso specifico del nostro esperimento abbiamo usato fibre unimodali con diametro del core di 3,9 µm, e diametro del cladding di 125 µm. La differenza di indice di rifrazione tra core e cladding è qualche percento. Il problema principale di una guida d’onda, come può essere una fibra ottica, è la dispersione, che è in genere di due tipi: cromatica e intermodale. Quest’ultima è determinata dalla diversa velocità di gruppo dei due modi di una fibra e si può eliminare usando fibre a singolo modo. La dispersione cromatica, invece, si verifica poiché la velocità di gruppo dipende dalla frequenza ottica del segnale, e dunque un generico impulso, propagandosi all’interno della fibra, si distorce. Quest’effetto si può compensare inserendo alcuni dispositivi come fibre compensatrici o reticoli in fibra. Le fibre reali sono affette da perturbazioni quali sollecitazioni meccaniche (torsioni e tensioni), tensioni indotte da gradienti termici ed asimmetrie geometriche che fanno si che l’indice di rifrazione non sia più a simmetria cilindrica come dovrebbe, di conseguenza i modi che si propagano al loro interno hanno velocità di gruppo diverse. Questo fenomeno si manifesta con due effetti macroscopici. Il primo è la dipendenza dallo stato di polarizzazione del campo elettrico dalla lunghezza d’onda, infatti una fibra perturbata non è in grado di preservare lo stato di polarizzazione dell’onda che vi si propaga, ma lo modifica in funzione della frequenza ottica. Il secondo effetto è la distorsione del segnale; in particolare, se si immette un impulso in una fibra monomodale perturbata, in uscita si ottengono due repliche dello stesso impulso, polarizzate diversamente e ritardate l’una rispetto all’altra di un intervallo temporale noto come ritardo di gruppo differenziale. Il fenomeno è chiamato dispersione dei modi di polarizzazione ed è caratterizzato da una forte aleatorietà, conseguenza della natura Pagina 19 Effetto Sagnac casuale delle sue origini e motivo per cui, attualmente, la dispersione di polarizzazione non può essere compensata altrettanto efficacemente quanto quella cromatica. In una fibra monomodale, fissato un valore per la frequenza, il campo elettromagnetico guidato può assumere un’unica configurazione, cioè quella del modo fondamentale. Questo presenta, per quanto concerne il campo elettrico trasverso, un piano di simmetria, ed è quindi facile associargli una direzione privilegiata, la quale, in condizioni ideali, resta fissa rispetto ad un sistema di riferimento inerziale. Dato che una fibra per costruzione presenta una simmetria radiale, la direzione del modo fondamentale è determinata dalle condizioni iniziali date dall’angolo d’ingresso, per cui, come abbiamo detto, per le caratteristiche vettoriali dei campi, in una fibra unimodale ideale si propagano due modi degeneri con le stesse caratteristiche, ma ortogonali tra loro. Se la simmetria radiale della fibra viene rotta, viene meno la degenerazione del modo fondamentale. I due modi vedranno due indici efficaci diversi; il comportamento della fibra in queste condizioni è assimilabile a quello di un materiale birifrangente. Infatti le fibre reali hanno una piccola quantità casuale di asimmetria che implica una piccola quantità di birifrangenza casuale che varia lungo tutta la loro lunghezza. Inoltre curvature, torsioni e tensioni indotte sulla guida implicano sforzi meccanici che creano una birifrangenza addizionale. Quindi se gli stati di polarizzazione delle due onde che si propagano in direzione opposta non sono identici i loro coefficienti di propagazione saranno diversi. All’uscita dal loop le due onde, che vanno ad interferire, non avranno più la stessa fase. Si pensi che la differenza di fase dovuta solamente alla curvatura in una tipica bobina di fibra è addirittura di 100 radianti. Ciò è enorme se si pensa che la fase di Sagnac dovuta alla rotazione della terra è dell’ordine di 10-4 radianti. Pagina 20 Effetto Sagnac Analizzando più in dettaglio tale fenomeno, vediamo come in una fibra a singolo modo imperturbata si possono propagare due modi degeneri, che in letteratura vengono denotati HE11x e HE11y, ai quali è associato un campo elettrico che si denota generalmente con Ex e Ey. Teoricamente, quando una fibra perfetta (es. a simmetria circolare) è disposta in maniera rettilinea, la luce polarizzata linearmente all’ingresso mantiene all’uscita lo stesso stato. Sfortunatamente in pratica non esistono fibre perfette a causa dei svariati problemi già messi in luce. Quando perturbazioni uniformi sono presenti nella fibra, si introducono birifrangenze ellittiche. Questo conduce a differenti costanti di propagazione per i modi. Il campo elettrico E, allora, può essere rappresentato come una sovrapposizione lineare dei campi Ex e Ey della fibra imperturbata: E = Ax(z) Ex + Ay(z) Ey dove Ax(z) e Ay(z) sono le ampiezze dei modi normali dipendenti dalla posizione z lungo la fibra. Tale campo elettrico deve essere soluzione dell’equazione di Maxwell per mezzi disomogenei ed anisotropi: ∇ 2 E + ω 2 µ0 ( ε + χ ) E − ∇ ( ∇ ⋅ E ) = 0 Pagina 21 Effetto Sagnac dove ω è la pulsazione del campo elettromagnetico, µ0 ed ε sono rispettivamente la permeabilità magnetica ed elettrica, e χ, in generale una matrice funzione delle tre coordinate spaziali, rappresenta le perturbazioni indotte sulle guide. Risolvendo l’equazione si giunge ad un sistema per calcolare le variazioni lungo la fibra di Ax(z) e Ay(z): d ⎡ Ax ( z ) ⎤ ⎡ A11 ⎢ ⎥=i dz ⎣ Ay ( z ) ⎦ ⎢⎣ A21 A12 ⎤ ⎡ Ax ( z ) ⎤ ⎢ ⎥ A22 ⎥⎦ ⎣ Ay ( z ) ⎦ dove Aij sono i coefficienti di accoppiamento con A21 = A12*. Di conseguenza nella fibra ci può essere tanto un fenomeno di battimento tra i modi (A11 ≠ A22 e A12 = 0), quanto uno scambio di potenze fra gli stessi (A11 = A22 e A12 ≠ 0), o entrambe le cose. In definitiva, quando un fascio luminoso polarizzato linearmente entra nella fibra, la fibra lo decompone in due componenti ortogonali polarizzate linearmente lungo i due assi principali con differenti velocità di fase. Questo accoppiamento tra le due componenti fa si che lo stato di polarizzazione vari casualmente lungo la lunghezza della fibra. Un metodo diretto per ridurre quest’errore è quello di far uso di porzioni d’onda che passano attraverso la fibra con lo stesso stato di polarizzazione. Osserviamo che lo stato di polarizzazione varia continuamente su tutta la lunghezza della fibra. Per eliminare questo errore è necessario usare solo quelle porzioni d’onda che hanno lo stesso stato di polarizzazione in ogni punto della fibra. Ciò è assicurato dalla reciprocità della fibra stessa se si usa un polarizzatore all’input-output comune dell’interferometro. In tal caso qualunque differenza di fase tra le due onde che passano attraverso il polarizzatore non è dovuta alla birifrangenza della fibra. Però la quantità di luce che resta dopo l’azione di filtraggio del polarizzatore dipende dalla birifrangenza stessa. La qualità del polarizzatore è un fattore importantissimo nel ridurre la differenza di fase dovuta alla birifrangenza. Un polarizzatore ideale la eliminerebbe completamente, ma non i polarizzatori reali, per cui resta sempre una differenza di fase non reciproca diversa dalla fase di Sagnac. Pagina 22 Effetto Sagnac CAUSE DI ERRORE Per misurare accuratamente la fase di Sagnac è necessario ridurre altre differenze di fase che possono variare sotto l’influenza dell’ambiente esterno. A questo scopo si usa il principio di reciprocità per selezionare quelle porzioni delle onde, che si propagano in direzioni opposte all’interno della fibra, che attraversano effettivamente lo stesso cammino ottico. Infatti, in questo modo le due onde in assenza di effetti non reciproci hanno lo stesso ritardo di fase. Variazioni del sistema dovuti all’ambiente esterno cambiano la fase di entrambe le onde della stessa quantità in modo che non si verifichi una differenza nel ritardo di fase. In questo modo il sistema diviene praticamente immune alle influenze esterne molto di più di quanto accadrebbe se applicassimo esternamente tecniche per stabilizzare l’interferometro. Un interferometro di Sagnac è un particolare sistema in cui le due onde che si propagano in versi opposti entrano insieme prima di essere suddivise. Nel caso di una fibra a modo singolo, il modo d’entrata è uguale al modo d’uscita, quindi è necessario semplicemente selezionare quella porzione dell’onda di ritorno che passa attraverso questo modo per assicurare che la fase reciproca accumulata sia identica per entrambe le onde. A questo scopo è sufficiente porre un filtro a modo singolo all’input-output dell’interferometro e rilevare le onde che passano attraverso questo filtro. La nostra capacità di realizzare un sistema reciproco è parzialmente limitata dalla possibilità di costruire un filtro a modo singolo. Un modo per farlo è quello di combinare una fibra a singolo modo con un polarizzatore per eliminare uno dei due modi degeneri. In questo modo, se il polarizzatore fosse ideale, l’eventuale birifrangenza della fibra non contribuirebbe alla differenza di fase tra le due onde. L’interferometro di Sagnac misura effetti non reciproci: i campi elettrici associati ai due raggi che percorrono la fibra in direzione opposta recano una fase la cui origine è riconducibile in parte ad effetti reciproci e in parte ad effetti non reciproci (rotazione dell’interferometro); nel primo caso il contributo alla fase è uguale, in modulo e segno, per i due raggi e di conseguenza non determina alcuna figura d’interferenza mentre nel secondo caso la fase è uguale in modulo ma opposta in segno per le due onde e questo determina la formazione di una figura d’interferenza. Per poter misurare la differenza di fase è necessario ridurre al minimo gli effetti non reciproci che non sono determinati dalla rotazione, i quali possono sovrapporsi alterando la misura. Pagina 23 Effetto Sagnac L’intensità ID che arriva al rivelatore è: I D = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos(ϕ1 − ϕ 2 ) dove I1 e I2 sono l’intensità, φ1 e φ2 sono le fasi delle onde uno e due incidenti sul rivelatore. In un sistema reciproco le intensità e le fasi di queste onde sono uguali. Trascurando eventuali attenuazioni diverse da quelle causate dal beam splitter, possiamo esprimere queste quantità come I1 = 1 1 I 0 + ∆I NR , 4 2 I2 = 1 1 I 0 − ∆I NR , 4 2 1 2 ϕ 1 = ϕ 0 + ∆ϕ NR , 1 2 ϕ 2 = ϕ 0 − ∆ϕ NR dove I0 è la potenza d’ingresso, mentre ∆φNR e ∆INR sono le differenze di fase e le intensità non reciproche. Trascurando la differenza d’intensità, in presenza di una piccola non reciprocità dell’apparato l’intensità rilevata è ID = 1 I 0 (1 + cos ∆ϕ NR ) 2 Se la differenza di fase totale non reciproca è molto minore di un radiante il coseno sarà circa uguale a uno e l’intensità rilevata non sarà sensibile alle piccole differenze di fase dovute alla rotazione. È quindi importante aggiungere una fase di bias per spostare il segnale evitando sia i massimi che i minimi della sinusoide. Il problema è che questa fase di bias deve essere stabile o almeno nota in modo da non nascondere la differenza di fase dovuta all’effetto Sagnac. La tecnica di bias migliore usa una fase di bias alternata in modo che l’ampiezza dell’intensità che varia con la frequenza della modulazione di fase sia proporzionale alle piccole velocità di rotazione. Si ottiene una modulazione della differenza di fase tra le onde che interferiscono data da ∆ϕ (t ) = ∆ϕ NR + ϕ m (t ) − ϕ m (t − τ ) dove φm(t) = φm0 sin (ωm t) è la modulazione sinusoidale applicata e τ è la differenza tra gli istanti di tempo in cui le due onde ricevono la stessa modulazione di fase. La Pagina 24 Effetto Sagnac differenza di fase non reciproca a questo punto può essere determinata da un rivelatore di fase. I segnali spuri, che possono nascere a causa di un imperfetto funzionamento del modulatore di fase, possono essere eliminati operando ad una frequenza ωm = π/τ. Cause specifiche di errore sono note con il nome di gradienti termici, effetto Faraday, effetto Kerr, backscattering Rayleigh, photon noise. • Gradienti di temperatura variabili nel tempo lungo tutta la lunghezza della fibra possono indurre effetti non reciproci. In questo caso dobbiamo considerare due aspetti: i fronti d’onda che si propagano in versi opposti nell’interferometro raggiungono lo stesso punto della fibra in istanti diversi. Inoltre il coefficiente di propagazione β, che è legato alla velocità della luce nella fibra, è dipendente dalla temperatura. Per essere più precisi, β è legato all’indice di rifrazione n del core ed è quest’ultimo ad essere dipendente dalla temperatura. Tenuto conto di tutto ciò, se in un punto della fibra avviene una variazione di temperatura, le due onde (oraria e antioraria), passando per quel punto in momenti differenti, avranno velocità diverse. Tutto avviene come se i due raggi percorressero differenti cammini ottici e nell’interferenza si osserva uno sfasamento dovuto a questa differenza. Si dimostra che si ha una velocità angolare aggiuntiva data da ΩT = n ⋅ L2 ⋅ ∆T 24 ⋅ N ⋅ A ⎤ ⎡ dn ⎢ dT + n ⋅ α ⎥ ⎦ ⎣ dove ∆T è la variazione di temperatura sulla bobina, n l’indice di rifrazione del core, L la lunghezza della fibra, N il numero di avvolgimenti attorno alla bobina, A l’area della bobina e α il coefficiente di espansione lineare della fibra. • L’effetto Faraday è anch’esso responsabile della deriva del valore della velocità di rotazione. Questo errore è un offset che dipende dall’ampiezza e dall’orientazione di un eventuale campo magnetico esterno e anche dalla birifrangenza della fibra che possono essere causa di una stima errata della velocità di rotazione. L’effetto del campo magnetico è quello di introdurre una birifrangenza circolare non reciproca ovvero una birifrangenza che dipende dalla direzione di propagazione e che si aggiunge alla già presente birifrangenza reciproca della fibra. La combinazione delle Pagina 25 Effetto Sagnac due fa si che il sistema sia sensibile ai campi magnetici esterni. Infatti senza la birifrangenza reciproca la differenza di fase non reciproca andrebbe a zero se integrata su tutta la fibra perché l’integrale di linea su un circuito chiuso della componente tangenziale di un campo magnetico è zero. Quindi la fase non reciproca accumulata da un lato della fibra si elide con quella di segno opposto accumulata sull’altro lato quando le onde invertono la loro direzione di propagazione rispetto al campo che supponiamo uniforme. Quando invece è presente la birifrangenza reciproca questa compensazione non è completa. Questo effetto cambia con l’orientazione del loop. La bibliografia al riguardo riporta un errore indotto dal campo magnetico terrestre dell’ordine di 10º/h. Per correggere questo problema si possono usare fibre che mantengono la polarizzazione, oppure si può schermare l’interferometro usando materiali che presentano un’elevata permeabilità magnetica. • L’effetto Kerr è dovuto al fatto che l’indice di rifrazione del materiale dipende dall’intensità della luce che lo attraversa. Quindi in una fibra a singolo modo il coefficiente di propagazione dell’onda guidata diviene una funzione della sua ampiezza. Questo significa che se l’intensità della luce si propaga in una direzione, ad esempio oraria, è diversa da quella che si propaga nell’altra, antioraria, il ∆n tra core e cladding sarà diverso nelle due direzioni. Si verificherà così un errore di valutazione della velocità angolare, con l’effetto che la piattaforma sembrerà ruotare anche se essa è ferma. Trascurando altri effetti spuri si trova che l’errore sulla velocità di rotazione è ⎡ I 02 (t ) − 2 I 0 (t ) Ω k = γ ⋅ (1 − 2 K ) ⋅ ⎢ I 0 (t ) ⎢ ⎣ 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ dove γ è una costante e K è il rapporto di splitting del coupler. • Nel backscattering Rayleigh parte della luce che si propaga all’interno di un mezzo con indice di rifrazione n viene diffusa all’indietro. Le diffusioni Rayleigh unite a quelle dovute a discontinuità sulla fibra si combinano dando luogo ad una coppia di onde secondarie che viaggiano in direzione opposta alle primarie; esse non soddisfano il principio di reciprocità, come accade invece per le onde primarie e questo implica un errore casuale nella differenza di fase, che varia con l’ambiente Pagina 26 Effetto Sagnac esterno, dovuto ai differenti cammini ottici e che porta ad un errore variabile nel tempo sulla velocità di rotazione. Tale effetto è dell’ordine di 50º/h. Per ridurre il rumore dovuto al backscattering, si suggerisce di costruire un interferometro con una fibra ottica continua, limitando al minimo il numero d’interruzioni (e quindi di splices, principali responsabili di dispersioni della luce e riflessione). In aggiunta si può usare un modulatore di fase, il quale produce lo stesso tipo di fluttuazione di fase come nel caso di backscattering Rayleigh ma in una banda di frequenza più ampia, in modo tale da poter determinare facilmente l’errore dovuto ad esso. Fortunatamente l’effetto Rayleigh dipende anche dalla lunghezza di coerenza della luce e può quindi essere ridotto usando sorgenti con tempi di coerenza relativamente brevi (es: diodi laser). Infatti, in tal caso, solo la luce scatterata e parzialmente coerente col segnale primario contribuisce ad una non trascurabile perturbazione della fase. Il laser a stato solido da noi usato ha una lunghezza di coerenza relativamente breve. • Un altro limite sulla capacità di misura dei giroscopi a fibre ottiche è dovuto al photon shot noise. La quantità di rumore dipende dalla potenza ottica incidente sul rivelatore. Questo è un effetto dovuto alla natura quantistica della luce; infatti il numero di fotoni che arrivano al rivelatore per unità di tempo non è costante ma varia secondo una distribuzione di Poisson ed il numero medio di fotoni che arrivano al rivelatore al tempo T è dato da N= con un errore pari a 1 I0 ⋅T 2 h ⋅ν N . Questo si riflette in un errore sulla differenza di fase e quindi sulla velocità di rotazione dato da Ω psn = c2 2 ⋅ h ⋅ν 2π ⋅ν ⋅ L ⋅ D I 0 ⋅ T Come si può notare quest’errore dipende fortemente dalle dimensioni della bobina di fibra. Pagina 27 Effetto Sagnac In definitiva il fotodiodo, colpito da un’intensità luminosa data da I = I 0 1 + cosψ s , 2 dovrebbe rispondere con un’analoga tensione V = Vout cos (1 + cos ψs). In realtà, le varie cause esaminate, fanno si che il segnale in uscita sia dato in generale da V = Vout cos (K Ω + C) + D Il fattore K, detto fattore di scala ottico, dipende dalla lunghezza della fibra e dalla frequenza della luce laser; pertanto una loro variazione comporta una deriva del segnale. Il fattore C rappresenta un offset ottico e misura effetti non reciproci del giroscopio non legati alla rotazione. In esso rientrano per esempio l’effetto Kerr e il campo magnetico, i quali possono essere ridotti nella maniera espresse precedentemente. Il fattore D è noto come offset elettronico ed è dovuto all’elettronica non perfetta dell’apparato. Inoltre per minimizzare tali effetti d’errore è necessario aumentare la potenza ottica incidente sul rivelatore per incrementare il rapporto tra l’ampiezza del segnale e quella del rumore fotonico ed elettronico. Ulteriori miglioramenti si raggiungono usando fibre altamente birifrangenti che preservano lo stato di polarizzazione e che eliminano la necessità di utilizzare ulteriori filtri polarizzanti. Pagina 28 Effetto Sagnac PROCEDURA DI ACQUISIZIONE DEI DATI La prima cosa da noi effettuata è stata quella di allineare nella maniera migliore il fascio laser con tutti gli altri strumenti dell’apparato. È stata verificata la perfetta collimazione del fascio laser e si è cercato il miglior posizionamento dei vari elementi, in particolare della lamina a quarto d’onda e del Glan-Thompson. Infatti questi due importanti strumenti devono essere regolati manualmente affinché si possa raggiungere un alto grado di polarizzazione senza subire troppe perdite del segnale. Altresì è stato necessario regolare con cura il beam splitter affinché nel fotodiodo entrasse il raggio luminoso sotto analisi. Abbiamo massimizzato anche il focalizzatore, affinché nella fibra entrasse la maggior parte d’intensità luminosa possibile. Dopo svariati tentativi abbiamo impostato i seguenti valori di frequenza e ampiezza del segnale al piezoelettrico: circa 66 kHz per la prima, corrispondente alla condizione di risonanza del piezoelettrico, e 1,8 V per la seconda, valore quest’ultimo che coniuga l’esigenza di ottenere un numero apprezzabile di armoniche (almeno quattro) con la necessità di rendere φe il più possibile indipendente dalle fluttuazioni del valore dei rapporti S1/S3 e S2/S4. Quindi abbiamo sistemato la fibra ottica in modo tale da osservare un segnale abbastanza ampio e in modo da avere a piattaforma ferma un segnale approssimativamente di tipo sinusoidale (segnale non saturo) che corrisponde ad un valore nullo della fase di Sagnac. Infatti abbiamo notato che anche con piccoli spostamenti della fibra l’intensità del segnale cambiava notevolmente. Per tale motivo ad ogni nuova giornata osservativa si posizionavano le fibre in modo opportuno da ottimizzare il segnale e accendevamo la strumentazione alcune ore prima di effettuare le misure per stabilizzare l’apparato. Terminata questa fase preliminare abbiamo impostato di volta in volta una velocità di rotazione diversa ed eseguito corrispondentemente 15 frame per ogni registrazione del segnale visualizzato all’oscilloscopio. Per ottenere una migliore definizione delle armoniche del segnale abbiamo stretto la scala dei tempi (20 microsecondi per divisione) e variato quella del potenziale nell’oscilloscopio in modo che lo schermo Pagina 29 Effetto Sagnac fosse il più possibile occupato dal segnale. Abbiamo impostato l’oscilloscopio affinché effettuasse 256 medie del segnale per ridurre al minimo il rumore. Inoltre abbiamo sostituito l’oscilloscopio in dotazione da 2500 punti con un altro da 5000 punti in modo da migliorare la risoluzione della Fast Fourier Trasform del segnale. L’oscilloscopio ha una finestra virtuale di cento divisioni in modo che con 20 microsecondi per divisione il periodo di acquisizione è in tutto di 2 millisecondi. È noto che per ottimizzare la FFT è necessario campionare un numero m = 2n valori con m ed n numeri interi. A questo scopo abbiamo arrestato la serie di 5000 punti a 4096 = 212 punti, per cui la frequenza fondamentale della trasformata di Fourier è di circa 0,61 kHz mentre la frequenza di campionamento dell’oscilloscopio è di 2500 kHz. Teoricamente ad un segnale periodico si dovrebbe applicare lo sviluppo in serie di Fourier, ma poiché noi acquisiamo per un tempo finito, l’analisi armonica è stata fatta utilizzando le trasformate di Fourier. Tuttavia, per avvicinarci il più possibile al caso ideale della serie e quindi ottenere una stima più accurata dell’ampiezza dei picchi, abbiamo deciso di impostare il modulatore ad una frequenza che fosse il più possibile vicina ad un multiplo della frequenza fondamentale di calcolo e il valore utilizzato è pari a 65,917969 kHz circa uguale a 108 x 0,61 kHz. In questo modo abbiamo ottenuto dei picchi visibilmente più stretti intorno al valore medio della frequenza di ogni singola armonica ricavando così una stima molto più accurata dell’ampiezza corrispondente. Pagina 30 Effetto Sagnac PROCEDURA DI ANALISI DEI DATI Rispetto agli anni precedenti, abbiamo modificato e migliorato il programma di acquisizione: 1. Si calcola la media dei 15 frame acquisiti. Questo fa si che non si lavori sui singoli frame, ma sulla media di essi, per rendere il meno apprezzabile possibile il rumore. Viene graficato il segnale ottenuto. 2. Dalla media così ottenuta viene eliminata la parte continua per evitare la comparsa di una delta di Dirac nella FFT. Tale procedura pone a zero il termine S0 presente nell’analisi armonica del segnale (vedi tecnica di analisi della figura d’interferenza). Si fa la trasformata del segnale così ottenuto e si compie inoltre un filtraggio per eliminare il valore quadratico medio del rumore dalla stima del valore dell’ampiezza delle singole armoniche. Si ottiene un segnale ricostruito del quale se ne fa un grafico confrontabile con quello precedente e se ne deduce la differenza (rumore). Su tale FFT filtrata si baserà ora la nostra analisi dei dati. 3. Si è aggiunta una parte molto interessante per capire la differenza tra il segnale effettivo, quello ricostruito e la loro differenza. È stata inserita nel programma una parte per mezzo della quale è possibile sentire questi segnali attraverso l’uscita audio del computer. Questo è stato sperimentato e sono state notate molto bene le differenze tra i vari segnali. 4. Sono state ricavate, attraverso la Fast Fourier Transform, le frequenze e le ampiezze delle varie armoniche (ne sono state prese in considerazione quattro). Quest’ultime sono state normalizzate ad 1 utilizzando l’armonica maggiore. Quindi si è calcolato il rapporto tra le armoniche pari (S2/S4), tra le armoniche dispari (S1/S3), e tra quelle dispari e pari consecutive(S1/S2, S3/S4). 5. Si stima il valore di φe attraverso la ricerca dello zero delle funzioni di seguito riportate: Pagina 31 Effetto Sagnac z→ S1 J 1 ( z ) − S 3 J 3 (z ) z→ S 2 J 2 (z ) − S 4 J 4 (z ) Si ricava così il valore di z che rende nulle queste funzioni. Si ottengono così due stime indipendenti di φe. La stima definitiva di φe è data dalla media dei due valori ottenuti mentre l’incertezza è semplicemente la deviazione standard. Non abbiamo considerato l’incertezza sulle ampiezze delle armoniche ricavate dalla media dei frame perché abbiamo verificato essere trascurabile rispetto alle altre cause d’errore. 6. Si stima la fase di Sagnac ψs dalle formule che esprimono il rapporto tra le armoniche dispari e pari consecutive J (ϕ ) S1 = 1 e tan (ψ s ) S2 J 2 (ϕ e ) S3 J (ϕ ) = 3 e tan (ψ s ) S4 J 4 (ϕ e ) Si ricavano, per inversione della tangente e inserendo il valore di φe medio ottenuto al punto precedente, due stime indipendenti di ψs il cui errore è dato al solito dalla formula di propagazione utilizzando la deviazione standard del valore medio di φe. La loro media pesata corrisponde alla stima finale della fase di Sagnac la cui incertezza è data dalla formula dell’errore relativo alla media pesata. 7. L’ultimo procedimento consiste nel convertire il valore ottenuto per la fase di Sagnac, con relativo errore, in un valore di velocità angolare e corrispettivo errore espresso in gradi/h. Pagina 32 Effetto Sagnac PROGRAMMA DI ANALISI DEI DATI Remove[“Global`*”] SetDirectory[“C:”] SetDirectory[“Astrofisica”] SetDirectory[“Sagnac”] SetDirectory[“2002”] C:\ C:\Astrofisica C:\Astrofisica\Sagnac C:\Astrofisica\Sagnac\2002 numcampione = 4096 refervalue = Round[108 * numcampione / 4096] 4096 108 Tale set di comandi è un ciclo per velocizzare l’analisi dei dati acquisiti dai 15 frame. dati = {}; Do[dati = Append[dati, Take[ReadList[StringJoin[Characters[“ec.00ξ”] /. {“ξ” → ToString[1]}], Number], numcampione]], {i, 0, 9}] Do[dati = Append[dati, Take[ReadList[StringJoin[Characters[“ec.0ξ”] /. {“ξ” → ToString[1]}], Number], numcampione]], {i, 10, 14}] Pagina 33 Effetto Sagnac dati[[6]]; Length[dati] Length[dati[[6]]] 15 4096 Tale set di comandi fa la media dei dati ottenuti e ne elimina la parte continua. mediadati = (Plus @@ dati) / Length[dati]; mediadati = (mediatati - (Plus @@ dati) / Length[dati]); Length[mediadati] 4096 ListPlot[mediatati, PlotJoined → True, PlotRange → All] Grafico della media dei dati Pagina 34 Effetto Sagnac fftmediadati = Fourier[mediadati]; absfftmediadati = Abs[fftmediadati]; Procedura di scomposizione della FFT della media in parte reale ed immaginaria fftmediadatiCOS = Chop[Table[fftmediadati[[i + 1]] + fftmediadati[[numcampione + 1 - i]], {i, 1, numcampione / 2}]]; fftmediadatiSIN = л * Chop[Table[fftmediadati[[i + 1]] + fftmediadati[[numcampione + 1 - i]], {i, 1, numcampione / 2}]]; dove si è usato il simbolo л = −1 ListPlot[absfftmediatati, PlotJoined → True, PlotRange → {{0, 700}, All}] ListPlot[fftmediatatiCOS, PlotJoined → True, PlotRange → All] ListPlot[fftmediatatiSIN, PlotJoined → True, PlotRange → All] Grafico del valore assoluto della FFT della media Pagina 35 Effetto Sagnac Grafico della parte reale della FFT della media Grafico della parte immaginaria della FFT della media Pagina 36 Effetto Sagnac Procedura di filtraggio numerofiltraggi = 10; Do[rumbiancoCOS = Take[fftmediadatiCOS, - 480]; rumbiancoSIN = Take[fftmediadatiSIN, - 480]; sqrtrumbiancoCOS = Sqrt[(Plus @@ (rumbiancoCOS^2)) / Length[rumbiancoCOS]]; sqrtrumbiancoSIN = Sqrt[(Plus @@ (rumbiancoSIN^2)) / Length[rumbiancoSIN]]; fftmediadatiCOSFILTR = Table[If[fftmediadatiCOS[[i]] > sqrtrumbiancoCOS, fftmediadatiCOS[[i]] – sqrtrumbiancoCOS, If[fftmediadatiCOS[[i]] < -sqrtrumbiancoCOS, fftmediadatiCOS[[i]] + sqrtrumbiancoCOS, 0]], {i, 1, Length[fftmediadatiCOS]}]; fftmediadatiSINFILTR = Table[If[fftmediadatiSIN[[i]] > sqrtrumbiancoSIN, fftmediadatiSIN[[i]] – sqrtrumbiancoSIN, If[fftmediadatiSIN[[i]] < sqrtrumbiancoSIN, fftmediadatiSIN[[i]] + sqrtrumbiancoSIN, 0]], {i, 1, Length[fftmediadatiSIN]}], {i, 1, numerofiltraggi}] ListPlot[fftmediatatiCOSFILTR, PlotJoined → True, PlotRange → All] ListPlot[fftmediatatiSINFILTR, PlotJoined → True, PlotRange → All] Grafico della parte reale filtrata della FFT Pagina 37 Effetto Sagnac Grafico della parte immaginaria filtrata della FFT Questo set di comandi ricostruisce la FFT complessa dopo il filtraggio delle sue parti reale ed immaginaria. fttmediadatiFIL = Table[0.5 * (fftmediadatiCOSFILTR[[i]] – л * fftmediadatiSINFILTR[[i]]), {i, 1, Length[fftmediadati] / 2}]; fftmediadatiFIL = Join[{0}, fftmediadatiFIL, Reverse[Conjugate[Drop[fftmediadatiFIL, - 1]]]]; Length[fftmediadatiFIL] 4096 segnalericostruito = InverseFourier[fftmediadatiFIL]; differenza = mediadati – segnalericostruito; fftdifferenza = Fourier[differenza]; absfftdifferenza = Abs[fftdifferenza]; ListPlot[mediatati, PlotJoined → True, PlotRange → All] ListPlot[segnalericostruito, PlotJoined → True, PlotRange → All] Pagina 38 Effetto Sagnac ListPlot[differenza, PlotJoined → True, PlotRange → All] Grafico del segnale della media dei dati Grafico del segnale filtrato Pagina 39 Effetto Sagnac Grafico del rumore ListPlot[absfftmediatatiFIL, PlotJoined → True, PlotRange → {{0, 700}, All}] Grafico della FFT del segnale filtrato Pagina 40 Effetto Sagnac ListPlay[Flatten[Join[Table[mediadati, {i, 1, 10}]]]] Visualizzazione grafica del segnale audio associato alla media dei dati ListPlay[Flatten[Join[Table[segnalericostruito, {i, 1, 10}]]]] Visualizzazione grafica del segnale audio associato al segnale filtrato Pagina 41 Effetto Sagnac ListPlay[Flatten[Join[Table[differenza, {i, 1, 10}]]]] Visualizzazione grafica del segnale audio associato al rumore Length[absfftmediadatiFIL] / 2 2048 Questo set di comandi ricava rispettivamente il numero d’ordine dell’armonica, la sua frequenza e la sua ampiezza. Remove[ampiezze] absffttestraz =Take[absfftmediadatiFIL, Length[absfftmediadatiFIL] / 2]; ampiezze = {}; Do[pos = 0.61 * Flatten[Position[absffttestraz, Max[Take[absffttertraz, {i * refervalue – 10, i * refervalue + 10}]]]][[1]]; max1 = Max[Take[absffttertraz, {i * refervalue – 10, i * refervalue + 10}]]; ampiezze = Append [ampiezze, {i, pos, max1}], {i, 1, 10}]; ampiezze Pagina 42 Effetto Sagnac {{1, 66.49, 30.6767}, {2, 132.37, 1986.48}, {3, 198.25, 14.5981}, {4, 264.13, 341.421}, {5, 329.4, 3.56168}, {6, 395.89, 10.8103}, {7, 457.5, 2.09044}, {8, 572.04, 1.00173}, {9, 599.02, 0.617636}, {10, 656.36, 0.521087}} FreqEAmpie = Table[Drop[ampiezze[[i]], {2}], {i, 1, 10}] {{1, 30.6767}, {2, 1986.48}, {3, 14.5981}, {4, 341.421}, {5, 3.56168}, {6, 10.8103}, {7, 2.09044}, {8, 1.00173}, {9, 0.617636}, {10, 0.521087}} Frequenza = Table[Take[ampiezze[[i]], {2}], {i, 1, 4}] {{66.49}, {132.37}, {198.25}, {264.13}} Questo comando serve a normalizzare ad uno le ampiezze ottenute precedentemente S = Table[FreqEAmpie[[i]][[2]] / Max[absffttestraz], {i, 1, 10}] {0.0154427, 1., 0.0073487, 0.171872, 0.00179296, 0.00544191, 0.00105233, 0.000504272, 0.000310919, 0.000262316} listaS1 = Table[S[[1]]] listaS2 = Table[S[[2]]] listaS3 = Table[S[[3]]] listaS4 = Table[S[[4]]] 0.0154427 1. 0.0073487 0.171872 Pagina 43 Effetto Sagnac Rapporti tra le ampiezze delle singole armoniche S13 = Part[listaS1 / listaS3] S24 = Part[listaS2 / listaS4] S12 = Part[listaS1 / listaS2] S34 = Part[listaS3 / listaS4] 2.10142 5.81828 0.0154427 0.0427568 Calcolo di φe con il metodo della ricerca dello zero della funzione eq13 = Abs[BesselJ[1, phie] / BesselJ[3, phie]] – S13 Plot[eq13, {phie, 0, 10}, Plotrange → {- 5, 5}] sol13 = phie /. FindRoot[eq13 = = 0, {phie, 1, 3}] ⎡ BesselJ [1, phie] ⎤ − 2.10142 + Abs ⎢ ⎥ ⎣ BesselJ [3, phie]⎦ 2.56453 eq24 = Abs[BesselJ[2, phie] / BesselJ[4, phie]] – S24 Pagina 44 Effetto Sagnac Plot[eq24, {phie, 0, 10}, Plotrange → {- 5, 5}] Sol24 = phie /. FindRoot[eq24 = = 0, {phie, 3, 5}] ⎡ BesselJ [2, phie]⎤ − 5.81828 + Abs ⎢ ⎥ ⎣ BesselJ [4, phie]⎦ 2.53765 Determinazione del valore medio di φe e relativa deviazione standard phiemedio = (sol13 + sol24) / 2 sigmaphie = Sqrt[(((sol13 – phiemedio)^2) + ((sol24 – phiemedio)^2)] sigmaphiemedio = sigmaphie / Sqrt[2] 2.55109 0.0190062 0.0134394 Calcolo della fase di Sagnac e del relativo errore z = phiemedio; solpsiS12 = N[ArcTan[Abs[BesselJ[2, z] / BesselJ[1, z]] * S12]] solpsiS34 = N[ArcTan[Abs[BesselJ[4, z] / BesselJ[3, z]] * S34]] 0.0144491 Pagina 45 Effetto Sagnac 0.01492 dpsis12dpsie = D[ArcTan[S12 * (BesselJ[2, w] / BesselJ[1, w])], w] /. w → z; dpsis34dpsie = D[ArcTan[S34 * (BesselJ[4, w] / BesselJ[3, w])], w] /. w → z; sigmapsis12 = dpsis12dpie * sigmaphiemedio; sigmapsis34 = dpsis34dpie * sigmaphiemedio; kk = (1 / sigmapsis12)^2 + (1 / sigmapsis34)^2; psismedio = 1 / kk *(solpsiS12 / sigmapsis12^2 + solpsiS34 / sigmapsis34^2) sigmapsismedio = Sqrt[1/kk] 0.0147994 0.0000813796 Calcolo della velocità di rotazione e del relativo errore in gradi/h rot1 = solpsiS12 * 57.3 * 0.393 * 3600 rot2 = solpsiS34 * 57.3 * 0.393 * 3600 rot = psismedio * 57.3 * 0.393 * 3600 sigmarot = sigmapsismedio * 57.3 * 0.393 * 3600 1171.36 1209.53 1199.76 6.59729 Pagina 46 Effetto Sagnac RISULTATI OTTENUTI Dopo aver posto il sistema nelle migliori condizioni possibili, abbiamo variato la frequenza e l’ampiezza del modulatore di fase che regola il piezoelettrico. Nei nostri tentativi siamo riusciti a distinguere chiaramente fino alla decima armonica, ma per il nostro studio si è rilevato necessario l’utilizzo solo delle prime quattro. Per queste ragioni e per quanto detto precedentemente, abbiamo utilizzato i seguenti valori per il modulatore di fase: ampiezza: 1,8 Volt frequenza: 65, 917969 kHz Molti sono i dati da noi raccolti, ma a causa di svariati problemi da noi incontrati e successivamente risolti, si è deciso di inserire qui solo i dati migliori, quelli per i quali sono stati risolti molti dei problemi, che si possono vedere nella sezione cause d’errore. Tali misure sono state raggruppate nelle tabelle di seguito riportate ove: il pedice teo (teorico) si riferisce ai valori ricavati dalla misura diretta del periodo di rotazione della piattaforma. Tale misura è stata effettuata utilizzando una fotocellula collegata ad un cronometro. La fotocellula scattava ogni volta che intercettava i raggi di un disco di cartone applicato alla parte inferiore della piattaforma. Tali raggi distavano l’uno dall’altro di angoli noti e la velocità di rotazione era ricavata dal rapporto tra tali angoli e il tempo intercorso. Da tale valore è stata ricavata la corrispondente velocità angolare e la fase di Sagnac attraverso l’uso della formula teorica. Abbiamo valutato l’errore sulla velocità teorica in due diversi modi: • si sono effettuate 10 misure di velocità per ogni helipot ottenendo il corrispondente valore medio e relativa deviazione standard che è risultata essere pari a circa l’1% della velocità; • a causa delle inevitabili imprecisioni nella costruzione del disco di cartone e relativi raggi, si è stimato un errore massimo di 0,16° per ogni intervallo angolare a cui si aggiunge un errore dovuto alla non uniformità della velocità Pagina 47 Effetto Sagnac della piattaforma soprattutto alle basse velocità. Considerando questi due contributi si è ottenuto approssimativamente un errore sulla velocità angolare di circa l’1%, in accordo col punto precedente. Tenuto conto di quanto detto abbiamo deciso di utilizzare la deviazione standard nel calcolo dell’errore della fase di Sagnac teorica; il pedice mis (misurato) sta ad indicare le misure ottenute tramite l’analisi effettuata per mezzo del programma di elaborazione dati. I vari errori sono stati calcolati con le tecniche spiegate nel programma stesso. Pagina 48 Effetto Sagnac Rotazioni orarie helipot Ωteo σΩteo Ωmis σΩmis Ψs teo σΨs teo Ψs mis σΨs mis Ψs mis - (rad/s) (rad/s) (rad/s) (rad/s) (rad) (rad) (rad) (rad) Ψs teo (rad) 1 0,0165 0,0002 0,017 0,001 0,0421 0,0005 0,044 0,002 0,002 1.5 0,0371 0,0004 0,037 0,002 0,094 0,001 0,095 0,005 0,001 2 0,058 0,001 0,061 0,004 0,149 0,002 0,156 0,009 0,007 2.5 0,080 0,001 0,081 0,003 0,204 0,002 0,206 0,007 0,002 3 0,100 0,001 0,098 0,005 0,256 0,003 0,25 0,01 -0,01 3.5 0,120 0,001 0,124 0,007 0,306 0,003 0,31 0,02 0,01 4 0,144 0,002 0,154 0,009 0,368 0,004 0,39 0,02 0,02 4.5 0,160 0,002 0,173 0,007 0,409 0,004 0,44 0,02 0,03 5 0,183 0,002 0,186 0,005 0,467 0,005 0,47 0,01 0,01 6 0,227 0,002 0,24 0,01 0,577 0,006 0,60 0,03 0,02 7 0,280 0,003 0,29 0,01 0,713 0,008 0,75 0,03 0,04 8 0,326 0,003 0,34 0,01 0,830 0,009 0,87 0,03 0,04 9 0,368 0,004 0,38 0,01 0,94 0,01 0,96 0,03 0,02 10 0,413 0,004 0,41 0,01 1,05 0,01 1,05 0,03 0,01 Rotazioni antiorarie helipot Ωteo σΩteo Ωmis σΩmis Ψs teo σΨs teo Ψs mis σΨs mis Ψs mis - (rad/s) (rad/s) (rad/s) (rad/s) (rad) (rad) (rad) (rad) Ψs teo (rad) 1 0,0161 0,0002 0,016 0,001 0,0411 0,0004 0,041 0,002 0,001 1.5 0,0368 0,0004 0,032 0,002 0,0936 0,001 0,082 0,004 0,012 2 0,0594 0,0006 0,060 0,003 0,1512 0,002 0,154 0,008 -0,002 2.5 0,079 0,0009 0,082 0,005 0,201 0,002 0,21 0,01 -0,01 3 0,102 0,001 0,104 0,006 0,260 0,003 0,26 0,02 -0,01 3.5 0,126 0,001 0,129 0,008 0,321 0,003 0,33 0,02 -0,01 4 0,149 0,002 0,152 0,009 0,380 0,004 0,39 0,02 -0,01 4.5 0,171 0,002 0,177 0,009 0,434 0,005 0,45 0,02 -0,01 5 0,193 0,002 0,19 0,01 0,491 0,005 0,51 0,03 -0,01 6 0,237 0,003 0,22 0,01 0,603 0,007 0,57 0,03 0,03 7 0,283 0,003 0,28 0,01 0,720 0,008 0,72 0,03 -0,01 8 0,325 0,003 0,32 0,01 0,828 0,009 0,82 0,04 0,01 9 0,372 0,004 0,36 0,01 0,95 0,01 0,91 0,04 0,03 10 0,416 0,004 0,44 0,01 1,06 0,01 1,12 0,03 -0,06 Pagina 49 Effetto Sagnac Grafico della velocità angolare teorica in funzione della velocità angolare misurata Il grafico è stato fittato con una retta di equazione Ωteo = a + b Ωmis i cui parametri risultano essere: numero di punti = 28 a = - 0,001 ± 0,001 rad/s b = 0,995 ± 0,006 deviazione standard = 0,007 rad/s coefficiente di correlazione lineare = 0,99 L’interpolazione evidenzia, utilizzando dati più accurati per il fit, che vi è una rotazione intrinseca di circa 130°/h che si deduce dal fattore a. Tale valore è ben al di sopra della rotazione terrestre (15°/h) e dunque sembra essere dovuto alle svariate cause d’errore che affliggono lo strumento e agli inevitabili limiti sperimentali. Da misure effettuate a piattaforma ferma abbiamo ricavato i seguenti dati: Pagina 50 Effetto Sagnac Ωmis (rad/s) σΩmis (rad/s) 104 25 124 33 94 26 106 30 146 38 154 40 136 41 133 39 che danno un valore medio pari a 125 ± 21 °/h. Questo è sicuramente imputabile a errori che influenzano unicamente la strumentazione. Dunque il valore dell’intercetta trovato è compatibile con quest’ultimo. Un altro parametro utile, per verificare la correttezza dei nostri dati, è il coefficiente angolare b. Infatti esso risulta essere prossimo a 1 entro la barra d’errore e questo evidenzia che, fatto eccezione per un piccolo shift dovuto al parametro a, i valori delle ascisse e ordinate sono estremamente compatibili e ciò è confermato dal valore del coefficiente di correlazione lineare che risulta essere molto prossimo a 1. Dobbiamo aspettarci che anche i successivi grafici presentino uno stesso tipo di andamento. Pagina 51 Effetto Sagnac Grafico della fase di Sagnac teorica in funzione della fase di Sagnac misurata Il grafico è stato fittato con una retta di equazione ψs teo = a + b ψs mis i cui parametri risultano essere: numero di punti = 28 a = - 0,002 ± 0,001 rad b = 0,995 ± 0,006 deviazione standard = 0,02 rad coefficiente di correlazione lineare = 0,99 Dato che tale grafico è ottenuto direttamente da quello precedente applicando lo stesso algoritmo lineare all’asse delle ascisse e a quello delle ordinate, i risultati e le considerazioni fatte sopra sono da ritenersi valide allo stesso modo. Pagina 52 Effetto Sagnac Grafico della fase di Sagnac misurata in funzione della velocità angolare teorica Il grafico è stato fittato con una retta di equazione ψs mis = a + b Ω teo i cui parametri risultano essere: numero di punti = 28 a = 0,002 ± 0,001 rad b = 2,54 ± 0,02 sec deviazione standard = 0,02 rad coefficiente di correlazione lineare = 0,99 Questo grafico è differente dai precedenti, ma ugualmente dovremmo poterne ricavare le stesse conclusioni. Anche qui il valore dell’intercetta dà un valore prossimo a 130°/h. Questo è il valore che ci si aspettava e dunque la sua trattazione non verrà approfondita ulteriormente. Tuttavia questo tipo di grafico è utile per evidenziare un’altra analogia coi dati teorici. Infatti l’inverso del coefficiente angolare b è un valore che si desume dalle Pagina 53 Effetto Sagnac caratteristiche intrinseche dello strumento ed è già stato calcolato (vedi trattazione classica dell’effetto Sagnac) e vale λ ⋅c ≅ 0,3965 sec-1. 4π ⋅ L ⋅ R Nel nostro caso si trova 0,394 ± 0,003 sec-1 e dunque perfettamente compatibile con quello teorico. Pagina 54 Effetto Sagnac Grafico della fase di Sagnac teorica in funzione della velocità angolare misurata Il grafico è stato fittato con una retta di equazione ψs teo = a + b Ωmis i cui parametri risultano essere: numero di punti = 28 a = - 0,002 ± 0,001 rad b = 2,51 ± 0,02 sec deviazione standard = 0,02 rad coefficiente di correlazione lineare = 0,99 Anche in questo grafico si ritrova l’ormai noto valore dell’intercetta pari a circa 130°/h. Interessante è notare che l’inverso del coefficiente angolare b dà un valore pari a 0,398 ± 0,003 sec-1 e dunque anch’esso è perfettamente compatibile col valore teorico. Non deve stupire di aver trovato due coefficienti angolari diversi in quanto i due grafici non sono immediatamente riconducibili l’uno all’altro attraverso trasformazioni lineari. Pagina 55 Effetto Sagnac Grafico della differenza tra la fase di Sagnac misurata e quella teorica in funzione della velocità angolare teorica Questo grafico e il successivo evidenziano come non vi sia una correlazione tra la differenza tra le fasi di Sagnac misurata e teorica e la velocità angolare sia teorica che misurata. Questo tenderebbe a suggerire che una parte dell’errore che si ha nel calcolare la fase di Sagnac è determinato da fenomeni aleatori difficilmente risolvibili. È importante notare come il segno della differenza tra le due fasi non è correlato in alcun modo al senso di rotazione della piattaforma e questo è una prova in più a sostegno della parziale aleatorietà dell’errore effettuato. Pagina 56 Effetto Sagnac Grafico della differenza tra la fase di Sagnac misurata e quella teorica in funzione della velocità angolare misurata Pagina 57 Effetto Sagnac CONCLUSIONI Dall’analisi dei dati possiamo dedurre che l’andamento teorico dell’esperimento è stato verificato anche se non si è riusciti a misurare la rotazione terrestre. Siamo riusciti a trovare l’andamento lineare tra la fase di Sagnac e la velocità angolare di rotazione con un valore che è altamente compatibile coi dati teorici. È altresì vero che abbiamo trovato una sorta di rotazione intrinseca di 130°/h, ma riteniamo che questo sia dovuto alle cause d’errore intrinseche al sistema e principalmente agli apparati che non permettono di ottimizzare lo studio del problema. A parziale conferma di ciò, la letteratura analizzata riporta il grafico qui esposto, il quale evidenzia come un certo grado di estinzione della polarizzazione conduca inevitabilmente alla presenza di una fase intrinseca. Sfortunatamente, non siamo in grado di sapere se tale andamento può essere utilizzato anche nel nostro caso, ma se ciò fosse possibile potremmo dedurre che il nostro shift di 130°/h è dovuto ad un’estinzione di polarizzazione di circa -20 dB, considerando tale fenomeno come la causa principale dell’errore. Confrontando i dati ottenuti l’anno precedente con i nostri, si riscontra come in entrambi i casi sia stata trovata una pendenza lineare altamente compatibile con quella Pagina 58 Effetto Sagnac teorica. Tuttavia i dati dello scorso anno presentano uno shift di 13000°/h. Questo suggerisce che tutti gli accorgimenti adottati al sistema e l’utilizzo di una tecnica di analisi più avanzata ed elaborata (vedi programma) abbiano portato a sostanziali miglioramenti valutabili in circa due ordini di grandezza in meno. Tuttavia, nonostante questi miglioramenti, l’esperienza e la letteratura di tale argomento suggeriscono dei piccoli accorgimenti che dovrebbero aumentare la sensibilità dello strumento così da essere in grado di misurare la rotazione terrestre. Eccone alcuni: • sostituire le attuali fibre con fibre che mantengano la polarizzazione; • sostituire le attuali giunzioni con altre che disperdano meno segnale; • aumentare la lunghezza della fibra sulla bobina dato che la bibliografia studiata consiglia di avere una fibra lunga almeno 1 km; • minimizzare le giunzioni di fibra ottica tra uno stadio e l’altro dato che il semplice contatto con una fibra libera cambia notevolmente il segale; • minimizzare le perdite in intensità dovute ai polarizzatori e al beam splitter, nonché al quarto capo del coupler, utilizzando degli accoppiatori a più alta efficienza; • sostituire l’attuale meccanismo di rotazione della piattaforma con uno più efficace affinché la rotazione risulti più uniforma o altresì fornire il sistema di un apparato in grado di misurare la velocità istantanea della piattaforma; • bisognerebbe inoltre posizionare tutto l’apparato all’interno di un ambiente le cui caratteristiche, quali temperatura, umidità, ecc., devono essere mantenute costanti; • sostituire polarizzatore, coupler e modulatore con una struttura ad Y a una entrata e due uscite, che ha la caratteristica di integrare queste componenti in un unico apparato dove in un ramo d’uscita è collocato il modulatore di fase. Tale oggetto si chiama MIOC o multifunction integrated optics chip. La bibliografia suggerisce che i parametri di un giroscopio a fibre ottiche di alta sensibilità dovrebbero essere: • fibre altamente birifrangenti con una perdita di 2,3 dB/km (nel nostro caso abbiamo fibre a modo singolo); Pagina 59 Effetto Sagnac • bobina con raggio di circa 16 cm con avvolta una fibra di lunghezza pari a 1 km (la bobina utilizzata presenta un raggio di 8 cm e una lunghezza della fibra di 472m); • utilizzare un coupler che suddivide il segnale in due fasci con un’intensità pari al 47 – 53 % dell’intensità entrante ed una perdita di 0,8 dB; • un beam spitter costituito da un coupler che suddivide il segnale in due fasci con un’intensità pari al 47 – 53 % dell’intensità entrante ed una perdita di 0,6 dB (nel nostro caso il beam spitter è costituito da un cubetto semiriflettente); • un polarizzatore costituito da una fibra a modo singolo di 2,5 m di lunghezza e una perdita di 0,1 dB (noi utilizziamo invece un Glan-Thompson e un cubetto polarizzante); • come sorgente un SLD (super luminescent diode) con lunghezza d’onda λ = 0,83 µm e con un grado di polarizzazione della luce emessa pari a 5:10 (nel nostro caso 1:10). 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